辗转相除法课件
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辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 课件
(2)算法步骤 第一步,输入两个正整数m,n(m>n). 第二步,计算m除以n所得的余数r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;
否则,返回第二步.
类型 二 更相减损术及其应用
【典型例题】
1.用更相减损术求123与51的最大公约数时,需做减法的次数
是( )
A.3
B.5
C.6
D.8
2.用更相减损术求104与130的最大公约数. 【解题探究】1.用更相减损术求两个正整数的最大公约数时, 何时停止计算? 2.如果两个数都是偶数,求其最大公约数时,第一步操作是什么? 探究提示:1.当减数与差相等时停止计算. 2.如果两个数都是偶数,第一步是先用2约简.
【解析】1.选D. 123-51=72, 72-51=21, 51-21=30, 30-21=9, 21-9=12, 12-9=3, 9-3=6, 6-3=3, 所以共做了8次减法.
【拓展提升】更相减损术与辗转相除法的对比 (1)尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著,但是二者 的算理却是相似的,有异曲同工之妙.主要区别在于辗转相除法 进行的是除法运算,即辗转相除;而更相减损术进行的是减法运 算,即辗转相减,但是实质都是一个不断的递归过程. (2)解答同一个题目,一般情况下,用辗转相除法比用更相减损 术运算的次数要少.
【知识点拨】 1.辗转相除法的原理 设m,n是两个正整数(不妨设m>n),用m除以n,若商为q1,余数为 r1(0≤r1<n),则m=n·q1+r1,显然,若q1是m和n的公约数,即q1能 整除m和n,则q1也必然能整除r1,这样q1也是n和r1的公约数,故 求m和n的公约数就是求n和r1的公约数;同理,用n除以r1,得
人教版高中数学必修3课件1.3.2 辗转相除法与更相减损术课件
思考2: 对于8251与6105这两个数，由于
其公有的质因数较大，利用上述方法求 最大公约数就比较困难.注意到 8251=6105×1+2146，那么8251与6105 这两个数的公约数和6105与2146的公约 数有什么关系？
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 2146=1813×1+333，
1813=333×5+148， 333=148×2+37， 148=37×4+0.
98-63=35，
知识探究（二）:更相减损术
思考1:设两个正整数m>n，若m-n=k， 则m与n的最大公约数和n与k的最大公约 数相等.反复利用这个原理，可求得98与 63的最大公约数为多少？
98-63=35， 63-35=28，
知识探究（二）:更相减损术
思考1:设两个正整数m>n，若m-n=k， 则m与n的最大公约数和n与k的最大公约 数相等.反复利用这个原理，可求得98与 63的最大公约数为多少？
98-63=35， 63-35=28， 35-28=7， 28-7=21， 21-7=14， 14-7=7.
“更相减损术”在中国古代数学专著《九 章算术》中记述为：
可半者半之，不可半者，副置分母、 子之数，以少减多，更相减损，求其等 也，以等数约之.
辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 课件
∴当 x＝3 时，多项式的值为 11 320.
秦九韶算法的步骤：
利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用 带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零， 则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到 大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公 约数．
用更相减损术求最大公约数
用更相减损术求 154,484 的最大公约数． 【思路探究】 解答本题可先将两数约简然后按更相减 损术的步骤反复相减直至得出结果．
更相减损术的算法步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都 是 偶数 ．若是，用 2 约简；若不是，执行第二步． 第二步，以较大的数 减 去较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以 大 数减 小 数．继续这个操作，直 到所得的差与减数 相等 为止，则这个数(等数)或这个数与约 简的数的乘积就是所求的最大公约数.
辗转相除法的算法步骤 第一步，给定两个正整数 m、n. 第二步，计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若 r＝ 0 ，则 m、n 的最大公约数等于 m ， 否则返回第 二 步.
更相减损术
【问题导思】 设两个正整数 m>n(m>n)，若 m－n＝k，则 m 与 n 的最大 公约数和 n 与 k 的最大公约数相等，反复利用这个原理，可 求63＝35,63－35＝28,35－28＝7,28－7＝ 21,21－7＝14,14－7＝7，∴98 与 63 的最大公约数为 7.
秦九韶算法
将 f(x)改写成如下形式：f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x ＋…＋a1)x＋a0.
具体算法如下： (1)计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1＝anx＋an－1. Q (2)由内向外逐层计算多项式的值，即 v2＝v1x＋an－2， v3＝v2x＋an－3， …
秦九韶算法的步骤：
利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用 带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零， 则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到 大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公 约数．
用更相减损术求最大公约数
用更相减损术求 154,484 的最大公约数． 【思路探究】 解答本题可先将两数约简然后按更相减 损术的步骤反复相减直至得出结果．
更相减损术的算法步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都 是 偶数 ．若是，用 2 约简；若不是，执行第二步． 第二步，以较大的数 减 去较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以 大 数减 小 数．继续这个操作，直 到所得的差与减数 相等 为止，则这个数(等数)或这个数与约 简的数的乘积就是所求的最大公约数.
辗转相除法的算法步骤 第一步，给定两个正整数 m、n. 第二步，计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若 r＝ 0 ，则 m、n 的最大公约数等于 m ， 否则返回第 二 步.
更相减损术
【问题导思】 设两个正整数 m>n(m>n)，若 m－n＝k，则 m 与 n 的最大 公约数和 n 与 k 的最大公约数相等，反复利用这个原理，可 求63＝35,63－35＝28,35－28＝7,28－7＝ 21,21－7＝14,14－7＝7，∴98 与 63 的最大公约数为 7.
秦九韶算法
将 f(x)改写成如下形式：f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x ＋…＋a1)x＋a0.
具体算法如下： (1)计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1＝anx＋an－1. Q (2)由内向外逐层计算多项式的值，即 v2＝v1x＋an－2， v3＝v2x＋an－3， …
辗转相除法算法课课件
教材分析
目标分析
过程分析
教法分析
评价分析
程序三：鼓励拓展 ，飞跃点睛
问题四：求m与n的最大公约数（其中，m,n是正整数且m>n)
请写出相应的算法。
难点1：字母问题较抽象，不易想象。 难点2：从算法中提炼循环结构。确定循环体、循环结束的条件。
126 mod 98=28
m
mod
n = r， m=n ,n=r
原理----- （126，98）=（98，28）=（28，14）
设计意图
（1）可采用短除法、质因数分解法。
目的是让学生回顾已有知识， （2）同时，引导学生考虑是否还有别的方法。 目的是让学生并再次感知辗转相除法， 并揭示辗转相除法的原理。 教材分析 目标分析 过程分析 教法分析 评价分析
程序二：合作学习，探索新知
教材分析过程分析教法分析教材分析目标分析过程分析教法分析评价分析教材分析过程分析目标分析教法分析评价分析教材分析目标分析过程分析教法分析评价分析通高中课程标准实验教科书必修3第一章第三节第一课时
人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修3）
辗转相除法
说课人： 周郑鹃
教材分析 学情分析
教学目标 教法学法 教学过程 评价分析
教材分析 目标分析 过程分析 教法分析 评价分析
教材分析
教材的地位和作用 本节课是人教版/普通高中课程标准/实验教科书 必修3/第一章第三节第一课时。 算法是计算机科学的重要基础，算法思想已渗透 在日常生活中的方方面面。学习算法不仅对已学过的 数学知识（如：四则运算，解方程）能有更深刻的认 识，而且对今后将要学习的数列问题也有帮助。 本节课通过探究古代算法案例---辗转相除法，进 一步巩固算法的三种语言（自然语言、程序框图和程 序语句），“使学生体会算法的基本思想，发展有条 理的思考和表达能力”，符合新课标提出的要求和建 议。 教材分析 目标分析 过程分析 教法分析 评价分析
辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 课件
用更相减损术检验： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. 故80和36的最大公约数是4.
『规律总结』 1.利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用 带余除法，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构 成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原 来两个数的最大公约数．
[分析] 要焊接正方体，就是将两种规格的钢筋截成长 度相等的钢筋条．为了保证不浪费材料，应使得每种规格 的钢筋截取后没有剩余，因此截取的长度应为2.4与5.6的公 约数；为使得正方体的体积最大，因此截取的长度应为2.4 与5.6的最大公约数.
[解析] 用更相减损术来求2.4与5.6的最大公约数： 5．6－2.4＝3.2， 3．2－2.4＝0.8， 2．4－0.8＝1.6， 1．6－0.8＝0.8， 因此2.4与5.6的最大公约数为0.8. 所以使得正方体的棱长为0.8m时，程序框图如图所示．
命题方向1 ⇨辗转相除法和更相减损术的应用
用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相 减损术检验所得结果.
[分析] 1.辗转相除法与更相减损术的主要区别是什么？ 2．将80作为大数，36作为小数，执行辗转相除法和更 相减损术的步骤即可．
[解析] 用辗转相除法： 80＝36×2＋8， 36＝8×4＋4， 8＝4×2＋0. 故80和36的最大公约数是4.
改写多项式为：
f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
辗转相除法ppt课件
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 2146=1813×1+333， 1813=333×5+148， 333=148×2+37， 148=37×4+0.
END
结束
思考8:如果用当型循环结构构造算法， 则用辗转相除法求两个正整数m，n的最 大公约数的程序框图和程序分别如何表 示？
开始
输入m，n
n=r m=n
r>0？ 否
输出m
求m除以n的余数r 是
结束
INPUT m，n
WHILE r>0 r=m MOD n m=n n=r
WEND PRINT m
END
例3：用辗转相除法和更相减损术求210与714 的最大公约数.
小结
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除 法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数 上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字 大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果 是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与 差相等而得到
N
b>a?
Y
N
t=a,a=b,b=t
a=a-b
N a=b? Y
输出：a×2i
结束
程序：
INPUT “a,b”;a,b
i=0
WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0
高中数学人教版必修三《1.3.1辗转相除法与更相减损术》课件
•
Байду номын сангаас
二级 •为三主级，更相减损术以减法为主，运算次数上辗转相除法运算
次数• 相四级对较少，特别当两个数比较大时更合适用辗转相除法。
• 五级
（2）从结果体现情势来看，辗转相除法体现结果是以相除
余数为0而得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到的。
2023/9/15
16
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1.3.1 • 单击此处编辑母版文本样式 • 二级 • 三级
• 二级
结• 论三：级8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和 6105•的四最级大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。
• 五级 (8251 , 6105 )=(6105 , 2146 )
第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2 + 1813
（答案：12）
2023/9/15
11
单击〖此辗转处相编除法辑与母更相版减损标术题的区样分式〗
• 单击（此1处）编都是辑求母最版大文公本约样数的式方法，运算上辗转相除法以除法
• 二•为次级三主数级，相更对相 较减少损，术特以别减当法两为个主数，比运较算大次时数更上合辗适转用相辗除转法相运除算法。
• 四级
2023/9/15
148=37×4+0
7
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• 单击此处编辑母版文本样式
• 二级课后必做作业： • 三级 请同• 四学级们课后阅读教材，理解并掌控辗转相除法的程序设计 • 五级
2023/9/15
9
单击此〖更处相减编损辑术〗母版标题样式
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
辗转相除法和更相减损法讲义PPT优秀课件
完整的过程 8251=6105×1+2146
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90
6105=2146×2+1813
135=90×1+45
2146=1813×1+333 1813=333×5+148
90=45×2
显然45是90和45的最大公约数，也就是 225和135的最大公约数
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大
公约数。 (12)
更相减损术算法
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是
一个循环结构。
m=n×q＋r
用程序框图表示出右边的过程
8251=6105×1+2146
r=m MOD n
m=n
n=r
r=0?
否
是
6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0
第一步,给定两个正整数,不妨设m>n, 第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简,使他
们不同时是偶数,约简后的两个数仍记为 m,n 第三步,d=m-n 第四步,判断”d<>0”是否成立,若是,则将n,d 中较大者记为m,较小的记为n,返回第三步; 否则,2^k *d(k是约简整数的2的个数)为所 求的最大公约数.
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次数 a b c
1 98 63 35
2 63 35 28
3 35 28 7
4 28 7 21
5 21 7 14
6 14 7
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考：更相减损直到何时结束？运用的是哪种算法结构？
更相减损是一个反复执行直到减数等于差时停止的步骤， 这实际也是一个循环结构
开始 输入：a,b i=0
a MOD 2=0且b MOD 2=0? N
例 用更相减损术求98与63的最大公约数 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减 （98，63） 98-63=35 =（63，35） 63-35=28 =（35，28） 35-28=7 =（28，7） 28-7=21 =（21，7） 21-7=14 =（14，7） 14-7=7 =（7，7） 所以，98和63的最大公约数等于7。 =7 关系式a-b=c中a,b,c得取值变化情况
b>a? Y
t=a,a=b,b=t a=a-b N a=b? Y 输出：a×2i 结束
N
程序： INPUT “a,b”;a,b i=0 WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0 a=a/2 b=b/2 i=i+1 i=i+1 Y WEND a=a/2,b=b/2 DO IF b>a THEN t=a a=b b=t END IF a=a-b LOOP UNTIL a=b PRINT a*2^i END
运筹帷幄，决胜千里
算法案例之求最大公约数
例、求18与24的最大公约数：
解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 12 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。 得：18和24最大公约数是：2×3＝6
短除法
求以下几组正整数的最大公约数。 (注：若整数m和n满足n整除m，则（m,n）=n。用（m,n）来表示 m和n的最大公约数。)
（1）（18，30） 6； （3）（63，63） 63； （5）（301，133 ） 7；
（2）（24，16） （4）（72，8）
8； 8；
想一想，如何求8251与6105的最大公约数？
开始 输入：m,n m>n? Y
穷举法
穷举法（也叫枚举法） 步骤： 从两个数中较小数开始 由大到小列举，直到找到公 约数立即中断列举，得到的 公约数便是最大公约数 。
一位美国的幼儿园老师为了教育孩子火海逃生，引导学生做了一个非 非常有趣的游戏──“火海逃生”。老师将许多乒乓球放进瓶子，只露出 系着的棉线。花瓶代表大楼，细细的瓶颈是惟一的出口，七只乒乓球则 是楼里的居民，要求当大楼突然起火时，全体居民能在短时间里安全逃 离。七名学生兴奋地上场了，他们各执一根棉线，报警器一响，都以最 快的反应拉扯绳子，可一个“人”也没能脱离火海，原来，七只乒乓球都 卡在了瓶口。又开始了第二次实验？ 这几个学生面面相觑，只见其中一个小声跟同伴们商量了几句，这 回大家没有各顾各地拉绳子，而是由左到右依次地拉。果然，报警 器的尾音还没结束，七位“居民”已离开了出口，转移到了安全地带。
小 结
辗转相除法与更相减损术的区别： （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法 为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算 次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的 区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除 余数为0而得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到的。
关系式m=np+r中m,n,r得取值变化情况 次数 m n r 1 8251 6105 2146 2 6105 2146 1813 3 2146 1813 333 4 1813 333 148 5 333 148 37 6 148 37
0
思考：辗转相除直到何时结束？主要运用的是哪种算法结构？
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤， 这实际上是一个循环结构 辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： ① 输入两个正整数m和n； ② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中； ③更新被除数和余数：m=n，n=r。 ④判断余数r是否为0：若余数为0则输出结果，否则转 向第②步继续循环执行。 如此循环，直到得到结果。
练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数： （1）（225，135） 45 （2）（98，196） 98 24 （3）（72，168） （4）（153，119） 17
8251和6105的最大公约数 解： （8251，6105） 8251=6105×1+2146 =（6105，2146） 6105=2146 ×2+1813 =（2146，1813） 2146=1813 ×1+333 =（1813，333） 1813=333 ×5+148 =（333，148） 333=148 ×2+37 =（148，37） =37 148=37 ×4
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较 小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所 得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公 约数。
例、用更相减损术求98与63的最大公约数 （自己按照步骤求解） 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减。 （98，63） =（63，35） 98-63=35 63-35=28 =（35，28）
35-28=7
28-7=21 21-7=14 14-7=7
=（28，7）
=（21，7） =（14，7） =（7，7） =
7
所以，98和63的最大公约数等于7。
练习：用更相减损术求下列两数的最大公约数：
（1）（225，135） 45 （3）（72，168） 24
（2）（98，196） 98 （4）（153，119） 17
N
t=m,m=n,n=t
i=m+1 i=i-1
m MOD i=0且n MOD i=0?
N
Y
输出：i 结束
辗转相除法
定理： 已知m,n,r为正整数，若m=nq+r（0≤r<n）（即r=m MOD n）,则（m,n）=(n,r)。
分析：m=nq+r r=m-nq
…… ① …… ②
例1、求8251和6105的最大公约数。 解： （8251，6105） 8251=6105×1+2146 =（6105，2146） 6105=2146 ×2+1813 =（2146，1813） 2146=1813 ×1+333 =（1813，333） 1813=333 ×5+148 =（333，148） 333=148 ×2+37 =（148，37） 148=37 ×4 =37
开始 输入：m,n r=m MOD n m=n n=r
r=0? Y
输出：m 结束
N
程序： INPUT “m，n=”;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
更相减损术
同理：a,b,c为正整数，若a-b=c，则（a,b）=(b,c)。
“更相减损术”（也是求两个正整数的最大公约数的算法） 步骤： 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。 若是，则用2约简；若不是则执行第二步。