【专题复习】与中点有关的图形结构
中考复习1 中点专题
中点专题【类型一】见中线 可倍长例1、如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 点F ，AF=EF ，求证：A C=BE.变式、如下图所示，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若AD 为△ABC 的角平分线，求证：BG ＝CF.例2、如图,在ABC Rt ∆中,︒=∠90BAC ,点D 为BC 中点,点E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且FD ED ⊥.以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形?若能,请判断此三角形的形状.变式1、 如图所示，已知M 为△ABC 中BC 边上的中点，∠AMB 、 ∠AMC 的平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ，连接EF ．求证：BE+CF>EF ．4例3、已知:ABC ∆和ADE ∆是两个不全等的等腰直角三角形,其中BC BA =,DE DA =,连接EC,取EC 的中点M,连接BM 和DM.(1)如图1,如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上,那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是____________；(2)将图1中的ADE ∆绕点A 旋转到图2的位置,此时DE AC //判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.检测1、在ABC ∆中,AD 是边BC 上的中线,已知4=AB ,6=AC ,则中线AD 的取值范围是___________。
检测2、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF 。
①求证：BE ＋CF ＞EF 。
（4分）【类型二】见等腰三角形，想“三线合一”例4、如图所示:一幅三角板如图放置,等腰直角三角板ABC 固定不动,另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D 处,且可以绕点D 旋转,在旋转过程中,两直角边的交点G 、H 始终在边AB 、BC 上.(1)在旋转过程中线段BG 和CH 大小有何关系?证明你的结论.(2)若cm BC AB 4==,在旋转过程中四边形GBHD 的面积是否改变?若不变,求出它的值;若改变,求出它的取值范围.(3)若交点G 、H 分别在边AB 、BC 的延长线上,则(1)中的结论仍然成立吗?请画出相应的图形,直接写出结论.例5、如图，点P 是等腰Rt △ABC 底边BC 上一点，过点P 作BA 、AC 的垂线，垂足为E 、F ，设点D 为BC 中点，求证：△DEF 是等腰直角三角形．检测1、如图,ABC ∆是等腰直角三角形,AC AB =,D 是斜边BC 的中点,E 、F 分别是AB 、AC 边上的点,且.(1)请说明:DF DE =;(2)请说明:222EF CF BE =+;(3)若6=BE ,8=CF ,求DEF ∆的面积(直接写结果).【类型三】见斜边 想中线例6、如图,在ABC ∆中,若C B ∠=∠2,BC AD ⊥,E 为BC 边中点,求证:DE AB 2=.例7、 如图，在ABC Rt ∆中,︒=∠90ACB ,点D 、E 分别为AB 、BC 的中点,点F 在AC 的延长线上,B FEC ∠=∠.请问DE CF =成立吗?试说明理由.(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)检测2、如图在Rt △ACB 中，C 为直角顶点，∠ABC=25°，O 为斜边中点，将OA 绕着点O 逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至OP ，当△BCP 恰为轴对称图形时，θ的值为 .【类型四】见多个中点，想中位线例8、如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE(不需证明).(温馨提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，证得HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE.)问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论.问题二：如图3，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF交延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明.检测1、如图,在ABC ∆中,点O 是重心,10=BC ,连接AO 并延长交BC 于点D,连接BO 并延长交AC 于点E,BE AD ⊥.若62==OD BE ,6=AO ,则AC 的值为________。
专题03 梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理中考数学专题复习
专题03 梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理梯子模型如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图 2),就是所谓的梯子模型。
[考查方向]已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,求线段最值问题。
模型一:如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB= ZAOC= 90°AC的中点为P,连接OP、BP、OB,则当 O、P、B三点共线时,此时线段 OB最大值。
即已知 RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中 OB的最值模型二: 如图所示,矩形ABCD 的顶点 A、B分别在边 OM、ON上,当点A在边 OM上运动时,点 B随之在 ON 上运动，且运动的过程中矩形 ABCD形状保持不变，AB的中点为P,连接 OP、PD、OD,则当 O、P、D三点共线时,此时线段 OD 取最大值四边形中对角互补模型对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。
主要分为含90°与120°的两种对角互补类型。
该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似.模型一：含90°的全等型1.如图1，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S=S+S=OC.2.如图2，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③S-S=OC.图1 图2 图3模型二、：含60°与120°的全等型如图3，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S+S=OC.梯形中位线定理（1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线（2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
通用版2022年九年级数学中考复习专题：与中点有关的辅助线做法
A F
E
BPD
C
九年级中考数学复习
2、如图等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上一点，求证：PA2=AB2-PB×PC。 A
BP
C
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3、如图，钝角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M,N分别是线段BC， DE的中点。求证：MN⊥DE。
ND EA
B
M
C
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A
A
A
A
B
D
C
E
B
D
C
B
E
DCBDC NhomakorabeaF
E
要点诠释：有些几何题在利用“倍长中线”证完一次全等三角形后，还需再证一次 全三角形，即：“二次全等”。
类型三：构造中位线
已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线；已知一边中点，可 以在另一边上取中点，连接构造中位线；已知一边中点，过中点作平行线可构成相 似三角形。如图1，任意三角形ABC两边的中点D、E连接后，可得DE∥BC，DE=1BC
E
A
F
B
D
C
九年级中考数学复习
7、如图，在△ABC中，D为AC上一点，AB=CD，F是AD的中点，M为BC的中点， 连接MF并延长BA的延长线于点E
E j AG FD
B
M
C
九年级中考数学复习
8、如图在四边形ABCD
形面积的四分之一。
3、连接任意四边形四边的中点得到平行四边形，连接矩形四边的中点得到的是菱形
，连接菱形四边的中点得到的是矩形，连接正方形四边的中点得到的是正方形。
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【例题精讲】
类型一：构造中线
(必考题)七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项知识点复习(课后培优)
一、解答题1．如图，C 是线段AB 上一点，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点.(1)若1AM =,4BC =，求MN 的长度．(2)若6AB =,求MN 的长度．解析：（1）3；（2）3.【分析】（1）由中点可得CN 和MC 的长，再由 MN=MC+CN 可求得MN 的长；（2）由已知可得AB 的长是NM 的2倍，已知AB 的长，可求得MN 的长度．【详解】解：(1)∵N 是BC 的中点，M 是AC 的中点，1AM =，4BC =，∴2CN =，1AM CM ==，∴3MN MC CN =+=.(2)∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，6AB =， ∴132NM MC CN AB =+==. 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．2．如图，C ，D ，E 为直线AB 上的三点.（1）图中有多少条线段，多少条射线？能用大写字母表示的线段、射线有哪些？请表示出来；（2）若一条直线上有n 个点，则这条直线上共有多少条线段，多少条射线？解析：（1）有10条线段，10条射线.能用大写字母表示的线段：线段AC 、线段AD 、线段AE 、线段AB 、线段CD 、线段CE 、线段CB 、线段DE 、线段DB 、线段EB.（2）(1)2n n -条线段，2n 条射线.【解析】【分析】对于（1），这条直线上共5个点，求直线上的线段条数，相当于求从5个点中任取两个点的不同取法有多少种，可从点A 开始，用划曲线的方法从左向右依次连接其它各点，再从点C 开始，用同样的划曲线方法，直到将线段EB 画出为止，即可找到所有的线段，由于每个点对应两条射线，由直线上的5个点即可知有多少条射线；对于（2），和（1）类似，当一条直线上有n 个点时，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，结合其中有一半重合的线段，则可计算出n个点所组成的线段条数；一个点对应延伸方向相反的两条射线，可表示出当一条直线上有n个点时的射线条数.【详解】解：（1）图中有10条线段，10条射线.如图所示.能用大写字母表示的线段：线段AC、线段AD、线段AE、线段AB、线段CD、线段CE、线段CB、线段DE、线段DB、线段EB.能用大写字母表示的射线：射线AC、射线CD、射线DE、射线EB、射线CA、射线DC、射线ED、射线BE.（2）因为n个点，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，所以n个点就组成n(n-1)条线段.因为其中有一半重合的线段，如线段AC与线段CA，所以这条直线上共有(1)2n n条线段.因为一个端点对应延伸方向相反的两条射线，所以当一条直线上有n个点时，共有2n条射线.【点睛】此题考查直线、射线、线段，解题关键在于掌握直线上射线、线段条数的求法.3．如图，已知点C是线段AB的中点，点D在线段CB上，且DA=5，DB=3.求CD的长.解析：1【解析】【分析】根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得AC的长，根据线段的和差，可得答案．【详解】由线段的和差，得AB=AD+BD=5+3=8.由线段中点的性质,得AC=CB=12AB=4.由线段的和差，得CD=AD−AC=5−4=1.【点睛】此题考查两点间的距离，解题关键在于掌握各性质定义.4．如图是由若干个正方体形状的木块堆成的，平放于桌面上。
专题8.3 空间几何中的平行、垂直(练习)【必考点专练】2023届高考数学二轮复习专题
专专8.3空间几何中的平行、垂直一、单选题1. 设,l m 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，Q 表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①,Q l Q l αα∈⊂⇒∈②,l m Q m l ββ⋂=⊂⇒⊂③//,,,l m l Q m Q m ααα⊂∈∈⇒⊂④,αβ⊥且,,,m Q Q l l l αββαβ⋂=∈∈⊥⇒⊂A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④ 2. 如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）A. 直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB. 直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC. 直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD. 直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B3. 如图A ，B ，C ，D 为空间四点，在ABC 中，2AB =，2AC BC ==，等边三角形ADB 以AB 为轴旋转，当平面ADB ⊥平面ABC 时，CD =( )A. 3B. 2C. 5D. 14. 如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ︒∠=，90BAD ︒∠=，将ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列命题正确的是( )A. 平面ABD ⊥平面ABCB. 平面ADC ⊥平面BDCC. 平面ABC ⊥平面BDCD. 平面ADC ⊥平面ABC二、多选题 5. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1B C 上一动点，则( )A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 异面直线1B C 与11A C 所成角为45︒C. 三棱锥11P A DC -的体积为定值D. 平面11AC D 与底面ABCD 的交线平行于11A C6. 如图所示，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻转成1A DE ，若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻转过程中，下列命题正确的是( )A. ||BM 是定值B. 点M 在球面上运动C. 一定存在某个位置，使1DE A C ⊥D. 一定存在某个位置，使//MB 平面1A DE7. 如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点(不含端点)，将ABE 沿AE 翻折，使得二面角B AE D --为直二面角，得到图2所示的四棱锥B AECD -，点F 为线段BD 上的动点(不含端点)，则在四棱锥B AECD -中，下列说法正确的有( )A. B 、E 、C 、F 四点不共面B. 存在点F ，使得//CF 平面BAEC. 三棱锥B ADC -的体积为定值D. 存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直三、填空题 8. 《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且22BC DC PA ==，AM PD ⊥于M ，MN PD ⊥，MN 与PC 交于点.N 则(1)AM 与CD 的关系__________(填“垂直”或“平行”)；(2)PN PC=__________. 9. 如图，在正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，G 是EF 的中点.现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为.H 下列说法错误的是__________(将符合题意的选项序号填到横线上).①AG EFH ⊥所在平面；②AH EFH ⊥所在平面；③HF AEF ⊥所在平面；④HG AEF ⊥所在平面.10. 如图，在Rt ABC 中，1AC =，BC x =，D 为斜边AB 的中点．将BCD 沿直线CD 翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是__________.11. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，BD AC O ⋂=，M 是线段1D O 上的动点，过点M 作平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为__________.四、解答题12. 在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．(1)求证：//EF 平面11AB C ；(2)求证：平面1AB C ⊥平面1.ABB13. 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111.AB B C ⊥求证：(1)//AB 平面11A B C ；(2)平面11ABB A ⊥平面1.A BC14. 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA 是四棱锥P ABCD -的高，,,E F M 分别为,,AB CD PD 的中点．(1)求证：平面//AMF 平面PEC ；(2)若24PA AB BC ===，求多面体PECFMA 的体积.15. 如图，四边形ABCD 为菱形，60.ABC PA ︒∠=⊥平面ABCD ，E 为PC 中点． ()Ⅰ求证：平面BED ⊥平面ABCD ；()Ⅱ求平面PBA 与平面EBD 所成二面角(锐角)的余弦值．16. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11AC A C ⊥平面ABC ，ABC=90︒∠，BAC=30︒∠，11==AC A A AC ，E ，F 分别是AC ，11A B 的中点．()Ⅰ证明：EF BC ⊥；()Ⅱ求直线EF 与平面1BC A 所成角的余弦值．17. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于.F(1)证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；(2)设O 为111A B C 的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，12BC AA ==，O ，M 分别为BC ，1AA 的中点．(1)求证：//OM 平面11CB A ；(2)求点M 到平面11CB A 的距离．19. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，M 为BC 的中点，N 在线段1AA 上.(1)设1=AN NA λ，当λ为何值时，11//?MN ACB 平面 (2)若1AN =，求直线MN 与直线11A C 所成角的正弦值.20. 如图，在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；(2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．答案和解析1.【答案】D解：①Q α∈，l α⊂，点Q 可以不在直线l 上，故A 错误； ②直线l 可以只有一点在面内，故B 错误；③因为//l m ，l α⊂，若m 不在平面α内，//m α，由Q m ∈， 可得Q 在平面α外，这与可点Q α∈相矛盾，故C 正确； ④αβ⊥且m αβ⋂=，Q β∈，Q l ∈，l l αβ⊥⇒⊂， 由面面垂直的性质定理知D 正确.故选.D2.【答案】A解：连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊂/平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面.ABCD因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD ，则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B ，D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥， 1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥， 且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确. 故选.A3.【答案】B解：由题意，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，因为三角形ADB 为等边三角形，所以DE AB ⊥，当平面ADB ⊥平面ABC 时，且平面ADB ⋂平面ABC AB =，又DE ⊂平面ADB ，所以DE ⊥平面ABC ，又CE ⊂平面ABC ，所以DE EC ⊥，又2AB =，2AC BC ==， 所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又BE AE =，所以112CE AB ==， 又332322DE BD ==⨯=， 所以此时2231 2.CD DE CE =+=+=故选.B4.【答案】D解：在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ︒∠=，90BAD ︒∠=， BD CD ∴⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ， 故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥，又AD AB ⊥，AD CD D ⋂=，AD ，CD ⊂平面ADC ，AB ∴⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面.ADC故选.D5.【答案】ACD解：在A 中，1111A C B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，11B D ，1BB ⊂平面11BB D ， 11A C ∴⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理，11DC BD ⊥，1111A C DC C ⋂=，11A C ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，故A 正确;对于B ，易知11//A D B C ，在11A DC 中，1111A D DC AC ==，可得11A DC 为正三角形，异面直线1BC 与11A C 所成角为60︒，故B 错误;对于C ，11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊂/平面11AC D ，1//B C ∴平面11AC D ， 点P 在线段1B C 上运动，P ∴到平面11AC D 的距离为定值，又11AC D 的面积是定值，∴三棱锥11P A C D -的体积为定值，故C 正确；对于D ，设平面11AC D 与底面ABCD 的交线为m ，11A C 是平面11AC D 和平面1111A B C D 的交线，平面//ABCD 平面1111A B C D ，所以11//A C m ，故D 选项正确.故选.ACD6.【答案】ABD解：A 对，取CD 中点N ，连接MN 、NB ，则1//MN A D 、//NB DE ，1A DE MNB ∠=∠，112MN A D ==定值，NB DE ==定值，根据余弦定理得，2222cos MB MN NB MN NB MNB =+-⋅⋅∠，||BM ∴是定值，B 对，B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，C 错，当矩形ABCD 满足AC DE ⊥时存在，其他情况不存在，D 对，取CD 中点N ，连接MN 、NB ，则1//MN A D 、//NB DE ，因为MN ⊂/平面1A DE ，1A D ⊂平面1A DE ，所以//MN 平面1A DE ，同理//BN 平面1A DE ，又MN NB N ⋂=，∴平面//MNB 平面1A DE ，MB ⊂平面MNB ，//MB ∴平面1.A DE故选.ABD7.【答案】AB解：对于A ：假设直线BE 与直线CF 在同一平面上，所以：点E 在平面BCF 上，又点E 在线段BC 上，BC ⋂平面BCF C =，所以点E 与点C 重合，与点E 异于C 矛盾，所以直线BE 与CF 必不在同一平面上，即B 、E 、C 、F 四点不共面，故A 正确； 对于B ：当点F 为线段BD 的中点时，12EC AD =，再取AB 的中点G ， 则//FG AD 且12FG AD =， 则//EC FG ，且EC FG =，所以：四边形ECFG 为平行四边形，所以//FC EG ，又因为,EG ABE FC ABE ⊂⊄平面平面，则：直线//CF 平面BAE ，故B 正确；对于C ：由题B ADC V -，底面ACD 的面积不变，但E 的移动会导致点B 到平面ACD 的距离在变化，所以B ADC V -的体积不是定值，故C 错误；对于D ：过点B 作BO AE ⊥于O ，由于平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ⋂平面AECD AE =，所以BO ⊥平面AECD ，过点D 作DH AE ⊥于H ，因为平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ⋂平面AECD AE =，所以DH ⊥平面BAE ，又因为BE ABE ⊂平面，所以DH BE ⊥，若存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，DH ⊂平面AECD ，DC ⊂平面AECD ，DH DC D ⋂=，所以BE ⊥平面AECD ，所以E 和O 重合，与ABE 是以点B 为直角的三角形矛盾，所以不存在点E ，使得直线BE 与直线CD 垂直，故D 错误．故选：.AB8.【答案】垂直23解：(1)由题意易得CD ⊥平面PAD ，所以CD AM ⊥，又AM PD ⊥于M ，CD PD D ⋂=，进而得AM ⊥平面PCD ，得.AM CD ⊥(2)设BC DC PA a ===，则PD ==，Rt PAD中，PM PA PA PD ==，则PM =， 易得CD ⊥平面PAD ，因为MN PD ⊥，所以//MN CD ，得2.3PN PM PC PD === 故答案为(1)垂直；2(2).39.【答案】①③④解：折之前AG EF ⊥，CG EF ⊥，折之后也垂直，所以EF ⊥平面AHG ，折之前B ∠，D ∠，C ∠均为直角，折之后三点重合， 所以折之后AH ，EH ，FH 三条直线两两垂直，所以AH EFH ⊥所在平面，②对；同时可知AH HG ⊥，又HF AEH ⊥所在平面，过AE 不可能做两个平面与直线HF 垂直，③错； 如果HG AEF ⊥所在平面，则有HG AG ⊥，与②中AH HG ⊥矛盾，④错；若AG EFH ⊥所在平面，则有AG HG ⊥，与②中AH HG ⊥矛盾，所以①也错．故答案为①③④.10.【答案】(0,3] 解：由题意得，212x AD CD BD +===，BC x =， 取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则12DE =，1AC =， 翻折后，在图2中，此时 .CB AD ⊥BC DE ⊥，BC AD ⊥，DE AD D ⋂=，,DE AD ADE ⊂平面，BC ∴⊥平面ADE ，AE ADE ⊂平面，BC AE ∴⊥，DE BC ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，1AB AC ∴==，2114AE x ∴=-，212x AD +=， 在ADE 中：①221111224x x ++>-，②221111224x x +<+-，③0x >， 由①②③，得0 3.x <<如图3，翻折后，当1B CD 与ACD 在一个平面上，AD 与1B C 交于M ，且1AD B C ⊥，1AD B D CD BD ===，1CBD BCD B CD ∠=∠=∠， 又190CBD BCD B CD ︒∠+∠+∠=，130CBD BCD B CD ︒∴∠=∠=∠=，60A ︒∴∠=，tan 60BC AC ︒=，此时1x ==综上，x 的取值范围为故答案为：11.【答案】2解：由题易知，DO AC ⊥，1D O AC ⊥，1DO D O O ⋂=，DO ，1D O ⊂平面11BDD B ， AC ∴⊥平面11BDD B ，又AC ⊂平面1ACD ，∴平面1ACD ⊥平面11BDD B ， 又MN ⊥平面1ACD ，平面1ACD ⋂平面111BDD B D O =，MN ∴⊂平面11BDD B ，且N 在平面1111A B C D 内，11N B D ∴∈，过N 作11NG A B ⊥，交11A B 于G ，将平面1111A B C D 展开，如图：设NG x =，(01)x ，11NG A B ⊥，1111A D A B ⊥，11//NG A D ∴，又11A D ⊥平面11ABB A ，NG ∴⊥平面11ABB A ，且AG ⊂平面11ABB A ，NG AG ∴⊥， 22221(1)222AN x x x x ∴=+-+=-+21362()222x =-+， 当12x =时，AN 取最小值6.2 故答案为：6.212.【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．所以1//EF AB ，因为EF ⊂/平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C ；(2)因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1B C AB ⊥，又因为AB AC ⊥，1AC B C C ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ， 所以AB ⊥平面1AB C ，因为AB ⊂平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1.ABB13.【答案】证明：(1)平行六面体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，又AB ⊂平面1111,A B C A B ⊂/平面11A B C ；得//AB 平面11A B C ；(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，得四边形11ABB A 是菱形，11.AB A B ⊥在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，1111.AB B C AB BC ⊥⇒⊥ 又1A B BC C ⋂=，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC得1AB ⊥面1A BC ，且1AB ⊂平面11ABB A∴平面11ABB A ⊥平面1.A BC14.【答案】(1)证明：矩形ABCD ，且E ，F 是AB 、CD 中点，//AE CF ∴且AE CF =，∴四边形AECF 是平行四边形，//CE AF ∴，又CE ⊂/面AMF ，AF ⊂面AMF ，//CE ∴平面AMF ；又M 是PD 中点，则//MF PC ，同理可得//PC 平面AMF ，又CE ⊂平面PEC ，PC ⊂平面PEC ，CE PC C ⋂=，∴平面//AMF 平面PEC ；(2)解：棱锥M AFD -的高等于PA 的一半，则多面体PECFMA 的体积 111120(12)44142.32323P AECD M AFD V V V --=-=⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=15.【答案】()Ⅰ证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE ， 则O 是AC 的中点．又知E 是PC 中点，//EO PA ∴，PA ⊥平面ABCD ，OE ∴⊥平面.ABCD又知OE ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面.ABCD()Ⅱ解：过B 作BM ⊥平面ABCD ，连接PM ，ME ，如图，由()Ⅰ可知，////PA EO MB ，则MB 是平面PBA 与平面EBD 的交线，由BM ⊥平面ABCD ，AB ，BO ⊂平面ABCD ，可得MB AB ⊥，MB BO ⊥，则ABO ∠即平面PBA 与平面EBD 所成二面角的平面角，四边形ABCD 为菱形，60.ABC ︒∠=可知30ABO ︒∠=，3cos cos30.2ABO ︒∠== 所以，平面PBA 与平面EBD 所成二面角(锐角)的余弦值为3.216.【答案】证明：()Ⅰ连结1A E ，11A A A C =，E 是AC 的中点，1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1A E ∴⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，1A E BC ∴⊥，1//A F AB ，90ABC ︒∠=，1BC A F ∴⊥，111A E A F A ⋂=，1A E 、1A F ⊂平面1A EF ，BC ∴⊥平面1A EF ，又EF ⊂平面1A EF ，EF BC ∴⊥；解：()Ⅱ取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形，由于1A E ⊥平面ABC ，故1A E EG ⊥，∴平行四边形1EGFA 是矩形，由()Ⅰ得BC ⊥平面1EGFA ，则平面1A BC ⊥平面1EGFA ，EF ∴在平面1A BC 上的射影在直线1A G 上，连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角(或其补角)，不妨设4AC =，则在1Rt A EG 中，123A E =，3EG =，O 是1A G 的中点，故11522A G EO OG ===， 2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∴∠==⨯⨯，∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为3.517.【答案】(1)证明：由题意知111////AA BB CC ，又因为侧面11BB C C 是矩形且M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，所以1//MN BB ，1BB BC ⊥，所以1//AA MN ，11MN B C ⊥，又底面为正三角形，所以AM BC ⊥，111A N B C ⊥，又因为1MN A N N ⋂=，1,MN A N ⊂平面1A AMN ，所以11B C ⊥平面1A AMN ，又11B C ⊂平面11EB C F ，所以平面11EB C F ⊥平面1.A AMN(2)解：因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA ⋂平面11EB C F NP =， 所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以6AO NP ==，3ON AP ==， 过M 作MH NP ⊥，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F ⋂平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH ⊥平面11EB C F ，因为3MPN π∠=，所以sin33MH PM π=⋅=， 在ABC 中，EF AP BC AM = 可得2AP BC EF AM⋅== ， 11111()242EB C F S B C EF NP =+⋅=四边形， 又//BC 平面11EB C F ，所以1111B EB C F M EB C F V V --=11124.3EB C F S MH =⋅⋅=18.【答案】(1)证明：如图，连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，.ON 则N 为1CB 的中点，又O 为BC 的中点，1//ON BB ∴，且112ON BB =， 又M 为1AA 的中点，11//MA BB ∴，且1112MA BB =， 1//ON MA ∴且1ON MA =，∴四边形1ONA M 为平行四边形，1//OM NA ∴，又1NA ⊂平面11CB A ，OM ⊂/平面11CB A ，//OM ∴平面11.CB A(2)解：如图，连接AO ，1OB ，1.ABAB AC =，O 为BC 的中点，AO BC ∴⊥， 又直三棱柱111ABC A B C -中，平面11CBB C ⊥平面ABC ，平面11CBB C ⋂平面ABC BC =，AO ⊂平面.ABCAO ∴⊥平面11.CBB C由(1)可知//OM 平面11CB A ，∴点M 到平面11CB A 的距离等于点O 到平面11CB A 的距离，设其为d ， 在直三棱柱111ABC A B C -中，由AB AC ==12BC AA ==可得，1AO =，11A B =1AC =1BC=，11CB A ∴是直角三角形，且1112CB A S = 由11111_{_}O CB A A A COB V V COB V --=-=得：111111213332COB d S AO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，故d =即点M 到平面11CB A19.【答案】解：(1)连接1BC ，交1CB 于点O ，则O 为1CB 的中点，连接1A O ，MO因为M 为BC 的中点，所以1//MO BB ，所以1//MO NA ，从而M ，O ，1A ，N 四点共面.因为//MN 平面11A CB ，MN ⊂平面1MOA N ，平面1MOA N ⋂平面111=ACB AO ， 所以1//.MN AO又1//MO NA ，所以四边形1MOA N 为平行四边形， 所以1111122NA MO BB AA ===， 所以1=1.AN NA (2)因为11//A C AC ，所以直线MN 与直线11A C 所成角即为直线MN 与直线AC 所成角或者其补角. 取AB 的中点G ，连接,MG NG ，M 为BC 的中点，易得//AC GM ，则所求角为GMN ∠或者其补角GMN 中，112GM AC ==， 222GN AG AN =+=，222MN AM AN =+=由余弦定理可得1423cos 2124GMN +-∠==⨯⨯， 则7sin 4GMN ∠=， 所以，直线MN 与直线11A C 所成角的正弦值为7.420.【答案】证明：(1)如图：证明：连接BD ，由题意得AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，得//GH PD ，GH ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，//GH ∴平面PAD ；(2)证明：取棱PC 中点N ，连接DN ，依题意得DN PC ⊥， 又平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC ⋂平面PCD PC =，DN ⊂平面PCD ， DN ∴⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，DN PA ∴⊥，又PA CD ⊥，CD DN D ⋂=，CD ⊂平面PCD ，DN ⊂平面PCD ，PA ∴⊥平面PCD ；(3)解：连接AN ，由(2)中DN ⊥平面PAC ，知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角， PCD 是等边三角形，2CD =，且N 为PC 中点， 3DN ∴=，又DN ⊥平面PAC ，AN PAC ⊂平面，DN AN ⊥，在Rt AND 中，3sin .3DN DAN DA ∠== ∴直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3.3。
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解15 图形的初步认识(解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题15 图形的基本认识【知识要点】考点知识一立体图形⏹立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
⏹平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等【立体图形和平面的区别】1、所含平面数量不同。
平面图形是存在于一个平面上的图形。
立体图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同。
2、性质不同。
根据“点动成线，线动成面，面动成体”的原理可知，平面图形是由不同的点组成的，而立体图形是由不同的平面图形构成的。
由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础。
3、观察角度不同。
平面图形只能从一个角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同。
4、具有属性不同。
平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性。
立方体图形平面展开图三视图及展开图三视图：从正面，左面，上面观察立体图形，并画出观察界面。
考察点：（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。
（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
展开图：正方体展开图（难点）。
正方体展开图口诀（共计11种）：“一四一”“一三二”，“一”在同层可任意,“三个二”成阶梯,“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如。
⏹点、线、面、体几何图形的组成：点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。
考点知识二直线、射线、线段⏹直线、射线、线段的区别与联系：【射线的表示方法】表示射线时端点一定在左边，而且不能度量。
经过若干点画直线数量：1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线（直线公理）。
中考数学专题复习几何探究练习(三)
中考数学专题复习几何探究练习（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．【感知】如图①，点C是AB中点，CD⊥AB，P是CD上任意一点，由三角形全等的判定方法“SAS”易证△P AC≌△PBC，得到线段垂直平分线的一条性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”【探究】如图①，在平面直角坐标系中，直线y=-13x+1分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，连结BD，求BD的长【应用】如图①（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，请在图①网格中画出线段AB;（2）若存在一点P，使得P A=PB′，且∠APB′≠90°，当点P的横、纵坐标均为整数时，则AP长度的最小值为______．2．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．【猜想】如图①，①FDM的大小为度．【探究】如图①，过点A作AM1①DF交MD的延长线于点M1，连结BM．求证：△ABM①①ADM1．【拓展】如图①，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为．3．问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．请根据小明的思路，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：（1）如图①，在四边形ABCD中，AB AD BC=+，DAB∠的平分线和ABC∠的平分线交于CD边上点P．求证：PC PD=；（2）在（1）的条件下，如图①，若10AB=，1tan2PAB∠=．当PBC有一个内角是45︒时，PAD△的面积是．4．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容．结合图①，补全证明过程．【应用】如图①，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD 沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABFE的周长为．【拓展】如图①，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝22，BC＝4，①C＝45°，则EF的长为．5．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，10,AB=点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．()1如图①，连接,CD则CD的长为；()2如图①，'B E与AC交于点,//F DB BC'．①求证:四边形'BDB E为菱形；①连接',B C则'B FC的形状为；()3如图①，则CEF∆的周长为；6．【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：【问题1】赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．【问题2】小明发现只利用直角三角板也可以作①AOB的角平分线，方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．①分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．①作射线OP，则OP为①AOB的平分线．（1）请写出小明作法的完整证明过程．（2）当tan①AOB＝43时，量得MN＝4cm，直接写出MON△的面积．7．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．定理应用：在矩形ABCD中，AB＝2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE＝3BE．（1）如图①，点F在边CB上，连结EF．若13BFCF，则EF与AC的关系为．（2）如图①，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AE'，连结CE′，点H为CE'的中点，连结BH．设BH的长度为m，若AB＝4，则m的取值范围为．8．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图①，B'E与AC交于点F，DB'①BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；①连接B'C，则①B'FC的形状为；（3）如图①，则①CEF的周长为．9．如图，在ABC中，中线BD，CE相交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）当四边形DEFG的形状为矩形时，ABC为______三角形；（3）连接OA，当OA BC时，四边形DEFG的形状为______．10．如图1，正方形ABCD的边长为8cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动（不与点A重合）．设点E，F同时出发移动t秒．(1)基础探究：如图1，在点E、F移动过程中，连接CE、CF、EF，判断CE与CF的数量与位置关系，并说明理由．(2)应用拓展：如图2，点G、H分别在边AD、BC上，且217cmGH=，连接EF，当EF与GH交于点P，且45GPE∠=︒，若点P为EF的中点，则CF的长度为________，AP的长度为________．参考答案：1．探究：BD 的长为53；应用：(1)见解析；(2)5.【解析】 【分析】探究：根据直线解析式，求出点A 、B 坐标，得到BO 、AO 的长，设BD 的长为a ，根据勾股定理列方程可求出BD ；应用：（1）根据旋转的性质作图即可；（2）根据题意可知P 点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B ∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5. 【详解】 解：探究： 由题意得：当x 0=时，y 1=；当y 0=时，x 3=；()A 3,0∴，()B 0,1. AO 3∴=，BO 1=．设BD 的长为a ．①点C 是AB 中点，CD AB ⊥交OA 于点D ，DA DB a ∴==，OD 3a =-．在Rt BOD 中，BOD 90∠=︒，222BD BO DO ∴=+，()22213a a +-=，5a 3∴=，5BD 3=． BD ∴的长为53．应用：(1)如图，线段'AB 即为所求．(2)根据题意可知P点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键.2．（1）45°；（2）证明见解析；（3）22﹣2．【解析】【分析】（1）证明①CDE=①C1DE和①ADF=①C1DF，可得①FDM=12①ADC=45°；（2）先判断出①DAM1=①BAM，由（1）可知：①FDM=45°，进而判断出①AMD=45°，得出AM=AM1，即可得出结论；（3）先作高线C1G，确定①ACC1的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C1在BD上时，C1G最大，其①AC1C的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD＝C1D，①CDE＝①C1DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，①ADC＝90°，①AD＝C1D，①F是AC1的中点，①DF①AC1，①ADF＝①C1DF，①①FDM＝①FDC1+①EDC1＝12①ADC＝45°；故答案为：45；（2）①DF①AC1，①①DFM＝90°，①①MAM'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，①BAD＝90°，①①DAM1＝①BAM，由（1）可知：①FDM＝45°①①DFM＝90°①①AMD＝45°，①①M1＝45°，①AM＝AM1，在：△ABM和△ADM1中，①11BA DABAM DAMAH AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABM①①ADM1（SAS）；（3）如图，过C1作C1G①AC于G，则1AC CS＝12AC•C1G，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，①AC＝2222+＝22，即AC为定值，当C1G最大值，△AC1C的面积最大，连接BD交AC于O，当C1在BD上时，C1G最大，此时G与O重合，①CD＝C1D＝2，OD＝12AC＝2，①C1G＝C1D﹣OD＝2﹣2，①1AC CS＝12AC•C1G＝12×22（2﹣2）＝22﹣2，故答案为：22﹣2．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是①AMD=45°．3．问题呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2）403或8 【解析】【分析】问题呈现：由“SAS ”可证△MOP ≌△NOP ，可得PM ＝PN ；结论应用：（1）在AB 上截取AE ＝AD ，连接PE ，由“SAS ”可证△ADP ≌△AEP ，△BPC ≌△BPE ，可得PD ＝PE ＝PC ；（2）延长AP ，BC 交于点H ，由“ASA ”可证△ADP ≌△HCP ，可得CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】问题呈现：证明：①OC 平分AOB ∠，①AOC BOC ∠=∠．在POM 和PON △中，OP OP POM PON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．①POM PON △≌△．结论应用：在AB 上截取AE AD =，①AP 平分DAB ∠，①DAP BAP ∠=∠，①AP AP =，①ADP AEP △≌△．①PE PD=．①AB AD BC=+，①BE BC=，①BP平分ABC∠，①ABP CBP ∠=∠．①BP BP=．①PBE PBC△≌△．①PE PC=．①PC PD=．（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∵AB＝10，tan∠P AB＝PBPA＝12，∴P A＝2PB，∵P A2+PB2＝AB2，∴PB＝25，P A＝45，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP⊥AP，AP＝PH＝45，∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DP A＝∠CPH，∴△ADP≌△HCP（ASA），∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，∴PB＝PH（不合题意舍去），若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，∴CM＝CN，∵S△PBH＝12×BP×PH＝12×BP×CN+12×PH×CM，∴CM＝CN＝453，∴S△PCH＝12×45×453＝403＝S△ADP；若∠PCB＝45°时，如图⑤，过点P作PF⊥BC于F，∵∠P AB＝∠H，∴tan H＝tan∠P AB＝12，∴12 PFFH，∴FH＝2PF，∵PF2+FH2＝PH2＝80，∴PF＝4，FH＝8，∵PF⊥BC，∠BCP＝45°，∴∠PCB＝∠FPC＝45°，∴CF＝PF＝4，∴CH＝4，∴S△ADP＝S△CPH＝12×4×4＝8，故答案为：8或403．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．【教材呈现】证明见解析；【应用】434；【拓展】2103；【解析】【分析】教材呈现：由“ASA”可证①AOE①①COF，可得OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形，即可证平行四边形AFCE是菱形；应用：过点F作FH①AD于H，由折叠的性质可得AF＝CF，①AFE＝①EFC，由勾股定理可求BF的长，EF的长，拓展：过点A作AN①BC，交CB的延长线于N，过点F作FM①AD于M，由等腰直角三角形的性质可求AN＝BN＝2，由勾股定理可求AE＝AF＝103，再利用勾股定理可求EF的长．【详解】解：【教材呈现】①四边形ABCD是矩形，①AE①CF，①①EAO＝①FCO，①EF垂直平分AC，①AO＝CO，①AOE＝①COF＝90°，①①AOE①①COF（ASA）①OE＝OF，又①AO＝CO，①四边形AFCE是平行四边形，①EF①AC，①平行四边形AFCE是菱形；【应用】如图，过点F作FH①AD于H，①将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，①AF＝CF，①AFE＝①EFC，①AF2＝BF2+AB2，①（4﹣BF）2＝BF2+9，①BF＝78，①AF＝CF＝258，①AD①BC，①①AEF＝①EFC＝①AFE，①AE＝AF＝258，①①B＝①BAD＝①AHF＝90°，①四边形ABFH是矩形，①AB＝FH＝3，AH＝BF＝78，①EH＝94，①EF＝22EH FH+＝81916+＝154，①四边形ABFE的周长＝AB+BF+AE+EF＝3+78+258+154＝434，故答案为：434．【拓展】如图，过点A作AN①BC，交CB的延长线于N，过点F作FM①AD于M，①四边形ABCD是平行四边形，①C＝45°，①①ABC＝135°，①①ABN＝45°，①AN①BC，①①ABN＝①BAN＝45°，①AN＝BN＝22AB＝2，①将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，①AF＝CF，①AFE＝①EFC，①AD①BC，①①AEF＝①EFC＝①AFE，①AE＝AF，①AF2＝AN2+NF2，①AF2＝4+（6﹣AF）2，①AF＝103，①AE＝AF＝103，①AN①MF，AD①BC，①四边形ANFM是平行四边形，①AN①BC，①四边形ANFM是矩形，①AN ＝MF ＝2，①AM ＝22AF MF -＝10049-＝83， ①ME ＝AE ﹣AM ＝23，①EF ＝22MF ME +＝449+＝2103， 故答案为：2103． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 5．（1）5；（2）①见解析；①等腰三角形；（3）52【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；（2）①由翻折可知','45DB DB B B =∠=∠=︒，进而证得'//,B E AB 则有∴四边形'BDB E 为平行四边形，由',BD B D =即可得证；①连接CD,易证得','45DB DC DB E DCA =∠=∠=︒进而证得''FB C FCB ∠=∠，则有'FB FC =，即可得出结论；（3）由'FB FC =和'B E BE =得CEF ∆的周长=''CE FC EF CE B F EF CE B E CE BE BC ++=++=+=+=，由等腰直角三角形的性质可求得BC ，即可求得CEF ∆的周长．【详解】解:（1）①①ABC 是等腰直角三角形，D 为斜边AB 的中点，AB=10，①152CD AB ==， 故答案为：5；()2①证明:由翻折可知','45DB DB B B =∠=∠=︒'DB ①BC''45,B EC B ∴∠=∠=︒①'45,B EC B ∠=∠=︒①'EB ①BD∴四边形'BDB E 为平行四边形．又',BD B D =∴四边形'BDB E 为菱形；②如图2，连接CD ，则有CD=BD=AD,由翻折可知','45DB DB DB E B =∠=∠=︒①','45DB DC DB E DCA A =∠=∠=∠=︒,①''DB C DCB ∠=∠①DB E CB F DCA FCB ∠+∠=∠+∠'''①''CB F FCB ∠=∠①'FB FC =,①'B FC 的形状为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（3）如图3，由（2）知'FB FC =，'B E BE =，①CEF ∆的周长=''CE FC EF CE B F EF CE B E CE BE BC ++=++=+=+=，①①ABC 是等腰直角三角形，AB=10，①222100BC AB ==,解得：52BC =，①CEF ∆的周长为52，故答案为：52．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、折叠性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，解得的关键是认真审题，从图形中分析相关联信息，借助辅助线，利用基本图形的性质进行推理、计算．6．【问题1】SSS ；【问题2】（1）见解析；（2）8．【解析】【分析】问题1：根据SSS证明三角形全等即可．问题2：（1）根据HL证明三角形全等即可解决问题．（2）作MH①OB于H，连接MN．想办法求出ON，MH即可解决问题．【详解】解：问题1：由作图可知：OE＝OD，EC＝DC，OC＝OC，①EOC DOC≌△△（SSS），故答案为SSS．问题2：（1）证明：由作图可知：OM＝ON，①①ONP＝①OMP＝90°，OP＝OP，①Rt ONP≌Rt OMP△（HL），①①PON＝①POM，即OP平分①AOB．（2）解：作MH①OB于H，连接MN．①tan①AOB＝4,3MHOH=①可以假设MH＝4k，OH＝3k，则OM＝ON＝5k，①HN＝2k，在Rt MNH△中，①222,MN HN MH=+①()()222442,k k=+①255k=（负根已经舍弃），①ON＝5k＝25，MH＝4k＝855，①1185258.225MNO S ON MH ==⨯⨯= 【点睛】本题考查的是角平分线的作图与作图原理，三角形全等的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．7．定理证明：见解析；定理应用：（1）EF ∥AC ，EF ＝14AC ；（2）5﹣32≤BH ≤5+32 【解析】【分析】定理证明：延长DE 到F ，使FE ＝DE ，连接CF ，易证①ADE ①①CFE ，再根据全等三角形的性质，进一步可得出CF ①AB ，从而可证明四边形BCFD 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；定理应用：（1）取AB ，BC 的中点M ，N ，连接MN ．再根据题目中的线段关系，可得出AM ＝BM ，CN ＝BN ，ME ＝EB ，FN ＝FB ，根据三角形的中位线定理即可得出答案； （2）如图①中，延长CB 到T ，连接AT ，TE ′．根据题意得出BH ＝12TE ′，再根据矩形的性质可求得AT 的值，结合题意求得AE 的值，最后根据三角形三边关系即可得出答案．【详解】 解：定理证明：如图①中，延长DE 到F ，使FE ＝DE ，连接CF ，在△ADE 和△CFE 中，AE EC AED CEF DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CFE （SAS ），∴∠A ＝∠ECF ，AD ＝CF ，∴CF ∥AB ，又∵AD ＝BD ，∴CF＝BD，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝12BC．定理应用：（1）如图①中，取AB，BC的中点M，N，连接MN．∵AE＝3BE，BF：CF＝1：3，∴AM＝BM，CN＝BN，ME＝EB，FN＝FB，∴MN∥AC，MN＝12AC，EF∥MN，EF＝12MN，∴EF∥AC，EF＝14AC．故答案为：EF∥AC，EF＝14AC．（2）如图①中，延长CB到T，连接AT，TE′．∵CH＝HE′，CB＝BT，∴BH＝12TE′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABT＝90°，∵AB＝4，BC＝AD＝BT＝2，∴AT＝22224225AB BT+=+=，∵AE＝3BE，AB＝4，∴AE＝AE′＝3，∴25﹣3≤TE′≤25+3，∴5﹣32≤BH≤5+32．故答案为：5﹣32≤BH≤5+32．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形三边关系、平行四边形的判定及性质、三角形中位线性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质，综合性比较强，添加合适的辅助线，是解题的关键．8．（1）5；（2）①见解析；①等腰三角形；（3）52．【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；（2）①由折叠的性质得B'D=BD，B'E=BE，①B'DE=①BDE，证出B'D=BE，得四边形BDB'E是平行四边形，进而得出结论；①证出CD=B'D，得①DCB'=①DB'C，证出DB'①AC，则①ACB'=90°-①DB'C，证出CD①B'E，则①EB'C=90°-①DCB'，得①ACB'=①EB'C，即可得出结论；（3）连接B'C，由等腰直角三角形的性质得BC=22AB=52，①B=45°，CD=12AB=BD，①ACD=12①ACB=45°，证出CF=B'F，进而得出答案．【详解】（1）解：①①ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB＝10，①CD＝12AB＝5，故答案为：5；（2）①证明：由折叠的性质得：B'D＝BD，B'E＝BE，①B'DE＝①BDE，①DB'①BC，①①B'DE＝①BED，①①BDE＝①BED，①BD＝BE，①B'D＝BE，①四边形BDB'E是平行四边形，又①B'D＝BD，①四边形BDB'E为菱形；①解：①①ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB＝BD，①CD＝12由折叠的性质得：B'D＝BD，①CD＝B'D，①①DCB'＝①DB'C，①①ACB＝90°，①AC①BC，①DB'①BC，①DB'①AC，①①ACB'＝90°﹣①DB'C，由①得：四边形BDB'E为菱形，①AB①B'E，①CD①AB，①CD①B'E，①①EB'C＝90°﹣①DCB'，①①ACB'＝①EB'C，①FB'＝FC，即①B'FC为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（3）解：连接B'C，如图①所示：①①ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，①BC ＝22AB ＝52，①B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，①ACD ＝12①ACB ＝45°， 由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，①B '＝①B ＝45°，①CD ＝B 'D ，①①DCB '＝①DB 'C ，①①FCB '＝①FB 'C ，①CF ＝B 'F ，①①CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝52；故答案为：52．【点睛】 本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．9．（1）见解析；（2）等腰；（3）菱形．【解析】【分析】（1）由中线BD ，CE 相交于点O ，可得DE 是ABC 的中位线，可得//DE BC ，12DE BC =，由F 、G 分别是OB ，OC 的中点，可得FG 是OBC 的中位线，可得//FG BC ，12FG BC =，可推出//DE FG ，DE FG =即可； （2）由四边形DEFG 的形状为矩形，可得FD=EG ，OE=OF=OG=OD ，EF①ED ，①EOF=①DOG ，由F 、G 分别是OB ，OC 的中点，可得BO=CO ，，由中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，可得EF①OA ，可推出OA①ED ，由等腰三角形性质可得OA 平分①EOD ，可证△AOB①①AOC （SAS ），可得AB=AC 即可；（3）连接OA ，由（1）知四边EFGD 为平行四边形，由中位线性质可得AO=2EF ，2BC FG =，由OA BC =，可得EF=FG 即可．【详解】证明：（1）①中线BD ，CE 相交于点O ，①E 、D 分别为AB 、AC 中点，①DE 是ABC 的中位线，①//DE BC ，12DE BC =， 又①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①FG 是OBC 的中位线，①//FG BC ，12FG BC =， ①//DE FG ，DE FG =，①四边形DEFG 是平行四边形；（2）连接OA ，如图①四边形DEFG 的形状为矩形，①FD=EG ，OE=OF=OG=OD ，EF①ED ，①EOF=①DOG ， ①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①BO=CO ，①中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，①EF①OA ，①OA①ED ，①OA 平分①EOD ，①①EOA=①DOA ，①①BOA=①EOF+①EOA=①DOG+①DOA=①COA ，①AO=AO ，①①AOB①①AOC （SAS ），①AB=AC ，①①ABC 为等腰三角形，故答案为：等腰；（3）当OA BC =时，四边形DEFG 的形状为菱形．由（1）知四边EFGD 为平行四边形，①中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，①EF 为①ABO 的中位线，①AO=2EF ，又①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①FG 是OBC 的中位线，①2BC FG =，①OA BC =，①2EF=2FG ，①EF=FG ，①四边形DEFG 是菱形，故答案为：菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，掌握平行四边形的判定方法与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定定理，细心观察图形，利用数形结合从图形中分析线段之间和角之间关系是解题关键．10．(1)CE CF =，CE CF ⊥，理由见解析；(2)217，34；【解析】【分析】 （1）根据正方形的性质和运动的距离可证明()EDC FBC SAS ≌△△，可得CE CF =，再利用角之间的关系可证CE CF ⊥；（2）连接EC ，证明四边形GECH 是平行四边形，即可求出CF ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AP ．(1)解：①四边形ABCD为正方形,①CD CB=，90EDC ABC BCD∠=∠=∠=︒，①90FBC EDC∠=∠=︒，①ED FB t==，在EDC△和FBC中，90CD CBFBC EDCED FB=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①()EDC FBC SAS≌△△，①CE CF=，ECD BCF=∠∠，①90ECD BCE∠+∠=︒，①90BCF BCE∠+∠=︒，即：90ECF∠=︒，①CE CF=，CE CF⊥，(2)解：连接CE，如图①CE CF=，CE CF⊥，①45CEF∠=︒，①45GPE∠=︒，①CEF GPE∠=∠，①CE GH∥，①GE CH∥，①四边形GECH是平行四边形，①217CE GH==，①CE CF =，①217CF =，①2234EF CF ==，①P 是EF 的中点，AFE △是直角三角形，①1342AP EF ==． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定以及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）的关键是证明()EDC FBC SAS ≌△△，（2）的关键是证明四边形GECH 是平行四边形．。
【期末专项】苏科版七年级数学上册期末复习专题 与线段中点有关的动点问题
与线段中点有关的动点问题1．如图，直线l 上有A ，B ，C ，D 四点，点P 从点A 的左侧沿直线l 从左向右运动，当出现点P 与A ，B ，C ，D 四点中的至少两个点距离相等时，点P 就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若P A ＝PB ，则在点P 从左向右运动的过程中，点P 成为黄金伴侣点的机会有（ ）A ．4次B ．5次C ．6次D ．7次2．如图，C 为线段AB 上一点，45AB =，AC 比BC 的13多5，P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，运动时间为t 秒，M 为BP 的中点，N 为QM 的中点，以下结论：①2BC AC =；②4AB NQ =；③当12PB BQ =时，12t =．其中正确的结论是________．3．如图，数轴上有两点,A B ，点C 从原点O 出发，以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动，点D 从点B 出发，以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC =，若点M 为直线OA 上一点，且AM BM OM -=，则ABOM的值为_______．4．如图所示．点A ，B ，C 是数轴上的三个点，且A ，B 两点表示的数互为相反数，12AB =，13AC AB =．(1)点A 表示的数是______；(2)若点P 从点B 出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C 恰好是BP 的中点；(3)若点Q 从点A 出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB 的中点为M ，当2MC QB =时，则点Q 运动了多少秒？请说明理由．5．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A 、点B 表示的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离AB ＝|a ﹣b |．线段AB 的中点表示的数为2a b+． 如图，数轴上点A 表示的数为﹣2，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)填空：①A 、B 两点之间的距离AB ＝ ，线段AB 的中点表示的数为 ． ②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为 ；点Q 表示的数为 ． ③当t ＝ 时，P 、Q 两点相遇，相遇点所表示的数为 ． (2)当t 为何值时，PQ ＝12AB ．(3)若点M 为P A 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．6．如图，线段28AB =厘米，点D 和点C 在线段AB 上，且:5:2AC BC =，:1:4DC AB =．点P 从点A 出发以4厘米/秒的速度沿射线AD 向点C 运动，点P 到达点C 所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D 所在位置后停止运动，点Q 从点B 出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC 的方向运动，点Q 到达点D 所在的位置后停止运动．点P 和点Q 同时出发，点．Q 运动的时间为．．．．．．t 秒．． （1）求线段AD 的长度；（2）当点C 恰好为PQ 的中点时，求t 的值； （3）当7PQ =厘米时，求t 的值．7．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC=2，求AB的长；（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD 的长，并判断AC与BD的数量关系；【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）．8．（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）（2）（初步应用）如图②，若24cm CD =，点N 是线段CD 的“奇妙点”，则CN = cm ； （3）（解决问题）如图③，已知24cm AB =，动点P 从点A 出发，以2cm/s 速度沿AB 向点B 匀速移动，点Q 从点B 出发，以3cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t ，请求出 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．9．如图，已知数轴上点A 表示的数为a ，B 表示的数为b ，且a 、b 满足2(0+10)6a b -+=．动点P从点A 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒． （1）写出数轴上点A 表示的数是____________，点B 表示的数是______，点P 表示的数是____________（用含t 的式子表示）；（2）当点P 在点B 的左侧运动时，M 、N 分别是P A 、PB 的中点，求PM －PN 的值（3）动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，点P 运动多少秒时P 、Q 两点相距4个单位长度？10．如图，已知数轴上A 、B 两点所表示的数分别为﹣2和6 （1）求线段AB 的长；（2）已知点P 为数轴上点A 左侧的一个动点，且M 为PA 的中点，N 为PB 的中点．请你画出图形，并探究MN 的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN 的长；若改变，请说明理由．11．【新知理解】如图①，点M 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AM 和BM ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M 是线段AB 的“奇点”． （1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”） 【初步应用】（2）如图②，若18CD cm =，点N 是线段CD 的奇点，则______CN cm =； 【解决问题】（3）如图③，已知15AB cm =动点P 从点A 出发，以1/cm s 速度沿AB 向点B 匀速移动：点Q 从点B 出发，以2/m s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t ，请直接写出t 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？12．如图1，数轴上点A表示的数为－2，点B 表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M、N分别为PA、QB的中点．P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，设点P、Q 运动时间为t秒．（1）当点P、Q相遇时，t ＝，MN ＝．（2）当PQ之间的距离为4个单位长度时，求线段MN的长．[知识迁移]学校数学社团学员自制了一个圆形转盘，如图2，O为转盘圆心，A、O、B在一条直线上，指针OP从OA出发绕点O顺时针方向转动，指针OQ也以相同的速度从OB出发绕点O逆时针方向转动．OP、OQ同时出发，当OP、OQ分别到达OB、OA时，运动停止．已知OM平分∠AOP，ON 平分∠BOQ，设∠MON ＝α，∠POQ ＝β．试探索α与β的关系．（直接写出答案）13．（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？14．如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5，线段CD 的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：（1）点D 在数轴上表示的数是___，点A 在数轴上表示的数是___；（2）若点B 以每秒2个单位的速度向右匀速运动t 秒运动到线段CD 上，且BC 的长度是3个单位，根据题意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若线段AB 、CD 同时从原来的位置出发，线段AB 以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD 以每秒3个单位的速度向左匀速运动，把线段CD 的中点记作P ，求出点P 与线段AB 的一个端点的距离为2个单位时运动的时间．15．如图，已知数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A ，B 两点间的距离为18．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t >0）秒，（1）数轴上点B 表示的数是____________，点P 表示的数是____________（用含t 的代数式表示）； （2）动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点P 、Q 时出发．求： ①若点Q 向右运动，当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 相遇?②若点Q 向左运动，当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度?16．如图，点A 、B 、C 在数轴上对应的数分别是12-、b 、c ，且b 、c 满足2(9)200b c -+-=，动点P 从点A 出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q 从点C 出发，以1个单位/秒速度向左运动，O 、B 两点之间为“变速区”，规则为从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B 运动到点O 期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为t 秒．（1）b =____，c =____，A 、C 两点间的距离为____个单位； （2）①若动点P 从A 出发运动至点C 时，求t 的值； ②当P 、Q 两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； （3）当t =___时，P 、Q 两点到点B 的距离相等．答案与解析1．如图，直线l 上有A ，B ，C ，D 四点，点P 从点A 的左侧沿直线l 从左向右运动，当出现点P 与A ，B ，C ，D 四点中的至少两个点距离相等时，点P 就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若P A ＝PB ，则在点P 从左向右运动的过程中，点P 成为黄金伴侣点的机会有（ ）A ．4次B ．5次C ．6次D ．7次【答案】C【分析】由题意知，点P 与A ，B ，C ，D 四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P 是其中一条线段的中点，根据线段中点定义解答即可．【详解】解：由题意知，点P 与A ，B ，C ，D 四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P 是其中一条线段的中点，图中共有六条线段：AB 、BC 、CD 、AC 、AD 、BD ， ∴点P 成为黄金伴侣点的机会有六次， 故选：C ．【点睛】此题考查了线段中点的定义，确定线段的数量，正确理解题意得到线段中点定义是解题的关键．2．如图，C 为线段AB 上一点，45AB =，AC 比BC 的13多5，P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，运动时间为t 秒，M 为BP 的中点，N 为QM 的中点，以下结论：①2BC AC =；②4AB NQ =；③当12PB BQ =时，12t =．其中正确的结论是________．3．如图，数轴上有两点,A B ，点C 从原点O 出发，以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动，点D 从点B 出发，以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC =，若点M 为直线OA 上一点，且AM BM OM -=，则ABOM的值为_______．4a b a a+-4．如图所示．点A ，B ，C 是数轴上的三个点，且A ，B 两点表示的数互为相反数，12AB =，13AC AB =．(1)点A 表示的数是______；(2)若点P 从点B 出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C 恰好是BP 的中点； (3)若点Q 从点A 出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB 的中点为M ，当2MC QB =时，则点Q 运动了多少秒？请说明理由．5．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．线段AB 的中点表示的数为2a b+． 如图，数轴上点A 表示的数为﹣2，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)填空：①A 、B 两点之间的距离AB ＝ ，线段AB 的中点表示的数为 ． ②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为 ；点Q 表示的数为 ． ③当t ＝ 时，P 、Q 两点相遇，相遇点所表示的数为 ． (2)当t 为何值时，PQ ＝12AB ．(3)若点M 为P A 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．6．如图，线段28AB =厘米，点D 和点C 在线段AB 上，且:5:2AC BC =，:1:4DC AB =．点P 从点A 出发以4厘米/秒的速度沿射线AD 向点C 运动，点P 到达点C 所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D 所在位置后停止运动，点Q 从点B 出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC 的方向运动，点Q 到达点D 所在的位置后停止运动．点P 和点Q 同时出发，点．Q 运动的时间为．．．．．．t 秒．． （1）求线段AD 的长度；（2）当点C 恰好为PQ 的中点时，求t 的值；PQ=厘米时，求t的值．（3）当77．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC=2，求AB的长；（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD 的长，并判断AC与BD的数量关系；【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D 所表示的数（答案保留π）．）2AC =,，2BC +=+）点、C 都是线段，BC π=，BD y = AB AC =x x π∴+x y ∴=，AC BD ∴=（3）由题意可知：M N 、均为线段∴ 不妨设z z π∴+=1OM ∴=8．（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）（2）（初步应用）CD=，点N是线段CD的“奇妙点”，则CN=cm；如图②，若24cm（3）（解决问题）AB=，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B 如图③，已知24cm出发，以3cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．）N 是线段根据定义，此题共分为三种情况．2CD=，即2DN=，即CN=，即24AB =∴ t 秒后，当P 点是由“奇妙点当AQ AP =PQ9．如图，已知数轴上点A 表示的数为a ，B 表示的数为b ，且a 、b 满足2(0+10)6a b -+=．动点P从点A 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒． （1）写出数轴上点A 表示的数是____________，点B 表示的数是______，点P 表示的数是____________（用含t 的式子表示）；（2）当点P 在点B 的左侧运动时，M 、N 分别是P A 、PB 的中点，求PM －PN 的值（3）动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，点P 运动多少秒时P 、Q 两点相距4个单位长度？10．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．11．【新知理解】如图①，点M 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AM 和BM ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M 是线段AB 的“奇点”． （1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”） 【初步应用】（2）如图②，若18CD cm =，点N 是线段CD 的奇点，则______CN cm =； 【解决问题】（3）如图③，已知15AB cm =动点P 从点A 出发，以1/cm s 速度沿AB 向点B 匀速移动：点Q 从点B 出发，以2/m s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t ，请直接写出t 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？）一条线段的长度是另外一条线段长度的）18CD =可分三种情况，N 为中点时，N 为CD 的三等分点，且N 为CD 的三等分点，且AB=）15秒后，AP=由题意可知P为A、Q）点P为AQ中点时，则12．如图1，数轴上点A表示的数为－2，点B 表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M、N分别为PA、QB的中点．P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，设点P、Q 运动时间为t秒．（1）当点P、Q相遇时，t ＝，MN ＝．（2）当PQ之间的距离为4个单位长度时，求线段MN的长．[知识迁移]学校数学社团学员自制了一个圆形转盘，如图2，O为转盘圆心，A、O、B在一条直线上，指针OP从OA出发绕点O顺时针方向转动，指针OQ也以相同的速度从OB出发绕点O逆时针方向转动．OP、OQ同时出发，当OP、OQ分别到达OB、OA时，运动停止．已知OM平分∠AOP，ON 平分∠BOQ，设∠MON ＝α，∠POQ ＝β．试探索α与β的关系．（直接写出答案）13．（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？3314．如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5，线段CD 的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：（1）点D在数轴上表示的数是___，点A在数轴上表示的数是___；（2）若点B以每秒2个单位的速度向右匀速运动t秒运动到线段CD上，且BC的长度是3个单位，根据题意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若线段AB、CD同时从原来的位置出发，线段AB以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD以每秒3个单位的速度向左匀速运动，把线段CD的中点记作P，求出点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位时运动的时间．【答案】（1）11，-10；（2）2t-13=3，8；（3）t=2.8或3.6或4【分析】（1）根据题意以及数轴上所表示的数字写出点D、A表示的数字；（2）根据等量关系：点B运动的距离-13=3，列方程求解；（3）线段CD的中点P的位置为8，分情况讨论即可．【详解】（1）∵点C在数轴上表示的数是5，CD=6，AB=2，BC=13，∴点D在数轴上表示的数是11，点B在数轴上表示的数是﹣8，点A在数轴上表示的数是﹣10；（2）B运动到CD上时，走过的路程为2t，减去BC的距离即为此时BC的长度，故：2t-13=3，解得：t=8；（3）由题意得，线段CD的中点P的位置为8，分三种情况讨论：①当点P在点B右侧2个单位时，16﹣2t﹣3t=2，解得：t=2.8；②当点P在点B左侧2个单位时，2t+3t﹣16=2，解得：t=3.6，此时P与A重合；③当点P在点A左侧2个单位时，2t+3t﹣18=2，解得：t=4；综上，当t=2.8或3.6或4时，点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．15．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒，（1）数轴上点B表示的数是____________，点P表示的数是____________（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点P、Q时出发．求：①若点Q向右运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇?②若点Q向左运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度?【答案】（1）-12，6-4t；（2）①3；②5或13．【分析】（1）由已知得OA＝6，B是数轴上在A左侧的一点，则可得OB＝AB−OA＝12，因为点B在原点左边，从而可得点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为4t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6−4t；（2）①若点Q向右运动，根据两点之间的距离为18，则4t+2t=18，然后解方程即可；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则18＋2a−4a＝8；超过Q，则18＋2a＋8＝4a；由此求得答案即可．【详解】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴OA＝6，∵AB=18，B是数轴上在A左侧的一点，∴OB＝AB−OA＝12，点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为−12；点P运动t秒的长度为4t，∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：6−4t；（2）①若点Q 向右运动，根据两点之间的距离为18，则4t+2t=18， 解得t ＝3，答：当点P 运动3秒时，点P 与点Q 相遇；②设当点P 运动a 秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度， 当P 不超过Q ，则18＋2a−4a ＝8，解得a ＝5； 当P 超过Q ，则18＋2a ＋8＝4a ，解得a ＝13；答：当点P 运动5或13秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度．【点睛】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系是解题关键．16．如图，点A 、B 、C 在数轴上对应的数分别是12-、b 、c ，且b 、c 满足2(9)200b c -+-=，动点P 从点A 出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q 从点C 出发，以1个单位/秒速度向左运动，O 、B 两点之间为“变速区”，规则为从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B 运动到点O 期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为t 秒．（1）b =____，c =____，A 、C 两点间的距离为____个单位； （2）①若动点P 从A 出发运动至点C 时，求t 的值； ②当P 、Q 两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； （3）当t =___时，P 、Q 两点到点B 的距离相等．∴PB=15-t ，()311333BQ CQ CB BQ t t =-==-=-， ∵PB=BQ ， ∴15333t t -=-， 解得t=12，④当点Q 和点P 都过了“变速区”，即15t >，如图所示：∴()215230PB t t =-=-，()11495BQ OQ OB t t =+=⨯-+=-， ∵PB=BQ ， ∴2305t t -=-， 解得：25t =；综上所述：当t=12或25时，点P 、Q 到点B 的距离相等； 故答案为12或25．【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键．。
2021中考数学专题复习(二)：几何图形动点问题
【解析】易证△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE， ∴∠ABF＋∠BAF＝∠ABF＋∠CBE＝60°，∴∠AFB＝ 120°，即∠AFB的度数保持不变．如解图，作△ABF的外 接圆 O，则点F在劣弧AB上运动．连接OC、OB，OC交 劣弧AB 于点F′ ， 当点F与点F′重合时，CF的长度最 小．易知△OBC是直角三角形，∠OCB＝30°，3∴OB＝2 3
例5题解图
模型三 “两点两线”型(两动点＋两定点)
【问题】点P、Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使 得四边形PQNM周长最小． 【解决思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ 的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上， 因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．
BC＝ AB2
小值为6
.
AC
2
＝5，S△ABC＝12
AB·AC＝1 BC·AP，解得AP＝12
2
5
，∴PM的最
5
例题解图
二、利用“将军饮马”求线段最值
模型一 “一线两点”型(一动点＋两定点) 类型1 异侧线段和最小值问题
【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 【解决思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB 交直线l 于点P，点P即为所求．
MP′＝
13 2
.∴PM－PO的最大值为
13 2
.
例3题解图
类型4 异侧差最大值问题 【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最 大． 【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决．
第四章 平面图形及其位置关系单元复习
平面图形及其位置关系知识总结1．线段、射线、直线（1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段．线段的特点：是直的，它有两个端点．（2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线．射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸．（3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线． 直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸． 2．线段的中点把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点． 利用线段的中点定义，可以得到下面的结论： （1）因为AM =BM =12AB ，所以M 是线段AB 的中点．（2）因为M 是线段AB 的中点，所以AM =BM =12AB 或AB =2AM =2BM ．3．角由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边．角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角． 4．角平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 5．平行线在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行的关系是相互的，如果AB ∥CD ，则CD ∥AB ，其中符号“∥”读作“平行”． 6．两条直线垂直当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫做垂足，•如直线AB •与直线CD 垂直，记作AB ⊥CD ．7．两点之间的距离两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离．8．点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．1．直线的性质：经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”．2．线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短．3．与平行线有关的一些性质（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．4．垂线性质（1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．平面图形及其位置关系经典例题1．考查学生发现问题、解决问题的能力．【例1】（2003年黑龙江）从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有（）A．4种B．6种C．10种D．12种【例2】（无锡）L1与L2是同一平面内的两条相交直线，它们有１个交点，•如果在这个平面内，再画第三条直线L3，那么这3条直线最多可有_______个交点；•如果在这个平面内再画第4条直线L4，那么这4条直线最多可有_______个交点；由此我们可以猜想在同一平面内，6条直线最多可有_______个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有_______个交点（用含n的代数式表示）．2．线段长度的计算，线段的中点【例3】某大公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有60人，B区有30人，C区有20人，三个区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）3．角的度量与换算【例4】（山西）时钟在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是（）A．70°B．75°C．85°D．90°4．七巧板问题在中考中主要考查图形的拼摆．【例5】（2002年济南）如图1，用一块边长为22的正方形ABCD厚纸板，•按照下面做法，做了一套七巧板：作对角线AC，分别取AB、BC中点E、F，连结EF；作DG⊥EF 于G，•交AC于H；过G作GL∥BC，交AC于L，再由E作EK∥DG，交AC于K；将正方形ABCE沿画出的线剪开．现用它拼出一座桥（如图2），这座桥的阴影部分的面积是（）．（图1）（图2）A．8 B．6 C．4 D．5平面图形及其位置关系解题方法与技巧方法1：见比设元【例1】如图所示，B、C两点把线段AD分成2：4：3三部分，M是AD的中点，CD=9，求线段MC的长．【分析】题中给出了线段的长度比，那么设每一分为K是常见的解法．【解】∵AB：BC：CD=2：4：3∴设AB=2K BC=4K CD=3K∴AD=3K+2K+4K=9K∵CD=9∴3K=9 ∴K=3∴AB=6 BC=12 AD=27∵M为AD中点，∴MD=12AD=12×27=13.5∴MC=MD-CD=13.5-9=4.5【规律总结】不论是有关线段还是有关角的问题，只要有比值，就设未知数．方法2：利用线段的和差判断三点共线【例2】判断以下三点A、B、C是否共线．（1）有三点A、B、C，且AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm；（2）AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm．【解】（1）∵AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm，∴AB=AC+CB∴A、C、B三点在同一条直线上（2）∵AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm，∴AB≠AC+CB∴A、C、B三点不共线方法3：寻找规律（一）数直线条数：过任三点不在同一直线上的n点一共可画(1)2n n-条直线．（二）数n个人两两握手能握(1)2n n-次．（三）数线段条数：线段上有n个点（包括线段两个端点）时，共有(1)2n n-条线段．（四）数角的个数：以0为端点引n条射线，当∠AOD<180°时，则（如图）•小于平角的角个数为(1)2n n-．（五）数交点个数：n条直线最多有(1)2n n-个交点．（六）数对顶角对数：n条直线两两相交有n（n-1）对对顶角．（七）数直线分平面的份数：平面内n条直线最多将平面分成1+(1)2n n-个部分．【例3】同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（）A．1条B．4条C．6条D．1条或4条或6条【例4】一张饼上切七刀，最多可得到几块饼．【分析】从原始状态开始，当切1刀时，一张饼被分成两部分；当切2刀时，一张饼最多可被分成四部分；当切了3刀时，一张饼被最多分成七部分；……若用n•表示切的刀数，饼被最多分成S部分．则：n=1时S=2；n=2时S=4；n=3时，S=7；n=4时，S=11．【解】设一张饼被切n刀，最多分成S部分，如图2-6可知：n=1时S=1+1n=2时S=1+1+2n=3时S=1+1+2+3n=4时S=1+1+2+3+4……则S=1+1+2+3+4+…+n=1+(1)2n n-∴当n=7时，S=1+782⨯=29答：当上张饼上切7切时，最多可得到29块饼．【规律总结】许多规律性问题应回到原始状态，按照从特殊到一般的方法寻找规律，再按照从一般到特殊的方法应用规律解决问题．方法4：钟表问题【例5】钟表现在是1点15分，分针再转多少度，时针与分针首次重合．【分析】分针1分钟走（36060）°=6°，时针1分钟走（3060）°=0.5°（分针1小时走一圈，即60分钟走360°，时针1小时走一格，即60分钟走30°）．因此，分针速度是时针速度的12倍，故设分针走12x°，时针走x°时时针与分针首次重合，因为从1点整到1点15°，•分针走一圈的14，此时时针走一格的14，因此1点15分时时针与分针夹角（1+34）×30°=52.5°．•列方程可求解．【解】设时针走x°时，时针与分针首次重合．依题意，得：12x-x=360-（74×30）解得：x=61522，∴12x=369011=335511答：分针再转335511度，时针与分针首次重合．方法5：最优策略问题直线上有两点（如图）A1和A2，要在直线上找一点P，使A1、A2到P的距离之和最小，则P点可放在A1、A2之间任意位置（包括A1和A2）．此时P A1+P A2=A1A2．直线上有三点A1、A2、A3（如图）．要找到一点P，使P A1+P A2+P A3的和最小．不妨设P在A1、A2之间，此时P A1+P A2+P A3=A1A3+P A2；若P在A2、A3之间，此时P A1+P A2+P A3=A1A3+P A2；若P在A1上，则P A1+P A2+P A3=A1A3+A1A2；若P在A2上，则P A1+P A2+P A3=A1A3．若P在A3上，则P A1+P A2+P A3=A1A3+A2+A3结论：当P选在A2点时P A2+P A2+P A3的和最小，其最小值为A1A3．不难发现，当直线上有四个点时，如图所示．P点选在A2A3上（包括端点）．•可使P 到A1、A2、A3、A4的距离之和最小．其最小值为A1A4+A2A3．当直线上有五个点时，如图所示P点选在A3上，可使P到A1、A2、A3、A4、A5的距离之和最小，其最小值为A1A5+A2A4．【规律总结】当直线上有偶数个点时，P应选在最中间两点之间（可与这两点重合）；当直线上有奇数个点时，P点与最中间的点重合，可使P到各点距离之和最小．。
2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——动点问题课件
∴
=
4
Rt△ADH中，AD=5，tanA= = 3
6−5
∴y与x的函数关系式为
=
∴DH=4，AH=3.在Rt△EDH中，DH=4，
25
EH=x-3，
( 6 ≤≤35)
∴DE²=DH²＋EH²=4²＋(x-3)²=x²-6x＋
4
例题 在△ABC中,AC=25,AB =35,tanA=3,D为AC边上的一点，且AD=5 ,E,F都为AB边上的动
所以结合已知条件与所给图形进行认真分析是非常重要的，
当然这样的分析是建立在熟练运用常见图形的几何性质之上
的.
（2）类似于例题这样的几何计算型的压轴题，同学们
要切实体会解直角三角形与相似三角形在计算中所发挥的
重要作用.
（3）对于类似于例题这样的动态几何，应时刻谨记
“动静结合”、“数形结合”的处理原则，以及“分类
∴∠EDF＋∠ADF=90°，即
∠ADE=90°.在Rt△ADE中，AD=5，
4
tanA= = 3
4
20
5
25
∴DE=3AD= 3 ，AE=3AD= 3
∴△EDF∽△EAD，
∴ =
∴DE²=AE·EF=x·（x一y）=x²-xy.∴x²-6x＋25=x²xy
（2） 如下图，作DH⊥AE于点H，在
目录
01
研究背景
03
典型例题探究
动 态 几 何 研 究 重 要 性
总结分析动态问题处理技巧
05
02
知识脉络梳理
初中阶段几何知识梳理
04 小试能手
技 巧 ，
挑战自我
展
中考数学专题复习_几何探究题
专题复习几何探究问题一、结论探究【例1】如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=900，点D是BC中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论（2）将正方形DEFG绕点D逆时针旋转一定角度后（旋转角大于00，小于或等于3600），如图②，通过观察和测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由。
（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值。
'变式练习：已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立（不要求证明）| A D]G图1FA[EG图2、AE图3DFEC BAB'C'二、条件探究【例2】已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF ，如图（1）放置，点B 、D 重合，点F 在BC 上，AB 与EF 交于点G ，∠C=∠EFB=900，∠E=∠ABC=300，AB=DE=4 （1）求证：△EGB 是等腰三角形（2）若纸片DEF 不动，问△ABC 绕点F 旋转最小 度时，四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形（如图（2）），求此梯形的高。
,【例3】如图，Rt △AB C 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E ，CC 的延长线交BB 于点F ． |（1）证明：△ACE ∽△FBE ；（2）设∠ABC =α，∠CAC =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，并说明理由．；E图1A:CD图2三、类比探究 【例4】（1）操作发现：如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在举行ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF =DF ，你同意吗说明理由． （2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求ABAD的值； /（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC =nDF ，求ABAD的值．【例5】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（（2）如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S 梯形ABCD＝S △ABE ．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．AB。
中考复习：与中点有关的几何模型与结论(铁三角结构,倍长中线法,常用重要结论)讲义
与中点有关的几何模型与结论(铁三角结构+倍长中线法+常用重要结论)一、基本图形先谈谈与中点有关的基本定理与基本图形，如图1所示：1.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；2.等腰三角形底边上的中线、底边上的高线以及顶角的平分线重合，简称“三线合一”；3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；5.平行四边形的对角线互相平分；由这些基本定理及其相关逆定理衍生出的基本图形，是我们处理中点问题的常见策略，如倍长中线等方法.结合面积问题，还会有“三角形的中线平分其面积”等结论.二、例题呈现例.如图2，四边形ABCD为矩形，E为边BC的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.(1)求证：CF与⊙O相切；(2)若AD=2，F为AE的中点，求AB的长.三、解法探究首先解决第(1)小问：思路一：如图3，要证CF与⊙O相切，必定要连接半径OF，只要证出OF⊥CF即可.由题易知OD⊥CD，连接OC，若能证明△OCD≌△OCF便可解决问题.要证△OCD≌△OCF，已经有OD=OF，OC=OC，还缺一个条件，如何寻找呢？注意到在矩形ABCD中，点O、E分别为AD、BC的中点，易证四边形AOCE为平行四边形，从而有OC∥AE.故∠COF=∠OFA=∠OAF=∠COD，即∠COF=∠COD.因此△OCD≌△OCF（SAS），问题得解.思路一构造平行四边形，通过导角，寻找到了所需的最后一组有关角的条件.除此之外，还可以考虑证明CD=CF，再利用“SSS”得到全等.下面提供“倍长中线”的思路来证明CD=CF.思路二：如图4，延长AE交DC的延长线于点G，由E为边BC的中点，易证△ABE≌△GCE （ASA），从而有AB=GC=DC；由直径AD联想到连接DF，则∠AFD=∠DFG=90°；识别到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”基本型，可得FC=DC；至此，除了全等法之外，还可以简化过程如下：由OF=OD得∠OFD=∠ODF，再由FC=DC 得∠CFD=∠CDF，从而有∠OFC=∠ODC=90°，则OF⊥CF，故CF与⊙O相切，问题得解.思路三：如图5，连接OF、DF、OE、OC、DE，设OC与DE交于点M，再连接FM.易证四边形ODCE 为矩形，且∠AFD=∠DFE=90°，则FM=1/2DE=1/2OC=OM=CM.由FM =OM=CM，可推出∠OFC=90°，则OF⊥CF，故CF与⊙O相切，问题得解.此解法看似复杂，但构图充满美感，不自觉间形成了一个极其有趣的“★”结构，让人不禁感叹几何构造之神奇！而解法来源于学生，又不禁让教者惊叹于学生无限的创造力!若用共圆的眼光来看，此解法将更有趣.如图6，易知O、D、C、E、F五点共圆，再借助圆中相关知识，此图中还会有非常多的等角.四、解后反思“学而不思则罔，思而不学则殆”，解题后反思是是一种意识，一种习惯，更是一种能力.几何的学习重在基本图形的识别与构造，学会联想，将残缺的图形补成已学过或已解决的基本图形，这就是所谓常见辅助线的构造.反思解题过程，重在反思基本图形.1.“铁三角结构”思路一中可抽离一个基本图形：如图6，由OA=OF及OC∥AF可推出∠1=∠2，即“等腰三角形＋平行角平分线”.事实上，对于条件①：OA=OF；条件②：OC∥AF；条件③：∠1=∠2，其中任意两个成立，第三个一定成立，两两组合，共三个真命题.笔者称其为“铁三角结构”，它经常会出现在中考题里，应予以广泛的关注.2.“倍长中线法”思路二中，由中点E联想到倍长AE至点G，如图7，构造出一组“平行8字型”全等，此法即为“倍长中线法”，是解决与中点相关问题的重要方法，需引起高度重视.此外，倍长中线之后，思路二还结合了一个重要的定理，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，如图8所示.这条中线了不得，它将直角三角形分割成了两个等腰三角形，实现了两种特殊三角形之间的相互转化.值得一提的是，该定理还有一些重要的逆定理，比如“若FC=CD=CG，则∠DFG=90°”，再比如“若∠DFG=90°且FC=CD，则CD=CG”，也经常会在中考题里出现.3.几个有趣的结论(1)如图9，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，DF⊥AE，则CF=CD.简析：该结论就是从例题图中抽离出来的，其中圆被隐去了.其证明，从例题来看，至少有两种证法：一是取AD的中点，采取全等法；二是延长AE，采取倍长中线法.此外，还可以建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用解析法，经过一番“惨无人道”的计算，验证出CF=CD成立.这既是解析法的优势，也是其劣势之所在.它不需要联想到几何构造的“天马行空”，仅仅只要实施暴力计算的“脚踏实地”.几何法是证明，而解析法就是验算.通过证明不难发现，矩形条件实属多余，只需要四边形ABCD为平行四边形，其余条件不变，如图10所示，依然有CF=CD成立.(2)如图11，在正方形ABCD中，E、M分别为边BC、AB的中点，则CF=CD.简析：易证Rt△ADM≌Rt△BAE（SAS），导角可得DM⊥AE，转化为结论(1)，下略.图11中，两个中点可导出：DM⊥AE，DM=AE，CF=CD.这是一个极其有趣的结构，可称为正方形中“十字架”模型，借助相似，该模型也可以推广到矩形中，是一个经典的几何图形，常出现在考题中.(3)如图12，在正方形ABCD中，F为边AB的中点，CF与以AB为直径的半圆交于点G，连接AG并延长交BC于点E，则E必为边BC的一个黄金分割点.简析：如图13，由直径AB联想到连接BG，则BG⊥AE；联想到正方形中“十字架”模型，延长BG交边CD于点M，则易得Rt△ABE≌Rt△BCM（AAS）；又由边AB的中点F知，GF=AF=BF，导角易得∠1=∠3=∠4=∠2，∠5=∠8=∠7=∠6；由∠1=∠2知△CGE∽CBG，从而易得CG2=CE×CB；又由∠5=∠6，易得CG=CM=BE，因此有BE2=CE×CB，即点E必为边BC的一个黄金分割点，问题得解.五、练习反馈1.已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．如图14所示，求证：OH＝1/2AD且OH⊥AD；2.将△COD绕点O旋转到图15，图16所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．简析：(1)如图17，易证Rt△AOD≌Rt△BOC（SAS），则AD=BC，∠1=∠2；又由H为BC的中点，易得OH=1/2BC=BH，从而∠1=∠3；故OH＝1/2AD，再由∠2=∠3导角可得OH⊥AD；对于第(2)小问，下面给出几种方法，供大家参考：方法一：如图18，延长BO至点B′，使OB′=BO，连接B′C.由点H为BC中点，得OH∥B′C且OH=1/2B′C.又易证△AOD≌△B′OC（SAS），则有AD=B′C，于是有OH＝1/2AD.另外，由△AOD≌△B′OC还可得∠OAD=∠OB′C，导角易得B′C⊥AD，从而有OH⊥AD，问题得解.方法一通过倍长BO的手段，将目标线段OH变为中位线，从而转化为B′C，只要证明B′C与AD的关系即可.既然可以倍长BO，同理可以倍长CO，如图19所示，“它们是一伙的”，不再赘述.方法二：如图20，延长AO至点E，使OE=AO，连接DE，再取DE的中点F，连接OF，则OF∥AD且OF=1/2AD.又易证△BOC≌△EOD（SAS），其中△EOD可看成由△BOC绕着点O 按逆时针方向旋转90°而来.由点H为BC中点，易知点H与点F是对应点，再结合旋转的性质，可得OF=OH且OF⊥OH，从而有OH=1/2AD且OH⊥AD，问题得解.方法二通过倍长AO的手段，再取一个中点，将目标线段AD转化为中位线OF，只要证明OF与OH的关系即可.既然可以倍长AO，同理可以倍长DO，如图21所示，“它们也是一伙的”，不再赘述.上面两种方法都用到了一个重要的基本图形，如图22及图23所示，可直观地称其为“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”.在该模型中，易得△BOD≌△AOC（SAS），这个全等往往是解题的关键之所在，还可以用旋转的眼光来看待，从而易得AC=BD且AC⊥BD.方法三：如图24，延长中线OH至点E，使HE=OH，连接BE，则有△COH≌△BEH（SAS），从而易知BE=CO=DO，且易得BE∥CO，故∠EBO+∠COB=180°.又因为∠AOD+∠COB=（∠AOB+∠DOB）+∠COB=∠AOB +(∠DOB +∠COB）=∠AOB+∠DOC=180°，所以有∠EBO=∠AOD.于是有△EBO≌△DOA（SAS），则OE=AD且∠EOB=∠DAO.再导角可得OE⊥AD，因此有OH=1/2AD且OH⊥AD，问题得解.该解法巧施“倍长中线”策略，通过全等，结合导角等方法解决问题.如图25，倍长中线OH至点E，再连接CE，也可解决问题.中点常常可以与等腰三角形、直角三角形等结合，还可以与另一个中点构成中位线模型，或者采取倍长中线等方法，这些都是处理中点问题的常见策略.在解决与中点有关的问题中，大家可以联想这些基本图形，构造相应辅助线，勇于尝试，敢于探索.。
2023年中考数学复习第一部分考点梳理第四章三角形微专题2全等三角形的常见基本图形结构
＝,
在△ABC与△DEF中,ቐ∠＝∠,
＝,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠ACB＝∠DFE,∴BC∥EF.
-9-
微专题
中心对称结构
-10-
微专题
结构三 旋转型
典例4 (2021·湖南湘西州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,CB＝
-16-
微专题
【答案】∵AB＝AC,∴∠B＝∠C.
∵∠B＋∠BAP＝∠APD＋∠CPD,∠APD＝∠B,
∴∠BAP＝∠CPD.
∠＝∠,
在△BAP和△CPD中,ቐ∠＝∠,
＝,
∴△BAP≌△CPD(AAS),∴PC＝AB＝5,
∴BP＝BC－PC＝8－5＝3.
-17-
微专题
一线三等角结构
微专题
微专题
全等三角形的常见基本图形结构 (必考)
结构一 平移型
典例1 (2022·四川乐山)如图,B是线段AC的中点,AD∥BE,
BD∥CE.求证:△ABD≌△BCE.
-2-
微专题
【答案】∵B为线段AC的中点,
∴AB＝BC.
∵AD∥BE,∴∠A＝∠EBC.
∵BD∥CE,∴∠C＝∠DBA.
∠＝∠,
∵∠DAB＝∠DCB＝90°,
∴∠D＋∠ABC＝∠CBE＋∠ABC＝180°,
∴∠D＝∠CBE.
∵∠DCB＝∠ACE＝90°,易得∠ACD＝∠ECB.
又∵CD＝CB,∴△ACD≌△ECB(ASA),
∴AC＝CE,AD＝BE.
∵∠ACE＝90°,∴ AC＝AE＝AB＋BE＝AB＋AD,
即AB＋AD＝ AC.
-24-
【中考冲刺】2020中考数学专题总复习：专题五 几何的证明与综合应用
角三角形,∴DF= 2 AD,∴ DF = 2,∴ EB = 2.
AD
AD
栏目索引
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方法技巧
与三角形有关的证明与综合应用主要涉及证三角形全等和相似,看到证明
线段相等,要想到全等,看到证明线段之间成比例,要想到三角形相似,这是一种
定性思维,其中三角形相似有以下几种基本结构.
常见 结构
A字型
X字型 母子型
栏目索引
DEB CDF, DBE CFD, ED DC,
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴EB=DF,∴EB=AD.
(3) EB = 2 .理由如下:作DF∥BC交AC于点F,如图3所示,同(1),得△DBE≌
AD
△CFD(AAS),∴EB=DF,∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC,∴△ADF是等腰直
(2)DH⊥HG.证明:如图,延长GH交CD于点N,
栏目索引
∵FG⊥AD,CD⊥AD,∴FG∥CD.∴∠GFC=∠HCN,∠FGH=∠HNC.∴△FGH
∽△CNH.∴ FG = FH = GH ,
CN CH NH
又∵CH=FH,∴GH=HN,NC=FG.∴AG=FG=NC.又∵AD=CD,∴GD=DN,∴DH⊥
AG AC,
即∠GAB=∠CAE,在△GAB和△CAE中, GAB CAE,∴△GAB≌△CAE
AB AE,
栏目索引
(SAS), ∴∠ABG=∠AEC,又∵∠AEC+∠AME=90°,∴∠ABG+∠BMN=90°,∴∠BNM= 90°,即CE⊥BG,∴四边形CGEB是垂美四边形,由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2, ∵AC=4,AB=5, ∴BC=3,CG=4 2 ,BE=5 2 ,∴GE2=CG2+BE2-CB2=73,∴GE= 73 .
微专题(六) 与中点有关的辅助线+++课件+2025年中考数学人教版一轮复习(广西)
【方法归纳】
情形1：倍长中线
如图，在△ABC中，AD是BC边的中线．
辅助线作法一：延长AD至点E，使
DE＝AD，连接BE.
辅助线作法二：过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
结论：△ACD≌△EBD.
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情形2：倍长类中线
如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AB上一点，连接DE.
∴AC＝HB，∠CAD＝∠H，
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE＝∠BFH，
∴∠H＝∠BFH，∴BF＝BH，∴AC＝BF.
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6．如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE＋CF与EF的大
小关系，并证明你的结论．
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解：BE＋CF＞EF.
证明：延长ED至点P，使DP＝DE，连接FP，CP，
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微专题(六)
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与中点有关的辅助线
(5年2考)
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方法一：构造中线
1．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD
的中点，若EF＝6，则AC的长是 12 .
【解析】连接AF，则∠AFC＝90°.
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2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，E，F分别是BC，AC的
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证明：延长AE至点F，使 EF＝EA，连接DF.
∵AE是BD边上的中线，∴BE＝DE.
∴△DEF≌△BEA(SAS)．∴FD＝AB，∠EDF＝∠B.
2023年中考数学一轮复习满分突破专题13 线段双中点模型【题型方法解密】
【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握利用线段的中点及线段的和差关系求解线段的长度是解题的关键.
【提高测试】
1．点 ， ， 在同一条直线上， ， ， 为 中点， 为 中点，则 的长度为（）
A． B． C． 或 D．不能确定
9．如图，点C在线段 上， ， ，点M，N分别是 ， 的中点.
(1)求线段 的长.
(2)若点C为线段 上任意一点，满足 ，其他条件不变，你能猜想 的长度吗？并说明理由.
(3)若点C在线段 的延长线上，且满足 ，点M，N分别为 ， 的中点，你能猜想 的长度吗？并说明理由.
10．如图，点 在线段AB上， ，点 分别是 的中点．
A． B． C． 或 D．不能确定
2．(易错)（2022·四川绵阳·七年级期末）已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）
A．7cmB．3cmC．7cm或3cmD．5cm
3．如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（）
8．（1）如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝6，BC＝4，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；
（2）根据（1）的计算过程与结果，设AC＋BC＝a，其它条件不变，请猜想出MN的长度吗？并说明理由；
（3）对于（1）题，如果将“点C在线段AB上”改为“点C在射线AB上”，其它条件不变，求MN的长度．
A．5.5cmB．2.5cm
专题7几何图形—7.11之中点结构-2021年鲁教版(五四制)九年级数学专题复习训练
中点结构【知识点睛】中点是初中数学几何问题中的常见特征．在实际解决问题时，应用与中点有关的定理，也可以看作是中点与其他几何特征进行的组合搭配．1.与中点有关的定理① ① ①等腰+中点 直角+中点 多个中点__________ ________________ 考虑__________2.与中点有关的构造（1）将中点看作是对称中心，构造中心对称图形平行夹中点 见中点，要倍长________________ 考虑________________（2）将中点看作线段间的比值关系，考虑相似或者面积转化；3.其他背景下的中点（1）坐标系中见到中点，考虑中点坐标公式；如图，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）圆背景下的中点，考虑圆中的相关定理；如：①圆中四组量关系定理；②垂径定理；③圆周角定理等；倍长中线（1）【条件】：在矩形ABCD中，BD=BE，DF=EF；【结论】：AF⊥CF；模型思路：存在平行线AD平行BE；平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF；（2）【条件】在平行四边形ABCD中，BC=2AB，AM=DM，CE⊥AB；【结论】∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB①CD，有中点AM=DM，延长EM，构造①AME①①DMF，连接CM构造等腰①EMC，等腰①MCF。
（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）【经典例题1】已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B 重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【解析】（1）AE①BF，QE=QF，理由是：如图1，①Q为AB中点，①AQ=BQ，①BF①CP，AE①CP，①BF①AE，①BFQ=①AEQ，在①BFQ和①AEQ中①①BFQ①①AEQ（AAS），①QE=QF，故答案为：AE①BF，QE=QF．（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，①AE①BF，①①QAD=①FBQ，在①FBQ和①DAQ中①①FBQ①①DAQ（A SA），①QF=QD，①AE①CP，①EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，①QE=QF=QD，即QE=QF．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，①AE①BF，①①1=①D，在①AQE和①BQD中，①①AQE①①BQD（AAS），①QE=QD，①BF①CP，①FQ是斜边DE上的中线，①QE=QF．练习1-1已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．【解析】（1）BH⊥HE，BH＝HE；理由如下：延长EH交AB于M，如图1所示：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB∥CD∥EF，AB＝BC，CE＝FE，∠ABC＝90°，∴∠AMH＝∠FEH，∵H是AF的中点，∴AH＝FH，∴△AMH≌△FEH（AAS），∴AM＝FE＝CE，MH＝EH，∴BM＝BE，∵∠ABC＝90°，ME＝HE；∴BH⊥HE，BH＝12（2）结论仍然成立．BH⊥HE，BH＝HE．理由如下：延长EH交BA的延长线于点M，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ABE＝∠BEF＝90°，AB＝BC，AB∥CD∥EF，CE＝FE，∴∠HAM＝∠HFE，∴△AHM≌△FHE（ASA），∴HM＝HE，AM＝EF＝CE，∴BM＝BE，∵∠ABE＝90°，EM＝EH；∴BH⊥EH，BH＝12（3）延长EH到M，使得MH＝EH，连接AH、BH，如图3所示：同（2）得：△AMH≌△FEH（SAS），∴AM＝FE＝CE，∠MAH＝∠EFH，∴AM∥BF，∴∠BAM+∠ABE＝180°，∴∠BAM+∠CBE＝90°，∵∠BCE+∠CBE＝90°∴∠BAM＝∠BCE，∴△ABM≌△CBE（SAS），∴BM＝BE，∠ABM＝∠CBE，∴∠MBE＝∠ABC＝90°，EM＝MH＝EH，∵MH＝EH，∴BH⊥EH，BH＝12在Rt△CBE中，BE＝2−CE2＝12，∵BH＝EH，BH⊥EH，BE＝6√2．∴BH＝√22练习1-2（1）如图1，在线段AB上取一点C（BC＞AC），分别以AC、BC为边在同一侧作等边①ACD与等边①BCE，连结AE、BD，则ACE经过怎样的变换（平移、轴对称、旋转）能得到①DCB？请写出具体的变换过程；（不必写理由）【A】（2）如图2，在线段AB上取一点C（BC＞AC），如果以AC、BC为边在同一侧作正方形ACDG与正方形CBEF，连结EG，取EG的中点M，设DM的延长线交EF于N，并且DG=NE；请探究DM与FM的关系，并加以证明；【B】（3）在图2的基础上，将正方形CBEF绕点C顺时针旋转（如图3），使得A、C、E在同一条直线上，请你继续探究线段MD、MF的关系，并加以证明．【解析】（1）将①ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到①DCB；理由如下：①①ACD和①BCE是等边三角形，①AC＝CD，CE＝CA，①ACD＝①BCE＝60°，①①ACE＝①DCB，在①ACE和①DCB中，，①①ACE①①DCB（SAS），①将①ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到①DCB；（2）如图，相等且垂直．理由如下：①EF①GD，①①NEM＝①DGM，在①MGD和①MEN中，，①①MGD①①MEN（SAS），①DM＝NM，在Rt①DNF中，FM＝DN＝DM，①NE＝GD，GD＝CD，①NE＝CD，①FN＝FD，即FM①DM，①DM与FM相等且垂直．（3）MD与MF相等且垂直．理由如下：延长DM交CE于N，连接DF、FN，如图所示：根据（2）可以得到①MGD①①MNE，①DM＝NM，NE＝DG，①①DCF＝①FEN＝45°，DC＝DG＝NE，FC＝FE，①在①DCF和①NEF中，，①①DCF①①NEF（SAS），①DF＝FN，①DFC＝①NFE，①①DFN＝90°，即①FDN为等腰直角三角形，①DM＝NM，即FM为斜边DN的中线，①FM＝DM＝NM＝DN，且FM①DN，则FM＝DM，FM①DM．练习1-3如图，已知①BAD和①BCE均为等腰直角三角形，①BAD=①BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A ，B ，C 三点在同一直线上时（如图1），求证：M 为AN 的中点；（2）将图1中的①BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时（如图2），求证：①ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中①BCE 绕点B 旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．【解析】（1）证明：如图1，①EN①AD ，①①MAD=①MNE ，①ADM=①NEM ．①点M 为DE 的中点，①DM=EM ．在①ADM 和①NEM 中，①MAD MNE ADM NEM DM EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．①①ADM①①NEM ．①AM=MN ．①M 为AN 的中点．（2）证明：如图2，①①BAD 和①BCE 均为等腰直角三角形， ①AB=AD ，CB=CE ，①CBE=①CEB=45°． ①AD①NE ，①①DAE+①NEA=180°．①①DAE=90°，①①NEA=90°．①①NEC=135°．①A ，B ，E 三点在同一直线上， ①①ABC=180°-①CBE=135°．①①ABC=①NEC ．①①ADM①①NEM （已证），①AD=NE ．①AD=AB ，①AB=NE ．在①ABC 和①NEC 中，AB NE ABC NEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABC①①NEC ．①AC=NC ，①ACB=①NCE ．①①ACN=①BCE=90°．①①ACN 为等腰直角三角形．（3）①ACN 仍为等腰直角三角形．证明：如图3，延长AB 交NE 于点F ，①AD①NE ，M 为中点，①易得①ADM①①NEM ，①AD=NE ．①AD=AB ，①AB=NE ．①AD①NE ，①AF①NE ，在四边形BCEF 中，①①ACN=①BFE=90°①①FBC+①FEC=360°-180°=180°①①FBC+①ABC=180°①①ABC=①FEC在①ABC 和①NEC 中，AB NE ABC NEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABC①①NEC ．①AC=NC ，①ACB=①NCE ．①①ACN=①BCE=90°．①①ACN 为等腰直角三角形．练习1-4图1，在①ABC中，①ACB=90①，点D、点E分别在AC、AB边上，连结DE、DB，使得①DEA=90①，若点O是线段BD的中点，连结OC、OE，则易得OC=OE；操作：现将①ADE绕A点逆时针旋转得到①AFG(点D. 点E分别与点F. 点G对应)，连结FB，若点O是线段FB的中点，连结OC、OG，探究线段OC、OG 之间的数量关系；(1)如图2，当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，当点G在线段CA上时，线段OC=OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图4，在①ADE的旋转过程中，线段OC、OG之间的数量关系是否发生了变化?请直接写出结论，不用说明理由.【解析】（1）当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG成立理由：如图2，延长GF，CO相较于点D，①①ACB=①FGA=90°，①GD①BC，①①BCO=①D ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①①BOC①①FOD ，①OC=OD ，在Rt①CDG 中，OG=21CD=OC ， （2）当点G 在线段CA 上时，线段OC=OG 是成立，理由：如图3，延长GF ，CO 相较于点D ，①①ACB=①FGA=90°，①GD①BC ，①①BCO=①D ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①OC=OD ，在Rt①CDG 中，OG=21CD=OC ， （3）在①ADE 的旋转过程中，线段OC 、OG 之间的数量关系不发生了变化， 理由：如图4，连接CG ，延长GF 交BC 于M ，过点F 作FD①BC ，连接DG ，①①BCO=①FDO ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①①BOC①①FOD ，①OC=OD ，BC=DF由题意知，①AFG①①ABC ，①AF/AB=FG/BC ，①AF/AB=FG/DF ，①①ACB=①AGF=90°，①点A ，C ，M ，G 四点共圆，①①CAG=①BMG ，①FD①BC ，①①GFD=①BMG ，①①CAG=①GFD ，①AF/AB=FG/DF ，①①GAC①①GFD ，①①CGD=①ACF=90°，①OC=OD ， ①OG=21CD=OC ． 点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，解本题的关键是判断出①BOC①①FOD ，难点是（3）中判断出①CGD=90°．练习1-5已知：点P 是平行四边形ABCD 的对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ．点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，线段OE 和OF 的关系是__________；（2）当点P 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P 在线段OA 的延长线上运动，当∠OEF=30°时，试探究线段CF 、AE 、OE 之间的关系．【解析】（1）①AE①PB ，CF①BP ，①①AEO=①CFO=90°，在①AEO 和①CFO 中，①AEO=①CFO①AOE=①COFAO=OC ，①①AOE①①COF ，①OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE-AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，①AE①BP，CF①BP，①AE①CF，①①EAO=①GCO，在①EOA和①GOC中，①EAO=①GCOAO=OC①AOE=①COG，①①EOA①①GOC，①EO=GO，AE=CG，在Rt①EFG中，①EO=OG，①OE=OF=GO，①①OFE=30°，①①OFG=90°-30°=60°，①①OFG是等边三角形，①OF=GF，①OE=OF，①OE=FG，①CF=FG+CG，①CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，①AE①BP，CF①BP，①AE①CF，①①AEO=①G，在①AOE和①COG中，①AEO=①G①AOE=①GOCAO=OC，①①AOE①①COG，①OE=OG，AE=CG，在Rt①EFG中，①OE=OG，①OE=OF=OG，①①OFE=30°，①①OFG=90°-30°=60°，①①OFG是等边三角形，①OF=FG，①OE=OF，①OE=FG，①CF=FG-CG，①CF=OE-AE．练习1-6如图1，在Rt①ABC中，①BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（1）（2）【探究证明】把①ADE 绕点A 逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把①ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出线段AP 长度的最大值和最小值．图1 图2【答案】（1）AP ＝BE ，P A ①BE ；（2）（3）见解析． 【解析】（1）设P A 交BE 于点O ．①AD ＝AE ，AC ＝AB ，①DAC ＝①EAB ，①①DAC ①①EAB ，①BE ＝CD ，①ACD ＝①ABE ，①①DAC ＝90°，DP ＝PC ，①P A ＝CD ＝PC ＝PD ， ①P A ＝BE ，①C ＝①P AE ， ①①CAP +①BAO ＝90°，①①ABO +①BAO ＝90°，①①AOB ＝90°，①P A ①BE ，（2）结论成立．121212理由：延长AP 至M ，使PM ＝P A ，连接MC ，延长P A 交BE 于O ．①P A ＝PM ，PD ＝PC ，①APD ＝①CPM ，①①APD ①①MPC ，①AD ＝CM ，①ADP ＝①MCP ，①AD ①CM ，①①DAC +①ACM ＝180°，①①BAC ＝①EAD ＝90°，①①EAB ＝①ACM ，①AB ＝AC ，AE ＝CM ，①①EAB ①①MCA ，①BE ＝BM ，①CAM ＝①ABE ，①P A ＝AM ，P A ＝BE ， ①①CAM +①BAO ＝90°，①①ABE +①BAO ＝90°，①①AOB ＝90°，①P A ①BE ．（3）①AC ＝10，CM ＝4，①10﹣4≤AM ≤10+4，①6≤AM ≤14，①AM ＝2AP ，①3≤P A ≤7．①P A 的最大值为7，最小值为3．1212练习1如图，在矩形ABCD 中，①BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F .（1）若AB =2，AD =3，求EF 的长；（2）若G 是EF 的中点，连接BG 和DG ，求证：DG =BG .【解析】（1）EC=CF=1 EF=2（2）连接CG ，易证△CGD ≌△CGB ，∴DG=BG练习小题1.如图所示，在①ABC 中，AD 是①BAC 的平分线，M 是BC 的中点，ME①AD 且交AC 的延长线于E ，CE=21CD ，求证：①ACB=2①B ．【解析】延长EM 交AB 于F ，过B 作BG①EF 交AD 的延长线于K ，交AE 的延长线于G ，设AK ，EF 交于H ，连接DG ，①AD 是①BAC 的平分线，①①BAH=①EAH ，①ME①AD ，①①AHF=①AHE ，在①AFH 与①AEH 中，①FAH=①EAH AH=AH ①AHF=①AHE ，①①AFH①①AEH ，①FH=EH ，①AH 垂直平分EF ，①AK 垂直平分BG ，①AB=AG ，①EF①BG ，BM=CM ， ①CE=21CG ， ①CE=21CD ，①CD=CG ，①①CDG=①CGD ，①①ACB=①CDG+①CGD=2①CGD ，在①ABD 与①AGD 中，AB=AG ①BAD=①GAD AD=AD ，①①ABD①①AGD ，①①ABC=①AGD ，①①ACB=2①B ．点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，90ABD CBE ∠=∠=︒，BA BD =，BC BE =，延长CB 交DE 于F .求证：EF DF =.【解析】3.已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AG HG =.求证：BH AC =.【解析】4.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC ＞2AD ．【解析】证明： 延长AD 到M ，使AD=DM ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC ，∵AD=DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM=AC ，在△ABM 中，AB+BM>AM ，即AB+AC>2AD ．5.如图所示，BCD ∆和BCE ∆中，90BDC BEC ∠=∠=︒，O 为BC 的中点，BD ，CE 交于A ，120BAC ∠=︒，求证：DE OE =.【解析】法一：连接OD.∵∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点∴B ，C ，D ，E 四点共圆，且圆心为O∴OD=OE ，∠COD=2∠CBD ，∠BOE=2∠BCE∵∠BAC=120°∴∠CBD+∠BCE=60°∠COD+∠BOE=120°∴∠DOE=60°∴△DOE 是等边三角形∴DE=OE法二：如图，连接OD ，∵∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点，∴OD=OE=OB=OC ，∴∠CBA=∠BDO ，∠BCA=∠CEO ， 由三角形的外角性质得，∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA ，∠COD=∠CBA+∠BDO=2∠CBA ，∵∠BAC=120°，∴∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°，∴∠DOE=60°，∴△DOE 是等边三角形，∴DE=OE ．6.如图所示，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：2BAC BAD ∠=∠.【解析】延长FE ，截取EH=EG ，连接CH①E 是BC 中点，那么BE=CE①BEG=①CEH①①BEG①①CEH(SAS)①①BGE=①H ，那么①BGE=①FGA=①HBG=CH①CF=BG①CH=CF①①F=①H=①FGA①EF①AD①①F=①CAD ，①BAD=①FGA①①CAD=①BAD那么AD 平分①BAC7.如图，在四边形ABCD 中，①ABC =90°，AC =AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．若∠BAD =60°，AC 平分∠BAD ，AC =2，则BN 的长为____________． 【解析】28.如图，在□ABCD 中，AD =2AB ，CE ⊥AB 于点E ，F 为AD 的中点，连接CF ，NMDC B A则下列结论：△BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．其中一定正确的是_________．【解析】①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠BCD=2∠DCF ，故①正确； ②延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM ，∴△AEF ≌△DMF （ASA ）， AB C DE F∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FE，∴∠ECF=∠CEF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC>BE，∴S△BEC<2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故答案为：①②④．9.如图，在①ABC中，点D是BC的中点，若AB=5，AC=13，AD=6，则BC的长为____________．【解析】延长AD 到E ，使DE=AD=6，连接BE ，CE ．①CD=BD ，①四边形ABEC 是平行四边形，①AB①CE ，EB=CA=13；①52+122=132，①①CEA=90°，①①EAB=90°，=．10.如图，在①ABC 中，①ACB =60°，AC =1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分①ABC 的周长，则DE 的长是___________．【解析】23 ECB A11.如图，在四边形ABCD 中，AD ①BC ，①D =90°，AD =4，BC =3，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ．作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）A． B ．4 C ．3 D【解析】10F EDC B A O。
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秦皇岛市第八中学 高爽
环节一：知识回顾
问题１：如图，已知点C是线段AB的中点， 请写出你能想到的结论＿＿＿＿＿＿＿：
A
C
B
环节一：知识回顾
问题２：如图，已知点C是线段AB的中点，直线 l
经过点Ｃ且与线段AB垂直，你能通过适当添加线 段或者点，构造出你熟悉的图形吗？如果能，请 画出图形，并根据你添加的条件写出相应的结论：
环节三：学以致用
3、在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的 中点，DE与CF交于点M，连接AM。 求证：AM=AD
A
D
F M
B
E
C
环节四：理念提升
看到中点, 我能想到……
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想____________； 2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想____________； 3、三角形中遇到两边的中点，常联想__________________； 4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的 线段的中点时，常联想_____________________）； 5、有中点时常构造_____________________； 6、有中点时，常会出现面积的一半（理由：__________）； 7、圆中遇到弦的中点，常联想____________________；
环节四：理念提升
看到中点，我能想到……
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一” 的性质；
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的 中线，等于斜边的一半”；
3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线 定理”；
4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截 得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；
S 矩形ABCD
(2)如图1-2所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、
BC的中点，连AF、CE交于点G，则 S四边形AGCD 等于
______________；
S 矩形ABCD
D
C
D
C
A
E
B
图1-1
F
G
A
E
B
图1-2
环节三：学以致用
2、数学复习课上，张老师出示了下框中的问题：
问题：探求线段AE，EF，BF之间的数量关系
5、有中点时常构造垂直平分线、倍长中线、连结中位线； 6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的 面积）； 7、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”。
环节五：课后夯实
环节五：课后夯实
环节五：课后如图，已知点C是线段AB的中点，直线 l
经过点Ｃ且不与线段AB垂直，你能通过适当添加线 段或者点，构造出你熟悉的图形吗？如果能，请画 出图形，并根据你添加的条件写出相应的结论：
环节一：知识回顾
问题4：如图，已知点C是线段AB的中点，点E 是线段AD的中点，你能通过适当添加线段或 点，构造出你熟悉的图形吗？如果能，请画出 图形，并根据你添加的条件写出相应结论：
环节二 知识梳理：
请你回顾刚才所做的工作，归纳出你所能想到的 全部结论，与同伴交流并做好补充：
看到中点想到什么？ 1、 2、 3、 4、 5、
环节三：学以致用
1、(1)如图1-1所示，点E是矩形ABCD的边AB的
中点，连结CE，则 S四边形ADCE 等于__________；