相似三角形经典模型总结与例题分类(超全)

相似三角形经典模型总结

经典模型

【精选例题】“平行型”

【例1】 如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，

则1

11

1

1

1

:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ∆=四边形四边形四边形

【例2】 如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，

18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则

_____EF =，_____MN =

【例3】 已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的

直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H

求证：

PE PH

PF PG

= M 1F 1E 1M E F

A B

C

M N A B

C

D E F P

H

G

F

E

D

C

B

A

【例4】 已知：在ABC ∆中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且

2AE

EC =,BE 、CD 相交于点F ， 求BF EF

的值

【例5】 已知：在ABC ∆中，12AD AB =

，

延长BC 到F ,使1

3

CF BC =,连接FD 交AC 于点E

求证：①DE EF = ②2AE CE =

【例6】 已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC

边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，::BD DE AB AC = 求证：CEF ∆为等腰三角形

【例7】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：

111c a b

=+. F

E D

C

B

A

【例8】 如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.

F

E D

C

B

A

【例9】 如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC

⊥于点F

求证：

1MF ME

AB CD

+= F

E D

C

B A

A

B

C

D

F

E

F

E

D

C

B

A

A

B

C

D

E

F M

【例10】 如图，在ABC ∆中，D 是AC 边的中点，过D 作直线EF 交AB 于E ,交BC 的延长线于F

求证：AE BF BE CF ⋅=⋅

F

E

D

C B

A

【例11】 如图，在线段AB 上，取一点C ，以AC ，CB 为底在AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形

ADC ∆和CEB ∆，AE 交CD 于点P ，BD 交CE 于点Q ,

求证：CP CQ =

Q

P

E

D

C B

A

【例12】 阅读并解答问题.

在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D ，E 落在BC 边上，F ，G 分别落在AC ,AB 边上，作法如下：

第一步：画一个有三个顶点落在ABC ∆两边上的正方形''''D E F G 如图， 第二步：连接'BF 并延长交AC 于点F 第三步：过F 点作FE BC ⊥,垂足为点E 第四步：过F 点作FG BC ∥交AB 于点G 第五步：过G 点作GD BC ⊥，垂足为点D 四边形DEFG 即为所求作的正方形

问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形

⑵在ABC ∆

中，如果6BC =+45ABC ∠=︒,75BAC ∠=︒,求上述正方形DEFG 的边长

“平行旋转型”

图形梳理：

AEF 旋转到AE‘F’

C

B

A

AEF 旋转到AE‘F’

C

B

B

C

AEF 旋转到

AE‘F’

A

B

C

AEF 旋转到AE‘F’

特殊情况：B 、'E 、'F 共线

AEF 旋转到AE‘F’C

B

A

A

B C

E

F E'

F'

AEF 旋转到AE‘F’

C ，'E ，'F 共线

AEF 旋转到AE‘F’

C

B

A

AEF 旋转到AE‘F’

C

B

A

【例13】 已知梯形ABCD ，AD BC ∥，对角线AC 、BD 互相垂直，则

G'

F'

E'D'A

B C

D

E

F

G

①证明：2222

AD BC AB CD +=+

O

A

B C

D

【例14】 当AOD ∆，以点O 为旋转中心，逆时针旋转θ度（090θ<<），问上面的结论是否成立，请

说明理由

D

C

B A

O

【例15】 （全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和BEFG 均为正方形，求

::AG DF CE =_________.

A

B

E

F G

G

F

E

D

C

B

A

“斜交型”

【例16】 如图，ABC ∆中，D 在AB 上，且DE BC ∥交AC 于E ，F 在AD 上，且2

AD AF AB =⋅，

求证：AEF

ACD ∆∆

F E

D C

B

A