辗转相除法
辗转相除法
设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约
数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a/b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。 第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc 第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c 第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数 第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】 从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。 证毕。编辑本段计算机算法自然语言描述
unsigned gcd ( unsigned m,unsigned n )
{ unsigned temp;
if (m<n) { temp=m; m=n; n=temp; } if ( m % n == 0) { return n; }
辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至3000年前。
例如：
展开编辑本段简介 辗转相除法的演示动画
else { return gcd ( n,m % n) ; }
}
Basic实现
INPUT m,n DO r=mMODn m=n n=r LOOP UNTILr=0 PRINT m END
Pascal实现
阿基米德辗转相除法
阿基米德辗转相除法
阿基米德辗转相除法，也称为阿基米德算法或经典欧几里得算法，是一种用于求两个数的最大公约数的算法。
该算法基于以下原理：两个数的最大公约数与它们的余数的最大公约数相等。
具体步骤如下：
1. 假设需要求取两个正整数a和b的最大公约数。
如果a<b，则交换a和b的值，使得a>=b。
2. 用b去除a，计算余数r=a%b。
3. 如果余数r等于0，则b即为最大公约数。
4. 如果余数r不等于0，则将b的值赋给a，将余数r的值赋给b，然后回到第2步继续进行计算，直到余数r等于0为止。
欧几里得辗转相除法原理
欧几里得辗转相除法原理欧几里得辗转相除法，也称作欧几里得算法、辗转相除法、求最大公约数算法，是一种求最大公约数的算法。
此算法以古希腊数学家欧几里得的名字命名，是解决两个正整数最大公约数的最常用方法之一。
本文着重介绍欧几里得辗转相除法的原理及其具体运算过程。
欧几里得辗转相除法的原理主要基于以下定理对两个正整数进行最大公约数的求解：对于两个正整数 a,b（a>b），其最大公约数即为 b 和 a%b（a对b取模）。
其中 % 为数学符号中的模运算符号，即求模运算。
反复应用此定理，直到模为0时停止执行，即可得到它们的最大公约数。
实现欧几里得辗转相除法的具体运算过程如下：1. 计算两个正整数 a,b（a>b）的余数 c。
即计算公式为：c = a % b2. 若余数 c 为零，则 b 即为两个正整数 a,b 的最大公约数；若余数 c 不为零，则继续执行下面的步骤。
3. 将原来的除数 b 作为被除数，余数 c 作为除数，再次进行计算：以求解 48 和 30 的最大公约数为例，根据欧几里得辗转相除法的原理，具体运算步骤如下：1. 计算余数48 % 30 = 184. 余数不为0，继续执行步骤2，将原来的除数作为新的被除数，新的余数作为除数6. 余数不为0，继续执行步骤28. 余数为0，计算结束，此时的除数6即为48和30的最大公约数。
欧几里得辗转相除法的时间复杂度是 O(log min(a,b))，其中 log 表示对数运算。
由于每次计算时的被除数至多减半，因此需要进行 log(min(a,b)) 次计算。
例如，对于 231 和 352 的最大公约数，需要进行log(231) ≈ 7 次计算，计算量相对较小。
但对于极大的数，计算量将会非常大。
总结欧几里得辗转相除法是一种求解最大公约数的通用算法，其主要特点是简单、高效、易于理解。
在实际应用中，我们可以将其用于不同领域的计算，例如计算机科学、通信工程、数学等。
辗转相除法 c
辗转相除法一、引言1.1 任务描述辗转相除法（Euclidean algorithm），也称作欧几里得算法，是一种用于求最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）的算法。
该算法是基于数论中的定理：两个整数的最大公约数等于其中较小数和两数相除的余数的最大公约数。
1.2 算法思想辗转相除法的核心思想是通过反复取余数的操作，将复杂的整数相除问题转化为简单的求余数问题，直到余数为0。
具体执行过程为：将被除数除以除数，得到商和余数，将除数与余数交换，再用新的除数去除以新的余数，以此类推，直到得到余数为0为止。
最后一个非零余数即为最大公约数。
二、辗转相除法详解2.1 原始辗转相除法原始的辗转相除法可以通过递归或循环来实现。
以下是基于循环的实现方法：int gcd(int a, int b) {while (b != 0) {int temp = b;b = a % b;a = temp;}return a;}2.2 改进辗转相除法为了进一步优化辗转相除法的效率，可以采用更巧妙的方式来计算最大公约数。
一种改进的方法是使用移位运算来替代乘、除和取模运算：int gcd(int a, int b) {if (a < b) {return gcd(b, a);}if (b == 0) {return a;}if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) {return gcd(a >> 1, b >> 1) << 1;} else if ((a & 1) == 0 && (b & 1) != 0) {return gcd(a >> 1, b);} else if ((a & 1) != 0 && (b & 1) == 0) {return gcd(a, b >> 1);} else {return gcd(b, a - b);}}三、辗转相除法应用辗转相除法不仅仅可以用于求解最大公约数，还可以应用于其他问题中，例如：3.1 求解最小公倍数最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）可以通过最大公约数和两个数的乘积来计算得到。
因式分解辗转相除法
因式分解辗转相除法因式分解是数学中的一个重要概念，而辗转相除法则是求解因式分解的一种常用方法。
在本文中，我们将详细介绍因式分解和辗转相除法的相关知识。
一、因式分解的概念在代数学中，因式分解是将一个多项式或整数分解为不可再分解的乘积的过程。
多项式的因式分解是将其写成多个因子相乘的形式，而整数的因式分解则是将其写成质因数的乘积的形式。
因式分解是代数学中的基本操作，它有助于简化计算和解决问题。
二、辗转相除法的概念辗转相除法，又称为欧几里德算法，是求解最大公约数的一种常用方法。
它利用了两个整数的除法和余数的关系，通过反复进行除法运算，直到余数为零，从而得到最大公约数。
辗转相除法可以应用于整数、多项式和有理数等不同的数学领域。
三、整数的因式分解与辗转相除法的关系在整数的因式分解中，辗转相除法常常被用来求解最大公约数。
通过辗转相除法，我们可以将一个整数分解为若干个质因数的乘积。
具体步骤如下：1. 首先，我们找到该整数的一个质因数；2. 然后，将该质因数除去，得到一个较小的整数；3. 对较小的整数继续进行相同的操作，直到无法再分解为质因数为止；4. 最后，将所有的质因数乘在一起，即得到了该整数的因式分解。
例如，对于整数60，我们可以通过辗转相除法将其分解为2 * 2 * 3 * 5。
这个过程中，我们先找到了整数60的一个质因数2，然后将60除以2，得到30；接着，我们再次将30除以2，得到15；再将15除以3，得到5；最后，我们将5除以5，得到1。
这样，我们便得到了整数60的因式分解。
四、多项式的因式分解与辗转相除法的关系在多项式的因式分解中，辗转相除法同样可以起到重要的作用。
通过辗转相除法，我们可以将一个多项式分解为多个因子的乘积。
具体步骤如下：1. 首先，我们找到多项式的一个因子；2. 然后，将该因子除去，得到一个较低次数的多项式；3. 对较低次数的多项式继续进行相同的操作，直到无法再分解为因子为止；4. 最后，将所有的因子乘在一起，即得到了多项式的因式分解。
辗转相除法的原理
辗转相除法的原理辗转相除法，又称为欧几里得算法，是一种用于求两个数的最大公约数的算法。
这个算法的原理非常简单，但却非常有效，可以在较短的时间内求得两个数的最大公约数。
在数论和计算机科学中，辗转相除法被广泛应用，因此了解其原理和应用是非常重要的。
辗转相除法的原理可以用一句话来概括，两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数相除余数的最大公约数。
这个原理可以通过一个简单的例子来加以说明。
假设我们要求解 48 和 18 的最大公约数，我们可以用辗转相除法来进行计算。
首先，我们用 48 除以 18，得到商 2，余数 12。
然后，我们用 18 除以 12，得到商 1，余数 6。
接着，我们用 12 除以 6，得到商 2，余数 0。
当余数为 0 时，我们就可以停止计算了。
此时，最大公约数就是最后一个非零余数，即 6。
因此，48 和 18 的最大公约数就是 6。
通过这个例子，我们可以清晰地看到辗转相除法的原理，每一次计算都是用较大的数除以较小的数，然后用上一步的除数去除上一步的余数，直到余数为 0 为止。
最后一个非零余数就是这两个数的最大公约数。
辗转相除法的原理非常简单，但却非常有效。
它可以在较短的时间内求得两个数的最大公约数，因此在实际应用中非常有用。
在计算机科学中，辗转相除法常常用于求解整数的最大公约数，这对于设计和分析算法是非常重要的。
总的来说，辗转相除法是一种简单而有效的算法，用于求解两个数的最大公约数。
通过不断地用较大的数去除以较小的数，然后用上一步的除数去除上一步的余数，直到余数为 0 为止，最后一个非零余数就是这两个数的最大公约数。
这个算法在数论和计算机科学中有着广泛的应用，因此了解其原理和应用是非常重要的。
辗转相除法求最大约数
辗转相除法求最大约数辗转相除法求最大约数什么是辗转相除法？辗转相除法，又称欧几里得算法，是求两个正整数的最大公约数的一种方法。
它基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数的差的最大公约数。
例如，252和105的最大公约数是21（252=21×12，105=21×5），因为252−105×2=42，而42和105的最大公约数是21。
这个过程可以继续下去，因为42−21×2=0，所以42和105的最大公约数就是21。
如何使用辗转相除法求最大约数？首先需要明确一个概念：余数。
在进行辗转相除法时，在每一次操作中都会产生一个余数。
余数是指在进行除法运算时未被整除部分所剩下来的部分。
步骤：1.将两个正整数a,b中较大的那个赋给a, 较小的那个赋给b；2.用a除以b,得到余数r;3.如果r等于0，则b就是两个正整数的最大公约数；否则执行第4步；4.将b赋值给a, 将r赋值给b, 重新执行第2步。
重复执行第2步和第4步，直到余数r等于0为止。
此时，b就是两个正整数a和b的最大公约数。
举例：求出24和60的最大公约数。
1.将60赋给a, 24赋给b;2.用60除以24,得到余数12;3.因为12不等于0,所以执行第4步；4.将b的值24赋给a, 将r的值12赋值给b, 重新执行第2步；5.用24除以12,得到余数0;6.因为余数等于0，所以此时的b（即12）就是24和60的最大公约数。
总结：辗转相除法是一种简单而有效的求最大公约数的方法。
它不需要使用复杂的算法或者数据结构，只需要进行简单的除法运算即可。
同时，辗转相除法也可以扩展到求多个正整数的最大公约数，只需要依次对每两个正整数进行求解即可。
求最大公因数的方法辗转相除法
辗转相除法求最大公因数的原理
辗转相除法求最大公因数的原理
一、辗转相除法可以求两个因数的最大公因数。
（欧几里德算法）
1.我们可以用列举法、筛选法及短除法求得，如：6和9的最大公因数（6，9）=3
2.辗转相除法。
9÷6=1 (3)
6÷3=2
3就是9和6的最大公因数。
再如：30和80的最大公因数。
80÷30=2 (20)
30÷20=1 (10)
20÷10=2
10就是30和80的最大公因数。
辗转相除法优点是可以求出两个大数的最大公因数
二、辗转相除法求最大公因数的原理
如果我们要求8251与6105的最大公因数的话，假设8251是这个数x的a倍，再假设6 105是x的b倍，那么2146=8251-6105，是x的(a-b)倍，也是x的倍数，而无论这几个数如何加减，甚至相乘，都还是最大公约数的倍数，我们就可以把求8251与6105的最大公约数简化成求2146和6105的最大公约数，再把求2146与6105的最大公约数简化为求3959(=6105-2146)与2146的最大公约数，如此相减往复几次后，会发现两个数变相等了37=37，这个数就是两个原来数的最大公因数。
举个例子9和69-6=3，保留6,36-3= 3，保留3,3发现两数相等，为3所以最大公因数为3
9和6的最大公因数，我们知道是3。
9是3的倍数，6是3的倍数，那3也一定是3的倍数。
30和80的公因数为m，30是m的倍数，80是m的倍数。
80里有的两个30也肯定是m的倍数，剩下的20也会是m倍数。
10也会是m的倍数。
10=10=m。
辗转相除法
辗转相除法简介辗转相除法，也被称为欧几里得算法，是一种用于求解两个正整数的最大公约数（GCD）的常见方法之一。
它基于下面这个定理：对于任意的非零整数a和b，它们的最大公约数等于b和a除以b的余数的最大公约数。
辗转相除法是一种非常简单但有效的算法，其时间复杂度与输入的大小无关，而仅仅与输入的数值之间的大小关系有关。
因此，在实际应用中，辗转相除法被广泛用于计算最大公约数、判断两个数是否互质以及解决一些其他数学问题。
算法步骤辗转相除法的实现非常简单，主要包括以下几个步骤：1.将待求最大公约数的两个数记为a和b，其中a >= b。
2.若b等于0，则a即为最大公约数，算法结束。
3.求出a除以b的余数，记为r。
4.将b赋值给a，将r赋值给b。
5.返回第3步。
伪代码实现以下是使用Python语言编写的辗转相除法的伪代码实现：function gcd(a, b):while b ≠ 0:r = a % ba = bb = rreturn a示例假设我们要求解整数12和18的最大公约数，按照辗转相除法的步骤，我们可以按照以下方式进行计算：1. a = 18, b = 12。
2.由于b不等于0，执行下一步。
3.计算r = a % b，即r = 6。
4.将b赋值给a，即a = 12，将r赋值给b，即b = 6。
5.返回第3步。
在这个示例中，我们可以看到，在执行了两次计算后，最大公约数已经找到，即为6。
应用辗转相除法在实际应用中有着广泛的应用，下面是其中一些常见的应用场景：1.计算最大公约数：辗转相除法可以有效地计算两个整数的最大公约数，是求解其他数学问题的基础。
2.判断两个数是否互质：如果两个整数的最大公约数是1，则它们被称为互质数。
辗转相除法可以用于判断两个数是否互质。
3.解决线性同余方程：辗转相除法可以用于解决形如ax ≡ b (mod n)的线性同余方程，其中a、b和n为整数。
总结辗转相除法是一种简单而有效的算法，用于计算两个正整数的最大公约数。
辗转相除法 72
辗转相除法 72
辗转相除法，又名欧几里德算法，是求最大公数的一种方法。
它的具体做法是：用
较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。
除法运算性质
（一）若某数除以一个数，又乘坐（或除以）同一个数，则这个数维持不变。
比如：68÷17×17=68。
（二）一个数除以几个数的积，可以用这个数依次除以积里的各个因数。
例如：÷
（2×5×8）=÷2÷5÷8=4。
（三）一个数除以两个数的商，等同于这个数先除以商中的被除数，再乘坐商中的除数。
比如：56÷（8÷4）=56÷8×4=28。
（四）几个数的积除以一个数，可以让积里的任何一个因数除以这个数，再与其他的
因数相乘。
例如：8×72 x 4÷9=72÷9×8×4=。
运用辗转相除法求最大公约数
运用辗转相除法求最大公约数介绍最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个整数中能够同时整除它们的最大正整数。
辗转相除法（又称欧几里德算法）是一种求解最大公约数的算法。
本文将详细介绍辗转相除法的原理、步骤和实现。
辗转相除法原理辗转相除法的原理基于以下数学定理：两个数的最大公约数等于其中较小的数和两数之差的最大公约数。
设两个正整数a和b（a > b），假设q和r分别是a除以b所得的商和余数，即：a = bq + r（q是商，r是余数）则a与b的最大公约数等于b与r的最大公约数，即gcd(a, b) = gcd(b, r)。
根据这个定理，我们可以通过反复用被除数除以余数的结果，来求得最大公约数。
辗转相除法步骤1.输入两个正整数a和b，其中a > b。
2.用a除以b，得到商q和余数r。
3.若r等于0，则b为最大公约数。
4.若r不等于0，则用b除以r，再次得到商q和余数r。
5.重复步骤4，直到余数等于0，此时被除数即为最大公约数。
辗转相除法示例我们用一个示例来说明辗转相除法的求解过程：假设我们要求解36和15的最大公约数。
初始化a=36，b=15。
第一次迭代：a = 36，b = 1536 = 2 * 15 + 6此时余数r=6。
第二次迭代：a = 15，b = 615 = 2 * 6 + 3此时余数r=3。
第三次迭代：a = 6，b = 36 = 2 * 3 + 0此时余数r=0。
根据步骤3，余数等于0时，被除数即为最大公约数。
所以，36和15的最大公约数为3。
辗转相除法的实现下面给出辗转相除法的实现代码（使用Python编写）：def gcd(a, b):if b == 0:return aelse:return gcd(b, a % b)代码中的gcd函数递归地调用自身，直到余数为0，然后返回被除数作为最大公约数。
辗转相除法的时间复杂度辗转相除法的时间复杂度取决于被除数和除数的大小关系。
两个多项式互素辗转相除法
两个多项式互素辗转相除法辗转相除法是一种求解两个多项式是否互素的方法。
在代数学中，两个多项式称为互素，当且仅当它们没有公共的因子。
辗转相除法可以帮助我们判断两个多项式是否互素，同时也可以用于求解最大公因式和最小公倍式等问题。
我们来了解一下什么是多项式。
多项式是由常数和变量的乘积相加而成的代数表达式。
例如，3x^2 + 2x - 1就是一个多项式。
多项式的次数是指其中最高次项的次数。
例如，上述多项式的次数为2。
现在，假设我们有两个多项式A(x)和B(x)，我们想要判断它们是否互素。
我们可以使用辗转相除法来进行判断。
我们将A(x)除以B(x)，得到商Q1(x)和余数R1(x)。
也就是说，A(x) = Q1(x) * B(x) + R1(x)。
接下来，我们将B(x)除以R1(x)，得到商Q2(x)和余数R2(x)。
也就是说，B(x) = Q2(x) * R1(x) + R2(x)。
我们继续进行这个过程，将R1(x)除以R2(x)，得到商Q3(x)和余数R3(x)。
也就是说，R1(x) = Q3(x) * R2(x) + R3(x)。
我们重复上述步骤，直到余数为零为止。
也就是说，当Rn(x)为零时，我们可以判断A(x)和B(x)是否互素。
如果最终余数Rn(x)为零，那么我们可以得出结论，A(x)和B(x)是互素的。
这是因为，如果它们有一个公共的因子，那么这个因子也必须能够整除Rn(x)，但是Rn(x)为零，所以它们没有公共的因子。
如果最终余数Rn(x)不为零，那么我们可以得出结论，A(x)和B(x)不是互素的。
这是因为，如果它们互素，那么它们的最大公因式应该为1，而余数Rn(x)不为零，说明它们有一个公共的因子。
通过辗转相除法，我们可以快速判断两个多项式是否互素。
这在代数学中有很多应用，例如在分式化简、求解方程组等问题中都会用到。
总结一下，辗转相除法是一种用于判断两个多项式是否互素的方法。
通过将两个多项式进行辗转相除，我们可以得到最终的余数。
6第六节 辗转相除法
6 0
24 2 3
6 0
3
一般地，我们有：
12345 18 678 12204 141 114 27 3 4 564 1 114 4 108 4 6 6 0
a q1 b bq1 q2 r1q2 r1 q3 r2 r2 q3 q4 r3 q4 r3 q5 r4 rn 0
性质
推论2 若a,b是非零整数,则a与b互素的充要条件是 存在整数x,y,适合ax+by=1.
证明 : 若(a, b) 1,由推论1知成立. 若ax by 1, 设d (a, b), 则d a, d b , d ax by 1, d 1, (a, b) 1, 即：a, b互素.
8 162 1 91 1 71 3 60 1 11 1 9 2 2 0
1 4 5 9 32 41 73 625 1 4 1 4 5 1 从而 x=(-1)673=73, y=-(-1)7625=625
9 4 8 2 1
例题
例3 求整数x,y,使得 1387x-162y=(1387,162). 解：先用转转相除法 求出q i： 再由欧拉算法求出Q 7 , P7 4 1 1 3 1 1 8
k q Q P 125 7 17 119 2 12 6 1 5 5 5 5 1 0 0 0 1 1 7 1 7 2 2 2 15 3 1 3 22
求整系数线性组合的欧拉算法
例2 求x,y,使得 125x+17y=(125,17).
欧拉提出了一个比欧几里得法； 更快捷的求x,y的方法： 因为
m2
rm1qm (1)
欧几里德算法又称辗转相除法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最大公约数。
其计算原理依赖于下面的定理：定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r因此d是(b,a mod b)的公约数假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b ， d |r ，但是a = kb +r因此d也是(a,b)的公约数因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证[编辑本段]欧几里得算法原理Lemma 1.3.1 若a, b 且 a = bh + r, 其中h, r , 则gcd(a, b) = gcd(b, r).证明. 假设d1 = gcd(a, b) 且d2 = gcd(b, r). 我们证明d1| d2 且d2| d 1, 因而可利用Proposition 1.1.3(2) 以及d1, d2 皆为正数得证d1 = d2.因d1| a 且d1| b 利用Corollary 1.1.2 我们知d1| a - bh = r. 因为d1| b, d1| r 且d2 = gcd(b, r) 故由Proposition 1.2.5 知d1| d2. 另一方面, 因为d2| b 且d2| r 故d2| bh + r = a. 因此可得d2| d1.Lemma 1.3.1 告诉我们当 a > b > 0 时, 要求a, b 的最大公因数我们可以先将 a 除以 b 所得馀数若为r, 则a, b 的最大公因数等於 b 和r 的最大公因数. 因为0r < b < a, 所以当然把计算简化了. 接著我们就来看看辗转相除法. 由於gcd(a, b) = gcd(- a, b) 所以我们只要考虑a, b 都是正整数的情况.Theorem 1.3.2 (The Euclidean Algorithm) 假设a, b 且 a > b. 由除法原理我们知存在h0, r0 使得a = bh0 + r0, 其中0r0 < b.若r0 > 0, 则存在h1, r1 使得b = r0h1 + r1, 其中0r1 < r0.若r1 > 0, 则存在h2, r2 使得r0 = r1h2 + r2, 其中0r2 < r1.如此继续下去直到rn = 0 为止. 若n = 0 (即r0 = 0), 则gcd(a, b) = b.若n1, 则gcd(a, b) = rn - 1.证明. 首先注意若r0 0, 由於r0 > r1 > r2 > ... 是严格递减的, 因为r0 和0 之间最多仅能插入r0 - 1 个正整数, 所以我们知道一定会有nr0 使得rn = 0.若r0 = 0, 即 a = bh0, 故知 b 为 a 之因数, 得证 b 为a, b 的最大公因数. 若r0 > 0, 则由Lemma 1.3.1 知gcd(a, b) = gcd(b, r0) = gcd(r0, r1) = ... = gcd(rn - 1, rn) = gcd(rn - 1, 0) = rn - 1.现在我们来看用辗转相除法求最大公因数的例子Example 1.3.3 我们求 a = 481 和 b = 221 的最大公因数. 首先由除法原理得481 = 2 . 221 + 39, 知r0 = 39. 因此再考虑 b = 221 除以r0 = 39 得221 = 5 . 39 + 26, 知r1 = 26. 再以r0 = 39 除以r1 = 26 得39 = 1 . 2 6 + 13, 知r2 = 13. 最后因为r2 = 13 整除r1 = 26 知r3 = 0, 故由Theore m 1.3.2 知gcd(481, 221) = r2 = 13.在利用辗转相除法求最大公因数时, 大家不必真的求到rn = 0. 例如在上例中可看出r0 = 39 和r1 = 26 的最大公因数是13, 利用Lemma 1.3.1 马上得知gcd(a, b) = 13.在上一节Corollary 1.2.5 告诉我们若gcd(a, b) = d, 则存在m, n 使得 d = ma + nb. 当时我们没有提到如何找到此m, n. 现在我们利用辗转相除法来介绍一个找到m, n 的方法. 我们沿用Theorem 1.3.2 的符号. 首先看r0 = 0 的情形, 此时 d = gcd(a, b) = b 所以若令m = 0, n = 1, 则我们有 d = b = ma + nb. 当r0 0 但r1 = 0 时, 我们知 d = gcd(a, b) = r0. 故利用 a = bh0 + r0 知, 若令m = 1, n = - h0, 则 d = r0 = ma + nb. 同理若r0 0, r1 0 但r 2 = 0, 则知 d = gcd(a, b) = r1. 故利用 a = bh0 + r0 以及 b = r0h1 + r1知r1 = b - r0h1 = b - (a - bh0)h1 = - h1a + (1 + h0h1)b.因此若令m = - h1 且n = 1 + h0h1, 则 d = r1 = ma + nb. 依照此法, 当r0, r1 和r2 皆不为0 时, 由於 d = gcd(a, b) = rn - 1 故由rn - 3 = rn - 2hn - 1 + rn - 1 知 d = rn - 3 - hn - 1rn - 2. 利用前面推导方式我们知存在m1, m2, n1, n2 使得rn - 3 = m1a + n1b 且rn - 2 = m2a + n2b 故代入得d = (m1a + n1b) - hn - 1(m2a + n2b) = (m1 - hn - 1m2)a + (n1 - hn - 1n2)b.因此若令m = m1 - hn - 1m2 且n = n1 - hn - 1n2, 则 d = ma + nb.上面的说明看似好像当r0 0 时对每一个i {0, 1,..., n - 2} 要先将ri 写成r i = mia + nib, 最后才可将 d = rn - 1 写成ma + nb 的形式. 其实这只是论证时的方便, 在实际操作时我们其实是将每个ri 写成mi'ri - 2 + ni'ri - 1 的形式慢慢逆推回 d = ma + nb. 请看以下的例子.Example 1.3.4 我们试著利用Example 1.3.3 所得结果找到m, n 使得13 = gcd(481, 221) = 481m + 221n. 首先我们有13 = r2 = 39 - 26 = r0 - r1. 而r1 = 221 - 5 . 39 = b - 5r0, 故得13 = r0 - (b - 5r0) = 6r0 - b. 再由r 0 = 481 - 2 . 221 = a - 2b, 得知13 = 6(a - 2b) - b = 6a - 13b. 故得m = 6 且n = - 13 会满足13 = 481m + 221n.要注意这里找到的m, n 并不会是唯一满足 d = ma + nb 的一组解. 虽然上面的推演过程好像会只有一组解, 不过只能说是用上面的方法会得到一组解, 并不能担保可找到所有的解. 比方说若令m' = m + b, n' = n - a, 则m'a + n'b = (m + b)a + (n - a)b = ma + nb = d. 所以m', n' 也会是另一组解. 所以以后当要探讨唯一性时, 若没有充分的理由千万不能说由前面的推导过程看出是唯一的就断言是唯一. 一般的作法是假设你有两组解, 再利用这两组解所共同满足的式子找到两者之间的关系. 我们看看以下的作法.Proposition 1.3.5 假设a, b 且 d = gcd(a, b). 若x = m0, y = n0 是 d = ax + by 的一组整数解, 则对任意t , x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 皆为 d = ax + by 的一组整数解, 而且 d = ax + by 的所有整数解必为x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 其中t 这样的形式.证明. 假设x = m, y = n 是 d = ax + by 的一组解. 由於已假设x = m 0, y = n0 也是一组解, 故得am + bn = am0 + bn0. 也就是说a(m - m0) = b(n0 - n). 由于 d = gcd(a, b), 我们可以假设 a = a'd, b = b'd 其中a', b' 且gcd(a', b') = 1 (参见Corollary 1.2.3). 因此得a'(m - m0) = b'(n0 - n). 利用b'| a'(m - m0), gcd(a', b') = 1 以及Proposition 1.2.7(1) 得b'| m - m0. 也就是说存在t 使得m - m0 = b't. 故知m = m0 + b't = m0 + bt/d. 将m = m0 + bt/d 代回am + bn = am0 + bn0 可得n = n0 - at/d, 因此得证 d = a x + by 的整数解都是x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 其中t 这样的形式. 最后我们仅要确认对任意t , x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 皆为 d = ax + by 的一组整数解. 然而将x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 代入ax + by 得a(m0 +bt/d )+ b(n0 - at/d )= am0 + bn0 = d, 故得证本定理.利用Proposition 1.3.5 我们就可利用Example 1.3.4 找到13 = 481x + 2 21y 的一组整数解x = 6, y = - 13 得到x = 6 + 17t, y = - 13 - 37t 其中t 是13 = 481x + 221y 所有的整数解.[编辑本段]欧几里得算法设计辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：1. 若r 是 a ÷b 的余数, 则gcd(a,b) = gcd(b,r)2. a 和其倍数之最大公因子为a。
辗转相除法——精选推荐
辗转相除法2018-03-11 17:39:22⼀、辗转相除法在数学中，辗转相除法，⼜称欧⼏⾥得算法（英语：Euclidean algorithm），是求最⼤公约数的算法。
证明：记gcd(a, b) = dr = a - bk，r 是b对a的余数，由于a是d的倍数，b是d的倍数，k是整数，那么r必是d的倍数。
因此gcd(a, b) == gcd(b, a % b)private int gcd(int x, int y) {return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);}⼆、扩展欧⼏⾥得 / 贝祖定理定理：等式 ax + by = c (其中a，b，c均是整数）存在整数解的充要条件是c % gcd(a, b) == 0，也就是说c是a，b最⼤公约数的倍数。
证明：记gcd(a, b) = d辗转相除的过程如下a /b = s1 ... r1b / r1 = s2 ... r2r1 / r2 = s3 ... r3...r n - 1 / r n = s n + 1 ... r n + 1r n / r n + 1 = s n + 2 ... d现在开始反代，d = r n - r n + 1 * s n +2此时，d是可以通过r n，r n + 1组合得到。
将r n + 1消掉d = r n - (r n - 1 - r n * s n + 1)此时，d是可以通过r n - 1，r n 组合得到。
同理消除，最后d可以通过a，b组合得到。
三、Water and Jug Problem问题描述：有两个容量分别为 x升和 y升的⽔壶以及⽆限多的⽔。
请判断能否通过使⽤这两个⽔壶，从⽽可以得到恰好 z升的⽔？如果可以，最后请⽤以上⽔壶中的⼀或两个来盛放取得的 z升⽔。
你允许：装满任意⼀个⽔壶清空任意⼀个⽔壶从⼀个⽔壶向另外⼀个⽔壶倒⽔，直到装满或者倒空⽰例 1: (From the famous "Die Hard" example)输⼊: x = 3, y = 5, z = 4输出: True⽰例 2:输⼊: x = 2, y = 6, z = 5输出: False问题求解：如果单纯的去思考两个杯⼦之间的倒来倒去，那么问题就会变得⾮常复杂。
不定方程辗转相除法
不定方程辗转相除法
不定方程是指含有未知数的方程，例如ax + by = c，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。
而辗转相除法是一种求解整数解线性方程的方法，也称为欧几里得算法。
该算法的基本思想是利用两个整数的最大公约数性质来求解方程的整数解。
辗转相除法的具体步骤如下：
1. 首先利用辗转相除法求出方程ax + by = d的一组特解，其中d为a和b的最大公约数。
2. 然后利用特解和通解的关系，可以求得方程ax + by = c的通解。
举个例子来说明辗转相除法的具体应用：
假设我们要解方程21x + 14y = 7，首先求出21和14的最大公约数，即gcd(21, 14) = 7。
然后利用辗转相除法求得特解为x0 = 1，y0 = -1。
接着根据特解和通解的关系，可以得到通解为x = 1 + 14t，y = -1 21t，其中t为整数。
总的来说，辗转相除法是一种用于求解整数解线性方程的有效方法，通过寻找特解，然后利用特解和通解的关系，可以得到方程的整数解。
这种方法在数论和离散数学中有着重要的应用，能够帮助我们解决一些实际问题。
辗转相除法的原理
辗转相除法的原理辗转相除法，又称为欧几里得算法，是一种用于求解两个整数的最大公约数的算法。
它的原理简单而又巧妙，可以追溯到古希腊数学家欧几里得，至今仍然被广泛应用于数学和计算机科学领域。
在这篇文档中，我们将深入探讨辗转相除法的原理，以及它的应用和意义。
辗转相除法的原理基于一个简单的事实，如果两个整数a和b，其中a>b，那么它们的最大公约数等于b和a%b的最大公约数。
这里的%表示取模运算，即求a除以b的余数。
这个原理可以通过数学归纳法来证明，但更直观的理解方法是通过具体的例子来说明。
举个例子，假设我们要求解36和24的最大公约数。
按照辗转相除法，我们先用24去除36，得到商1余数12；然后用12去除24，得到商2余数0。
当余数为0时，我们就找到了最大公约数，即为24。
这个过程中，我们不断地用较小的数去除较大的数，直到余数为0为止，这就是辗转相除法的核心思想。
辗转相除法的原理看似简单，但却具有重要的数学意义和实际应用价值。
首先，它为我们提供了一种高效的方法来求解两个整数的最大公约数，这在数论和密码学等领域有着重要的应用。
其次，辗转相除法还可以推广到求解线性同余方程和模逆元等更复杂的数论问题，为我们提供了一种通用的解决方案。
除此之外，辗转相除法还是计算机算法中的重要组成部分。
在计算机领域，我们经常需要对整数进行运算和处理，而最大公约数的计算是其中一个常见的问题。
辗转相除法作为一种高效的算法，被广泛应用于计算机程序中，例如在RSA加密算法和乘法逆元的计算中都有它的身影。
总之，辗转相除法作为一种古老而又经典的算法，其原理简单而又巧妙，具有重要的数学意义和实际应用价值。
它不仅为我们提供了一种高效的方法来求解最大公约数，还在计算机算法中发挥着重要的作用。
通过深入理解和掌握辗转相除法的原理，我们可以更好地应用它于实际问题中，为数学和计算机科学的发展做出贡献。
人教版数学高二-辗转相除法
辗转相除法1.概念辗转相除法, 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求两个正整数之最大公因子的算法.它是已知最古老的算法之一, 最早可追溯至公元前300年.它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》.它并不需要把二数作质因子分解.我们用符号gcd(a,b)表示自然数a和b的最大公因数，在不引起误会的情况下(比如在涉及到解析几何的区间时，因为区间的表示与之一样)，也简写为(a,b).2.算法辗转相除法的实现，是基于下面的性质：1：(a,b)=(a,ka+b)，其中a、b、k都为自然数就是说，两个数的最大公约数，将其中一个数加到另一个数上，得到的新数组，其公约数不变，比如(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2×4)=2.这里有一个比较简单的证明方法来说明这个性质：如果p是a和ka+b的公约数，p整除a，也能整除ka+b.那么就必定要整除b，所以p又是a 和b的公约数，从而证明他们的最大公约数也是相等的.还有另外一个性质也是很必要：2：(0,a)=a由这两个性质得到的，就是更相减损术：(78,14)=(64,14)=(50,14)=(36,14)=(22,14)=(8,14)=(8,6)=(2,6)=(2,4)=(2,2)=(0,2)=2 基本上思路就是大数减去小数，一直减到能算出来为止.不过在平时的计算过程中，往往不必计算到最后一步，比如在上面的过程中，到了(8,6)，就已经能够看出其结果.我们可以看到，在上面的过程中，由(78,14)到(8,14)完全可以一步到位，因为(78,14)=(14×5+8,14)=(8,14)，由此就诞生出我们的辗转相除法.用辗转相除法求(a,b).设r0=b，r1=a，反复运用除法算式，得到一系列整数qi，ri和下面的方程：r0=q1r1+r2，r2＜r1(r2,r1)r1=q2r2+r3，r3＜r2(r3,r2)r2=q3r3+r4，r4＜r3(r4,r3)………………rn-3=qn-2rn-2+rn-1，rn-1＜rn-2 (rn-1,rn-2)rn-2=qn-1rn-1+rn，rn-2＜rn-1 (rn-1,rn)rn-1=qnrn. (rn,0)相当于每一步都运用原理①把数字进行缩小，上面右边就是每一步对应的缩小结果，可以看出，最后的余数r n就是a和b的公约数.我们以一个题为例说明基本过程.例题：求(326,78)326=4×78+14(78,14)78=5×14+8 (14,8)14=1×8+6 (6,8)8=1×6+2 (6,2)6=3×2 (0,2)所以(326,78)=2.。