函数极限的性质和收敛准则
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§1.6 函数极限的性质和收敛准则
上一节我们引入了六种函数极限，即 ⑴ )(lim x f x +∞
→ ⑵ )(lim x f x −∞
→ ⑶ )(lim x f x ∞
→
⑷ )(lim x f a
x +
→ ⑸)(lim x f a
x −→ ⑹ )(lim x f a
x → 它们具有与数列极限相类似的性质和收敛准则，证明方法也相类似。我们这里仅就第⑹种类型的极限作为代表来叙述其某些性质并证明其中一些，其他五种情形的性质及证明只要相应修改一下即可。
一、函数极限的性质
1Th （唯一性）如果)(lim x f a
x →存在，则必定唯一。
证一：设)(lim x f a
x →A =，B x f a
x =→)(lim 。则
,0,01>∃>∀δε当1||0δ<− ,02>∃δ当2||0δ<− 取 {}2,1min δδδ=，则当δ<− 因而有ε2)()())(())((<−+−≤−−−=−B x f A x f B x f A x f B A ……（3） 由ε的任意性，（3）式只有当0=−B A 时，即B A =时才成立。 证二：反证，如)(lim x f a x →A =，B x f a x =→)(lim 且B A >，取2 0B A −= ε，则0>∃δ，使当δ<− 2 )(200B A B x f A B A += +<<−=+εε 矛盾。 2Th （局部有界性）如果)(lim x f a x →存在，则()U a ∃o 使)(x f 在()U a o 内有界。 证：设b x f a x =→)(lim ，则对10=ε，00>∃δ，当00δ<− 从而()()1f x f x b b b ≤−+<+ 令b M +=1，则当00δ<− x =→)(lim ，c x g a x =→)(lim 1） 若c b >，则00>∃δ，当00δ<−； 2） 若00>∃δ，当00δ<− 证：1） 取2 0c b −= ε即得。2）反证，由1）即得。 推论（保号性）如果b x f a