全国高中数学联赛(上海)赛区竞赛试卷

2012年上海市高中数学竞赛

一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .

2.已知正整数1210,,

,a a a 满足:

3

,1102

>≤<≤j

i a i j a ,则10a 的最小可能值是 .

3.若17tan tan tan 6αβγ++=

，4

cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17

cot cot cot cot 5

βγγα++=-，则()tan αβγ++= .

4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .

5．如图，∆AEF 是边长为

x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知

90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .

6．方程1233213+⋅-+=m n n m

的非负整数解(),=m n .

7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()122

1211,2,,1,2,22

+++===-=++n n n n n

a a a a a n n n .若

2011

22012

>+

m a ，则正整数m 的最小值为 .

E1

D 1

A

二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．

求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．

10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )

()1sin a x x f x x

++=+的最小值．

11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证：

（1）43

xy yz zx ++≥

； （2）2x y z ++≥．

O

D

C

B

A

12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下两个条件

的子集A 的元素个数的最小值：

（a ） 1,21n A A ∈-∈；

（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．

2012年上海市高中数学竞赛答案

1 2、9

2 3、11 4、(){},04-∞ 52

6、()()3,0,

2,2

7、

2

5

8、4025 9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得

2222211

()(1)22

OB OC AB BC x +=

+=+． ① …………………（2分）

在△OBC 中，由余弦定理

2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，

所以 2

2

1OB OC OC +⋅=， ②

由①，②得 2

OB OC ⋅=． ③

…………………（5分）

所以 144sin 2

ABCD OBC S S OB OC BOC ∆==⋅⋅∠

OC =⋅21

2

x -=， 故 ()AB h x ⋅21

2

x -=，

所以 21

()2x h x x

-=． …………………（10分）

由③可得，2

10x ->，故1x >．

因为22

2OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得

221(1)22x +≥

解得（结合1x >）

11x <≤．

综上所述，21

()2x h x x

-=

，11x <≤． …………………（14分）

10．解 (sin )(4sin )3(1)

()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x

++-==++++++．

当7

13

a <≤

时，02<，此时

3(1)

()1sin 221sin a f x x a a x

-=++++≥++，

且当(]()

sin 11,1x =∈-

时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． …………………（6分） 当73a >

2，此时“耐克”函数3(1)a y t t

-=+

在(

0,内是递

减，故此时

min 3(1)5(1)

()(1)2222

a a f x f a -+==+

++=．

综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.

2

3a a f x a a ⎧

+<≤⎪⎪=⎨

+⎪>⎪⎩ …………………（14分） 11．证 （1

）记t =

)

3

32

2

3xy yz zx xyz ++⎛⎫=

≤ ⎪⎝⎭

．

…………………（4分） 于是 3

2

4993xyz xy yz zx t t =+++≤+，

所以 ()()

2

323320t t t -++≥，

而2

3320t t ++>，所以320t -≥，即2

3

t ≥

，从而 4

3

xy yz zx ++≥． …………………（10分）

（2）又因为

2()3()x y z xy yz zx ++≥++，