辗转相除法教学设计
大学辗转相除法教案
教学对象：大学本科生教学目标：1. 理解辗转相除法的原理和步骤。
2. 掌握运用辗转相除法求解最大公约数的方法。
3. 能够运用辗转相除法解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
教学重点：1. 辗转相除法的原理。
2. 辗转相除法的步骤。
教学难点：1. 理解辗转相除法的原理。
2. 正确运用辗转相除法求解最大公约数。
教学准备：1. 多媒体课件2. 教学案例3. 练习题教学过程：一、导入新课1. 提问：同学们，你们知道什么是最大公约数吗？请举例说明。
2. 引出课题：今天我们学习一种求最大公约数的方法——辗转相除法。
二、讲授新课1. 介绍辗转相除法的原理- 辗转相除法是一种古老的算法，用于求解两个正整数的最大公约数。
- 其原理是：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。
- 例如：求10和25的最大公约数，10除以25商2余5，那么10和25的最大公约数等同于10和5的最大公约数。
2. 讲解辗转相除法的步骤- 第一步：将较大的数除以较小的数，得到余数。
- 第二步：用较小的数除以第一步得到的余数，得到新的余数。
- 第三步：重复第二步，直到余数为0。
- 第四步：最后一步的除数即为这两个数的最大公约数。
3. 举例说明- 以10和25为例，演示如何运用辗转相除法求解它们的最大公约数。
三、课堂练习1. 请同学们完成以下练习题：- 求以下数对的最大公约数：12和18，20和30，45和75。
- 用辗转相除法证明：若a和b互质，则a和b的最大公约数为1。
四、总结与反思1. 总结：通过本节课的学习，同学们掌握了辗转相除法的原理和步骤，能够运用该方法求解最大公约数。
2. 反思：在运用辗转相除法时，要注意每一步的计算准确性，以免出现错误。
五、布置作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 预习下一节课内容：欧几里得算法。
教学反思：本节课通过讲解辗转相除法的原理和步骤，让学生掌握了求解最大公约数的方法。
辗转相除法与更相减损术 说课稿 教案 教学设计
算法案例整体设计教学分析在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.三维目标1．理解算法案例的算法步骤和程序框图.2．引导学生得出自己设计的算法程序.3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.重点难点教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力. 课时安排3课时教学过程案例1 辗转相除法与更相减损术导入新课思路1（情境导入）大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时（如8 251与6 105），使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法——辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异.思路2（直接导入）前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想.推进新课新知探究提出问题（1）怎样用短除法求最大公约数？（2）怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？（3）怎样用辗转相除法求最大公约数？（4）怎样用更相减损术求最大公约数？讨论结果：（1）短除法求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.（2）穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数.（3）辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行.如此循环，直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.（4）更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.应用示例例1 用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析，画出程序框图，写出算法程序.解：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：8 251=6 105×1+2 146.由此可得，6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数，反过来，8 251与6 105的公约数也是6 105与2 146的公约数，所以它们的最大公约数相等.对6 105与2 146重复上述步骤：6 105=2 146×2+1 813.同理，2 146与1 813的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.继续重复上述步骤：2 146=1 813×1+333，1 813=333×5+148，333=148×2+37，148=37×4.最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8 251与6 105的最大公约数.这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道，对于任意两个正整数，上述除法步骤总可以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.算法分析：从上面的例子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数为r.第三步，m=n，n=r.第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.程序框图如下图：程序：INPUT m,nDOr=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND点评：从教学实践看，有些学生不能理解算法中的转化过程，例如：求8 251与6 105的最大公约数,为什么可以转化为求6 105与2 146的公约数.因为8 251=6 105×1+2 146，可以化为8 251-6 105×1=2 164，所以公约数能够整除等式两边的数，即6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数.变式训练你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试画出程序框图和程序.解：当型循环结构的程序框图如下图：程序：INPUT m，nr=1WHILE r＞0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT mEND例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如下图所示.98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以，98和63的最大公约数等于7.点评：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程．变式训练用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.解：324=243×1＋81，243=81×3＋0，则324与243的最大公约数为81.又135=81×1＋54，81=54×1＋27，54=27×2＋0，则81 与135的最大公约数为27.所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.另法：324－243=81,243－81=162,162－81=81，则324与243的最大公约数为81.135－81=54,81－54=27,54－27=27，则81与135的最大公约数为27.所以，三个数324、243.135的最大公约数为27.例3 （1）用辗转相除法求123和48的最大公约数.（2）用更相减损术求80和36的最大公约数.解：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：123＝2×48＋27，48＝1×27＋21，27＝1×21＋6，21＝3×6＋3，6＝2×3+0，最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3.（2）我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，要除公因数2.80÷2=40，36÷2=18.40和18都是偶数，要除公因数2.40÷2=20，18÷2=9.下面来求20与9的最大公约数，20－9=11，11－9=2，9－2=7，7－2=5，5－2=3，3－2=1，2－1=1，可得80和36的最大公约数为22×1=4.点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等.变式训练分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数．解：辗转相除法：1 734=816×2+102，816=102×8（余0），∴1 734与816的最大公约数是102．更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数．867-408=459，459-408=51，408-51=357，357-51=306，306-51=255，255-51=204，204-51=153，153-51=102，102-51=51.∴1 734与816的最大公约数是51×2=102．利用更相减损术可另解：1 734－816＝918，918－816＝102，816－102＝714，714－102＝612，612－102＝510，510－102＝408，408－102＝306，306－102＝204，204－102＝102.∴1 734与816的最大公约数是102．知能训练求319，377，116的最大公约数．解：377=319×1+58，319=58×5+29，58=29×2.∴377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数．116=29×4.∴29与116的最大公约数为29.∴377，319，116的最大公约数为29.拓展提升试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序．解：更相减损术程序：INPUT “m，n=”；m，nWHILE m<>nIF m>n THENｍ＝m-nELSEm=n-mEND IFWENDPRINT mEND课堂小结（1）用辗转相除法求最大公约数.（2）用更相减损术求最大公约数.思想方法：递归思想.。
2024年《算法案例辗转相除法与更相减损术》教学教案
2024年《算法案例辗转相除法与更相减损术》教学优秀教案一、教学目标：1. 让学生理解并掌握辗转相除法的基本原理和应用。
2. 让学生了解并学会使用更相减损术求最大公约数。
3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
二、教学内容：1. 辗转相除法的基本原理和步骤。
2. 更相减损术的原理和步骤。
3. 实际案例分析，运用辗转相除法和更相减损术求最大公约数。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：辗转相除法的基本原理、步骤及应用，更相减损术的原理和步骤。
2. 教学难点：理解和运用辗转相除法和更相减损术求最大公约数。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解辗转相除法和更相减损术的原理和步骤。
2. 案例分析法：分析实际案例，引导学生运用所学知识解决问题。
3. 互动教学法：引导学生积极参与讨论，提高学生的逻辑思维能力。
五、教学过程：1. 导入：通过一个实际案例，引发学生对求最大公约数的兴趣。
2. 讲解辗转相除法的原理和步骤，让学生理解并掌握。
3. 讲解更相减损术的原理和步骤，让学生了解并学会使用。
4. 开展小组讨论，让学生运用所学知识解决实际问题。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问的方式检查学生对辗转相除法和更相减损术的理解程度。
2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估其合作能力和问题解决能力。
3. 课后作业：布置有关辗转相除法和更相减损术的练习题，检查学生的掌握情况。
七、教学资源：1. 教材：《算法案例辗转相除法与更相减损术》相关章节。
2. PPT课件：展示辗转相除法和更相减损术的原理、步骤及案例。
3. 网络资源：提供相关的学习网站和视频，方便学生课后自主学习。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍辗转相除法的基本原理和步骤。
2. 第二课时：讲解更相减损术的原理和步骤，并进行案例分析。
3. 第三课时：开展小组讨论，学生运用所学知识解决实际问题。
九、课后作业：十、教学反思：1. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
《辗转相除法与更相减损术》说课稿
辗转相除法与更相减损术说课稿一、前言数学中，除法是一个基本的操作，但是在处理一些具体的问题时，我们常常会遇到需要对两个数进行除法运算并求取其最大公因数的情况。
而传统的直接调用计算机内置函数进行求解显然是不太实际的，因为不管是调用的时间复杂度还是空间复杂度都相对较高。
为此，我们需要研究一些更为高效的求解方法，其中最常见的有辗转相除法和更相减损术两种。
二、辗转相除法辗转相除法，也叫欧几里得算法(Euclidean algorithm)，是求两个正整数a、b 最大公约数的一种方法。
基本思想是：用较小的数除较大的数，再用出现的余数去除较小的数，如此反复，直到余数为零为止。
其中，每一次用较小的数去除较大的数的操作即为一次“辗转”。
而“相除”也就说明了运算过程中的“除法”操作。
以下是辗转相除法的推导过程：假设有两个正整数a、b（a>b），我们要求它们的最大公约数。
•首先将a÷b的余数记为r1。
•若r1=0，则最大公约数为b。
•若r1≠0，则继续计算b÷r1的余数r2。
•若r2=0，则最大公约数为r1。
•若r2≠0，则继续计算r1÷r2的余数r3。
•以此类推，直到第n次得到余数rn为0，此时最大公约数即为rn-1。
以下为辗转相除法的Python代码实现：def gcd(a, b):if a % b == 0:return belse:return gcd(b, a % b)时间复杂度：O(logn)，空间复杂度：O(logn)。
三、更相减损术更相减损术，是一种古老的求两个正整数a、b最大公约数的方法。
它的基本思想是：每次较大的数减去较小的数，然后继续用较小数去减差值，如此反复，直到减数和差相等为止。
而“减”则说明了运算过程中的“减法”操作。
以下是更相减损术的推导过程：假设有两个正整数a、b（a>b），我们要求它们的最大公约数。
•首先将a和b中的较大者记为A，较小者记为B。
辗转相除法与更相减损术教学设计
《辗转相除法与更相减损术》教学设计学习目标.1. 理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，根据原理进行算法分析；2. 能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序；3. 感受算法的意义和价值。
教学重难点1.根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序；2.感受算法的意义和价值。
教学课时一课时教学过程知识情境.1. 1. WHILE 语句: 计算机执行语句的过程是2. UNTIL 语句: 计算机执行语句的过程是 你能编写一个程序,用二分法求方程220(0)x x -=>的近似解吗?2. 我们已经学过求最大公约数的方法，你能求出18与30的公约数吗？ 如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，又应该怎样求它们的最大公约数？比如,如何求1424与801的最大公约数？ 知识生成1. 教学辗转相除法.思路. 可以利用除法将大数化小,找两数的最大公约数.(适于两数较大时)(1)用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商和一个余数；(2)若＝0,则n 为m,n 的最大公约数；若≠0,则用除数n 除以余数得到一个商和一个余数；(3)若＝0,则为m,n 的最大公约数;若≠0,则用除数除以余数得到一个商和一个余数；……依次计算直至＝0，此时所得到的即为所求的最大公约数.例题1. 求两个正数1424和801的最大公约数.①以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法.②由上述步骤可以看出，辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤，且执行次数由余数是否等于0来决定,所以可把它看成一循环体,写出辗转相除法完整的程序框图和程序语言.2. 教学更相减损术. 我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤. 可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.翻译为. (1) 任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步.(2) 以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数. 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.例题2. 用更相减损术求91和49的最大公约数.练一练1．求两个正数8251和2146;228和1995;5280和12155的最大公约数.2．用更相减损术求72和168的最大公约数.3．编写一个程序, 求两个正数8251和2146的最大公约数.4．比较辗转相除法与更相减损术的区别(1)都是求的方法，计算上辗转相除法以法为主，更相减损术以法为主，计算次数上法计算次数相对较少，特别当两个数字时计算次数的区别较明显．(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以则得到，而更相减损术则以而得到．。
§1.3.1辗转相除法与更相减损术学案
2．两个整数324和135的最大公约数是（ ）
A. 81 B. 54 C. 27 D. 9
3．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列对辗转相除法的说法错误的是（）
A．辗转相除法也叫欧几里得算法，但比欧几里得算法早
三、练习
1．用更相减损术求80与36的最大公约数是__________.
2.用辗转相除法求459与357的最大公约数是________.
3.三个数72,120,168的最大公约数是__________.
34．课本中的辗转相除法主要用到的逻辑结构是（ ）
A．顺序结构 B. 条件结威十六中教学导学案学案
课题：
§1.3.1辗转相除法与更相减损术
学科：
数学
年级：
高一年级
课时：
1课时
主备人：
蒋继荣
使用学生：
使用时间：
年月日
学习目标：
1．了解中国古代数学中的算法案例——辗转相除法与更相减损术，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献
2．会用辗转相除法和更相减损术求最大公约数
3．能根据辗转相除法和更相减损术设计算法程序
B．辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数
C．在对两个数求最大公约数时，除辗转相除法还有更相减损术
D．在用辗转相除法时，需要用到循环语句编写
二、合作探究
例2 分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数.
例3 求325，130，270三个数的最大公约数.
例4.用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？
第一课时 辗转相除法
课题: 算法案例【课时】5课时【学习目标】1.经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程。
2. 了解中国古代及西方数学中几个典型的算法案例，理解其中所包含的数学思想，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
【重点难点】学习重点：通过3个典型的算法案例，使学生模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程，以及将程序框图转化为程序语句的过程，帮助学生进一步体会算法的基本思想，以及算法在解决问题的过程中所体现的特点。
学习难点：理解算法案例的内容以及具体算法的关建步骤第1课时辗转相除法课型: 新课执笔人: 刘丽华授课时间：年月日【学习目标】1. 掌握辗转相除法的算法步骤。
2.会用辗转相除法求几个数的的最大公约数。
【重点难点】学习重点：理解辗转相除法的算法思想。
学习难点：掌握辗转相除法的算法步骤。
【学习过程】一．学习引导：回忆基本程序框图的画法和基本语句的应用。
二. 合作交流:依据课本第35页的算法步骤写出求m与n最大公约数的程序框图及程序。
（互相交流后指出优缺点再对照课本梳理一下）三. 随堂练习:1. 145与232的最大公约为( )A..45B.19C.29.D.322. 用辗转相除法求792和196的最大公约数是________。
四. 能力提升:写出用辗转相除法求两个正整数a，b（a＞b）的最大公约数的算法步骤。
【小结反思】【自我测评】1. 用辗转相除法求295和85的最大公约数时,需要做出除法的次数是( )A 1.B 2.C 3.D 42. 用辗转相除法求567和405的最大公约数是( )A 81B 7C 5.D 353. 求98,196的最大公约数__________________。
4. 用辗转相除法求1443和999的最大公约数__________________。
5. 用辗转相除法求168,56,264的最大公约数是________________.。
6. 画出的用辗转相除法求两个正整数a与b最大公约数的程序框图。
初中辗转相除法教案
教案：初中数学——辗转相除法教学目标：1. 让学生掌握辗转相除法的概念和应用。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 提高学生对数学的兴趣和积极性。
教学重点：1. 辗转相除法的概念和步骤。
2. 辗转相除法在实际问题中的应用。
教学难点：1. 理解和掌握辗转相除法的步骤。
2. 解决实际问题中运用辗转相除法的策略。
教学准备：1. PPT课件。
2. 教学案例和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用PPT课件，展示一些生活中的实际问题，如长度测量、土地划分等，引导学生思考如何解决这些问题。
2. 引导学生回顾之前学过的除法知识，为新课的学习做好铺垫。
二、新课导入（10分钟）1. 介绍辗转相除法的概念和定义。
2. 讲解辗转相除法的步骤和原理。
3. 通过PPT课件和举例，详细讲解辗转相除法的具体操作过程。
三、案例分析（10分钟）1. 给出一个实际问题，如“已知一根绳子长度为12米，要将其平均分成3段，每段长度是多少？”2. 引导学生运用辗转相除法解决问题，并解释步骤和思路。
3. 让学生分组讨论和合作，尝试解决其他实际问题，如“已知一块土地面积为18平方米，要将其平均分成3块，每块面积是多少？”四、练习巩固（10分钟）1. 出示一些练习题，让学生独立完成，巩固对辗转相除法的理解和掌握。
2. 引导学生总结解题思路和经验，分享解决实际问题的方法和技巧。
五、拓展延伸（5分钟）1. 引导学生思考：辗转相除法在实际生活中有哪些应用？2. 介绍一些与辗转相除法相关的数学问题和趣味知识，激发学生的学习兴趣。
六、总结反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结辗转相除法的概念、步骤和应用。
2. 鼓励学生分享自己的学习心得和收获，提出疑问和建议。
教学评价：1. 课后收集学生的练习作业，评估对辗转相除法的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，进行简易的测验，检验学生对知识的记忆和运用能力。
3. 关注学生在课堂上的参与度和合作情况，了解学习效果。
初中辗转相除法教案
初中辗转相除法教案教学目标：1. 让学生掌握辗转相除法的基本概念和应用。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 引导学生运用辗转相除法解决实际问题，提高学生的应用能力。
教学内容：1. 辗转相除法的定义和原理。
2. 辗转相除法的步骤和技巧。
3. 辗转相除法在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的除法知识，如长除法、短除法等。
2. 提问：有没有除法可以解决两个较大的数相除的问题呢？3. 引入辗转相除法，激发学生的兴趣。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解辗转相除法的定义和原理。
2. 演示辗转相除法的步骤和技巧。
3. 通过例题讲解辗转相除法的应用。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生运用辗转相除法解决实际问题。
四、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考：除了辗转相除法，还有其他方法可以解决两个较大的数相除的问题吗？2. 讲解其他方法（如欧几里得算法）并与辗转相除法进行比较。
3. 让学生运用所学知识解决实际问题，如计算两个较大数的最大公约数等。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结辗转相除法的特点和应用。
2. 引导学生思考如何更好地掌握和运用辗转相除法。
教学评价：1. 课后作业：布置有关辗转相除法的练习题，检查学生对知识的掌握程度。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和问题解决能力。
3. 实际应用：评估学生在实际问题中运用辗转相除法的效果。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了辗转相除法的基本概念和应用。
在教学过程中，要注意引导学生运用逻辑思维解决问题，培养学生的数学素养。
同时，结合实际问题，提高学生的应用能力。
在今后的教学中，可以尝试引入其他相关算法，拓展学生的知识面，提高学生的综合素质。
辗转相除法PPT学习教案
【原理】
（204，85）＝（85，34）＝（34，17） 第7页/共22页
一一、、教教材材分分析析二、目二的、分教析法分三析、教法分三析、过四程、分过析程分析四五、、评评价价分分析析
（二）理解辗转相除法原理 【练1】求678与35的最大公约数？
【设计意图】巩固练习
第8页/共22页
三、过程分析
感知辗转相除法
布置作业
理解辗转相除法原理
课堂小结
设计辗转相除法算法
应用辗转相除法算法
第5页/共22页
一一、、教教材材分分析析二、目二的、分教析法分三析、教法分三析、过四程、分过析程分析四五、、评评价价分分析析
（一）情景设置——感知辗转相除法
22cm
6cm
试用数学的方法， 求得此正方形的边 长？
第13页/共22页
一一、、教教材材分分析析二、目二的、分教析法分三析、教法分三析、过四程、分过析程分析四五、、评评价价分分析析
（四）、应用辗转相除法算法
【练3】右面一段伪代码的
输出结果是（ A ）
A.1 B.429 C.190 D. 6
【设计意图】
会“识”当型循环语句 描述辗转相除法并且会 “算”最大公约数。
一一、、教教材材分分析析二、目二的、分教析法分三析、教法分三析、过四程、分过析程分析四五、、评评价价分分析析
(三）、设计辗转相除法算法 【问4】写出两个正整数 a, b(a b) 的最大公约数
的一个算法。
【分析】 a, b, r1 , r2 ,, rn1 , rn ,0 递推关系： rn mod(rn1, rn2 )
第12页/共22页
一一、、教教材材分分析析二、目二的、分教析法分三析、教法分三析、过四程、分过析程分析四五、、评评价价分分析析
人教版高中选修(B版)4-61.4辗转相除法与最大公约数课程设计
人教版高中选修(B版)4-61.4辗转相除法与最大公约数课程设计一、课程背景辗转相除法是求两个数的最大公约数的一种方法，是国际上公认的最简单、最易于实现的求最大公约数的方法之一。
本课程主要介绍辗转相除法求最大公约数的原理和步骤，并通过实例演示如何应用辗转相除法进行最大公约数计算。
二、教学目标1.了解辗转相除法求最大公约数的原理和步骤。
2.能够应用辗转相除法计算最大公约数。
3.能够运用最大公约数的概念解决实际问题。
三、教学重难点重点1.辗转相除法的原理和步骤。
2.应用辗转相除法计算最大公约数。
难点1.理解辗转相除法的具体过程。
2.能够独立运用辗转相除法进行最大公约数计算。
3.能够将最大公约数的概念应用于实际问题的解决。
四、教学内容和教学方法1. 教学内容本课程主要包括以下内容：1.辗转相除法求最大公约数的原理和步骤。
2.实例演示辗转相除法的具体运算过程。
3.演示如何应用辗转相除法解决最大公约数问题。
2. 教学方法1.讲授课程内容，结合实例演示辗转相除法的具体运算过程。
2.分组讨论课程内容，团队合作，提高思维互动和探究能力。
3.独立运用辗转相除法进行最大公约数计算，提高自主学习能力。
五、教学计划1. 教学时间本课程预计授课时间为4学时。
2. 教学步骤第1学时：辗转相除法的基本概念1.辗转相除法的定义、基本概念及相关定义的深入讲解。
2.学生独立阅读课程材料并理解相关概念。
第2学时：辗转相除法求最大公约数的基本原理1.介绍辗转相除法求最大公约数的基本原理和步骤。
2.按照辗转相除法求最大公约数的步骤引导学生进行具体计算。
3.提供相关实例，演示如何运用辗转相除法计算最大公约数。
第3学时：应用辗转相除法解决实际问题1.将辗转相除法应用于实际问题的解决，如几何问题。
2.提供相关实例，引导学生独立运用辗转相除法解决问题。
3.学生分组讨论，对应用辗转相除法解决实际问题的方法进行探究和总结。
第4学时：教学总结1.学生总结辗转相除法求最大公约数的基本原理和步骤。
1.3.1辗转相除法与更相减损术教案
《必修3算法案例1：辗转相除法与更相减损术》教学设计龙游县横山中学黄建金2011.12.1教学目标Ⅰ、知识与技能:①理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
②基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
Ⅱ、过程与方法①在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
Ⅲ、情态与价值观①通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
②在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
教学重难点Ⅰ重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
Ⅱ难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
教学设计一、创设情景，揭示课题1.教师首先提出问题：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？练习一：求出求出18与30的公约数，并书写。
2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
二、研探新知，共同学习1.辗转相除法例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
解：8251＝6105×1＋2146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则37为8251与6105的最大公约数。
苏教版高中数学必修三《算法案例：辗转相除法》教案
1.4 算法案例重点难点重点：通过案例分析理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法，体会算法思想.难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言. 学习要求1．理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.2．基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.【课堂互动】问题：写出求两个正整数a,b(a>b)的最大公约数的一个算法。
1.辗转相除法公元前3世纪，欧几里得介绍了求两个正整数a,b(a>b)的最大公约数的方法，求出一列数：0,,,,,,121n n r r r r b a - ，这列数从第三项开始，每一项都是前两项相除所得的余数（即),(12--=n n n r r Mod r ），余数等于0的前一项n r ，即是a 和b 的最大公约数，这种方法称为“欧几里得辗转相除法”。
例1 求两个正数8 251和6 105的最大公约数．（分析：8 251与6 105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）【解】8 251＝6 105×1＋2 146显然8 251和的2 146最大公约数也必是2 146的约数，同样6 105与2 146的公约数也必是8 251的约数，所以8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数．6 105＝2146×2＋18132 146＝1813×1＋3331 813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则37为8 251与6 105的最大公约数．【小结】以上我们求最大公约数的方法就是欧几里得辗转相除法．其求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m 除以较小的数n ,得到一个商0q 和一个余数0r ；第二步：若00r =，则n 为,m n 的最大公约数；若00r ≠，则用除数n 除以余数0r ,得到一个商1q 和一个余数1r ；第三步：若10r =，则1r 为,m n 的最大公约数；若10r ≠，则用除数0r 除以余数1r 得到一个商2q 和一个余数2r ；……依次计算直至0n r =，此时所得到的1n r -即为所求的最大公约数.【练习】求a=204，b=85的最大公约数，步骤为：S1 204÷85的余数为34，S2 85÷34的余数为17，S3 34÷17的余数为0。
辗转相除法教案
教学过程
初次备课
二次备课
（一）创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？
2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
三。思考：利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数？试设计程序框图并转换成程序在BASIC中实现。
课堂总结
辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。
布置作业
练习册习题
板书设计
1.3例1例2
2.更相减损法
教学反思：
1．亮点：
（1）辗转相除法的程序框图及程序
5.课堂练习
一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并在自己编写的BASIC程序中验证。
（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119
二.思考：用求质因数的方法可否求上述4组数的最大公约数？可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能，在电脑上测试自己的程序；若不能说明无法实现的理由。
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
数学北师大版高中必修3辗转相除法教学设计
“算法案例”教学设计一.目标和目标解析（1）知识目标：①理解辗转相除法和更相损减术原理；③能应用迭代算法思想。
（2）能力目标：①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力；（3）情感目标：①创设和谐融洽的教学氛围和阶梯形问题，使学生在活动中获得成功感因此，根据以上教学目标，这节课的重点难点是：（1）教学重点：①理解辗转相除法和相损法的原理，使学生通过模仿。
操作，探索，经理通过设计程序框图表达解决问题的过程，以及将程序框图转化为程序语句的过程，帮助学生进一步体会算法的基本思想。
（2）教学难点：①理解辗转相除法的内容及具体算法的步骤；②能应用迭代算法思想。
二．教学问题诊断前几节课已经使学生了解了算法的基本概念，也学会了看程序框图，学习了基本算法语句，基于前面的学习学生已经掌握了算法的相关知识，这节课举了一些算法案例，来巩固算法三种描述性语言。
在以班级为单位的教学中，面临能力发展不平衡，产生部分学生前几课中算法学习有困难，因此，需要在本节教学中把握好适应面较广、符合学生认知基础的切入点。
教科书选择了4个有典型的又有一定难度的算法案例，这些案例都不要求画完整的程序框图以及编写完整的算法程序，也不要求学生记忆他们的具体步骤，所以，教学中要把握这中要求，适当控制教学难度。
教学中要抓住算法繁荣关键步骤，引导学生理解其中的“算理”，这里有一定的难度，教师需要通过讲解，画程序图，举简单例子来因如说明等多种手段帮助学生克服理解上的困难。
三．教学支持条件分析为了有效实现教学目标，条件许可，可以借助计算机或者计算器来参与运算或表达算法.通过计算机演示帮助学生体会算法学习的作用和价值.。
四．教学过程设计1、情景设置――感知辗转相除法【问1】22与6的最大公约数？【教学预测】学生回忆一下在小学里学过求2个正整数的最大公约数的方法，学生会先用2个数共有的质因数连续去除。
【问2】8251与6105的最大公约数？【教学预测】学生会发现当2个数共有的质因数较大时，使用上述方法就比较困难，此时，教师可以自然地引出辗转相除法。
1.3(1) 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法)(教学设计)
1．3（1）辗转相除法和更相减损术、秦九韶算法（教学设计）一、教学目标：1、知识与技能⑴理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；⑵基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.（3）了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质；（4）基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.2、过程与方法在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法与计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤.模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙. 并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法与计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤.3、情感与价值观⑴通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.⑵在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力.二、教学重点、难点：重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.三、教学过程：（一）创设情景、导入课题1.研究一个实际问题的算法，主要从哪几方面展开？算法步骤、程序框图和编写程序三方面展开.2.在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪几种？顺序结构、条件结构、循环结构3.在程序设计中基本的算法语句有哪几种？输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句4.思考1:18与30的最大公约数是多少？你是怎样得到的？5. 思考2:对于8251与6105这两个数，它们的最大公约数是多少？你是怎样得到的？由于它们公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难.有没有其它的方法可以较简单的找出它们的最大公约数呢？（板书课题）（二）师生互动、探究新知1. 辗转相除法思考3：注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？ 我们发现6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等. 思考4：重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？ 6105＝2146×2＋1813 2146＝1813×1＋333 1813＝333×5＋148 333＝148×2＋37 148＝37×4＋0以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的.利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商0q 和一个余数0r ；第二步：若0r ＝0，则n 为m ，n 的最大公约数；若0r ≠0，则用除数n 除以余数0r 得到一个商1q 和一个余数1r ； 第三步：若1r ＝0，则0r 为m ，n 的最大公约数；若1r ≠0，则用除数0r 除以余数1r 得到一个商2q 和一个余数2r ； ……依次计算直至n r ＝0，此时所得到的1 n r 即为所求的最大公约数. 思考5:你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？ 第一步，给定两个正整数m ，n(m>n). 第二步，计算m 除以n 所得的余数r. 第三步，m=n ，n=r.第四步，若r=0，则m ，n 的最大公约数等于m ；否则，返回第二步.INPUT m ，nDOr=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0 PRINT m END思考6:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？INPUT m，nWHILE n>0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT mEND例1：用辗转相除法求225与135的最大公约数?略：45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数2.更相减损术《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数更相减损术求最大公约数的步骤如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”翻译出来为：第一步：任意给出两个正整数；判断它们是否都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。
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《辗转相除法》教学设计
一．教材分析
本节课是人教版必修三第一章《算法初步》第三节《算法案例》的第一课时，作为案例课，在整章中既是算法的总结，又是一个提升。
教材突出了数学的人文价值，又为学生提供了探索算法的平台。
二．学情分析
本节课的教授对象是高一学生，他们已经具备一定的数学基础和编程能力，已经掌握了用短除法求最大公约数的方法。
现在学习辗转相除法，学生能够掌握辗转相除法的步骤，但是在具体做法的理解上并不到位，需要合作探究。
三．教学目标
1. 知识与技能目标：
（1）理解辗转相除法的原理，能用辗转相除法求两正整数的最大公约数；
（2）能读懂辗转相除法的程序框图，并能写出对应的程序语句。
2. 过程与方法目标：在学习辗转相除法的过程中，对比短除法，体会辗转相除法的优势，及其体现的化归思想。
3. 情感态度价值观：
（1）通过辗转相除法的应用，提升计算能力，提高运算准确性。
（2）通过程序的实际操作来体会算法的实用性、便捷性和高效性。
四．教学重点和难点
1. 重点：辗转相除法的步骤及算法的理解。
2. 难点：辗转相除法的原理的理解，及辗转相除法的算法的理解。
五．预设问题：如何理解辗转相除法的原理。
六．预习反馈：1.为什么除数与余数的公约数也是被除数与除数的公约数？（1、2、6、8、9组）
2.为什么最后一步的除数为最大公约数？（1、3、6、8组）
3.怎样理解辗转相除法的算法？（3、5、11组）
七．教学课时：1课时
八．教学方法：依据“大三步”教学模式，以问题及问题链为主线，调动学生的学习积极性，使学生真正参与到课堂中，通过小组合作探究，充分的展示自己。
九．教学手段：利用多媒体辅助教学，可以降低学生的学习难度、增加课堂容量。
十．教学过程
（一）创设情景，引入课题
1.首先提出问题：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与24的公约数吗？
2.进一步提出问题，如果用短除法求6757 与8729的最大公约数，可不可以行，方不方便？如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？
（二）展示反馈问题
1.为什么除数与余数的公约数也是被除数与除数的公约数？
2.为什么最后一步的除数为最大公约数？
3.怎样理解辗转相除法的算法？
通过展示学生共性问题，引起学生注意，并表扬优秀的小组，树立榜样，激发所有学生发现问题、整合问题的热情。
（三）展示教学目标
突出本节课教学重点利用辗转相除法求两个正整数的最大公约数；教学难点是理解辗转相除法的原理。
基础检测
1. 辗转相除法作用：求两个正整数的最大公约数
2.辗转相除法步骤：
例1 用辗转相除法求225和135的最大公约数
练习：用辗转相除法求228和1995的最大公约数（导学案p48 例3）教师示范辗转相除法的做法，并让学生及时巩固练习。
（四）探究一理解辗转相除法的原理
解读例1 用辗转相除法求225和135的最大公约数
设问1：225和135的公约数是90的约数吗？(假设公约数d)
设问2：被除数和除数的公约数是余数的约数？（假设公约数d ）结论：被除数与除数的约数等价于除数与余数的约数。
（小组讨论）
设计意图：先从具体的数出发，学生能直观的理解被除数和除数的公约数是余数的约数，再推广到一般结论，降低学生的思维难度，避免思维跨度过大。
过渡语：理解清楚辗转相除法的原理，看大家能否理解它对应的算法，来看它的程序框图。
（五）探究二理解辗转相除法的程序框图
思考1：该程序框图用到哪些基本逻辑结构？
思考2：若输入18与24，运行结果是什么结果？（书写其规范过程）思考3：该程序框图最终输出m,为什么不是n？
思考4：输入6105、8251可以运行吗？
设计意图：思考1：目的是回顾程序框图基本语句
思考2：目的是学生能规范的阅读程序框图
思考3：理解程序框图的运行过程
思考4：明确无论小数在前还是大数在前，都可以执行操作，只是小数在前要执行一次操作将两数除的顺序互换。
例2：运行下面的程序，当输入n=6757和m=8729时，输出结
果是______.
INPUT m,n
DO
r= m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
（六）课堂小结
学生自主展示收获，可以是辗转相除法中步骤体会到的、可以是辗转相除法原理中体会到的、可以是算法理解中感受到的。
十一教学反思。