辗转相除法
高等代数辗转相除法
高等代数辗转相除法
高等代数辗转相除法是一种解决多项式问题的基本方法，也称为欧几里得算法或辗转相除法，其基本思想是将两个多项式进行除法运算，不断用余数作为被除数进行下一次除法运算，直到余数为0为止。
其本质是在寻找多项式的最大公因子，可以用于求解多项式的因式分解、求解方程组等问题。
辗转相除法的具体步骤如下：
1. 将两个多项式按照同一变量的次数从高到低排列，保证次数最高的项在最前面。
2. 用较小的多项式去除较大的多项式，得到商和余数。
3. 将余数和除数交换位置，重复以上步骤，直到余数为0为止。
4. 此时被除数即为最大公因子。
辗转相除法的优点在于简单易懂，而且可以适用于任何多项式，但是其缺点是效率较低，在大规模计算时不太实用。
因此，在实际应用中，需要结合其他方法来解决问题。
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辗转相除法
辗转相除法实验报告
一、实验目的1. 理解辗转相除法的原理。
2. 掌握使用辗转相除法求解两个正整数最大公约数的方法。
3. 通过实验加深对数学理论知识的理解。
二、实验原理辗转相除法，也称欧几里得算法，是一种用于求两个正整数a和b（a>b）的最大公约数（GCD）的算法。
其基本原理是：用较大数a除以较小数b，得到余数r1，再用b除以r1，得到余数r2，如此重复，直到余数为0，此时的除数即为最大公约数。
三、实验器材1. 计算机2. 编程软件（如Python、C++等）3. 笔记本四、实验步骤1. 输入两个正整数a和b：确保a>b，否则交换a和b的值。
2. 初始化余数r为a。
3. 循环执行以下步骤：a. 计算r除以b的余数，赋值给r。
b. 如果r等于0，则b即为最大公约数，结束循环。
c. 如果r不等于0，则将b赋值给r，b赋值给新的临时变量。
4. 输出最大公约数。
五、实验代码（Python）```pythondef gcd(a, b):while b != 0:r = a % ba = bb = rreturn a# 输入两个正整数a = int(input("请输入第一个正整数a："))b = int(input("请输入第二个正整数b（a>b）："))# 调用gcd函数计算最大公约数result = gcd(a, b)# 输出结果print("最大公约数为：", result)```六、实验结果与分析1. 当输入a=56，b=48时，程序输出最大公约数为8。
2. 当输入a=100，b=50时，程序输出最大公约数为50。
3. 当输入a=101，b=102时，程序输出最大公约数为1。
通过实验，我们可以看到辗转相除法能够快速且准确地计算出两个正整数的最大公约数。
该算法在数学领域有着广泛的应用，如密码学、计算机科学等。
七、实验总结本次实验让我们深入理解了辗转相除法的原理，并掌握了使用Python编程实现该算法的方法。
辗转相除法 百科
辗转相除法百科
辗转相除法，也称为欧几里得算法，是一种用于计算两个非负整数最大公约数的方法。
它的计算公式为gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)，即两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数相除余数的最大公约数。
这个算法在数学和计算机领域都有广泛的应用，并且可以使用多种编程语言实现。
此外，辗转相除法还可以用于多项式中，通过多次利用带余除法计算两个多项式的最大公因式。
对于多项式f(x)和g(x)，如果存在一个多项式q(x)和r(x)，使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)，那么f(x)和g(x)与g(x)和r(x)有相同的公因式。
以上内容仅供参考，建议查阅专业的数学书籍获取更全面和准确的信息。
辗转相除法及其原理
辗转相除法及其原理辗转相除法是⼀种⽤于计算两个整数最⼤公约数的算法，核⼼是运⽤了 gcd( a, b ) = gcd( b, a mod b ) 这⼀公式（其中 b != 0 ）在详细介绍辗转相除法之前我想先介绍⼏个概念但如果你仅想观看代码，那么请点击如果你仅想了解 gcd( a, b ) = gcd( b, a % b ) 的证明，请点击整除对于整数 a 和整数 b（ b ≠ 0 ），若存在整数 q，使得 a = q * b，那么称 a 能被 b 整除例如 14 = 2 * 7，那么 14 能被 7 整除约数与倍数若整数 a 能够被整数b整除，则称 b 是 a 的约数（因数），a 是 b 的倍数例如 14 能够被 7 整除，那么 7 就是 14 的约数，14 就是 7 的倍数公约数若整数 d 既是整数 a 的约数，也是整数 b 的约数，那么 d 是 a, b 的公约数例如 7 即是 14 的约数，也是 21 的约数，那么 7 是 14 与 21 的公约数最⼤公约数公约数中最⼤的整数便称为最⼤公约数，整数 a 与整数 b 的最⼤公约数记为 gcd( a, b )，也记为 ( a, b )例如 14 与 21 的公约数有 { ±1，±7 }，其中整数 7 是最⼤的公约数，那么 gcd( 14, 21 ) = 7辗转相除法这⾥先给出⼏个定理，证明过程最后再叙述① gcd( a, b ) = gcd( b, a )② gcd( a, b ) = gcd( |a|, |b| )③ gcd( a, 0 ) = |a|, 其中 a ≠ 0， 即 0 和任意整数 a 的最⼤公约数均为 |a|④ 设 a, b, c, q 是四个整数，若有 a = q * b + c，则 gcd( a, b ) = gcd( b, c )通俗地说，若 c 是 a 除以 b 的余数，那么 a 和 b 的最⼤公约数等于 b 和 c 的最⼤公约数有了上述那些定理，我们便有了求两个数最⼤公约数的⽅法：例如求 15 和 21 的最⼤公约数我们知道，15 的约数有 { ±1，±3，±5，±15 }，21 的约数有 { ±1，±3，±7，±21 }那么 15 和 21 的公约数为 { ±1，±3 }，最⼤公约数是 3，即 gcd( 15, 21 ) = 3运⽤之前提到过的那些定理我们发现 15 = 0 * 21 + 15, 那么 gcd( 15, 21 ) = gcd( 21, 15 )⼜ 21 = 1 * 15 + 6 , 那么 gcd( 21, 15 ) = gcd( 15, 6 )⼜ 15 = 2 * 6 + 3，那么 gcd( 15, 6 ) = gcd( 6, 3 )⼜ 6 = 2 * 3 + 0，那么 gcd( 6, 3 ) = gcd( 3, 0 )⼜ gcd(3, 0 ) = 3，故 gcd( 15, 21 ) = 3总结⼀下，求整数 a 和整数 b 的最⼤公约数的⽅法取整数 a 和整数 b 的绝对值if b 的值为 0gcd( a, b ) = aelsegcd( a, b ) = gcd( b, a mod b )代码（c语⾔）/*求a与b的最⼤公约数递归*/int gcd(int a,int b){//a和b同时为0时⽆法求出最⼤公约数if(a==0 && b==0) return -1;if(a<0) a=-a;if(b<0) b=-b;if(b==0) return a;else return gcd(b,a%b);}/*求a与b的最⼤公约数⾮递归*/int gcd(int a,int b){//a和b同时为0时⽆法求出最⼤公约数if(a==0 && b==0) return -1;if(a<0) a=-a;if(b<0) b=-b;int c;while(b!=0){c=a%b;//求余数a=b;b=c;}return a;}定理证明① gcd( a, b ) = gcd( b, a )设整数 a 的因数为 { ±a1, ±a2, …, ±a n }，整数 b 的因数为 { ±b1, ±b2, …, ±b m }最⼤公约数是两约数集合交集中的最⼤项，与集合顺序⽆关故 gcd( a, b ) = gcd( b, a )② gcd( a, b ) = gcd( |a|, |b| )设整数 a 的约数为 { ±a1, ±a2, …, ±a n }，则对任意整数 i（ 1 ≤ i ≤ n ），存在整数 q，使 a = q * a i ⽽ -a = (-q) * a i，故 a 的约数均为 -a 的约数，同样地， -a 的约数也为 a 的约数故 a, -a, |a| 的约数集合相同，同理 b, -b, |b| 的约数集合也相同⽽最⼤公约数是两约数集合的交集中的最⼤项，故 gcd( a, b ) = gcd( |a|, |b| )③ gcd( a, 0 ) = |a|, 其中 a ≠ 0因为 a 的最⼤约数是 |a|⽽任意⾮ 0 整数都是 0 的约数，即 0 = 0 * n（ n ≠ 0 ）故 gcd( a, 0 ) = |a|④设 a, b, c, q 为四个整数，若有 a = q * b + c，则 gcd( a, b ) = gcd( b, c )（Ⅰ）设 d’ = gcd( a, b )，d” = gcd( b, c )故有整数 q1, q2, 使得 a = q1 * d’，b = q2 * d’将上⾯两式代⼊ a = q * b + c 有c = a - q * b = q1 * d’ - q * q2 * d’ = ( q1 - q * q2 ) * d’因为 q, q1, q2 均是整数，故 c 能被 d’ 整除，故 d’ 也是 c的约数故 d’ 也是 b 与 c 的公约数，即有 d’ ≤ gcd( b, c ) = d”（Ⅱ）同理有整数 q3, q4，使得 b = q3 * d”, c = q4 * d”将上⾯两式代⼊ a = q * b + c 有a = q * q3 * d” + q4 * d” = ( q * q3 + q4 ) * d”因为 q, q3, q4 均是整数，故 a 能被 d” 整除，故 d” 也是 a 的约数故 d” 也是 a 和 b 的公约数，即有 d” ≤ gcd( a, b ) = d’（Ⅲ）由上述知 d’ ≤ d” 且 d” ≤ d’故 d’ = d”，即 gcd( a, b ) = gcd( b, c )证毕。
展转相除法
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。
证毕。
编辑本段
算法
自然语言描述
辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：
1. 若 r 是 a ÷ b 的余数，则
gcd(a,b) = gcd(b,r)
2. a 和其倍数之最大公因子为 a。
scanf("%u%u",&m,&n);
printf("%u与%u的最大公约数为：%u\n",m,n,gcd ( m,n ) );
return 0;
}
/* 功能：返回正整数m和n的最大公约数*/
unsigned gcd ( unsigned m,unsigned n )
else
return a；
}
C语言实现
/*题目：输入两个正整数，求其最大公约数。*/
#include <stdio.h>
unsigned gcd ( unsigned,unsigned ) ;
int main( void )
{
unsigned m,n;
printf("请输入两个正整数：");
辗转相除法最早出现在欧几里得的几何原本中（大约公元前300年），所以它是现在仍在使用的算法中最早出现的。这个算法原先只用来处理自然数，但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的数，如高斯整数和一元多项式。自此，现代抽象代数概念如欧几里得整环开始出现。后来，辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式。
辗转相除法
3．辗转相除法
3.1.1. 方法介绍：
辗转相除法，又叫做欧几里德除法，是求最大公约数的另一种方法。
具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。
如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。
3.1.2 辗转相除法的算理是根据：
在a=bq+r中，除数b和余数r能被同一个数整除，那么被除数a也能被这个数整除。
或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数；如果反过来说，被除数与除数的最大公约数，就是除数与余数的最大公约数。
3.1.3. 用辗转相除法计算两个数的最大公约数。
用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数，再用第一个余数除小的一个数，得到第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数，这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。
那么最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的余数是1，那么原来的两个数互质）。
例. 求792和1134的最大公约数。
1134÷792=1 (342)
792÷342=2 (108)
342÷108=3 (18)
108÷18=6 （没有余数）
∴（792，1134）= 18
用辗转相除法在短除计算两个数的最大公约数有困难的时候，效果尤其显著。
因式分解辗转相除法
因式分解辗转相除法因式分解是数学中的一个重要概念，而辗转相除法则是求解因式分解的一种常用方法。
在本文中，我们将详细介绍因式分解和辗转相除法的相关知识。
一、因式分解的概念在代数学中，因式分解是将一个多项式或整数分解为不可再分解的乘积的过程。
多项式的因式分解是将其写成多个因子相乘的形式，而整数的因式分解则是将其写成质因数的乘积的形式。
因式分解是代数学中的基本操作，它有助于简化计算和解决问题。
二、辗转相除法的概念辗转相除法，又称为欧几里德算法，是求解最大公约数的一种常用方法。
它利用了两个整数的除法和余数的关系，通过反复进行除法运算，直到余数为零，从而得到最大公约数。
辗转相除法可以应用于整数、多项式和有理数等不同的数学领域。
三、整数的因式分解与辗转相除法的关系在整数的因式分解中，辗转相除法常常被用来求解最大公约数。
通过辗转相除法，我们可以将一个整数分解为若干个质因数的乘积。
具体步骤如下：1. 首先，我们找到该整数的一个质因数；2. 然后，将该质因数除去，得到一个较小的整数；3. 对较小的整数继续进行相同的操作，直到无法再分解为质因数为止；4. 最后，将所有的质因数乘在一起，即得到了该整数的因式分解。
例如，对于整数60，我们可以通过辗转相除法将其分解为2 * 2 * 3 * 5。
这个过程中，我们先找到了整数60的一个质因数2，然后将60除以2，得到30；接着，我们再次将30除以2，得到15；再将15除以3，得到5；最后，我们将5除以5，得到1。
这样，我们便得到了整数60的因式分解。
四、多项式的因式分解与辗转相除法的关系在多项式的因式分解中，辗转相除法同样可以起到重要的作用。
通过辗转相除法，我们可以将一个多项式分解为多个因子的乘积。
具体步骤如下：1. 首先，我们找到多项式的一个因子；2. 然后，将该因子除去，得到一个较低次数的多项式；3. 对较低次数的多项式继续进行相同的操作，直到无法再分解为因子为止；4. 最后，将所有的因子乘在一起，即得到了多项式的因式分解。
辗转相除法 c
辗转相除法 c
辗转相除法，也称为欧几里得算法，是一种求两个正整数最大公约数的方法。
它的基本思想是，用较大的数去除较小的数，再用余数去除除数，如此反复，直到余数为零为止。
此时，除数就是两个数的最大公约数。
辗转相除法的步骤如下：
1. 用较大的数除以较小的数，得到余数r。
2. 如果r等于0，则较小的数就是最大公约数。
3. 如果r不等于0，则用较小的数去除r，得到余数r1。
4. 如果r1等于0，则r就是最大公约数。
5. 如果r1不等于0，则继续用r去除r1，得到余数r2。
6. 重复上述步骤，直到余数为0为止。
辗转相除法的时间复杂度为O(logn)，其中n为两个数中较大的那个
数。
因此，辗转相除法是一种高效的求最大公约数的方法。
下面是一个求最大公约数的例子：
假设要求36和48的最大公约数。
首先用48除以36，得到余数12。
然后用36除以12，得到余数0。
因此，36和48的最大公约数为12。
总之，辗转相除法是一种简单而高效的求最大公约数的方法，它可以用于解决很多实际问题，如分数化简、约分、比例等。
辗转相除法几何解释
辗转相除法几何解释
辗转相除法是一种用于求解两个整数最大公约数的算法。
该算法基于一个简单的原理：两个整数的最大公约数是其中较小数除以较大数的余数与较大数的最大公约数相等。
我们可以用几何方法来解释辗转相除法。
假设我们有两条长度不同的线段，我们想找
到它们的最大公约数。
我们可以将这两条线段视为两条等长的梯形，并将其中一条梯形放
在另一条梯形的上方。
然后，我们不断将上方梯形中多余的部分切除，直到上方梯形与下方梯形完全重叠。
这样，我们就找到了两条线段的最大公约数。
以实际的数值为例，假设我们要求解的两个整数分别为36和48。
我们可以先将它们
转换为长度为36和48的线段。
然后，我们将长度为48的线段放在长度为36的线段上方。
我们发现，长度为48的线段可以被切成1段长度为36的部分和1段长度为12的部分。
然后，我们将剩余的长度为12的线段放在长度为36的线段上方。
再次进行相同的操作，我们可以将长度为12的线段切割成3段长度为36的部分和1
段长度为0的部分。
此时，我们发现两条线段完全重叠，长度为0的线段意味着两条线段
的最大公约数为36。
通过这个例子，我们可以看到辗转相除法的几何解释是通过不断切割多余的部分，直
到两条线段完全重叠，从而找到它们的最大公约数。
这种方法可以扩展到任意两个整数，
因此辗转相除法是一种非常有效的求解最大公约数的方法。
辗转相除找公约数的原理
辗转相除找公约数的原理
辗转相除法，也称欧几里得算法，是一种求最大公约数的算法。
该算法基于如下定理：
定理：两个整数a，b（a>b）的最大公约数等于b和a%b（余数）的最大公约数。
例如，求48和18的最大公约数，可以按照下面的步骤进行：
48÷18=2·12
18÷12=1·6
12÷6 =2·0
因为最后的余数为0，所以6是48和18的最大公约数。
可以看到，在每一步中，我们都是将较大的数除以较小的数，并得到一个余数，然后将较小的数和余数作为新的两个数继续进行相同的操作，直到余数为0为止。
最终得到的较小的数就是原来两个数的最大公约数。
这个算法的原理可以用数学归纳法证明。
具体可以参考相关的数学教材和理论知
识。
辗转相除法
辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：
先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；
再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；
又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；
这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。
那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数）。
例如求1515和600的最大公约数，
第一次：用600除1515，商2余315；
第二次：用315除600，商1余285；
第三次：用285除315，商1余30；
第四次：用30除285，商9余15；
第五次：用15除30，商2余0。
1515和600的最大公约数是15。
辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。
如果求几个数的最大公约数，可以先求两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。
这样依次下去，直到最后一个数为止。
最后所得的一个最大公约数，就是所求的几个数的最大公约数。
辗转相除法求公约数
辗转相除法求公约数
辗转相除法是一种求两个数的最大公约数的方法，也称为欧几里得算法。
这种方法的基本思想是，用较大的数去除较小的数，再用余数去除除数，如此反复，直到余数为零为止。
最后的除数就是这两个数的最大公约数。
例如，求出48和60的最大公约数。
首先用60除以48，得到商1余12，然后用48除以12，得到商4余0。
因为余数为0，所以48和60的最大公约数就是12。
辗转相除法的原理是基于以下定理：对于任意两个正整数a和b，设r是a除以b的余数，那么a和b的最大公约数等于b和r的最大公约数。
这个定理可以用数学归纳法来证明。
辗转相除法的优点是简单易行，计算速度快。
但是，它的缺点是不够精确，有时会得到错误的结果。
例如，当两个数的差很小，或者其中一个数是另一个数的倍数时，辗转相除法可能会得到错误的结果。
为了避免这种情况，可以使用更精确的方法来求最大公约数，例如质因数分解法或欧拉算法。
质因数分解法是将两个数分别分解成质因数的乘积，然后找出它们的公共质因数，最后将这些质因数相乘即可得到最大公约数。
欧拉算法是一种基于欧拉函数的算法，它可以在较短的时间内求出两个数的最大公约数。
辗转相除法是一种简单易行的求最大公约数的方法，但是在某些情况下可能会得到错误的结果。
为了得到更精确的结果，可以使用其他方法来求最大公约数。
辗转相除法——精选推荐
辗转相除法⾃从转载了⼀⽂后，就想把这些算法⽐较详细地搞清楚，先拿辗转相除法开⼑了，谁让她最简单呢。
呵呵。
下⾯的⼤部分内容来⾃。
辗转相除法，⼜被称为欧⼏⾥德（Euclidean）算法，是求最⼤公约数的算法。
辗转相除法⾸次出现于的《》（第VII卷，命题i和ii）中，⽽在中国则可以追溯⾄东汉出现的《》。
两个数的最⼤公约数是指能同时整除它们的最⼤正整数。
辗转相除法的基本原理是：两个数的最⼤公约数等于它们中较⼩的数和两数之差的最⼤公约数。
例如，252和105的最⼤公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；因为252 − 105 = 147，所以147和105的最⼤公约数也是21。
在这个过程中，较⼤的数缩⼩了，所以继续进⾏同样的计算可以不断缩⼩这两个数直⾄其中⼀个变成零。
这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最⼤公约数。
由辗转相除法也可以推出，两数的最⼤公约数可以⽤两数的整数倍相加来表⽰，如21 = 5 × 105 + (−2) ×252。
这个重要的等式叫做贝祖等式（）。
辗转相除法法原先只⽤来处理⾃然数，但在19世纪，辗转相除法被推⼴⾄其他类型的数，如⾼斯整数和⼀元多项式。
另外，还被⽤来解决丢番图⽅程（）和构造连分数等。
算法描述 两个数a，b的最⼤公约数记为GCD(a,b)。
a，b的最⼤公约数是两个数的公共素因⼦的乘积。
如462可以分解成2 × 3 × 7 × 11；1071可以分解成3 × 3 × 7 × 17。
462和1071的最⼤公约数等于它们共有的素因数的乘积3 × 7 = 21。
如果两数没有公共的素因数，那么它们的最⼤公约数是1，也即这两个数互素，即GCD(a,b)=1。
另g=GCD(a,b)，则a=mg, b=ng，其中m，n均为正整数。
由上述分析可知，m，n互素。
短除法 辗转相除法
短除法辗转相除法
短除法和辗转相除法是求取最大公约数的两种算法。
短除法是一种数学运算，通常用于求两个正整数的最大公约数。
它首先找到两个数的所有公因数，然后计算出这些公因数的最小公倍数，这个最小公倍数就是两个数的最大公约数。
辗转相除法（又称欧几里得算法）是一种求最大公约数的算法。
其基本原理是：两个数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。
这种方法只需要进行有限次的运算就可以得到结果。
这两种方法都可以有效地求取最大公约数，但在实际应用中，辗转相除法更为常用。
欧几里德算法又称辗转相除法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最大公约数。
其计算原理依赖于下面的定理：定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r因此d是(b,a mod b)的公约数假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b ， d |r ，但是a = kb +r因此d也是(a,b)的公约数因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证[编辑本段]欧几里得算法原理Lemma 1.3.1 若a, b 且 a = bh + r, 其中h, r , 则gcd(a, b) = gcd(b, r).证明. 假设d1 = gcd(a, b) 且d2 = gcd(b, r). 我们证明d1| d2 且d2| d 1, 因而可利用Proposition 1.1.3(2) 以及d1, d2 皆为正数得证d1 = d2.因d1| a 且d1| b 利用Corollary 1.1.2 我们知d1| a - bh = r. 因为d1| b, d1| r 且d2 = gcd(b, r) 故由Proposition 1.2.5 知d1| d2. 另一方面, 因为d2| b 且d2| r 故d2| bh + r = a. 因此可得d2| d1.Lemma 1.3.1 告诉我们当 a > b > 0 时, 要求a, b 的最大公因数我们可以先将 a 除以 b 所得馀数若为r, 则a, b 的最大公因数等於 b 和r 的最大公因数. 因为0r < b < a, 所以当然把计算简化了. 接著我们就来看看辗转相除法. 由於gcd(a, b) = gcd(- a, b) 所以我们只要考虑a, b 都是正整数的情况.Theorem 1.3.2 (The Euclidean Algorithm) 假设a, b 且 a > b. 由除法原理我们知存在h0, r0 使得a = bh0 + r0, 其中0r0 < b.若r0 > 0, 则存在h1, r1 使得b = r0h1 + r1, 其中0r1 < r0.若r1 > 0, 则存在h2, r2 使得r0 = r1h2 + r2, 其中0r2 < r1.如此继续下去直到rn = 0 为止. 若n = 0 (即r0 = 0), 则gcd(a, b) = b.若n1, 则gcd(a, b) = rn - 1.证明. 首先注意若r0 0, 由於r0 > r1 > r2 > ... 是严格递减的, 因为r0 和0 之间最多仅能插入r0 - 1 个正整数, 所以我们知道一定会有nr0 使得rn = 0.若r0 = 0, 即 a = bh0, 故知 b 为 a 之因数, 得证 b 为a, b 的最大公因数. 若r0 > 0, 则由Lemma 1.3.1 知gcd(a, b) = gcd(b, r0) = gcd(r0, r1) = ... = gcd(rn - 1, rn) = gcd(rn - 1, 0) = rn - 1.现在我们来看用辗转相除法求最大公因数的例子Example 1.3.3 我们求 a = 481 和 b = 221 的最大公因数. 首先由除法原理得481 = 2 . 221 + 39, 知r0 = 39. 因此再考虑 b = 221 除以r0 = 39 得221 = 5 . 39 + 26, 知r1 = 26. 再以r0 = 39 除以r1 = 26 得39 = 1 . 2 6 + 13, 知r2 = 13. 最后因为r2 = 13 整除r1 = 26 知r3 = 0, 故由Theore m 1.3.2 知gcd(481, 221) = r2 = 13.在利用辗转相除法求最大公因数时, 大家不必真的求到rn = 0. 例如在上例中可看出r0 = 39 和r1 = 26 的最大公因数是13, 利用Lemma 1.3.1 马上得知gcd(a, b) = 13.在上一节Corollary 1.2.5 告诉我们若gcd(a, b) = d, 则存在m, n 使得 d = ma + nb. 当时我们没有提到如何找到此m, n. 现在我们利用辗转相除法来介绍一个找到m, n 的方法. 我们沿用Theorem 1.3.2 的符号. 首先看r0 = 0 的情形, 此时 d = gcd(a, b) = b 所以若令m = 0, n = 1, 则我们有 d = b = ma + nb. 当r0 0 但r1 = 0 时, 我们知 d = gcd(a, b) = r0. 故利用 a = bh0 + r0 知, 若令m = 1, n = - h0, 则 d = r0 = ma + nb. 同理若r0 0, r1 0 但r 2 = 0, 则知 d = gcd(a, b) = r1. 故利用 a = bh0 + r0 以及 b = r0h1 + r1知r1 = b - r0h1 = b - (a - bh0)h1 = - h1a + (1 + h0h1)b.因此若令m = - h1 且n = 1 + h0h1, 则 d = r1 = ma + nb. 依照此法, 当r0, r1 和r2 皆不为0 时, 由於 d = gcd(a, b) = rn - 1 故由rn - 3 = rn - 2hn - 1 + rn - 1 知 d = rn - 3 - hn - 1rn - 2. 利用前面推导方式我们知存在m1, m2, n1, n2 使得rn - 3 = m1a + n1b 且rn - 2 = m2a + n2b 故代入得d = (m1a + n1b) - hn - 1(m2a + n2b) = (m1 - hn - 1m2)a + (n1 - hn - 1n2)b.因此若令m = m1 - hn - 1m2 且n = n1 - hn - 1n2, 则 d = ma + nb.上面的说明看似好像当r0 0 时对每一个i {0, 1,..., n - 2} 要先将ri 写成r i = mia + nib, 最后才可将 d = rn - 1 写成ma + nb 的形式. 其实这只是论证时的方便, 在实际操作时我们其实是将每个ri 写成mi'ri - 2 + ni'ri - 1 的形式慢慢逆推回 d = ma + nb. 请看以下的例子.Example 1.3.4 我们试著利用Example 1.3.3 所得结果找到m, n 使得13 = gcd(481, 221) = 481m + 221n. 首先我们有13 = r2 = 39 - 26 = r0 - r1. 而r1 = 221 - 5 . 39 = b - 5r0, 故得13 = r0 - (b - 5r0) = 6r0 - b. 再由r 0 = 481 - 2 . 221 = a - 2b, 得知13 = 6(a - 2b) - b = 6a - 13b. 故得m = 6 且n = - 13 会满足13 = 481m + 221n.要注意这里找到的m, n 并不会是唯一满足 d = ma + nb 的一组解. 虽然上面的推演过程好像会只有一组解, 不过只能说是用上面的方法会得到一组解, 并不能担保可找到所有的解. 比方说若令m' = m + b, n' = n - a, 则m'a + n'b = (m + b)a + (n - a)b = ma + nb = d. 所以m', n' 也会是另一组解. 所以以后当要探讨唯一性时, 若没有充分的理由千万不能说由前面的推导过程看出是唯一的就断言是唯一. 一般的作法是假设你有两组解, 再利用这两组解所共同满足的式子找到两者之间的关系. 我们看看以下的作法.Proposition 1.3.5 假设a, b 且 d = gcd(a, b). 若x = m0, y = n0 是 d = ax + by 的一组整数解, 则对任意t , x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 皆为 d = ax + by 的一组整数解, 而且 d = ax + by 的所有整数解必为x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 其中t 这样的形式.证明. 假设x = m, y = n 是 d = ax + by 的一组解. 由於已假设x = m 0, y = n0 也是一组解, 故得am + bn = am0 + bn0. 也就是说a(m - m0) = b(n0 - n). 由于 d = gcd(a, b), 我们可以假设 a = a'd, b = b'd 其中a', b' 且gcd(a', b') = 1 (参见Corollary 1.2.3). 因此得a'(m - m0) = b'(n0 - n). 利用b'| a'(m - m0), gcd(a', b') = 1 以及Proposition 1.2.7(1) 得b'| m - m0. 也就是说存在t 使得m - m0 = b't. 故知m = m0 + b't = m0 + bt/d. 将m = m0 + bt/d 代回am + bn = am0 + bn0 可得n = n0 - at/d, 因此得证 d = a x + by 的整数解都是x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 其中t 这样的形式. 最后我们仅要确认对任意t , x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 皆为 d = ax + by 的一组整数解. 然而将x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 代入ax + by 得a(m0 +bt/d )+ b(n0 - at/d )= am0 + bn0 = d, 故得证本定理.利用Proposition 1.3.5 我们就可利用Example 1.3.4 找到13 = 481x + 2 21y 的一组整数解x = 6, y = - 13 得到x = 6 + 17t, y = - 13 - 37t 其中t 是13 = 481x + 221y 所有的整数解.[编辑本段]欧几里得算法设计辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：1. 若r 是 a ÷b 的余数, 则gcd(a,b) = gcd(b,r)2. a 和其倍数之最大公因子为a。
辗转相除法
辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至3000年前。
例如：
展开编辑本段简介 辗转相除法的演示动画
在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法，是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。
else { return gcd ( n,m % n) ; }
}
Basic实现
INPUT m,n DO r=mMODn m=n n=r LOOP UNTILr=0 PRINT m END
Pascal实现
辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的： 1. 若 r 是 a ÷ b 的余数，则 gcd(a,b) = gcd(b,r) 2. a 和其倍数之最大公因子为 a。 另一种写法是： 1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r<b） 若 r = 0，算法结束；b 即为答案。 2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步
辗转相除法最早出现在欧几里得的几何原本中（大约公元前300年），所以它是现在仍在使用的算法中最早出现的。这个算法原先只用来处理自然数，但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的数，如高斯整数和一元多项式。自此，现代抽象代数概念如欧几里得整环开始出现。后来，辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式。
时间复杂度
辗转相除法的运算速度为 O(n2），其中 n 为输入数值的位数。编辑本段辗转相除法求不定方程的特解 辗转相除法可以求出不定方程的一组整数解。 设不定方程为a x+b y=c，其中a,b,c为整数且lcm(a,b)|c b=q（1） a+r（2） a=q（2） r（2）+r（3） a,b辗转相除的算式为 r（2）=q（3） r（3）+r（4） ... r(n-2）=q(n-1）r(n-1）+r(n) r(n-1）=q(n)r(n) 其中r(n）为lcm(a,b），不妨令b=r(0），a=r（1），r(n+1）=0 第i个算式为 r(i-1）=q(i)r(i)+r(i+1） 所以r(i+1）=r(i-1）-q(i)(ri) (*) 用公式（*）可以得到r(n)=lcm(a,b）关于a,b的线性组合sa+tb=lcm(a,b) 所以不定方程a x+b y=c的一组特解为 x=sc/lcm(a,b) y=tc/lcm(a,b)编辑本段例如： 不定方程为326x+78y=4 求（326,78）的算式为： 326=4*78+14 14=326-4*78 78=5*14+8 8=78-5*14 14=1*8+6 6=14-1*8 8=1*6+2 2=8-1*6 6=3*2 所以 2 =8-6=8-（14-8） =2*8-14=2*（78-5*14）-14 =2*78-11*14=2*78-11*（326-4*78） =46*78-11*326 即2=(-11）*326+46*78 所以4=(-22）*326+92*78 所以x=-22,y=92是不定方程326x+78y=4的一组特解 注：q(i），r(i），括号中的是下标，lcm是求最小公倍数