2018年河南高考文科数学模拟冲刺试题【含答案】
2018年河南省郑州市高考数学二模试卷及参考答案(文科)
）
A ．[0， 3]
B ．[1， 2]
C． [0， 3）
D． [1， 3]
2．（ 5 分）已知复数 z＝
，则 z 的共轭复数为（
）
A ．1+i
B ．1﹣ i
C． 2+2 i
3．（ 5 分）命题“ ? x∈[1，2]， x2﹣ 3x+2≤0”的否定是（
）
A ．? x∈[1 ， 2] ， x2﹣3x+2＞ 0
值． [选修 4-5：不等式选讲 ] 23．已知函数 f（ x）＝ |2x﹣ a|+|x﹣ 1|， a∈R． （Ⅰ）若不等式 f（ x） +|x﹣1|≥ 2 对 ? x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）当 a＜ 2 时，函数 f（ x）的最小值为 a﹣1，求实数 a 的值．
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且三条边所在直线的斜率分别为 k1、k2、 k3，且 k1、 k2、 k3 均不为 0． O 为坐标原点，若
直线 OD、 OE、 OM 的斜率之和为 1．则
＝
．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.）
17．（ 12 分）各项均为正数的等比数列 { an} 中， a1＝ 8，且 2a1，a3， 3a2 成等差数列． （Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式；
由
，解得 A（ 1， 3）．
代入目标函数 z＝ x﹣ 2y 得 z＝ 1﹣ 6＝﹣ 5， ∴目标函数 z＝ x﹣ 2y 的最小值是﹣ 5， 故选： C．
D．﹣ 6
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9．（ 5 分）已知 y＝ f（x）满足 f（ x+1 ）+f（ ﹣ x+1）＝ 2，则以下四个选项一定正确的是 （ ）
河南省漯河市临颍县中学2018年高三数学文模拟试卷含解析
河南省漯河市临颍县中学2018年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的是（）A．函数图象经过点（﹣1，1）B．当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]C．函数满足f（x）+f（﹣x）=0D．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]参考答案：C【考点】幂函数的性质．【分析】由幂函数y=x a的图象经过点（8，4），求得幂函数的解析式，再由所得的解析式求出函数的值域、单调性等性质，得到答案．【解答】解：∵幂函数y=x a的图象经过点（2，4），∴4=2a，即22=2a解得a=2故函数的解析式为y=x2，故函数图象经过点（﹣1，1）；A正确；当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]；正确；由于f（﹣x）=（﹣x）2=x2，函数不满足f（x）+f（﹣x）=0；C错；函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]；正确故选C．2. 从正方体的棱和各个面的面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值是(A) (B) (C) (D)参考答案：B略3. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则的最小值为A．B．C． D．参考答案：D【知识点】随机变量的期望与方差均值定理解：因为由已知得所以答案为：D4. 设在四次独立重复试验中，事件至少发生一次的概率为，则在一次试验中事件发生的概率是A． B． C．D．参考答案：D5. 若集合A={x|?1＜x＜3}，B={?1, 0, 1, 2}，则A∩B=()A. {?1, 0, 1, 2}B. {x|?1＜x＜3}C. {0,1, 2}D. {?1, 0, 1}参考答案：C6. 在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是( ) （）A． B． C．D．参考答案：D7. 设为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕关于的极小值﹐试问下列哪一个选项是正确的（）A. B. C. D.﹒参考答案：「方程式的相异实根数」等于「函数与水平线两图形的交点数﹒」依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕(1) 当的最高次项系数为正时﹕ (2) 当的最高次项系数为负时﹕因极小值点位于水平线与之间﹐所以其坐标（即极小值）的范围为﹒故选(B)﹒8. O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断参考答案：B9. 已知函数，则（）A. 在(0,1)单调递增B. 的最小值为4C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点(1,2)对称参考答案：D【分析】根据时，，可排除；当，，可排除；，可排除；可知正确.【详解】由题意知：当时，，则在上单调递减，错误；当时，，可知最小值为不正确，错误；，则不关于对称，错误；，则关于对称，正确.本题正确选项：【点睛】本题考查函数单调性、最值、对称轴和对称中心的求解问题，考查函数性质的综合应用，属于中档题.10. 已知向量与向量的夹角为，且，又向量（且，），则的最大值为（）A． B．C． 2 D．3参考答案：A考点：向量数量积、二次函数（求最值）．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，则的值为参考答案：32【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，设出C的坐标（x，y），由已知可得x2+y2=36，把用含有x的代数式表示，展开数量积得答案．【解答】解：如图，以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，则A（﹣2，0），B（2，0），设C（x，y），∵O为为△ABC的重心，∴O（），，，∵OA⊥OB，∴，化简得：x2+y2=36．∵，∴=x2+y2﹣4=32．故答案为：32．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．参考答案：﹣【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得 cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．13. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是.参考答案：因为，所以.若恒成立，则,解得14. 设sin则sin等于参考答案：.略15. 执行如右图所示的程序框图，若输入的的值为10，则输出的.参考答案：4略16. 目标函数在约束条件下取得的最大值是。
2018年河南省高考数学模拟试卷
2018年河南省高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合()(){}{},|210|03U R A x x x B x x ==-+≤=≤<，则()U C A B =A. ()1,3-B. (][),13,-∞-+∞ C. []1,3- D. (][),13,-∞-+∞2.欧拉（Leonhard Euler,国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，表示的复数i e π-在复平面内位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3.已知向量()()1,2,,4a b k =-=，且//a b ，则实数k 的值为 A. 2- B. 2 C. 8 D.8- 下列命题中，正确的是 A. 0003,sin cos 2x R x x ∃∈+=B. 0x ∀≥且x R ∈，22x x >C. 已知,a b 为实数，则2,2a b >>是4ab >的充分条件D. 已知,a b 为实数，则0a b +=的充要条件是1ab=- 4.,命题“0x ∀≥且x R ∈，22x x >”的否定是A. 00x ∃≥且0x R ∈，0202x x >B. 0x ∀≥且x R ∈，22x x ≤C. 00x ∃≥且0x R ∈，0202x x ≤D. 00x ∃<且0x R ∈，0202x x ≤5.已知蝴蝶（体积忽略不计）在一个长、宽、高分别为5,4,3的长方体内自由飞行，若蝴蝶在飞行过程中始终保持与长方体的6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蝴蝶“安全飞行”的概率为A.110 B. 25 C. 45π D.4545π- 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.7.已知,x y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为A. 24B. 32C. 20D. 288.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 的值分别为21,28，则输出a 的值为 A. 14 B. 7 C. 1 D. 0 9.若函数()sin 202y x πϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的图象的对称中心在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有一个，则ϕ的值可以是 A.12π B. 6π C. 3π D.512π 10.已知函数()132221x xx f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于 A. 0 B. 2 C. 4 D. 811.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线2,PO PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M,N ，若122PF PF =，且2120MF N ∠=，则双曲线的离心率为A.312.已知函数()()ln a xf x a R x=∈的图象与直线20x y -=相切，当函数()()()g x f f x t =-恰有一个零点时，实数t 的取值范围是A. {}0B. []0,1 C. [)0,1 D.(),0-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），则它的离心率为 ． 14．设a ＞0，b ＞0．若是3a 与32b 的等比中项，则+的最小值为 ．15．已知p ：∀x ∈[，]，2x ＜m （x 2+1），q ：函数f （x ）=4x +2x +1+m ﹣1存在零点，若“p 且q”为真命题，则实数m 的取值范围是 ．16．已知O （0，0），A （2，1），B （1，﹣2），C （，﹣），动点P （x ，y ）满足0≤≤2且0≤•≤2，则点P 到点C 的距离大于的概率为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分） 17．（12分）已知f （x ）=sin （π+ωx ）•sin （π﹣ωx ）﹣cos 2ωx （ω＞0）的最小正周期为T=π． （1）求f （）的值．（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，求角B 的大小以及f （A ）的取值范围．18．（12分）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损．（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；由表中数据，试求线性回归方程=x +，并预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间．参考公式：=，=﹣．19．（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥PM；（2）若∠APD=90°，PA=，求点A到平面PBM的距离．20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右交点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，A（，﹣）是椭圆上一点．（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值；（2）若T为椭圆C上异于顶点的任意一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM与y轴交于点P，直线TN与x轴交于点Q，求证：|PN|•|QM|为定值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若a=2，F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R．（1）求m的最大值；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），则它的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件列出关系式求解即可．【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，可得4c2=5a2e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．14．设a＞0，b＞0．若是3a与32b的等比中项，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得3a×32b=（）2，变形化简可得a+2b=1，进而有+=（a+2b）（+）=4+（+），结合基本不等式可得+的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若是3a与32b的等比中项，则有3a×32b=（）2，即3a+2b=3，则有a+2b=1；则+=（a+2b）（+）=4+（+）≥4+2=8；即+的最小值为8；故答案为：8．【点评】本题考查基本不等式的运用，涉及等比数列的性质，关键是求出a+2b=1．15．已知p：∀x∈[，]，2x＜m（x2+1），q：函数f（x）=4x+2x+1+m﹣1存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是（，1）．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，取交集即可．【解答】解：已知p：∀x∈[，]，2x＜m（x2+1），故m＞，令g（x）=，则g（x）在[，]递减，故g（x）≤g（）=，故p为真时：m＞；q：函数f（x）=4x+2x+1+m﹣1=（2x+1）2+m﹣2，令f（x）=0，得2x=﹣1，若f（x）存在零点，则﹣1＞0，解得：m＜1，故q为真时，m＜1；若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是：（，1），故答案为：（，1）．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题以及指数函数的性质，是一道中档题．16．已知O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2），C（，﹣），动点P（x，y）满足0≤≤2且0≤•≤2，则点P到点C的距离大于的概率为1﹣．【考点】几何概型；平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的坐标公式将不等式进行化简，作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵A（2，1），B（1，﹣2），C（，﹣），∴动点P（a，b）满足0≤≤2且0≤•≤2，∴，z=（a﹣）2+（b）2，∴作出不等式组对应的平面区域如图：∵点P到点C的距离大于，∴|CP|，则对应的部分为阴影部分，由解得，即E（，），|OE|==，∴正方形OEFG的面积为，则阴影部分的面积为π，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，利用数量积将不等式进行转化，求出相应区域的面积是解决本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）（2017•洛阳模拟）已知f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．（1）求f（）的值．（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求角B的大小以及f（A）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx=）=sinωx•cosωx ﹣cos2ωx==sin（2ωx﹣）﹣．由最小正周期得ω（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，cosB、B，再求f（A）的取值范围【解答】解：（1）f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx=sinωx•cosωx ﹣cos2ωx==sin（2ωx﹣）﹣．∵最小正周期为T=π，∴，⇒ω=1．∴f（x）=sin（2x﹣）﹣∴f（）=sin（2×）﹣=．（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA．∵sinA＞0，∴cosB=，∵B∈（0，π），∴．∴A，2A﹣，∴sin（2A﹣）．f（A）的取值范围：（﹣1，]．【点评】本题考查了三角恒等变形，解三角形，属于中档题．18．（12分）（2017•洛阳模拟）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损．（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；由表中数据，试求线性回归方程=x+，并预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间．参考公式：=，=﹣．【考点】线性回归方程；茎叶图．【分析】（1）求出基本事件的个数，即可求出概率；（2）求出回归系数，可得回归方程，再预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间．【解答】解：（1）设被污损的数字为a，则a有10种情况．令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a＜8，∴东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况，其概率为=；（2）=35，=3.5，===，=﹣=．∴=x+．x=50时，=4.55小时．【点评】本题考查古典概型概率的计算，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．19．（12分）（2017•洛阳模拟）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥PM；（2）若∠APD=90°，PA=，求点A到平面PBM的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的性质．【分析】（1）取AD中点E，连接PE，EM，AC，证明：BD⊥平面PEM，即可证明BD⊥PM；（2）利用等体积方法，求点A到平面PBM的距离．【解答】（1）证明：取AD中点E，连接PE，EM，AC，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵E，M分别是AD，DC的中点，∴EM∥AC，∴EM⊥BD．∵PA=AD，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BD，∵EM∩PE=E，∴BD⊥平面PEM，∵PM⊂平面PEM，∴BD⊥PM．（2）解：∵PA=PD=，∠APD=90°，∠DAB=60°，∴AD=AB=BD=2，PE=1，EM==，∴PM=PB==2．=，S△ABM==．等边三角形DBC中，BM=，∴S△PBM设三棱锥A﹣PBM的高为h，则由等体积可得，∴h=，∴点A到平面PBM的距离为．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查等体积方法的运用，属于中档题．20．（12分）（2017•洛阳模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右交点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，A（，﹣）是椭圆上一点．（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值；（2）若T为椭圆C上异于顶点的任意一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM与y轴交于点P，直线TN与x轴交于点Q，求证：|PN|•|QM|为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得c=2，F1（﹣2，0），F2（2），2a=|AF1|+|AF2|=+=8，即可求方程、离心率．（2）写出直线TN\TM的方程，得P（，得Q（0，），即|PN|=|4+ |=||，|MQ|=|2+|=|||PN|•|QM|= =．【解答】解：（1）由已知得c=2，F1（﹣2，0），F2（2），∴2a=|AF1|+|AF2|=+=8∴a=4，∴b2=a2﹣c2=4，e=椭圆C的标准方程：．e=．（2）T（x0，y0），（x0≠0，y0≠0），则．M（0，2），N（4，0），∴直线TM的方程为：，令y=0，得P（，直线TN的方程：，令x=0，得Q（0，）则|PN|=|4+|=||则|MQ|=|2+|=|||PN|•|QM|==∴|PN|•|QM|为定值16【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21．（12分）（2017•洛阳模拟）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若a=2，F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出F（x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设切点（m，lnm﹣），求出f（x）的导数，由题意可得a=+，lnm ﹣=ma+b，即可得到a+b=lnm﹣+﹣1，令=t＞0换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值即可得到a+b的最小值．【解答】解：（1）a=2时，F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣﹣2x﹣b，F′（x）=+﹣2，（x＞0），F′（x）=，令F′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令F′（x）＜0，解得：x＞1，故F（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（2）：设切点（m，lnm﹣），函数f（x）=lnx﹣的导数为f′（x）=+，即有切线的斜率为+，若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，则a=+，lnm﹣=ma+b，即有b=lnm﹣﹣1，a+b=lnm﹣+﹣1，令=t＞0，则a+b=﹣lnt﹣t+t2﹣1，令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则φ′（t）=﹣+2t﹣1=，当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增．即有t=1时，φ（t）取得极小值，也为最小值．则a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和求极值、最值，主要考查构造函数，通过导数判断单调区间求得极值也为最值，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•洛阳模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设P（cosα，sinα），则|PQ|的最小值为P到x+y﹣6=0距离，利用三角函数知识即可求解．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（a为参数），普通方程为=1，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3，即ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，直角坐标方程为x+y﹣6=0；（2）设P（cosα，sinα），则|PQ|的最小值为P到x+y﹣6=0距离，即=|sin（α+）﹣3|，当且仅当α=2kπ+（k∈Z）时，|PQ|取得最小值2，此时P（，）．【点评】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•洛阳模拟）已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R．（1）求m的最大值；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式，结合关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R，求出m的范围，即可得出结论；（2）利用柯西不等式，可得2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．【解答】解：（1）因为|x+3|+|x+m|≥|（x+3）﹣（x+m）|=|m﹣3|．当﹣3≤x≤﹣m或﹣m≤x≤﹣3时取等号，令|m﹣3|≥2m所以m﹣3≥2m或m﹣3≤﹣2m．解得m≤﹣3或m≤1∴m的最大值为1．（2）∵a+b+c=1．由柯西不等式，≥（a+b+c）2=1，∴，等号当且仅当2a=3b=4c，且a+b+c=1时成立．即当且仅当，，时，2a2+3b2+4c2的最小值为．【点评】本题给出等式a+b+c=1，求式子2a2+3b2+4c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．。
【高三数学试题精选】2018年高考数学文科冲刺试题(北大附中河南分校)
2018年高考数学文科冲刺试题（北大附中河南分校）
c
一、选择题本大题共12小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1设全集，且，则满足条的集合的个数是（）
A．3B．4 c．7D．8
2已知i是虚数单位， R，且是纯虚数，则等于( )
A．1 B．-1 c．i D．-i
3已知函数在上是减函数，则的取值范围是（）
A B c D
4如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是（）
A． B． c． D．
5．如图所示的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S 和T的值依次是( )
A．2500,2500 B．2550,2550 c．2500,2550 D．2550,2500
6若数列满足，则称数列为调和数列。
已知数列为调和数列，且，则（）
A10 B4|+|3-x| a
（1）若不等式的解集为空集，求a的范围
（2）若不等式有解，求a的范围
北大附中河南分校高三五月冲刺
，，
恒等变形得，解得或又，
（Ⅱ）在中，，，，
的周长
，又， ,
则……………… 3分。
2018届河南高三高考押题(四)数学(文)试题(解析版)18
高三高考押题（四）数学（文）试题一、选择题1．已知集合231111,,,122i i i i i ⎧⎫-⎪⎪⎛⎫A =-+-⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭（其中i 为虚数单位），{}21x x B =<，则A B =（ ）A ．{}1-B ．{}1C ．1,2⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭D ．2⎨⎪⎪⎩⎭ 2．已知1cos 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos cos 3παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12 B ．12± C ．2 D ．2±3．下列命题正确的是（ ）A ．已知实数a 、b ，则“a b >”是“22a b >”的必要不充分条件B ．“存在0R x ∈，使得2010x -<”的否定是“对任意R x ∈，均有210x ->”C ．函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点在区间11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内D ．设m ，n 是两条直线，α，β是空间中两个平面．若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥4．已知在数轴上0和3之间任取一实数x ，则使“2log 1x <”的概率为（ ） A ．14 B ．18 C ．23 D ．1125．已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >），1F ，2F 分别为其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上的一点，圆M 为三角形12FF P 的内切圆，PM 所在直线与x 轴的交点坐标为()1,0，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．．2 C ．26．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”．由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ）A ．33%B ．49%C ．62%D ．88%7．若等边三角形C AB 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足C C C x y M =A+B ，则当14x y+取最小值时，C C M⋅N =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（02πϕ<<）与y 轴的交点为()0,1，且图象上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π9．执行下面的程序框图，若输入2016x =-，则输出的结果为（ ）A ．2015B ．2016C ．2116D ．2048 10．已知x ，y ，z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log z z -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y x z << 11．已知三棱锥C S -AB 外接球的表面积为32π，C 90∠AB =，三棱锥C S -AB 的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）A ．4B ．．8 D ．12．已知函数()211,0,2213,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩，若存在常数t 使得方程()f x t =有两个不等的实根1x ，2x （12x x <），那么()12x f x ⋅的取值范围为（ ）A ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B．1,86⎡⎢⎣⎭C ．31,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,38⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知函数()2ln log 1f x a x b x =++，()20163f =，则12016f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．14．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则F Q ∆P 外接圆的标准方程为 ．15．已知x ，y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为 ． 16．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且26121a a a =⋅，则数列12n n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭项中的最大值为 ．三、解答题17．已知函数()21cos cos 2f x x x x =--． （1）求函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）在C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足2c =，3a =，()0f B =，求sin A 的值．18．如图（1），在三角形CD P 中，AB为其中位线，且2D C B =P =CD =，若沿AB 将三角形PAB 折起，使D 120∠PA =，构成四棱锥CD P -AB ，且C CD2F C P ==P E．（1）求证：平面F BE ⊥平面PAB ； （2）当异面直线F B 与PA 所成的角为3π时，求折起的角度θ．19．某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100110的学生数有21人．（1）求总人数N 和分数在110115分的人数n ；（2）现准备从分数在110115的n 名学生（女生占13）中选出3位分配给A老师进行指导，设随机变量ξ表示选出的3位学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望ξE ；（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．对他前7次考试的数学成绩x （满分150分）、物理成绩y 进行分析．该生7次考试的成绩如下表：已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆniii ni i u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．20．设椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的离心率12e =，圆22127x y +=与直线1x ya b+=相切，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()Q 4,0-任作一直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记Q Q λM =N ．若在线段MN 上取一点R ，使得R R λM =-⋅N ．试判断当直线l 运动时，点R 是否在某一定直线上运动？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．21．已知函数()2x f x e ax bx =--．（1）当0a >，0b =时，讨论函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数；（2）证明：当1b a ==，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x <．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是243x ty t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）求曲线C 上任意一点到直线l 的距离的最大值．23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-（R a ∈）．（1）当1a =时，解不等式()211f x x <--；（2）当()2,1x ∈-时，()121x x a f x ->---，求a 的取值范围．数学（文）试题【解析】一、选择题1．已知集合231111,,,122i i i i i ⎧⎫-⎪⎪⎛⎫A =-+-⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭（其中i 为虚数单位），{}21x x B =<，则A B =（ ）A ．{}1-B ．{}1C ．⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭D ．⎪⎪⎩⎭ 【答案】D【解析】试题分析：因为231111,,,1,1,,1222i i i i i i i ⎧⎫⎧-⎪⎪⎪⎛⎫A =-+-=-+--⎨⎬⎨ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，{}()211,1x x B =<=-，则2⎧⎪A B =⎨⎪⎪⎩⎭．【考点】集合的运算，复数的运算．2．已知1cos 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos cos 3παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12 B ．12± C ．【答案】C 【解析】试题分析：3cos cos cos cos cos sin sin cos 33326ππππαααααααα⎛⎫⎛⎫+-=++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2= 【考点】两角和与差的余弦公式． 3．下列命题正确的是（ ）A ．已知实数a 、b ，则“a b >”是“22a b >”的必要不充分条件B ．“存在0R x ∈，使得2010x -<”的否定是“对任意R x ∈，均有210x ->”C ．函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点在区间11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内D ．设m ，n 是两条直线，α，β是空间中两个平面．若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥【答案】C【解析】试题分析：命题的否定和否命题的区别：对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题，既否定假设，又否定结论．A 选项：“a b >”是“22a b >”的既不必要也不充分条件；B 选项对命题的否定是：存在0R x ∈，均有2010x -≤；C 选项：由11032f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭和函数零点的存在性定理知，该项正确；D 选项：若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则α与β相交，或//αβ． 【考点】命题的真假判断．4．已知在数轴上0和3之间任取一实数x ，则使“2log 1x <”的概率为（ ）A ．14 B ．18 C ．23 D ．112【答案】C【解析】试题分析：因为2log 1x <，所以02x <<，由几何概型的计算公式得，在区间()0,3上任取一实数x ，则“2log 1x <”的概率为23P =． 【考点】几何概型.【名师点睛】几何概型的常见类型的判断方法(1)与长度、角度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关； (2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型．对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．5．已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >），1F ，2F 分别为其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上的一点，圆M 为三角形12FF P 的内切圆，PM 所在直线与x 轴的交点坐标为()1,0，与双曲线的一条渐近线平行且距离为2，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2 CD ．【答案】C【解析】试题分析：由题意，设PM 所在直线方程为()1by x a=-，即0bx ay b --=，因为渐近线0bx ay -=和直线PM间的距离为，所以2d ==∴22a b =，所以e === 【考点】双曲线的几何性质．6．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”．由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ）A ．33%B ．49%C ．62%D ．88% 【答案】B【解析】试题分析：由题中条件可知，该女子织布构成一个等差数列，设为{}n a ，首项15a =，第30项301a =，则公差为301430129a a d -==--，则前10日完成任务量为101094127010522929S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-=⎪⎝⎭，而三十日织布总量为()303051902S ⨯+==，故103012700.492990S S ==⨯． 【考点】等差数列的的应用．7．若等边三角形C AB 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足C C C x y M =A+B ，则当14x y+取最小值时，C C M⋅N =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D【解析】试题分析：设t AM =MB （0t >），则()C C C C t M -A =AM =B -M ，∴1C C C 11tt tM =A +B ++，所以1x y +=（0x >，0y >），∴()14144559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当13x =，23y =时，等号成立．所以22121112C C C C C C C C 332266⎛⎫⎛⎫M ⋅N =A +B ⋅A +B =A +B ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3C C 36+A ⋅B =． 【考点】基本不等式与向量的数量积．8．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（02πϕ<<）与y 轴的交点为()0,1，且图象上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π【答案】A【解析】试题分析：2ππω=，∴2ω=，所以()02sin 1f ϕ==，∴6πϕ=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意()()0f x t f x t +--+=，得()()f x t f x t -+=+，所以()f x 关于直线x t =对称，所以26t π+=2k ππ+，k ∈Z ，∴26k t ππ=+，k ∈Z ，所以t 的最小值为6π．【考点】三角函数的图象与性质．9．执行下面的程序框图，若输入2016x =-，则输出的结果为（ ）A ．2015B ．2016C ．2116D ．2048 【答案】D【解析】试题分析：由于20160-≤，由框图可知对x 反复进行加2运算，可以得到2x =，进而可得1y =，由于12015<，所以进行2y y =循环，最终可得输出结果为2048． 【考点】程序框图．10．已知x ，y ，z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log z z -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y x z << 【答案】A【解析】试题分析：因为x ，y ，z 均为正实数，所以22log 1x x =->，即2log 1x <-，所以102x <<．212log 2y y y -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为1012y⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即20log 1y <-<，所以21log 0y -<<，即112y <<．212log 2zz z -⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1012z⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以20log 1z <<，即12z <<，所以x y z <<，选A ． 【考点】 比较大小，指数函数与对数函数的性质．11．已知三棱锥C S -AB 外接球的表面积为32π，C 90∠AB =，三棱锥C S -AB 的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）A ．4 B．．8 D．【答案】A【解析】试题分析：因为三棱锥C S -AB 外接球的表面积为32π，所以外接球的半径为C S ⊥平面C AB ，构造长方体可知，三棱锥C S -AB 外接球的直径等于S A ，∴S A =∴C 4S =，又22C 16AB +B =，2216C 2C =AB +B ≥AB⋅B ，∴C 8AB⋅B ≤，根据等面积法，所以C A 边上的高的最大值为2，所以侧视图的面积的最大值为14242S =⨯⨯=． 【考点】三视图．【名师点睛】本题涉及到三棱锥的外接球问题，因此要确定外接球的球心位置，对于这部分知识主要要记住长方体、正方体的的对角线就是其外接球的直径，因此在棱锥的外接球问题中，经常把棱锥构造成长方体，由三视图得出三棱锥中的线面垂直关系，是解题的关键．“长对正、高平齐、宽相等“是我们画三视图原则，明确侧视图三角形的高是SC ，底边长是三棱锥底面ABC ∆的边AC 上的高，就可以找到正确的解题途径．12．已知函数()211,0,2213,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩，若存在常数t 使得方程()f x t =有两个不等的实根1x ，2x （12x x <），那么()12x f x ⋅的取值范围为（ ）A ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．18⎡⎢⎣⎭C ．31,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,38⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】试题分析：由已知得，当10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()1,12f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()3,34f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．因为存在12x x <，使得()()12f x f x =，所以使得()()12f x f x =的()3,14f x ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，那么()23,14f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以设()2u f x =，则()()()()()22122222111222x f x f x f x f x f x u u⎡⎤⋅=-=-=-⎢⎥⎣⎦，在()23,14u f x ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭上是单调递增的，设()212g u u u =-，则33416g ⎛⎫=⎪⎝⎭，()112g =，所以()12x f x ⋅的取值范围为31,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【考点】函数的图象与性质．【名师点睛】本题是分段函数，因此分段求得函数的值域后，结合函数图象可得123()()[,1)4t f x f x ==∈，结合求值式，121()2x f x =-，因此12()x f x 可变为一个二次函数，由二次函数知识可得范围．在解函数问题时，函数图象可帮助我们得出结论，得出解题方法，帮助我们寻找到解题思路．二、填空题13．已知函数()2ln log 1f x a x b x =++，()20163f =，则12016f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】－1【解析】试题分析：()22016ln 2016log 201613f a b =++=，∴2ln 2016log 20162a b +=，()22111ln log 1ln 2016log 201611201620162016f a b a b ⎛⎫=++=-++=- ⎪⎝⎭． 【考点】对数的运算．14．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则F Q ∆P 外接圆的标准方程为 ． 【答案】()2212x y -+=或()2212x y ++=．【解析】试题分析：由题意()F 0,1，设2001,4x x ⎛⎫P ⎪⎝⎭，因为12y x '=，所以切线方程为()20001142y x x x x -=-，代入()0,1-得02x =±，所以()2,1P 或()2,1P -，从而F FQ P ⊥，所以F Q ∆P 外接圆以Q P 为直径，所以()2212x y -+=或()2212x y ++=．【考点】圆的标准方程．15．已知x ，y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为 ． 【答案】【解析】试题分析：先画出x ，y 满足41y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如下图阴影部分所示：由14x x y =⎧⎨+=⎩，得()1,3A ，由1x y x=⎧⎨=⎩，得()1,1B ，由图得，y k k x OB OA ≤≤，∴13y x ≤≤，因为22222232312y xy x y y y x x x x -+⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以[]2122,6y x ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭． 【考点】简单线性规划的非线性运用．【名师点睛】1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by.求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：a z y=-x+b b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a)2＋(y －b)2.(3)斜率型：形如y-bz=x-a.注意：转化的等价性及几何意义．16．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且26121a a a =⋅，则数列12n n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭项中的最大值为 ． 【答案】6【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()1121213a n d a n d +-=+--⎡⎤⎣⎦，又26121a a a =⇒ ()()2111520a d a a d +=+，解得15a =，2d =，∴23n a n =+，()()52342n n n S n n ++==+，所以()11422nn n n n S --+=，由题意()()()()()()1124152241322n nn n n n n n n n n n ---+++⎧≥⎪⎪⎨+-+⎪≥⎪⎩，解之得1n ≤≤，∴2n =，所以22162S -=最大．方法二：讨论12nn S -的单调性也可以． 【考点】 等差数列的通项公式与前n 项和，数列的最大项．【名师点睛】求数列{}n a 最大项的方法：（1）把n a 作为n 的函数，利用函数的单调性得结论；（2）解不等式组11n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩得最大值的项数n ．三、解答题17．已知函数()21cos cos 2f x x x x =--． （1）求函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）在C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足2c =，3a =，()0f B =，求sin A 的值．【答案】（1）最大值为0，最小值为32-；（2）sin A =． 【解析】试题分析：（1）求三角函数的最值，只要用二倍角公式和两角和与差的正弦公式化函数为一个三角函数的形式，然后再由正弦函数的性质可得出；（2）此类问题，首先由（1）及()0f B =求得B ，再结合已知，用余弦定理求得边b ，再由正弦定理可得sin A ．试题解析：（1）()211cos cos 2cos 2122f x x x x x x =--=-- sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（3分）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()3,02f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以()y f x =的最大值为0，最小值为32-． （2）因为()0f B =，即sin 216π⎛⎫B -= ⎪⎝⎭()0,πB∈，∴112,666πππ⎛⎫B -∈- ⎪⎝⎭，∴262ππB -=，∴3πB = 又在C ∆AB 中，由余弦定理得，22212cos 49223732b c a c a π=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以C A =由正弦定理得sin sin b a =B A3sin sin3=A ，所以sin 14A =． 【考点】二倍角公式，两角和与差的正弦公式，正弦定理，余弦定理．18．如图（1），在三角形CD P 中，AB 为其中位线，且2D C B =P =CD =，若沿AB 将三角形PAB 折起，使D 120∠PA =，构成四棱锥CD P -AB ，且C CD2F C P ==P E．（1）求证：平面F BE ⊥平面PAB ；（2）当异面直线F B 与PA 所成的角为3π时，求折起的角度θ． 【答案】（1）证明见解析；（2）23π． 【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，就要证线面垂直，首先由已知可得PCD ∆是直角三角形，CD PD ⊥，由于AB 是中位线，即//AB CD ，因此在折叠过程中，垂直关系AB ⊥平面PAD 保持不变，从已知条件又知,E F 分别是,CD PC 中点，因此有//,//EF PD BE AD ，从而可证得平面BEF //平面PAD （或者证得,AB EF AB BE ⊥⊥），因此有AB ⊥平面BEF ，故有题设面面垂直；（2）本小题关键是异面直线所成的角，为此一般可根据定义，作平行线得出，由于F 是中点，因此取PD 中点G ，可通过证明FG 与AB 平行且相等，得平行四边形，从而有//BF AG ，得异面直线所成的角3PAG π∠=（或其补角），分析后可得θ值． 试题解析：（1）因为2D C B =P ，所以DC 90∠P =，因为//CD AB ，E 为CD 中点，CD 2=AB ，所以//D AB E 且D AB =E ，所以四边形D ABE 为平行四边形，所以//D BE A ，D BE =A ．而BA ⊥PA ，D BA ⊥A ，又D PA A =A ，所以BA ⊥平面D PA ，（3分）因为//CD AB ，所以CD ⊥平面D PA ，又因为D P ⊂平面D PA ，D A ⊂平面D PA ，所以CD D ⊥P 且CD D ⊥A ，又因为在平面CD P 中，F//D E P （三角形的中位线），于是CD F ⊥E ．因为在平面CD AB 中，//D BE A ，于是CD ⊥BE ．因为F E BE =E ，F E ⊂平面F BE ，BE⊂平面F BE ，所以CD ⊥平面F BE ，又因为CD//AB ，所以平面F BE ⊥平面PAB ．（2）因为D θ∠PA =，取PD 的中点G ，连接FG 、G A ，所以FG//CD ，1FG CD 2=，又//CD AB ，1CD 2AB =，所以FG//AB ，FG =AB ，从而四边形FG AB 为平行四边形，所以F//G B A ，得到G ∠PA 即为异面直线F B 与PA 所成的角或其补角；同时因为D PA =A ，D θ∠PA =，所以G 23θπ∠PA ==，故折起的角度23πθ=．【考点】面面垂直的判断，异面直线所成的角．19．某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100110的学生数有21人．（1）求总人数N 和分数在110115分的人数n ；（2）现准备从分数在110115的n 名学生（女生占13）中选出3位分配给A老师进行指导，设随机变量ξ表示选出的3位学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望ξE ；（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．对他前7次考试的数学成绩x （满分150分）、物理成绩y 进行分析．该生7次考试的成绩如下表：已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆniii ni i u u v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 【答案】（1）60,6N n ==；（2）分布列见解析，期望为1；（3）115． 【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知分数在100110内的学生的频率为0.35，从而可求得总人数N ，再由频率分布直方图求得分数在110115内学生的频率，从而得n ；（2）6名学生中女生的人数为2人，因此ξ的值可能为0,1,2，由古典概型概率公式可计算出从6人选3人其中含有ξ名女生的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望；（3）求出,x y ，由所给公式计算出回归系数，得线性回归方程，由回归方程可估计物理成绩．试题解析：（1）分数在100110内的学生的频率为()10.040.0350.35P =+⨯=，所以该班总人数为21600.35N ==， 分数在110115内学生的频率为()210.010.040.050.040.030.0150.1P =-+++++⨯=，分数在110115内的人数600.16n =⨯=．（2）随机变量ξ表示6名学生中分配给A 的三名学生中女生的人数，因为6名学生中女生的人数为1623⨯=人，所以ξ的取值可以为0，1，2当0ξ=时，()3436C 10C 5ξP ===；当1ξ=时，()122436C C 31C 5ξP ===；当2ξ=时，()212436C C 12C 5ξP ===，所以ξ的分布列为：所以随机变量ξ的数学期望为()1310121555ξE =⨯+⨯+⨯=（3）12171788121001007x --+-++=+=； 69844161001007y --+-+++=+=；由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到4970.5994β==，1000.510050α=-⨯=，∴线性回归方程为0.550y x =+． ∴当130x =时，115y =．【考点】频率分布直方图，随机变量分布列，数学期望，线性回归方程．20．设椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的离心率12e =，圆22127x y +=与直线1x ya b+=相切，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()Q 4,0-任作一直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记Q Q λM =N ．若在线段MN 上取一点R ，使得R R λM =-⋅N ．试判断当直线l 运动时，点R 是否在某一定直线上运动？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）点R 在定直线1x =-上．【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，要有两个独立的关系式，题中离心率12c e a ==是一个，直线与圆相切得7=是第二个，结合222a b c =+可求得,a b ；（2）定直线问题，可设点R 坐标为00(,)x y ，只要求得00(,)x y 适合某一直线方程即可，为此设直线MN 方程为(4)y k x =+，并设()11,x y M ，()22,x y N ，联立直线方程与椭圆方程，可得1212,x x x x +，（同时得出相交时的k 的范围），由Q Q λM =⋅N 得转化为坐标关系可得1244x x λ+=-+，再由R R λM =-⋅N ，可解得()()1212120122418x x x x x x x x x λλ++-==-++ ，把刚才的1212,x x x x +代入化简正好得到01x =-．结论证得．试题解析：（1）由12e =，∴2214c a =，∴2234a b =7=， 解得2a =，b =C 的方程为22143x y +=． （2）直线MN 的斜率必存在，设其直线方程为()4y k x =+，并设()11,x y M ，()22,x y N ，联立方程()221434x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 得()2222343264120k x k x k +++-=，则()2144140k ∆=->，21223234k x x k -+=+，2122641234k x x k -⋅=+由Q Q λM =⋅N 得()1244x x λ--=+，故1244x x λ+=-+． 设点R 的坐标为()00,x y ，则由R R λM =-⋅N 得()0120x x x x λ-=--，解得()()112121212201122424441814x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅++-+===+-++++．又()221212222641232242424343434k k x x x x k k k ---++=⨯+⨯=+++，()212223224883434k x x k k -++=+=++，从而()()12110122418x x x x x x x ++==-++， 故点R 在定直线1x =-上．【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆相交，解析几何中的定直线问题． 【名师点睛】求解点在定直线问题，“定”必与“动”联系在一起，象本题，设出点的坐标为00(,)x y ，动直线MN 为(4)y k x =+，同时设交点为()11,x y M ，()22,x y N ，下面就是通过12,x x （或12,y y ）把“动”有参数k 与坐标00(,)x y 建立联系，通过在解题过程是消去参数k ，得出00(,)x y 所满足的直线方程．这也是我们解决这类问题的一般方法． 21．已知函数()2x f x e ax bx =--．（1）当0a >，0b =时，讨论函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数；（2）证明：当1b a ==，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x <．【答案】（1）当20,4e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有0个零点；当24e a =时，有1个零点；当2,4e a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，有2个零点；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）研究函数()f x 的零点个数，本题直接研究函数()f x 的性质，不太方便，可以进行转化，函数的零点就是方程2x e ax =的解，即2x e a x=的解，而此方程解的个数可以转化为直线y a =与函数2()xe g x x =的图象交点个数，而函数()g x 是一个确定的函数，不含参数，因此求出导数'()g x 后得出它的单调性与最值后可得结论；（2）要证明此不等式，关键是求得1(),[,1]2f x x ∈的最大值，为此求得导数'()21x f x e x =--，要确定'()f x 的正负，设()21x m x e x =--，再求导'()2x m x e =-，可以确定()m x 在1[,1]2上先减后增，计算1(1),()2m m 后发现，1()0,[,1]2m x x <∈，从而'()0f x <，因此有()f x 是递减的，其最大值为1()2f ，只要计算出1()2f 即得结论．试题解析：（1）当0a >，0b =时，函数()f x 在区间()0,+∞上的零点的个数即方程2x e ax =根的个数．由22xxe e ax a x=⇒=，令()()()()()223222x x xxe x e x e h x h x x x x --'=⇒==， 则()h x 在()0,2上单调递减，这时()()()2,h x h ∈+∞；()h x 在()2,+∞上单调递增，这时()()()2,h x h ∈+∞．所以()2h 是()y h x =的极小值即最小值，即()224e h =所以函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数，讨论如下：当20,4e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有0个零点；当24e a =时，有1个零点；当2,4e a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，有2个零点．（2）证明：设()21x h x e x x =---，则()21x h x e x '=--， 令()()21x m x h x e x '==--，则()2x m x e '=-，因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当1,ln 22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0m x '<；()m x 在1,ln 22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，当(]ln2,1x ∈时，()0m x '>，()m x 在(]ln 2,1上是增函数，又1202m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()130m e =-<，所以当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，恒有()0m x <，即()0h x '<，所以()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()17024h x h ⎛⎫≤=< ⎪⎝⎭，即当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x <．【考点】函数的零点，函数的极值，导数的综合应用． 【名师点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用．（1）在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．（2）证明函数不等式，实质就是要研究函数的单调性和极值，本题中由于'()21x f x e x =--的正负仍然不易确定，因此对其再求导，以确定'()f x 的单调性与最值，从而确定出()f x 的单调性与最值．在解题时对导函数再求导是在不易确定导数的正负性时常用的方法．22．选修4-1：几何证明选讲如图，点C 为圆O 上一点，C P 为圆的切线，C E 为圆的直径，C 3P =．（1）若PE 交圆O 于点F ，16F 5E =，求C E 的长； （2）若连接OP 并延长交圆O 于A 、B 两点，CD ⊥OP 于D ，求CD 的长．【答案】（1）4；（2． 【解析】试题分析：（1）CE 所在的三角形PCE 是直角三角形（90ECP ∠=︒），而CF PE ⊥，因此由切割线定理求得,PF PE 后，再由射影定理可得CE ；（2）CD 是直角OPC ∆斜边上的高，由直角三角形可解．试题解析：（1）因为C P 是圆O 的切线，C E 是圆O 的直径，所以C C P ⊥E ，CF 90∠E =，所以C FC ∆E P ∆E ∽，设C x E =，EP =C FC ∆E P ∆E ∽，所以F :C C :E E =E EP ，所以2x =4x =． （2）由切割线定理()2C 4P =BP +BP ，∴2490BP +BP -=，∴2BP =，∴OP所以CD C C ⋅OP =O ⋅P ，∴C C CDO ⋅P ===OP ． 【考点】切割线定理，相似三角形，直角三角形的性质及应用．23．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是243x t y t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）求曲线C 上任意一点到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，直线l 的普通方程为3460x y -+=；（2）145． 【解析】试题分析：（1）由公式222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，把曲线C 的方程配方后，利用公式22cos sin 1θθ+=可化直角坐标方程为参数方程，消去直线参数方程中的参数可得直角坐标方程；（2）由（1）可设曲线C 上点坐标为()1cos ,sin θθ+，由点到直线距离公式求得距离后利用三角函数的性质可求得最大值．试题解析：（1）曲线C 的普通方程为22cos ρρθ=，∴2220x y x +-=，∴()2211x y -+=，所以参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩， 直线l 的普通方程为3460x y -+=（2）曲线C 上任意一点()1cos ,sin θθ+到直线l 的距离为33cos 4sin 65d θθ+-+= ()5sin 91455θϕ++=≤，所以曲线C 上任意一点到直线l 的距离的最大值为145． 【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．24．选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-（R a ∈）．（1）当1a =时，解不等式()211f x x <--；（2）当()2,1x ∈-时，()121x x a f x ->---，求a 的取值范围． 【答案】（1）{}11x x x ><-或；（2）(],2-∞-．【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式，可利用绝对值定义分类去绝对值符号，化绝对值不等式为一般的一元一次不等式，从而得解；（2）不等式()121x x a f x ->---化为121x x a x a -+->--，由绝对值的性质有1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--，其中等号成立的条件是(1)()0x x a --≥，因此题中不等式中x 满足(1)()0x x a --<，这样问题可转化为当(2,1)x ∈-时，(1)()0x x a --<，由二次不等式的解知有2a ≤-． 试题解析：（1）因为()211f x x <--，所以1211x x -<--， 即1211x x ---<-，当1x >时，1211x x --+<-，∴1x -<-，∴1x >，从而1x >； 当112x ≤≤时，1211x x --+<-，∴33x -<-，∴1x >，从而不等式无解； 当12x <时，1211x x -+-<-，∴1x <-，从而1x <-； 综上，不等式的解集为{}11x x x ><-或．（2）由()121x x a f x ->---，得121x x a x a -+->--， 因为1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--，所以当()()10x x a --≥时，121x x a x a -+-=--； 当()()10x x a --<时，121x x a x a -+->--记不等式()()10x x a --<的解集为A ，则()2,1-⊆A ，故2a ≤-． 所以a 的取值范围是(],2-∞-．【考点】解绝对值不等式，绝对值不等式的性质．。
河南省安阳市2018届高三数学第二次模拟考试试题文(含解析)
2018届高三毕业班第二次模拟考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,所以,选B.2. 若复数，为的共轭复数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,所以虚部为1,选C.3. 如图所示的是一块儿童玩具积木的三视图，其中俯视图中的半曲线段为半圆，则该积木的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】该积木为一个柱体,前面为两个正方形加半个圆柱侧面积,后面为矩形,上下为一个矩形去掉半圆,左右为矩形,因此表面积为,选A.点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．4. 已知命题：，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】因为命题：，，所以为: ，,选D. 5. 在某校连续次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学次成绩的平均数为，乙同学次成绩的中位数为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为乙同学次成绩的中位数为，所以选A.6. 若执行如图所示的程序框图，其中表示区间上任意一个实数，则输出数对的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】概率为几何概型,测度为面积,概率为选C.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．7. 已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列说法错误的是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，则或【答案】C【解析】若，，则;若，则，，；若，，则而，则或；若，，则由线面平行判定定理得或；因此选C.8. 若实数，满足，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作可行域如图，则,所以直线过点A(0,1)时取最大值1，选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,所以，所以，故选B。
河南省郑州市2018年高考数学三模试卷(文科)
2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．503．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2018的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣210．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2018 B．﹣2018 C．﹣2018 D．﹣2018二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．2018年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2018年1月1日到2018年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1），对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，m=﹣1时，x∈∅．m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）．m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）．∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=．∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件．故选：A．2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．50【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30．故选：B．3．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值范围是（﹣2，1）．故选：B4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C5．已知，则的值等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】GQ ：两角和与差的正弦函数；GP ：两角和与差的余弦函数． 【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos （﹣α）=﹣，∴sin[﹣（﹣α）]=sin （+α）=﹣．故选：D ．6．已知f'（x ）=2x+m ，且f （0）=0，函数f （x ）的图象在点A （1，f （1））处的切线的斜率为3，数列的前n 项和为S n ，则S 2018的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可设f （x ）=x 2+mx+c ，运用导数的几何意义，由条件可得m ，c 的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：f'（x ）=2x+m ，可设f （x ）=x 2+mx+c ， 由f （0）=0，可得c=0．可得函数f （x ）的图象在点A （1，f （1））处的切线的斜率为2+m=3， 解得m=1， 即f （x ）=x 2+x ，则==﹣，数列的前n 项和为S n ，则S 2018=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：A ．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】8G：等比数列的性质．【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q可得，a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入得到答案．【解答】解：由题意知：a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．故选D．9．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，即2a+b+c的最小值为2﹣2，故选：D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2018 B．﹣2018 C．﹣2018 D．﹣2018【考点】3T：函数的值．【分析】推导出函数f（x）=1++，令h（x）=，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，=1++=1++，令h（x）=，则h（﹣x）=﹣+=﹣h（x），即h（x）是奇函数，∵f=2018，∴h=1+h（﹣2018）=1﹣h13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为 4 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故答案为：4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴=m+3=•2•cos30°，求得，故答案为：．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得： ===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案为：．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）设等差数列的公差为d ，首项a 1=2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项即可求出公差d ，再写出通项公式即可，（2）化简b n 根据式子的特点进行裂项，再代入数列{b n }的前n 项和S n ，利用裂项相消法求出S n ．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项． ∴（2+2d ）2=（3+3d ）（2+d ）， 解得d=2，∴a n =a 1+（n ﹣1）d=2+2（n ﹣1）=2n ，（2）b n ====（﹣），∴S n =（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣18．2018年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2018年1月1日到 2018年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I ）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随 机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率． 【考点】CB ：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC，BD，B1，B2，CD，C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A的概率P=19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进一步得到CD⊥B1E；（2）当λ=时，．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB．∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．又∵AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面ABB1A1．∵点E在线段AA1上，∴B1E⊂平面ABB1A1，∴CD⊥B1E；（2）解：当λ=时，．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点M的轨迹C的方程为．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值．（2）令，“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）e x+a递增，h（x）的最小值为．当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣e a﹣1+a．（2）令，由题可知“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．即h（x）min≥f（x）min．由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈，①当b≤1时，，由得，与b≤1矛盾，舍去．②当1＜b＜2时，，由得，与1＜b＜2矛盾，舍去．③当b≥2时，，由得．综上，b的取值范围是．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．2018年5月23日。
河南省商丘市2018年高考第二次模拟考试文科数学试卷有答案
河南省商丘市2017-2018高三第二次模拟考试试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}290A x x =-≤，集合{}10B x x =->，则A B ⋂=（ ） A ．()1,3 B ．(]1,3 C.[)3,1- D ．()3,1- 2.复数352z i=+（i 是虚数单位）的共轭复数z =（ ） A ．2i + B ．2i - C. 2i -- D ．2i -+3.设函数()()()2212log 02x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩，若()3f m =，则实数m 的值为（ ） A ．2- B ．8 C. 1 D ．2 4.已知平面向量()()1,2,,1a b k =-=r r ，且a b ⊥r r ，则a b ⊥r r 在a r上的投影为（ ） A 5 B ．2．15.设1F 和2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，若点()120,2,,P b F F 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B 702330 6.已知数列{}n a 满足()*111,2n n a a a n N +=-≥∈，则（ ）A ．21n a n ≥+B ．2n S n ≥ C. 12n n a -≥ D ．12n n S -≥ 7.执行如图的程序框图，若输入的是9k =，则输出的S =（ ）A ．10B ．15 C. 21 D ．288.将函数()sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后，得到()y g x =，()g x 为偶函数，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2 C. 12 D ．329.函数()1ln1xf x x+=-的大致图像是（ ） A ． B ．C. D ．10.已知正方形ABCD 如图所示，其中,AC BD 相交于O 点，,,,,,E F G H I J 分别为,,,,,AD AO DO BC BO CO 的中点，阴影部分中的两个圆分别为ABO ∆与CDO ∆的内切圆，若往正方形ABCD 中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为（ ）A．() 1222π+-B．()14224π+-C.()16224π+-D．()16424π+-11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3π B．2π C.53πD．43π12.定义在R上的函数()f x满足：()()()1,05f x f x f>'=+，()f x'是()f x的导函数，则不等式()() 41xe f x->(其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．()0,+∞ B．()(),03,-∞⋃+∞ C.()(),01,-∞⋃+∞ D．()3,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数,x y满足1,20,3220,x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则3z x y=-的最小值为．14. 已知球的表面积为8π，此球面上有,,A B C三点，且2,2AB AC BC===，则球心到平面ABC的距离为．15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲。
2018年招生全国统一考试数学文科临考冲刺卷(二)含解析
2018年招生全国统一考试数学文科临考冲刺卷（二）含解析普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷高三文科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B2．若复数满足，则（ ） AB ．CD ．【答案】A3．阅读程序框图，该算法的功能是输出（ ）A ．数列的第4项B ．数列的第5项1=1A x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭{}2=4B x y x =A B =(),1-∞()1,+∞()0,1()0,+∞z ()2i 17i z +=+z =2{}21n-{}21n-C ．数列的前4项的和D ．数列的前5项的和【答案】B4．在中，，，，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C6．已知是等差数列的前项和，则“对恒成立”是“数列为递增数列”的（ ） A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必条件【答案】A7．将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片，选出每列标号最小的卡片，将这些卡片中标号最大的数设为；选出每行标号最大的卡片，将这些卡片中标号最小的数设为．甲同学认为有可能比大，乙同学认为和有可能相等，那么甲乙两位同学的说法中（ ） A ．甲对乙不对 B ．乙对甲不对C ．甲乙都对D ．甲乙都不对【答案】B{}21n-{}21n-ABC △AD AB ⊥33CD DB ==1AD ==AC AD ⋅123493251638716n S {}n a n n n S na <2n ≥{}n a a b a b a b8．某几何体的三视图如图所示，记为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 9．已知函数，下列说法中正确的个数为（ ） ①在上是减函数； ②在上的最小值是； ③在上有两个零点． A ．个 B ．个C ．个D ．个【答案】C10．已知，，，且，，则三棱锥的体积是（ ）A ．B ．C ． D【答案】C11．已知函数，，对任意的，，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A12．已知为双曲线上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点，，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A 3A ∈5A ∈A A ()1cos f x x x=+()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()0,π2π()f x ()0,π20123A B C D 4AC BD ==AD BC ==AB CD =D ABC -()2ln xf x a x x a =+-()01a a >且≠1x []20,1x ∈()()122f x f x a -≤-a )2e ,⎡+∞⎣[)e,+∞[]2,e 2e,e ⎡⎤⎣⎦S ()222210,0x y a b a b -=>>S x M N y P Q ()118OP OQ OM ON ⎛⎫+⋅+≥ ⎪ ⎪⎝⎭eA ．B ．C ．D ．【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数，满足：，则的最大值为_______．【答案】1314．设函数，则_______．【答案】1-15．抛物线的焦点为，弦过，原点为，抛物线准线与轴交于点，2π3OFA ∠=，则_______．【答案】16．设有四个数的数列1a ，2a ，3a ，4a ，前三个数构成一个等比数列，其和为k ，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数k ，若满足条件的数列个数大于1，则k 的取值范围为_______． 【答案】()()15,55,1515,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在中，角，，的对边分别是，，，且．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1，，()+∞()+∞x y 1310x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩3x y +()22,1lg ,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩()()4f f -=28y x =F AB F O x C tan ACB ∠=ABC △A B C a b c ()cos 2cos C b A =A 2a =ABC △6A π=2+cos 2sin cos cos A C B A C A =()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =又为三角形内角，所以，于是， 又为三角形内角，所以． （2）由余弦定理：得：， 所以，所以18．（12分）在2018年3月郑州第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．①从（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．②根据以上数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．【答案】（1）5人，4人；①，②是．【解析】（1）我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有95%人，语文成绩特别优秀的概率为，语文特别优秀的同学有人，数学成绩特别优秀的概率为，数学特别优秀的同学有人． ①语文数学两科都特别优秀的有3人，单科特别优秀的有3人，B sin 0B ≠cos A =A 6A π=2222cos a b c bc A =+-22422b c bc =+-≥-(42bc ≤1sin 22S bc A ==+22⨯151=10.95=0.05P -1000.05=5⨯2=0.00220=0.04P ⨯1000.04=4⨯记两科都特别优秀的3人分别为，，，单科特别优秀的3人分别为，，，从中随机抽取2人，共有：，，，，，，，，()13,A B ，，，，，，共15种，其中这两人成绩都特别优秀的有，，这3种，则这两人两科成绩都特别优秀的概率为：． ②，，有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．（12分）如图，四棱锥中，，且底面，为棱的中点． （1）求证：直线平面；（2）当四面体的体积最大时，求四棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）因为，设为的中点，所以， 又平面，平面，所以，又，所以平面，又，所以平面．1A 2A 3A 1B 2B 3B ()12A A ,()13,A A ()23,A A ()12,B B ()13,B B ()23,B B ()11,A B ()12,A B ()21,A B ()22,A B ()23,A B ()31,A B ()32,A B ()33,A B ()12,A A ()13,A A ()23,A A 31=155P =()2210039412245042.982 6.63549659557k ⨯⨯-⨯∴==≈>⨯⨯⨯∴E ABCD -AD BC ∥112AD AB AE BC ====BC ⊥ABE M CE DM ⊥CBE D ABE -E ABCD-12AE AB =N EB AN EB ⊥BC ⊥AEB AN ⊂AEB BC AN ⊥BC BE B =AN ⊥BCE DM AN ∥DM ⊥BCE（2），设，，则四面体的体积， 当，即时体积最大，又平面，平面，所以，因为，所以平面，．20．（12分）已知动点（1）求动点的轨迹的方程；（2）设，是轨迹上的两个动点，线段的中点在直线上，线段的中垂线与交于，两点，是否存在点，使以为直径的圆经过点，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）． （2）当直线垂直于轴时，直线方程为， 此时，，，不合题意；当直线不垂直于轴时，设存在点，直线的斜率为， ，，由得：，则， 故，此时，直线斜率为， 的直线方程为，即，联立消去，整理得：， AE CD ⊥=EAB θ∠=1AD AB AE==D ABE -111sin sin 326V AE AB AD θθ=⨯⨯⋅⋅⋅=90θ=︒AE AB ⊥BC ⊥AEB AE ⊂AEB AE BC ⊥BC AB B =AE ⊥ABC ()1111211322E ABCD V -=⨯⨯+⨯⨯=(),M x y =M E A B E AB N 1:2l x =-AB E P Q N PQ ()1,0N 2212x y +=1,219N ⎛-± ⎝⎭2212x y +=AB x AB 12x =-()P )Q221F P F Q ⋅=-AB x ()1,02N m m ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭AB k ()11,A x y ()22,B x y 221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()1212121220y y x x y y x x ⎛⎫-+++⋅= ⎪-⎝⎭140mk -+=14k m=PQ 14k m =-PQ 142y m m x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭4y mx m =--22412y mx mx y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222232116220m x m x m +++-=所以，，由题意，于是， ，因为在椭圆内，，符合条件，综上所述，存在两点符合条件，坐标为． 21．（12分）已知函数在处取得极值． （1）求实数的值；（2）设，若存在两个相异零点，，求证：．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）因为，所以，因为函数在处取得极大值，所以，即， 所以，此时，经检验，在上单调递增，在单调递减，所以在处取得极大值，符合题意，所以．（2）由（1）知：函数，函数图像与轴交于两个不同的点，，， 为函数的零点，令， 212216321m x x m +=-+212222321m x x m -⋅=+220F P F Q ⋅=()()()()()22121212121211144F P F Q x x y y x x x x mx m mx m ⋅=--+=⋅-+++++()()()2221212116411m x x m x x m =+⋅+-+++()()()()()()22222222211622411619110321321321m m m m m mm m m +----=+++==+++m ∴=N 278m ∴<m ∴=N 1,2N ⎛-⎝⎭()ln f x ax x x =-2e x -=a ()()()21ln F x x x x f x a =+-++()F x 1x 2x 122x x +>1a =-()ln f x ax x x =-()ln 1f x a x '=--()f x 2ex -=()2e0f -'=()22e ln e 10f a --'=--=1a =-()ln 2f x x '=--()f x ()20,e -()2e ,-+∞()f x 2e x -=1a =-()()()21ln F x x x x f x a =+-++()F x x ()1,0C x ()2,0D x ()12x x <()2ln 1F x x x x =---()()()212112121x x x x F x x x x x-+--'=--==在单调递减，在单调递增且，，，欲证：，即证：，即证，即证， 构造函数，，，得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于不同的两点，，若，求的值．【答案】（1），；（2）或．【解析】（1）直线普通方程为，曲线的极坐标方程为，，，则，即为曲线的普通方程．（2）将（为参数，）代入曲线，，，， ， ，或． 23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知，，函数的最小值为1． （1）证明：；()F x ∴()0,1()1,+∞()110F =-<1x ∴()21,x ∈+∞122x x +>212x x >-()()212F x F x >-()()112F x F x >-()()()()()20,1x F x F x x ϕ=--∈()()()22102x x x x ϕ--'=<-()()10x ϕϕ∴>=xoy l cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩t 0α≤<πO x C 2cos 4sin ρθθ=l C l C A B 8AB =a sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=24x y =4απ=34πl sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=C 2cos 4sin ρθθ=cos x ρθ=sin y ρθ=22cos 4sin ρθρθ=24x y ∴=C cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩t 0απ≤<2:4C x y =22cos 4sin 40t t αα∴⋅-⋅-=1224sin cos t t αα∴+=1224cos t t α-⋅=128AB t t =-==cos 2α∴=±4απ∴=34π0a >0b >()2f x x a x b =++-22a b +=（2）若恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）证明：，，显然在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即．（2）因为恒成立，所以恒成立， ， 当且仅当时，取得最小值， 所以，即实数的最大值为．2a b tab +≥t 922b a -<()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩()f x ,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,2b ⎛⎫+∞⎪⎝⎭()f x 122b b f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22a b +=2a b tab +≥2a bt ab+≥()212112122925+222a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫≥+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23a b ==2a b ab +9292t ≤t 92。
2017-2018学年河南省最后一次模拟高三数学考试卷文科(含答案)
高三数学考试卷(文科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|(2)0}P x x x =-≥,{|633}Q x x =-<≤,则()R C P Q =（ ）A ．(2,0)-B ．(]0,2C ．(]0,1D ．[0,1]2. 已知复数2(1i)z =-,z 是它的共轭复数,则z z ⋅=（ ） A ．4B ．4-C ．2-D ．23. 已知函数3()51f x og x =-,(]3,27x ∈,则()f x 的值域是（ ） A ．(]2,4B ．[)2,4C ．[)4,4-D ．(]6,94. 如图,在正六边形ABCDEF 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．12B ．25C.35D ．5125. 已知点(0,23),(,0)6A B π是函数()4sin()f x x ωϕ=+ (06,)2πωϕπ<<<<的图象上的两个点,若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度,得到函数()g x 的图象,则函数()g x 的图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．12x π=B ．6x π=C. 3x π=D ．512x π=6. 《孙子算经》中有一道题:“今有木不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳[开始度之,不足一尺,木长几何?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺;将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺?解决本题的程序框图如图所示,则输出的i =（ ）A ．4.5B ．5C. 6 D ．6.57. 如图为一个半圆柱, ADE ∆是等腰直角三角形, F 是线段CD 的中点, 4AB =,该半圆柱的体积为18π,则异面直线AB 与EF 所成角的正弦值为（ ）A ．3311B ．31111 C. 2211 D ．238. 函数22(1)sin 6()1x xf x x -=+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C. D ．9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）A ．3442+B ．3422+ C. 3242+ D ．3622+10. 已知椭圆222:1(02)4x y C b b +=<<,作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点,若直线OM 的斜率为12,则b =( ) A ．1B ．2 C. 3 D ．6211. 在平面直角坐标系中,已知三点(,1),(3,),(4,5)A a B b C ,O 为坐标原点若向量OA 与OC 在向量OB 方向上的投影相等,则22a b +的最小值为( ) A ．125B ．14425C.12 D ．14412. 已知函数2()4f x x =的图象在点200(,4)x x 处的切线为l ,若l 也与函数g()1n x x =(01)x <<的图象相切,则0x 必满足（ ）A ．01222x << B ．0102x <<C.0212x << D ．012x <<第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(0,)2x π∈，3tan 4x =，则2sin()sin 21cos x x xπ-+=+ ． 14. 设实数,x y 满足约束条件35474311x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最大值为 ．15. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin sin a A b B ++2sin sin ,b A c C =2,22a b ==，则sin B = ．16. 设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右焦点, AB 为过焦点1F 的弦(,A B 在双曲线的同一支上),且(31)||AB +=22||||AF BF +.若4||3AB b =,则双曲线的离心率为 ． 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17. 知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-,数列{}n b 满足31og 2nn a b =-. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T .18. 某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：（1)根据数据可知y 与x 之间存在线性相关关系 (i)求出y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.001);(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元,根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；(2)公司在2017年年终总结时准备从该年8~12月份这5个月中抽取3个月的数据进行重点分析,求没有抽到9月份数据的概率. 参考数据:81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑.参考公式:对于一组数据1122(,),(,)x y x y ,(,)n n x y ,其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为: 1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-.19. 如图,在三棱柱111ABC A B C -中,四边形11BB C C 是矩形, 11AB B C ⊥,平面1A BC ⊥平面11AB C .(1)证明: 1AA AB =；(2)若113,4B C AB ==, 160,ABB D ∠=是线段1A C 上的一点,且三棱锥B ACD -的体积为3，求1A DCD的值.20. 设O 是坐标原点, F 是抛物线22(0)x py p =>的焦点, C 是该抛物线上的任意一点,当FC 与y 轴正方向的夹角为60时, ||21OC =.(1)求抛物线的方程；(2)已知(0,)A p ,设B 是该抛物线上的任意一点, ,M N 是x 轴上的两个动点,且||2MN p =，||||BM BN =,当||||||||AM AN AN AM +计取得最大大值时，求BMN ∆的面积. 21. 已知函数()1n 2af x x x=--. (1)试讨论()f x 的单调区间； (2)当1a e =-时,存在x 使得21|()|2f x e +- 21n 3x x b-+≤成立立求b 的取值范围. （二）选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分 .22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知倾斜角为α的直线l 经过点(2,1)A -.以坐标原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为12sin 3p p θ+=. (1)写出曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点,M N ，求||||AM AN +的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲 知函数()|24||2|f x x x a =++-. (1)当6a =时,求()12f x ≥的解集; (2)已知22,()a g x x >-=724ax ++，若对于[1,]2ax ∈-,都有()()f x g x ≥成立,求a 的取值范围.高三数学考试卷参考答案(文科)1.C 【解析】本题考查集合的补集、交集运算,考查运算求解能力. 因为{|02}R C P x x =<<,{|21}Q x x =-<≤,所以(){|01}R C P Q x x =<≤.2.A 【解析】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力. 因为2(1i)2i z =-=-,所以2i 2i 4z z ⋅=-⋅=. 3.B 【解析】本題考查函数的值域,考查运算求解能力. 因为327x <≤,所以3113og x <≤. 2()4f x ≤<.4.D 【解析】本题考查几何概型,考查运算求解能力和应用意识.设正六边形的边长为2,AC 与BE 的交点为G ,易知21AB BG ==，,3,2AG CG CD ===,所以,所求的概率为113235212(24)3⨯⨯+⨯=+⨯. 5.A 【解析】本题考查三角函数的图象及其性质,考查运算求解能力. 因为(0)4sin 23f ϕ==,2πϕπ<<,所以23πϕ=.由2()4sin()0663f πππω=+=，得263k ππωπ+=，64(Z)k k ω=-∈，所以2ω=.又()4sin[2(g x x =-2)]4sin(2)633x πππ+=+,将选项代入验证可知12x π=是一条对称轴方程.6.D 【解析】本题考查数学文化以及程序框图问题,考查运算求解能力.3,7.54; 3.5,85;i i =≠=≠4,8.56; 4.5,97;i i =≠=≠5,9.58; 5.5,109;i i =≠=≠6,10.510;i =≠6.5,1111i ==.输出 6.5i =.7.B 【解析】本题考查异面直线所成的角的知识,考查空间想象能力和运算求解能力. 设上底半圆的半径为r ,由24182r ππ⨯=,得3r =.因为32,2DE DF ==,所以22EF =.又异面直线AB 与EF 所成的角为EFD ∠所以311sin 11EFD ∠=. 8.C 【解析】本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力. 因为()()f x f x -=-,所以()f x -是奇函数,排除,A D .当06x π<<时, 201,sin 60x x <<>,所以()0f x >；当64x ππ<<时, 22116x π<<，sin60x <,所以()0f x <.9.A 【解析】本题考查三视图以及简单几何体的体积与表面积,考查空间想象能力和运算求解能力. 该几何体的形状如图所示，于是，=(22)2S ⨯⨯=左右 18,=422S ⨯-⨯上下(21214⨯⨯)=， 428,=S S =⨯=后前 (122(22)⨯⨯+⨯） 2442⨯=+，所以表面积8148(4S =++++42)3442=+.10.B 【解析】本题考查椭圆的性质,考查推理论证和运算求解能力设1122(,),(,)A x y B x y ,M 00(,)M x y ,则22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得1212()()4x x x x -++12122()()0y y y y b-+=. 因为12121y y x x -=--,所以00204x y b -=.即2004y b x =. 由200142y b x ==,解得22b =,即2b =. 1l.B 【解析】本题考查平面向量的坐标运算以及投影问题,考查运算求解能力.因为向量OA 与OC 在向量OB 市方向上的投影相同,所以OA OB OB OC ⋅=⋅，3125a b b +=+,即点(,)a b 在直线34120x y --=上22a b +的最小值为原点到直线34120x y --=的距离d 的平方,因为221212534d ==+，所以22a b +的最小值为14425. 12.C 【解析】本題考查导数与切线问题,考查转化与化归、函数与方程的数学思想以及运算求解能力和推理论能力.由于00()8,()8f x x f x x ''==,所以直线l 的方程为008()y x x x =-+22000484x x x x =-.因为l 也与函数()1n (01)g x x x =<<的图象相切,令切点为1(,1,),()m n m g x x '=,所以l 的方程为11n 1y x m m=+-,因此有02018411n x m x m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，，又因为01m <<,所以2001,42x x >011n 1n8x =++,令2()41n h x x x =-- 11n81()2x ->，2181()80x h x x x x -'=-=>，所以2()41n 1n81h x x x =---是1(,)2+∞上的增函数.因为2()11n(42)02h =-<， (1)=3(11n 2)0h ->，所以02(,1)2x ∈. 13.【解析】本题考查三角恒等变换的知识,考查运算求解能力.因为3(0,),tan 24x x π∈=，所以3sin 5x =.又2sin()sin 21cos x x x π-+=+ 2sin (1cos )2sin 1cos x x x x +=+，所以2sin()sin 261cos 5x x x π-=+.14. 11【解析】本题考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 作出约束条件表示的可行域,当直线2z x y =+过点(5,3)时, z 取得最大值11.15.55【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查运算求解能力. 因为sin sin 2sin a A b B b ++ sin A c C =,所以2222a b ab c ++=.由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-= 22=-，又0C π<<，所以34C π=.2222cos c a b ab =+-222(22)2C =+-2222()202⨯⨯⨯-=，所以25c =. 由正弦定理得sin sin c b C B =，即2522sin 22B=，解得5sin 5B =. 16. 2【解析】本題考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的定义和性质,考查运算求解能力和化归与转化的思想.因为(31)||3||AB AB +=||3||AB AB +=+11(||||)AF BF +， 所以223||(||||)AB AF BF =+11(||||)4AF BF a -+=， 由此可得44,33bb a a ==，所以21()2c b e a a ==+= .17.解:(1)在2n S n n =-中,令1n =,得10a =，当2n ≥时, 21(1)(1)n S n n -=---,所以1n n n a S S -=-=22(n 2)n -≥.由于10a =满足22n a n =-,所以22n a n =-. 因为31(1)n og b n =--,所以113n n b -=. （2）由（1）知1223n n n n a b --=，所以012024333n T =++1223n n --++，① 则1230243333n T =++ 223nn -++.② ①-②得01220223333n T =+++122233n nn --+-121(1)22331313n n n ---=--1122133n n n --=-- 2113n n +=-，所以1321223n n n T -+=-⨯.18.解:(1)(i)因为11,3x y ==,所以1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-==-∑∑347811313088121-⨯⨯=-⨯830.244340≈，833340a y bx =-=-110.315⨯≈， 所以y 关于x 的线性回归方程为0.2440.315y x =+. (ii)当25x =时, 0.24425y =⨯+0.315 6.415= (万台).（注:若30.24411a =-⨯=0.316,0.2440.316y x =+，当25x =时, 0.24425y =⨯0.136 6.416+= (万台).(2)记812月份这5个月的数据分别为,,,,a A b c d ,从中抽取3个月的所有基本事件有:(,,)(,,)(,,)a A b a A c a A d 、、、 (,,)a b c (,,)(,,)(,,)a b d a c d A b c 、、、、(,,)(,,)(,,)A b d A c d b c d 、,共10种基本事件,没有抽到9月份的有(,,)(,,)a b c a b d 、(,,)(,,)a c d b c d 、、共4种基本事件， 所以概率42105P ==. 19.(1)证明:在三棱柱111ABC A B C -中,1111,BC B C AB B C ⊥∥，AB BC ∴⊥.又11,BC BB AB BB B ⊥=.BC ∴⊥平面11AA B B .设1AB 与1A B 相交于点E ,1AC 与1A C 相交于点F ,连接EF ， 四边形11AA B B 与11AAC C 均是平行四边形，EF BC ∴∥,EF ⊥平面11AA B B ，1EF AB ∴⊥，又平面1A BC ⊥平面11AB C ,且相交于EF ,1AB ∴⊥平面1A BC ,11AB A B ∴⊥， ∴四边形11AA B B 是菱形，从而1AA AB =.（2）解:由(1)可知1AB ⊥平面1A BC ,在1Rt A BC ∆中, 14sin 602A B =⨯⨯43,3BC ==，111(32A A BC V -∴=⨯⨯433)243⨯⨯=，3B ACD A BCD V V --==， 114343A A BC A BCDV AC V CD --∴===， 13A CCD∴=. 20.解：（1）设0(,)o C x y ，则由抛物线的定义得0||2p FC y =+. 当FC 与y 轴正方向的夹角为60时, 002()22p p y y -=+,即032py =. 又2200||OC x y =+=2002122py y +=21p =, 所以2p =,抛物线的方程为24x y =.(2)因为||||BM BN =,所以点B 在线段MN 的中垂线上，设11(,)B x y ,则11(2,0),(2,0)M x N x -+， 所以221||(2)2AM x =-+，221||(2)2AN x =++， 22||||||||||||||||AM AN AM AN AN AM AM AN ++=⋅214116264x x +==+1122111682(2)64164y y y y ++=++， 所以||||2||||AM AN AN AM +=211214424y y y ++⋅≤⋅+21212(4)224y y +=+.当且仅当12y =时等号成立,此时122x =±. 所以12BMN S ∆=1||4AM y ⋅=. 21.解:(1)因为()1n 2a f x x x=--,定义域为(0,)+∞， 所以21()a f x x x =-=2x a x +-. 当0a ≥时, ()0f x '<,()f x 在(0,)+∞上单调递减;当0a <时,由()0f x '>得0x a <<-,由()0f x '<得x a >-，所以()f x 在(0,)a -上单调递增,在(,)a -+∞上单调递减.(2)当1a e =时,由(1)知, ()f x 在1(0,)e 上单调递增,在1(,)e+∞上单调递减， 所以max 1()()2f x f e ==-,所以, 1|()|()2f x f e ≥-=,当1x e=时取等号. 令21n ()3x x b g x -+=,则2()(1n 1)3g x x '=-+， 当10x e <<时, ()0g x '>;当1x e>时, ()0g x '<, 从而()g x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减,所以max 1()()g x g e =233b e =+， 所以存在x 使得21|()|2f x e +-≤21n 3x x b -+成立,只需2122233b e e +-≤+， 解得232e b e -≥，232[,)e b e -∈+∞. 22.解:(1)由12sin 3p p θ+=得22sin 3p p θ+=. 将222sin p x y y p θ⎧=+⎨=⎩，代入上式中,得曲线C 的普通方程为22230x y y ++-=. (2)将l 的参数方程2cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)代入C 的方程22230x y y ++-=, 整理得24(cos sin )t αα--40t +=.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以224(cos sin )αα∆=-240->,化简得cos sin 0αα<. 又0απ≤<,所以2παπ<<，且cos 0,sin 0αα<>.设方程的两根为12,t t ,则124(cos sin )0t t αα+=-<，1240t t =>，所以120,0t t <<,所以12||||()AM AN t t +=-+4(sin cos )αα=-=42sin()4πα-. 由2παπ<<，得3444πππα<<<， 所以2sin()124πα<-≤,从而442sin <()424πα-≤， 即||||AM AN +的取值范围是(4,42].23.解:当6a =时()|24|f x x =++|26|,()12x f x -≥等价于|2||3|6x x ++-≥,因为|2||3|x x ++-=21,35,2321,2x x x x x ->⎧⎪-≤≤⎨⎪-+<-⎩，所以3216x x >⎧⎨-≥⎩或2356x -≤≤⎧⎨≥⎩，或2216x x <-⎧⎨-+≥⎩， 解得72x ≥或52x ≤-, 所以解集为5{|2x x ≤-或7}2x ≥. (2)当2a >-，且[1,]2a x ∈-时, ()24f x x =+-(2)4x a a -=+， 所以()()f x g x ≥,即4()a g x +≥. 又27()24g x x ax =++的最大值必为(1),()2a g g -之一,所以21142457444a a a a ⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≥+⎪⎩，即253459044a a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩， 解得59125a -≤≤， 所以a 的取值范围为59[,]125-.。
2018年全国卷2高考文科数学模拟试题(三轮冲刺)
2018年高考（全国卷Ⅱ）最后一次适应性预测试题数 学（文科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用合乎要求的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
命题时间：2018-5-20第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={1，2，3}，B={x|1122≥+x }，则A ⋂B=A.{-3，1，2，3}B. {1，2，3}C. {1,2}D.{3}2.函数f(x)=cosx+sinx 的最小值为： A.2 B.-2 C.2 D.-23.设复数z=log 2(m 2-3m-3)+ilog 2(3-m)(m ∈R),若z 是纯虚数，则m=A.-1B.1C.4D.4或-14.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是：A.πB.2πC.4πD.6π 5.以抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦半径|PF|为直径的圆与y 轴位置关系是：A.相离B.相交C.相切D.不确定6.已知椭圆 的一条弦AB 所在的直线方程为x+2y=2，则椭圆的弦AB 的中点P 为：A.(1,2)B.(-1,2)C.（1，-21） D.（1，21） 7.如右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为： A.1229+π B.1829+π C.36π+18 D.9π+42 8.函数f(x)=x x 4212-+ 的单调递减区间是A. [-∞,-3]B. [-3，4]C. [3，4]D. [4，+∞]9.有三个分别标号为1、2、3的礼品盒，其中有一个盒子内放有一个耳机；三个盒子上各写有一句话，1号盒子上写着“该盒子没有耳机”，2号盒子上写着“该盒子内有耳机”，3号盒子上写着“2号盒子内没有耳机”；已知：这三句话中有且只有一句是真的。
河南省濮阳市2018届高三第三次模拟考试数学(文)试卷(含答案)
濮阳市2018届高三毕业班第三次模拟考试文科数学2018年4月注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}23y=-2,,x log 1P x x x x N Q x =++∈=<，则P Q ⋂= （ ） A.{}0,1,2B.{}1,2C.(]0,2D.()0,3（2）若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且112z i =-，则12z z = （ ） A.3455i +B.3455i -+C.3455i -- D.3455i - （3）在等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则9S = （ ）A.66B.99C.144D.297（4）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此三棱锥的最长的棱为（ ）A.22B.4 5D.3（5）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？“该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解，右图是解决这类问题的程序框图，若输入n=24，则输出的结果为（）A.23B.49C.24D.48（6）若正实数x，y满足4x+y=xy，则x+4y取最小值时，y的值为（）A.1B.2C.3D.5（7）函数[]2cos()(-2,2)1x xf x xx=∈+的大致图像是（）A B C D（8）将函数2sin3y x=的图像向右平移12π个单位长度，得到函数(x)y f=的图像，则下列说法不正确的是（）A.函数()f x的图像关于直线4xπ=对称 B.函数()f x的一个零点为012xπ=否是开始n=n-8结束n=0？S=n输出n输出SS=S+nS=S+1C.函数()f x 在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.函数()f x 的最小正周期为23π（9）若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos()42πβ-=，则cos()2βα+=（ ）A.9B.3-C.27D.9-（10）已知在四棱锥P-ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，且△PAB 底面ABCD（ ）A.74πB.4πC.16πD.7π（11）已知1F ，2F 为双曲线222:102x y C b b -=>（）的左右焦点，点A 为双曲线C 右支上一点，1AF 交左支于点B,2AF B ∆是等腰直角三角形，22AF B π∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.4B.C.2（12）若对于任意的正实数x ，y 都有y 2ln y xx e x me⎛⎫-≤⎪⎝⎭g 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A.1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭C.21,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D.510,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.（13）已知向量a=（1,2），b=（1,1），c=2a+kb ，若b ⊥c ，则a c =g _______.（14）在圆224x y +=上任取一点，则该点到直线0x y +-=的距离[0,1]d ∈的概率为_______.（15）已知实数x ，y 满足2202401x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩，且341x y m x ++=+，则实数m 的取值范围为_______.（16）已知数列{}n a ，令()()112122n n n P a a a n N n-+=+++∈L ，则称{}n P 为{}n a 的“伴随数列”，若数列{}n a 的“伴随数列”{}n P 的通项公式为()12n n P n N ++=∈，记数列{}n a kn -的前n项和为n S ，若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围为_______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且()()222sin sin sin R B A b c C -=-，c=3，（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若AD 是BC 边上的中线，192AD =,求△ABC 的面积.（18）（本小题满分12分）旅游公司规定：若一个导游一年内为公司挣取的旅游总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) 频数b1849245（Ⅰ）求a ，b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？（Ⅱ）若一个导游的奖金y （单位：万元）与其一年内旅游总收入x （单位：百万元）之间的关系为12022040340x y x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求甲公司导游的年平均奖金；（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[50,60)的总人数中，用分层抽样的方法随机抽取6人进行表彰，其中有两名导游代表旅游行业去参加座谈，求参加座谈的导游中有乙公司导游的概率.（19）（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B C ⊥平面11AA CC ,90ABC ∠=o . （Ⅰ）证明：1AC CA ⊥；（Ⅱ）若11A B C ∆是边长为2的等边三角形，求点1B 到平面ABC 的距离.（20）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且过点21,2⎛ ⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线2l 过坐标原点且斜率与直线1l 的斜率互为相反数.若直线2l 与椭圆交于E ，F 两点且均不与点A ，B 重合，试证明直线AE 的斜率与直线BF 的斜率之和为零.（21）（本小题满分12分） 已知函数()1ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中a R ∈. （Ⅰ）若a=1，求曲线()y f x =在点()()1,f 1P 处的切线方程； （Ⅱ）若对任意1x ≥，都有()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分.（22）[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）平面直角坐标系中，直线l的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-.（Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知与直线l 平行的直线l '过点M （2,0），且与曲线C 交于A ，B 两点，试求AB .（23）[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数()12f x x x =+--，()2g x x x a =--.（Ⅰ）当a=5时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[2,3]，求a 的取值范围.濮阳市2018届第三次模拟考试文科数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1.B 由题意，可得{}0,1,2P =，()0,3Q =，所以{}1,2P Q =I ,选B2.A 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且112z i =- ∴212z i =-- ∴()()()()121212124334121212555i i z ii i z i i i ---+==-==+--+- 故选A. 3.B 设公差为d ，()()36914727391262a a a a a a d ++-++=-=-=⇒-.14711393919a a a a d a ++=+=⇒=，根据等差数列的求和公式：91989992S a d ⨯=+⨯=。
河南省2018届高三最后一次模拟考试数学文科试题(精编含解析)
高三数学考试卷(文科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得集合Q和集合，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：因为,,所以.即.本题选择C选项.点睛：本题主要考查集合的交并补混合运算及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2. 已知复数,是它的共轭复数,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先求得复数z，然后结合复数乘法的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：因为,所以.本题选择A选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. 已知函数,,则的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得的范围，然后结合函数的解析式整理计算即可求得最终结果.详解：因为,所以. .即的值域是.本题选择B选项.点睛：本题主要考查函数的值域的求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 如图,在正六边形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设正六边形的边长为,分别求得阴影部分的面积和正六边形的面积，然后结合面积型几何概型计算公式即可求得最终结果.详解：设正六边形的边长为,与的交点为,易知,,所以,所求的概率为.本题选择D选项.点睛：本题主要考查几何概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 已知点是函数的图象上的两个点,若将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的图象的一条对称轴的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先求得函数的解析式，然后结合函数的解析式求解三角函数的对称轴即可.详解：因为,,所以.由，得，，所以.则，又,则函数的对称轴满足：，解得：，令可得函数的一条对称轴为：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角函数解析式的确定，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 《孙子算经》中有一道题:“今有木不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳[开始度之,不足一尺,木长几何?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余尺;将绳子对折再量木条,木条剩余尺,问木条长多少尺?解决本题的程序框图如图所示,则输出的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图的运行过程确定输出值即可.详解：程序运行时变量的数值变化如下：.此时跳出循环，输出.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．7. 如图为一个半圆柱,是等腰直角三角形,是线段的中点,,该半圆柱的体积为,则异面直线与所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得底面半径，然后找到异面直线所成的角，最后利用三角函数的定义求解异面直线所成角的正弦值即可.详解：设上底半圆的半径为,由,得.因为,所以.又异面直线与所成的角为，所以.本题选择B选项.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8. 函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由题意结合函数的奇偶性和函数的符号排除错误选项即可求得最终结果.详解：因为,所以是奇函数,排除.当时, ,所以；当时, ，,所以，排除B选项.本题选择C选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由一个直四棱柱挖去一个直三棱柱，根据三视图中的数据，可求得该几何体的表面积.详解：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由一个直四棱柱挖去一个直三棱柱，该几何体的形状如图所示，于是，，，，所以表面积，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点. 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10. 已知椭圆,作倾斜角为的直线交椭圆于两点,线段的中点为为坐标原点,若直线的斜率为,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先设出点A,B的坐标，然后结合点差法计算b的值即可.详解：设,,则，两式作差得.因为,所以.即.由,解得,即.本题选择B选项.点睛：本题主要考查点差法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 在平面直角坐标系中,已知三点,为坐标原点若向量与在向量方向上的投影相等,则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先确定点的轨迹方程，然后结合目标函数的几何意义即可求得最终结果.详解：因为向量与在向量方向上的投影相同,所以，即：,整理可得.即点在直线上.的最小值为原点到直线的距离的平方,因为，所以的最小值为.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查平面向量投影的概念，点到直线距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 已知函数的图象在点处的切线为,若也与函数的图象相切,则必满足（ ）A.B.C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先得到函数在两个切点处横坐标的关系，然后结合导数研究函数的单调性，据此整理计算即可求得最终结果.详解：由于,所以直线的方程为.因为也与函数的图象相切,令切点为,所以的方程为,因此有，又因为,所以，,令，，所以是上的增函数.因为，，所以.本题选择C选项.点睛：本题主要考查导数研究函数的切线方程，两曲线公切线的求解方法，函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，，则__________．【答案】【解析】分析：由题意结合同角三角函数基本关系首先求得sinx的值，然后化简三角函数式即可求得最终结果.详解：因为，所以.又，所以.点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14. 设实数满足约束条件,则的最大值为__________．【答案】11【解析】分析：作出可行域，变变形为，，平移直线，由图可知当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，将点代入，即可得结果.详解：作出约束条件表示的可行域，由可得，变变形为，，平移直线，由图可知当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，将点代入，可得取得最大值，故答案为.点睛：本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 已知的内角的对边分别为,且，则__________．【答案】【解析】分析：由题意结合正弦定理角化边可得，结合余弦定理求得c的长度，最后利用正弦定理即可求得最终结果.详解：因为,所以.由余弦定理得，又，所以.，所以.由正弦定理得，即，解得.点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 设分别是双曲线的左、右焦点,为过焦点的弦(在双曲线的同一支上),且.若,则双曲线的离心率为__________．【答案】2【解析】分析：由题意首先求得的值，然后求解双曲线的离心率即可.详解：因为，所以，由此可得，所以 .点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17. 知数列的前项和,数列满足.(1)求数列和的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1)，.(2).【解析】分析：(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为.则.（2）结合(1)中的结论错位相减可得数列的前项和.详解：(1)在中,令,得，当时, ,所以.由于满足,所以.因为,所以.（2）由（1）知，所以，①则.②①-②得，所以.点睛：数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18. 某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：（1)根据数据可知与之间存在线性相关关系(i)求出关于的线性回归方程(系数精确到);(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元,根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；(2)公司在2017年年终总结时准备从该年8~12月份这5个月中抽取3个月的数据进行重点分析,求没有抽到9月份数据的概率.参考数据:，.参考公式:对于一组数据,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:，.【答案】(1)(i);(2)6.415万台.(2).【解析】分析：(1)(i)由题意结合系数的计算公式可得线性回归方程为.(ii)由回归方程可预测当月产品的销量为万台.(2)由题意可知，题中的事件共有种基本事件,满足题意的事件有种基本事件，则概率.详解：(1)(i)因为,所以，，所以关于的线性回归方程为.(ii)当时, (万台).(2)记月份这个月的数据分别为,从中抽取个月的所有基本事件有:,共种基本事件,没有抽到月份的有共种基本事件，所以概率.19. 如图,在三棱柱中,四边形是矩形,,平面平面.(1)证明:；(2)若,是线段上的一点,且三棱锥的体积为，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2)3.（2）由(1)可知平面,则，，故.详解：(1) 在三棱柱中,，.又.平面.设与相交于点,与相交于点,连接，四边形与均是平行四边形，,平面，，又平面平面,且相交于,平面,，四边形是菱形，从而.（2）由(1)可知平面,在中, ，，，，.点睛：本题主要考查空间位置关系，椎体的体积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. 设是坐标原点,是抛物线的焦点,是该抛物线上的任意一点,当与轴正方向的夹角为时, .(1)求抛物线的方程；(2)已知,设是该抛物线上的任意一点,是轴上的两个动点,且，,当计取得最大大值时，求的面积.【答案】(1)；(2)4.【解析】分析：（1）设 ，结合抛物线的定义和题意可得,则抛物线的方程为.(2)由题意可知点在线段的中垂线上，设,则，结合两点之间距离公式和均值不等式可得 .此时.详解：（1）设 ，则由抛物线的定义得.当与轴正方向的夹角为时,,即.又,所以,抛物线的方程为.(2)因为,所以点在线段的中垂线上，设,则，所以，，，所以.当且仅当时等号成立,此时.所以 .点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．21. 已知函数.(1)试讨论的单调区间；(2)当时,存在使得成立.求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：(1)函数,定义域为，且.据此可得在上单调递增,在上单调递减.(2)结合(1)的结论可知,则,当时取等号.令,则，据此可得，据此计算可得.详解：(1)因为,定义域为，所以.当时, ,在上单调递减;当时,由得,由得，所以在上单调递增,在上单调递减.(2)当时,由(1)知, 在上单调递增,在上单调递减，所以,所以, ,当时取等号.令,则，当时, ;当时, ,从而在上单调递增，在上单调递减,所以，所以存在使得成立,只需，解得，.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系中,已知倾斜角为的直线经过点.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出曲线的普通方程;(2)若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】分析：(1)利用极坐标与直角坐标互化的公式可得曲线的普通方程为.(2)联立直线的参数方程与C的二次方程可得.结合直线参数的几何意义有.利用三角函数的性质可知的取值范围是.详解：(1)由得.将，代入上式中,得曲线的普通方程为.(2)将的参数方程 (为参数)代入的方程,整理得.因为直线与曲线有两个不同的交点，所以,化简得.又,所以，且.设方程的两根为,则，，所以,所以.由，得，所以,从而，即的取值范围是.点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23. 知函数.(1)当时,求的解集;(2)已知，若对于,都有成立,求的取值范围.【答案】(1)或.(2).【解析】分析：(1)当时零点分段可得不等式的解集为或.(2)由题意可知，原不等式等价于.结合二次函数的性质可得，求解关于a的不等式组可得的取值范围为.详解：(1)当时等价于,因为，所以或，或，解得或,所以解集为或.(2)当，且时, ，所以,即.又的最大值必为之一,所以，即，解得，所以的取值范围为.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2018年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)
（1）我校共有 名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于 的有 人，语文成绩特别优秀的概率为 ＝ ＝ ，语文特别优秀的同学有 ＝ 人，数学成绩特别优秀的概率为 ＝ ＝ ，数学特别优秀的同学有 ＝ 人；
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
解不等式求得集合 ，化简集合 ，根据交集的定义写出 ．
【解答】
集合 ，
，
则 ．
2.
【答案】
A
【考点】
复数的模
【解析】
把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
【解答】
由 ，得 ，
∴ ．
3.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 ， 的值，当 时满足条件 ，退出循环，输出 的值，观察规律即可得解．
从而可得： ，即 ，
又 为三角形内角，
所以 ，
于是 ，
又 为三角形内角，
所以 ．
Ⅱ 由余弦定理： ，得： ，
所以 ，
所以 ，即 面积的最大值为 ．
【答案】
（1）我校共有 名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于 的有 人，语文成绩特别优秀的概率为 ＝ ＝ ，语文特别优秀的同学有 ＝ 人，数学成绩特别优秀的概率为 ＝ ＝ ，数学特别优秀的同学有 ＝ 人；
【解答】
实数 ， 满足： 作出可行域，
目标函数 ，
由 解得 ，
的最优解对应的点为 ，
故 ．
【答案】
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解函数值即可．
【解答】
解：函数
2018年河南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)
2018年河南省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|x2−2x−3<0}，B={x|−3<x<3}，则A∩B=()A.(−3, 3)B.(−3, 6)C.(−1, 3)D.(−3, 1)2. 若复数z=4i1−i（i是虚数单位），则z=()A.−2+2iB.−2−2iC.2+2iD.2−2i3. 下列说法中，正确的是（）A.命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B.命题“∃x∈R，x2−x>0”的否定是“∀x∈R，x2−x≤0”C.命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D.已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件4. 在一组样本数据(x1, y1)，(x2, y2)，…，(x n, y n)（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点(x i, y i)(i＝1, 2,…,n)都在直线y＝−3x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A.−3B.0C.−1D.15. 已知函数f(x)=e x在点（0, f(0)）处的切线为l，动点(a, b)在直线l上，则2a+2−b 的最小值是（）A.4B.2C.2√2D.√26. 执行如图所示的程序框图，则输出n的值为（）A.14B.13C.12D.117. 函数y＝sin(2x−π6)的图象与函数y＝cos(x−π3)的图象（）A.有相同的对称轴但无相同的对称中心B.有相同的对称中心但无相同的对称轴C.既有相同的对称轴也有相同的对称中心D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴8. 三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小的锐角α满足sinα+cosα=75，现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A.125B.15C.925D.359. 已知四棱锥P −ABCD 是三视图如图所示，则围成四棱锥P −ABCD 的五个面中的最大面积是（ ）A.3B.6C.8D.1010. 设F 1、F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|+|PF 2|=6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30∘，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A.x ±√2y =0 B.√2x ±y =0 C.x ±2y =0 D.2x ±y =011. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且a n =2n +λ，若数列{S n }在{n|n ≥5, n ∈N +}内为递增数列，则实数λ的取值范围为（ ） A.(−3, +∞) B.(−10, +∞) C.[−11, +∞) D.(−12, +∞)12. 定义域为[a, b]的函数y =f(x)的图象的两个端点分别为A （a, f(a)），B （b, f(b)），M(x, y)是f(x)图象上任意一点，其中x =λa +(1−λ)b(0<λ<1)，向量BN →=λBA →．若不等式|MN →|≤k 恒成立，则称函数f(x)在[a, b]上为“k 函数”．若函数y =x +1x 在[1, 2]上为“k 函数”，则实数k 的取值范围是（ ）A.[0, +∞)B.[32−√2,+∞) C.[1, +∞)D.[32+√2,+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分.已知实数x ，y 满足不等式组{2x −y ≤0x +y −3≥0x +2y ≤6 ，则z =x −y −1的最小值为________．已知点A(0, 1)，B(1, −2)，向量AC →=(4,−1)，则|BC →|=________．已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则 MN 中点的横坐标为________．设函数y =f(x)的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1+x 2=2a 时，恒有f(x 1)+f(x 2)=2b ，则称点(a, b)为函数y =f(x)图象的对称中心．研究函数f(x)=2x +3cos(π2x)−3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f(12018)+f(22018)+⋯+f(40342018)+f(40352018)的值为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知a 2+4S =b 2+c 2． （1）求角A ；（2）若a =√2，b =√3，求角C ．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，M ，N 分别是PA ，BC 的中点，且AD =2PD =2． （1）求证：MN // 平面PCD ；（2）求点N 到平面PAB 的距离．进入12月以来，在华北地区连续出现两次重污染天气的严峻形势下，我省坚持保民生，保蓝天，各地严格落实机动车限行等一系列“管控令”．某市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的态度，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车的情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：度与是否拥有私家车有关”；(II)为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按是否拥有私家车分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少有1人没有私家车的概率， 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(b+d)，其中n =a +b +c +d在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√32，F 1，F 2分别为左、右焦点，过F 1的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，且△PQF 2的周长为8． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M(3, 0)的直线交椭圆C 于不同两点A ，B ．N 为椭圆上一点，且满足OA →+OB →=tON →（O 为坐标原点），当|AB|<√3时，求实数t 的取值范围．已知函数f(x)=a(x 2−x)−lnx(a ∈R)． （1）若f(x)在x =1处取得极值，求a 的值；（2）若f(x)≥0在[1, +∞)上恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，已知直线l:ρsin(θ+π3)=√32m ，曲线C:{x =1+√3cosθy =√3sinθ（θ为参数）．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若|AB|≥3，求实数m 的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x −1|+|x +2|，g(x)＝|x +1|−|x −a|+a ． （1）求解不等式f(x)>3；（2）对于∀x 1，x 2∈R ，使得f(x 1)≥g(x 2)成立，求a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年河南省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．【解答】集合A={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，B={x|−3<x<3}，则A∩B={x|−1<x<3}=(−1, 3)．2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】z=4i1−i =4i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i，则z=−2−2i．3.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】A先写出逆命题再利用不等式性质判断；B中“∃x∈R，x2−x>0”为特称命题，否定时为全称命题；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可；D应为必要不充分条件．【解答】A“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是“若a<b，则am2<bm2”，m=0时不正确；B中“∃x∈R，x2−x>0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D应为必要不充分条件．4.【答案】C【考点】相关系数【解析】根据所有数据的样本点都在一条直线上，这组样本数据完全负相关，其相关系数为−1．【解答】在一组样本数据的散点图中，所有样本点(x i, y i)(i＝1, 2,…,n)都在一条直线y＝−3x+1上，那么这组样本数据完全负相关，且相关系数为−1．5.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】根据题意，由函数的解析式以及导数的几何意义计算可得切线l的方程，将动点(a, b)的坐标代入切线的方程可得b=a+1，进而可得2a+2−b=2a+2−(a+1)=2a+12∗2a，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)=e x，有f(0)=e0=1，即切点的坐标为(0, 1)，f(x)=e x，则f′(x)=e x，有f′(0)=e0=1，即切线的斜率为1，则函数f(x)=e x在点（0, f(0)）处的切线为y−1=x，即y=x+1，若动点(a, b)在直线l上，则b=a+1，2a+2−b=2a+2−(a+1)=2a+12∗2≥2√2a×12×2=√2，即2a+2−b的最小值是√2，6.【答案】B【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】第一次执行循环体后，S=1，n=3，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S=13，n=5，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S=115，n=7，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S=1105，n=9，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，S=1945，n=11，不满足退出循环的条件；第六次执行循环体后，S=110395，n=13，满足退出循环的条件；帮输出的n=13，7.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解． 【解答】由2x −π6=kπ+π2，k ∈Z ，可解得函数y ＝sin(2x −π6)的对称轴为：x =kπ2+π3，k ∈Z ．由x −π3=kπ，k ∈Z ，可解得函数y ＝cos(x −π3)的对称轴为：x ＝kπ+π3，k ∈Z ． k ＝0时，二者有相同的对称轴．由2x −π6=kπ，k ∈Z ，可解得函数y ＝sin(2x −π6)的对称中心为：(kπ2+π12, 0)，k ∈Z ． 由x −π3=kπ+π2，k ∈Z ，可解得函数y ＝cos(x −π3)的对称中心为：(kπ+5π6, 0)，k ∈Z ． 设k 1π2+π12=k 2π+5π6，k 1，k 2∈Z ，解得：k 1＝2k 2+32，与k 1，k 2∈Z 矛盾．故2函数没有相同的对称中心． 8.【答案】 A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】求出sinα，从而求出三角形的三边的关系，分别表示出大正方形和小正方形的面积，求商即可． 【解答】由{sinα+cosα=75sin 2α+cos 2α=1 ， 解得：sinα=35，（sinα=45舍），不妨，三角形斜边的长即正方形的边长是5， 则较小直角边的长是3，较大直角边的长是4， 故小正方形的边长是1，故大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， 故满足条件的概率p =125， 9.【答案】 C【考点】由三视图求体积【解析】几何体为四棱锥，根据三视图判断四棱锥的一个侧面与底面垂直，判断各面的形状及三视图的数据对应的几何量，求出棱锥的高及侧面SBC的斜高，代入面积公式计算，比较可得答案．【解答】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，底面为矩形，矩形的边长分别为2、4，底面面积=2×4=8；由正视图可得四棱锥的高为√32−22=√5，△SAD的面积为12×4×√5=2√5，侧面SAB与侧面SCD为直角三角形，其面积为3×2×12=3，侧面SBC为等腰三角形，底边上的高为√5+22=3，∴△SBC的面积为12×4×3=6．10.【答案】B【考点】双曲线的特性【解析】设|PF1|>|PF2|，由已知条件求出|PF1|=4a，|PF2|=2a，e=√3，进而求出b=√2a，由此能求出双曲线C:x2a2−y2b2=1的渐近线方程．【解答】设|PF1|>|PF2|，则|PF1|−|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30∘，∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2−2|PF1|⋅|F1F2|cos30∘，∴(2a)2=(4a)2+(2c)2−2×4a×2c×√32，同时除以a2，化简e2−2√3e+3=0，解得e=√3，∴c=√3a，∴b=√3a2−a2=√2a，∴双曲线C:x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax=±√2x，即√2x±y=0．11.【答案】D【考点】等差数列的通项公式【解析】由等差数列的通项公式求出首项和公差，代入等差数列的前n项和公式，由关于n的二次函数的对称轴的位置求得λ的范围．【解答】在等差数列{a n}中，由a n=2n+λ，得：a 1=2+λ，d =2． ∴ S n =na 1+n(n−1)2d =n(2+λ)+2n(n−1)2=n 2+(λ+1)n ．其对称轴方程为n =−λ+12，要使数列{S n }在{n|n ≥5, n ∈N +}内为递增数列， 则−λ+12<112，即λ>−12．12.【答案】 B【考点】函数恒成立问题 【解析】先得出M 、N 横坐标相等，再将恒成立问题转化为求函数的最值问题． 【解答】由题意，M 、N 横坐标相等，|MN →|≤k 恒成立，即|MN →|max ≤k ， 由N 在AB 线段上，得A(1, 0)，B(2, 52)， ∴ 直线AB 方程为y =12(x +3)∴ |MN →|=|y 1−y 2|=|x +1x−12(x +3)|=|x 2+1x−32|，∵ x 2+1x ≥2√x 2∗1x=√2，且x 2+1x ≤32，∴ |MN →|=|x 2+1x−32|=32−(x 2+1x)≤32−√2，即|MN →|的最大值为32−√2， ∴ k ≥32−√2．二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 【答案】 −4【考点】简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到使目标函数取得最小值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】由实数x ，y 满足不等式组{2x −y ≤0x +y −3≥0x +2y ≤6作可行域如图，由z =x −y −1 可得y =x −z −1．有图形可知，当直线y =x −z 过可行域内的点A(0, 3)时，直线在y 轴上的截距最大，即z 最小．∴z min=0−3−1=−4．【答案】√13【考点】向量的概念与向量的模【解析】设出C(x, y)，求出x，y的值，求出BC→，从而求出其模即可．【解答】设C(x, y)，则AC→=(x, y−1)=(4, −1)，故x=4，y=0，故C(4, 0)，故BC→=(3, 2)，故|BC→|=√9+4=√13，【答案】2【考点】抛物线的求解【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出x1+x2=4，即可求出MN中点的横坐标．【解答】∵F是抛物线y2=4x的焦点∴F(1, 0)，准线方程x=−1，设M(x1, y1)，N(x2, y2)∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，解得x1+x2=4，∴线段MN的中点横坐标为2，【答案】−4035【考点】正弦函数的奇偶性【解析】根据题意知函数f(x)图象的对称中心坐标为(1, −1)，即x1+x2=2时，总有f(x1)+ f(x2)=−2，再利用倒序相加，即可得到结果．【解答】函数f(x)=2x+3cos(π2x)−3，f(1)=2−3=−1，当x1+x2=2时，f(x1)+f(x2)=2x1+2x2+3cos(π2x1)+3cos(π2x2)−6=2×2+0−6=−2，∴f(x)的对称中心为(1, −1)，∴ f(12018)+f(22018)+⋯+f(40342018)+f(40352018)=f(12018)+f(40352018)+f(22018)+f(40342018)+...+f(20182018) =−2×(2017)−1 =−4035．故答案为：−4035．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 【答案】∵ S =12bcsinA ，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，∴ a 2+4S =b 2+c 2−2bccosA +2bcsinA =b 2+c 2， ∴ tanA =1．又∵ A ∈(0, π)， ∴ A =π4．在△ABC 中，由正弦定理，得asinA =bsinB ，即sinB =bsinA a=√32． ∵ b >a ，0<B <π， ∴ B =π3或B =2π3，∴ C =5π12或C =π12． 【考点】余弦定理 【解析】（1）根据余弦定理和三角形的面积公式化简即可得出sinA =cosA ，从而得出A 的值； （2）利用正弦定理求出B ，再根据内角和求出C ． 【解答】∵ S =12bcsinA ，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，∴ a 2+4S =b 2+c 2−2bccosA +2bcsinA =b 2+c 2， ∴ tanA =1．又∵ A ∈(0, π)， ∴ A =π4．在△ABC 中，由正弦定理，得asinA =bsinB ，即sinB =bsinA a=√32． ∵ b >a ，0<B <π， ∴ B =π3或B =2π3，∴ C =5π12或C =π12． 【答案】取AD 中点E ，连接ME ，NE ， 因为M ，N 是PA ，BC 的中点，在△PAD 与正方形ABCD 中，ME // PD ，NE // CD ，所以ME // 平面PCD，NE // 平面PCD，所以平面MNE // 平面PCD，所以MN // 平面PCD．设点N到平面PAB的距离为ℎ，∵V N−PAB=V P−NAB，∴13S△PABℎ=13S△NAB PD．∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BA．∵BA⊥DA，∴BA⊥平面PAD，∴BA⊥PA，PA=√22+12=√5，∴S△PAB=12√5∗2=√5．又∵S△NAB=14S正方形ABCD=1，PD=1，∴13√5ℎ=13，∴ℎ=√55．∴点N到平面PAB的距离为√55．【考点】直线与平面平行点、线、面间的距离计算【解析】（1）取AD中点E，连接ME，NE，推导出ME // 平面PCD，NE // 平面PCD，从而平面MNE // 平面PCD，由此能证明MN // 平面PCD．（2）设点N到平面PAB的距离为ℎ，由V N−PAB=V P−NAB，能求出点N到平面PAB的距离．【解答】取AD中点E，连接ME，NE，因为M，N是PA，BC的中点，在△PAD与正方形ABCD中，ME // PD，NE // CD，所以ME // 平面PCD，NE // 平面PCD，所以平面MNE // 平面PCD，所以MN // 平面PCD．设点N到平面PAB的距离为ℎ，∵V N−PAB=V P−NAB，∴13S△PABℎ=13S△NAB PD．∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BA．∵BA⊥DA，∴BA⊥平面PAD，∴BA⊥PA，PA=√22+12=√5，∴S△PAB=12√5∗2=√5．又∵S△NAB=14S正方形ABCD=1，PD=1，∴13√5ℎ=13，∴ℎ=√55．∴点N到平面PAB的距离为√55．【答案】（1）K2=220×(20×70−40×90)260×160×110×110=556≈9.167<10.828，∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”．（2）设从没有私家车的人中抽取x人，从有私家车的人中抽取y人，由分层抽样的定义知660=x20=y40，解得x=2，y=4，在抽取的6人中，没有私家车有2人，有私家车的有4人，则所有的基本事件个数n=C63=20，3人中至少有1人没有私家车包含的基本事件个数m=C21C42+C43=16，∴3人中至少有1人没有私家车的概率p=mn =1620=45．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】(Ⅰ)求出K2=556≈9.167<10.828，从而在犯错误的概率不超过0.001的前提下不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”．(Ⅱ)设从没有私家车的人中抽取x人，从有私家车的人中抽取y人，由分层抽样的定义知660=x20=y40，从而得x=2，y=4，在抽取的6人中，没有私家车有2人，有私家车的有4人，由此能求出3人中至少有1人没有私家车的概率．【解答】（1）K2=220×(20×70−40×90)260×160×110×110=556≈9.167<10.828，∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”．（2）设从没有私家车的人中抽取x人，从有私家车的人中抽取y人，由分层抽样的定义知660=x20=y40，解得x=2，y=4，在抽取的6人中，没有私家车有2人，有私家车的有4人，则所有的基本事件个数n =C 63=20，3人中至少有1人没有私家车包含的基本事件个数m =C 21C42+C 43=16， ∴ 3人中至少有1人没有私家车的概率p =m n=1620=45．【答案】 ∵ e 2=c 2a2=a 2−b 2a 2=34，∴ a 2=4b 2．又∵ 4a =8，∴ a =2，∴ b 2=1，∴ 椭圆C 的方程是x 24+y 2=1．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，N(x, y)，AB 的方程为y =k(x −3)， 由{y =k(x −3)x 24+y 2=1 ，整理得(1+4k 2)x 2−24k 2x +36k 2−4=0． 由△=242k 4−16(9k 2−1)(1+4k 2)>0，得k 2<15． ∵ x 1+x 2=24k 21+4k 2，x 1⋅x 2=36k 2−41+4k 2，∴ OA →+OB →=(x 1+x 2,y 1+y 2)=t(x, y)，则x =1t (x 1+x 2)=24k 2t(1+4k 2)，y =1t (y 1+y 2)=1t [k(x 1+x 2)−6k]=−6kt(1+4k 2)． 由点N 在椭圆上，得(24k 2)2t 2(1+4k 2)2+144k 2t 2(1+4k 2)2=4，化简得36k 2=t 2(1+4k 2)．① 又由|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|<√3，即(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]<3， 将x 1+x 2，x 1x 2代入得(1+k 2)[242k 4(1+4k 2)2−4(36k 2−4)1+4k 2]<3，化简，得(8k 2−1)(16k 2+13)>0，则8k 2−1>0，k 2>18，∴ 18<k 2<15．② 由①，得k 2=t 236−4t2，联立②，解得3<t 2<4． ∴ −2<t <−√3或√3<t <2，即t ∈(−2,−√3)∪(√3,2)． 【考点】椭圆的标准方程 圆锥曲线的综合问题 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）利用已知条件，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，N(x, y)，AB 的方程为y =k(x −3)，由{y =k(x −3)x 24+y 2=1 ，整理得(1+4k 2)x 2−24k 2x +36k 2−4=0．利用判别式以及韦达定理，结合OA →+OB →=(x 1+x 2,y 1+y 2)=t(x, y)，求出N 的坐标，代入椭圆方程，利用弦长公式，化简不等式，求出K 的范围，然后求解t 的范围．【解答】∵ e 2=c 2a2=a 2−b 2a 2=34，∴ a 2=4b 2．又∵ 4a =8，∴ a =2，∴ b 2=1，∴ 椭圆C 的方程是x 24+y 2=1．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，N(x, y)，AB 的方程为y =k(x −3)， 由{y =k(x −3)x 24+y 2=1 ，整理得(1+4k 2)x 2−24k 2x +36k 2−4=0． 由△=242k 4−16(9k 2−1)(1+4k 2)>0，得k 2<15． ∵ x 1+x 2=24k 21+4k 2，x 1⋅x 2=36k 2−41+4k 2，∴ OA →+OB →=(x 1+x 2,y 1+y 2)=t(x, y)，则x =1t (x 1+x 2)=24k 2t(1+4k 2)，y =1t (y 1+y 2)=1t [k(x 1+x 2)−6k]=−6kt(1+4k 2)． 由点N 在椭圆上，得(24k 2)2t 2(1+4k 2)2+144k 2t 2(1+4k 2)2=4，化简得36k 2=t 2(1+4k 2)．① 又由|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|<√3，即(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]<3， 将x 1+x 2，x 1x 2代入得(1+k 2)[242k 4(1+4k 2)2−4(36k 2−4)1+4k 2]<3，化简，得(8k 2−1)(16k 2+13)>0，则8k 2−1>0，k 2>18，∴ 18<k 2<15．② 由①，得k 2=t 236−4t 2，联立②，解得3<t 2<4．∴ −2<t <−√3或√3<t <2，即t ∈(−2,−√3)∪(√3,2)． 【答案】f ′(x)=2ax −a −1x ，∵ f(x)在x =1处取到极值，∴ f ′(1)=0，即a −1=0，∴ a =1．经检验，a =1时，f(x)在x =1处取到极小值． f ′(x)=2ax 2−ax−1x，令g(x)=2ax 2−ax −1(x ≥1)，①当a =0时，f ′(x)=−1x<0，f(x)在[1, +∞)上单调递减．又∵ f(1)=0，∴ x ≥1时，f(x)≤0，不满足f(x)≥0在[1, +∞)上恒成立． ②当a >0时，二次函数g(x)开口向上，对称轴为x =14，过(0, −1)．a ．当g(1)≥0，即a ≥1时，g(x)≥0在[1, +∞)上恒成立， ∴ f ′(x)≥0，从而f(x)在[1, +∞)上单调递增．又∵ f(1)=0，∴ x ≥1时，f(x)≥0成立，满足f(x)≥0在[1, +∞)上恒成立． b ．当g(1)<0，即0<a <1时，存在x 0>1，使x ∈(1, x 0)时，g(x)<0，f(x)单调递减；x ∈(x 0, +∞)时，g(x)>0，f(x)单调递增，∴ f(x 0)<f(1)． 又∵ f(1)=0，∴ f(x 0)<0，故不满足题意．③当a <0时，二次函数g(x)开口向下，对称轴为x =14，g(x)在[1, +∞)上单调递减，g(1)=a −1<0，∴ g(x)<0，f(x)在[1, +∞)上单调递减． 又∵ f(1)=0，∴ x ≥1时，f(x)≤0，故不满足题意． 综上所述，a ≥1． 【考点】利用导数研究函数的极值 函数恒成立问题 【解析】（1）求出f ′(x)=2ax −a −1x ，利用f(x)在x =1处取到极值，列出方程求出a ，即可． （2）f ′(x)=2ax 2−ax−1x，令g(x)=2ax 2−ax −1(x ≥1)，通过①当a =0时，②当a >0时，③当a <0时，判断导函数的符号以及函数的单调性，求解函数的最值，推出结果即可． 【解答】f ′(x)=2ax −a −1x ，∵ f(x)在x =1处取到极值，∴ f ′(1)=0，即a −1=0，∴ a =1．经检验，a =1时，f(x)在x =1处取到极小值． f ′(x)=2ax 2−ax−1x，令g(x)=2ax 2−ax −1(x ≥1)，①当a =0时，f ′(x)=−1x<0，f(x)在[1, +∞)上单调递减．又∵ f(1)=0，∴ x ≥1时，f(x)≤0，不满足f(x)≥0在[1, +∞)上恒成立． ②当a >0时，二次函数g(x)开口向上，对称轴为x =14，过(0, −1)．a ．当g(1)≥0，即a ≥1时，g(x)≥0在[1, +∞)上恒成立， ∴ f ′(x)≥0，从而f(x)在[1, +∞)上单调递增．又∵ f(1)=0，∴ x ≥1时，f(x)≥0成立，满足f(x)≥0在[1, +∞)上恒成立． b ．当g(1)<0，即0<a <1时，存在x 0>1，使x ∈(1, x 0)时，g(x)<0，f(x)单调递减；x ∈(x 0, +∞)时，g(x)>0，f(x)单调递增，∴ f(x 0)<f(1)． 又∵ f(1)=0，∴ f(x 0)<0，故不满足题意．③当a <0时，二次函数g(x)开口向下，对称轴为x =14，g(x)在[1, +∞)上单调递减，g(1)=a −1<0，∴ g(x)<0，f(x)在[1, +∞)上单调递减． 又∵ f(1)=0，∴ x ≥1时，f(x)≤0，故不满足题意． 综上所述，a ≥1．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】直线l:ρsin(θ+π3)=√32m ，展开可得ρ(12sinθ+√32cosθ)=√32m ， 化为直角坐标方程为√3x +y −√3m =0， 曲线C:{x =1+√3cosθy =√3sinθ，可化为(x −1)2+y 2=3．∵ 曲线C 是以(1, 0)为圆心的圆， 圆心到直线l 的距离d =√32|1−m|，∴ |AB|=2√3−d 2≥3， ∴ d 2≤34，解得0≤m ≤2．∴ 实数m 的取值范围为[0, 2]． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）利用点到直线的距离公式求出结果． 【解答】直线l:ρsin(θ+π3)=√32m ，展开可得ρ(12sinθ+√32cosθ)=√32m ，化为直角坐标方程为√3x +y −√3m =0，曲线C:{x =1+√3cosθy =√3sinθ， 可化为(x −1)2+y 2=3．∵ 曲线C 是以(1, 0)为圆心的圆， 圆心到直线l 的距离d =√32|1−m|，∴ |AB|=2√3−d 2≥3， ∴ d 2≤34，解得0≤m ≤2．∴ 实数m 的取值范围为[0, 2]． [选修4-5：不等式选讲] 【答案】由{x ≤−2−3x −1>3 或{−2<x <12−x +3>3 或{x ≥123x +1>3 ， 解得：x <0或x >23，∴ 不等式的解集为：(−∞, 0)∪(23, +∞)； 当x =12时，f(x)min =52；g(x)max ＝|a +1|+a ，由题意得f(x)min ≥g(x)max ，得|a +1|+a ≤52，即|a +1|≤52−a ，∴ {52−a ≥0(a +1)2≤(52−a)2 ， 解得：a ≤34．【考点】绝对值三角不等式 【解析】（1）通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）求出f(x)的最小值和g(x)的最大值，得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】由{x ≤−2−3x −1>3 或{−2<x <12−x +3>3 或{x ≥123x +1>3 ， 解得：x <0或x >23，∴ 不等式的解集为：(−∞, 0)∪(23, +∞)； 当x =12时，f(x)min =52；g(x)max ＝|a +1|+a ，由题意得f(x)min ≥g(x)max ，得|a +1|+a ≤52，即|a +1|≤52−a ， ∴ {52−a ≥0(a +1)2≤(52−a)2， 解得：a ≤34．。
河南省商丘市2018届高三第二次模拟考试文科数学试题(解析卷)
河南省商丘市2017-2018高三第二次模拟考试试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}290A x x =-≤，集合{}10B x x =->，则A B =（ ）A. ()1,3B. (]1,3C. [)3,1-D. ()3,1-【答案】C 【解析】由题得{|33}A x x =-≤≤,{|1}B x x =<,{|33}{x|x<1}A B x x ∴⋂=-≤≤⋂,={|31}x x -≤<,故选C.2. 复数352z i =+（i 是虚数单位）的共轭复数z =（ ） A. 2i + B. 2i -C. 2i --D. 2i -+【答案】B 【解析】由题得()()()225251051052,222215i i i z i i i i +++=====+--++所以共轭复数2z i =-,故选B. 3. 设函数()()()2212log 02x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩,若()3f m =,则实数 m 的值为( ) A. -2 B. 8 C. 1 D. 2【答案】D 【解析】当m≥2时，2213,4,2,2, 2.m m m m m -=∴=∴=±≥∴=当0<m<2时，32log 3,28,02,.m m m m φ=∴==<<∴∈综上所述m=2,故选D.4. 已知平面向量()()1,2,,1a b k =-=，且a b ⊥，则a b +在a 上的投影为（ ）A.B. 2C.D. 1【答案】A 【解析】因为a b ⊥，所以(1)210, 2.k k -⨯+⨯=∴=所以(1,3),a b += 所以221310,5,a b a +=+==所以a b ⊥在a 上的投影为()cos 105a b a a b a b aα+⋅+=⋅==+故选A.5. 设1F 和2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，若点()120,2,,P b F F 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B.7C.3D.3【答案】C 【解析】因为点()120,2,,P b F F 是等腰直角三角形的三个顶点，所以2b=c,所以2222222222444,4(),34,,,33c b c c a c c a e e a =∴-=∴=∴=∴=∴=故选C.6. 已知数列{}n a 满足()*111,2n n a a a n N +=-≥∈，则（ ） A. 21n a n ≥+ B. 2n S n ≥C. 12n n a -≥ D. 12n n S -≥【答案】B 【解析】由题得21324312,2,2,,2,n n a a a a a a a a --≥-≥-≥-≥213243112(1),2(1),2 1.n n n n a a a a a a a a n a a n a n -∴-+-+-++-≥-∴-≥-∴≥-1231231,3,5,,21,13521n n a a a a n a a a a n ∴≥≥≥≥-∴++++≥++++-，2(121).2n nS n n ∴≥+-=故选B. 点睛：类比想象是数学想象的一种，看到1(n n a a f n +-=），我们要想到累加法，这里不是等式，是不等式，我们也可以累加得到21n a n ≥-，再利用累加得到2n S n ≥.7. 执行如图的程序框图，若输入的是9k =，则输出的S =（ ）A. 10B. 15C. 21D. 28【答案】A 【解析】运行程序如下:n=1,s=1,1<9,n=2,s=3;3<9.n=3,s=6, 6<9,n=4,s=10,10>9,s=10. 故选A.8. 将函数()sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后，得到()y g x =，()g x 为偶函数，则ω的最小值为（ ） A. 1 B. 2C.12D.32【答案】B 【解析】 将函数()sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后，得到()sin[()]sin[]3636w y g x w x wx ππππ==-+=-+，由于函数g(x)为偶函数，所以min +31,3(1)1 2.362w k w k w ππππ-+=∴=--∴=-⨯--=，故选B. 9. 函数f （x ）=ln|11xx+-|的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 因为()()11lnln 11x xf x f x x x-+-==-=-+-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，可排除,A C ；由()2ln30f =>,可排除B ，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10. 已知正方形ABCD 如图所示，其中AC ，BD 相交于O 点，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别为AD ，AO ，DO ，BC ，BO ，CO 的中点，阴影部分中的两个圆分别为ABO ∆与CDO ∆的内切圆，若往正方形ABCD 中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为（ ）A.1(22)π+-B.1(422)π+-C.1(642)π+-D.1(622)π+-【答案】C 【解析】依题意，不妨设2AO =，则四边形EFOG 与四边形HIOJ 的面积之和为2S =，两个内切圆的面积之和为((2'222122S ππ=⨯⨯-=-，故所求概率((212821164284P π+-+-==，故选C.11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3πB. 2πC.53π D.43π【答案】C 【解析】由三视图可知，原几何体左边是半边圆柱，圆柱上面是14个球，几何体右边是一个圆锥，且圆锥的顶点和球心重合.所以几何体的体积为2311421243ππ⋅⨯+⨯⨯ 211512.233ππ+⨯⨯⨯⨯=故选C. 12. 定义在R 上的函数()f x 满足：()()()1,05f x f x f >'=+，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()() 41x e f x -> (其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A . ()0,∞+ B. ()(),03,-∞+∞ C. ()(),01,-∞⋃+∞ D. ()3,+∞【答案】A 【解析】 设g(x)=()()1x e f x -,()(()1)()(()()1),()()1,()0,x x x g x e f x e f x e f x f x f x f x g x ∴=-+=+-+>''∴'>''所以函数g(x)R 上单调递增.因为()05f =，所以g(0)=4,因为()()14xe f x ->，所以g(x)>g(0),所以x>0.故选A.点睛：构造函数，再研究函数的性质，再利用函数的性质解题，是函数里的一个常用技巧.本题就利用了这个技巧，先构造函数g(x)=()()1xe f x -,再分析函数g(x)的单调性和特殊点，最后利用函数的性质解答.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若x ，y 满足1203220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为__________．【答案】1- 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出不等式组1203220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩对应的平面区域，如图，由3z x y =-得3y x z =-， 平移直线3y x z =-,由图象可知当直线3y x z =-经过点()0,1时， 直线3y x z =-的纵截距z -最大，z 最小，3z x y =-的最小值为3011⨯-=-.故答案为1-.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14. 已知球的表面积为8π，此球面上有,,A B C三点，且2AB AC BC ===，则球心到平面ABC 的距离为__________． 【答案】1 【解析】因为球的表面积为8π，所以248,R R ππ=∴=因为2AB AC BC ===，所以三角形ABC 为直角三角形，因此球心到平面ABC 的距离为球心到BC1= .点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2018这2017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为__________． 【答案】336 【解析】因为这些整数能被2除余1且被3除余1，所以这些数组成的数列的通项61,n a n =+1612018,62017,336.6n n n +≤∴≤∴≤设所以此数列的项数为336. 故填336.16. 过圆()227:19M x y ++=的圆心M 的直线与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，且3MB MA =，则点A 到圆M 上任意一点的距离的最小值为__________．【答案】3【解析】设221212(,),(,),44y y A y B y由题得212112122123300,1144MA MB y y y y y y y k k y y =⎧⎪=⎧⎪--∴∴==⎨⎨=⎩⎪++⎪⎩不妨设1110,(3y y A MA >∴=∴∴==所以点A 到圆M r ==故填3. 点睛：本题的难点在于探究解题的思路，根据数形结合可得点A 到圆M 上任意一点的距离的最小值为|MA|-r,所以要求点A 的坐标，所以要找到关于点A ，B 的两个方程即可，从哪里找到方程，一个是3MB MA =，一个是MA MB k k =.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()()sin 2sin cos A C A A B +=+，且34C π=. （1）求证：,,2a b a 成等比数列； （2）若ABC ∆的面积是2，求c 边的长.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般利用正弦定理化简()()sin 2sin cos A C A A B +=+ 得到b = ，再证明,,2a b a 成等比数列.(2)第(2)问，先计算出2,a b ==，再利用余弦定理求出c 的长. 试题解析：（1）证明：∵ A B C π++=，()sin +)2sin cos A C A A B =+（， ∴sin 2sin cos B A C =-在ABC ∆中，由正弦定理得，2cos b a C =-，∵34C π=，∴b =， 则2222b a a a ==⋅ ∴,,2a b a 成等比数列；（2） 1sin 22S ab C ===，则ab =，由（1）知，b =，,联立两式解得2,a b == ，由余弦定理得，2222cos 4822202c a b ab C ⎛=+-=+-⨯⨯-= ⎝⎭，∴25c =.18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史，某陶瓷厂在生产过程中，对仿制100件工艺品测得其重量(单位：kg ) 数据，将数据分组如下表：（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[)2.20,2.30的中点值是2.25）作为代表.据此，估计这100个数据的平均值；（2）根据样本数据，以频率作为概率，若该陶瓷厂生产这样的工艺品5000件，试估计重量落在[)2.40,2.70中的件数；（3）从第一组和第六组6件工艺品中随机抽取2个工艺品，求一个来自第一组，一个来自第六组的概率. 【答案】（1）2.47 ；（2）3400；（3）815. 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用平均数的公式求解. (2)第(2)问，根据频率的公式估计重量落在[)2.40,2.70中的件数.(3)第（3）问，利用古典概型的概率公式求解.试题解析：(1) 这100个数据的平均值约为2.250.04 2.350.26 2.450.30 2.550.28⨯+⨯+⨯+⨯… 2.650.10 2.750.02 2.47+⨯+⨯=.（2）重量落在[)2.40,2.70中的概率约为0.300.280.100.68++=，所以某陶瓷厂生产这样的工艺品5000件中，估计重量落在[)2.40,2.70中的件数估计为50000.68=3400⨯（件）.（3）记第一组的4件工艺品为1234,,A A A A ，,第六组2件工艺品为12,B B ，从中抽取两件共有：111221223132414212131423243412,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A A A A A A A A B B ，共有15种取法，其中分别来自第一第六组的有：1112212231324142,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B 共有8种，所以所求概率815P =，答：一个来自第一组，一个来自第六组的概率为815. 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，1,2AC AB AC AB AA ⊥===，1160AA B ∠=︒，,E F 分别为棱11,A B BC 的中点（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）在直线1AA 上是否存在一点P ，使得//CP 平面AEF ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）23（2）4. 【解析】【详解】试题分析：（1）第（1）问，先证明AE ⊥底面ABC,计算出△ABC 的面积，再利用柱体的体积公式求三棱柱111ABC A B C -的体积.(2)第(2)问，先假设在直线1AA 上存在点P ，使得CP||平面AEF ，再找到点P 的位置，再求AP 的长. 试题解析：（1）三棱柱111ABC A B C -中，所以11A B AB =. 因为12AB AA ==，所以1112A B AA ==. 又因0160AA B ∠=，连接1AB ,所以△11AA B 是边长为2的正三角形. 因为E 是棱11A B 的中点，所以11AE A B ⊥，且3AE =又11||AB A B ，所以AE AB ⊥又侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC=AB ，又AE ⊂侧面11ABB A ，所以AE ⊥底面ABC ，所以三棱柱111ABC A B C -的体积为112232322ABC V S AE AB AC AE ∆=⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯=；（2）在直线1AA 上存在点P ，使得CP||平面AEF .证明如下：连接BE 并延长，与1AA 的延长线相交，设交点为P .连接CP .因为11//A B AB ，故11=PA A EPE PB PA AB= 由于E 为棱11A B 的中点，所以112A E AB =，故有PE EB =又F 为棱BC 的中点，故EF 为BCP ∆的中位线，所以//EF CP 又EF ⊂平面AEF ，CP平面AEF ， 所以//CP 平面AEF .故在直线1AA 上存在点P ，使得//CP 平面AEF. 此时，12PA AA ==，所以124AP AA == .20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆上一点261P ⎫-⎪⎪⎝⎭满足124PF PF +=，过点()4,0R 的直线l 与椭圆C 交于两点M N 、.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作x 轴的垂线，交椭圆C 于G ，求证：存在实数λ，使得22GF F N λ=.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）第（1）问，由124PF PF +=得到a=2,再把点1P ⎫-⎪⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程，解方程组即得椭圆的方程.(2)第(2)问，设l 的方程为()4y k x =-.设点()11M x y ，，()22N x y ，，再求出NG 的方程，证明直线NG 过点()10，，即可证明 存在实数λ，使得22GF F N λ=. 试题解析：(1)依题意，1224PF PF a +==，故2a =.将-13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆22214x y b +=中，解得23b =，故椭圆C 的方程为：22143x y +=.（2）由题知直线l 的斜率必存在，设l 的方程为()4y k x =-.设点()11M x y ，，()22N x y ，，则()11G x y -，， 联立()2243412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，得()22234412x k x +-=. 即()2222343264120kxk x k +-+-=，则0∆>，21223234k x x k +=+，2122641234k x x k-=+ 由题可得直线NG 方程为()211121y y y y x x x x ++=--，又∵()114y k x =-，()224y k x =-. ∴直线NG 方程为()()()()211121444k x k x y k x x x x x -+-+-=--，令0y =，整理得()212121221111212244488x x x x x x x x x x x x x x x -+--+=+=+-+-22222264123224343432834k k k k kk -⨯-⨯++=-+ 22222434132243234k k k k -+==--+， 即直线NG 过点()10，. 又∵椭圆C 的右焦点坐标为()210F ，， ∴三点G ，2F ，N 在同一直线上. ∴ 存在实数λ，使得22GF F N λ= .点睛：存在实数λ，使得22GF F N λ=，就是证明G,2F N ，三点共线，要就是证明直线NG 过定点（1,0）.所以解答本题的关键是读懂命题转化命题.21. 已知函数()()121x f x x e mx +=-+，其中m 为常数且2m e >-.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1P f --处的切线方程； （2）讨论函数()y f x =的单调性；（3）当06m <≤时，()(]34,0,2g x x mx x x=--∈，若存在(]12,0,2x R x ∈∈，使()()12f x g x ≤成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）340x y ++=；（2）,当0m ≥时,()f x 在(),0-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增; 当02m e-<<时,()f x 在()()(),ln 21,0,m -∞--+∞上单调递增，在()()ln 21,0m --上单调递减；（3）0,32e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，再利用导数的几何意义，求出切线的斜率，最后写出直线的点斜式方程，化简即可. (2)第(2)问，对m 分类讨论，求出函数()y f x =的单调性.(3)第(3)问，由题得()()min max f x g x ≤，再求出()()min max f x g x 和代入化简即得m 的取值范围.试题解析：(1)当1m =时，()()+121x f x x ex =-+，()()111122x x x f x e x e x xe x +++∴=+-+='+=()+12x x e+∴切线的斜率()-13k f ='=-，又()-11f =-，故切线的方程为()13+1y x +=-， 即340x y ++=.（2）(),,x ∈-∞+∞且()()()+1+1+1122x x x f x e x e mx x e m =+-+=+',(i )当0m ≥时,+10x e >,+120x e m ∴+>∴当0x >时,()0f x '>;当0x <时,()0f x '<.故()f x 在区间(),0-∞上单调递减,在区间()0,+∞上单调递增； (ii )当02em -<<，()0f x '=有两个实数根()120,2-1x x ln m ==-， 且12x x >,故0x >时,()0f x '>；()2-10ln m x -<<时，()0;f x '< ()2-1x ln m <-时,()0f x '>.故()f x 在区间()()(),2-10,ln m -∞-+∞，上均为单调增函数, 在区间()()2-1,0ln m -上为减函数.综上所述,当0m ≥时,()f x 在(),0-∞上单调递减,在()0,+∞上单调递增; 当02em -<<时,()f x 在()(),2-1ln m -∞-、()0,+∞上单调递增，在()()2-1,0ln m -上单调递减. （3）当0m >时，由（2）知，()()min 0.f x f e ==-又()2243g x x m x =+-' .m ≥ 06m <≤，()0.g x ∴'>()g x ∴在(]02，上为增函数. ()max 82262g x m m ∴=--=-.依题意有()()min max .62.f x g x m e ≤∴-≥-032e m ∴<≤+故m 的取值范围为03+2e ⎛⎤⎥⎝⎦，. 点睛：存在(]12,0,2x R x ∈∈，使()()12f x g x ≤成立，即()()min max f x g x ≤,因为不等式两边的自变量不同.如果是存在x 使得f(x)<g(x)恒成立，就不能等价于()()min max f x g x ≤，因为不等式两边的自变量都是x ，这种情况一般移项转化成[f(x)-g(x)]的最小值小于零. 这两种命题要学会区分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程 22. 已知曲线C的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+，直线()1:6l R πθρ=∈，直线()2:3lR πθρ=∈．以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）已知直线1l 与曲线C交于,O M两点，直线2l 与曲线C 交于,O N 两点，求OMN ∆的周长．【答案】（1）3y x =，y =；21x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩；（2）3+. 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用（1）的结论，建立方程组，进一步利用余弦定理求出结果． 【详解】（1）解：直线1:()6l R πθρ=∈，所以：直线1l 的直角坐标方程为3y x =， 直线2:()3l R πθρ=∈．所以：直线2l 的直角坐标方程为y = 曲线C 的直角坐标方程为22(2)(1)5x y -+-=，所以：曲线C 的参数方程为21x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）；（2）解：联立64cos 2sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得到||1OM =+，同理||2ON = 又6MON π∠=，所以根据余弦定理可得MN =所以周长3l =+．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，方程组的应用和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 选修4-5：不等式选讲23. 已知函数()221f x x x =-+-. （1）求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()2274f x m m >-+对于x ∀∈R 恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】（1）8(0)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，；（2）1|32m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：（1）绝对值函去绝对值得到分段函数()43122112342x x f x x x x x x x ，，，，，，-<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，得()4f x >的解集为()803⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，；（2）由题意得，()2min 274f x m m >-+，即22741m m -+<，解得132m <<． 试题解析：（1）依题意，()43122112342x x f x x x x x x x ，，，，，，-<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩故不等式()4f x >的解集为()803⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， （2）由（1）可得，当1x =时，()f x 取最小值1，()2274f x m m >-+对于x R ∈恒成立，∴()2min 274f x m m >-+，即22741m m -+<，∴22730m m -+<，解之得132m <<，∴实数m 的取值范围是1|32m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭点睛：绝对值函数基本处理技巧就是去绝对值，得到分段函数，本题中再进行分段解不等式，得到答案；任意型恒成立问题得到()2min 274f x m m >-+，由分段函数分析得到()min 1f x =，所以22741m m -+<，解得答案．。
2018年河南省八市高考数学三模试卷(文科)Word版含解析
2018年河南省八市高考三模试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i 是虚数单位），则|z|=（ ）A ．5B ．C ．D ．12．已知，则B 中的元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．83．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x 1=52，x 2=70，x 3=68，x 4=55，x 5=85，x 6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S 是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（ ）A ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥αB ．若a ∥α，a ⊥β，则α⊥βC ．若a ⊥β，α⊥β，则a ∥αD ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β5．已知x ，y 满足，若存在x ，y 使得2x+y ≤a 成立，则a 的取值范围是（ ）A ．（2，+∞）B ．[2，+∞）C ．[4，+∞）D ．[10，+∞） 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．2C ．6D ．7．数列{a n }满足a n+1（a n ﹣1﹣a n ）=a n ﹣1（a n ﹣a n+1），若a 1=2，a 2=1，则a 20=（ ）A ．B ．C ．D ．8．长为的线段AB 在双曲线x 2﹣y 2=1的一条渐近线上移动，C 为抛物线y=﹣x 2﹣2上的点，则△ABC 面积的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．79．已知圆x 2+y 2=4的动弦AB 恒过点（1，1），若弦长AB 为整数，则直线AB 的条数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y 轴对称，则θ的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知三棱锥S ﹣ABC 的底面△ABC 为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M ，N分别是棱SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱，则三棱锥S ﹣ABC 的外接球的表面积是（ ） A ．12πB ．32πC ．36πD ．48π12．若函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（1，2）D ．（2，e ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ．14．一组数据1，10，5，2，x ，2，且2＜x ＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为 ．15．非零实数a ，b 满足tanx=x ，且a 2≠b 2，则（a ﹣b ）sin （a+b ）﹣（a+b ）sin （a ﹣b ）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，左右顶点分别为A 1，A 2，P 为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i （i=1，2）为直径的圆与以A 1A 2为直径的圆的位置关系为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=mx+2lnx+，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2018年河南省八市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由模的计算公式求解．【解答】解：∵ =，∴|z|=．故选：D．2．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】求出B={1，4}，由此能求出B中的元素的个数．【解答】解：∵，∴B={1，4}，∴B中的元素的个数为2．故选：B．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得b∥α；在B中，面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，a∥α或a⊂α；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由线面垂直的性质定理得b∥α，故A正确；在B中，若a∥α，a⊥β，则面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故C错误；在D中，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：C．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a ≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B ．7．数列{a n }满足a n+1（a n ﹣1﹣a n ）=a n ﹣1（a n ﹣a n+1），若a 1=2，a 2=1，则a 20=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】数列{a n }满足a n+1（a n ﹣1﹣a n ）=a n ﹣1（a n ﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n }满足a n+1（a n ﹣1﹣a n ）=a n ﹣1（a n ﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a 20=．故选：C ．8．长为的线段AB 在双曲线x 2﹣y 2=1的一条渐近线上移动，C 为抛物线y=﹣x 2﹣2上的点，则△ABC 面积的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．7【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C （m ，﹣m 2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值． 【解答】解：双曲线x 2﹣y 2=1的一条渐近线方程为y=x ， C 为抛物线y=﹣x 2﹣2上的点， 设C （m ，﹣m 2﹣2），C 到直线y=x 的距离为d==≥，当m=﹣时，d 的最小值为，可得△ABC 的面积的最小值为S=×4×=．故选：A ．9．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d=，从而弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），由此能求出直线AB的条数．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d==，∴弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），∴直线AB的条数是3条．故选：B．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．（2，e）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．求出g （x）的导数，当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得，要使g（x）有两个不同解，只需要g（）=ln＞0，解得即可．【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x ）=﹣2a=，当a ≤0时，g′（x ）＞0，则函数g （x ）在区间（0，+∞）单调递增，因此g （x ）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a ＞0时，令g′（x ）=0，解得x=，令g′（x ）＞0，解得0＜x ＜，此时函数g （x ）单调递增；令g′（x ）＜0，解得x ＞，此时函数g （x ）单调递减．∴当x=时，函数g （x ）取得极大值．当x 趋近于0与x 趋近于+∞时，g （x ）→﹣∞， 要使g （x ）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g （）=ln＞0，解得0＜a ＜．∴实数a 的取值范围是（0，）． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ﹣1 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求得﹣λ的坐标，再由向量关系的坐标运算列式求解．【解答】解：∵ =（﹣2，2），=（1，0），∴﹣λ=（﹣2，2）﹣λ（1，0）=（﹣2﹣λ，2），由向量=（1，﹣2）与﹣λ共线，得1×2+2×（﹣2﹣λ）=0．解得：λ=﹣1． 故答案为：﹣1．14．一组数据1，10，5，2，x ，2，且2＜x ＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为 9 ．【考点】BB ：众数、中位数、平均数．【分析】根据题意求出该组数据的众数和中位数，得出x 的值，再计算平均数和方差．【解答】解：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷=3， 把这组数据从小到大排列为1，2，2，x ，5，10，则=3，解得x=4，所以这组数据的平均数为=×（1+2+2+4+5+10）=4，方差为S 2=×[（1﹣4）2+（2﹣4）2×2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（10﹣4）2]=9． 故答案为：9．15．非零实数a ，b 满足tanx=x ，且a 2≠b 2，则（a ﹣b ）sin （a+b ）﹣（a+b ）sin （a ﹣b ）= 0 ．【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb ，a=tana ，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb ﹣2bsinacosb ，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解． 【解答】解：∵非零实数a ，b 满足tanx=x ，且a 2≠b 2， ∴可得：b=tanb ，a=tana ，∴原式=（a ﹣b ）（sinacosb+cosasinb ）﹣（a+b ）（sinacosb ﹣cosasinb ） =2acosasinb ﹣2bsinacosb =2tanacosasinb ﹣2tanbsinacosb =2sinasinb ﹣2sinasinb =0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，左右顶点分别为A 1，A 2，P 为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i （i=1，2）为直径的圆与以A 1A 2为直径的圆的位置关系为 内切 ． 【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF 1的中点为M ，可得以线段PF i （i=1，2）为直径的圆与以A 1A 2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PFi（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据化简，即可求解A的大小；（2）a=5，b=8，利用余弦定理即可求解c的值．【解答】解：（1）由题意，，即tan2A=．∴2A=或者2A=，∵角A为锐角，∴A=．（2）由（1）可知A=，a=5，b=8；由余弦定理，2bccosA=c2+b2﹣a2，可得：，解得：c=或者．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）由CM∥平面ABB′，可得M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，则VM﹣ANB′=VC﹣ANB′，证得BC⊥平面ABB′A′，则三棱锥B'﹣AMN的体积可求．【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：∵CM∥平面ABB′，∴M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，∴VM﹣ANB′=VC﹣ANB′∵ABB′A′为矩形，N为AB中点，∴．∵ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面ABB′A′，且平面ABC∩平面ABB′A′=AB，在三角形ABC中，AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，即BC⊥平面ABB′A′，∴．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：【考点】BO：独立性检验的应用；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理以及列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【解答】解：（1）根据题意，填写列联表如下：根据表中数据，计算K2==≈4.76＜5.024，所以没有97.5%的把握认为这种疫苗有效；（2）利用分层抽样法抽取的6只中有4只没服用疫苗，2只服用疫苗，记4只没服用疫苗的为1，2，3，4，2只服用疫苗的为A、B；从这6只中任取2只，基本事件是12、13、14、1A、1B、23、24、2A、2B、34、3A、3B、4A、4B、AB共15种，至少有1只服用疫苗的基本事件是1A、1B、2A、2B、3A、3B、4A、4B、AB共9种，故所求的概率是=．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E 的轨迹是以E 、P 为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b 2=a 2﹣c 2=1，∴M 的轨迹C 的方程为=1．（2）l 与以EP 为直径的圆x 2+y 2=1相切，则O 到l 即直线AB 的距离：=1，即m 2=k 2+1，由，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0，∵直线l 与椭圆交于两个不同点，∴△=16k 2m 2﹣8（1+2k 2）（m 2﹣1）=8k 2＞0，k 2＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=，又=x 1x 2+y 1y 2=，∴，∴，==，设μ=k 4+k 2，则，∴=，，∵S △AOB 关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB 的面积的取值范围是[，]．21．已知函数f （x ）=mx+2lnx+，m ∈R ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）设函数g （x ）=，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求实数m 的取值范围．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为至少存在一个x 0∈[1，e]，使得m ＞﹣成立，设H （x ）=﹣，根据函数的单调性求出m 的范围即可． 【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x ）=m++=，m=0时，f′（x ）=，f （x ）在（0，+∞）递增，m ＞0时，f′（x ）=，令f′（x ）=0，解得：x=1﹣或x=﹣1，若1﹣＞0，即m ＞2时，x ∈（0，1﹣）时，f′（x ）＜0，x ∈（1﹣，+∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（1﹣，+∞）递增，在（0，1﹣）递减，若1﹣≤0，即m ≤2时，x ∈（0，+∞）时，f′（x ）＞0， f （x ）在（0，+∞）递增，m ＜0时，x ∈（0，1﹣）时，f′（x ）＞0，x ∈（1﹣，+∞）时，f′（x ）＜0，故f （x ）在（0，1﹣）递增，在（1﹣，+∞）递减；（2）令h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=mx+2lnx ﹣，∵至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，∈[1，e]，使得m＞﹣成立，∴至少存在一个x设H（x）=﹣，则H′（x）=﹣2（+），∵x∈[1，e]，1﹣lnx＞0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在[1，e]递减，H（x）≥H（e）=∴m＞．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。
河南省濮阳市2018届高三第二次模拟考试数学(文)试卷(含答案)
2018届河南省濮阳市高三第二次模拟考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|05}A x N x =∈≤≤，{1,3,5}U C B =，则集合B =（ ） A ．{2,4} B ．{0,2,4} C ．{0,1,3} D ．{2,3,4}2.复数12iz i =+的虚部为（ ） A ．25 B ．25i C ．15 D ．15i3.在如图的程序框图中，若输入77m =，33n =，则输出的n 值是（ ）A ．3B ．7C ．11D ．334.已知三棱柱HIG EFD -的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图（1）所示，A ，B ，C 分别是GHI ∆三边的中点）后得到的几何体如图（2），则该几何体沿图（2）所示方向的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ． 5.对于实数m ，n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=对应的曲线是椭圆”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.在[6,9]-内任取一个实数m ，设2()f x x mx m =-++，则函数()f x 的图象与x 轴有公共点的概率等于（ ） A ．215 B ．715 C ．35 D ．11157.设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则2z y x =-的最小值为（ ）A ．23-B ．13-C ．13D ．3 8.若23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则((2))f g -的值为（ ）A ．52 B ．52- C ．1 D ．-1 9.设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1n n b a =+，若数列{}n b 有连续四项在集合{53,23,19,37,82}--中，则q 的值为（ ）A ．43-B ．32-C ．-2D ．94- 10.设1x ，2x ，3x 均为实数，且1211log (1)2xx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．132x x x <<B ．321x x x <<C ．312x x x <<D ．213x x x << 11.已知等差数列{}n a 一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为（ ）A ．1720 B ．5960C ．1D ．6766 12.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足'()()xf x f x >恒成立（其中'()f x 为函数()f x 的导函数），则称()f x 为M 函数，例如21y x =-，(0,)x ∈+∞便是M 函数.任给实数10x >，20x >，对于任意的M 函数()f x ，下列不等式一定正确的是（ ）A ．1212()()()f x f x f x x ⋅≥B ．1212()()()f x f x f x x ⋅≤C ．1212()()()f x f x f x x +>+D ．1212()()()f x f x f x x +<+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ． 14.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）15.如图，有5个全等的小正方形，BD x AE y AF =+u u u r u u u r u u u r，则x y +的值是 ．16.已知1()sin 3f x x =-+，1x ，2x 是()f x 在[0,]π上的相异零点，则12cos()x x -的值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =.（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求CD 的长.18.已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=o ，//AB CD ，2AD AF CD ===，4AB =.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求点C 到平面ADE 的距离.19.某地公共电汽车和地铁按照里程分段计价，具体如下表：乘公共电汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）乘坐地铁方案6公里（含）内3元； 6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元； 22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）已知在一号线地铁上，任意一站到A 站的票价不超过5元，现从那些只乘坐一号线地铁，且在A 站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示.（Ⅰ）如果从那些只乘坐一号线地铁，且在A 站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6名学生中票价为3、4、5元的人数分别为3，2，1人，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；（Ⅲ）小李乘坐一号线地铁从B 地到A 站的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围. 20.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，且该抛物线经过点(2,2)A ，其焦点F 在x 轴上.（Ⅰ）求过点F 且与直线OA 垂直的直线的方程；（Ⅱ）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D ，E 两点，2ME DM =，求21DE OM+的最小值.21.已知函数2()(2)xx f x eae a x =+-+.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得()f x 有三个相异零点？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程是22x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的任一点向圆C 引切线，求切线长的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-. （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若,,a b c R +∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥.濮阳市2018届高三毕业班第二次模拟考试数学（文科）·答案一、选择题1-5: BCCAA 6-10: DBCBA 11、12：DD二、填空题13. 2 14. ①② 15. 1 16. 79-三、解答题17.【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，4cos 5A =，(0,)A π∈，所以sin A =35==.同理可得，12sin 13ACB ∠=. 所以cos cos[()]B A ACB π=-+∠cos()A ACB =-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB=∠-∠312451651351365=⨯-⨯=. （Ⅱ）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC AB ACB A=∠1312203135=⨯=.又3AD DB =，所以154BD AB ==. 在BCD ∆中，由余弦定理得，CD ===18.【解析】（Ⅰ）在直角梯形ABCD 中，2AD CD ==，4AB =，所以AC =BC =所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥.因为AF ⊥平面ABCD ，//AF BE ， 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE AC ⊥. 又BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BE BC B =I ，所以AC ⊥平面BCE .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥平面ABCD ，1433E ACD ACD V EB S -∆=⋅=.因为AF ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AF AD ⊥，又AB AD ⊥，AF ⊂平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ， 所以AD ⊥平面ABEF ，又AE ⊂平面ABEF ，所以AD AE ⊥，又AE =，所以12ADE S AD AE ∆=⋅=设h 为点C 到平面ADE 的距离，则13C ADE ADE V h S -∆=⋅3h =，又E ACD C ADE V V --=，从而h =即点C 到平面ADE 19.【解析】（Ⅰ）记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”，由统计图可知，120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20人. 所以票价小于5元的有60+40=100（人）. 故120人中票价小于5元的频率是10051206=. 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()6P A =. （Ⅱ）记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”.记票价为3元的同学为a ，b ，c ，票价为4元的同学为D ，E ，票价为5元的同学为甲，从这6人中随机选出2人，所有可能的结果共有15种，它们是(,)a b ，(,)a c ，(,)a D ，(,)a E ，(,)a 甲，(,)b c ，(,)b D ，(,)b E ，(,)b 甲，(,)c D ，(,)c E ，(,)c 甲，(,)D E ，(,)D 甲，(,)E 甲.其中事件B 对应的结果有4种，它们是(,)a 甲，(,)b 甲，(,)c 甲，(,)D E . 所以这2人的票价和恰好为8元的概率为4()15P B =. （Ⅲ）乘坐一号线地铁从B 地到A 站的票价是5元，则(12,22]s ∈，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，超出10公里以上部分为3元，而按照计价标准可知20公里花费4元，则(20,25]s ∈. 综上，(20,22]s ∈.20.【解析】（Ⅰ）设抛物线方程为22(0)y px p =>，由点(2,2)在C 上，得1p =.从而点F 的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭. 又直线OA 的斜率为1，从而其垂线的斜率为-1，因此所求直线方程为102x y +-=. （Ⅱ）设点D 和E 的坐标为11(,)x y 和22(,)x y ，直线DE 的方程是()y k x m =-，0k ≠.将y x m k=+代入22y x =，有2220ky y km --=，解得 1.21y k ±=.由2ME DM =知11)=，化简得24k m=. 因此2212()DE x x =-212()y y +-212211()y y k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22214(12)1mk k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭29(4)4m m =+.所以2211DE DE OMm++=9194m m =++912≥=，当且仅当23m =时取等号，即21DE OM+的最小值为12.21.【解析】（Ⅰ）由题可知2'()2xx f x eae =+(2)(1)x a e -+=-(22)x e a ++.当20a +≥，即2a ≥-时，令'()0f x =得0x =，易知()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.当2a <-时，令'()0f x =得0x =或2ln 2a x +⎛⎫=-⎪⎝⎭. 当2ln 02a +⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即4a <-时，()f x 在(,0)-∞，2ln ,2a ⎛+⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在20,ln 2a ⎛+⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减； 当4a =-时，2'()2(1)0xf x e =-≥，()f x 在R 上单调递增； 当(4,2)a ∈--时，()f x 在2,ln 2a ⎛+⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(0,)+∞上单调递增，在2ln ,02a ⎛+⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）不存在.理由如下：假设()f x 有三个相异零点.由（Ⅰ）的讨论，一定有(,4)(4,2)a ∈-∞---U 且()f x 的极大值大于0，极小值小于0.已知取得极大值和极小值时0x =或2ln 2a x +⎛⎫=-⎪⎝⎭， 注意到此时恒有(0)12110f a =+<-+=-<，则必有(0)f 为极小值，此时极值点满足2ln 02a +⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即(4,2)a ∈--，还需满足2ln 02a f ⎛+⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又22ln 24a a f ⎛+⎫+⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224ln 2a a ⎡+⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，(4,2)a ∈--， 故存在(4,2)a ∈--使得224ln 02a a +⎛⎫---< ⎪⎝⎭，即存在(4,2)a ∈--使得22ln 24a a+-⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 令2(0,1)2a t +=-∈，即存在(0,1)t ∈满足ln 12tt >+. 令()ln 12t g t t =--，112'()022tg t t t -=-=>，从而()g t 在(0,1)上单调递增，所以3()g(1)2g t <=-，故不存在(0,1)t ∈满足ln 12tt >+，与假设矛盾，从而不存在a 使得()f x 有三个相异零点.22.【解析】（Ⅰ）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C 的直角坐标方程为220x y ++=，即221x y ⎛⎛-++= ⎝⎭⎝⎭，∴圆心C 的直角坐标为22⎛- ⎝⎭. （Ⅱ）方法一：由直线l 上的任一点向圆C 所引切线长是==≥，∴由直线l 上的任一点向圆C所引切线长的最小值是. 方法二：∵直线l的普通方程为0x y -+=，圆心C 到直线l|5++=， ∴由直线l 上的任一点向圆C=.23.【解析】（Ⅰ）因为(2)f x m x +=-，所以(2)0f x +≥等价于x m ≤. 由x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为{|}x m x m -≤≤.又(2)0f x +≥的解集为[1,1]-，故1m =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知111123a b c++=， 又,,a b c R +∈， 23(23)a b c a b c ++=++11123a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 21123a a b b c a =++++233132b c c c a b++++ 2323a b a b a c =+++32332c b c a c b+++3≥+9+=， 当且仅当3a =，32b =，1c =时等号成立.。
河南省淮滨2018届高考第二次模拟仿真数学文科试题(三)含解析
河南省淮滨2018届高考第二次模拟仿真数学文科试题（三）含解析2017-2018下学期高三第二次模拟仿真测试卷文科数学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2018·保定调研]已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】设，则由已知有，，所以，解得，所以，故，选A ．2．[2018·集宁一中]已知集合，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 C此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【解析】由题意得，，因为，所以，所以，故，故选C．3．[2018·渭南质检]如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积，则对应概率．故答案为：C．4．[2018·菏泽期末]已知直线与直线平行，则实数的值为（）A．4 B．－4 C．－4或4 D．0或4【答案】B【解析】由于两直线平行，故，解得（当时两直线重合，故舍去．）5．[2018·柳州模拟]函数在上的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以是奇函数，故C错误；当时，，故D错误；，得可以取到极值，所以A正确．故选A．6．[2018·丹东期末]某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】该几何体是一个半球上面有一个三棱锥，体积为：，故选A．7．[2018·凯里一中]公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为，故选B．8．[2018·赤峰期末]设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）A．B．C．3 D．【答案】D【解析】将的图象向右平移个单位后得到函数解析式为．∵平移后与原图象重合，∴，，即，，∵，∴的最小值是，故选D．9．[2018·宜昌一中]执行如图所示的程序框图，若输入，，输出的，则空白判断框内应填的条件为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由程序框图，得程序运行过程为：，，，，，，；，，，，，，；，，，，，，；因为输出的结果为，所以判断框内应填“”．故选B ． 10．[2018·承德联考]已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】令，，由于，令，得，可以得到在单调递减，在单调递增，所以在时取得最小值，所以，所以．故选A 选项．11．[2018·大庆一中]已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为，所以，又函数的图象在点处的切线与直线平行，所以，所以，所以，所以：，本题选择A 选项．12．[2018·佛山质检]双曲线的左右焦点分别为，，()2f x x ax =+()()0,0A f l 220x y -+=n n S 20S ()2f x x ax =+()2f x x a '=+()2f x x ax =+()()0,0A f l 220x y -+=()02f a '==()22f x x x =+焦距，以右顶点为圆心的圆与直线相切于点，设与交点为，，若点恰为线段的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由直线方程可得直线过双曲线的左焦点，倾斜角为，直线与圆相切，则：，即是直角三角形，结合，可得：，联立直线与双曲线的方程可得：，则：，据此有：，结合，整理可得：，据此可得关于离心率的方程：，即，∵双曲线中，．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·寻乌中学]已知平面向量，的夹角为，，，则____．【答案】2【解析】，故，填2．14．[2018·南宁二中]已知为坐标原点，若点为平面区域上的动点，则的最大值是__________．【答案】2【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的解析式，平移直线，由图可知，当直线经过点时，直线的截距最大，此时目标函数取得最大值．15．[2018·赤峰期末]以等腰直角三角形的底边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面，则下列四个命题：①；②为等腰直角三角形；③三棱锥是正三棱锥；④平面平面；其中正确的命题有__________．（把所有正确命题的序号填在答题卡上）【答案】①③④【解析】由题意得，如图所示，因为为的中点，所以，又平面平面，根据面面垂直的性质定理，可得平面，进而可得，所以①是正确的；其中当为等腰直角三角形时，折叠后为等边三角形，所以②不正确；因为为等腰直角三角形，所以，所以为正三棱锥，所以③正确；由，，可得面，又面，则平面平面，所以④是正确的，故正确的命题为①③④．16．[2018·曲阜模拟]已知函数，若函数的所有零点依次记为，则__________．【答案】【解析】，，解得：，，函数在的对称轴为，，……．关于最大值对称的对称轴间的距离为，所以，，以此类推，，这项构成以首项为，为公差的等差数列，第项为，所以，解得，所以．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·集宁一中]在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）若（）且，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由得：，445∴，∴，∴，∴．·······6分（2）由（），得，由正弦定理得，∴．根据正弦定理可得，解得，∴．····12分18．[2018·济南一中]韩国民意调查机构“盖洛普韩国”2016年11月公布的民意调查结果显示，受“闺蜜门”事件影响，韩国总统朴槿惠的民意支持率持续下跌，在所调查的1000个对象中，年龄在[20，30）的群体有200人，支持率为0%，年龄在[30，40）和[40，50）的群体中，支持率均为3%；年龄在[50，60）和[60，70）的群体中，支持率分别为6%和13%，若在调查的对象中，除[20，30）的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示，其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列．（1）依频率分布直方图求出图中各年龄层的人数（2）请依上述支持率完成下表：根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关？附表：2.072（参考公式：，其中参考数据：125×33=15×275，125×97=25×485）【答案】（1）年龄在[30，40）的群体有200人，[40，50）的群体有300人，[50，60）的群体有200人，[60，70）的群体有100人；（2）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关．【解析】（1）设年龄在[50，60）的人数为x，则最后三组人数之和为3x，所以四组总人数为4x=800，得x=200，·······2分则频率分布直方图中，年龄在[30，40）的群体有200人，[40，50）的群体有300人，[50，60）的群体有200人，[60，70）的群体有100人； (6)分（2）由题意年龄在[30，40）和[40，50）的支持人数为6+9=15，[50，60）和[60，70）的人数为12+13=25．填表如下······9分所以≈11.228＞10.828，∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关．·······12分19．[2018·盐城中学]如图，在四棱锥中，底面，，，是以为斜边的等腰直角三角形，是上的点．求证：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵，平面，平面，∴平面．·······6分（2）底面，底面，·······7分由题意可知，且，是等腰直角三角形，，，，即····9分又，平面·······10分平面，平面平面·······12分20．[2018·顺德调研]已知四边形的四个顶点在椭圆：上，对角线所在直线的斜率为，且，．（1）当点为椭圆的上顶点时，求所在直线方程；（2）求四边形面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，，所以对角线垂直平分线段．因为直线的斜率为，则直线所在直线的斜率为．又因为，则直线所在直线方程为．·······1分由，解得·······2分则中点的坐标为·······3分所以所在直线方程为；·······4分（2）设，所在直线方程分别为，，，，中点．由，得，令，得，，·······6分则，同理，·······8分则·······9分又因为，所以中点．由点在直线上，得，所以·······11分因为，所以，所以当时，四边形的面积最大，最大面积为．·······12分21．[2018·佛山调研]已知函数，是函数的极值点．（1）若，求函数的最小值；（2）若不是单调函数，且无最小值，证明：．【答案】（1）的最小值为；（2）见解析．【解析】（1）解：，其定义域是．．令，得，·······2分所以，在区间单调递减，在上单调递增．所以的最小值为．·······5分（2）解：函数的定义域是，对求导数，得，显然，方程（），因为不是单调函数，且无最小值，则方程必有个不相等的正根，所以，解得，·······7分设方程的个不相等的正根是，，其中，所以，列表分析如下：所以，是极大值点，是极小值点，，·······9分故只需证明，由，且，得，因为，，所以，从而．·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·邢台期末]选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线与直线交于点，与曲线交于，两点．且，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，故曲线的极坐标方程为．·······5分（2）将代入，得．将代入，得，则，则，∴．·······10分23．[2018·安庆一中]选修4－5：不等式选讲已知函数．（1）求函数的最大值；（2）若，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）3；（2）．【解析】（1），所以的最大值是3． (5)分（2），恒成立，等价于，即．当时，等价于，解得；当时，等价于，化简得，无解；当时，等价于，解得．综上，实数的取值范围为．·······10分。
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2018年河南高考文科数学模拟冲刺试题【含答案】一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3iB．﹣1+3iC．1﹣3iD．1+3i2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4B．5C．2D．36．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm39．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，1]10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m 的取值范围为（）二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879附：（，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C 到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x 轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．2018年河南高考文科数学模拟冲刺试题【含答案】一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3iB．﹣1+3iC．1﹣3iD．1+3i【分析】分子分母同乘﹣i，将分母实数化后，即可得到答案．【解答】解：==﹣1﹣3i故选A【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的除法的化简关键是将分母乘以其共轭复数，将分母实数化，也可以利用公式：2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}【分析】由A∩B=A，得A⊆B，由集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，即可得出结论．【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B．∵集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，∴a≥2故选：D．【点评】本题考查了交集及其运算，解答的关键是对端点值的取舍，是基础题．3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2B．1C．D．【分析】根据向量垂直于向量数量积的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即2﹣•=0，即1+m2﹣（m﹣1+2m）=0，即m2﹣3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，量=（1，1），=（0，2），满足≠，当m=2时，量=（1，2），=（1，2），不满足≠，综上m=1，故选：B．【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积的坐标公式以及向量垂直于向量数量积的关系建立方程是解决本题的关键．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题【分析】由否命题既对条件否定，也对结论否定，即可判断A；求得命题的逆命题，考虑m=0可判断B；由幂函数的性质，即可判断C；求得命题的逆否命题，即可判断D．【解答】解：“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A错；“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题，比如m=0，若a＜b，则am2=bm2，故B错；对任意x＞0，均有3x＜4x成立，故C错；对若，则”的逆否命题是“若α=，则sinα=”为真命题，则D正确．故选D．【点评】本题考查命题的真假判断和存在性命题的判断，注意运用反例法和函数的性质，考查判断能力，属于基础题．5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4B．5C．2D．3【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，A，S的值，当S=时，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环得到的a，A，S的值是解题的关键，属于基础题．6．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．7．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性函数g（x）的单调递增区间．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象，故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．【分析】首先根据已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），则：数列为等差数列．设公差为d，则：d=a2﹣a1=2﹣1=1，则：a n=1+n﹣1=n．故：，则：，所以：，=，=，=．所以：．故选：C【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，裂项相消法在数列求和中的应用．9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，1]【分析】根据单调性和零点个数列出不等式组，从而得出a的范围．【解答】解：当x≤0时，f（x）单调递增，∴f（x）≤f（0）=1﹣a，当x＞0时，f（x）单调递增，且f（x）＞﹣a．∵f（x）在R上有两个零点，∴，解得0＜a≤1．故选A．【点评】本题考查了函数单调性与零点个数的关系，属于中档题．10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【分析】方法一：由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB得方程，由PF1⊥PF2，得•=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案；方法二：由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，利用点到直线的距离公式，即可求得圆的离心率的平方为．【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，则•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．方法二：由直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，可得d==c，两边平方，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．【点评】本题考查椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示，考查直线的方程的运用，着重考查椭圆离心率，以及化简整理的运算能力，属于中档题．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2C．D．9【分析】由中位数和平均数的定义可得x，y的值，再由等差数列和等比数列中项的性质求得a+b=4，利用基本不等式求出的最小值．【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）=598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7=602，所以y=4，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则xy=G2，2G=a+b，即有a+b=4，a＞0，b＞0，则+=（a+b）（+）=（1+4++）≥（5+2）=×9=，当且仅当b=2a=时，的最小值为．【点评】本题考查了基本不等式和等差、等比数列的应用问题，也考查了中位数和平均数的定义，是中档题．12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m 的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】根据题意对于（2x﹣）•ln≤，可化为（2e﹣）ln≤，设t=，设f（t）=（2e﹣t）lnt，根据导数和函数的最值的关系即可求出【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t=，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）=（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）=﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）=﹣lne+﹣1=0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）=e，若f（t）=（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．【点评】本题考查函数导数的应用，关键是转化和构造函数f（t），求出其最小值，属于中档题二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为1．【分析】先根据条件画出可行域，再利用z=4x﹣y，几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=4x﹣y，过可行域内的点A时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x，y满足约束条件在坐标系中画出可行域三角形，平移直线4x﹣y=0经过点A（1，3）时，4x﹣y最小，最小值为：1，则目标函数z=4x﹣y的最小值：1．故答案为：1．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=3．【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【解答】解：∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，∴，解得a=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=10．【分析】由，得到数列{a n}是公比q=2的等比数列，根据等比数列的性质以及对数的运算性质进行求解即可．【解答】解：∵，∴log2a n+1﹣log2a n=1，即，∴．∴数列{a n}是公比q=2的等比数列．则a101+a102+…+a110=（a1+a2+a3+…+a10）q10=210，∴log2（a101+a102+…+a110）=．故答案为：10．【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了对数的运算性质，是中档题．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【分析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=x，则另一渐近线ON的方程为y=﹣x，由垂直的条件可得FM的方程，代入渐近线方程，可得M，N的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得渐近线方程．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=x，则另一渐近线ON的方程为y=﹣x，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=x，可得M的横坐标为，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，可得N的横坐标为．由2=，可得2（﹣c）=﹣c，即为﹣c=，由e=，可得﹣1=，即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），即为e=2，即c=2a，b=a，可得渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用：求渐近线方程，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点M、N的横坐标是解题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．【分析】（1）利用正弦定理即可求得cosC=﹣，由C的取值范围，即可求得C；（2）根据三角形的面积公式，求得c=ab，利用余弦定理及基本不等式的性质即可求得ab的最小值．【解答】解：（1）由正弦定理可知：===2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2ccosB=2a+b，则2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，由0＜B＜π，sinB≠0，cosC=﹣，0＜C＜π，则C=；（2）由S=absinC=c，则c=ab，由c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，∴=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时取等号，∴ab≥12，故ab的最小值为12．【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式及基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879附：（，其中n=a+b+c+d）【分析】（1）按分层抽样计算男生、女生应抽的人数，用列举法计算基本事件数，求出所求的概率值；（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】解：（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名；∴x=80﹣（5+10+15+47）=3，y=20﹣（2+3+10+2）=3；抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A，B，C；两位女生设为a，b；从5名任意选2名，总的基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个；设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A”；则事件包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6个；∴P（A）==；（2）填写2×2列联表如下：男生女生总计体育达人50555非体育达人301545总计8020100则K2=≈9.091；∵9.091＞6.635且P（K2≥6.635）=0.010，∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”．【点评】本题考查了列举法求古典概型的概率问题，也考查了独立性检验的应用问题，是中档题．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．【分析】（1）连接CD，推导出CD⊥AB，CD⊥PD，由此能证明PD⊥平面ABC．=V P﹣AEC，能求出点B到平面PAC （2）设点B到平面PAC的距离为d，由V E﹣PAC的距离．【解答】证明：（1）连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos，∴=8，∴CD=2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，∴PD⊥平面ABC．解：（2）∵，∴PD=AD=4，∴PA=4，在Rt△PCD中，PC==2，∴△PAC是等腰三角形，∴，设点B到平面PAC的距离为d，由V E=V P﹣AEC，得，﹣PAC∴d==3，故点B到平面PAC的距离为3．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C 到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．【分析】（1）直接利用定义求出抛物线的方程．（2）利用直线和抛物线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根与系数的关系建立等量关系，最后利用最大值求出直线的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则圆心为（﹣1，1）．抛物线E：y2=2px（p＞0），焦点坐标F（），由于：圆心C到抛物线焦点F的距离为．则：，解得：p=6．故抛物线的方程为：y2=12x（2）设直线的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则：，整理得：y2﹣12my﹣12t=0，所以：y1+y2=12m，y1y2=﹣12t．由于：OA⊥OB．则：x1x2+y1y2=0．即：（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2=0．整理得：t2﹣12t=0，由于t≠0，解得t=12．故直线的方程为x=my+12，直线经过定点（12，0）．当CN⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到直线的距离取最大值．当CP⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到动直线L的距离取得最大值．k MP=k CP=﹣，则：m=．此时直线的方程为：x=，即：13x﹣y﹣156=0．【点评】本题考查的知识要点：抛物线的方程的求法，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用，直线的方程的求法．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x 轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为可化为lnx﹣+x﹣＞k（x﹣1），令g（x）=lnx﹣+x﹣﹣k（x﹣1），（x＞1），通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，从而确定k的范围即可．【解答】解：（1）由已知可得f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a=0，解得：a=1，∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（1）不等式f（x）﹣+2x+＞k（x﹣1）可化为lnx﹣+x﹣＞k（x﹣1），令g（x）=lnx﹣+x﹣﹣k（x﹣1），（x＞1），g′（x）=，∵x＞1，令h（x）=﹣x2+（1﹣k）x+1，h（x）的对称轴是x=，①当≤1时，即k≥﹣1，易知h（x）在（1，x0）上递减，∴h（x）＜h（1）=1﹣k，若k≥1，则h（x）≤0，∴g′（x）≤0，∴g（x）在（1，x0）递减，∴g（x）＜g（1）=0，不适合题意．若﹣1≤k＜1，则h（1）＞0，∴必存在x0使得x∈（1，x0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．②当＞1时，即k＜﹣1，易知必存在x0使得h（x）在（1，x0）递增，∴h（x）＞h（1）=1﹣k＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．综上，k的取值范围是（﹣∞，1）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化．（2）利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式求出结果．【解答】（1）直线L的参数方程为：（α为参数）．曲线C的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：y2=8x（2）当时，直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=8x得到：．（t1和t2为A和B的参数），所以：，t 1t2=﹣16．所以：．O到AB的距离为：d=．则：=．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）两边平方求出不等式的解集即可；（2）设h（x）=2f（x）+g（x），通过讨论x的范围，分离a，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）由已知得|x+3|＜|2x﹣1|，即|x+3|2＜|2x﹣1|2，则有3x2﹣10x﹣8＞0，∴x＜﹣或x＞4，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（4，+∞）；（2）由已知，设h（x）=2f（x）+g（x）=2|x+3|+|2x﹣1|=，当x≤﹣3时，只需﹣4x﹣5＞ax+4恒成立，即ax＜﹣4x﹣9，∵x≤﹣3＜0，∴a＞=﹣4﹣恒成立，∴a＞，∴a＞﹣1，当﹣3＜x＜时，只需7＞ax+4恒成立，即ax﹣3＜0恒成立，只需，∴，∴﹣1≤a≤6，当x≥时，只需4x+5＞ax+4恒成立，即ax＜4x+1，∵x≥＞0，∴a＜=4+恒成立，∵4+＞4，且无限趋近于4，∴a≤4，综上，a的取值范围是（﹣1，4]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。