简述最大公约数(辗转相除法)的原理
辗转相除法求最大公约数和最小公倍数
辗转相除法求最大公约数和最小公倍数1: /*辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。
2: 例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 ×12；105 = 21 ×5）；3: 因为252 ? 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。
在这个过程中，较大的数缩4: 小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。
这时，所剩下的5: 还没有变成零的数就是两数的最大公约数。
6: */7: #include <stdio.h>8:9: int getGCDAndLCM(int a,int b){10: int max=a>b?a:b;//将较大的数赋给max11: int min=(max=a)?b:a;//将较小的数赋给min12: int temp;//暂时存储变量13: while(max!=0){14: temp=min%max;15: min=max;16: max=temp;17: }18: printf("最大公约数为%d\n",min);19: printf("最小公倍数为%d\n",a*b/min);20: }21:22: int main(){23: printf("输入两个数整数值\n");24: int a,b;25: scanf("%d",&a);26: scanf("%d",&b);27: getGCDAndLCM(a,b);28: return 0;29: }C语言水仙花数算法打印出所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字立方和等于该数本身。
例如：153是一个“水仙花数”，因为153=1的三次方＋5的三次方＋3的三次方。
解最大公约数——辗转相除法的运用技巧
解最大公约数——辗转相除法的运用技巧最大公约数是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们简化分数、求解方程等诸多问题。
而辗转相除法是一种常用的求解最大公约数的方法，本文将介绍辗转相除法的原理和一些运用技巧。
辗转相除法，也叫欧几里德算法，其基本思想是通过连续取余的方式，将两个数的较大数不断除以较小数，直到余数为0为止。
最后一次不为0的余数即为最大公约数。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设我们要求解两个数的最大公约数，这两个数分别为36和48。
我们可以按照以下步骤进行计算：1. 用48除以36，得到商1余12。
2. 用36除以12，得到商3余0。
最后一次不为0的余数是12，所以36和48的最大公约数为12。
辗转相除法的原理非常简单，但在实际运用中，我们可能会遇到一些特殊情况，需要灵活运用技巧。
首先，当两个数中有一个为0时，它们的最大公约数就是另一个数。
这是因为任何数和0的最大公约数都是它本身。
其次，当一个数是另一个数的倍数时，它们的最大公约数就是较小的那个数。
这是因为较小的数可以整除较大的数，所以它们的最大公约数就是较小的数。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子。
假设我们要求解两个数的最大公约数，这两个数分别为72和90。
我们可以按照以下步骤进行计算：1. 用90除以72，得到商1余18。
2. 用72除以18，得到商4余0。
最后一次不为0的余数是18，所以72和90的最大公约数为18。
在这个例子中，我们可以观察到一个规律，即每一步的被除数都是上一步的除数，而余数则是两个数的差。
这个规律可以帮助我们更快地计算最大公约数。
此外，辗转相除法还可以用于求解更多数的最大公约数。
我们可以先求解前两个数的最大公约数，再将得到的最大公约数与第三个数求解最大公约数，以此类推。
这样，我们可以逐步缩小求解的范围，提高计算效率。
综上所述，辗转相除法是一种简单而实用的求解最大公约数的方法。
通过连续取余的方式，我们可以快速求解两个数的最大公约数，并且可以灵活运用技巧解决特殊情况。
展转相除法
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。
证毕。
编辑本段
算法
自然语言描述
辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：
1. 若 r 是 a ÷ b 的余数，则
gcd(a,b) = gcd(b,r)
2. a 和其倍数之最大公因子为 a。
scanf("%u%u",&m,&n);
printf("%u与%u的最大公约数为：%u\n",m,n,gcd ( m,n ) );
return 0;
}
/* 功能：返回正整数m和n的最大公约数*/
unsigned gcd ( unsigned m,unsigned n )
else
return a；
}
C语言实现
/*题目：输入两个正整数，求其最大公约数。*/
#include <stdio.h>
unsigned gcd ( unsigned,unsigned ) ;
int main( void )
{
unsigned m,n;
printf("请输入两个正整数：");
辗转相除法最早出现在欧几里得的几何原本中（大约公元前300年），所以它是现在仍在使用的算法中最早出现的。这个算法原先只用来处理自然数，但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的数，如高斯整数和一元多项式。自此，现代抽象代数概念如欧几里得整环开始出现。后来，辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式。
辗转相除法---求出两个整数的最大公约数
辗转相除法---求出两个整数的最⼤公约数辗转相除法，⼜名欧⼏⾥得算法（Euclidean algorithm），⽬的是求出两个正整数的最⼤公约数。
它是已知最古⽼的算法，其可追溯⾄公元前300年前。
这条算法基于⼀个定理：两个正整数a和b（a>b），它们的最⼤公约数等于a除以b的余数c和b之间的最⼤公约数。
⽐如10和25，25除以10商2余5,那么10和25的最⼤公约数，等同于10和5的最⼤公约数。
有了这条定理，求出最⼤公约数就简单了。
我们可以使⽤递归的⽅法来把问题逐步简化。
⾸先，我们先计算出a除以b的余数c，把问题转化成求出b和c的最⼤公约数；然后计算出b除以c的余数d，把问题转化成求出c和d的最⼤公约数；再然后计算出c除以d的余数e，把问题转化成求出d和e的最⼤公约数......以此类推，逐渐把两个较⼤整数之间的运算简化成两个较⼩整数之间的运算，直到两个数可以整除，或者其中⼀个数减⼩到1为⽌。
当两个整型数较⼤时，做a%b取模运算的性能会⽐较低。
更相减损术，出⾃于中国古代的《九章算术》，也是⼀种求最⼤公约数的算法。
他的原理更加简单：两个正整数a和b（a>b），它们的最⼤公约数等于a-b的差值c和较⼩数b的最⼤公约数。
⽐如10和25，25减去10的差是15,那么10和25的最⼤公约数，等同于10和15的最⼤公约数。
由此，我们同样可以通过递归来简化问题。
⾸先，我们先计算出a和b的差值c（假设a>b），把问题转化成求出b和c的最⼤公约数；然后计算出c和b的差值d（假设c>b），把问题转化成求出b和d的最⼤公约数；再然后计算出b和d的差值e（假设b>d），把问题转化成求出d和e的最⼤公约数......以此类推，逐渐把两个较⼤整数之间的运算简化成两个较⼩整数之间的运算，直到两个数可以相等为⽌，最⼤公约数就是最终相等的两个数。
众所周知，移位运算的性能⾮常快。
对于给定的正整数a和b，不难得到如下的结论。
三个数辗转相除法求最大公约数
三个数辗转相除法求最大公约数引言在数学中，最大公约数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
求最大公约数的方法有很多种，其中一种常用的方法是辗转相除法。
辗转相除法又称欧几里德算法，是一种用于计算两个整数的最大公约数的有效方法。
本文将介绍辗转相除法的基本原理和步骤，并通过一个具体的例子来说明该方法的应用。
什么是辗转相除法辗转相除法是一种迭代的算法，通过反复用两个数中较小的数去除较大的数，然后用余数去除较小的数，直到余数为0为止。
最后的除数就是两个数的最大公约数。
辗转相除法的步骤辗转相除法的步骤如下：1.输入两个整数a和b，其中a>=b。
2.用b去除a，得到余数r。
3.如果r等于0，则b即为最大公约数。
4.如果r不等于0，则将b赋值给a，将r赋值给b，然后返回第二步。
例子：求最大公约数假设我们要计算两个整数56和42的最大公约数。
1.首先，我们输入两个整数a=56和b=42。
2.用42去除56，得到余数14。
3.由于余数不为0，我们将b=42赋值给a，将余数14赋值给b。
4.然后，我们用14去除42，得到余数0。
5.由于余数为0，所以42即为最大公约数。
算法的正确性证明辗转相除法的正确性可以通过数学归纳法来证明。
假设a和b是两个整数，且a>=b，令r为a除以b的余数。
我们可以将a表示为a=bq+r，其中q为a除以b的商。
假设d是a和b的一个公约数，那么d也是b和r的公约数。
反过来，如果d是b和r的公约数，那么d也是a和b的公约数。
因此，a和b的公约数的集合和b和r的公约数的集合是相同的。
根据这个观察，我们可以得出结论：a和b的最大公约数和b和r的最大公约数相同。
因此，我们可以使用辗转相除法来逐步缩小问题的规模，直到问题的规模变得足够小，可以直接求解。
辗转相除法的优化辗转相除法是一种非常有效的求最大公约数的方法，但在实际应用中，我们可以对其进行一些优化，以提高算法的效率。
1. 交换数的位置为了保证输入的两个数a和b中，a>=b，我们可以在计算之前先比较两个数的大小，如果a<b，则交换a和b的位置。
sql辗转相除法求最大公约数
SQL辗转相除法求最大公约数简介辗转相除法，也称为欧几里德算法，是一种用于求取两个数的最大公约数的方法。
在本文中，我们将介绍如何使用SQL语言实现辗转相除法来求取最大公约数。
辗转相除法的原理辗转相除法基于以下原理：两个整数a和b（a > b），它们的最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。
这个过程不断进行，直到余数为0为止。
此时，b即为a和b的最大公约数。
实现步骤下面我们将详细介绍如何使用SQL语言实现辗转相除法求取最大公约数。
步骤一：创建存储过程首先，我们需要创建一个存储过程来实现辗转相除法。
存储过程是SQL中用于封装一系列操作的代码块。
以下是创建存储过程的示例代码：DELIMITER $$CREATE PROCEDURE gcd(IN a INT, IN b INT, OUT result INT)BEGINDECLARE t INT;WHILE b != 0 DOSET t = b;SET b = a % b;SET a = t;END WHILE;SET result = a;END $$DELIMITER ;上面的代码定义了一个名为gcd的存储过程，该存储过程有三个参数：a、b和result。
a和b是输入参数，result是输出参数，用于存储最大公约数。
步骤二：调用存储过程创建完存储过程后，我们就可以通过调用该存储过程来获取最大公约数了。
以下是调用存储过程的示例代码：SET @a = 36;SET @b = 48;CALL gcd(@a, @b, @result);SELECT @result;上面的代码定义了两个变量@a和@b，分别用于存储输入的两个整数。
然后，通过调用存储过程gcd来计算最大公约数，并将结果存储在变量@result中。
最后，通过SELECT语句将结果输出。
样例测试让我们来测试一下上面的代码。
了解最大公约数使用辗转相除法求最大公约数
了解最大公约数使用辗转相除法求最大公约数最大公约数是数学中一个重要的概念，表示两个或多个数可以整除的最大数。
求最大公约数的一种常用方法是辗转相除法。
本文将详细介绍最大公约数以及辗转相除法的原理和步骤。
最大公约数简介最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）指的是两个或多个数公有的最大因数。
最大公约数是数学中非常基础的概念，它在很多数学问题以及计算机算法中都有重要的应用。
辗转相除法求最大公约数辗转相除法，也叫欧几里德算法，是一种求解最大公约数的有效方法。
该方法基于以下原理：两个整数a和b（a > b）的最大公约数等于b和a%b（a除以b的余数）的最大公约数。
通过重复这个过程直到余数为0，最后b即为最大公约数。
下面是辗转相除法求最大公约数的具体步骤：1. 输入需要求最大公约数的两个整数a和b，其中a > b。
2. 用a除以b，得到除法结果q和余数r（a = b * q + r）。
3. 如果余数r等于0，则b即为最大公约数。
4. 如果余数r不等于0，则将b赋值给a，将r赋值给b，返回步骤2。
通过不断重复步骤2和步骤3，直到余数r等于0，可以找到最大公约数。
下面通过一个具体的例子来演示辗转相除法的运算过程。
例：求238和154的最大公约数1. 输入a = 238，b = 154。
2. 238除以154，得到商1和余数84（238 = 154 * 1 + 84）。
3. 因为余数不为0，所以将b = 154赋值给a，将r = 84赋值给b。
4. 84除以154，得到商0和余数84（154 = 84 * 1 + 70）。
5. 因为余数不为0，所以再次将b = 84赋值给a，将r = 70赋值给b。
6. 70除以84，得到商0和余数70（84 = 70 * 1 + 14）。
7. 因为余数不为0，所以再次将b = 70赋值给a，将r = 14赋值给b。
8. 14除以70，得到商0和余数14（70 = 14 * 5 + 0）。
总结求最大公约数的方法及原理
总结求最大公约数的方法及原理一、最大公约数及其意义最大公约数，也称为最大公因数或最大公因式，是两个或多个整数共有约数中最大的一个。
求最大公约数是数学中的一个基本问题，它在许多领域都有广泛的应用，如代数、几何、组合数学等。
同时，最大公约数也是算法设计中的重要概念，例如在计算复杂度、数据压缩等领域都有涉及。
二、最大公约数的求解方法求最大公约数的方法有很多种，以下是其中一些常见的方法：1.辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法是一种古老而基础的求最大公约数的方法，基于欧几里得算法。
该算法的基本思想是，用较大的数除以较小的数，然后用除数去除下余数，如此反复，直到余数为0，此时除数即为所求的最大公约数。
2.辗转相减法辗转相减法是一种求两个整数的最大公约数的算法。
该算法的基本思想是，用较大的数减去较小的数，然后将差值加到较小的数上，如此反复，直到两数相等，此时相等的数即为所求的最大公约数。
3.扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法是基于欧几里得算法的一种求整数方程解的算法。
该算法可以求出给定整数方程的整数解，同时也能够求出该方程的最大公约数。
扩展欧几里得算法的基本思想是，通过递归地求解欧几里得算法来得到整系数方程的解，并将求解过程中的除法操作替换为线性方程组求解。
4.分数分解法分数分解法是一种通过分数分解来求两个整数最大公约数的算法。
该算法的基本思想是，将两个整数表示为分数的形式，然后对这些分数进行分解和约分，最后得到的分数即为所求的最大公约数。
分数分解法的优点是可以在一定程度上处理大整数，但对于非常大的整数仍然难以处理。
5.质因数分解法质因数分解法是一种求两个整数最大公约数的算法。
该算法的基本思想是，将两个整数分别进行质因数分解，然后找出其中的公共质因数，最后将公共质因数相乘即可得到最大公约数。
质因数分解法的优点是精度高、运算速度快，适用于大整数的计算。
但该方法也有一定的复杂性，需要耗费较多的时间和空间资源。
三、最大公约数的应用场景最大公约数的应用场景非常广泛，以下是其中一些常见的应用场景：1.密码学：在密码学中，最大公约数是用于实现加密和解密的数学工具之一。
辗转相除法求公约数
辗转相除法求公约数
辗转相除法是一种求两个数最大公约数的方法。
它的基本思想是：用较大的数除以较小的数，得到余数，再用较小的数除以余数，得到新的余数，如此反复，直到余数为0为止。
此时，最后一次做除法得到的除数即为原来两个数的最大公约数。
例如，求出105和45的最大公约数。
用105除以45，得到余数15；然后用45除以15，得到余数0。
因此，105和45的最大公约数为15。
辗转相除法的优点在于它简单易懂、容易实现，只需进行一次递归即可求出最大公约数，而且它的时间复杂度为O(logn)，效率较高。
因此，在实际应用中，辗转相除法被广泛地使用。
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三个数辗转相除法求最大公约数
三个数辗转相除法求最大公约数
摘要：
一、介绍辗转相除法
二、讲解三个数辗转相除法的原理
三、举例说明三个数辗转相除法的应用
四、总结最大公约数的求解方法
正文：
辗转相除法是一种求两个数的最大公约数的方法，该方法基于数学定理，可以通过一系列的除法运算得出最大公约数。
当涉及到三个数时，我们可以采用类似的方法，通过辗转相除法求出它们的最大公约数。
原理如下：
设三个数A、B、C，不妨设A <= B <= C。
1.先用B 除A，得余数R1；
2.若R1 为0，则最大公约数为A；否则，用R1 替换A，继续用B 除R1，得余数R2；
3.重复步骤2，直到某次计算得到的余数为0。
此时，用B 除上一次的余数Rn-1，得到的最大公约数即为A、B、C 的最大公约数。
举个例子，我们来求解三个数12、15、21 的最大公约数：
1.12 ÷ 15 = 0 余12；
2.12 ÷ 12 = 1 余0；
3.15 ÷ 12 = 1 余3；
4.12 ÷ 3 = 4 余0。
因此，12、15、21 的最大公约数为3。
总结一下，当我们需要求解三个数的最大公约数时，可以采用辗转相除法。
首先设定两个数，然后根据辗转相除法的原理进行计算，直到得到最大公约数。
使用辗转相除法求两数最大公约数
使用辗转相除法求两数最大公约数
辗转相除法，又称欧几里得算法，是求两个数最大公约数的一种常用方法。
该方法基于如下定理：若a>b，则a与b的最大公约数等于b与a%b的最大公约数。
具体实现过程如下：
1. 将两个数中较大的数赋值给a，较小的数赋值给b；
2. 如果b等于0，则a即为最大公约数；
3. 否则，计算a除以b的余数，将余数赋值给r，然后将b赋值给a，将r赋值给b，返回第二步。
例如，求出28和21的最大公约数：
第一步：a=28，b=21
第二步：28%21=7，a=21，b=7
第三步：21%7=0，a=7，b=0
因此，28和21的最大公约数为7。
使用辗转相除法求最大公约数的优点是算法简单、效率高，对于任意两个数都适用。
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辗转相除法和更相减损术的原理
辗转相除法和更相减损术的原理辗转相除法和更相减损术是数学中常用的求最大公约数的方法，它们都可以有效地找到两个数的最大公约数。
在解决实际问题中，我们经常会用到这两种方法来简化计算和求解。
我们来介绍辗转相除法。
辗转相除法又称为欧几里德算法，它的基本思想是通过不断地用较小数去除较大数，然后用除数去除余数，直到余数为0为止。
这样，最后的除数就是两个数的最大公约数。
具体步骤如下：1. 用较大数除以较小数，得到余数。
2. 用上一步得到的余数去除较小数，得到新的余数。
3. 重复步骤2，直到余数为0。
4. 最后一个非零余数就是两个数的最大公约数。
举个例子来说明辗转相除法的原理。
假设我们要求解36和48的最大公约数，按照上述步骤进行计算：1. 48除以36，余数为12。
2. 36除以12，余数为0。
因此，36和48的最大公约数为12。
通过这个简单的例子，我们可以看到辗转相除法的求解过程非常简单，而且它适用于任意两个正整数的求解。
接下来，我们介绍更相减损术。
更相减损术是另一种求最大公约数的方法，它的基本思想是通过不断地用两个数的差去减小较大数，直到两个数相等为止。
这样，最后的相等数就是两个数的最大公约数。
具体步骤如下：1. 如果两个数相等，那么它们的最大公约数就是它们本身。
2. 如果两个数不相等，那么用较大数减去较小数，得到新的两个数。
3. 重复步骤2，直到两个数相等。
4. 最后一个相等的数就是两个数的最大公约数。
同样，我们通过一个例子来说明更相减损术的原理。
假设我们要求解28和42的最大公约数，按照上述步骤进行计算：1. 42减去28得到14。
2. 28减去14得到14。
因此，28和42的最大公约数为14。
通过这个例子，我们可以看到更相减损术的求解过程也非常简单，它可以有效地求解任意两个正整数的最大公约数。
辗转相除法和更相减损术都是通过不断地减小两个数之间的差距来求解最大公约数的方法。
它们的原理非常简单，适用范围广泛。
更相减损术和辗转相除法原理
更相减损术和辗转相除法原理
更相减损术是求两个数的最大公约数的一种方法。
其原理是：两个数a和b（a>b）的最大公约数等于a-b的差与b的最大公
约数。
逐步减少较大数，直到两个数相等时，即为最大公约数。
例如，求48和36的最大公约数：
48-36=12
36-12=24
24-12=12
12-12=0
当两个数相等时，即为最大公约数为12。
辗转相除法是求两个数的最大公约数的另一种方法。
其原理是：将较大数除以较小数得到商和余数，然后将较小数和余数再次除以余数得到商和新的余数，如此循环迭代，直到余数为零。
此时，较小的非零数即为最大公约数。
例如，求48和36的最大公约数：
48÷36=1 (12)
36÷12=3 0
最大公约数为12。
需要注意的是，辗转相除法通常比更相减损术更高效。
辗转相除法 更相减损法
辗转相除法更相减损法辗转相除法与更相减损法一、辗转相除法（一）定义辗转相除法，又称为欧几里得算法。
它是用于求两个正整数的最大公约数的一种算法。
（二）原理设两个数为a、b（a > b），用较大数除以较小数得到商和余数，再用除数和余数反复做除法运算，当余数为0时，取当前算式除数为最大公约数。
即：a = bq + r（其中q为商，r为余数，0 ≤ r < b），如果r = 0，则b就是a 和b的最大公约数；如果r≠0，则继续用b除以r，如此反复，直到余数为0。
（三）示例求1997和615的最大公约数。
1. 因为1997÷615 = 3 (152)2. 615÷152 = 4 (7)3. 152÷7 = 21 (5)4. 7÷5 = 1 (2)5. 5÷2 = 2 (1)6. 2÷1 = 2 0所以，1997和615的最大公约数是1。
二、更相减损法（一）定义（二）原理1. 任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数。
若是，则用2约简；若不是则执行下一步。
2. 以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
（三）示例求98和63的最大公约数。
1. 98和63都是奇数，直接用大数减小数：98 - 63 = 352. 63 - 35 = 283. 35 - 28 = 74. 28 - 7 = 215. 21 - 7 = 146. 14 - 7 = 7所以，98和63的最大公约数是7。
三、辗转相除法与更相减损法的比较（一）相同点1. 目的相同- 两者都是为了求两个数的最大公约数。
2. 理论基础相关- 辗转相除法基于除法运算，更相减损法基于减法运算，但本质上都是通过不断重复一种运算操作来逐步逼近最大公约数。
（二）不同点1. 运算速度- 辗转相除法在求较大数的最大公约数时，通常比更相减损法的运算速度快。
求最大公约数辗转相除法
求最大公约数辗转相除法设多项式f(x),g(x)满足f(x)=g(x)h(x)+r(x),其中h(x),r(x)也是多项式，r(x)的次数小于g(x)的次数，大于0。
以g(x),r(x)代替f(x),g(x),重复上述过程：g(x)=r(x)h1(x)+r1(x)。
辗转相除法，又名欧几里德算法（euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。
它的具体做法是：用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。
如果厚边两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。
另一种谋两数的最大公约数的方法就是更二者减损法。
其计算原理依赖于下面的定理：定理：两个整数的最大公约数等同于其中较小的那个数和两数相乘余数的最大公约数。
最大公约数（greatest common divisor）简写为gcd。
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a\ueb 且r=a mod b ,r不为0)欧几里得算法证法一a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r假设d就是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d相乘。
而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d，由等式右边可知m=r/d为整数，因此d|r因此d也就是b,a mod b的公约数。
因(a,b)和(b,a mod b)的公约数相等，则其最大公约数也相等，得证。
欧几里得算法证法二假设c = gcd(a,b),则存在m,n，使a = mc, b = nc;令r = a mod b，即为存有k，并使r = a-kb = mc - knc = (m-kn)c;故gcd(b,a mod b) = gcd(b,r) = gcd(nc,(m-kn)c) = gcd(n,m-kn)c;则c为b与a mod b的公约数;假设d = gcd(n,m-kn), 则存在x,y, 使n = xd, m-kn = yd; 故m = yd+kn =yd+kxd = (y+kx)d;故存有a = mc = (y+kx)dc, b = nc = xdc; 可以得 gcd(a,b) = gcd((y+kx)dc,xdc) = dc;由于gcd(a,b) = c, 故d = 1;即gcd(n,m-kn) = 1, 故只须gcd(b,a mod b) = c;故得证gcd(a,b) = gcd(b,a mod b).。
辗转相除法求最大公因数
辗转相除法求最大公因数辗转相除法，也称为欧几里德算法，是一种求两个数的最大公约数的方法。
在数学中，最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个整数共有约数中的最大值。
在本文中，我们将介绍辗转相除法这种求最大公因数的方法，以及它的应用和一些注意事项。
1. 辗转相除法的步骤首先，我们必须理解两个数的除法原理：对于两个整数a和b，我们可以用b去除a，并得到商q和余数r，即a = bq + r，其中0 ≤ r < |b|。
这个余数r可以用来判断b和a的关系，如果r等于0，则b是a的因数；否则，我们可以用r和b重复上述步骤，直到余数为0为止。
当余数为0时，最后一次除法的除数就是这两个数的最大公因数。
辗转相除法就是基于这个原理的，我们将两个数a和b按照从小到大的顺序，做a = bq + r的除法运算，直到余数r等于0为止。
这时，b就是这两个数的最大公因数。
具体步骤可以如下实现：1）用较小数除较大数，得到余数r；2）用r去除较小数，得到余数r1；3）如果r1不为0，用r去除r1，得到余数r2；4）重复上述过程，直到余数为0为止。
2. 辗转相除法的应用求最大公因数是辗转相除法最常见的应用。
但它还有其他的应用，比如简化分数和判断两个数是否互质。
在这里，我们先讲一下简化分数。
当我们进行分数加减乘除的时候，需要将分数化为最简分数。
而最简分数就是分子和分母的最大公因数为1的分数。
因此，我们可以用辗转相除法来求出分子和分母的最大公因数，然后将分子和分母除以最大公因数，得到最简分数。
而判断两个数是否互质，也可以用辗转相除法。
当求出两个数的最大公因数后，如果最大公因数等于1，那么这两个数就互质。
3. 辗转相除法的注意事项尽管辗转相除法是求最大公因数的一种常用方法，但它仍有一些需要注意的事项。
因为最大公因数和最小公倍数有以下性质：1）两个数之积等于它们的最大公因数与最小公倍数的积；2）最大公因数与最小公倍数的和等于这两个数之和；3）最小公倍数也可以用辗转相除法求出。
辗转相除法
辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至3000年前。
例如：
展开编辑本段简介 辗转相除法的演示动画
在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法，是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。
else { return gcd ( n,m % n) ; }
}
Basic实现
INPUT m,n DO r=mMODn m=n n=r LOOP UNTILr=0 PRINT m END
Pascal实现
辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的： 1. 若 r 是 a ÷ b 的余数，则 gcd(a,b) = gcd(b,r) 2. a 和其倍数之最大公因子为 a。 另一种写法是： 1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r<b） 若 r = 0，算法结束；b 即为答案。 2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步
辗转相除法最早出现在欧几里得的几何原本中（大约公元前300年），所以它是现在仍在使用的算法中最早出现的。这个算法原先只用来处理自然数，但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的数，如高斯整数和一元多项式。自此，现代抽象代数概念如欧几里得整环开始出现。后来，辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式。
时间复杂度
辗转相除法的运算速度为 O(n2），其中 n 为输入数值的位数。编辑本段辗转相除法求不定方程的特解 辗转相除法可以求出不定方程的一组整数解。 设不定方程为a x+b y=c，其中a,b,c为整数且lcm(a,b)|c b=q（1） a+r（2） a=q（2） r（2）+r（3） a,b辗转相除的算式为 r（2）=q（3） r（3）+r（4） ... r(n-2）=q(n-1）r(n-1）+r(n) r(n-1）=q(n)r(n) 其中r(n）为lcm(a,b），不妨令b=r(0），a=r（1），r(n+1）=0 第i个算式为 r(i-1）=q(i)r(i)+r(i+1） 所以r(i+1）=r(i-1）-q(i)(ri) (*) 用公式（*）可以得到r(n)=lcm(a,b）关于a,b的线性组合sa+tb=lcm(a,b) 所以不定方程a x+b y=c的一组特解为 x=sc/lcm(a,b) y=tc/lcm(a,b)编辑本段例如： 不定方程为326x+78y=4 求（326,78）的算式为： 326=4*78+14 14=326-4*78 78=5*14+8 8=78-5*14 14=1*8+6 6=14-1*8 8=1*6+2 2=8-1*6 6=3*2 所以 2 =8-6=8-（14-8） =2*8-14=2*（78-5*14）-14 =2*78-11*14=2*78-11*（326-4*78） =46*78-11*326 即2=(-11）*326+46*78 所以4=(-22）*326+92*78 所以x=-22,y=92是不定方程326x+78y=4的一组特解 注：q(i），r(i），括号中的是下标，lcm是求最小公倍数
利用辗转相除法求最大公约数
利用辗转相除法求最大公约数1. 引言在数学中，最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指能够同时整除一组数的最大正整数。
求解最大公约数是很多数学问题和计算机算法中常见的一个步骤，其中一种经典的方法就是辗转相除法。
辗转相除法，也称为欧几里德算法，是由古希腊数学家欧几里得提出的一种求解最大公约数的方法。
它基于一个简单而重要的观察：两个整数a和b（a > b）的最大公约数等于b和a mod b（即a除以b所得余数）的最大公约数。
本文将详细介绍辗转相除法的原理、步骤以及实现过程，并给出一个示例来说明该方法的应用。
2. 辗转相除法原理辗转相除法基于如下原理：对于两个正整数a和b（a > b），假设它们的最大公约数为d，则存在两个正整数q和r（0 ≤ r < b），使得：a = bq + r其中q为商，r为余数。
根据这个等式可以推导出以下结论：•如果r等于0，则b即为最大公约数d。
•如果r不等于0，则b和r的最大公约数也是d。
基于这个观察，我们可以使用递归或循环的方式来求解最大公约数。
3. 辗转相除法步骤辗转相除法的步骤如下：1.将较大的数记为a，较小的数记为b。
2.计算a除以b所得的余数r。
3.如果r等于0，则b即为最大公约数。
4.如果r不等于0，则将b赋值给a，将r赋值给b，返回第二步继续计算。
通过不断重复上述步骤，直到余数等于0，即可得到最大公约数。
4. 辗转相除法示例现在我们通过一个具体的示例来演示辗转相除法的应用。
假设我们要求解36和48的最大公约数：1.将较大的数48记为a，较小的数36记为b。
2.计算48除以36所得的余数12。
3.因为余数不等于0，将36赋值给a，将12赋值给b。
4.重复上述步骤：–将较大的数36记为a，较小的数12记为b。
–计算36除以12所得的余数0。
–因为余数等于0，所以最大公约数为12。
因此，36和48的最大公约数为12。
最大公约数使用辗转相除法的原理
最大公约数使用辗转相除法的原理嘿，朋友们！今天咱来聊聊一个挺有意思的东西——辗转相除法求最大公约数。
你说这最大公约数啊，就像是一群数字里的老大哥，能把它们都统领起来。
那怎么找到这个老大哥呢？嘿嘿，辗转相除法就派上用场啦！咱就打个比方吧，比如说有两个数字，就像两个小伙伴，它们有时候会一起玩耍，但咱得知道它们之间最紧密的联系是啥呀，这辗转相除法就是找到这个紧密联系的法宝。
咱开始操作，就拿两个数来说，用大的数除以小的数，得到一个余数。
这余数可不是没用的哦，它就像一个线索。
然后呢，把小的数当成新的被除数，刚才的余数当成新的除数，再除一次。
就这么一轮一轮地来，就像在数字的世界里探险一样。
你想想看，这多有趣呀！每次的计算都像是在挖掘宝藏，一点一点地接近那个最大公约数。
有时候可能一下子就找到了，有时候可能要多转几个弯，但最终肯定能把它给揪出来。
比如说 48 和 18 这两个数吧，48 除以 18 商 2 余 12，然后 18 除以12 商 1 余 6，12 除以 6 刚好整除，那 6 不就是它们的最大公约数嘛！是不是挺神奇的？这辗转相除法就像是数字世界里的一把钥匙，能打开很多秘密的大门。
它不仅能让我们更清楚地了解数字之间的关系，还能在很多数学问题里大显身手呢！咱再换个角度想想，生活中不也有很多类似的情况吗？就像我们要找到和朋友之间最核心的共同点，得经过一些交流、了解，就像辗转相除法里的一次次计算。
而且啊，这个过程可能不会一帆风顺，但只要坚持，总能找到那个最关键的点。
大家说是不是这么个理儿？所以啊，可别小瞧了这辗转相除法，它虽然看起来简单，可里面蕴含的智慧可不少呢！以后遇到求最大公约数的问题，就大胆地用辗转相除法去探索吧，相信你一定会有新的发现和乐趣！这就是辗转相除法的魅力所在呀，朋友们！原创不易，请尊重原创，谢谢!。