离散对数问题其及应用---ZML
《讲离散对数》课件
暴力枚举法
将从1到p-1（p为表示的数）的所有数字 作为底数，遍历算出对数并比较。
Pohlig-Hellman算法
将离散对数问题转化为素因子问题，逐 个组成并产生关联，然后求解每个小因 子的问题。
离散对数在加密中的应用
Diffie-Hellman密钥交换算法
利用离散对数解手段构造一种可以安全地交换密钥的方法。
《讲离散对数》PPT课件
# 讲离散对数 欢迎来到本次课程，我们将一起深入探讨离散对数，一项在密码学、加密等 领域广泛应用的重要学科。
什么是离散对数？
定义
特点
应用
离散对数是指将离散对数域中的 一个数(通常是生成元)作为底数， 另一个数作为幂，所得到的指数。
离散对数是一个难题，没有特殊 的方法可以迅速计算离散对数， 基本上只能用遍历或数学归纳法。
ElGamal加密算法
利用离散对数来完成加密和解密过程，达到保护信息安全的目的。
RSA加密算法
依靠一个数的因数分解困难性作为安全基础，这个数是两个大素数的乘积，而素数又是通过 计算离散对数生成的。
总结
离散对数是什么？
离散对数是一个非常重要的数学 概念，它在密码学、加密等领域 有着广泛应用。
解离散对数的方法有哪些？ 离散对数在加密中的应用
我们可以通过暴力枚举法、二分 法、Pohlig-Hellman算法、Baby Step, Giant Step算法等方法来解 决离散对数问题。
离散对数为加密和解密提供了一 种基础算法，例如Diffie-Hellman 密钥交换算法、ElGamal加密算 法和RSA加密算法。
对于密码学爱好者来说，离散对数是一项重要的学习内容。
离散对数是密码学、计算机网络、 计算机图形学、数据挖掘等领域 中的重要概念，有着广泛的应用。
《离散对数基础》课件
模幂算法
总结词
快速、适用于小整数
详细描述
模幂算法是一种基于数学技巧的离散对数求解方法。它利用二进制指数的性质 ，通过一系列模幂运算来快速找到离散对数的解。该算法在处理小整数时非常 有效，但对于大整数可能不如扩展欧几里得算法高效。
椭圆曲线方法
总结词
精度高、适用于安全应用
详细描述
椭圆曲线方法是基于椭圆曲线密码学的一种离散对数求解方法。它利用椭圆曲线上点的性质和离散对 数之间的关系，通过求解椭圆曲线上的离散对数来找到原始的私钥。由于其高精度和安全性，椭圆曲 线方法在许多安全应用中得到广泛应用，如数字签名和加密通信。
ElGamal加密算法
总结词
ElGamal是一种基于离散对数的公钥加密算 法，使用模幂运算实现加密和解密过程。
详细描述
ElGamal加密算法利用离散对数的性质，将 明文分成多个数据块，并使用接收者的公钥 进行加密。解密时，接收者使用自己的私钥 进行模幂运算，恢复出原始明文。该算法的 安全性基于离散对数问题的困难性，使得只
详细描述
离散对数的加法性质是离散对数理论中的一个重要性质，它表明在模运算下，离散对数的计算具有加法封闭性 。这个性质在密码学中有广泛的应用，特别是在公钥密码体系中，如RSA算法。
离散对数的乘法性质
总结词
离散对数的乘法性质是指对于任意整数a、b和模数p，如果计算离散对数log_b((a mod p) * (b mod p))，那么 结果等于分别计算离散对数log_b(a mod p)和log_b(b mod p)后再取和。
数字签名
数字签名是一种通过加密技术实现的安全通信方式，用于验证信息的发送者和保证 信息的完整性和真实性。
在数字签名中，离散对数可以用于实现签名算法的安全性，即保证只有发送者能够 生成有效的签名。
高中数学教案：解决离散类型数学问题
高中数学教案：解决离散类型数学问题一、引言数学作为一门学科，既是严谨的逻辑推理体系，也是实际问题的解决工具。
在高中数学教学中，离散类型的数学问题常常困扰着学生。
离散数学难以直观地呈现，往往需要学生具备较强的逻辑思维和问题解决能力。
本文将探讨如何在高中数学教学中解决离散类型的数学问题，并提供一些相关教学案例和方法。
二、认识离散类型的数学问题离散类型的数学问题是指与连续的数学问题相对应的一类问题，它们的特点是数值或量的变化是离散的而不是连续的。
离散数学问题常常可以用图、表、数列等形式进行表示，其中包含了许多数论、组合数学、图论等数学概念和方法。
与连续类型的数学问题相比，离散类型的数学问题需要学生具备更强的抽象思维能力和逻辑推理能力。
三、解决离散类型数学问题的教学方法为了帮助学生解决离散类型的数学问题，教师可以采用以下几种教学方法：1. 建立数学模型：通过将离散类型的数学问题转化为数学模型，帮助学生更加直观地理解问题的本质。
例如，当涉及到组合数学的问题时，可以引导学生通过排列组合的原理建立数学模型，进而解决问题。
2. 强化逻辑思维：离散类型的数学问题往往需要学生通过逻辑推理来解决。
因此，在教学过程中，教师应该注重培养学生的逻辑思维能力，帮助他们建立从已知条件出发到结果的推导关系。
3. 培养问题解决能力：离散类型的数学问题往往需要学生具备良好的问题解决能力。
教师在教学过程中可以通过引导学生进行讨论、合作解决问题等方式培养学生的问题解决能力。
四、案例分析下面通过一个典型的离散类型数学问题进行案例分析，以加深对教学方法的理解。
案例：有n个学生参加一场比赛，比赛结束后，每位学生都会得到一张名次表，并且每个名次表上只有一个学生的名字。
请问，共有多少种可能的名次表排列方式？解决思路：这是一个典型的排列组合问题。
设共有n个学生参加比赛，那么第一名有n种选择，第二名有(n-1)种选择，以此类推，直到最后一名只有一种选择。
离散对数问题的算法shanks算法
离散对数问题的算法shanks算法下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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基于离散对数问题(一)
基于离散对数问题(一)基于离散对数问题在密码学中，离散对数问题是一种重要的数学难题，基于这个问题的算法在密码学中得到广泛应用。
本文将介绍相关问题，并对其进行解释说明。
离散对数问题简介离散对数问题是指在一个有限域中，找到一个数的指数是另一个给定数的问题。
具体而言，对于素数p和整数a，找到一个整数x，使得a^x ≡ b (mod p)。
相关问题离散对数问题相关的一些问题包括：•离散对数问题的求解：给定p、a和b，找到一个满足a^x ≡ b (mod p)的整数x。
•离散对数问题的困难性：证明离散对数问题在计算上是困难的，即没有已知的有效算法可以在多项式时间内解决该问题。
•离散对数问题的应用：探讨离散对数问题在密码学中的应用，如基于离散对数问题的公钥密码算法，例如Diffie-Hellman密钥交换算法和ElGamal加密算法。
•离散对数问题的安全性：研究离散对数问题的安全性，即它是否可以被破解。
目前，离散对数问题被认为是一个强大的密码学基础，并且在合适的参数选择下，具有很高的安全性。
•离散对数问题的优化算法：探索提高离散对数问题求解效率的优化算法。
例如，Pohlig-Hellman算法是一种用于解决离散对数问题的优化算法。
解释说明离散对数问题是一个在密码学中经常使用的问题，它基于一个简单的数学难题，即找到一个指数使得指数函数的结果与给定值同余。
离散对数问题的困难性保证了基于该问题的密码体系的安全性。
离散对数问题的应用非常广泛。
其中，Diffie-Hellman密钥交换算法允许两个通信方通过公开的通道协商出一个共享密钥，而该密钥对于外部攻击者是困难的。
ElGamal加密算法则基于离散对数问题提供了对称密钥加密的安全性。
尽管离散对数问题被广泛应用于密码学中，但目前没有已知的有效算法可以在多项式时间内解决这个问题。
因此，离散对数问题被认为是一个困难的数学难题，并被广泛接受为安全的密码学基础。
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原根 g 3 p 17
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离散对数问题
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离散对数问题及其应用
主讲人：ZML
离散对数问题（单向性）
模算术 x mod p
时钟算术
例： 45 mod 60 105 mod 60
我们考虑当模数 p为素数的情形，比如: 17
集合G* 1, 16在 mod17的乘法运算下
可以构成一个乘法循环群
可以找到一个原根（生成元）g ， 生成乘法群G* 中所有元素：
小结
• 基于乘法群，构建了一个NP困难问题（离散对数问题） • 应用于构造安全的密码算法或协议
• DH密钥交换方案 • ElGamal公钥密码算法 • 基于离散对数问题的比特承诺方案
The End!
原根 g 3 p 17
离散对数问题
3? 12 mod17
Hard!!!
离散“对数”问题
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单向函数
329 mod 17 EASY
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离散对数问题在公钥密码体制的研究应用
离散对数问题在公钥密码体制的研究应用离散对数问题是一种数学问题，广泛应用于公钥密码体制的安全性分析和设计中。
在公钥密码体制中，通信双方使用不同的密钥进行加密和解密。
公钥可以公开，而私钥则只有接收者知道。
离散对数问题是基于数论的一类问题，其难度来自于找到满足特定条件的大整数的离散对数。
这个问题一般是难以求解的，因此可以用于设计安全的公钥密码体制。
离散对数问题在公钥密码体制中的应用包括：
1. DH密钥交换协议：双方通过交换公钥来协商出一个共享密钥，该密钥用于加密通信。
DH协议的安全性依赖于离散对数问题的困难性。
2. DSA数字签名算法：DSA算法使用离散对数问题来生成数字签名，以保证消息的完整性和身份认证。
3. ECC公钥密码体制：椭圆曲线密码体制使用离散对数问题来
保护通信双方之间的信息安全。
与传统RSA算法相比，ECC在相同密钥长度下提供更高的安全性。
总之，离散对数问题在公钥密码体制的应用是至关重要的。
它不仅可以用于构建安全的加密算法，还可以用于数字签名和身份认证等应用领域。
- 1 -。
第九讲 离散对数
( p 1)/2 1(mod p )。
因此，
( p 1)/2 x( p 1) / 2 (1) x (mod p )。
如果 ( p 1)/2 1， 则 x是偶数； 否则，x是奇数。 例 子 4假定我们试图解2 x 9(mod11)。 由于
( p 1)/2 95 1(mod11) ，
11 372Байду номын сангаас
38 144
2.4 Pohlig-Hellman算法
事 实 3令为有限乘法群Z * p的生成元，并假定
x， 0 x p 1。
我们可以很容易得到x的最后一比特。 注意 ( ( p 1)/2 ) 2 ( p 1) 1(mod p )，因此 ( p 1)/2 1(mod p )。然而， p 1被假定为产生 1的最小指数， 因此，我们有
令s为一个整数。有 log ( ) (log + log ) mod ( p 1) 和 log ( s ) s log ( ) mod ( p 1)。
* 例 子 1令p = 11 。 = 2是有限乘法群Z11 上的一个生成元。 * 由于 26 9 (mod11) ，在有限乘法群 Z11 上 log2 9 = 6 。 当然，
2 计算离散对数
2.1 穷举搜索
最为简单的求解 DLP的方法是连续计算 0，
1， 2， . . . ，直到得到。这一方法需要 O( p 1) 次乘法，这里 p 1是的阶，因此，当 p取
足够大的值时，这不是 有效方法(这恰好是密 码关注的情形)。
2.2 小步大步算法
令m = p 1 ，这里p 1 是 的阶。小步大步 算法是对穷举搜索方法 在效率和存储之间的 平衡，它的基础是以下 事实。如果 = x，则 我们可以写 x=i m +j，这里 0 i， j m。因此，
椭圆曲线的离散对数问题
椭圆曲线的离散对数问题
椭圆曲线离散对数问题（Discrete Logarithm Problem on Elliptic Curves）是一个经典的数学难题，它涉及到椭圆曲线上的离散对数问题。
椭圆曲线是一种特殊的代数曲线，其方程通常可以表示为 y^2 = x^3 + ax + b (a,b ∈ Z)，其中x和y都是整数。
在椭圆曲线上，离散对数问题是要找到两个点P和Q，使得它们的坐标(x1,y1)和(x2,y2)满足关系式 x2=kx1+b(k,b 为整数)，并且P不等于Q。
离散对数问题在密码学中有重要的应用，例如在公钥密码学中，椭圆曲线离散对数问题被用来实现安全加密和数字签名等操作。
例如，在RSA公钥密码系统中，使用椭圆曲线离散对数问题可以实现更加安全和高效的加密算法。
举例来说，假设椭圆曲线的方程为 y^2 = x^3 + 3x + 2，我们要求解点
P(1,√3)和点Q的离散对数，使得x2=kx1+b。
首先，我们可以计算出点P在椭圆曲线上的坐标为(1,√3)，然后我们可以通过不断增加x的值来尝试找到满足条件的点Q。
假设我们找到点Q的坐标为(5,4√3)，我们可以计算出k=3，b=-4，因此离散对数问题得到解决。
总之，椭圆曲线离散对数问题是一个重要的数学难题，它在密码学中有广泛的应用。
解决这个问题的困难程度取决于椭圆曲线的具体形式和参数，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的椭圆曲线来保证安全性。
《讲离散对数》课件
离散对数具有一些重要的性质，如对数的乘法性质、对数的指数性质、对数的 同底数幂相除性质等，这些性质在离散对数的计算和应用中具有重要的作用。
离散对数在密码学中的应用
离散对数问题与密码学中的一些问题密 切相关，如Diffie-Hellman密钥交换协 议和ElGamal公钥密码体制等。这些协 议和体制的安全性都基于离散对数问题
Lucas-Lehmer算法
一种求解Mersenne素数上离散对数问题的特殊算法。
算法优化效果评估
时间复杂度分析
通过理论分析和实验测试，评估算法在 不同规模问题上的运行时间，以确定算
法的效率。
性能对比分析
与其他离散对数算法进行性能对比， 以确定优化后算法在同类算法中的性
能水平。
实际应用测试
将优化后的算法应用于实际场景，通 过对比优化前后的计算时间和结果精 度，评估算法优化的效果。
与其他领域的交叉融合
离散对数问题不仅在密码学中有重要应用，还可以与其他领域如数学、物理等相结合，探索更多的应 用场景和可能性。通过跨学科的合作与交流，有望推动离散对数问题的研究取得更大的突破。
PART 05
离散对数的相关算法优化
REPORTING
算法优化方法
减少计算量
通过减少不必要的计算步骤 或使用更高效的算法来减少 计算量，从而提高离散对数 计算的效率。
利用离散对数问题的困难性，公钥加 密具有很高的安全性，能够有效地保 护信息的机密性和完整性。
PART 04
离散对数的研究现状与展 望
REPORTING
研究现状
研究进展
离散对数问题作为密码学中的重要问题，近年来取得了显著的研究进展。研究者 们提出了许多新的算法和技巧，提高了求解离散对数的效率和精度。
《离散对数基础》课件
应用举例
RSA算法中的离散对 数
解释离散对数在RSA算法中的 应用原理和作用。
数字签名中的离散对 数
介绍离散对数在数字签名中的 应用场景和实现方法。
密码学中的其他应用
探讨离散对数在密码学领域中 的其他应用和研究方向。
总结及展望
1 离散对数的重要性
总结离散对数在现代密码学和计算领域中的重要性。
2 相关算法的局限性及改进方向
讨论相关算法在离散对数计算中面临的局限性和未来改进的方向。
3 对未来发展的展望
展望离散对数在未来的发展趋势和应用领域。
参考文献
• 相关论文和书籍的引用及推荐
离散对数的定义
1 数学背景
介绍离散对数的背景和相 关的数学概念。
2 离散对数的定义
详细解释离散对数的定义 及其在计算中的含义。
3 与连续对数的比较
对离散对数和连续对数进 行比较，突出它们之间的 区别。
离散对数的计算方法
1
暴力计算法
介绍离散对数的暴力计算方法，包括其优势和劣势。
2
Байду номын сангаас
Baby-step Giant-step算法
《离散对数基础》PPT课 件
本课件旨在介绍离散对数的基础知识和应用场景，涵盖了离散对数的定义、 计算方法以及在椭圆曲线和密码学中的应用。
什么是离散对数？
离散对数的概念
介绍离散对数的定义和数学背景。
应用场景
探讨离散对数在密码学、数字签名等领域中的重要性。
结构和内容
简要介绍PPT的结构和各个章节的内容概要。
解释Baby-step Giant-step算法的原理和步骤。
离散数学及应用
方世昌主编 西安电子科大出版社
Discrete Mathematics Structures
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Bemard Kolman Robert C. Busby Sharon Ross Prentice-Hall International,Inc. 1997.11 (英文原版影印)清华大学出版社
离散数学是培养抽象思维和逻辑推理的学科，
2013-7-19
例2.2.4 解(续)
[法二] 根据(1)的结论，如果Egbert为主席， 有20种方法确定余下的职位；若Egbert为秘 书，有20种方法确定余下的职位；若Egbert 为出纳员，也有20种方法确定余下的职位。 由于三种选法得到的集合不相交，根据加法 原理，共有 20＋20＋20 = 60种选法；
离散数学是现代数学的一个重要
绪 言
分支，是计算机科学与技术的基 础理论的核心课程之一。离散数 学与计算机科学中的数据结构、 操作系统、编译理论、算法分析、 逻辑设计、系统结构、机器定理 证明等课程息息相关。 基本内容包括数理逻辑、集合论、 代数系统、图论等几大部分。
离散数学
离散数学(Discrete Mathematics)："研究离散
七桥问题
哥尼斯堡城位于普雷格尔河畔，河中有两个岛，七 座桥使两个河心岛及两岸彼此相连。十八世纪的城中居 民热衷于这样一个问题：游人从四块陆地中的任何一地 出发，能否找到一条路线，通过每桥一次且仅一次，最 后返回原地？
欧拉对七桥问题的解 1736年，著名数学家欧拉研究了七桥问题，他将这 个问题用结点和弧边组成的图来表示，问题归结为从 图中任一结点出发，经过每边一次且仅一次的回路是 否存在？他找到了存在这样一条回路的充分必要条件， 并由此判断七桥问题无解而结束了哥尼斯堡城民的烦 恼。
整数的离散对数和离散对数问题
整数的离散对数和离散对数问题数论是数学中一个重要的分支，它探究的是整数之间的关系和性质。
在数论中，离散对数和离散对数问题是两个重要的概念。
首先，我们来看离散对数。
离散对数是指，在模n下，对于任意给定的a和b，求解一个正整数x，使得a^x ≡ b(mod n)。
其中，a、b和n都是正整数，且a和n互质。
我们称x为b在以a为底，模n意义下的离散对数。
离散对数问题在密码学中扮演着重要的角色。
在RSA加密算法中，离散对数问题的难度被广泛应用。
然而，随着计算机的发展，离散对数问题变得更容易被破解。
因此，人们开始研究更加困难的问题，这就是离散对数和离散对数问题。
离散对数和离散对数问题是两个不同的概念。
离散对数和离散对数问题的本质区别在于，前者求解的是一个确定的x，而后者却要求解一个x的集合。
离散对数和离散对数问题是密不可分的。
对于一台计算机而言，破解离散对数问题是困难的。
而破解离散对数问题的困难程度则要大得多。
在余数系中，对于任何一个整数，都可以表示成a^k(mod n)的形式，其中a为基数，n为模数，k为指数。
而在离散对数问题中，需要求解的是指数k，而在离散对数和离散对数问题中，需要求解的是集合K。
在实际应用中，离散对数和离散对数问题的求解难度不同。
离散对数问题很难求解，而离散对数和离散对数问题则可以采用各种算法来求解。
对于离散对数问题，最简单的方法就是通过反复计算a的次方，直到得到b，这种方法的复杂度是O(n)。
此外还有著名的Pohling-Hellman算法和Baby-step, Giant-step算法可以求解离散对数问题。
而对于离散对数和离散对数问题，目前最先进的算法是数域筛法和斯多梅尔算法。
离散对数和离散对数问题是数论中的一个难题。
它们是密码学领域和计算机安全领域的重要题目。
而目前，离散对数和离散对数问题的求解方法还在不断发展中。
高中数学 离散对数
高中数学离散对数
离散对数是现代密码学中的一个重要概念，尤其是在椭圆曲线密码学和一些公钥加密算法中。
它与普通的对数不同，离散对数涉及到模运算和有限域的概念。
离散对数问题（DLP）可以描述为：给定一个有限域上的乘法群（通常是模一个质数的乘法群），以及该群的一个生成元g和一个元素h，找到一个整数x，使得g^x ≡ h (mod p)，其中p是群的阶。
在高中数学课程中，通常不会深入探讨离散对数的理论和应用，因为这需要更高级的数学知识，如抽象代数、数论和计算复杂性理论。
然而，高中学生可能会接触到一些基础的数论概念，这些概念是理解离散对数的基础。
如果你对离散对数感兴趣，以下是一些相关的基础知识点：
1. 模运算：了解如何进行模加法、模减法、模乘法和模除法。
2. 指数运算：熟悉指数法则，包括指数的乘法规则和模指数运算。
3. 有限域：理解有限域的概念，以及如何在有限域内进行运算。
4. 原根和指数：了解什么是原根，以及如何计算一个数的指数。
5. 因数分解：掌握基本的因数分解技巧，因为因数分解在密码学中非常重要。
6. 概率和统计：虽然不是必须的，但了解概率和统计可以帮助理解离散对数在密码学中的应用。
第九讲 离散对数
x im j，这意味着 ( m ) i j。 这就给出
如下计算 x的方法。
2.2 小步大步算法(续)
算 法 1小步大步法 输入：生成元的阶 p 1和元 。 输出： 离散对数 x= log 。 (1) 设置m
p 1 。
(2) 建立一个条目为( j， j )的表， 这里 0 j m。以条目中 的第2项对表排序。 (3) 计算 m 和设置 。 (4) For i from 0 to m 1 do thefollowing: (4.1) 检查 是否为表中某个第 2项 。 (4.2) 如果 j， 则 return( x = i m + j)。 (4.3) 设置 · m。
2 计算离散对数
2.1 穷举搜索
最为简单的求解 DLP的方法是连续计算 0，
1， 2， . . . ，直到得到。这一方法需要 O( p 1) 次乘法，这里 p 1是的阶，因此，当 p取
足够大的值时，这不是 有效方法(这恰好是密 码关注的情形)。
2.2 小步大步算法
令m = p 1 ，这里p 1 是 的阶。小步大步 算法是对穷举搜索方法 在效率和存储之间的 平衡，它的基础是以下 事实。如果 = x，则 我们可以写 x=i m +j，这里 0 i， j m。因此，
2.2 小步大步算法(续)
例 子 2 令p=113 。 = 3 是阶为p 1 = 112 的生成元。考虑 = 57。 计算离散对数 log3 57的过程如下。 (1) 设置m
112 = 11。
(2) 建立一个表，条目是( j， α j (mod p))， 这里0 j 11 ，以条目的 第2项排列表： j 0 1 8 2 5 9 3 3 j (mod113) 1 3 7 9 17 21 27 7 6 10 4 40 51 63 81
离散对数
离散对数目录离散对数概述是在整数中，一种基于同余运算和原根的一种对数运算：当模m有原根时，设L为模m的一个原根，则当?x≡L^k(mod m)时： Ind L x≡?k (mod Φ(m))，此处的Ind L x为 x以整数L为底，模Φ(m)时的离散对数值。
或者简单描述离散对数问题为：给定一个质数p，和有限域Zp上的一个本原元a，对Zp上整数b，寻找唯一的整数c，使得a^c≡b(mod p)。
一般的，如果仔细选择p，则认为该问题是难解的，且目前还没有找到计算离散对数问题的多项式时间算法。
为了抵抗已知的攻击，p至少应该是150位的十进制整数，且p-1至少有一个大的素数因子。
性质离散对数和一般的对数有著相类似的性质：离散对数的由来及发展在一般参考文献中，都认为公钥密码体制是迪菲(W.Diffie)和赫尔曼(E.Hellman)发明的[1][1]，可鲜为人知的是，默克勒(R.C.Merkle)甚至在他俩之前的1975年就提出了类似的思想，尽管其文章是于1978年发表的，但投稿比较早。
因此，公钥密码体制的创始人应该是他们三人。
当然，他们三人只是提出了一种关于公钥密码体制与数字签名的思想，而没有真正实现。
不过，他们确实是实现了一种体现公钥密码体制思想、基于离散对数问题的、在不安全的通道上进行密钥形成与交换的新技术。
所谓离散对数，就是给定正整数x，y，n，求出正整数k（如果存在的话），使y≡xk(mod n)。
就目前而言，人们还没有找到计算离散对数的快速算法（所谓快速算法，是指其计算复杂性在多项式范围内的算法，即O(logn)k，其中k为常数）。
虽然有快速计算离散对数的量子算法，其计算复杂性为O(logn)2+?着，但现在并没有量子计算机（实用的量子计算机也许根本就建造不出来）。
离散对数的应用离散对数公钥加密算法是目前最为热门的公钥加密算法，其安全性要远远高于基于大数分解的RSA算法。
首先说明一下明一下上述三位科学家公钥密码体制的运作过程（假定A 和B两个人要在一个不安全通道如因特网上形成密钥以备日后加密解密所用）。
python 离散对数
python 离散对数摘要：一、Python 离散对数的概念与应用1.离散对数的定义2.离散对数在Python 中的应用二、Python 生成离散型随机变量的方法1.导入相关包2.使用choice() 函数生成离散型随机变量3.查看随机变量的频率分布和概率三、数据离散化的方法及Python 实现1.数据离散化的概念2.数据离散化的方法3.Python 实现数据离散化的示例四、Python 离散对数拟合的实现1.多项式拟合的概念与应用2.Python 实现多项式拟合的示例正文：一、Python 离散对数的概念与应用离散对数是一种数学概念，用于描述离散事件的概率分布。
在Python 中，离散对数常常用于模拟离散型随机变量，以实现各种概率分布和统计分析。
二、Python 生成离散型随机变量的方法要生成离散型随机变量，首先需要导入numpy 和pandas 两个相关包。
然后，使用numpy 的random.choice() 函数，根据给定的概率分布生成对应数量的随机整数。
以下是一个简单的示例：```pythonimport numpy as npimport pandas as pd# 定义随机变量的概率分布prob = [0.1, 0.1, 0.3, 0.3, 0.2]# 生成1-5 的随机整数，数量为100 个random_number = np.random.choice([1, 2, 3, 4, 5], size=100, replace=True, p=prob)# 查看随机数的频率分布freq_distribution = pd.Series(random_number).value_counts()# 查看随机数的概率probability = freq_distribution / 100```三、数据离散化的方法及Python 实现数据离散化是将连续型数据转化为离散型数据的过程，常用的方法有区间划分、符号映射等。
离散对数证明
离散对数证明
离散对数是一个重要的数学概念，它涉及到一些数论和密码学的问题。
下面我们来证明离散对数的一个基本性质：
假设有两个正整数a和b，满足a^x = b (mod p)，其中p是一个质数。
我们要证明x 是唯一的。
首先，我们知道费马小定理，它告诉我们如果p是一个质数，那么对于任何正整数a，有a^(p-1) = 1 (mod p)。
现在我们用反证法来证明x的唯一性。
假设存在另一个正整数y，使得a^y = b (mod p)。
那么我们有：
a^x = b (mod p)
a^y = b (mod p)
从上述两个等式我们可以得到：
a^x ≡ a^y (mod p)
由于p是一个质数，根据费马小定理，我们可以得到：
a^(x-y) = 1 (mod p)
这意味着x-y一定是p-1的倍数。
由于p-1是一个偶数，所以x-y一定是偶数。
这意味着x和y要么相等，要么相差一个偶数。
但是，如果x和y相差一个偶数，那么a^x和a^y 一定相等（因为a^x = b (mod p)，所以a^y也必须等于b (mod p)）。
这与我们的假设矛盾。
因此，我们证明了x是唯一的。
b.离散对数问题 c.椭圆离散对数问题
标题：探索离散对数问题与椭圆离散对数问题：解密数字密码的奥秘在当今信息社会，信息安全已成为人们关注的焦点之一。
离散对数问题和椭圆离散对数问题作为密码学中的重要概念，对于构建安全高效的加密系统至关重要。
本文将深入探讨离散对数问题和椭圆离散对数问题的本质和应用，带你解密数字密码的奥秘。
1. 离散对数问题的基本概念a. 定义和背景：离散对数问题是指在有限域上求解幂运算的逆运算问题，即在模素数的循环群中，求解指数的问题。
b. 应用领域：离散对数问题广泛应用于密码学、数字签名、椭圆曲线密码学等领域，是构建公钥密码系统的基础。
2. 离散对数问题的求解方法a. 暴力搜索算法：基于穷举法，但计算复杂度高，不适用于大规模的离散对数求解。
b. Pollard rho 算法：利用随机漫步和环的性质，能够有效降低时间复杂度，是一种高效的求解方法。
c. Baby-step giant-step 算法：将指数表示为两个参数的差值，通过分块计算，降低了时间复杂度。
3. 椭圆离散对数问题的基本概念a. 椭圆曲线的离散对数问题：在椭圆曲线上，求解离散对数的问题，即给定椭圆曲线上的点P和整数k，求解使得kP=G成立的k值。
b. 应用领域：椭圆离散对数问题被广泛应用于椭圆曲线密码学、数字签名、身份认证等领域，具有很高的安全性和效率。
4. 椭圆离散对数问题的求解方法a. Pollard rho 算法：在椭圆曲线上，通过随机漫步和环的性质，可以对椭圆离散对数问题进行高效求解。
b. Baby-step giant-step 算法：同样适用于椭圆离散对数问题，通过分块计算，降低了时间复杂度。
总结与展望：离散对数问题和椭圆离散对数问题作为密码学中的重要概念，对于构建安全高效的加密系统具有重要意义。
通过对离散对数问题和椭圆离散对数问题的深入探讨，我们可以更好地理解数字密码学的基本原理，为信息安全提供更加可靠的保障。
随着量子计算等技术的发展，离散对数问题和椭圆离散对数问题仍然面临着挑战，我们需要继续研究和创新，保障数字信息的安全。
离散数学及应用习题及答案6-5
§6.5 匹配习题6.51．通过找出一个容量为3的最小割来证明图6.40中的流是最大的。
解：最小割为（{a,A,B,C}，{D,J1,J2,J3,J4,J5,z}），据最大流最小割定理知，该流是最大的。
2．求出对应于图6.38的流。
通过找出一个容量为3的最小割来证明这个流是最大的。
解：流为3。
最小割（{a,A,B,C}，{W,X,Y ,Z,z}），据最大流最小割定理知，该流是最大的。
3．申请人A 能胜任工作1J 和4J ；B 能胜任工作2J 、3J 和6J ，C 能胜任工作1J 、3J 、5J 和6J ，D 能胜任工作1J 、3J 和4J ，E 能胜任工作1J 、3J 和6J 。
（1）将这种情况模型化为匹配网络。
（2）用标号算法求出一个最大匹配。
（3）存在完全匹配吗？解：（1）(2)最大匹配M={<A ，J1>，<B ，J2>，<C ，J3>，<D ，J4>，<E ，J6>}(3)上述的最大匹配就是一个完全匹配。
4．申请人A 能胜任工作1J 、2J 和4J ；B 能胜任工作3J 、4J 、5J 和6J ；C 能胜任工作1J 和5J ；D 能胜任工作1J 、3J 、4J 和8J ；E 能胜任工作1J 、2J 、4J 、6J 和8J ；F 能胜任工作4J 和6J ；G 能胜任工作3J 、5J 和7J 。
（1）将这种情况模型化为匹配网络。
（2）用标号算法求出一个最大匹配。
（3）存在完全匹配吗？a J1 zA B C D E J2 J3 J4 J5 J6 1 11 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1解：（1）(2)最大匹配M={<A ，J1>，<B ，J3>，<C ，J5>，<D ，J4>，<E ，J2>，<F ，J6>，<G ，J7>}(3)上述的最大匹配就是一个完全匹配。
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The End!
Hard!!!
离散“对数”问题
离散对数问题
单向函数
3 mod 17 3 mod 17
NP问题
? 29
EASY
12 12
HARD
离散对数问题的应用
Diffie-Hellman Key Exchange Protocol
Whitfield Diffie
Martin Hellman
Alice
Bob
p, g
2
i 3 mod17
15 3 mod17
15
i 15
6 1
12 4
7 8 14
3 9 10 13 5
6 mod17
16 11 15
离散对数问题
原根 g 3
i
16
p 17
2 12
4 7 8 6
i 3 mod17
15
i 16 "0"
1
“周期”
16 3 mod17
* 0 1 2
i
*
15
g .
记i g mod p (i 0,1, 14,15)
利用原根的求解算法： 对于奇素数p, p 1 pi ei
i 1 s
离散对数问题Biblioteka 2 12 47 8
6
1
若g
p 1 pi
3 9 10
1(mod p )， 对所有的pi
则g是模 p 的一个原根。
3 3mod17
ord ( g ) p 1 k k mod p 1 g g mod p
“循环”
3 9 10
14
16 11 15
13 5
离散对数问题
原根 g 3
?
p 17
i?
4
7 8 14 16 11 15 2 12 6 1 3 9 10 13 5
3 12 mod17
Sk A
p, g
Sk B
Pk A g
Sk A
mod p
Pk B g
Sk B
mod p
Pk B
Pk A
Pk B
Sk A
mod p
Pk A
Sk B
mod p
Alice
Bob
p, g
Sk A
p, g
Sk B
Alice
Bob
17,3
Sk A 13
17,3
Sk B 6
12 4
7 8 14
3
i 1
9 10
1 3 mod17
1
16 11 15
13 5
离散对数问题
原根 g 3
i
p 17
2 6 1
i 3 mod17
12 4
7 8 14
3
2 3 mod17
2
i 2 9
10
16 11 15
13 5
离散对数问题
原根 g 3
i
p 17
Pk A g
Sk A
mod p
Pk B g
Sk B
mod p
313 12 mod17 36 15 mod17
Pk B
Pk A
Pk B 15
13
Pk A 12
6
Pk B
Sk A
mod p
Pk A
Sk B
mod p
15 2 mod17 12 2 mod17
小结
• 基于乘法群，构建了一个NP困难问题（离散对数问题）
容易找到一个原根 g 3
14
16 11 15
13 5
离散对数问题
原根 g 3
i
p 17
2 6 1
i 3 mod17
i0
3 9 10
12 4
7 8 14
0 3 mod17
0
16 11 15
13 5
离散对数问题
原根 g 3
i
p 17
2 6 1
i 3 mod17
离散对数问题及其应用
主讲人：ZML
离散对数问题（单向性）
模算术 时钟算术
x mod p
45 mod 60 105 mod 60
例：
我们考虑当模数 p为素数的情形，比如: 17
离散对数问题
集合G 1, 16 在 mod17的乘法运算下
*
可以构成一个乘法循环群
可以找到一个原根（生成元）g ， 生成乘法群G 中所有元素： G g , g , g ,..., g