算法案例1-辗转相除法

思考:该程序框图和的程序如何表述？
开始
输入m，n
INPUT m，n DO
求m除以n的余数r
m=n
n=r r=0？ 否
是 输出m
r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m
END
结束
知识探究（二）:更相减损术
思考1:设两个正整数m>n，若m-n=k，则m 与n的最大公约数和n与k的最大公约数相 等.反复利用这个原理，可求得98与63的 最大公约数为多少？
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出 两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的 最大公约数的最大公约数即为所求。
小结
比较辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗 转相除法以除法为主，更相减损术以减法为 主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较 少，特别当两个数字大小区别较大时计算次 数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体 现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损 术则以减数与差相等而得到。
复习引入
1、MOD \ 表示什么意思？ a MOD b a\b (a b 是正整数)
a=b*q+r (0<=r<b)
2、求 18与30的最大公约数。
先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所 得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即 为最大公约数.
思考：
若求8251和6105的最大公约数呢？
（欧几里得算法）
显然37是148和 37的最大公约数， 也就是8251和 6105的最大公约 数
148=37×4+0
例：用辗转相除法求225和135的最大公约数
思考：能不能把辗转相除法设计成算法呢？
关键步骤是什么逻辑结构？
m =n×q＋r
用程序框图表示出右边的 过程
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
r=m MOD n m=n n=r
2146=1813×1+333 1813=333×5+148
r=0?
是
否
源自文库
333=148×2+37 148=37×4+0
思考 其算法步骤如何设计？
第一步，给定两个正整数m，n(m>n). 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m=n，n=r. 第四步，若r=0，则m，n的最大公约数 等 于m；否则，返回第二步.
思考题
1、用当型循环结构写出算法；
2、试写出更相减损术的算法程序；
3、试写出求两个正整数m、n的最小公倍数 的程序。
评价一个算法好坏的一个重要标志是 运算的次数，如果一个算法从理论上需 要超出计算机允许范围内的运算次数， 那么这样的算法就只能是一个理论算法. 在多项式求值的各种算法中，秦九韶算 法是一个优秀算法.
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所 得的差与较小的数比较，并以大数减小数。 继续这个操作，直到所得的减数和差相等为 止，则这个等数就是所求的最大公约数。
练习：
1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数 思路分析：先约简，再求21与18的最大公 约数,然后乘以两次约简的质因数4。
2、求324、243、135这三个数的最大公约数。
8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 2146=1813×1+333， 1813=333×5+148， 333=148×2+37， 148=37×4+0.
完整的过程 8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813 辗转相除法
2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37
1.3 算法案例
第一课时
问题提出
t
p


1 2

5730
1.研究一个实际问题的算法，主要从 算法步骤、程序框图和编写程序三方面 展开.在程序框图中算法的基本逻辑结构 有哪几种？在程序设计中基本的算法语 句有哪几种？
2.“求两个正整数的最大公约数” 是数学中的一个基础性问题，它有各种 解决办法，我们以此为案例，对该问题 的算法作一些探究.
注意到 8251=6105×1+2146
那么8251和6105这两个数的公约数和 6105与2146的公约数有什么关系？
思考:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
98-63=35， 63-35=28， 35-28=7， 28-7=21， 21-7=14， 14-7=7.
二、更相减损术
（1）、《九章算术》中的更相减损术： 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，
以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
（2）、现代数学中的更相减损术：
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是 否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则 执行第二步。