计算方法及答案汇总
计算方法各习题及参考答案
计算⽅法各习题及参考答案第⼆章数值分析2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：试构造⼀多项式()q x 通过下列点：答案：54313()()()3122q x p x r x x x x x =-=-++-+． 2.2 观测得到⼆次多项式2()p x 的值：表中2()p x 的某⼀个函数值有错误，试找出并校正它．答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．2.3 利⽤差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++ ．2.4 当⽤等距节点的分段⼆次插值多项式在区间[1,1]-近似函数xe 时，使⽤多少个节点能够保证误差不超过61102-?．答案：需要143个插值节点．2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()3()h H x 是()f x 关于等距节点01n a x x x b =<<<= 的分段三次艾尔⽶特插值多项式，步长b a h n-=．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．答案：()443||()()||384h M f x H x h ∞-≤．第三章函数逼近3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2{1,,}span x x Φ=上最佳平⽅逼近多项式，并给出平⽅误差．答案：()sin f x x =的⼆次最佳平⽅逼近多项式为-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-?+-，⼆次最佳平⽅逼近的平⽅误差为0.122-1220(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=??．3.2 确定参数,a b c 和，使得积分2121(,,)[I a b c ax bx c -=++-?取最⼩值．答案：810, 0, 33a b c ππ=-== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳⼀致逼近多项式()p x ．答案：()f x 的最佳⼀致逼近多项式为323()74p x x x =++． 3.4 ⽤幂级数缩合⽅法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．答案：236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤3.5 求() (11)xf x e x =-≤≤上的关于权函数()x ρ=的三次最佳平⽅逼近多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．第四章数值积分与数值微分4.1 ⽤梯形公式、⾟浦⽣公式和柯特斯公式分别计算积分1(1,2,3,4)n x dx n =?，并与精确值⽐较．答案：计算结果如下表所⽰4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量⾼，并指明所确定的求积公式具有的代数精度．（１）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++?（２）11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++? （３）20()[(0)()][(0)()]2h h f x dx f f h h f f h α''≈++-?答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有⼆次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3 设10h x x =-，确定求积公式12300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++?中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量⾼，并给出余项表达式．答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6()[]1440f R f h η=，其中01(,)x x η∈．4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的⼆次插值多项式，⽤2()P x 导出计算积分30()hI f x dx =?的数值积分公式h I ，并⽤台劳展开法证明：453(0)()8h I I h f O h '''-=+．答案：3203()[(0)3(2)]4h h I p x dx h f f h ==+?．4.5 给定积分10sin xI dx x =（１）运⽤复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过31102-?．（２）取同样的求积节点，改⽤复化⾟浦⽣公式计算时，截断误差是多少？（３）要求的截断误差不超过610-，若⽤复化⾟浦⽣公式，应取多少个节点处的函数值？答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈（２）4(4)46111|[]||()|()0.271102880288045n b a R f h f η--=-≤=? （３）取７个节点处的函数值．4.6 ⽤变步长的复化梯形公式和变步长的复化⾟浦⽣公式计算积分10sin xI dx x =?．要求⽤事后误差估计法时，截断误不超过31102-?和61102-?．答案：使⽤复化梯形公式时，80.946I T ≈=满⾜精度要求；使⽤复化⾟浦⽣公式时，40.946 083I s ≈=满⾜精度要求．4.7（１）利⽤埃尔⽶特插值公式推导带有导数值的求积公式2()()[()()][()()][]212ba b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+?，其中余项为 5(4)()[](), (,)4!30b a R f f a b ηη-=∈．（２）利⽤上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式020()[()()]12Nx N N x h f x dx T f x f x ''≈--?，其中 0121[()2()2()2()()]2N N N hT f x f x f x f x f x -=+++++ ，⽽ 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==- ．4.8 ⽤龙贝格⽅法计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有五位有效数字．答案：49.6884l I =≈．4.9确定⾼斯型求积公式0011()()()x dx A f x A f x ≈+?的节点0x ，1x 及系数0A ，1A ．答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证⾼斯型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+?的系数及节点分别为0001 2 2A A x x ===-=+第五章解线性⽅程组的直接法5.1 ⽤按列选主元的⾼斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中11121 0110A -?? ?= ? ?-??．答案： 1110331203321133A -?? ? ?=---5.2 ⽤矩阵的直接三⾓分解法解⽅程组1234102050101312431701037x x x x= ? ? ? ? ? ? ? ? ??答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．5.3 ⽤平⽅根法(Cholesky 分解法)求解⽅程组12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -?????? ??? ?-=- ??? ? ??? ???????答案： 12x =，21x =，31x =-．5.4 ⽤追赶法求解三对⾓⽅程组123421113121112210x x x x ?????? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?????答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．第六章解线性代数⽅程组的迭代法６.１对⽅程1212123879897x x x x x x x -+=??-+=??--=?作简单调整，使得⽤⾼斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x =，⽤该⽅法求近似解(1)k x+，使(1)()3||||10k k x x +-∞-≤．答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]Tx =．６.２讨论松弛因⼦ 1.25ω=时，⽤SOR ⽅法求解⽅程组121232343163420412x x x x x x x +=??+-=??-+=-? 的收敛性．若收敛，则取(0)[0 0 0]T x=迭代求解，使(1)()41||||102k k x x +-∞-<．答案：⽅程组的近似解为*1 1.50001x =，*2 3.33333x =，*3 2.16667x =-．６.３给定线性⽅程组Ax b =，其中111221112211122A ?? ? ?=，证明⽤雅可⽐迭代法解此⽅程组发散，⽽⾼斯－赛得尔迭代法收敛．６.４设有⽅程组112233302021212x b x b x b -?????? ??? ?= ??? ? ??? ?-??????，讨论⽤雅可⽐⽅法和⾼斯－赛得尔⽅法解此⽅程组的收敛性．如果收敛，⽐较哪种⽅法收敛较快．答案：雅可⽐⽅法收敛，⾼斯－赛得尔⽅法收敛,且较快．６.５设矩阵A ⾮奇异．求证：⽅程组Ax b =的解总能通过⾼斯－赛得尔⽅法得到．６.６设()ij n nA a ?=为对称正定矩阵，对⾓阵1122(,,,)nn D diag a a a = ．求证：⾼斯－赛得尔⽅法求解⽅程组1122D AD x b --=时对任意初始向量都收敛．第七章⾮线性⽅程求根例７.４对⽅程230xx e -=确定迭代函数()x ?及区间[,]a b ，使对0[,]x a b ?∈，迭代过程1(), 0,1,2,k x x k ?+== 均收敛，并求解．要求51||10k k x x -+-<．答案：若取2()x x ?=，则在[1,0]-中满⾜收敛性条件，因此迭代法121, 0,1,2,k x k x k +== 在(1,0)-中有惟⼀解．取00.5x =-，*70.458960903x x ≈=-．取2()x x ?=，在[0,1上满⾜收敛性条件，迭代序列121, 0,1,2,k x k x k +== 在[0,1]中有惟⼀解．取00.5x =，*140.910001967x x ≈=- 在[3,4]上，将原⽅程改写为23xe x =，取对数得2ln(3)()x x x ?==．满⾜收敛性条件，则迭代序列21ln(3), 0,1,2,k k x x k +== 在[3,4]中有惟⼀解．取0 3.5x =， *16 3.733067511x x ≈=．例７.６对于迭代函数2()(3)x x c x ?=+-，试讨论：（１）当c 为何值时，1()k k x x ?+=产⽣的序列{}k x（２）c 取何值时收敛最快？（３）取1,2c =-()x ?51||10k k x x -+-<．答案：（１）(c ∈时迭代收敛．（２）c =时收敛最快．（３）分别取1, 2c =--，并取0 1.5x =，计算结果如下表７.７所⽰表７.７例７.13 设不动点迭代1()k x x ?+=的迭代函数()x ?具有⼆阶连续导数，*x 是()x ?的不动点，且*()1x ?'≠，证明Steffensen 迭代式21(), (), 0,1,2,()2k k k k k k k k k k k y x z x k y x x x z y x+===-?=-?-+?⼆阶收敛于*x ．例7.15 设2()()()()()x x p x f x q x f x ?=--，试确定函数()p x 和()q x ，使求解()0f x =且以()x ?为迭代函数的迭代法⾄少三阶收敛．答案：1()()p x f x ='，31()()2[()]f x q x f x ''=' 例７.19 设()f x 在[,]a b 上有⾼阶导数，*(,)x a b ∈是()0f x =的(2)m m ≥重根，且⽜顿法收敛，证明⽜顿迭代序列{}k x 有下列极限关系：111lim2k kk k k k x x m x x x -→∞-+-=-+．第⼋章矩阵特征值8.1 ⽤乘幂法求矩阵A 的按模最⼤的特征值与对应的特征向量，已知5500 5.51031A -?? ?=- ? ?-??，要求(1)()611||10k k λλ+--<，这⾥()1k λ表⽰1λ的第k 次近似值．答案：15λ≈，对应的特征向量为[5,0,0]T-；25λ≈-，对应的特征向量为[5,10,5]T --． 8.2 ⽤反幂法求矩阵110242012A -??=-- -的按模最⼩的特征值．知A 的按模较⼤的特征值的近似值为15λ=，⽤5p =的原点平移法计算1λ及其对应的特征向量．答案：(1) A 的按模最⼩的特征值为30.2384428λ≈(2) 1 5.1248854λ≈，对应的特征向量为(8)[0.242 4310, 1 ,0.320 011 7]T U =--．8.3 设⽅阵A 的特征值都是实数，且满⾜121, ||||n n λλλλλ>≥≥> ，为求1λ⽽作原点平移，试证：当平移量21()2n p λλ=+时，幂法收敛最快． 8.4 ⽤⼆分法求三对⾓对称⽅阵1221221221A ?? ? ?= ? ? ???的最⼩特征值，使它⾄少具有２位有效数字．答案：取5 2.234375λ≈-即有２位有效数字．8.5 ⽤平⾯旋转变换和反射变换将向量[2 3 0 5]T x =变为与1[1 0 0 0]Te =平⾏的向量．答案：203/2/00001010/0T ??- ?=--?0.324 442 8400.486 664 26200.811 107 1040.486 664 2620.812 176 04800.298 039 92200100.811 107 1040.298 039 92200.530 266 798H --??--= ? ?--8.6 若532644445A -??=- -，试把A 化为相似的上Hessenberg 阵，然后⽤QR ⽅法求A 的全部特征值．第九章微分⽅程初值问题的数值解法9.1 ⽤反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题0, 0<0.2(0)1y y x y '+=≤??=?，要求取步长0.1h =，每步迭代误差不超过510-．答案： [4]11(0.1)0.904 762y y y ≈==，[4]22(0.2)0.818 594y y y ≈==9.2 ⽤⼆阶中点格式和⼆阶休恩格式求初值问题2, 0<0.4(0)1dy x y x dx y ?=+≤=?的数值解(取步长0.2h =，运算过程中保留五位⼩数)．答案：⽤⼆阶中点格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.200 00, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.298 72, (0.4)=1.699 74K K y y ==≈⽤⼆阶休恩格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.266 67, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.499 18, (0.4)=1.701 76K K y y ==≈9.3 ⽤如下四步四阶阿达姆斯显格式1123(5559379)/24n n n n n n y y h f f f f +---=+-+-求初值问题, (0)1y x y y '=+=在[0,0.5]上的数值解．取步长0.1h =，⼩数点后保留８位．答案：4(0.4)0.583 640 216y y ≈=，5(0.5) 1.797 421 984y y ≈=． 9.4 为使⼆阶中点公式1(,(,))22n n n n n n h hy y hf x y f x y +=+++，求解初值问题 , (0)y y y aλλ'=-??=?为实常数绝对稳定，试求步长h 的⼤⼩应受到的限制条件．答案：2h λ≤．9.5 ⽤如下反复迭代的欧拉预估－校正格式(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2 0,1,2,; 0,1,2,nn n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k n +++++?=+??=++??==，求解初值问题sin(), 01(0)1x y e xy x y '?=<≤?=?时，如何选择步长h ，使上述格式关于k 的迭代收敛．答案：2h e<时上述格式关于k 的迭代是收敛的．9.6 求系数,,,a b c d ，使求解初值问题0(,), ()y f x y y x a '==的如下隐式⼆步法221()n n n n n y ay h bf cf df +++=+++的误差阶尽可能⾼，并指出其阶数．答案：系数为142,,33a b d c ====，此时⽅法的局部截断误差阶最⾼，为五阶5()O h ．9.7 试⽤欧拉预估－校正法求解初值问题, (0)=1, 0<0.2()/, (0)2dyxy z y dxx dz x y z z dx=-≤=+=，取步长0.1h =，⼩数点后⾄少保留六位．答案：由初值00(0)1, (0)2y y z z ====可计算得110.800 000z 2.050 000y =??=? ， 11(0.1)0.801 500(0.1) 2.046 951y y z z ≈=??≈=? 220.604 820z 2.090 992y =??=? ， 22 (0.2)0.604 659(0.2) 2.088 216y y z z ≈=??≈=?。
计算方法试题集及答案
计算方法试题集及答案复习试题四、计算题：4某12某2某311某14某22某3182某某5某22(0)T某(0,0,0)1231、用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。
(k1)1(k)(k)某(112某某)1234(k1)1(k)(18某1(k1)2某3)某24(k1)1(k1)(k1)某(222某某)3125答案：迭代格式k01234某1(k)(k)某2(k)某302.75000.209380.240430.5042003.81253.17892.59972.482002.53753. 68053.18393.70191/272、11f(某)d某A[f(1)f(1)]B[f()f()]122的代数精求A、B使求积公式1度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求2f(某)1,某,某答案：是精确成立，即I211d某某(保留四位小数)。
2A2B212182ABA,B23得991811f(某)d某[f(1)f(1)][f()f()]19922求积公式为1当f(某)某时，公式显然精确成立；当所以代数精度为3。
32f(某)某时，左=541，右=3。
3、已知某i1364554f(某i)2分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(某)的三次插值多项式P3(某)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。
答案：L3(某)2(某3)(某4)(某5)(某1)(某4)(某5)6(13)(14)(15)(31)(34)(35)5(某1)(某3)(某5)(某1)(某3)(某4)4(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为某iyi一阶均差二阶均差三阶均差2-1-1-101413452654P3(某)N3(某)22(某1)(某1)(某3)1(某1)(某3)(某4)4f(2)P3(2)5.53/274、取步长h0.2，用预估-校正法解常微分方程初值问题y2某3yy(0)1(0某1)(0)yn1yn0.2(2某n3yn)(0)yy0.1[(2某3y)(2某3yn1nnnn1n1)]答案：解：即yn10.52某n1.78yn0.04n某nyn0010.21.8220.430.640.851.015.879610.713719.422435.02795、已知某i-2-12022325f(某i)4求f(某)的二次拟合曲线p2(某)，并求f(0)的近似值。
计算方法 课后习题答案
Lagrange 插值多项式。
3
注意到：若 n 1个节点 xi i 0,1,..., n 互异，则对任意次数 n 的多项式 f x ，它
(4.5)(0.01172)
0.00879
（2）采用 Newton 插值多项式 y x N2(x) 根据题意作差商表：
i
xi
0
4
1
6.25
f (xi ) 2 2.5
一阶差商 2 9
2
9
3
2 11
二阶差商 4 495
N2 (7) 2 29 (7 4) ( 4 495) (7 4) (7 6.25) 2.6484848
Lagrange
型二次插值函数，并估
计差。
解1)由题意知：
x0
0,
x1
1,
x2
1 2
;
y0
1,
y1
e1,
y2
1
e2
则根据二次Lagrange插值公式得：
L2 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
x2 02
x4= 04
x3
7x2 14x 8 8
l1 ( x)
x x0 x1 x0
x x2 x1 x2
x x3 x1 x3
简便运算大全以及答案
简便运算大全以及答案人们在日常生活中经常需要进行各种运算，包括加减乘除、百分数、幂次方等等，而这些运算涉及到的数学知识难度各不相同。
为了让大家能够轻松地进行各种数学运算，本文将介绍一些简便的计算方法和答案。
1. 快速计算乘法对于两个整数的乘法，人们常常采用竖式计算方法，但是这种方法有时不够快捷，因此我们可以采用以下方法进行快速计算。
(1) 末位对齐相乘法：将需要乘的两个数的个位数相乘得到个位数的部分，然后将需要乘的两个数的十位数相乘得到十位数的部分，最后将两部分相加即为答案。
例如：23 × 17 = 391(2) 交叉乘法：将两个数的各个位数依次相乘，然后将结果按位数从右向左排列，最后将相同位数的结果相加即为答案。
例如：23 × 17 = 3912. 快速计算除法对于整数的除法，我们通常采用手算或者借助计算器等工具进行计算，但是以下方法可以在一定程度上简化计算。
(1) 近似商计算法：这种方法适用于计算整数相除的时候，计算过程中只考虑商的整数部分。
例如：75 ÷ 6 ≈ 12(2) 倒数相乘法：这种方法适用于计算两个数相除时，可以将除数的倒数相乘得到答案。
例如：75 ÷ 6 = 75 × 1/6 = 12.53. 百分数计算方法对于百分数的计算，我们通常采用将百分数转化为小数进行计算的方法，以下是转化方法。
(1) 将百分数除以100得到小数。
例如：60% = 0.6(2) 乘以百分数，将数值除以100，得到结果。
例如：60% × 120 = 724. 幂次方计算方法当我们需要求一个数的幂次方时，可以采用以下方法进行计算。
(1) 直接计算：依据幂次方的定义，将底数按照指数进行循环乘法计算即可得到答案。
例如：2³ = 2 × 2 × 2 = 8(2) 快速幂算法：当需要计算的幂次方较大，而底数为整数时，可以利用快速幂算法进行计算，这种方法可以大大减少计算次数。
简便运算大全及答案
简便运算大全及答案一、加法运算加法是最基本的数学运算之一，在日常生活中经常会遇到需要进行加法运算的情况。
下面是一些简便的加法计算方法以及答案。
基本加法原则基本的加法原则是将两个或多个数按位对齐，然后从右向左逐位相加，进位则向左进一位。
例子：23+ 15-----38在这个例子中，将23和15按位对齐，然后从右向左逐位相加，得到的结果为38。
快速加法技巧除了基本的加法原则，还有一些快速加法技巧可以帮助我们更快地进行加法运算。
进位加法当相加的两个数的个位数字之和超过9时，我们可以先不考虑进位，而是将个位数字之和的个位数作为结果的个位数，并记住进位的数。
例子：48+ 56------1 0 4在这个例子中，4和6相加得到0（个位数），记住进位的1。
然后8和5相加得到3（十位数），再加上进位的1，得到结果的十位数1。
最终得到的结果是104。
关联加法当我们需要进行多个加法运算时，可以采用关联加法的方法，先计算其中的一部分，并将中间结果用于后面的计算，以减少重复计算的时间和精力。
例子：23+ 15+ 30+ 10-----一般情况下，我们会按照从上到下的顺序进行计算，即先计算23和15的和，再将结果与30相加，最后再将结果与10相加。
加法答案根据以上的加法运算方法，下面是一些加法题目及其答案：1.24 + 16 = 402.35 + 47 = 823.52 + 38 = 904.81 + 19 = 1005.49 + 56 = 105二、减法运算减法是加法的逆运算，同样也是日常生活中常用的数学运算之一。
下面是一些简便的减法计算方法以及答案。
基本减法原则基本的减法原则是将被减数和减数对齐，然后从右向左逐位相减。
例子：35- 17-----18在这个例子中，将35和17按位对齐，然后从右向左逐位相减，得到的结果为18。
快速减法技巧除了基本的减法原则，还有一些快速减法技巧可以帮助我们更快地进行减法运算。
借位减法当被减数的某一位小于减数的相应位时，我们可以向高位借一位，并将借位的数与低位减数相加，再与高位被减数相减。
计算方法 课后习题答案
得到方程组
3。举例说明一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。
例如：设
与题设相矛盾，所以一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。
4。下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵）？若能分解，那么分解是否唯一？
解：
设 B可以进行LU分解，则B=
计算得
其中。 。
解：(1)由题意，可设 ，由Lagrange插值余项公式得
(2)由(1)式可知，
15．给定数据表：
1
0
2
3
构造出函数 的差商表，并写出它的三次 插值多项式.
解：利用Newton插值公式：
先作出差商表
一阶差商
二阶差商
三阶差商
0
1
3
1
3/2
13/4
1/2
2
0
3
1/6
1/3
3
2
5/3
-2/3
-5/3
证明：据题4可知，
令 ，则有 。注意到
（证明见王能超数值简明教程145页题6）
令 即有 。
9.已知 ，求差商 和 。
解：根据差商与微商的关系，有
10.已知 互异，求 。其中 。（此题有误。）（见王能超《教程》P149－题2）
解：因为 ，则
由差商性质 可知，
11.设首项系数为1的n次式 有n个互异的零点 ，证明
解：1）用梯形公式有：
事实上，
2）Simpson公式
事实上，
3）由Cotes公式有：
事实上，
2．证明Simpson公式 具有三次代数精度。
证明：
而当 时
左侧：
右侧：
计算方法习题集及答案第四版
解：
y次迭代公式
k
0
1
2
3
3.5
3.64
3.63
3.63
6. 试证用牛顿法求方程在[1,3]内的根是线性收敛的。 解：
令
y次迭代公式 故
从而 ，时， 故， 故牛顿迭代公式是线性收敛的 7. 应用牛顿法于方程, 导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛
性。
解：
相应的牛顿迭代公式为 迭代函数，， 则，
习题1.1
1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如 何？
数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 2. 试证明 及
证明： （1）令
即 又 即 ⑵ 设，不妨设， 令 即对任意非零，有 下面证明存在向量，使得， 设，取向量。其中。 显然且任意分量为， 故有即证。 3. 古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有
解： （1）迭代公式，公式收敛
k
0
1
2
3
0
（2），， 局部收敛 k0 1 2 3
0.25
0.25098 0.25098
456789
1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386
2. 方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：
（1）,对应迭代公式;
9
10
11
12
13
14
15
16
1.4650 1.46593 1.4653 1.46572 1.46548 1.46563 1.465534 1.465595
迭代公式（2）：
k
0
1
2
3
《计算方法》样题与参考答案(一)
《计算方法》样题（一）说明：1） 可使用计算器；第一、九题各15分，其余每题10分 2） 把要求的答案直接写在横线 上或方框 [ ] 内一、解答下列问题：1) 数值计算中，最基础的五个误差概念（术语）是 , , , , .2) 分别用 2.718281， 2.718282 作数e 的近似值 ，它们的有效位数分别有位， 位; 又取73.13≈ （三位有效数字），则≤-73.13 .3）为减少乘除法运算次数，应将算式32)1(7)1(51318---+-+=x x x y 改写成4）为减少舍入误差的影响，应将算式 9910- 改写成 5）递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-,2,1,110210n y y y n n如果取41.120≈=y 作计算，则计算到10y 时，误差有这个计算公式数值稳定不稳定 ？二、解答下列线性代数方程组问题：1) 解线性代数方程组b Ax =（nn R A ⨯∈非奇异）的关键思想是首先把方程组约化为 和 ，然后分别通过 过程 或 过程很容易求得方程组的解. 2）用“列主元Gauss 消元法”将下列方程组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20111.0310********x x x化为上三角方程组的两个步骤⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-211.03010451321 ⇒ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ ⇒ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡再用“回代过程”可计算解：三、解答下列线性代数方程组：1) 给定线性方程组 ⎩⎨⎧-=-=-45892121x x x x则解此方程组的Jacobi 迭代公式是⎪⎩⎪⎨⎧而Guass-Seidel 迭代公式是⎪⎩⎪⎨⎧2) 取迭代初值T x )0,0()0(=，用Guass-Seidel 迭代公式计算（取至小数后5位）可得 ⎪⎩⎪⎨⎧====)2(2)1(2)2(1)1(1,,x x x x四、设一元方程0133=--x x ，欲求其正根，试问：1) 方程的正根有几个？ (个) 2) 方程的正根的有根区间是 3） 给出在有根区间收敛的不动点迭代公式： 4） 给出求有根区间上的Newton 迭代公式：五、解答插值问题：1) 函数)(x f 在],[10x x 上的一次（线性）插值函数（公式） =)(1x L其余项公式=)(x R2） 函数)2ln()(+=x x f 在区间]1,0[上的一次（线性）插值函数 =)(1x L 其余项估计 =)(x R六、设有实验数据如下：x 0 1 2 3 5 f 1.1 1.9 3.1 3.9 4.9要求按最小二乘法拟合上述数据。
计算方法及答案
《计算方法》练习题一一、填空题1.蔥=3.14159上的近似值3.1428，准确数位是（）。
2 .满足 f （a ）二 c, f （b ）二 d 的插值余项 R （x ）二（）。
3 .设｛P k （x ）｝为勒让德多项式，则（P 2（x ）, P 2（x ））=（）。
4 .乘幕法是求实方阵（）特征值与特征向量的迭代法。
5 .欧拉法的绝对稳定实区间是（）。
6. e =2.71828上具有3位有效数字的近似值是（）。
7 .用辛卜生公式计算积分[ 生（）。
+x8 .设=（a j k 」））第k 列主兀为a P”，则 a P 严 =()10 •已知迭代法：X n q =「（x n ）,（ n =0,1，上）收敛，则：（x ）满足条件（）。
、单选题1 .已知近似数a,b,的误差限；（a ）, ；（b ），贝U ；（ab ）=（）。
A. ；(a) ；(b) B . ；(a)；(b) c. a ；(a) b ；(b) D . a ；(b) ；(a)2 .设 f(x) = x 2 x ，则 f[1,2,3]=()JIJIJIJIA. —B. —C. —D. —2 3464 .若双点弦法收敛，则双点弦法具有（）敛速.A.线性B.超线性C.平方D.三次5 .改进欧拉法的局部截断误差阶是（）6.近似数a =0.47820 102的误差限是（）。
1 1 B. — 10」C. — 10’2 2A. 0(h)23B. o(h ) c. o(h )D. 0( h 4 )9 .已知1 25 4_- AA.lB.2C.3D.4 3 .设A =1I 则化A 为对角阵的平面旋转3-().A. 110^27 .矩阵A 满足(),则存在三角分解A=LR。
A. det A = 0B. det Ac. det A 0 D. det A ：： 0k = 0(1 込k ：：n)已知 x = (-1,3,-5)丁，则 |x 1 =()。
A . 9 B. 5 C. —3 D . — 5 设｛P k （x ）｝为勒让德多项式，则（P 3（X ）, R （X ）） =()。
计算方法第二版课后练习题含答案
计算方法第二版课后练习题含答案前言本文将为大家提供计算方法第二版课后练习题的答案，旨在帮助读者更好地学习和掌握计算方法的知识。
本文全部内容均为作者整理，尽可能保证每一题的答案正确性。
读者可以借助本文的答案，检验自己的练习成果，加强对计算方法知识的理解和掌握程度。
同时，读者也应该注意切勿直接复制答案，本文的答案仅供参考，希望读者能够通过自己的思考和探索，获得更深层次的学习感悟。
第一章引论1.1 计算方法的基本概念和思想练习题 1写出计算方法的三要素，并分别简要解释。
答案计算方法的三要素为：模型、算法、误差分析。
•模型：计算方法所涉及的实际问题所对应的数学模型，是解决问题的基础；•算法：根据模型，构造相应的计算程序，即算法；•误差分析：计算结果与实际应用中所需的精度之间的差异，称为误差。
误差分析是对计算结果质量的保障。
1.2 算法的误差练习题 2写出二分法算法，并解释其误差。
答案算法：function binarySearch(a, target) {let low = 0;let high = a.length - 1;while (low <= high) {let midIndex = Math.floor((low + high) / 2);let midValue = a[midIndex];if (midValue === target) {return midIndex;} else if (midValue < target) {low = midIndex + 1;} else {high = midIndex - 1;}}return -1;}误差:二分法算法的误差上界为O(2−k)，其中k为迭代次数。
在二分法被成功应用时，k取决于与目标值x的距离，即 $k=\\log _{2}(\\frac{b-a}{\\epsilon})$，其中[a,b]是区间，$\\epsilon$ 是目标值的精度。
小学三年级数学简便运算方法归类 及练习(含答案)
小学三年级数学简便运算方法归类一、带符号搬家法（根据：加法交换律和乘法交换率）当一个计算题只有同一级运算（只有乘除或只有加减运算）又没有括号时，我们可以“带符号搬家”。
(a+b+c=a+c+b,a+b-c=a-c+b,a-b+c=a+c-b,a-b-c=a-c-b;a×b×c=a×c×b,a÷b÷c=a÷c÷b,a×b÷c=a÷c×b,a÷b×c=a×c÷b)二、结合律法（一）去括号法1.当一个计算题只有加减运算又有括号时，我们可以将加号后面的括号直接去掉，原来是加现在还是加，是减还是减。
但是将减号后面的括号去掉时，原来括号里的加，现在要变为减；原来是减，现在就要变为加。
（现在没有括号了，可以带符号搬家了哈) （注：去掉括号是添加括号的逆运算）a+(b+c)= a+b+c a +(b-c)= a+b-c a- (b-c)= a-b+c a-( b +c)= a-b-c2.当一个计算题只有乘除运算又有括号时，我们可以将乘号后面的括号直接去掉，原来是乘还是乘，是除还是除。
但是将除号后面的括号去掉时，原来括号里的乘，现在就要变为除；原来是除，现在就要变为乘。
（现在没有括号了，可以带符号搬家了哈) （注：去掉括号是添加括号的逆运算）a×(b×c) = a×b×c, a×(b÷c) = a×b÷c, a÷(b×c) = a÷b÷c , a÷(b÷c) = a÷b ×c（二）加括号法1.当一个计算题只有加减运算又没有括号时，我们可以在加号后面直接添括号，括到括号里的运算原来是加还是加，是减还是减。
计算方法试卷及答案三套
7．设 A 是 n 阶正规矩阵，则 A 2 A ； 8．求解一阶常微分方程初值问题 u(t ) (t 2 1)u t ， u(t0 ) u0 的向后（隐式）
un htn 1 。 2 1 h 1 tn 1
Euler 法的显式化的格式为： un 1
9．设 a 211.001 12 为 x 的近似值，且 x a 0.5 10 2 ，则 a 至少有
PS:双击获取文档，ctrl+A,ctrl+C，然后粘贴到word即可。 未能直接提供word版本，抱歉。
6
, f [0,1,2] 0
，逼 近 f (x) 的
5 ． 用 于 求 f x e x 1 x 0 的 根 x 0 的 具 有 平 方 收 敛 的 Newton 迭 代 公 式 为 ：
xk 1 xk 2
e xk 1 xk 。 e xk 1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 6．已知 A - 1 0 1 ，则 A 的 Jordan 标准型是 0 0 1 或 0 0 0 ； 0 0 0 0 0 0 0 0 0
计算方法 A 卷 答 案
一、填空（每一空 2 分，共 42 分） 1．为了减少运算次数，应将表达式. 改写为
16 x5 17 x 4 18 x3 14 x 2 13x 1 x 4 16 x 2 8 x 1
16 x 17 x 18 14 x 13x 1 ； x 0x 16 x 8x 1
1
2
2．给定 3 个求积节点： x0 0 ， x1 0.5 和 x2 1 ，则用复化梯形公式计算积分 e x dx 求
五年级数学简便计算专项练习题(附答案+计算方法汇总)
6.利用基准数
在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这 一系列数字太远。 例如： 2072+2052+2062+2042+2083 =（2062x5）+10-10-20+21
(1) 加法： 交换律，a+b=b+a 结合律，(a+b)+c=a+(b+c) (2) 减法运算性质： a-(b+c)=a-b-c, a-(b-c)=a-b+c a-b-c=a-c-b (a+b)-c=a-c+b=b-c+a (3):乘法（与加法类似）：
3.拆分法
顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需要掌握一些“好朋友”，如：2和5，4和 5，2和2.5，4和2.5，8和1.25等。分拆还要注意不要改变数的大小哦。 例如： 3.2×12.5×25 =8×0.4×12.5×25 =8×12.5×0.4×25
4.Байду номын сангаас法结合律
注意对加法结合律 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。
1.提取公因式
这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个 整数。 注意相同因数的提取。 例如： 0.92×1.41＋0.92×8.59 =0.92×（1.41+8.59）
2.借来借去法
看到名字，就知道这个方法的含义。用此方法时，需要注意观察，发现规律。还要注意还哦 ,有借有 还，再借不难。 考试中，看到有类似998、999或者1.98等接近一个非常好计算的整数的时候，往往使用借来借去法。 例如： 9999+999+99+9 =9999+1+999+1+99+1+9+1－4
《计算方法》练习题及答案
《计算方法》练习题及答案1. 单选题1. 数值3.1416的有效位数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6正确答案：C2. 常用的阶梯函数是简单的（）次样条函数。
A. 零B. 一C. 二D. 三正确答案：A3. 设求方程f(x)=0的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。
A. 超线性B. 平方C. 线性D. 三次正确答案：C4. 构造拟合曲线不可以采用下列哪种准则（）A. 使残差的最大绝对值为最小B. 使残差的绝对值之和为最小C. 使残差的平方和为最小D. 是残差的绝对值之差为最小正确答案：D5. 欧拉法的局部截断误差阶为（）。
A. AB. BC.CD. D正确答案：B6. 依据3个样点（0，1），（1，2）（2，3），其插值多项式p(x)为（）A. xB. x+1C. x-1D. x+2正确答案：B7. 题面如下，正确的是（）A. 2B. 3C. -2D. 1正确答案：B8. 题面如下图所示，正确的是（）A. AB. BC. CD. D正确答案：D9. 用列主元消去法解线性方程组,A. 3B. 4C. -4D. 9正确答案：C10. 利用克莱姆法则求解行列式时，求解一个n阶方程组，需要（）个n阶行列式。
A. nB. n+1C. n-1D. n*n正确答案：C11. 线性方程组的解法大致可以分为（）A. 直接法和间接法B. 直接法和替代法C. 直接法和迭代法D. 间接法和迭代法正确答案：C12. （）的优点是收敛的速度快，缺点是需要提供导数值。
A. 牛顿法B. 下山法C. 弦截法D. 迭代法正确答案：A13. 设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有（）位有效数字。
A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：D14. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：C15. 所谓松弛法，实质上是（）的一种加速方法。
计算方法习题集及答案
得：
当方法为零稳定时 ，从而 ，故方法是二阶收敛的。
6．给出题(6.5)题中 时的公式的绝对稳定域.
解：
6.5中当 时，即为方法
其相应的差分方程的多项式为
令 ，
即方法的绝对稳定域为
7．指出Heun方法
0
0
0
0
1/3
1/3
0
0
2/3
0
2/3
0
1/4
0
3/4
的相容阶，并给出由该方法以步长h计算初值问题(6.45)的步骤.
即
取 。即
满足上述条件的多步方法即为一类三步四阶显示方法，令 可得
方法即为
3．形如
的k阶方法称为Gear方法，试确定一个三步Gear方法，并给出其截断误差主项。
解：线性k步公式为
由Gear法的定义知，三步Gear法满足
方法为 阶，故有
得：
取 得
得三步Gear方法：
其中
4．试用显式Euler法及改进的Euler法
证明：
且
即 为 的二阶零点
设
令
易知
又
由微分中值定理（Rolle定理） ，使得
进而 有三个零点， 有两个零点， 有一个零点，
即 使得
得
8.设 是Lagrange基函数，则 。
9.求一个次数不超过4次的多项式 ，使它满足
，并写出其余项表达式。
10.求一个四次插值多项式 ，使 时， ；而 时， ，并写出插值余项的表达式。
练习
班级
学号
姓名
1.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：
（1） ; (2) 。
解：
（1）迭代公式 ， 公式收敛
k
计算方法 课后习题答案
计算方法课后习题答案计算方法课后习题答案计算方法是一门重要的学科，它涉及到数值计算、算法设计和数据处理等方面的内容。
在学习计算方法的过程中，课后习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以巩固所学的知识，提高自己的计算能力。
下面是一些计算方法课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵A，它的转置记作A^T。
转置后的矩阵A^T的行数和列数分别为原矩阵A的列数和行数。
例如，对于一个3×2的矩阵A，它的转置A^T是一个2×3的矩阵。
2. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是对应位置上的元素进行相加或相减得到的新矩阵。
对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A+B，差记作A-B。
加法和减法的运算规则是相同位置上的元素进行相应的运算。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新矩阵的运算。
对于两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB。
矩阵乘法的运算规则是矩阵A的行与矩阵B的列进行相乘，并将结果相加得到新矩阵的对应位置上的元素。
4. 矩阵的逆矩阵的逆是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
如果一个矩阵A存在逆矩阵，则称其为可逆矩阵或非奇异矩阵。
求解矩阵的逆可以使用伴随矩阵和行列式的方法。
5. 线性方程组的求解线性方程组是指由一组线性方程组成的方程组。
求解线性方程组的方法有很多，包括高斯消元法、LU分解法、迭代法等。
其中，高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，它通过消元和回代的过程，将线性方程组转化为上三角形矩阵或对角矩阵，从而求解出方程组的解。
6. 数值积分的方法数值积分是指通过数值计算的方法来求解定积分的近似值。
常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。
这些方法都是基于将定积分转化为离散求和的形式，通过计算离散点上的函数值来估计定积分的近似值。
计算方法习题及答案
第一章 绪论一.填空题1.*x 为精确值x 的近似值；()**x f y=为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***rx x e x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅ ()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取1.73≈（三位有效数字），则-211.73 10 2≤⨯。
4、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。
5、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。
6、已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.000021 .7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。
9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。
10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n 二、计算题1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形水池的长为L ，宽为W,深为H ，则该水池的面积为V=LWH当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为()()()()()()()=V V VV L W H L W HWH L HL W LW H ∂∂∂∆≈∆+∆+∆∂∂∂∆+∆+∆ 相对误差可估计为：()()r V V V∆∆=而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足()()()0.01,0.01,0.01L W H ∆≤∆≤∆≤故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为()()()()()()325*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.501.1*1025000r V WH L HL W LW H V V V -∆≤∆+∆+∆≤++=∆∆=≤=2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若()()**0.1 0.1a a b b -≤-≤米，米试求其面积的绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形的面积为s=ab当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2) 此时，该近似值的绝对误差可估计为()()()()()=b s ss a b a ba ab ∂∂∆≈∆+∆∂∂∆+∆ 相对误差可估计为：()()r s s s∆∆=而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足()()0.1,0.1a b ∆≤∆≤故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为()()()()() 80*0.1110*0.119.019.00.0021598800r s b a a b s s s ∆≤∆+∆≤+=∆∆=≤= 绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。
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《计算方法》练习题一一、填空题1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ ）。
2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ）。
3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （ ）。
4．乘幂法是求实方阵（ ）特征值与特征向量的迭代法。
5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。
6． 71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（ ）。
7．用辛卜生公式计算积分⎰≈+101x dx（ ）。
8．设)()1()1(--=k ij k a A第k 列主元为)1(-k pk a ，则=-)1(k pka （ ）。
9．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2415A ，则=1A （ ）。
10．已知迭代法：),1,0(),(1 ==+n x x n n ϕ 收敛，则)(x ϕ'满足条件（ ）。
二、单选题1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（ ）。
A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ ）。
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ ）． Ａ．2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（ ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ ）.A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o 6．近似数21047820.0⨯=a 的误差限是（ ）。
Ａ．51021-⨯ Ｂ．41021-⨯ Ｃ．31021-⨯ Ｄ．21021-⨯ 7．矩阵Ａ满足（ ）,则存在三角分解A=LR 。
A ．0det ≠A Ｂ． )1(0det n k A k <≤≠ Ｃ．0det >A Ｄ．0det <A8．已知Tx )5,3,1(--=，则=1x（ ）。
Ａ．９ Ｂ．５ Ｃ．－３ Ｄ．－５ 9．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((53x P x P （ ）。
Ａ．52 Ｂ．72 Ｃ．92 Ｄ．112三、计算题1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x 的最小二乘解。
2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰211dx x，并估计误差。
3．用列主元消元法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++426453426352321321321x x x x x x x x x 。
4．用雅可比迭代法解方程组：（求出)1(x）。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----131410*********x x x 5．用切线法求0143=+-x x 最小正根（求出1x ）。
6．已知)(x f 数表：求抛物插值多项式，并求)5.0(f 近似值。
7．已知数表：求最小二乘一次式。
8．已知求积公式：)21()0()21()(21110f A f A f A dx x f ++-≈⎰-。
求210,,A A A ，使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。
9．用乘幂法求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=410131014A 的按模最大特征值与特征向量。
10．用予估－校正法求初值问题：⎩⎨⎧=-='1)0(2y yx y 在4.0)2.0(0=x 处的解。
四、证明题 1．证明：若)(x f ''存在，则线性插值余项为：1010),)((!2)()(x x x x x x f x R <<--''=ξξ。
2. 对初值问题：⎩⎨⎧=-='1)0(10y yy ，当2.00≤<h 时，欧拉法绝对稳定。
3．设)(A ρ是实方阵Ａ的谱半径，证明：A A ≤)(ρ。
4．证明：计算)0(>a a 的单点弦法迭代公式为：nn n x c acx x ++=+1， ,1,0=n 。
《计算方法》练习题二一、填空题1．近似数30.6350010a =⨯的误差限是（ ）。
2．设|x|>>1,=（ ）,计算更准确。
3．用列主元消元法解：121223224x x x x +=⎧⎨+=⎩，经消元后的第二个方程是（ ）。
4．用高斯—赛德尔迭代法解4阶方程组，则(1)3m x += ( )。
5．已知在有根区间[a,b]上,'(),''()f x f x 连续且大于零，则取0x 满足（ ），则切线法收敛。
6．已知误差限(),(),a b εε则()ab ε=（ ）。
7．用辛卜生公式计算积分102dxx ≈+⎰（ ）。
8．若T A A =。
用改进平方根法解Ax b =，则jk l =（ ）。
9．当系数阵A 是( )矩阵时，则雅可比法与高斯—赛德尔法都收敛。
10．若12λλ=-，且)3(1≥>i i λλ，则用乘幂法计算1λ≈（ ）。
二、选择题1．已知近似数a 的()10/0r a ε=，则3()r a ε=（ ）。
A. 10/0B. 20/0C. 30/0D. 40/0 2．设{()}K T X 为切比雪夫多项式，则22(().())T X T X =（ ）。
A.0 B 4π. C.2πD. π 3．对6436A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦直接作三角分解，则22r =（ ）。
A. 5 B. 4 C.3 D. 2 4．已知A=D-L-U ，则雅可比迭代矩阵B=（ ）。
A. 1()D L U -+ B. 1()D L U -- C. 1()D L U -- D. 1()D U L -- 5．设双点弦法收敛，则它具有（ ）敛速。
A. 线性B.超线性C.平方D. 三次 6． 41424.12=,则近似值107的精确数位是（ ）。
A. 110- B. 210- C. 310- D. 410- 7．若111221221042,1024r r l r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则有22r =（ ）。
A. 2 B. 3 C.4 D. 08．若4114A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则化A 为对角阵的平面旋转角θ=（ ）。
A.2π B.3π C.4π D. 6π9．改进欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。
A.[-3，0]B. [-2.78，0]C. [2.51，0]D. [-2，0]三、计算题1． 已知()f x 数表用插值法求()0f x =在[0，2]的根。
2．已知数表求最小二乘一次式。
3．用n=4的复化辛卜生公式计算积分102dxx +⎰，并估计误差。
4．用雅可比法求310130003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的全部特征值与特征向量。
5．用欧拉法求初值问题'2(0)1y x yy =+⎧⎨=⎩在x=0(0.1)0.2处的解。
6 已知函数表:求埃尔米特差值多项式)(x H 及其余项。
7．求3()f x x =在[-1，1]上的最佳平方逼近一次式。
8．求积公式:110()(0)(),f x dx Af Bf x ≈+⎰试求1x ，A ，B ，使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。
9．用双点弦法求3520x x -+=的最小正根（求出2x ）。
10．用欧拉法求初值问题：'(0)1y x yy =-⎧⎨=⎩在x=0(0.1)0.2处的解。
四、证明题1． 证明：A B A B -≤-。
2.的切线法迭代公式为：141(4),0,1,...5n n nax x n x +=+= 3．设0(),...,()n l x l x 为插值基函数，证明：()1nk k l x ==∑。
4．若1B <。
证明迭代法：(1)()()21,0,1, (33)m m m x x Bx b m +=++= 收敛。
《计算方法》练习题一答案一．填空题1．210- 2．))((!2)(b x a x f --''ξ ３．52４．按模最大 ５．]0,2[-6．21102-⨯，7.， 8.21x =，9.())(434)1(232)1(1313331m m m x a x a x a b a ---++ , 10.0()0f x >二．单选题１．Ｃ ２．Ａ ３．Ｃ ４．Ｂ ５．Ｃ6．C 7．D 8．B 9．B三．计算题１．22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ，由0,021=∂∂=∂∂x x ϕϕ得：⎩⎨⎧=+=+9629232121x x x x ， 解得149,71821==x x 。
２．⎰≈++++≈21697.0]217868581[81x dx ，9611612)(2=⨯≤M x R 。
３．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1142242644223214264426453426352回代得：Tx )1,1,1(-=４．因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。
雅可比迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+=+++ ,1,0,)1(41)3(41)1(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m 。
取T x )1,1,1()0(=计算得： T x)5.0,25.1,5.0()1(=。
5.因为0875.0)5.0(,01)0(<-=>=f f ，所以]5.0,0[*∈x ，在]5.0,0[上，06)(,043)(2≥=''<-='x x f x x f 。
由0)()(0≥''x f x f ，选00=x ，由迭代公式：,1,0,4314231=-+--=+n x x x x x n n n n n 计算得：25.01=x 。
6．利用反插值法得211(0)(0)(04)(04)(02) 1.75224f N ==⨯+-⨯++=7． 由方程组：01014648614102a a a a +=⎧⎨+=⎩，解得：013,6a a ==，所以x x g 63)(*1+=。
8．10118881[]0.4062282910113dx I x =≈++++≈+⎰， 21|()|0.001321216768M R f ≤=≈⨯ 。
9．因为2211123,1,4a a a πθ====1002222310400013000302222003002001001A⎡⎤⎤-⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以：1122334,223,(0,1,0)2,(TTTXXXλλλ======10．应用欧拉法计算公式：nnnyxy1.12.01+=+，1,0=n，1=y。