§1.2 最大公约数与辗转相除法
三个数辗转相除法求最大公约数
三个数辗转相除法求最大公约数
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目录
1.概述三个数辗转相除法的概念
2.解释辗转相除法的原理
3.展示如何使用辗转相除法求三个数的最大公约数
4.结论
正文
1.概述三个数辗转相除法的概念
三个数辗转相除法是一种求三个数最大公约数的算法。它是基于辗转相除法的原理，通过三个数之间的辗转相除，最终得到它们的最大公约数。这种方法适用于求解任意三个自然数的最大公约数。
2.解释辗转相除法的原理
辗转相除法，又称欧几里得算法，是一种求两个自然数最大公约数的方法。其基本原理是：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。用数学公式表示就是：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)。
3.展示如何使用辗转相除法求三个数的最大公约数
假设我们要求解三个数 a、b、c 的最大公约数，可以按照以下步骤进行：
1) 首先，用辗转相除法求解 a 和 b 的最大公约数，记为 d1：d1 = gcd(a, b)
2) 然后，用辗转相除法求解 b 和 c 的最大公约数，记为 d2：d2 = gcd(b, c)
3) 最后，用辗转相除法求解 a 和 d1 的最大公约数，得到三个数
的最大公约数：gcd(a, d1) = gcd(a, b) % b = d2
通过以上步骤，我们可以求得三个数的最大公约数。
4.结论
三个数辗转相除法是一种有效求解三个数最大公约数的方法，它基于辗转相除法的原理，通过三个数之间的辗转相除，最终得到它们的最大公约数。
辗转相除法求最大公约数和最小公倍数
辗转相除法求最大公约数和最小公倍数
1: /*辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。
2: 例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 ×12；105 = 21 ×5）；
3: 因为252 ? 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。在这个过程中，较大的数缩
4: 小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时，所剩下的
5: 还没有变成零的数就是两数的最大公约数。
6: */
7: #include <stdio.h>
8:
9: int getGCDAndLCM(int a,int b){
10: int max=a>b?a:b;//将较大的数赋给max
11: int min=(max=a)?b:a;//将较小的数赋给min
12: int temp;//暂时存储变量
13: while(max!=0){
14: temp=min%max;
15: min=max;
16: max=temp;
17: }
18: printf("最大公约数为%d\n",min);
19: printf("最小公倍数为%d\n",a*b/min);
20: }
21:
22: int main(){
23: printf("输入两个数整数值\n");
24: int a,b;
25: scanf("%d",&a);
26: scanf("%d",&b);
27: getGCDAndLCM(a,b);
28: return 0;
简述最大公约数(辗转相除法)的原理
2016.08
已知整数x, y，且x>y，它们的最大公约数为z=f(x,y)。那么有：ax+by
z
=k (其中a,b,k∈常数)
辗转相除法的列表如下(假设)：
x,y,m,….,P,Q,0
令n=x%y余m. 那么有
x=n∗y+m
m=x−n∗y
由ax+by
z =k可知m
z
=x−n∗y
z
=k2（k2是一个常数）,也就是说它们
的余数也能被最大公约数整除，如此辗转迭代，直到余数为0的时候，说明那么上面的列表可以成
x,y,m,k1∗z,k2∗z, ….,k n∗z,z,0注意，根据取余运算的性质，我们容易得到k n是单调递减，当第一次出现余数为0的时候，说明最大公约数出现了!
三个数辗转相除法求最大公约数
三个数辗转相除法求最大公约数
引言
在数学中，最大公约数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。求最大公约数的方法有很多种，其中一种常用的方法是辗转相除法。辗转相除法又称欧几里德算法，是一种用于计算两个整数的最大公约数的有效方法。本文将介绍辗转相除法的基本原理和步骤，并通过一个具体的例子来说明该方法的应用。
什么是辗转相除法
辗转相除法是一种迭代的算法，通过反复用两个数中较小的数去除较大的数，然后用余数去除较小的数，直到余数为0为止。最后的除数就是两个数的最大公约数。
辗转相除法的步骤
辗转相除法的步骤如下：
1.输入两个整数a和b，其中a>=b。
2.用b去除a，得到余数r。
3.如果r等于0，则b即为最大公约数。
4.如果r不等于0，则将b赋值给a，将r赋值给b，然后返回第二步。
例子：求最大公约数
假设我们要计算两个整数56和42的最大公约数。
1.首先，我们输入两个整数a=56和b=42。
2.用42去除56，得到余数14。
3.由于余数不为0，我们将b=42赋值给a，将余数14赋值给b。
4.然后，我们用14去除42，得到余数0。
5.由于余数为0，所以42即为最大公约数。
算法的正确性证明
辗转相除法的正确性可以通过数学归纳法来证明。
假设a和b是两个整数，且a>=b，令r为a除以b的余数。我们可以将a表示为a=bq+r，其中q为a除以b的商。假设d是a和b的一个公约数，那么d也是b和r的公约数。反过来，如果d是b和r的公约数，那么d也是a和b的公约数。因此，a和b的公约数的集合和b和r的公约数的集合是相同的。根据这个观察，我们可以得出结论：a和b的最大公约数和b和r的最大公约数相同。因此，我们可
辗转相除法---求出两个整数的最大公约数
辗转相除法---求出两个整数的最⼤公约数
辗转相除法，⼜名欧⼏⾥得算法（Euclidean algorithm），⽬的是求出两个正整数的最⼤公约数。它是已知最古⽼的算法，其可追溯⾄公元前300年前。
这条算法基于⼀个定理：两个正整数a和b（a>b），它们的最⼤公约数等于a除以b的余数c和b之间的最⼤公约数。⽐如10和25，25除以10商2余5,那么10和25的最⼤公约数，等同于10和5的最⼤公约数。
有了这条定理，求出最⼤公约数就简单了。我们可以使⽤递归的⽅法来把问题逐步简化。
⾸先，我们先计算出a除以b的余数c，把问题转化成求出b和c的最⼤公约数；然后计算出b除以c的余数d，把问题转化成求出c和d的最⼤公约数；再然后计算出c除以d的余数e，把问题转化成求出d和e的最⼤公约数......
以此类推，逐渐把两个较⼤整数之间的运算简化成两个较⼩整数之间的运算，直到两个数可以整除，或者其中⼀个数减⼩到1为⽌。
当两个整型数较⼤时，做a%b取模运算的性能会⽐较低。
更相减损术，出⾃于中国古代的《九章算术》，也是⼀种求最⼤公约数的算法。
他的原理更加简单：两个正整数a和b（a>b），它们的最⼤公约数等于a-b的差值c和较⼩数b的最⼤公约数。⽐如10和25，25减去10的差是15,那么10和25的最⼤公约数，等同于10和15的最⼤公约数。
由此，我们同样可以通过递归来简化问题。⾸先，我们先计算出a和b的差值c（假设a>b），把问题转化成求出b和c的最⼤公约数；然后计算出c和b的差值d（假设c>b），把问题转化成求出b和d的最⼤公约数；再然后计算出b和d的差值e（假设b>d），把问题转化成求出d和e的最⼤公约数......
求最大公约数的方法辗转相除法证明
求最大公约数的方法辗转相除法证明
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
辗转相除法是求解最大公约数的一种有效方法，也叫做欧几里德
算法。其基本思想是通过反复地用较大数除以较小数，然后用除数去
除余数，一直重复这个过程，直到余数为0为止。最终能够得到这两个数的最大公约数。下面我们来详细地介绍辗转相除法的原理和证明过程。
假设有两个正整数a和b，其中a>b，我们要求它们的最大公约数。首先我们用a除以b，得到商q和余数r，即a = q*b + r。接着我们将b赋值给a，r赋值给b，然后再次用b去除以r，得到商q1和余数r1，即b = q1*r + r1。如此循环下去，直到r1等于0为止。那么此时b就是a和b的最大公约数。
下面我们用数学归纳法来证明辗转相除法的正确性。设a=k*b+r，其中k和r是整数。若d是a和b的一个公约数，则d也是b和r的公约数，反之亦然。因此a和b的公约数集合等于b和r的公约数集合，即gcd(a, b) = gcd(b, r)。
现在我们假设b和r的最大公约数是d。根据辗转相除法的步骤，可以得到以下等式：
b = q1*r + r1
r = q2*r1 + r2
r1 = q3*r2 + r3
...
最终我们会得到r(n-1) = qnrn，其中rn是0。根据这些等式，我们可以得出以下结论：
r(n-2) = r(n-3) - qn-1*r(n-2)
r(n-3) = r(n-4) - qn-2*r(n-3)
...
rn = r1 - q2*r
将这些等式带入最后的等式b = q1*r + r1，可以得出以下结论：
辗转相除法求两个整数的最大公约数
辗转相除法求两个整数的最⼤公约数
2020新年年初，⼀场疫情让⼈们⽌住了匆忙的脚步。⼀次在家看初中的在线教育视频，数学课上⽼师讲到⼀种求两个正整数的最⼤公约数的算法：辗转相除法，当时⽼师讲的很好，⾮常易懂，有了理论基础于是想⽤代码的⽅式实现。以下证明过程与教学视频⽆关。
⼀，辗转相除法
「辗转相除法」⼜叫做「欧⼏⾥得算法」,是公元前 300 年左右的希腊数学家欧⼏⾥得在他的著作《⼏何原本》提出的.利⽤这个⽅法,可以较快地求出两个⾃然数的最⼤公因数,即 HCF 或叫做 gcd.所谓最⼤公因数,是指⼏个数的共有的因数之中最⼤的⼀个,例如 8 和 12 的最⼤公因数是 4,记作 gcd(8,12)=4.
在介绍这个⽅法之前,先说明整除性的⼀些特点,注以下⽂的所有数都是正整数,以后不再重覆.
我们可以这样给出整除以的定义:
对於两个⾃然数 a 和 b,若存在正整数 q,使得 a=bq,则 b 能整除 a,记作 b | a,我们叫 b 是 a 的因数,⽽ a 是 b 的倍数.
那麼如果 c | a,⽽且 c | b,则 c 是 a 和 b 的公因数.
由此,我们可以得出以下⼀些推论:
推论⼀:如果 a | b,若 k 是整数,则 a | kb.因为由 a | b 可知 ha=b,所以 (hk)a=kb,即 a | kb.
推论⼆:如果 a | b 以及 a | c,则 a | (b±c).因为由 a | b 以及 a | c,可知 ha=b,ka=c,⼆式相加,得 (h+k)a=b+c,即 a | (b+c).同样把⼆式相减可得 a | (b-c).
最大公因数与辗转相除法
2、任意整数的最大公因数可转化为正整数来讨论
定理1
若a1 , a2 ,
, an是任意n个不全为零的整数， , an 的公因数相同； , an ).
则 （i ) a1 , a2 , (ii)(a1 , a2 ,
, an 与 a1 , a2 ,
, an ) ( a1 , a2 ,
3、下面先讨论两个非负整数的最大公因数 定理2、设b是任一正整数，则（i)0与b的公因数就是 b的因数，反之， b的因数也就是0与b的公因数。 (ii)(0,b)=b
本节最后介绍另外一种求两个整数最大公因数 的方法，先给出下面几个结果： (i ) a b ( a, b) a
(ii )( a, b) ( a b, b) (iii ) a 2 a1 , a1 2m, b 2 b1 , b1 2n, 1 ( a, b) 2 (2 a1 , b1 ) (iv ) a 2m, b 2 b1 , b1 2n ( a, b) ( a, b1 ) (v ) a 2m, b 2n ( a, b) ( a b 2 , b)
例1、a 1859, b 1573, 求(1859,1573)
6、最大公因数的两个性质
定理5 设 a, b, 是任意两个不全为零的整数， (am, bm) ( a, b) m a b a, b (ii )若 是a, b的任一公因数，则 , ， a b 特别 , 1 ( a, b) ( a, b) (i )m是任一正整数，则
§1.2--最大公约数与辗转相除法
§2 最大公约数与辗转相除法 一、有关概念
1、定义：123,,,...,n a a a a 的公因数，
()123,,,...,n a a a a 及()123,,,...,1n a a a a =
2、说明：1公因数不可能是0；1是必然的公因数； 2 0与非零数b 的公因数就是b 的因数； 3两两互质与互质的关系；
4
(,)(,)a b b a =
5(0,)b b = ； (1,)1b = 6若(,)a b b =，则b ∣a
7若12(,)1a a =，则()123,,,...,1n a a a a = 3、定理：123,,,...,n a a a a
与123,,,...,n a a a a 相同的公因数。
⇒()123,,,...,n a a a a =123(,,,...,)n a a a a
4、求最大公因数的方法：
1观察法； 2短除法；3辗转相除法。
二、辗转相除法
定理1：设,,a b c 是不全为0的整数，且a bq c =+，q 为整数 则（1）,a b 与,b c 有相同的公因数； （2）()(),,a b b c = 定理2：设,a b 为正整数，则(),n a b r = 推论：,a b 的公因数与(),a b 的因数相同。 例1 证明:当n N +∈时，
143
214
n n ++为既约的真分数。
例2 求()1859,1573-及()169,121
例3 某数除193余4，除1087余7，求符合要求的最大整数。 例4 某数除300，262，205余数相同，求这个数。
三、最大公因数的性质
最大公约数与最小公倍数的求解
最大公约数与最小公倍数的求解最大公约数和最小公倍数是数学中常见的概念，用于求解整数之间
的关系。在实际应用中，经常需要计算两个或多个数的最大公约数和
最小公倍数，这有助于我们解决一些实际问题，如分数化简、比例关
系等。本文将介绍最大公约数和最小公倍数的定义、求解方法以及示
例应用。
一、最大公约数的定义和求解方法
最大公约数，简称为“最大公约数”，是指两个或多个数最大的公共
约数。求解最大公约数的方法主要有以下几种：
1.1 辗转相除法
辗转相除法是求解最大公约数最常用的方法之一。它的基本思想是
通过多次用较大数除以较小数，不断得到余数，直到余数为0为止。
此时，较小数即为最大公约数。
例如，我们要求解28和14的最大公约数，按照辗转相除法进行计算：
28 ÷ 14 = 2 余 0
因此，最大公约数为14。
1.2 穷举法
穷举法是一种较为简单直接的方法，适用于求解较小数的最大公约数。具体操作是列举两个数的所有约数，然后找出它们的最大公约数。
例如，我们要求解15和25的最大公约数，可以列出它们的约数：15的约数为1、3、5、15
25的约数为1、5、25
最大公约数为5。
二、最小公倍数的定义和求解方法
最小公倍数，简称为“最小公倍数”，是指两个或多个数的公共倍数中最小的一个。求解最小公倍数的方法主要有以下几种：
2.1 常用因数法
常用因数法是一种常见且简便的方法。具体步骤是先将两个数分解为质因数的乘积，然后列出所有的质因数并计算每个质因数的最高次数，最后将这些质因数的乘积即为最小公倍数。
例如，我们要求解15和25的最小公倍数，可以先将它们分解为质因数的乘积：
第2节 最大公因数与辗转相除法
求多个整数的最大公因数： 定理6 对于任意的n个不全为0的整数a1,a2,…,an， 记 （a1,a2）=d2, 则 (a1,a2,…,an)=dn. (d2,a3)=d3,…, (dn2,an1)=dn1， (dn1,an)=dn
最大公因数
最大公因数存在的条件： 若a1, a2, …, an不全为0，则它们的最大公因数存 在。
定理1 若a1, a2, …, an是n个不全为0整数，则：
(ⅰ)a1,a2,…,ak与|a1|,|a2|,…,|ak|公因数相同；
(ⅱ)(a1,a2,…,ak)=(|a1|,|a2|,…,|ak|)。
例2 求（169,121）
辗转相除法
定理5 若a,b是任意两个不全为0的整数，则 (ⅰ)若m是任一整数，则（am,bm）=m(a,b) (ⅱ)若 是a,b的任一公因数，则
特别地
( a b , ) 1 ( a, b) ( a, b)
a b ( a, b) ( , ) | |
辗转相除法
第二节 最大公因数与 辗转相除法
第二节 最大公因数与辗转相除法
定义1 整数a1, a2, …, an的公共约数称为a1, a2, …, an的公约数。不全为零的整数a1, a2, …, an的公约 数中最大的一个叫做 a1, a2, …, an的最大公约数 （或最大公因数），记为(a1, a2, …, an)。
用辗转相除法求最大公约数
辗除法
辗除法（zhǎnchúfǎ）——辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法，其可追溯至3000年前。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。
证明：
设两数为a、b(b
[编辑] 算法
辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数a 和 b 的最大公因子的：
1. 若r 是 a ÷ b 的余数, 则
gcd(a,b) = gcd(b,r)
2. a 和其倍数之最大公因子为a。
另一种写法是：
1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r
若r = 0，算法结束；b 即为答案。
2. 互换：置a←b，b←r，并返回第一步。
[编辑] 虚拟码
这个算法可以用递归写成如下:
functiongcd(a, b) {
if b<>0
returngcd(b, a mod b);
else
return a;
}
或纯使用循环:
functiongcd(a, b) {
define r as integer;
while b ≠ 0 {
r := a mod b;
a := b;
b := r;
}
return a;
}
pascal代码（递归）
求两数的最大公约数
functiongcd(a,b:integer):integer;
begin
if b=0 then gcd:=a
elsegcd:=gcd (b,a mod b);
end ;
其中“a mod b”是指取a ÷ b 的余数。
计算最大公约数的算法辗转相除法
例2：求（2605，-5125）.
解：因为5125=2605×1+2520， 2605=2520×1+85 2520=85×29+55 85=55×1+30 55=30×1+25 30=25×1+5 25=5×5
所以（2605，-5125）=5.
6、最大公因数的两个性质
带余数除法的第三种表示
定理4： 若a,b是两个整数，其中b0，则存在着两个整数 q及r，使得
abqr，
b r
2
成立，而且当b是奇数时，q及r是唯一的；当b是偶数时，q及r
有可能是不唯一的。
例 当 a5, b2时 ， 可 有 5 （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ） ， 即 q3,r1; 或 5 （ 2 ） （ 2 ） 1 ， 即 q2,r1
P 0 1 , P 1 7 , P 2 2 7 1 1 5 , P 3 1 1 5 7 2 2 , Q 0 0 , Q 1 1 , Q 2 2 1 0 2 , Q 3 1 2 1 3 ,
取 x ( 1 ) 3 1 Q 3 3 , y ( 1 ) 3 P 3 2 2 ,
因而(a,b)=(b,c)
5、计算最大公约数的算法——辗转相除法， 又称Euclid算法。它是数论中的一个重要 方法，在其他数学分支中也有广泛的应用。
辗转相除法求最大公约数
辗转相除法求最⼤公约数
辗转相除法求最⼤公约数
约数
如果数 a 能被数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。
最⼤公约数
最⼤公约数就是两个数中,⼤家都能相约且最⼤的数。
辗转相除法
辗转相除法⼜名欧⼏⾥得算法（Euclidean algorithm）,⽬的是求出两个正整数的最⼤公约数。它是已知最古⽼的算法,其可追溯⾄公元前300年前。
这条算法基于⼀个定理：两个正整数 a 和 b（a ⼤于 b）,它们的最⼤公约数等于 a 除以 b 的余数 c 和较⼩数 b 之间的最⼤公约数。
算法计算过程是这样的:
2个数相除，得出余数
如果余数不为0，则拿较⼩的数与余数继续相除，判断新的余数是否为0
如果余数为0，则最⼤公约数就是本次相除中较⼩的数。
⽐如数字 25 和 10 ，使⽤辗转相除法求最⼤公约数过程如下：
25 除以 10 商 2 余 5
根据辗转相除法可以得出，25 和 10 的最⼤公约数等于 5 和 10 之间的最⼤公约数
10 除以 5 商 2 余 0，所以 5 和 10 之间的最⼤公约数为 5，因此25 和 10 的最⼤公约数为 5
题⽬要求
完善函数gcd的功能。函数 gcd 会计算并返回传⼊的两个正整数参数之间最⼤的公约数
如下所⽰：
gcd(30，3); // 返回结果为 3
gcd(12, 24); // 返回结果为 12
gcd(111, 11); // 返回结果为 1
function gcd(num1,num2){
var remainder = 0;
do{
remainder = num1 % num2;
最大公约数辗转相除法
最大公约数辗转相除法
最大公约数辗转相除法是一种利用整数之间的关系来求解两个数的最
大公约数的方法。由于其简单易行，被广泛应用于教学和实际中，并
被当做教材和数学竞赛题中的重要内容，是典型的数论算法。
最大公约数辗转相除法的基本原理是：设a、b两数的最大公约数是d，若d不能同时为a和b的整数倍，则d必定是a或b的约数；a除以d
余c，b除以d余e，则有d=gcd(a,b)=gcd(a-c*d,b-e*d)；将d代入
右边，继续对a-c*d、b-e*d进行此计算步骤，直到最终a-c*d=e*d(其中e>1),根据定理，此时则有d=gcd(a,b)=d，可求出d=gcd(a,b)。
该方法实施起来非常简单，使用起来也非常方便，常用于大学生们的
课堂教学和数学竞赛题，而且该方法也可用于解决多个数的最大公约
数的求解问题。
首先，输入a、b两个整数，若a≥b，r=a/b；若a ＜ b，则r=b/a；
将r作为新的a，将余数作为新的b，继续重复上述步骤，直到余数为
0时得以最大公约数。
其次，该方法也可以求出三个或三个以上数的最大公约数。例如，要
求得12、18、24三个数的最大公约数，可以先求12、18的最大公约数，然后将得到的最大公约数与24相除，得到的余数即为最终的最大
公约数。
总之，最大公约数辗转相除法是一种非常有用的数学计算方法，其优
点在于易于推导和简单易行，可以用于求解两个数的最大公约数以及
多个数的最大公约数。
使用辗转相除法求最大公约数
使用辗转相除法求最大公约数
最大公约数是指两个或多个数共同拥有的最大因数，也就是能够同时整除这些数的最大正整数。而求最大公约数的一种常用方法就是辗转相除法。
辗转相除法的基本思路是，在两个整数 a 和 b 中，将较大的那个数除以较小的那个数，然后用余数替换较大的数，再继续进行除法运算，直到余数为零。此时，较小的数就是这两个数的最大公约数。
以求 30 和 45 的最大公约数为例，具体步骤如下：
1. 用 45 除以 30，得到商 1 和余数 15。
2. 用 30 除以 15，得到商 2 和余数 0。
3. 因为余数为零，所以最大公约数为 15。
辗转相除法求最大公约数的优点在于，它的计算速度比较快，而且不需要列出所有的因数。但是，它的缺点是可能需要多次除法运算，特别是当两个数较大时，计算量会比较大。
总之，辗转相除法是求最大公约数的一种有效方法，它可以用于解决许多数学和计算问题。
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§2 最大公约数与辗转相除法 一、有关概念
1、定义：123,,,...,n a a a a 的公因数，
()123,,,...,n a a a a 及()123,,,...,1n a a a a =
2、说明：1公因数不可能是0；1是必然的公因数； 2 0与非零数b 的公因数就是b 的因数； 3两两互质与互质的关系； 4
(,)(,)a b b a =
5(0,)b b = ； (1,)1b = 6若(,)a b b =，则b ∣a
7若12(,)1a a =，则()123,,,...,1n a a a a = 3、定理：123,,,...,n a a a a
与123,,,...,n a a a a 相同的公因数。
⇒
()123,,,...,n a a a a =123(,,,...,)n a a a a
4、求最大公因数的方法：
1观察法； 2短除法；3辗转相除法。
二、辗转相除法
定理1：设,,a b c 是不全为0的整数，且a bq c =+，q 为整数 则（1）,a b 与,b c 有相同的公因数； （2）()(),,a b b c = 定理2：设,a b 为正整数，则(),n a b r = 推论：,a b 的公因数与(),a b 的因数相同。 例1 证明:当n N +∈时，
143
214
n n ++为既约的真分数。
例2 求()1859,1573-及()169,121 例3 某数除193余4，除1087余7，求符合要求的最大整数。 例4 某数除300，262，205余数相同，求这个数。
三、最大公因数的性质
1、()(),,am bm a b m m =为正整数
2、()
,,a b a b
δδδδ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
为,a b 的公因数
3、()(),1,,a b a b a b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
4、设()122,a a d =， ()233,d a d =，()1,n n n d a d -= 则()123,,,n n a a a a d =
例5 设(),1a b = ，求(),a b a b +-
例6设,a b 为正整数，且a b ≤，50a b +=，(),5a b = 求,a b
练习：某商场两年销售额分别是36963元和59570元，单价是相同的整数元，求各年销售商品各多少件？
§3 整除的进一步性质与最小公倍数
,a b 为任意的正整数，则
1
(1)1,2,,k k k
k Q a Pb r k n --=-= 其中，11211,k k k k P P q P P q P --===+ 1210,11,2,,k k k k Q Q Q Q q Q k n --===+= 推论：设,a b 为任意两个不全为0的整数，则存在两个整数,s t 使得
(,)as bt a b += 成立，反之不成立。 例如 4,6a b == 有3(1)6(,)a b a b ⨯+⨯-== 定理： (,)1a b =⇔存在整数,s t 使得
1as bt +=
例 求整数,s t 使()169121169,121s t += 推论1：设,,a b c 为整数，且(,)1a c =，则 （1）,ab c 与,b c 有相同的公因数； （2）(,)(,)ab c b c =
推论2：若(,)1a c =，且,c ab 则c b
推论3：若12,,,;n a a a 12,,,m b b b 是两组任意的整数，且
(,)1i j a b =，
1,2,,1,2,,i n
j m
==
则（12,n a a a 12m b b b ）=1 二、最小公倍数
1、定义：[,]a b 123[,,,,]n a a a a
2、说明：1 0i a ≠；
2 [,][,]a b a b =；
3 关系：公倍数与最小公倍数的关系；
最小公倍数与最大公因数的关系； 例如 ○1当(,)1a b =时，则[,]a b ab = ○2若,a b 都是正整数，且[](,),a b a b =，则a b = ○3一个数除以36和48都余5，则这个数是 。 ○4[][,],n
n n a b a b =，n R +∈
○5若(,)1a b =，则[][,],a bc b a c = 3、多个整数的最小公倍数的求法如何？ []122,a a d =， []233,m a m =，[]1,n n n m a m -= 则[]123,,,n n a a a a m =
§4 质数及算术基本定理
一、质数 1、定义：
2、说明：1范围；2数1；最小的质数是2
3、性质：1、a 是大于1的整数，其大于1的最小的正因数q 必为质数；
2、若a 为合数，则q 满足：q ≤
3、质数p 与整数a 的关系：(,)1p a =或p a
4若12n p a a a ，则,1,2,,k n p a k a = 二、算术的基本定理
112n a p p p =，
其中，12n p p p ≤≤≤，12,,,n p p p 为质数
并且12m a q q q =，其中，12m q q q ≤≤≤，12,,,m q q q 为质数 则n m =，1,2,,i i p q i n ==
推论1：若1a >，则a 能唯一地表示为：
1
2
12k
k a p p p ααα=----叫标准分解式 其中，11,2,,i i k α≥=
12,,,k p p p 为质数，且12k p p p <<< 推论2：：设1212k
k a p p p ααα= 1212k
k b p p p βββ=
则(,)a b =
[,]a b =
2、筛选法：（造质数表）