量子力学习题

河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷

— 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、简述波函数的统计解释；

2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？

3、力学量G

ˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；

5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释

各项的几率意义。

二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态能级和波函数。

三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。

四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2

)0(1。在不含时微扰H 'ˆ作用下，总哈密顿算符H ˆ在)0(ˆH 表象下为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=**2110

0E E E H βαβα。求

受微扰后的能量至一级。 五（20分）对电子，求在x S ˆ表象下的x

S ˆ、y S ˆ、z S ˆ的矩阵表示。 A —1—1

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— 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、何为束缚态？

2、当体系处于归一化波函数ψ(,)ϖr t 所描述的状态时，简述在ψ(,)ϖr t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。

3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ϖψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)ϖr t 改写为ψ(,)ϖ

r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？

4、简述定态微扰理论。

5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 二（20分）设粒子在三维势场()a x a z y x U <>⎩⎨⎧∞=x 0

,,中运动，求粒子定态能量

和波函数。 三（20分）一维运动的粒子在态()000

<>⎩⎨⎧=-x x Axe x x

当当λψ中运动，其中

0>λ。求()()?ˆˆ22=∆•∆p x 四（20分）求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。

五（20分）对自旋为21

=s 的粒子，求在∃S y 表象中∃S x 、∃S y 、∃S z 的矩阵表示。

B —1—1

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— 学年第 学期 级 专业（类）

考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 C

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？

2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？

3、测不准关系是否与表象有关？

4、在简并定态微扰论中，如∃()H

0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H

'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？

5、在自旋态χ12

()s z 中，∃S x 和∃S y 的测不准关系(∃)(∃)∆∆S S x y 22•是多少？ 二（20分）求在三维势场()b y a x z y x U <<⎩⎨⎧∞=且当其它区域0

,,中运动的粒子的定态

能量和波函数。 三（20分）求氢原子基态的最可几半径。

四（20分）已知哈密顿算符H ˆ在某表象下⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=202050

0bi i a c

H ωη 且知其基态E 0=－3ηω，求实数a ，b ，c 。

五（20分）求在∃S z 表象下，∃(∃∃)S n x z =+η21232σσ的本征值及本征函数。当体系处于χ12()s z 态时，求S n =

η2

的几率为多少？ C —1—1

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— 学年第 学期 级 专业（类）

考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 D

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger

&&方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态

Schrodinger

&&方程的解？ 2、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。

3、说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。

4、何谓选择定则。

5、能否由Schrodinger &&方程直接导出自旋？

二（20分）求在一维势阱()其它b x a U x U <<⎩⎨⎧∞

=0中运动的粒子的定态能级和波函

数。

三（20分）当体系处在状态 ()ϕπϕπϕψcos 23

sin 21

+=时，

（这里ϕ为角坐标）。求角动量z 分量L z 的可能值及其平均值。

四（20分）转动惯量为I ，电偶极矩为ϖD 的空间转子，处在均匀电场ϖε中，如

电场较小，用微扰方法求转子基态能量至二级。 五（20分）已知∃∃∃J J iJ x y

+=+，ϖ

∃J 为角动量算符，jm 为∃,∃J J z 2共同本征态，试证明：∃()(),J jm j j m m j m +=+-++111η

D —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷

— 学年第 学期 级 专业（类）

考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 E

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、叙述量子力学的态迭加原理。

2、厄米算符是如何定义的？

3、据[a ˆ，+a ˆ]=1，a a N ˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。

4、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。

5、自旋ϖηϖ∃∃S =2

σ，问ϖ∃σ是否厄米算符？ϖ∃σ是否一种角动量算符？ 二（20分）粒子在势场()()a

x a x a x x U ><⎪⎩⎪⎨⎧-∞=2221μω中运动，求其定态能级及波函数。

三（20分）氢原子处于基态。求(1) r 的平均值；(2) 动量P ϖ的平均值

四（20分）已知哈密顿算符⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=3020001ai ai H ωη

求：（1）能量本征值；（2）当a 很小时，能量修正至二级。

五（20分）设∃(∃∃),∃∃∃F l l L J L S l =+++⋅=+12111ηϖϖϖϖϖσ，其中ϖϖηϖ∃,∃∃L S =2

σ分别为