相似三角形的判定性质经典例题分析

相似三角形的判定+性质+经典例题分析

相似形（一）

板块一、课前回顾

、比例性质

（两外项的积等于两内项积）

1. 基本性质:

2. 反比性质：（把比的前项、后项交换）

3. 合比性质：（分子加（减）分母, 分母不变）

4. 等比性质：（分子分母分别相加，比值不变. ）

如果，那么．

谈重点：（1）此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．

（2）应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

5. 黄金分割：

内容尺规作图作一条线段的黄金分割点

经典例题回顾：

例题1．已知a、b、c 是非零实数，且，求k 的值.

例题2．已知，求的值。

板块二、新课讲解

知识点一、相似形的概念

概念：具有相同形状的图形叫相似图形．

谈重点：

⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关.

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况.

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．

⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.

知识点二、平行线分线段成比例定理

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：11 //12 //13

②

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 XX ）所得的对应线段

成比例。

③

定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的

XX ）所得的对应线段成比例，

那么这条直线平行于三角形的第三边。

推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边 （或其xx ），那么所截 得的三角形与原三角形相似.推论的基本图形有三种情况，如图其符号语言： •••DEI BC AB3A ADE

知识点三、相似三角形的判定

判定定理1两角对应相等，两三角形相似. 符号语言：

拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。 2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。

例题精讲

【重难点高效突破】

例题1如图，直线DE 分别与△ ABQ 的边AB AC 的反向xx 相交于D E,由ED// BC

DE AB DE

BC EF BC

EF

AC

DF

AC

DF

可以推出吗？请说明理由。（用两种方法说明）

例题2.（射影定理）已知：如图，在△ ABCxx / BAC=90 , ADLBC于D. 求证：（1）；（2）；（3）

例题3.如图，AD是Rt △ ABC斜边BC上的高，DE L DF,且DE和DF分别交AB AC于E、F.则吗？说说你的理由.

例题4.如图，在平行四边形ABCDxx已知过点B作BE!CD于E,连接AE F为AExx一点，且/ BFE=/C

（1）求证：△ ABF^A EAD

（2）若AB=4 / BAE=30，求AE的长；

（3）在（1）（2）条件下，若AD=3求BF的长。

【即时训练】

、选择题

1 .如图，△ ABC 经平移得到厶DEF AG DE 交于点G 则图中共有相似三角形（）

A. 3 对

B.

4 对C.

5对D.

6对

2. 如图，已知DE// BC EF// AB 则下列比例式中错误的是（）

A. B . C . D ..

3. 在矩形ABCDxx E 、F 分别是CD BC 上的点，若/ AEF=90，则一定有（） A . △ AD 0 △ AEF B. △ ECF^ △ AEF C. △ AD 0 △ ECF D. △ AEF^ △ ABF

4、如图，直线 11 // 12 , AF ： FB=2： 3, BC ： CD=： 1，贝卩

A.5 : 2

B.4 : 1

C.2 : 1

D.3 ：2

5. 如图，E 是平行四边形ABCD 勺边BC 的xx 上的一点，连结AE 交CD 于 F ,贝卩图 中共有相似三角形（）

A.1对

B.2对

C.3对

D.4对

6. △ ABCxx DE// BC 且 AD ： DB=2： 1，那么 DE ： BC 等于（）

A.2 : 1

B.1 : 2

C.2 : 3

D.3 ：2

AE ： EC 是（）

（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）

（5题图）（6题图）（7题图）（8

题图）

相似三角形的判定+性质+经典例题分析

7. 如图，P是Rt △

ABC勺斜边BC上异于B C的一点，过点P做直线截△ ABC 使截得的三角形与△ ABC

相似，满足这样条件的直线共有（） A.1条B.2条C.3条

D.4条

8. 如图，已知DE// BC EF// AB则下列比例式中错误的是（）

A.B.C.D.

9. 下列说法：其中正确的是（）

①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；

③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似

A.①②

B.③④

C.①④

D.②③

二、解答题

1、如图，△ ABCxx BD是角平分线，过D作DE// AB交BC于点E,

AB=5cmBE=3crp 求EC的长.

c

2. 如图，在梯形ABCDxx ADLBC / BAD=90，对角线BDLDC.

（1）△ ABC与△ DCB相似吗？请说明理由.

（2）如果AD=4 BC=9求BD的长.

A