2021版新高考数学人教B版一轮课件：8.4 空间中的垂直关系
高考数学一轮总复习 第八单元 立体几何 课时5 空间中的垂直关系课件 文
第六页，共三十八页。
1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也 垂直于这个平面．
2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面 内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这一条 直线也与另一个平面也垂直．
第三十二页，共三十八页。
证明：(1)在平面 ABD 内，因为 AB⊥AD，EF⊥AD，
(2)性质定理：垂直于同一平面的两条直线 平行 . (píngxíng) 用符号语言表示为：a⊥α，b⊥α⇒ a∥b .
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3．两平面垂直的判定
(1)利用定义：两个平面相交，若所成的二面角为 90°，
则称这两个平面互相垂直．
(2) 判 定 定 理 ： 如 果 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面 的 一
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第二十四页，共三十八页。
因为 FE⊂平面 PCE，所以平面 PAC⊥平面 PCE. 因为 PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥BD. 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 BD⊥AC. 因为 PA∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC. 因为 BD∥EF，所以 EF⊥平面 PAC.
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【变式探究(tànjiū)】
1．四面体 ABCD 中，AC＝BD，E、F 分别是 AD、BC 的中点，且 EF＝ 22AC，∠BDC＝90°，求证：BD⊥平面 ACD.
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证明：取 CD 的中点 G，连接 EG、FG，
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2022版新高考数学人教B版一轮复习课件：第八章第四节空间中的垂直关系
(2)选C.因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，BC⊥BD，所 以BD⊥平面ABC，又AC⊂ 平面ABC，所以BD⊥AC，故①正确．因为 BD⊥AC，BD⊥BC，AC∩BC＝C，所以BD⊥平面ABC，又因为BD⊂ 平面 ABD，所以平面ABD⊥平面ABC，故②正确．因为AC⊥AB，BD⊥AC， AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC⊂ 平面ACD，所以平面ACD⊥平面 ABD，故③正确．
【基本技能小测】
1．已知直线 l1⊥平面 α，直线 l2⊂ 平面 α，则下列结论一定不正确的是( )
A．l1，l2 相交
B．l1，l2 异面
C．l1∥l2
D．l1⊥l2
【解析】选C.由平面的垂线的定义可知，在平面α内肯定不存在与直线l1平行 的直线．
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 【解析】选C.如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1⊂ 平面BCC1B1，从 而A1B1⊥BC1. 又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂ 平面 A1B1CD，所以A1E⊥BC1.
第四节 空间中的垂直关系
必备知识·自我排查
【基础知识梳理】 1．直线与直线垂直 (1)定义：若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直 角，则称这两条直线互相垂直． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它就和平面内的任意一条直线垂直． 2．直线与平面垂直 (1)定义：直线l与平面α内的__任__意_一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相 垂直. (2)判定定理与性质定理：
(2)如图，在三棱锥A-BCD中，AC⊥AB，BC⊥BD，平面ABC⊥平面BCD.
(新课改地区)2021版高考数学一轮复习第八章立体几何初步8.4空间中的垂直关系课件新人教B版
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内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.直线与平面垂直 (1)定义：直线l与平面α内的_任__意__一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相 垂直.
(2)判定定理与性质定理：
文字语言 一条直线与一个平面 判定 内的两条_相__交__直线垂 定理 直，则该直线与此平 面垂直
(3)判定定理与性质定理：
文字语言
判定 定理
一个平面过另一个平 面的_垂__线__，则这两个
平面垂直
两个平面垂直，则一 性质 个平面内垂直于_交__线__
定理 的直线与另一个平面
垂直
图形语言
符号语言
【常用结论】 1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 2.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 3.三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直. 4.三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜 线的射影垂直.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( ) (2)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. ( ) (3)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.( ) (4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α. ( ) (5)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. ( ) (6)如果两个平面所成的二面角为90°,则这两个平面垂直.( )
所以AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高. 同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高, 即O为△ABC的垂心. 答案:垂
【三维设计】高考数学一轮复习 第4节 垂直关系课件
图形语言
符号语言
3．二面角
二面角的 定义
从一条直线出发的两个半平面 所组成的 图形叫作二面角．这条直线叫作二面角 的 棱 ，这两个半平面叫作二面角的面 ．
二面角的 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半 度量—— 平面内分别作 垂直于棱的两条射线，这两 二面角的 条射线所成的角叫作二面角的平面角．平 平面角 面角是直角的二面角叫作直二面角.
第
第 七
四
章
节
立
垂
体 几
直
何
关
系
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[明考纲•知考情]
考什么 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理
解空间中线面垂直的判定定理与有关性质． 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形
的垂直关系的简单命题.
怎么考
从高考内容上来看，线线、线面、面面垂直的问题 是命题的热点．题型多以选择题、解答题为主．着重考 查垂直关系的转化及应用．难度中、低档.
2．直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有( )
A．0条
B．1条
C．无数条
D．α内所有直线
解析：可以有无数条，但不是所有直线． 答案： C
3.如图，PA⊥平面 ABC，△ABC 中，BC⊥AC，
则图中直角三角形的个数为
()
A．1 C．3
B．2 D．4
解析：由线面垂直知，图中直角三角形为4个． 答案： D
一、直线与平面垂直 (1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何 一条直线都 垂直，那么称这条直线和这个平面垂直． (2)定理：
文字语言
图形语言
判 如果一条直线和一个平面
定 定
高考数学一轮总复习 第八单元 立体几何 课时6 空间中的垂直关系课件 文
的
．
答案：中点 外心 垂心
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4．如图，棱长都为 a 的正四棱锥中．
(1)侧棱与底面所成的角为
；
(2) 侧面 与 底面 所成的 锐 二面 角 的平 面角 的 正弦 值
为
.
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第十一页，共三十六页。
解：(1)此正棱锥的高为 22a，故侧棱与底面所成的角
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在 △ ABD 中 ， 由 余 弦 定 理 知 BD2 ＝ 22 ＋ 12 －
2×2×1×cos 60°＝3，所以 BD＝ 3，所以 B1D1＝ 3.
又 AB1 与 AD1 所成的角即为 AB1 与 BC1 所成的角 θ ，
所以
cos
θ＝AB221×＋AABD1×12－ABD11D21＝2×5＋25－×3
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第二十七页，共三十六页。
在 Rt△ADB 中，AB2＝AD2＋BD2＝41，得 AB＝ 41， 在 Rt△POD 中， PD2＝PO2＋OD2， 在 Rt△PDB 中， PB2＝PD2＋BD2， 所以 PB2＝PO2＋OD2＋BD2＝36，得 PB＝6. 在 Rt△PAO 中， PA2＝AO2＋OP2＝25，得 PA＝5. 又 cos ∠BPA＝PA2＋2PPAB·P2－B AB2＝13， 从而 sin∠BPA＝2 3 2， 所以 BM＝PBsin ∠BPA＝4 2. 同理 CM＝4 2. 因为 BM2＋MC2＝BC2，所以∠BMC＝90°， 即二面角 B-AP-C 的大小为 90°.
答案：60°
2021/12/13
第九页，共三十六页。
3．过△ABC 所在平面α外一点 P，作 PO⊥α，垂足为
2021届新高考数学一轮专题复习(新高考版)第34讲 空间中的垂直关系(讲义版)
第34讲 空间中的垂直关系一、 考情分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.二、 知识梳理1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点(O )的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αb ⊂αa ∩b ＝O l ⊥al ⊥b⇒l ⊥α推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面⎭⎬⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α 推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 2.(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α[微点提醒]1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.三、经典例题考点一线面垂直的判定与性质【例1】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.(1)证明因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.(2)解作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°.所以OM＝25 3，CH＝OC·MC·sin∠ACBOM＝455.所以点C到平面POM的距离为45 5.规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，P A⊂平面P AD，∴P A⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，且P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，∴CD⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.考点三平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD.所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，且P A∩AB＝A，所以PD⊥平面P AB.又PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2平行与垂直关系中的探索性问题【例3－2】如图，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P－ABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出PMMC的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC ＝12·AB·AC·sin 60°＝32，由P A⊥平面ABC，可知P A是三棱锥P－ABC的高.又P A＝1，所以三棱锥P－ABC的体积V＝13·S△ABC·P A＝36.(2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12， 从而NC ＝AC －AN ＝32. 由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13. 故存在满足条件的点M ，且PM MC ＝13.规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点. 角度3 空间位置关系与几何体的度量计算【例3－3】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.(1)解 如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，故cos∠DAP＝ADAP＝55.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.(2)证明由(1)知AD⊥PD，又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC.(3)解过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝2 5.在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝PDDF＝55.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5.规律方法 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由AD∥BC，AD⊥PD，得PD⊥BC，进而利用线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PBC.2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.[方法技巧]1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎬⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β； 2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 3.转化思想：三种垂直关系之间的转化4.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.5.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.6.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.7.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.四、 课时作业1．（2020·陕西高三其他（文））已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α2．（2020·甘肃城关�兰州一中高三一模（理））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ､N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．MN ∥平面ADD 1A 1B ．MN ⊥ABC ．直线MN 与平面ABCD 所成角为45° D ．异面直线MN 与DD 1所成角为60°3．（2020·辽宁沈河�沈阳二中高三其他（理））已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//n m ，n α⊥，则m α⊥C ．若//m α，//n β，m n ⊥，则αβ⊥D ．若//m α，n β⊥，//m n ，则//αβ4．（2020·乌鲁木齐市第四中学高一期末）如图，空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，90BAD ∠=︒，且AB ＝AD ，则AD 与平面BCD 所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 5．（2020·全国高三（理））在三棱锥A BCD -中,AC ⊥底面，，BD DC =，，，则点C 到平面ABD 的距离是（ ）A ．55a B ．155a C ．35a D ．153a 6．（2020·全国高一课时练习）如图，设平面PQ αβ⋂=，EG ⊥平面α，FH ⊥平面α，垂足分别为,G H .为使PQ GH ⊥，则需增加的一个条件是（ ）A ．EF ⊥平面αB ．EF ⊥平面βC ．PQ GE ⊥D ．PQ FH ⊥7．（2019·陕西武功�高三月考（理））已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是A ．l β∥或l β⊂B ．//l mC ．m α⊥D ．l m ⊥8．（2019·营口市第二高级中学高一月考）在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点， 则点C 到平面A 1DM 的距离为 ( )A 6B 6C 2D ．12a 9．（2020·四川雨城�雅安中学高二月考（理））已知正方形ABCD 的边长为4，E ､F 分别是AB ､AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且2GC =，则点B 到平面EFG 的距离为（ ）A ．1111B 311C ．1011D ．3101110．（2020·山东芝罘�烟台二中高一月考）如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，则以下结论：①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥BD ；③AC 1⊥平面CB 1D 1其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．（2018·安徽花山�马鞍山二中高三月考（文））已知a ，b 是平面α内的两条直线，l 是空间中的一条直线.则“直线l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．（2020·全国高一课时练习）已知长方体1111ABCD A B C D -，在平面11AA B B 上任取点M ，作ME AB ⊥于点E ，则（ ）A ．ME ⊥平面ABCDB ．ME ⊂平面ABCDC ．ME 平面ABCDD ．以上都有可能13．（2020·全国高一课时练习）已知直线l ⊥平面α，直线m α⊂，则（ ）A ．l m ⊥B ．l mC ．,l m 异面D ．,l m 相交而不垂直14．（2020·七台河市第一中学高一期末（理））已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m aD ．若m αβ=，n m ⊥，则n a ⊥15．（2020·北京通州�高一期末）已知直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，则“直线m α⊥”是“m a ⊥，且m b ⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．（2020·浙江高三其他）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体两两垂直的平面共有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对17．（2019·重庆高三三模（文））下列命题错误的是（ ）A ．若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面βB ．若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线垂直于平面βC ．若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=则l γ⊥18．（2020·广东汕头�高三二模（文））在立体几何中，以下命题中假命题的个数为（ ）①若直线//a b ，b ⊂平面α，则//a α.②若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，则l γ⊥.③有3个角是直角的四边形是矩形.④若平面α⊥平面β，a ⊂平面α，b ⊂平面β，且a b ⊥，则a β⊥.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 19．（2020·陕西高三其他（理））在三棱锥P ﹣ABC 中，已知△ABC 是边长为6的等边三角形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝12，则AB 与平面PBC 所成角的余弦值为（ ）A 257B 57C 133D 133 20．（2020·河南中原�郑州一中高三其他（理））设α为平面，m ，n 为两条直线，若m α⊥，则“m n ⊥”是“n ⊂α”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件21．（2020·江苏常熟中学高一月考）已知m ，n 为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出//αβ的是（ ）A ．//m n ，m α⊂，n β⊂B ．//m n ，m α⊥，n β⊥C ．m n ⊥，//m α，//n βD ．m n ⊥，m α⊥，n β⊥22．（2020·肥东县综合高中高三其他（理））如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB ，PC 的中点.若45PDA ∠=︒，则EF 与平面ABCD 所成角的大小是（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．3023．（2020·江西赣州�高二期中（理））第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）．A ．20︒B ．28︒C ．38︒D ．48︒24．（2020·黑龙江萨尔图�大庆实验中学高三其他（理））如图，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，下列命题中假命题是（ ）B C都相交A．过M点有且只有一条直线与直线AB、11B C都垂直B．过M点有且只有一条直线与直线AB、11B C都相交C．过M点有且只有一个平面与直线AB、11B C都平行D．过M点有且只有一个平面与直线AB、1125．（2020·河北省博野中学高一开学考试）如图，下列4个正方体中，点A，B，M，N，Q分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这4个正方体中，满足直线AB⊥平面MNQ的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．426．（2020·山东芝罘�烟台二中高一期末）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B ⊥垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）﹒的任意一点，AE PC⊥D．平面AEF⊥平面PBCA．BC⊥平面PAC B．AE EF⊥C．AC PB27．（2019·邢台市第八中学高二期中）如图，己知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为（）A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．3028．（多选题）（2020·安徽金安�六安一中高一期末（理））如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点E ､F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等29．（多选题）（2020·江苏苏州�高一期末）如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点M 在线段1BD 上运动，则下列结论正确的是（ ）A ．直线AD 与直线1C M 始终是异而直线B ．存在点M ，使得1B M AE ⊥C ．四面体EMAC 的体积为定值D ．当12D M MB =时，平面EAC ⊥平面MAC30．（多选题）（2020·江苏宿迁�高一期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，给出以下结论，其中正确的有（ ）A ．AD 与1BD 所成的角为45°B ．1//AD 平面1BCCC ．平面1ACD ⊥平面11B D DD ．对于任意的点E ，四棱锥11B BED -的体积均不变31．（2019·河北路南�唐山一中高三期中（文））如图，在三棱柱中，，，为的中点，点在平面内的射影在线段上.(1)求证：； (2)若是正三角形，求三棱柱的体积.32．（2020·浙江高三开学考试）如图，四棱锥S ABCD -中，//AD BC ，AD AS ⊥，2AD =，2CD =，1AB BC AS ===，23SAB π∠=．（1）求证：AD BS ⊥；（2）求直线CD 与平面SAC 所成角的正弦值．33．（2020·河北枣强中学高三月考（文））如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 中，90,//,1,2BAD AB CD AB PA AD CD ︒∠=====.（1）求证：平面BPC ⊥平面DPC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离.34．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）如图，四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，22AB =2BC SC SD ===，BC SD ⊥.（1）求证：SC ⊥平面SAD ；（2）求四棱锥S ABCD -外接球的体积.35．（2019·浙江高三月考）在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点．（1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值． 36．（2020·浙江省兰溪市第三中学高三开学考试）如图,在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，2AB BC ==，30ACB ∠=，1231722a a +=<=<，11BC AC ⊥，E 为AC 的中点，侧棱12CC =．（1）求证：1A C ⊥平面1C EB ； （2）求直线1CC 与平面ABC 所成角的余弦值．。
(新课标)高考数学一轮复习 8.4垂直关系及空间角名师课件
1.给出下列三个命题: ①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a、b不相交”; ②“直线a垂直于直线b”的充分非必要条件是“直线a垂直于直线b在平 面β内的射影”; ③“直线a垂直于平面β”的必要非充分条件是“直线a垂直于平面β内的 无数条直线”. 其中正确的命题个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
设二面角C1-OB1-D的大小为θ,易知θ是锐角,
于是cos
θ=|cos<n1,n2>|=
|
n1=
n1 |
n2 | n2
=
|
2 .3
19
故二面角C1-OB1-D的余弦值为
2
5. 7
19
2 57 19
证明线面垂直的方法:一是利用线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的 性质定理;三是利用平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另 一条也垂直于这个平面).解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化; 另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底 边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一,矩形的内角、直径所对的圆 周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形、直角梯形等等.
AE BC
(2)AE⊂平面PAB,由(1)知 AE ⇒PABE⊥平 面PBC.
PBBC B
PC AE
(3)PC⊂平面PBC,由(2)知 PC ⇒APFC⊥平 面AEF.
AEAF A
面面垂直的判定与性质 典例2 (2014福建,17,13分)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥ BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图. (1)求证:AB⊥CD; (2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
8.5空间中的垂直关系-2021届高三数学一轮复习考点突破课件(共33张PPT)
类型一 线线垂直问题
例 1 (2019·江苏卷)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别为 BC， AC 的中点，AB＝BC.求证：
(1)A1B1∥平面 DEC1； (2)BE⊥C1E.
证明：(1)因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，
所以 ED∥AB.
又在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB∥A1B1， 所以 A1B1∥ED. 又因为 ED⊂平面 DEC1，A1B1⊄平面 DEC1， 所以 A1B1∥平面 DEC1. (2)因为 AB＝BC，E 为 AC 的中点，所以 BE⊥AC.
又 BE⊥EC1，所以 BE⊥平面 EB1C1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知∠BEB1＝90°. 由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°， 故 AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6. 作 EF⊥BB1，垂足为 F，则 EF⊥平面 BB1C1C，且 EF＝AB＝3. 所以，四棱锥 E-BB1C1C 的体积 V＝13×3×6×3＝18.
所以 sin∠PCE＝sin∠PCD＝ 23，所以∠PCB＝∠PCA＝60°， 又易知 PO⊥CO，CO 为∠ACB 的平分线， 所以∠OCD＝45°，OD＝CD＝1，OC＝ 2， 又 PC＝2，所以 PO＝ 4－2＝ 2.故填 2.
评析 例 2(1)主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解， 熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型. 例 2(2)主要考查空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到在底面上的 射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，利用勾股定理解决.注意画图视 角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，很可能难以发现垂直关系，问 题不易解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段， 此时几何关系利于观察，解题事半功倍.