用辗转相除法求最大公约数

辗除法
辗除法（zhǎnchúfǎ）——辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。

它是已知最古老的算法，其可追溯至3000年前。

它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。

它并不需要把二数作质因子分解。

证明：
设两数为a、b(b<a)，求它们最大公约数(a、b)的步骤如下：用b除a，得a=bq......r 1(0≤r)。

若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用r1除b，得b=r1q......r2 (0≤r2).若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。

其最后一个非零余数即为(a，b)。

[编辑] 算法
辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数a 和 b 的最大公因子的：
1. 若r 是 a ÷ b 的余数, 则
gcd(a,b) = gcd(b,r)
2. a 和其倍数之最大公因子为a。

另一种写法是：
1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r<b）
若r = 0，算法结束；b 即为答案。

2. 互换：置a←b，b←r，并返回第一步。

[编辑] 虚拟码
这个算法可以用递归写成如下:
functiongcd(a, b) {
if b<>0
returngcd(b, a mod b);
else
return a;
}
或纯使用循环:
functiongcd(a, b) {
define r as integer;
while b ≠ 0 {
r := a mod b;
a := b;
b := r;
}
return a;
}
pascal代码（递归）
求两数的最大公约数
functiongcd(a,b:integer):integer;
begin
if b=0 then gcd:=a
elsegcd:=gcd (b,a mod b);
end ;
其中“a mod b”是指取a ÷ b 的余数。

例如，123456 和7890 的最大公因子是6, 这可由下列步骤看出：
a b a mod b
123456 7890 5106
7890 5106 2784
5106 2784 2322
2784 2322 462
2322 462 12
462 12 6
12 6 0
只要可计算余数都可用辗转相除法来求最大公因子。

这包括多项式、复整数及所有欧几里德定义域（Euclidean domain）。

辗转相除法的运算速度为O(n2)，其中n 为输入数值的位数。

辗转相除法原理及其详细证明如下:
“辗转相除法”又叫做“欧几里得算法”，是公元前300 年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》提出的。

利用这个方法，可以较快地求出两个自然数的最大公因数，即gcd或叫做HCF 。

最大公约数（greatest common divisor，简写为gcd；或highest common factor，简写为hcf)
所谓最大公因数，是指几个数的共有的因数之中最大的一个，例如8 和12 的最大公因数是4，记作gcd(8,12)=4。

在介绍这个方法之前，先说明整除性的一些特点（下文的所有数都是正整数，不再重覆），我们可以这样给出整除性的定义：
对于二个自然数a和b，若存在正整数q，使a=bq，则a能被b整除，b为a的因子，a为b的倍数。

如果a能被c整除，并且b也能被c整除，则c为a、b的公因数（公有因数）。

由此我们可以得出以下推论：
推论1、如果a能被b整除（a=qb），若k为正整数，则ka也能被b整除（ka=kqb）
推论2、如果a能被c整除（a=hc），b也能被c整除（b=tc），则(a±b)也能被c整除
因为：将二式相加：a+b=hc+tc=(h+t)c 同理二式相减：a－b=hc－tc=(h－t)c
所以：(a±b)也能被c整除
推论3、如果a能被b整除（a=qb），b也能被a整除（b=ta），则a=b
因为：a=qb b=ta a=qtaqt=1 因为q、t均为正整数，所以t=q=1
所以：a=b
辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数，在数值很大时尤其有用，而且应用在电脑程式上也十分简单。

其理论如下:
如果q 和r 是m 除以n 的商及余数，即m=nq+r，则gcd(m,n)=gcd(n,r)。

证明是这样的: 设a=gcd(m,n)，b=gcd(n,r)
a=gcd(m,n)
m能被a整除，并且n也能被a整除，则由推论1得：qn也能被a整除
由推论2得：m-qn也能被a整除
而m-qn=r，即r也能被a整除，所以a=b
或
b=gcd(n,r)
n能被b整除，并且r也能被b整除，则由推论1得：qn也能被b整除
由推论2得：qn+r也能被b整除
而m=qn+r，即m也能被b整除，所以a=b
例如计算gcd(546, 429)
gcd(546, 429) 546=1*429+117
=gcd(429, 117) 429=3*117+78
=gcd(117, 78) 117=1*78+39
=gcd(78, 39) 78=2*39
=39
扩展阅读：
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辗转相除法有很多应用，它甚至可以用来生成全世界不同文化中的传统音乐节奏，在现代密
码学方面，它是RSA算法（一种在电子商务中广泛使用的公钥加密算法）的重要部分。

它
还用来解丢番图方程，寻找满足中国剩余定理的数，或者求有限域的倒数。

辗转相除法还可
以用来构造连分数，在施图姆定理和一些整数分解算法中也有应用。

辗转相除法是现代数论
的基本工具。