辗转相除法课件

次数 a b c
1 98 63 35
2 63 35 28
3 35 28 7
4 28 7 21
5 21 7 14
6 14 7
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考：更相减损直到何时结束？运用的是哪种算法结构？
更相减损是一个反复执行直到减数等于差时停止的步骤， 这实际也是一个循环结构
开始 输入：a,b i=0
a MOD 2=0且b MOD 2=0? N
例 用更相减损术求98与63的最大公约数 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减 （98，63） 98-63=35 =（63，35） 63-35=28 =（35，28） 35-28=7 =（28，7） 28-7=21 =（21，7） 21-7=14 =（14，7） 14-7=7 =（7，7） 所以，98和63的最大公约数等于7。 =7 关系式a-b=c中a,b,c得取值变化情况
b>a? Y
t=a,a=b,b=t a=a-b N a=b? Y 输出：a×2i 结束
N
程序： INPUT “a,b”;a,b i=0 WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0 a=a/2 b=b/2 i=i+1 i=i+1 Y WEND a=a/2,b=b/2 DO IF b>a THEN t=a a=b b=t END IF a=a-b LOOP UNTIL a=b PRINT a*2^i END
运筹帷幄，决胜千里
算法案例之求最大公约数
例、求18与24的最大公约数：
解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 12 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。 得：18和24最大公约数是：2×3＝6
短除法
求以下几组正整数的最大公约数。 (注：若整数m和n满足n整除m，则（m,n）=n。用（m,n）来表示 m和n的最大公约数。)
（1）（18，30） 6； （3）（63，63） 63； （5）（301，133 ） 7；
（2）（24，16） （4）（72，8）
8； 8；
想一想，如何求8251与6105的最大公约数？
开始 输入：m,n m>n? Y
穷举法
穷举法（也叫枚举法） 步骤： 从两个数中较小数开始 由大到小列举，直到找到公 约数立即中断列举，得到的 公约数便是最大公约数 。
一位美国的幼儿园老师为了教育孩子火海逃生，引导学生做了一个非 非常有趣的游戏──“火海逃生”。老师将许多乒乓球放进瓶子，只露出 系着的棉线。花瓶代表大楼，细细的瓶颈是惟一的出口，七只乒乓球则 是楼里的居民，要求当大楼突然起火时，全体居民能在短时间里安全逃 离。七名学生兴奋地上场了，他们各执一根棉线，报警器一响，都以最 快的反应拉扯绳子，可一个“人”也没能脱离火海，原来，七只乒乓球都 卡在了瓶口。又开始了第二次实验？ 这几个学生面面相觑，只见其中一个小声跟同伴们商量了几句，这 回大家没有各顾各地拉绳子，而是由左到右依次地拉。果然，报警 器的尾音还没结束，七位“居民”已离开了出口，转移到了安全地带。
小 结
辗转相除法与更相减损术的区别： （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法 为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算 次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的 区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除 余数为0而得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到的。
关系式m=np+r中m,n,r得取值变化情况 次数 m n r 1 8251 6105 2146 2 6105 2146 1813 3 2146 1813 333 4 1813 333 148 5 333 148 37 6 148 37
0
思考：辗转相除直到何时结束？主要运用的是哪种算法结构？
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤， 这实际上是一个循环结构 辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： ① 输入两个正整数m和n； ② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中； ③更新被除数和余数：m=n，n=r。 ④判断余数r是否为0：若余数为0则输出结果，否则转 向第②步继续循环执行。 如此循环，直到得到结果。
练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数： （1）（225，135） 45 （2）（98，196） 98 24 （3）（72，168） （4）（153，119） 17
8251和6105的最大公约数 解： （8251，6105） 8251=6105×1+2146 =（6105，2146） 6105=2146 ×2+1813 =（2146，1813） 2146=1813 ×1+333 =（1813，333） 1813=333 ×5+148 =（333，148） 333=148 ×2+37 =（148，37） =37 148=37 ×4
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较 小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所 得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公 约数。
例、用更相减损术求98与63的最大公约数 （自己按照步骤求解） 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减。 （98，63） =（63，35） 98-63=35 63-35=28 =（35，28）
35-28=7
28-7=21 21-7=14 14-7=7
=（28，7）
=（21，7） =（14，7） =（7，7） =
7
所以，98和63的最大公约数等于7。
练习：用更相减损术求下列两数的最大公约数：
（1）（225，135） 45 （3）（72，168） 24
（2）（98，196） 98 （4）（153，119） 17
N
t=m,m=n,n=t
i=m+1 i=i-1
m MOD i=0且n MOD i=0?
N
Y
输出：i 结束
辗转相除法
定理： 已知m,n,r为正整数，若m=nq+r（0≤r<n）（即r=m MOD n）,则（m,n）=(n,r)。
分析：m=nq+r r=m-nq
…… ① …… ②
例1、求8251和6105的最大公约数。 解： （8251，6105） 8251=6105×1+2146 =（6105，2146） 6105=2146 ×2+1813 =（2146，1813） 2146=1813 ×1+333 =（1813，333） 1813=333 ×5+148 =（333，148） 333=148 ×2+37 =（148，37） 148=37 ×4 =37
开始 输入：m,n r=m MOD n m=n n=r
r=0? Y
输出：m 结束
N
程序： INPUT “m，n=”;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
更相减损术
同理：a,b,c为正整数，若a-b=c，则（a,b）=(b,c)。
“更相减损术”（也是求两个正整数的最大公约数的算法） 步骤： 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。 若是，则用2约简；若不是则执行第二步。