常微分方程42n阶常系数线性齐次方程解法

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常系数高阶齐次线性微分方程

y
lnyx
y y
,
lnylny,
令 zlny 则 zz0, 特征根 1
通解 zC 1exC 2ex ln y C 1 e x C 2 e x .
练习题
一、求下列微分方程的通解 :
1、 y4y0；
2、 4d2x2d 0x 2x 50； d2t dt
3、 y6y1y 30；4、 y(4)5y3y 60.
(r1 )r(21 )20 ,
特征根为 r 1 1 ,r 2 r 3 i,r 4 r 5 i,
故所求通解为 y C 1 e x ( C 2 C 3 x ) c x o ( C 4 C s 5 x ) sx . in
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
由 (2)的项的特 y点 erx的及特点：
(erx)(n) rnerx, erx 是(2)的解
r n e r x p 1 r n 1 e r x p n 1 r r e x p n e r x 0
r n p 1 r n 1 p n 1 r p n 0 (3
即： r为特征根。
注 1、n次代数方程恰有n个根。 2、属于不同特征根的解线性无关。
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.
y C 1 y 1 C 2 y 2 C n y n
例3 求方程 y(5)y(4)2y(3)2yyy0的通 . 解解特征方程为 r 5 r 4 2 r 3 2 r 2 r 1 0 ,
向下压后突然放开, 浮筒在水中上下振动的周期为2s,求浮筒的质量 .

常微分方程课件：4_2常系数齐次线性微分方程的解法

█ 常系数齐次线性微分方程
本节先讨论aj(t)= aj(1≤ j ≤n)时的方程 L[x]=0 … … (1)
下面介绍求它的基本解组的一个经典方法-Euler待定指数函数法(特征根法).
试求形如x=eλt的解,λ∈C为待定常数.将 x=eλt代入L[x]=0得 L[eλt]=(λn+a1λn-1+…+an-1λ+an)eλt=0. 显然,x=eλt是(1)的解等价于F(λ)≡ λn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0.
]
(dn y dtn
b1
dn1 y d t n1
b n1
dy dt
bn y)e1t
L1[ y]e1t .
因此方程(1)可化为 L1[y]=0 … … (2) bj仍为常数,而相应的特征方程是
G(μ)≡ μ n+b1 μ n-1+…+bn-1 μ +bn=0.
的复值解. 性质
定理1 设a1(t),…,an(t)均为实函数,z(t)=
φ(t)+iψ(t)是(4.2)的复值解,那么Re{z(t)}=
φ(t),Im{z(t)}=ψ(t)及 z(t)=φ(t)-iψ(t)都
是(4.2)的解.
定理2 设x=z(t)=φ(t)+iψ(t)是 L[x]=u(t)+iv(t)的复值解,u(t),v(t), aj(t) (j=1,2,…n)均为实函数,那么 x=Re{z(t)}=φ(t) 是L[x]=u(t)的解, x=Im{z(t)}=ψ(t)是L[x]=v(t)的解.
ekt≡e αt(cos β t+isin βt).
(或者用 ekt (kt)n 来定义)

常系数齐次线性微分方程解法

第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ′′+py ′+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ′′+py ′+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r −±+−= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数、是方程的两个线性无关的解.x r e y 11=x r e y 22= 这是因为,函数、是方程的解, 又x r e y 11=x r e y 22=x r r x r x r e ee y y )(212121−==不是常数. 因此方程的通解为.x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分x r e y 11=x r xe y 12=方程的两个线性无关的解.这是因为, 是方程的解, 又x r e y 11=x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+′+′′ ,0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以也是方程的解, 且xr xe y 12=x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为.x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α−i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α−i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α−i β)x =e αx (cos βx −i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1−y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x −=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =0的通解的步骤为:第一步写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =0的通解.解所给微分方程的特征方程为r 2−2r −3=0, 即(r +1)(r −3)=0.其根r 1=−1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为y =C 1e −x +C 2e 3x .例2 求方程y ′′+2y ′+y =0满足初始条件y |x =0=4、y ′| x =0=−2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=−1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e−x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e−x.将上式对x求导,得y′=(C2−4−C2x)e−x.再把条件y′|x=0=−2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e−x.例 3 求微分方程y′′−2y′+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2−2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1−2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n−1)+p2 y(n−2) +⋅⋅⋅+p n−1y′+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n−1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y′, D2y=y′′, D3y=y′′′,⋅⋅⋅,D n y=y(n).分析:令y=e rx,则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n)e rx=L(r)e rx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r 1, 2=α ±i β 对应于两项: e αx (C 1cos βx +C 2sin βx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1);一对k 重复根r 1, 2=α ±i β 对应于2k 项:e αx [(C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1)cos βx +( D 1+D 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +D k x k −1)sin βx ].例4 求方程y (4)−2y ′′′+5y ′′=0 的通解.解这里的特征方程为r 4−2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2−2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0.解这里的特征方程为r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±−=β. 因此所给微分方程的通解为)2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++−.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:一、 f (x )=P m (x )e λx 型当f (x )=P m (x )e λx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e λx , 将其代入方程, 得等式Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).(1)如果λ不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则λ2+p λ+q ≠0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=Q m (x )e λx .(2)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0 的单根, 则λ2+p λ+q =0, 但2λ+p ≠0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +1 次多项式:Q (x )=xQ m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解 y *=xQ m (x )e λx .(3)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0的二重根, 则λ2+p λ+q =0, 2λ+p =0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +2次多项式:Q (x )=x 2Q m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=x 2Q m (x )e λx .综上所述, 我们有如下结论: 如果f (x )=P m (x )e λx , 则二阶常系数非齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =f (x )有形如y *=x k Q m (x )e λx的特解, 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式, 而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =3x +1的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=3x +1, λ=0). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−2y ′−3y =0,它的特征方程为r 2−2r −3=0.由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得−3b 0x −2b 0−3b 1=3x +1,比较两端x 同次幂的系数, 得, −3b ⎩⎨⎧=−−=−13233100b b b 0=3, −2b 0−3b 1=1.由此求得b 0=−1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+−=x y .例2 求微分方程y ′′−5y ′+6y =xe 2x 的通解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−5y ′+6y =0,它的特征方程为r 2−5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为 y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得−2b 0x +2b 0−b 1=x .比较两端x 同次幂的系数, 得, −2b ⎩⎨⎧=−=−0212100b b b 0=1, 2b 0−b 1=0. 由此求得210−=b , b 1=−1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*−−=. 从而所给方程的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+−+=.提示:y *=x (b 0x +b 1)e 2x =(b 0x 2+b 1x )e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′=[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′=[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x .y *′′−5y *′+6y *=[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′−5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′+6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ] =[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x −5[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x +6(b 0x 2+b 1x )e 2x =[2b 0+4(2b 0x +b 1)−5(2b 0x +b 1)]e 2x =[−2b 0x +2b 0−b 1]e 2x .方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解形式应用欧拉公式可得e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i n x i x i l x ωωωωλ−−−++= x i n lx i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()(21)]()([21ωλωλ−+++−= x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ−++=, 其中)(21)(i P P x P n l −=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y ′′+py ′+qy =P (x )e (λ+i ω)x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (λ+i ω)x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y −=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y −=+′+′′的特解, 其中k 按λ±i ω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解为 x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ−++= )sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ−++= =x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y ′′+py ′+qy =f (x )的特解可设为y *=x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按λ+i ω (或λ−i ω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例3 求微分方程y ′′+y =x cos2x 的一个特解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )属于e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型(其中λ=0, ω=2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y ′′+y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里λ+i ω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(−3ax −3b +4c )cos2x −(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31−=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+−=. 提示:y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *′=a cos2x −2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x ,=(2cx +a +2d )cos2x +(−2ax −2b +c )sin2x ,y *′′=2c cos2x −2(2cx +a +2d )sin2x −2a sin2x +2(−2ax −2b +c )cos2x =(−4ax −4b +4c )cos2x +(−4cx −4a −4d )sin2x .y *′′+ y *=(−3ax −3b +4c )cos2x +(−3cx −4a −3d )sin2x .由, 得⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−=+−=−0340304313d a c c b a 31−=a , b =0, c =0, 94=d .。

6-5常系数线性齐次微分方程

y = C1 e r1 x + C 2 e r2 x
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2. 当 p 2 4 q = 0 时, 特征方程有两个相等实根 r1 = r2 则微分方程有一个特解 y1 = e . r1 x 设另一特解 y2 = y1u ( x ) = e u ( x )
r1 x
( u (x) 待定)
第五节
第六章
常系数线性齐次微分方程
一,二阶常系数齐次线性微分方程解法二,n 阶常系数齐次线性微分方程解法
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一,定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式
y ( n ) + P1 y ( n1) + L + Pn1 y′ + Pn y = f ( x )
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y = e x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ).
例 4 设 y = e x ( C 1 sin x + C 2 cos x ) (C 1 , C 2 是任意常数) 为某一二阶常系数齐次线性微分方程的通解,写出该方程.
解由通解知,特征根为: 1 ± i 特征方程为微分方程为
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小结:
y′′ + p y′ + q y = 0 ( p, q为常数 )
特征方程: r 2 + pr + q = 0 , 特征根 : r1 , r2 特征根
r1 ≠ r2 实根 p r1 = r2 = 2 r1 ,2 = α ± i β
通
y = C 1e y=e
αx
通解中的对应项
(C0 + C1 x + L + Ck 1 x k 1 )e rx

4.2.1常微分方程-线性齐次常系数方程

x
(n)
a1 x
( n 1)

an1 x an x 0
1、复值函数定义
z (t ) (t ) i (t ) t [a, b]，
(t )， (t )是定义在 [ a , b ] 上的实函数。
极限
lim z (t ) lim (t ) i lim (t ) t0 [a, b]，
z (t ) z (t0 ) dz d lim z (t0 ) t t0 t t0 dt t t0 dt
t t0
d i dt
t t0
易验证
d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) dt dt dt d dz1 (t ) [cz1 (t )] c dt dt d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) z2 (t ) z1 (t ) dt dt dt
()
F ( ) n a1n1 an1 an 0
① 特征根为实根 I. 设 1 0 是 k 重特征根方程 ( ) 有 k 个线性无关的解 II. 设
1, t , t 2 ,
, t k 1
1 0 是 k 重特征根
e1t , te1t , t 2e1t , , t k 1e1t
性质1
e e
t
t
性质2
性质3 性质4
det et dt
e
( 1 2 ) t
e e
1t 2t
d n et n t e n dt
3、复值解定义如果定义在 [a, b] 上的实变量的复值函数
x z (t ) 满足方程

常微分方程4.2n阶常系数线性齐次方程解法

Y
C1e1xT1
C2e2xT2

Cne
n
Tx 3n
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
高阶线性方程
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f x (4.5)

c2 e 2 x

c enx n 11
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
例1 求方程 y 8y 7 y 0 的通解。
解第一步：特征方程及特征根
P() 2 8 7 0 1 1, 2 7
P() 0 满足
特征根
特征方程
结论： y e x 是方程的解的充要条件满足 P() 0
9
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。
P() n a1n1 an1 an 0
复习内容
一阶常系数线性齐次方程组的解法高阶线性方程
高阶线性方程的通解结构
2
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
一阶常系数线性齐次方程组的解法
dY AY dx
第一步：写出方程组的系数矩阵A
y e x

第四章42常系数线性微分方程的解法

k
从而，对应方程(4.19)变化为：
d x d x d x a1 n 1 an k k 0 n dt dt dt 显然，它有k个解： 1, t, t 2 , , t k 1 （线性无关）.
n
n 1
k
从而可得 : 特征方程(4.21)的k重零根对应着方程(4.19)的k个线性无关的解:1, t , t ,
3、复值解
d nx d n 1 x a1 (t ) n 1 an (t ) x f (t ) n dt dt n n 1 d x d x a1 (t ) n1 an (t ) x 0 n dt dt
(4.1) (4.2)
1) 定义：定义于区间a t b上的实变量复值函数z (t ),
bn y )e1t L1[ y ]e 1t
于是，方程(4.19)化为
dny d n1 y L1[ y ] n b1 n1 dt dt
bn y 0,
(4.23)
其中b1 , b2 ,, bn仍为常数, 令y et , 代入L1[ y] 0得：
L1[ y] L1[et ] G()et 0,

e , te , t e ,, t
mt mt
2 mt
2t
2t
2 2t
k2 1 2t
e ; e ;

(4.26)
e , te , t e ,, t
km 1 mt
下面，我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基
本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可.（见P140）
则(4.22)是方程(4.19)的基本解组 , 从而(4.19)的通解为

常系数线性微分方程的求解

r n + p1r n−1 + p2 r n−2 + L + pn = 0
Ce rx
(1) 每个单实根 r, 给出一项 (2) k 重实根 r, 给出 k 项 (3) 一对复根
e rx (C1 + C 2 x + L + C k x k −1 )
给出二项
r1 = α + β i , r2 = α − β i
9
ห้องสมุดไป่ตู้
自由振动体系,求质点的运动规律. 例3. 外力 f (t ) = B sin ω t 作用于例 4自由振动体系,求质点的运动规律.
F = − Cx
m
f (t)
x (t)
(强迫振动) 强迫振动)
x
O
解: 运动微分方程为 (1)对应的齐次方程是 (1)对应的齐次方程是特征方程是
d 2x + k 2 x = B sin ω t dt 2 d 2x + k2x = 0 dt 2
不是特征方程的根, I. ω ≠ k 时, α + β i = ω i 不是特征方程的根,故 k ′ = 0
x * = a cos ω t + b sin ω t
B . 通解: 通解: 2 2 k −ω B B * → ∞ x = X + x = A sin(kt + ϕ ) + 2 sin ω t ω → k , 2 k −ω2 k − ω2
y = e r1x (C1 + C 2 x)
r1 = α + β i, r2 = α − β i 时,
y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x )

常系数齐次线性微分方程

y1 常数 y2
得齐次方程的通解为 y e x ( C 1 cos x C 2 sin x ).
11
常系数齐次线性微分方程
由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 例求方程 y 4 y 4 y 0 的通解 . 解特征方程特征根
x
故所求通解为
y e (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
r1 i , r2 i , 得齐次方程的通解为
y e x ( C 1 cos x C 2 sin x )
13
常系数齐次线性微分方程
16 y 24 y 9 y 0, 例解初值问题 y x 0 4, y x 0 2 .
即
d 2uC duC LC RC uC Em sin t , 2 dt dt
常系数齐次线性微分方程
或写成
d 2 uC duC Em 2 2 0 uC sin t. 2 dt dt LC
上式中 R ， 0 2L
1 . LC
上述方程就就串联电路的振荡方程.
常系数齐次线性微分方程
二、二阶常系数齐次线性方程解法
----- 特征方程法
y p y qy 0
二阶常系数齐次线性方程
设解 y e rx 其中r为待定常数. 将其代入方程, 得（代数方程） erx 0, (r 2 pr q)erx 0 故有 r pr q 0 特征方程 (characteristic equation)
二阶常系数齐次线性方程 y p y qy 0 求通解的步骤: 2 (1) 写出相应的特征方程 r pr q 0 (2) 求出特征根

42常系数线性微分方程的解法

et cost, et sin t
为什么？
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例2 求方程 y(4) 6y(3) 15y 18y 10y 0 的通解
解：(复单根)特征方程为：
4 63 152 18 10 0
特征根对应的基本解组
1 1 i,2 1 i,3 2 i,4 2 i
, t k1 e 1 1 t , t k2 1e2t
, t km e 1 mt
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对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。
要（4.20）是方程（4.2）的解的充要条件为：
F () n a1 n1 an1 an 0 (4.21)
称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。
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于是有
求解常系数线性微分方程问题
L[ x]

dnx dt n

z2
(t)]

dz1(t) dt
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dz2 (t) dt
dz dt
[c

z1
(t
)]

c
dz1(t dt
)
乘积性
dz dt [z1(t) z2 (t)]
dz1(t dt
)

z2
(t
)

z1
(t
)

dz2 (t dt
)
注意：同实值函数的微分运算法则一样。
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假如有下面形式（4.20）是方程（4.19）的解

n阶常系数线性微分方程

6.5 n 阶常系数线性微分方程的解法从6.4节已经知道，欲求非齐次线性方程(4.10)的通解，只要求出其所对应的齐次线性方程(4.11)的通解及其本身的一个特解就可以了。

至于如何求出齐次线性方程(4.11)的通解，根据齐次线性微分方程通解的结构，只需求出它的n 个线性无关的解——基本解组。

再根据定理4.4，齐次线性微分方程的基本解组一定存在。

但在一般的情况下，并非总能具体求出。

即使能求出，计算也较为复杂。

但是，当齐次方程的系数()k a t 皆为实常数时，求它的基本解组的问题却可以化成一个代数问题——求多项式的根。

同样，当()k a t 皆为实常数时，求非齐次线性方程的特解，如果方程的非齐次项()f x 是较为常见的简单函数，如指数函数、正、余弦函数以及多项式函数等等，我们还有较为简单的方法求出。

这就是本节后面将要介绍的待定系数法。

形如()(1)11[]()n n n n L y y a y a y a y f x −−′=++++=L (5.1)的方程，其中k a ∈ ，1,2,,k n =L ，称为n 阶常系数非齐次线性微分方程。

如果()0f x ≡，即()(1)11[]0n n n n L y y a y a y a y −−′=++++=L (5.2)称为n 阶常系数齐次线性微分方程，也称(5.2)是(5.1)所对应的齐次线性方程。

6.5.1 n 阶常系数齐次线性微分方程解法首先考虑简单的一阶方程0y ay ′+= (5.3) 其中a 是常数，根据观察法，不难得出它有特解 axy e−=比较方程(5.2)和(5.3)，它们都是常系数齐次线性微分方程。

因此，我们猜想方程(5.2)也有形如xy e λ= (5.4) 的解，其中λ是待定常数。

为了确定出使(5.4)是(5.2)的解的λ，先形式上将(5.4)看作(5.2)的解，将它代入(5.2)之中，得12121[]()()x n n n x x n n L e a a a a e P e λλλλλλλλ−−−=+++++=L (5.5)其中 12121()n n n n n P a a a a λλλλλ−−−=+++++L称为方程(5.2)的特征多项式。

n阶常系数线性齐次方程解法

n 阶常系数线性齐次方程解法()(1)11[]0 (4.21)n n n n L y y a y a y a y --'=++++=0 (4.y a y '+=有特解ax y e -=，由此猜想(4.21)由特解x y e λ=(4.23)，因为111[]()() (4.24)x n n x x n n L e a a a e P e λλλλλλλ--=++++=，由此可知：x e λ是(4.21)的解()0 (4.25)P λ⇔=特征多项式，特征方程，特征根，求解微分方程归结为求解代数方程。

4.2.1 特征根都是单根。

定理4.8 如果(4.25)有n 个互异特征根12,,,n λλλ，则(4.21)有基本解组1212,,,n x x x n y e y e y e λλλ=== (4.26)。

证明：显然。

例1 求解方程50y y '''-=。

．．．例2 求方程560y y y '''-+=的通解及满足初值(0)1,(0)2y y '==的特解。

如果（4.25)有复根k a bi λ=+，则c o s s i n k x a x i b xa x a xk y e ee b x i e b x u i vλ+===+=+为复解。

下求实解。

k y u iv =-仍然是解。

1()c o s 21()s i n 2a xk k ax k ku y y e bx v y y e bx i ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩仍然为解，由此可知，共轭复解,k k y y 对应实解,u v 。

易知无关。

例3 求解方程39130y y y y ''''''-++=。

．．．例4 求解方程440y y y y ''''''-+-=。

4.2.2 特征根有重根设1λ是(1)k k n <≤重根，互异特征根为012,,,n λλλ，0n n <，此时，1x e λ，02,,n xx e e λλ没有构成基本解组，下面补充无关解。

第二讲§4.2 n阶常系数线性齐次方程的解法(2学时)

第二讲§4.2 n 阶常系数线性齐次方程的解法(2学时)教学目的: 本节主要讨论n 阶常系数线性齐次方程的解法。

教学要求: 掌握n 阶常系数线性齐次方程的一些解法，了解复值函数与复值解的有关结论。

教学重点: n 阶常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法教学难点: 特征根法和待定系数法教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

上一节我们已详细地讨论线性方程通解的结构问题,但是如何求通解的方法还没有具体给出,事实上,对一般的线性方程是没通用的解法.本节介绍求解常系数齐次线性方程通解的方法,是在线性方程基本理论上化为解一个相应的代数方程,而不必进行积分运算.进而介绍可化为常系数齐次线性方程的解法.讨论常系数线性方程的解法时,需要涉及到定变量的变值函数及复指数函数的问题.为此首先作一介绍. 一. 复值函数与复值解 1. 复值函数若)()(t t ψϕ和是区间b t a ≤≤上定义的实函数,我们称)1(),()()(2-=+=i t i t t z ψϕ为区间b t a ≤≤上的复值函数.若)(),(t t ψϕ在b t a ≤≤上连续，则称z(t)在b t a ≤≤上连续.若)(),(t t ψϕ在b t a ≤≤上可微，则称z(t)在b t a ≤≤上可微. 且z(t)的导数为:,dtd idtd dt dz ψϕ+=复函数求导法则与实函数相同. 2．复指数函数 ()()(cos sin )i tt z t ee t i t αβαββ+==+，欧拉公式:cos sin i ei θθθ=+3．复值解定义定义在区间a t b ≤≤上的实变量复值函数)(t z x =称为方程(4.5)的复值解，如果()(1)11()()()()n n n n zp t zp t z p t z f t --'++++=对于a t b ≤≤恒成立。

第七节、常系数齐次线性微分方程

特征根情形如下： (1) r1,2 0, 2 重实根，故对应项为：
e0x (C1 C2 x) C1 C2 x
(2) r3, 4 1 2i, 一对单复根，故对应项为：
e x (C3 cos 2 x C4 sin 2 x)
故所求通解为：
Y C1 C2 x e x (C3 cos 2 x C4 sin 2 x)
n 阶线性齐次微分方程的一般形式为
y(n) a1( x) y(n1) an1( x) y an ( x) y 0 若 a1( x), a2 ( x),an ( x) 都是常数，即
y(n) a1 y(n1) an1 y an y 0 其中，a1, a2 ,, an 都是常系数，
则称之为n 阶常系数齐次线性微分方程。
例3：求具有特解 y1 e x , y2 2xex , y3 3e x
的三阶常系数齐次线性微分方程。
解：因为 y1 e x , y2 2xex , y3 3e x 线性无关
故所求微分方程的通解为
C1 c1,
y c1 y1 c2 y2 c3 y3 C1ex C2 xex C3e x C2 2c2 ,
p24q , 2
r2 p
p 2 4q 2
,
（3）当 p 2 4q 0 时， r1 , r2 是一对共扼复根
记为
r1 i ,
r2 i ,
其中
p ,
2
4q p 2 , 此时 y 1 e ( i ) x , y 2 e (i ) x
2
是（1）的两个线性无关的特解。
（3）当 p 2 4q 0 时， r1 , r2 是一对共扼复根
r 2 pr q 0
（2）
r1 p
p 2 4q 2