四边形中的折叠问题+动点问题

F

E D

A

B

C

四边形中的折叠问题

折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。 一、例题讲解

例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ．

（1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时，

四边形MNFE 是菱形．（将答案直接 填写在横线上）

例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F. （1）求证：△FAC 是等腰三角形；

（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.

例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知

cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长．

例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '． （1）求证：四边形CDC E '是菱形；

（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状， 并加以证明

N

E

F

M

D'

A'

B'

C'

A

B

C D

F

E

D

C

B

A

16．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm．现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试求AF的长和重叠部分△AEF的面积．

18．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF ⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．

动点问题

一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想数形结合思想转化思想

类型：

1.利用图形想到三角形全等，相似及三角函数

2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）

3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据

4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏

5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路

6.动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论

二、例题：

1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。 当t= 时，四边形是平行四边形； 当t= 时，四边形是等腰梯形.

2、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为

3、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°

，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作

CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．

（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；

②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ；

（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．

O E C

D

α l

图（2）

M

N

O

B

P

C

A Q

图（1）

Q

A

C

P

B

O

N

1、如图（1）AOB Rt ∆中，090=∠A ，0

60=∠AOB ，32=OB ，AOB ∠的平分线OC

交AB 于C ，过O 点作与OB 垂直的直线ON .动点P 从点B 出发沿折线CO BC -以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动，运动时间为t 秒，同时动点Q 从点C 出发沿折线

ON CO -以相同的速度运动，当点P 到达点O 时P 、Q 同时停止运动.

（1）求OC 、BC 的长；

（2）设CPQ ∆的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式；

（3）当P 在OC 上、Q 在ON 上运动时，如图（2），设PQ 与OA 交于点M ，当t 为何值时，OPM ∆为等腰三角形？求出所有满足条件的t 值.