中国精算师《数学》过关必做1000题(含历年真题)-第11~12章及附录【圣才出品】
中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(债券及其定价理论)【圣才出品】
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E．1000
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【答案】B
【解析】已知 N=700，P＝670.60，K＝372.05，r=10%÷2=5%，n=10。
①由基本公式
，得：
670.6=372.05＋700×5%× ，
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K=Cvn=1050（1＋0.05）-20=395.734， G=Nr/i=42/0.05=840， t1=20%。 解法①：利用基本公式。
=33.6×12.4622＋395.734=814.46（元）； 解法②：利用溢价/折价公式。
乙债券：面值和期满赎回价均为 1000，债券期限为 2n 年，年息票率为 7%（每半年计 息一次），债券年利率为 5%（每半年计息一次），则乙债券的价格为（ ）。
A．1375 B．1475 C．1675 D．2100 E．2675 【答案】A 【解析】①对于甲债券，由题意，得：
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第 5 章 债券及其定价理论
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．（2008 年真题）一个 5 年期的债券，面值为 1000 元，半年度支付的息票率为 10%， 到期按面值偿还；假设购买该债券将产生半年度转换 12%的收益率，则分期偿还表上利息 支付的总和为（ ）元。
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E．14
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中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(利率期限结构理论)【圣才出品】
可得 y3=6.33%。
8．第 3 年预计的远期利率是（ ）。 A．6% B．7% C．8% D．9% E．10% 【答案】C 【解析】解法①：设第 3 年预计的远期利率为 f3，则：
（1＋y3）3=（1＋y2）2×（1＋f3） （1.0633）3=（1.055）2×（1＋f3） 1＋f3=（1.0633）3／1.0552=1.08，f3=8.0％ 解法②：831.92（1＋y3）3=1000，898.47（1＋y2）2=1000，所以
4．一张 4 年期的面值是 1000 美元且息票率是年付 10％，并且在到期日按面值 1000 元兑付。则该债券的价格是（ ）美元。
A．1070.35
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B．1072.40
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C．1074.40
D．1079.35
E．1080.35
12．如果一只 3 年期的零息债券的收益率是 6.8％，第 1 年的远期利率是 5.9％，第 2 年的远期利率是 6.6％，那么第 3 年的远期利率是（ ）。
A．7.85％ B．7.87％ C．7.89％
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D．7.91％Байду номын сангаас
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E．7.93％
【答案】D
【解析】3 年期的远期利率为：
f3=（1.068）3／（1.059×1.066）-1=7.91％
13．1 年期债券的到期利率是 6.3％，2 年期零息债券的到期利率是 7.9％，第 2 年的 远期利率是（ ）。
【答案】B
【解析】计算 1 年期和 4 年期零息债券的到期收益率分别为：
中国精算师《数学》过关必做1000题(含历年真题)时间序列分析【圣才出品】
E．任意有限阶模型都是平稳的 【答案】C 【解析】ARMA（p,q）模型偏相关函数与自相关函数均拖尾
3．已知序列
，独立同分布服从 N（0,1）,观察到
,，若对
进行预测，其预测方差为（ ）。[2011 年真题]
A．0.4
B．0.46
C．1.16
D．32
E．32.5
【答案】C
，其中 ， 是相互独立的标准正态分布随机
变量， 是实数。下列说法正确的是（ ）。
A．{Xt}是平稳的
B．{Xt}是非平稳的
C．{Xt}可能是非平稳的
D．{Xt}可能是平稳的
E．无法判断
【答案】A
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【解析】因为
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自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关；③常数方差。
8．下列关于自相关系数的说法中不正确的是（ ）。
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A．
B．
C．
D．一个自相关函数一定唯一对应着一个平稳时间序列
E．当
，说明相隔 k 期的两个序列值之间具有正相关关系
13．平稳 AR（1）模型的自协方差函数为（ ）。 A． B． C． D． E． 【答案】A 【解析】平稳 AR（1）模型的自协方差函数递推公式为：
由
可得平稳 AR（1）模型的自协方差函数递推公式如下：
14．平稳 AR（2）模型的自相关系数递推式为（ ）。
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A． B． C． D． E． 【答案】D 【解析】平稳 AR（2）模型的递推公式为：
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，
。
5．已知 年秋季真题]
A．0.0506 B．0.0517 C．0.0526 D．0.0536 E．0.0552 【答案】A
【解析】由
，由此可计算 为（ ）。[2011
得 得
，解得 。
，又由 ，因此
6．现有两个期限均为 50 年的年金：
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春季真题]
A．4265972
B．4272801
C．4283263
D．4294427
E．4303612
【答案】D
【解析】设月实际利率为 i，则
。
第 10 年末，也即第 120 次支付后，累计值为：
10． （2008 年真题）某永久年金在第一年末支付 1，第二年末支付 3，第三年末支付 5，……， 则该年金的现值为（ ）。
B．0.0286
C．0.0333
D．0.0476
E．0.0571
【答案】E
【解析】由于
于是
8．某人在未来 15 年中每年年初向银行存入 5000 元，前五年的年利率为 5.6%，中间 五年的年利率下调为 3.7%，后五年由于通货膨胀影响，年利率上调至 8.9%，则第十五年 年未时，这笔款项的积累额为（ ）。[2011 年春季真题]
A．2379072 B．2380231 C．2381263
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D．2382009
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E．2383089
【答案】E
【解析】两个月的实际利率为：
，共支付
次，
因此该年金在第三末的积累值为
。
4．下列表达式正确的为（ ）。[2011 年秋季真题] A． B．
中国精算师《精算模型》过关必做1000题(含历年真题)(生命表)【圣才出品】
的值为（ ）。
[2011 年秋季真题]
A．8.11
B．8.12
C．8.13
D．8.14
E．8.15
【答案】B
【解析】因为假设是建立在相邻两个整数乊间上的，故丌能直接计算 0.7 q[61]0.6 ，而应 分 [61] 0.6 到 [61]+1 和[61]+1 到 [61]+1+0.3 两段计算，且 0.7 p[61]0.6 0.4 p[61]0.6 0.3 p[61]1 。而根据
D．0.006887，0.99683 E．0.006887，0.99724 【答案】B 【解析】由表中数据可以得出：
F（3）=1－S（3）=1－0.994073=0.005927
3．如表 3-2 所示的生命表，计算在 2 岁不 4 岁乊间的死亡人数，及 1 岁的人生存到 4 岁的概率分别为（ ）。
【答案】B
【解析】由题意可得：
（1）
=
（2）
（4）由亍
，所以
5．已知生命表函数为 =
，x≥0，且随机变量 T 表示 x 岁人的剩余寿命，则
Var(T ) =（ ）。
A． x 1
B． x 1 2
C． 3 x 1
4
x 12
D．
2
3 x 12
E．
4
【答案】E
【解析】由亍
，其中
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【解析】由亍
，
，所以由表 3-3 中已知数据可得：
l99=d99＋l100=40＋24=64
而 d100=q100·l100=0.667×24=16，故
l101=l100－d100=24－16=8
又 d101=q101·l101=（1－p101）·l101=（1－0.25）×8=6，所以
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第 6 章 短期聚合风险模型
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有 1 项最符合题目要求，请将正确
选项的代码填入括号内）
1．损失服从均值为 2 的泊松分布，已知 E(Id ) 0.7 1.9e2 ，求 d=（ ）。[2014
年春季真题]
A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6 E．1.7
【答案】A
d
【解析】由递推公式 E(Id ) E(S) [1 Fs (x)]dx ， 而 E(S) 2 ， 0
d
则 [1 Fs (x)]dx E(S) E(Id ) 2 （0.7 1.9 e2 ) 1.3 1.9e2 ，当 1<d<2 时， 0
C． 3 4
D． 5 6
E． 6 7
【答案】A
【解析】由已知，有
P(N n)
ne 0 n!
e d
2 n1
0
e n11 2 (n 1)
2 (n1)
பைடு நூலகம்
d
2 (n1)
故
P(N k) 1 P(N k 1) 2
6～7 题的条件如下：
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（2）
M
x
2
f
( x)dx
；
（3） [ M x2 f (x)dx M 2P( X M )] 。 0
A．（1） B．（2） C．（1）（2） D．（3） E．（2）（3）
【答案】D
k 1
E(Xk
E( X k ))3
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第 9 章 时间序列分析
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．已知时序模型
A．0 B．－1 C．－1/2 D．1 E．1/2 【答案】D
独立同分布服从 N（0,1），则 等于（ ）。[2011 年真题]
，其中 ， 是相互独立的标准正态分布随机
变量， 是实数。下列说法正确的是（ ）。
A．{Xt}是平稳的
B．{Xt}是非平稳的
C．{Xt}可能是非平稳的
D．{Xt}可能是平稳的
E．无法判断
【答案】A
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【解析】因为
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从而得 。
7．如果时间序列{Xt}为平稳时间序列，则下列说法中正确的是（ ）。
A．{Xt}的均值和方差均与时间有关
B．{Xt}具有常数均值，但方差不一定存在
C．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
仅与时间间隔 t－s 有关
D．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
也为常数
E．以上说法均不正确
【答案】C
【解析】对于平稳时间序列{Xt}，具有三个重要性质：①常数均值；②自协方差函数与
9．设时间序列 Xt 是由下面随机过程生成的：Xt=Zt＋ ，其中 为一均值为 0，方 差为 的白噪声序列，Zt 是一均值为 0，方差为 ，协方差恒为常数 a 的平稳时间序 列。 与 Zt 不相关。下列选项中不正确的是（ ）。
A．E（Xt）=0 B．Var（Xt）= C．Cov（Xt，Xt＋k）=a
所以{Xt，0≤t≤1}为平稳过程。
中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(收益率)【圣才出品】
第3章收益率单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）1．李先生第一年初投资10000元，第二年初投资5000元。
以后每年初投入1000元。
总共投资10次。
从第七年起，开始收回投资及回报：第七年初收回8000元，第八年初收回9000元，…，第11年初收回12000元。
具体现金流情况如表3-1所示。
设利率i=0.08，则该现金流的现值为（）元。
表3-1 现金流量表A．6800.93B．6801.93C．6803.93D．6805.93E．6807.93【答案】D【解析】i=0.08，所以，故现金流的现值为：=6805.93（元）。
2．当利率=（）时，第2年末支付2000元、第4年末支付3000元的现值之和为4000元。
A．4.3%B．5.3%C．6.3%D．7.3%E．8.3%【答案】D【解析】该现金流为：R0=4000，R2=－2000，R4=－3000。
所以，由于，故解得：=0.868517，又v=1/（1＋i），所以i=（1－v）/v=7.3%。
3．有甲、乙两个投资额相同的项目，甲投资项目为期20年，前10年的收益率为15%；乙投资项目为期20年，收益率为12%。
则甲投资项目后10年的再投资收益率为（）时，能使甲、乙两个投资项目在20年投资期中收益率相等。
A．6.50%B．7.08%C．7.50%D．8.08%E．9.08%【答案】E【解析】根据题意得：1.1510（1＋i）10=1.1220，所以。
4．某人在期货交易市场上先投入10000元买入1年期期货，一年后作为现货卖出且另外卖空一部分一年期期货，共24500元，又过一年，投入15000元买入现货支付到期期货。
则该投资人的投资收益率为（）。
A．20%B．22%C．20%或22%D．20%或25%E．22%或25%【答案】D【解析】根据题意，现金流为：R0=－10000，R1=24500，R2=－15000，则由得：即=0，=0，所以i=0.2或i=0.25。
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6．设齐次马尔可夫链的状态空间为
，其一步转移概率矩阵为
则此马尔可夫链的极限分布为（ ）。[2011 年真题]
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【答案】C 【解析】假设
，由
验证只有 C 满足
7．设
是独立同分布随机变量序列，且
，
，则下列说法正确的是（ ）。[2011 年真题]
【答案】B
【解析】若 是关于
的一个鞅，则满足
，
将各选项带入验证得 B 正确
8．设下列说法不正确的是（ ）。[2011 年真题] A．泊松过程中第一个事件发生的时刻服从指数分布 B．泊松过程是一种特殊的更新过程 C．不可约有限状态马尔科夫链可能存在非常返态 D．布朗运动的增量服从正态分布 E．布朗运动是平稳增量过程
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【答案】C 【解析】有限状态不可约马尔科夫链的所有状态都是常返态
A． B．
C．
D． E． 【答案】E 【解析】设
是顾客到达数的泊松过程，
，故
则
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12．通过某十字路口的车流是一泊松过程，设 1min 内没有车辆通过的概率为 0.2，则 2min 内有多于一辆车通过的概率为（ ）。
A．0.20 B．0.50 C．0.83 D．0.87 E．0.96 【答案】C 【解析】以 N（t）表示在[0,t）内通过的车辆数，设{N（t），t 0}是泊松过程，则
第 11 章 几种常用的随机过程
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确
选项的代码填入括号内）
1．设移民到某地定居的户数是一个泊松过程，平均每周有 2 户定居。设每户的人口数
是一个随机变量，一户有 4 人的概率是 1/6，有 3 人的概率是 1/3，有 2 人的概率是 1/3，
中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(投资组合理论)【圣才出品】
根据表 10-4 回答 9~10 题。
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表 10-4
U=E（r）－0.005Aσ2，A=4。 9．根据上面的效用函数，下面最值得投资的是（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 E．无法判断 【答案】D 【解析】效用如下所示，
D．3.8
E．3.9
【答案】B
【解析】如果无差异，则两种投资的效用就应该一样。对于无风险资产，标准差是零，
资产的效用就是预期收益，即 U=0.04。因此有风险的投资效用也是 0.04。通过效用函数
0.04=0.14-0.5A×0.252，解得 A=3.2。
利用表 10-1 的信息回答 2～4 题。
表 10-1
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表 10-2
A．B、F B．A、D、E C．C、E、F D．C、D E．C、D、F 【答案】E 【解析】表 10-3 展示了哪一个投资是有效的。
表 10-3
所以正确答案为 E。
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【解析】对两个投资无差异，则两个投资的效用必然相同。由于国库券是无风险的，它
的效用是 4%的收益率，通过效用函数 0.04=0.14-0.005A×0.252，解得 A=320。
12．假设一个回避风险的投资者。投资组合 1 的期望收益率是 14%，标准差σ=0.18； 投资组合 2 的标准差σ=0.25，年末现金流为 5000 和 14000 美元的概率是相等的，若在投 资组合 1 和投资组合 2 的选择上没有差别，则投资组合 2 的价格是（ ）。
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第9章金融衍生工具定价理论1．某股票的当前价格为50美元，已知在6个月后这一股票的价格将变为45美元或55美元，无风险利率为10％（连续复利）。
执行价格为50美元，6个月期限的欧式看跌期权的价格为（）美元。
A．1.14B．1.16C．1.18D．1.20E．1.22【答案】B【解析】①考虑下面这个组合：－1：看跌期权，＋△：股票如果股票价格上升到55美元，组合价值为55△。
如果股票价格下降到45美元，组合价值为45△－5。
当45△－5=55△，即△=－0.50时，两种情况下组合价值相等，此时6个月后的组合价值为－27.5美元，当前的价值必定等于－27.5美元的现值，即：（美元）这意味着：其中，pp是看跌期权价格。
由于△=－0.50，看跌期权价格为1.16美元。
②使用另一种方法，可以计算出风险中性事件中上升概率p，必定有下式成立：得到：即p=0.7564。
此时期权价值等于按无风险利率折现后的期望收益：（美元）这与前一种方法计算出的结果相同。
2．某股票的当前价格为100美元，在今后每6个月内，股票价格或者上涨10％或下跌10％，无风险利率为每年8％（连续复利），执行价格为100美元，1年期的看跌期权的价格为（）美元。
A．1.92B．1.95C．1.97D．1.98E．1.99【答案】A【解析】图9-1给出利用二叉树图为看跌期权定价的方法，得到期权价值为1.92美元。
期权价值也可直接通过方程式得到：（美元）图9-1 二叉树图3．某股票的当前价格为50美元，已知在2个月后股票价格将变为53美元或48美元，无风险利率为每年10％（连续复利），执行价格为49美元，期限为2个月的欧式看涨期权价格为（）美元。
A．2.29B．2.25C．2.23D．2.13E．2.07【答案】C【解析】①两个月结束的时候，期权的价值或者为4美元（如果股票价格为53美元），或者为0美元（如果股票的价格为48美元）。
考虑一份资产组合的构成：＋△：股票，－1：期权。
中国精算师《寿险精算》过关必做习题集(含历年真题) 第11章~第19章【圣才出品】
axn
1 d
1 d (m)
Axn
且
故综合可得
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2．证明
和每年支付 1 的 n 年延期连续生命年金有相同的方差。
证明：每年支付 1 的 n 年延期连续生命年金的随机变量可表示为：
可令
则恰有
故
而
0，所以
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年内，则年金支付 5 年。保单签发 20 年后终止。给出趸缴净保费的表达式。 解：设保单给付现值的随机变量为 Z，可得：
因为
时，
，故 Z 的表达式可进一步表示为：
而趸缴净保费即为
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及退保费用等费用，且不超过规定限额。
4．简述投资连结保险的特点。 答：投资连结保险是指包含保险保障功能并至少在一个投资账户拥有定资产价值的人身 保险产品。它主要有以下几个特征： （1）投资账户设置。投资连结保险均设置单独投资账户。保险公司将保费的部分或全 部分配至投资账户，并转换为投资单位，根据某一投资账户的投资单位价格和分配给该账户 的保费计算投资单位数。 （2）保险责任和保险金额。投资连结保险作为保险产品，其保险责任不仅有死亡给付、 残疾给付、生存领取等基本保险责任，一些产品还加入了豁免保险费、失能保险金、重大疾 病等保险责任。 （3）保险费。目前投资连结保险大多引入了一定的灵活缴费机制，并且有不同的设计 方式。 （4）费用收取。与传统非分红保险及分红保险相比，投资连接保险在费用收取方面是 透明的，保险公司扣除费用时应详细列明费用性质及其使用方法。
2．简述分红保险的特点。 答：分红保险有以下几项主要特点： （1）保单持有人享受经营成果。保险公司每年将分红险种产生的部分盈余以红利的形 式分配给保单持有人，投保人可与保险公司共享经营成果，增加获利机会。
中国精算师金融数学第11章 CAPM和APT综合练习与答案
中国精算师金融数学第11章CAPM和APT综合练习与答案一、单选题1、2011年，国库券（无风险资产）收益率约为6％。
假定某β=1的资产组合要求的期望收益率为15％，根据资本资产定价模型（证券市场线）回答β值为0的股票的预期收益率是（）。
A.0.06B.0.09C.0.15D.0.17E.0.19【参考答案】：A【试题解析】：没有试题分析2、某证券组合今年实际平均收益率为0.32，当前的无风险利率为0.06，市场组合的期望收益率为0.24，该证券组合的β值为3.0。
则该证券组合的Jensen指数为（）。
A.-0.022B.-0.28C.0.022D.0.03E.0.032【参考答案】：B【试题解析】：由Jensen指数的计算公式可得：3、β值为0的股票的期望收益率是（）。
A.5%B.7%C.9%D.11%E.12%【参考答案】：A【试题解析】：β=0意味着无系统风险。
因此，资产组合的公平的收益率等于无风险利率，为5%。
4、考虑单因素APT模型。
因素组合的收益率方差为6%，一个完全分散风险的资产组合的β值为1.1，则它的收益率的方差为（）。
A.3.6%B.6.0%C.7.3%D.10.1%E.10.7%【参考答案】：C【试题解析】：方差=（1.1×）2=7.3%。
5、无风险利率和市场预期收益率分别是3.5％和10.5％。
根据资本资产定价模型，一只β=1.63的证券的预期收益率是（）。
A.3.5％B.7.5%C.10.5%D.14.91%E.15.21%【参考答案】：D【试题解析】：由资本资产定价模型可得证券的预期收益率为：E（R p）=r f+βp[E（R M）-r f]=3.5％+1.63×（10.5—3.5）=14.91％6、某投资者拥有一个三种股票组成的投资组合，三种股票的市值均为500万元，投资组合的总价值为1500万元，假定这三种股票均符合单因素，对该因素的敏感度（b i）分别为0.9、3.1、1.9，若投资者按照下列数据修改投资组合，可以提高预期收益率的组合是（）。
2020年春季中国精算师《金融数学》过关必做1000题（含历年真题）
目 录第一篇 利息理论第1章 利息的基本概念第2章 年 金第3章 收益率第4章 债务偿还第5章 债券及其定价理论第二篇 利率期限结构与随机利率模型第6章 利率期限结构理论第7章 随机利率模型第三篇 金融衍生工具定价理论第8章 金融衍生工具介绍第9章 金融衍生工具定价理论第四篇 投资组合理论第10章 投资组合理论第11章 CAPM和APT附 录 2011年秋季中国精算师考试《金融数学》真题及详解第一篇 利息理论第1章 利息的基本概念单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）1．已知在未来三年中，银行第一年按计息两次的名义年利率10%计息，第二年按计息四次的名义年利率12%计息，第三年的实际年利率为6.5%。
某人为了在第三年末得到一笔10000元的款项，第一年年初需要存入银行（ ）元。
[2011年秋季真题］A．7356B．7367C．7567D．7576E．7657【答案】C【解析】由名义年利率和实际年贴现因子的等价关系，可得：每年的贴现因子分别为，，。
因此，第三年末10000元的款项在第一年初的现值为：。
2．已知0时刻在基金A中投资1元到2t时的积累值为（3t＋1）元，在基金B中投资1元到3t时的积累值为元。
假设在T时基金B的利息强度为基金A的利息强度的两倍，则0时刻在基金中B投资1000元在5T时的积累值为（ ）元。
［2011年秋季真题］A．27567B．27657C．27667D．27676E．27687【答案】C【解析】由题得，0时刻在基金A中投资1元到t时的积累值为（1.5t＋1）元，即积累因子，利息强度在基金B中投资1元到3t时的积累值为元，因此在基金B中投资1元到t时的积累值为元，因此。
当时，即，解得，因此0时刻在基金中B投资1000元在5T时的积累值为元。
3．已知某基金的积累函数a（t）为三次函数，每三个月计息一次，第一季度每三个月计息一次的年名义利率为10%，第二季度每三个月计息一次的年名义利率为12%，第三季度每三个月计息一次的年名义利率为15.2%，则为（ ）。
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故 － =5.3949－1.1218=4.2731。
4．已知某医疗险种的理赔额样本如表 9-1 所示。 表 9-1
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则样本 60%的分位数为（ ）。 A．948.28 B．848.29 C．768.52 D．648.28 E．586.82 【答案】D 【解析】经计算可得：
。而题中分
布密度函数为： ，因此似然函数为：
，对数似然函数为：
。因此：
，
，所
以
，
Hale Waihona Puke 2 / 36圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
故
。
3．已知某医疗保险损失额 服从对数正态分布 ln（u，σ2），其中参数 μ 和 σ 未知。
现随机抽取 10 样本，已知 则 － =（ ）。
A．0.1575 B．0.2507 C．0.3750 D．0.4500 E．0.6250
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【答案】B
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【解析】Pareto 分布的分布函数为：
故其极大似然函数为： L=f（3）f（6）f（14）[1－F（25）]2 =（α×3-α-1）（α×6-α-1）（α×14-α-1）（25-α）2 =Aα3[3×6×14×625]-α
其中 A 是与 α 无关的常数。对 L 取对数，有： lnL=lnA＋3lnα－αln157500
令（lnL）＇=3α-1－ln157500=0，解得： =0.2507。
8．在某次研究中，运用矩估计法，在给定的暴露数总数的基础上，在估计区间（x，x
＋1]上观察到的死亡人数如表 9-3 所示。由所给样本数据估计 S（5）和
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第 12 章 随机微积分
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．设标准布朗运动为 何的
，则对任 ，等于（ ）。[2011 年真题]
【答案】E
【解析】函数
是增函数，由
7．设 W（t）为标准布朗运动，则
A．
B．
C．
D．
E．
【答案】E
【解析】设
。因为
（ ）。
所以由伊藤公式得
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8．设 具有随机微分形式
，并假定 B（t）为
标准布朗运动，
，则过程
的随机微分形式为（ ）。
A．
B．
C．
由
，
，可知
故选项 C 正确。
10 ． 若 （ ）。
A． B． C． D．
为标准布朗运动，
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E．
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【答案】D
【解析】不计高阶小量， 的随机微分方程为
因为
，代入上式可得
11．设一个风险资产的价格 满足方程
和 为常数， 为标准布朗运动。则 =（ ）。 A．
【答案】D
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【解析】对方程两边求均方积分，得 解得
15．已知伊藤随机微分方程
则 X（t）=（ ）。 A． B． C． D． E． 【答案】C 【解析】取 f（t，x）=1nx,则
错误的做法是，用普通的积分法则将 W（t）看做普通函数，从而得到错误的结果
中国精算师《数学》过关必做1000题(含历年真题)参数估计【圣才出品】
，
要使 最大，则
。
是来自该总体的简
8．设总体X的概率密度为
总体的简单随机样本，令 （ ）。[2008年真题]
A． B． C． D． E．e
，
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，
是来自该
，则参数 的矩估计量为
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【答案】A
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【解析】
，
用
代替 ，得
,
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E．0.1454
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【答案】B
【解析】
故 a＝0.1154。
15．总体 X 的均值μ和方差
都存在，X1，X2，X3，X4 是 X 的一个样本，
，
，则以下说法正确的是（ ）。[样题]
A． 不是μ的无偏估计
B．作为μ的无偏估计， 比 0.5（X1＋X2）更有效
【解析】
，
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，a＞1，已知样本均值等
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样本均值为 0.826，则
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，
求得
。
12．一家调查公司想用抽样方法估计某类商店去年的平均广告开支，经验表明，总体 广告开支总体服从正态分布，总体方差约为 1800000，如置信度为 95%，并希望置信区间 的宽度不超过 1000，则至少应该抽取（ ）个样本来调查。[样题]
E．110
【答案】C
【解析】μ的置信区间为
，其中，
，那
么置信区间的长度为
，解得 n 至少为 62
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4．设总体 X 服从正态分布
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8．已知
，
，
，
等于（ ）。[2008年真题]
A．0.165
B．0.435
C．0.685
D．0.775
E．0.925
【答案】E
【解析】因
，则
，故
，且
，则
，而
故
。
9．对于任意两个事件A和B，下面的选项中正确的是（ ）。[2008年真题] A． B． C． D． E．以上选项都不正确 【答案】C
C．
D．
E． 【答案】C 【解析】A1，A2，…，An 和 B1，B2，…，Bm 是Ω的两个不同的划分，则所有可能的 ，
i＝1，…，n，j＝1，…，m，构成Ω的一个划分，则
。
16．甲乙两人投篮，命中率分别为 0.8 和 0.6，每人投三次，则甲的进球数恰好比乙多
一个的概率为（ ）。[样题]
A．0.2579
13．某人对同一目标独立的进行四次射击，若至少命中一次的概率等于80/81，则该射 手的命中率为（ ）。[2008年真题]
A．68/81
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B．52/75
C．51/64
D．2/3
E．7/11
【答案】D
【解析】设X为四次射击中命中的次数，p为射手的命中率，则
。
由题意，
，得
。
14．设 A，B 是两个互不相容的事件，P（A）P（B）则
= P（A∪B）－ P（B）=0.7－0.4=0.3。
2．设 100 件产品中有 10 件次品，若从中任取 5 件进行检验，则所取的 5 件产品中至 多有 1 件次品的概率为（ ）。[2011 年真题]
A．0.553 B．0.653 C．0.753 D．0.887 E．0.923 【答案】E
中国精算师《数学》过关必做1000题(含历年真题)-第7~8章【圣才出品】
A． 减小时 也减小
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B． 增大时 也增大 C． ， 不能同时减小，减小其中一个时，另一个就会增大 D．A 和 B 同时成立 E． ＋ =1 【答案】C 【解析】在样本量 不变的情况下，如果减小 ，就会增大犯第二类错误的机会，即 增大，若减小 ，也会增大犯第一类错误的机会，即 增大；要使 和 同时减小，只能 增大样本容量 ；这两类错误的概率和 ＋ 不一定等于 1。
B．中心极限定理 C．小概率事件原理 D．正态分布的性质 E．大数定律 【答案】C 【解析】假设检验基于小概率原理（实际推断原理），即认为概率很小的事件在一次试 验中不会发生，小概率事件在一次试验中出现了，是与概率论的基本原理相违背的，因而有 理由认为是不合理的。
11．在假设检验中，显著性水平 的意义是（ ）。 A．H0 为真，经检验拒绝 H0 的概率 B．H0 为真，经检验接受 H0 的概率 C．H0 不成立，经检验拒绝 H0 的概率 D．H0 不成立，经检验接受 H0 的概率 E．以上均不正确 【答案】A 【解析】当原假设为真时拒绝原假设，所犯的错误称为第一类错误，又称弃真错误。犯 第一类错误的概率称为显著性水平，通常记为 。
13．在假设检验中，当作出拒绝原假设而接受备择假设的结论时，下列说法错误的是 （ ）。
A．有充足的理由否定原假设 B．原假设有可能是错误的 C．犯错误的概率不大于 D．犯错误的概率不大于β E．在 H0 为真的假设下发生了小概率事件 【答案】D 【解析】在假设检验中，当作出拒绝原假设而接受被择假设的结论时，样本统计量的值 必然落入拒绝域中；由小概率原理，备择假设在一次试验中不容易发生，而一旦发生，就有 充足的理由拒绝原假设；这个拒绝可能是错误的，即 H0 为真，却拒绝了，这是犯了第一类 错误，概率不超过 。
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第8章经验模型单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）1．在实验室对8只注射了致癌物的小白鼠进行右截断数据的死亡率研究，假设除了死亡外，所有小白鼠不会退出研究，则有如下数据：表8-1假设生存分布函数S（t）由Kaplan-Meier乘积极限估计法得出，则的估计值为（）。
[2011年秋季真题]A．44.5B．45.5C．46.5D．47.5E．48.5【答案】B【解析】先计算风险集，如表8-2所示。
表8-2所以根据Kaplan-Meier乘积极限估计法有：，因此。
2．在某生存研究中，累积危险率函数H（t0）的95%线性置信区间为（1.63，2.55），则H（t0）的95%对数转换的置信区间为（）。
[2011年秋季真题]A．（0.49,0.94）B．（0.84,3.34）C．（1.58,2.62）D．（1.68,2.50）E．（1.68,2.60）【答案】E【解析】由估计知的线性置信区间为，即，。
所以，解得：。
，解得：。
H（t0）的95%对数转换的置信区间的下限为上限为3．在对800个恰好40岁的人开展的死亡研究中，已知如下数据：表8-3假设每年新加入研究的人数和退出研究的人数均服从均匀分布，则采用大样本数据集的Kaplan-Meier近似，的估计值为（）。
[2011年秋季真题]A．0.0122B．0.0123C．0.0124D．0.0125E．0.0126.【答案】D【解析】由Kaplan-Meier近似，是区间中左截断点的观测值个数，是区间上右删失的观测值个数。
，表示在时刻风险集的大小，表示在上风险集的大小。
如表8-4所示。
表8-4所以4．已知两个观察值：6，30。
现采用核密度估计方法拟合上述分布，并且核函数为Gamma（5,λ），其中λ使得Gamma（α,λ）的均值对应相应的观察值，则f（20）的核密度估计值为（）。
[2011年秋季真题]A．0.012B．0.013C．0.014D．0.015E．0.016【答案】D【解析】由题，。
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个更新回报过程。令长时间后每年的平均费用为 ，则
A． B．ຫໍສະໝຸດ C．D． E． 【答案】E 【解析】设
是顾客到达数的泊松过程，
，故
则
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【答案】C
【解析】
的含义是 t 时刻之前更新次数不少于 n，
的含义是第 n
次更新的发生时刻在 t 之前，两个是等价的。A 中第一次更新发生在 t 之前并不影响第二次
发生的时间。B 中当 t 时刻之前发生的次数为 1 时，若发生时刻为 s,且 s<t，那么在（s,t]
时间段内没有事件发生，同样满足。D 有定义可知。E 在 t 时间段内发生的次数大于 n，只
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第 11 章 几种常用的随机过程
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确
选项的代码填入括号内）
1．设移民到某地定居的户数是一个泊松过程，平均每周有 2 户定居。设每户的人口数
是一个随机变量，一户有 4 人的概率是 1/6，有 3 人的概率是 1/3，有 2 人的概率是 1/3，
B．13/144
C．1/4
D．1/2
E．1
【答案】A
【解析】每月进入中国上空的流星个数是服从参数为
的泊松分布，那么
落入中国地面的陨石数的期望为
3．设某种设备的寿命是服从均匀分布 U（0,10）的随机变量，当设备损坏或用了 3 年 时，就以旧换新。假设一台新设备价格为 10 万元，用了 3 年的旧设备卖出的价格为 1 万元， 一台损坏的设备没有任何价值。若每当购置一台新设备时就说一个循环开始，则长时间后每 年的平均费用为（ ）万元。[2011 年真题]
的泊松过程
C． 是强度为 的泊松过程
D． 是强度为 的泊松过程
E． 是强度为
的泊松过程
【答案】E
【解析】因 和
都是泊松过程，所以
和
，从而得
。在 上任取点
，做 的增量
，由于
记成
。此处
，
有
，
。对于任意实数
即知
相互独立，从而
因此 是独立增量过程。又因为
和 是相互独立的，所以
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相互独立， 和
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【答案】C
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【解析】有限状态不可约马尔科夫链的所有状态都是常返态
9．设 和
是两个相互独立，分别具有强度为 和 的泊松过程，定义随
机过程
。下列关于随机过程 的说法正确的是（ ）。
A． 不是泊松过程
B． 是强度为
，其中
表示一次更新的平均报酬， 表示一次更新所需的平均时间。由题：当设备在 3 年内损
坏时，则在损坏时更换的设备没有任何价值，当设备在 3 年内没损坏时，则在第 3 年末更
换设备，此时设备能卖到 1 万元。由此：
，
，故
。
4．设 N（t）是一个更新过程，Tn 是第 n 次更新发生的时刻，则下面事件的等价关系 成立的是（ ）。[2011 年真题]
也是相互独立的。所以有
综上可得， 是强度为
的泊松过程。
10．设
是强度为 的泊松过程，定义随机过程
常数
。则关于随机过程 的说法正确的有（ ）。
A． 是强度为 的泊松过程
B． 不是平稳过程
C． 的均值是
D． 的协方差函数为
E．以上都正确
【答案】C
【解析】因 是强度为 的泊松过程，所以
，其中 ，从而
因
记
，由
于是上式右边等于
，
，故
，即知
关于 是对称的，故不妨假定 ，
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由 的对称性，即知
进而可知， 是平稳过程。
11．设顾客以 2 人/min 的速率到达，顾客到达数为泊松过程，则在 2min 内到达的顾 客不超过 3 人的概率为（ ）。
那么
2．设进入中国上空的流星的个数是一个泊松过程，平均每年为 10000 个，且每个流星 能以陨石落入地面的概率为 0.0001，则一个月内落于中国地面的陨石数的期望为（ ）。
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[2011 年真题]
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A．1/12
6．设齐次马尔可夫链的状态空间为
，其一步转移概率矩阵为
则此马尔可夫链的极限分布为（ ）。[2011 年真题]
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【答案】C
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【解析】假设
，由
验证只有 C 满足
7．设
是独立同分布随机变量序列，且
，
，则下列说法正确的是（ ）。[2011 年真题]
能说明第 n 次更新的发生时刻在 t 之前。
5．设齐次马尔可夫链的状态空间为
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，其一步转移概率矩阵为
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则下列说法不正确的是（ ）。[2011 年真题] A．状态 1 是正常返状态 B．状态 2 与状态 3 不是互通的 C．状态 3 与状态 4 不是互通的 D．状态 4 是正常返状态 E．状态 2 的周期为 1 【答案】D 【解析】由转移矩阵知，没有任何一个状态到状态 4，因此 4 不是正常返的
【答案】B
【解析】若 是关于
的一个鞅，则满足
，
将各选项带入验证得 B 正确
8．设下列说法不正确的是（ ）。[2011 年真题] A．泊松过程中第一个事件发生的时刻服从指数分布 B．泊松过程是一种特殊的更新过程 C．不可约有限状态马尔科夫链可能存在非常返态 D．布朗运动的增量服从正态分布 E．布朗运动是平稳增量过程
有 1 人的概率是 1/6，则在五周内到该地定居的移民人数的方差为（ ）。[2011 年真题]
A．2.5
B．7.17
C．25
D．71.67
E．83.33
【答案】D
【解析】假设 X 为五周内到该地定居的移民人数；
表示移民到某地定居的户数，
其中
服从参数为 的泊松分布， =2； 表示每户的人口数，则
，由于