用辗转相除法求两个正整数的最大公约数的算法

辗转相除法求最大公约数和最小公倍数

辗转相除法求最大公约数和最小公倍数
(2006-08-28 11:39:55)
转载
分类：小学奥数专题讲解
辗转相除法是求最大公约数和最小公倍数的另一种方法。

具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。

如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

把这些数相乘就是最小公倍数。

例如：求112和77的最大公约数。

把112和77并列，用77去除112，商1余35，如下图：
因为余数不是0，所以继续用35去除77，商2余7，如下图：
因为余数不是0，继续用7去除35，商5余0，如下图：
当最后余数是0时，辗转相除的过程已经完成，最后的除数7就是112和77的最大公约数。

辗转相除法的算理是根据：在a=bq+r，中，除数b和余数r能被同一个数整除，那么被除数a也能被这个数整除。

或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数；如果反过来说，被除数与除数的最大公约数，就是除数与余数的最大公约数。

如果用辗转相除法求两个数的最大公约数时，最后的余数是1，那么这两个数就是互质数，或者说，它们只有公约数1。

求两个数的最大公约数的方法

求两个数的最大公约数的方法
求两个数的最大公约数的方法有以下几种：
1. 辗转相除法：将较大的数除以较小的数，然后用较小数除上一步得到的余数，再用上一步得到的余数除以当前得到的余数，如此往复，直到余数为0。

最后的除数即为最大公约数。

2. 更相减损术：将较大的数减去较小的数，然后用这个差再减去较小数，如此往复，直到两个数相等。

最后的差（或相等的数）即为最大公约数。

3. 辗转相减法：先求出两个数的最大公约数的一个上界（较小的数），然后用较大的数减去较小的数，再用这个差和较小的数求最大公约数，如此往复，直到两个数相等。

最后的差（或相等的数）即为最大公约数。

4. 质因数分解法：将两个数进行质因数分解，将两个数中的相同的质因数取出来，然后将这些质因数相乘起来即为最大公约数。

其中，辗转相除法是最常用的一种方法。

辗转相除法求最大约数

辗转相除法求最大约数一、辗转相除法的原理及应用辗转相除法，又称欧几里德算法，是一种用于求两个正整数的最大公约数的算法。

它的原理是基于整数的除法和取余操作。

辗转相除法的应用范围非常广泛，例如在数学、密码学、计算机科学等领域都有广泛应用。

在数学中，最大公约数是一个重要的概念，它可以用于约分、化简分数、求最小公倍数等问题。

在密码学中，辗转相除法可以用于生成密钥对或者进行加密解密操作。

在计算机科学中，辗转相除法可以用于求解线性同余方程、计算哈希值等。

二、辗转相除法的步骤辗转相除法的步骤非常简单，主要分为以下几个步骤：1. 输入两个正整数首先，我们需要输入两个正整数，分别记为a和b，其中a大于等于b。

2. 取余操作我们将a除以b，得到商q和余数r。

3. 判断余数如果余数r等于0，那么b就是最大公约数，算法结束。

否则，进入下一步。

4. 交换变量将b的值赋给a，将r的值赋给b，然后回到步骤2。

5. 重复步骤2-4重复执行步骤2-4，直到余数r等于0，此时b的值就是最大公约数。

三、辗转相除法的证明辗转相除法的正确性可以通过数学归纳法来证明。

首先，我们假设a = bq + r，其中b大于等于r，且r不为0。

根据这个等式，我们可以得出以下结论：1. a和b的公约数也是b和r的公约数设d是a和b的公约数，那么d也是a和bq的公约数。

又因为r = a - bq，所以d也是a和r的公约数。

2. b和r的公约数也是a和b的公约数设d是b和r的公约数，又因为a = bq + r，所以d也是a和b的公约数。

综上所述，a和b的公约数与b和r的公约数是一样的。

因此，最大公约数也是一样的。

四、辗转相除法的优化辗转相除法虽然有效，但在处理大整数时可能会比较耗时。

为了提高效率，人们对辗转相除法进行了一些优化，主要有以下两种方法：1. 基于移位操作的优化在计算机中，移位操作是一种非常高效的操作。

我们可以利用移位操作来替代除法操作，进一步提高算法的执行效率。

辗转相除法求两个整数的最大公约数

辗转相除法求两个整数的最⼤公约数2020新年年初，⼀场疫情让⼈们⽌住了匆忙的脚步。

⼀次在家看初中的在线教育视频，数学课上⽼师讲到⼀种求两个正整数的最⼤公约数的算法：辗转相除法，当时⽼师讲的很好，⾮常易懂，有了理论基础于是想⽤代码的⽅式实现。

以下证明过程与教学视频⽆关。

⼀，辗转相除法「辗转相除法」⼜叫做「欧⼏⾥得算法」,是公元前 300 年左右的希腊数学家欧⼏⾥得在他的著作《⼏何原本》提出的.利⽤这个⽅法,可以较快地求出两个⾃然数的最⼤公因数,即 HCF 或叫做 gcd.所谓最⼤公因数,是指⼏个数的共有的因数之中最⼤的⼀个,例如 8 和 12 的最⼤公因数是 4,记作 gcd(8,12)=4.在介绍这个⽅法之前,先说明整除性的⼀些特点,注以下⽂的所有数都是正整数,以后不再重覆.我们可以这样给出整除以的定义:对於两个⾃然数 a 和 b,若存在正整数 q,使得 a=bq,则 b 能整除 a,记作 b | a,我们叫 b 是 a 的因数,⽽ a 是 b 的倍数.那麼如果 c | a,⽽且 c | b,则 c 是 a 和 b 的公因数.由此,我们可以得出以下⼀些推论:推论⼀:如果 a | b,若 k 是整数,则 a | kb.因为由 a | b 可知 ha=b,所以 (hk)a=kb,即 a | kb.推论⼆:如果 a | b 以及 a | c,则 a | (b±c).因为由 a | b 以及 a | c,可知 ha=b,ka=c,⼆式相加,得 (h+k)a=b+c,即 a | (b+c).同样把⼆式相减可得 a | (b-c).推论三:如果 a | b 以及 b | a,则 a=b.因为由 a | b 以及 b | a,可知 ha=b,a=kb,因此 a=k(ha),hk=1,由於 h 和 k 都是正整数,故 h=k=1,因此 a=b.辗转相除法是⽤来计算两个数的最⼤公因数,在数值很⼤时尤其有⽤⽽且应⽤在电脑程式上也⼗分简单.其理论如下:如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余数,即 m=nq+r,则 gcd(m,n)=gcd(n,r).证明是这样的:设 a=gcd(m,n),b=gcd(n,r)则有 a | m 及 a | n,因此 a | (m-nq)(这是由推论⼀及推论⼆得出的),即 a | r 及 a | n,所以 a | b⼜ b | r 及 b | n,所以 b | (nq+r),即 b | m 及 b | n,所以b | a.因为 a | b 并且 b | a,所以 a=b,即 gcd(m,n)=gcd(n,r).例如计算 gcd(546,429),由於 546=1(429)+117,429=3(117)+78,117=1(78)+39,78=2(39),因此gcd(546,429)=gcd(429,117)=gcd(117,78)=gcd(78,39)=39最⼩公倍数就是2个数的积除以最⼤公约数框图如下⼆，Java算法实现有了以上的理论基础，算法实现不难，⽤⼀个递归就可以实现，代码如下1public Integer GDC(Integer m, Integer n) {2if (m < n)3 XOR(m, n);45 Integer r = m % n;6if (r > 0) {7return GDC(n, r);8 } else {9return n;10 }11 }1213/**14 * 两个数对换15*/16private void XOR(Integer m, Integer n) {17 m = m ^ n;18 n = m ^ n;19 m = m ^ n;20 }这段代码可以很好的实现求最⼤公约数。

c++辗转相除法求最大公约数和最小公倍数

c++辗转相除法求最大公约数和最小公倍数介绍：欧几里德算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数。

应用领域有数学和计算机两个方面。

计算公式gcd(a,b) =gcd(b,a mod b)。

算法简介：欧几里德算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。

是由古希腊数学家欧几里德在其著作《TheElements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里德算法。

扩展欧几里德算法可用于RSA加密等领域。

假如需要求1997 和615 两个正整数的最大公约数,用欧几里德算法，是这样进行的：1997 / 615 = 3 (余152)615 / 152 = 4(余7)152 / 7 = 21(余5)7 / 5 = 1 (余2)5 / 2 = 2 (余1)2 / 1 = 2 (余0)至此，最大公约数为1 以除数和余数反复做除法运算，当余数为0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了1997 和615的最大公约数1。

cpp代码实现#include<iostream>using namespace std;int GCD(int a, int b){int c;while (b > 0){c = a % b;a = b;b = c;}return a;}int LCM(int a,int b){int c;c = a * b / GCD(a, b);return c;}int main(){int x, y;cin >> x >> y;cout << "x和y的最大公约数为：" << GCD(x, y) << endl;cout << "x和y的最小公倍数为：" << LCM(x, y) << endl;return 0;}。

用辗转相除法求最大公约数

辗除法辗除法（zhǎnchúfǎ）——辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。

它是已知最古老的算法，其可追溯至3000年前。

它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。

它并不需要把二数作质因子分解。

证明：设两数为a、b(b<a)，求它们最大公约数(a、b)的步骤如下：用b除a，得a=bq......r 1(0≤r)。

若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用r1除b，得b=r1q......r2 (0≤r2).若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。

其最后一个非零余数即为(a，b)。

[编辑] 算法辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数a 和 b 的最大公因子的：1. 若r 是 a ÷ b 的余数, 则gcd(a,b) = gcd(b,r)2. a 和其倍数之最大公因子为a。

另一种写法是：1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r<b）若r = 0，算法结束；b 即为答案。

2. 互换：置a←b，b←r，并返回第一步。

[编辑] 虚拟码这个算法可以用递归写成如下:functiongcd(a, b) {if b<>0returngcd(b, a mod b);elsereturn a;}或纯使用循环:functiongcd(a, b) {define r as integer;while b ≠ 0 {r := a mod b;a := b;b := r;}return a;}pascal代码（递归）求两数的最大公约数functiongcd(a,b:integer):integer;beginif b=0 then gcd:=aelsegcd:=gcd (b,a mod b);end ;其中“a mod b”是指取a ÷ b 的余数。

利用递归求两个数的最大公约数(利用辗转相除法)

利用递归求两个数的最大公约数(利用辗转相除法)最大公约数，也叫做最大公因数，是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。

求两个数的最大公约数可以使用递归方法，特别是采用辗转相除法。

所谓辗转相除法，是指通过不断地用较小的数去除较大的数，然后再用除数去除余数，直到最后余数为0为止。

最后一个不为0的除数即为最大公约数。

下面我们就来看一个具体的例子，以便更好地理解递归求解最大公约数的方法。

假设我们要求解的两个数是36和48。

首先，我们使用48去除36，得到余数为12。

然后，将36作为新的被除数，余数12作为新的除数，再进行一次相除操作。

我们用36去除12，得到余数0。

此时，我们得到的不为0的除数12就是最大公约数。

我们可以使用递归方法来实现这个过程。

首先，设定递归函数gcd(a, b)表示求解a和b的最大公约数。

如果b等于0，那么gcd(a, b)就等于a；如果b不等于0，那么gcd(a, b)等于gcd(b, a%b)。

这样，我们就可以利用递归不断地缩小问题规模，直到规模最小为止。

接下来，我们将上述方法转化为函数的形式，方便我们进行编程实现。

```pythondef gcd(a, b):if b == 0:return aelse:return gcd(b, a % b)```在调用这个函数时，我们只需要传入要求解的两个数即可。

```pythonresult = gcd(36, 48)print("36和48的最大公约数为：" + str(result))```通过以上步骤，我们成功地求解出了36和48的最大公约数，即12。

这个方法不仅仅适用于36和48，对于任意两个正整数，我们都可以采用相同的方法求解它们的最大公约数。

在实际应用中，求解最大公约数经常用于简化分数、约分、化简等操作。

比如，在算术题中，我们需要将一个分数化简为最简形式，就需要求解其分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以这个最大公约数，得到最简形式的分数。

判断最大公约数的方法

判断最大公约数的方法1. 引言最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。

在数学和计算机领域中，求解最大公约数是一项常见的任务。

本文将介绍几种常用且高效的判断最大公约数的方法。

2. 辗转相除法辗转相除法，也称为欧几里得算法，是一种求解两个正整数最大公约数的经典方法。

它基于如下原理：两个正整数a和b（a > b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c与b之间的最大公约数。

具体步骤如下：1.将较小的数作为被除数，较大的数作为除数。

2.用除法计算被除数除以除数得到商和余数。

3.若余数为0，则除数即为最大公约数；若余数不为0，则将原来的除数作为新的被除子，余数作为新的除子，重复步骤2。

例如，求解56和32的最大公约数：56 ÷ 32 = 1 (24)32 ÷ 24 = 1 (8)24 ÷ 8 = 3 0因此，最大公约数为8。

辗转相除法的时间复杂度为O(log(min(a, b)))，其中a和b分别为两个输入整数。

3. 更相减损术更相减损术是另一种求解最大公约数的方法。

它基于如下原理：两个正整数a和b （a > b），它们的最大公约数等于a-b的差值c与较小数b之间的最大公约数。

具体步骤如下：1.将较小的数作为被减数，较大的数作为减数。

2.用减法计算被减数减去减数得到差值。

3.若差值为0，则减数即为最大公约数；若差值不为0，则将原来的减数作为新的被减子，差值作为新的减子，重复步骤2。

例如，求解56和32的最大公约数：56 - 32 = 2432 - 24 = 824 - 8 = 1616 - 8 = 8因此，最大公约数为8。

更相减损术在实际应用中可能效率较低，在两个较大整数之间进行多次相减操作可能会耗费较多时间。

4. 辗转相除法与更相减损术的结合辗转相除法和更相减损术各自有优缺点，因此可以将它们结合起来，得到一种更高效的求解最大公约数的方法。

用辗转相除法求两个正整数的最大公约数的算法

⽤辗转相除法求两个正整数的最⼤公约数的算法
最⼤公约数⽤辗转相除法求两个正整数的最⼤公约数的算法如下：（⽤m，n，r分别表⽰被除数、除数和余数）
①求m/n的余数；
②若r=0，则执⾏第⑤步；
③将n的值放在m中，将r的值放在n中；
④返回重新执⾏第①步；
⑤输出最⼤公约数n。

例如：求 m=14 ，n=6 的最⼤公约数。

m n r 14 6 2 6 2 0 设计界⾯如图所⽰，在⽂本框Text1和Text2中输⼊两个正整数，单击“运⾏”按钮后，在⽂本框txt_gys中显⽰最⼤公约数。

打开“最⼤公约数”⽂件夹中的“test2.vbp”⼯程，完成以下操作：
（1）参照上图，在窗体中放置相关对象，并在属性窗⼝中设置各对象的相关属性；将⽂本框txt_gys的Locked属性设为True。

（3分）
（2）修改“运⾏”按钮的单击事件处理过程，完善①处代码。

（3分）
（3）调试运⾏程序，修正弹出的错误提⽰。

（2分）
（4）调试程序正确后，保存窗体⽂件和⼯程⽂件。

⽣成可执⾏程序“test2.exe”并保存到“最⼤公约数”⽂件夹下。

（2分）。

使用辗转相除法求最大公约数

使用辗转相除法求最大公约数
最大公约数是指两个或多个数共同拥有的最大因数，也就是能够同时整除这些数的最大正整数。

而求最大公约数的一种常用方法就是辗转相除法。

辗转相除法的基本思路是，在两个整数 a 和 b 中，将较大的那个数除以较小的那个数，然后用余数替换较大的数，再继续进行除法运算，直到余数为零。

此时，较小的数就是这两个数的最大公约数。

以求 30 和 45 的最大公约数为例，具体步骤如下：
1. 用 45 除以 30，得到商 1 和余数 15。

2. 用 30 除以 15，得到商 2 和余数 0。

3. 因为余数为零，所以最大公约数为 15。

辗转相除法求最大公约数的优点在于，它的计算速度比较快，而且不需要列出所有的因数。

但是，它的缺点是可能需要多次除法运算，特别是当两个数较大时，计算量会比较大。

总之，辗转相除法是求最大公约数的一种有效方法，它可以用于解决许多数学和计算问题。

- 1 -。

辗转相除法求最大公约数

接下来是在网上看到求两个数的最大公约数的方法：
用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：
先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；
再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；
又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；
这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。

那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数）。

例如求1515和600的最大公约数，
第一次：用600除1515，商2余315；
第二次：用315除600，商1余285；
第三次：用285除315，商1余30；
第四次：用30除285，商9余15；
第五次：用15除30，商2余0。

1515和600的最大公约数是15。

个人觉得第一种方法什么简单。

第二题不会编所以请教下第二题到底怎么编~
我在书上看到的方法输入两个数a,b 先比较大小假设比较出较小的数b 然后 for i:=b downto 1 do
if(a mod i=0) and (b omd i=0)
then begin
write(i);readln;
halt;
end;。

辗转相除法求最大公约数raptor

辗转相除法求最大公约数raptor
辗转相除法是求解两个数的最大公约数的一种常用方法。

它的原理很简单，就是通过不断地进行除法运算，直到余数为0为止。

下面我将以人类的视角来叙述这一过程。

假设我们需要求解两个数a和b的最大公约数。

首先，我们将较大的数除以较小的数，得到的商记为q1，余数记为r1。

然后，我们将较小的数除以r1，得到的商记为q2，余数记为r2。

接下来，我们将r1除以r2，得到的商记为q3，余数记为r3。

如此往复，一直到余数为0为止。

那么，为什么辗转相除法可以求解最大公约数呢？这是因为，如果一个数能够同时整除a和b，那么它也一定能够整除r1、r2、r3等等，直到最后的余数为0。

所以，最后的余数0就是a和b的最大公约数。

通过辗转相除法，我们可以快速求解两个数的最大公约数，而不需要遍历所有可能的公约数。

这对于大数的求解尤为重要。

另外，辗转相除法还具有一定的优化空间，可以通过一些技巧来减少计算量。

虽然辗转相除法有一定的局限性，例如无法求解负数的最大公约数，但在大多数情况下，它是一种简单、高效的方法。

在实际应用中，它经常被用于化简分数、判断两个数是否互质等问题。

辗转相除法是一种常用的求解最大公约数的方法，它通过不断进行
除法运算，直到余数为0，从而得到最大公约数。

它的原理简单易懂，计算效率高，可以广泛应用于各种数学问题中。

希望通过这篇文章的介绍，能够让大家更好地理解和掌握辗转相除法的原理和应用。

用辗转相除法求最大公约数

(, ) {
;
≠ {
;
;
;
}
;
}
代码（递归）
求两数地最大公约数
();
( );
;
其中“ ”是指取÷地余数.
例如，和地最大公因子是,这可由下列步骤看出：
只要可计算余数都可用辗转相除法来求最大公因子.这包括多项式、复整数及所有欧几里德定义域（）.资料个人收集整理，勿做商业用途
辗转相除法地运算速度为()，其中为输入数值地位数.
如果和是除以地商及余数，即，则()().资料个人收集整理，勿做商业用途
证明是这样地:设()，()
()
能被整除，并且也能被整除，则由推论得：也能被整除
由推论得：也能被整除
而，即也能被整除，所以
或
()
能被整除，并且也能被整除，则由推论得：也能被整除
由推论得：也能被整除
而，即也能被整除，所以
例如计算(, )
在介绍这个方法之前，先说明整除性地一些特点（下文地所有数都是正整数，不再重覆），我们可以这样给出整除性地定义：资料个人收集整理，勿做商业用途
对于二个自然数和，若存在正整数，使，则能被整除，为地因子，为地倍数.
如果能被整除，并且也能被整除，则为、地公因数（公有因数）.
由此我们可以得出以下推论：
推论、如果能被整除（），若为正整数，则也能被整除（）
百科名片
辗除法（ǎú ǎ）——辗转相除法，又名欧几里德算法（）乃求两个正整数之最大公因子地算法.它是已知最古老地算法，其可追溯至年前.它首次出现于欧几里德地《几何原本》（第卷，命题和）中，而在中国则可以追溯至东汉出现地《九章算术》.它并不需要把二数作质因子分解.资料个人收集整理，勿做商业用途
证明：

辗转相除法求最大约数

辗转相除法求最大约数辗转相除法求最大约数什么是辗转相除法？辗转相除法，又称欧几里得算法，是求两个正整数的最大公约数的一种方法。

它基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数的差的最大公约数。

例如，252和105的最大公约数是21（252=21×12，105=21×5），因为252−105×2=42，而42和105的最大公约数是21。

这个过程可以继续下去，因为42−21×2=0，所以42和105的最大公约数就是21。

如何使用辗转相除法求最大约数？首先需要明确一个概念：余数。

在进行辗转相除法时，在每一次操作中都会产生一个余数。

余数是指在进行除法运算时未被整除部分所剩下来的部分。

步骤：1.将两个正整数a,b中较大的那个赋给a, 较小的那个赋给b；2.用a除以b,得到余数r;3.如果r等于0，则b就是两个正整数的最大公约数；否则执行第4步；4.将b赋值给a, 将r赋值给b, 重新执行第2步。

重复执行第2步和第4步，直到余数r等于0为止。

此时，b就是两个正整数a和b的最大公约数。

举例：求出24和60的最大公约数。

1.将60赋给a, 24赋给b;2.用60除以24,得到余数12;3.因为12不等于0,所以执行第4步；4.将b的值24赋给a, 将r的值12赋值给b, 重新执行第2步；5.用24除以12,得到余数0;6.因为余数等于0，所以此时的b（即12）就是24和60的最大公约数。

总结：辗转相除法是一种简单而有效的求最大公约数的方法。

它不需要使用复杂的算法或者数据结构，只需要进行简单的除法运算即可。

同时，辗转相除法也可以扩展到求多个正整数的最大公约数，只需要依次对每两个正整数进行求解即可。

欧几里得算法的递归式

欧几里得算法的递归式欧几里得算法，又称辗转相除法，是求两个正整数最大公约数的算法。

其基本思想是通过不断求两个数的余数，将较大数不断替换成余数，直到余数为0时，较小数即为最大公约数。

欧几里得算法的递归式可以表示为：gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)，其中a、b为正整数，gcd(a,b)表示a、b的最大公约数，a mod b表示a除以b的余数。

该递归式的证明可以通过反证法得到：设d=gcd(a,b)，则a和b都是d的倍数，即a=md，b=nd，其中m和n为正整数。

根据辗转相除法，有gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)，代入a和b的表达式，可得gcd(a,b) = gcd(nd, md mod nd)。

由于md mod nd等价于m(mod n)d，而m和n都是正整数，因此md mod nd必定小于nd，因此gcd(nd, md mod nd) = gcd(nd, md mod nd) = gcd(nd,m(mod n)d) < gcd(a,b)，与d=gcd(a,b)矛盾。

因此假设不成立，即gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)成立。

欧几里得算法的时间复杂度为O(log(min(a,b)))，证明可以通过数学归纳法得到。

假设a>b，设k=log(min(a,b))，则有a mod b < b/2，因此执行一次辗转相除后，a至少减少一半，即a<=a/2。

因此，当k=1时，a和b都至少减少了一半，因此辗转相除的次数不超过2log(min(a,b))。

设k>1时结论成立，当k=log(min(a,b))时，则可以将b替换为a mod b，此时a<b，因此执行一次辗转相除后，a至少减少一半，且b<=a/2，因此辗转相除的次数不超过2log(min(a,b))。

证毕。

辗转相除求两数的最大公约数算法

辗转相除求两数的最大公约数算法
辗转相除法，也叫欧几里德算法，求两个整数的最大公约数的算法，其原理基于以下
定理：
定理：设有两个整数a、b（a > b），
①a = b × k + r，其中k为整数，0 ≤ r < b；
②设d是a和b的一个公约数，那么d也是b和r的一个公约数，反之亦然。

证明：设d是a和b的一个公约数，那么a、b均可为dk，即a = dk × k1，b = dk × k2（其中k1、k2为整数）。

由（①）知，r = a - b × k = dk × k1 - dk × k2 × k = dk × (k1 - k2 × k)，即r为dk的倍数，即d也是r的一个因子。

反之也同理。

基于定理，在求a和b的最大公约数时，不断用b去除a，然后让a等于余数r，再用较小的数去余数r去除，直到不能再整除为止。

最后的除数即为这两个数的最大公约数。

下面举一个例子来说明：
求18和24的最大公约数。

步骤1：24 ÷ 18 = 1...6，余数为6，令a=18，b=6。

代码实现如下：
int gcd(int a, int b)
{
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
解释一下代码：用递归的方式，如果b等于0，则a就是最大公约数；否则用b和a % b的余数递归调用函数gcd(a % b, b)。

辗转相除法的时间复杂度为log(a+b)，当两个数位数相差太大时，会出现较大的浪费。

此时可使用更为高效的更相减损术。

辗转相除法求最大公约数

辗转相除法求最⼤公约数辗转相除法求最⼤公约数约数如果数 a 能被数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。

最⼤公约数最⼤公约数就是两个数中,⼤家都能相约且最⼤的数。

辗转相除法辗转相除法⼜名欧⼏⾥得算法（Euclidean algorithm）,⽬的是求出两个正整数的最⼤公约数。

它是已知最古⽼的算法,其可追溯⾄公元前300年前。

这条算法基于⼀个定理：两个正整数 a 和 b（a ⼤于 b）,它们的最⼤公约数等于 a 除以 b 的余数 c 和较⼩数 b 之间的最⼤公约数。

算法计算过程是这样的:2个数相除，得出余数如果余数不为0，则拿较⼩的数与余数继续相除，判断新的余数是否为0如果余数为0，则最⼤公约数就是本次相除中较⼩的数。

⽐如数字 25 和 10 ，使⽤辗转相除法求最⼤公约数过程如下：25 除以 10 商 2 余 5根据辗转相除法可以得出，25 和 10 的最⼤公约数等于 5 和 10 之间的最⼤公约数10 除以 5 商 2 余 0，所以 5 和 10 之间的最⼤公约数为 5，因此25 和 10 的最⼤公约数为 5题⽬要求完善函数gcd的功能。

函数 gcd 会计算并返回传⼊的两个正整数参数之间最⼤的公约数如下所⽰：gcd(30，3); // 返回结果为 3gcd(12, 24); // 返回结果为 12gcd(111, 11); // 返回结果为 1function gcd(num1,num2){var remainder = 0;do{remainder = num1 % num2;num1 = num2;num2 = remainder;}while(remainder!==0);return num1;}console.log(gcd(24,12));实现辗转相除法通常有两种思路，分别如下1、使⽤循环实现function gcd(number1, number2){var remainder = 0;do {remainder = number1 % number2;number1 = number2;number2 = remainder;} while(remainder !== 0);return number1;}2、使⽤函数递归function gcd(number1, number2) {if (number2 == 0) {return number1;} else {return gcd(number2, number1 % number2); }}。

辗转相除法求最大公约数和最小公倍数

辗转相除法求最大公约数和最小公倍数1: /*辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。

2: 例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 ×12；105 = 21 ×5）；3: 因为252 ? 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。

在这个过程中，较大的数缩4: 小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。

这时，所剩下的5: 还没有变成零的数就是两数的最大公约数。

6: */7: #include <stdio.h>8:9: int getGCDAndLCM(int a,int b){10: int max=a>b?a:b;//将较大的数赋给max11: int min=(max=a)?b:a;//将较小的数赋给min12: int temp;//暂时存储变量13: while(max!=0){14: temp=min%max;15: min=max;16: max=temp;17: }18: printf("最大公约数为%d\n",min);19: printf("最小公倍数为%d\n",a*b/min);20: }21:22: int main(){23: printf("输入两个数整数值\n");24: int a,b;25: scanf("%d",&a);26: scanf("%d",&b);27: getGCDAndLCM(a,b);28: return 0;29: }C语言水仙花数算法打印出所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字立方和等于该数本身。

例如：153是一个“水仙花数”，因为153=1的三次方＋5的三次方＋3的三次方。

什么是欧几里得算法？

什么是欧几里得算法？
欧几里得算法，也称为辗转相除法，是一种用于求解两个正整数的最大公约数的算法。

它基于以下原理：对于给定的两个正整数a和b，它们的最大公约数（GCD）等于其中较小数b与a除以b的余数c的最大公约数。

下面是欧几里得算法的具体步骤：
步骤1：将给定的两个正整数a和b进行比较，确定较大数和较小数。

步骤2：用较大数除以较小数，并计算余数c。

步骤3：如果余数c等于0，则较小数b即为最大公约数。

步骤4：如果余数c不等于0，则将较小数b作为新的较大数，余数c作为新的较小数，回到步骤2。

步骤5：重复步骤2和步骤3，直到余数c等于0为止。

步骤6：最后的较小数b即为给定的两个正整数a和b的最大公约数。

通过这个算法，我们可以快速有效地找到两个正整数的最大公约数。

这是因为在每一步中，我们都将较大数除以较小数，将问题规模不断缩小，直到找到最终的最大公约数。

欧几里得算法的优点是简单易懂，计算效率高。

它在数学和计算机科学中都有广泛的应用，例如在分数的化简、计算机编程中的循环结构设计等方面都能发挥重要作用。

总结起来，欧几里得算法是一种用于求解两个正整数的最大公约数的算法，通过反复将较大数除以较小数的余数作为新的较小数，最终找到最大公约数。

它简单易懂，计算效率高，广泛应用于数学和计算机科学领域。

求最大公约数的四种高效方法

求最大公约数的四种高效方法快速找到两个数的最大公约数（GCD）有多种方法，以下是几种常见且高效的方法：1. 辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法是求最大公约数最常用的方法之一。

其基本原理是：两个整数的最大公约数等于其中较大的数和两数相除余数的最大公约数。

具体步骤如下：●假设有两个正整数a和b（a>b），将a设为较大的数，b设为较小的数。

●将a除以b，得到余数r。

●如果r为0，则b即为最大公约数。

●否则，将b设为新的较大的数，r设为新的较小的数，重复上述步骤，直到余数为0。

例如，求18和36的最大公约数：●36 ÷18 = 2，余数为0。

●因为余数为0，所以18即为最大公约数。

注意：上述例子中的余数计算有误，实际上36 ÷18 = 2，余数为0，但在此只是用来展示算法流程。

正确的算法会在余数不为0时继续迭代。

2. 质因数分解法质因数分解法是另一种求最大公约数的方法。

其基本思路是将两个整数分解为质因数的乘积，然后取所有共有的质因数的乘积作为最大公约数。

例如，求18和36的最大公约数：●18可以分解为2×3×3。

●36可以分解为2×2×3×3。

●共有的质因数为2、3和3，乘积为18。

●因此，18和36的最大公约数为18。

3. 更相减损法更相减损法是一种较为直观的方法，其基本思路是：先用两个数的绝对值进行相减，然后用得到的差与较小的数进行比较。

如果差小于较小的数，则继续用差与较小的数进行相减；如果差大于或等于较小的数，则停止计算，此时的较小的数即为最大公约数。

例如，求14和28的最大公约数：●28 - 14 = 14（差等于较小的数，停止计算）。

●因此，14和28的最大公约数是14。

4. 快速幂算法（扩展欧几里得算法的一部分）虽然快速幂算法主要用于快速计算大整数幂，但也可以结合扩展欧几里得算法用于求最大公约数。

不过，在直接求最大公约数的场景中，通常不需要使用完整的快速幂算法，而是利用其中的gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)这一性质进行迭代。