三套大学初等数论期末考试试卷

期末考试卷(A)
一、填空题（每空3分，共45分）
1. 若a ︱b ，b ＜a ，则b= ；a ︱b ，b ︱a ，则a= 。

2. (36，108，204)= ；[30，45，84]= 。

3. 300 000的质因数标准分解为 ，它的所有正约数的个数
是 ，所有正约数的和是 。

4. 。

5. 四位数b a 27能同时被2，3，5整除，则a= ；b= 。

6. 用m ϕ（)表示数0,1,2,1m -中与数m 互质的数的个数，则
ϕ（20)= ，ϕ（120)= 。

7. 循环小数0.01001001000100010001……的循环节的长度h= 。

8. 已知费马（Fermat ）数为2F 21n
n =+，n N ∈，则前四个费马质数是 。

9. 设今天是星期一，则10
2天后是星期 。

二、从0、3、5、7四个数中任意选三个，排成能同时被2、3、5 整除的三位数，求这样的三位数，且确定有多少个这样的三位数。

（7分）
三、（16分）
1、求4063的个位数。

2、 求
1001006
！约分后的分母。

四．解方程（16分）。

＝0 ；
2. 525x ＋231y=42。

五．证明题、（16分） 1. 求证：77733337|(333777) 。

2．设p为质数，a为整数，且a2≡b2(mod p)，证明：a≡b(mod p)或a≡-b(mod p)。

中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考讧
数学专业初等数论试题
2007年7月
一、单项选择题(每题4分，共24分)
1．如果b，d，e，b，则( )．
A．a＝b B．a＝-b
C．a≥b D．a＝±b
2．如果2|n, 15|n，则30( )n．
A. 整除B．不整除
c. 等于D．不一定
3．大于10且小于30的素数有( )．
A．4个B．5个
C 6个D．7个
4．模5的最小非负完全剩余系是( )．
A．一2，一1，O，1，2 B．一5，一4，一3，一2，一1
C．1，2，3，4，5 D．0，1，2，3，4
5．如果( )，则不定方程ax+by＝c 有解．
A．(a，b)|c B．c|(a，b)
C．a|c D．(a，b)|a
6．整数637693能被( )整除．
A．3 B．5
C．7 D．9
二、填空题(每题4分，共24分)
1．x=[x]+ ·
2．同余式111x≡75(mod321)有解，而且解的个数．
3．在176与545之间有是17的倍数．
4．如果ab>o，则[a,b](a,b)= ·
5. a,b的最小公倍数是它们公倍数的·
S．如果(a，b)＝1，那么(ab，a+b)= ．
三、计算题(共32分)
1．求(336，221，391)＝?
2．求解不定方程4x+12y=8．
3．解同余式12x+4≡0(mod 7)．
4．解同余式x2≡2(mod 23)
四、证明题(第1小题10分，第2小题10分，共20分)
1．如果(a,b)＝1，则(a十b，a-b)＝l或2．
2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数．
试卷代号：1077
中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考试
2007年7月
一、单项选择题(每题4分，共24分)
1．B 2．D 3．B
4．A 5．D 6．A
二、填空题(每题4分，共24分)
1．{x}
2．3
3．12
4．ab
5．因数
6．1
三、计算题(每题8分，共32分)
1．求(336，221，391)＝?
解：(336，221，391)＝(336，(22l，391))…………………………—…………………(4分)
＝(336，17)＝l ，．，．．，，，．，．．．．．，．．．·(4分)
2．求解不定方程4x+12y＝8．
解：因为(4，12)＝4 | 8，所以有解……………………………………………………(2分)
化简x+3y＝2，则有x＝-1,y＝l ……………………………………………(4分)
通解为x＝-1十3t,y＝1一t ……………………………………………………(2分)
3．解同余式12x十4≡O(mod7)．
解：因为(12，7)＝1|4，所以有解，而且解的个数为1 …………………………(2分)
变形12x一7y＝一4………………………………………………………………(2分)
简单计算x≡2(mod7)．…………………………………………………………(4分)
4．解同余式x2≡2(mod23)
解：因为，所以有解，而且解的个数为2……………………(4分)
解分别为x≡5，18(mod23)………………………………………………………(4分)
四、证明题(第14、题lo分，第2小题lo分，共20分)
1．如果(a，b)＝1，则(a+b，a-b)＝1或2．
证明设(a十b，a一b)=d，则d|(a十b)，d|(a一b)…………………………………(3分)
所以d|(a十b)十(a一b)，d|2a．同理d|2b…………………………………………(4分)
再(a，b)＝1，所以d|2．即d＝1或2……………………………………—………(3分)
2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数．(10分)
证明设相邻两个偶数分别为2n，(2n+2)…………………………………………(2分)
所以2n(2n十2)＝4n(n十1) …………………………………………………………<3分)
而且两个连续整数的乘积是2的倍数………………………………………………(2分)
即4n(n+1)是8的倍数．…………………………………………—……………(3分)
初等数论
一、判断题
1、任意给出5个整数必有三个数之和能被整数3整除。

（√）
2、任何大于1的整数a，都至少有一个素因数。

（√）
3、若a=bp+q，则（a,b）=(b,r) （√）
4、若p︱，则p︱a （√）
5、同于具有反身性和传递性。

（√）
6、任何一个大于1的合数a，必然有一个不超过的素因数。

（√）
7、如果，… 两两互素，则，… 也一定是互素的。

（√）
8、b︱c，a︱c，a，b，c 为任意整数，且（a，b）=1，则ab︱c （√）
9、设p是素数，则（p-1）！≡-1（mod P）（√）
10、同余方程的解数不超过m。

（√）
二、填空题
1、整数a︱b，且b︱c，则a︱c 。

2、整数，… 的称为这n个数的最大公约数。

3、若干个整数的m倍，（m ，m …m ）= ︱m︱( ，… )
4、若干个数的称为这k个数的最小公倍数。

5、整数集合A中含有m个整数，且A中任意两个整数对于m是不同余的，则整数集合A是模m 的完全剩余系。

6、对于任意的正整数a、b，有[a,b]=
7、任何一个整数和它自身对于模m 同余
8、不同的剩余类中的任何两个整数对模m是不同余的.
9、若n为奇数，则8 ︱-1
10、n元一次不定方程有解的充分必要条件是：
︱b
三、选择题
1、若（a，b）互素，则（a，bc）与（a，c） A
A 相等
B
C D
2、若整数，… 两两互素，即（，）=1，（1≤i，j≤n且i≠j）是[ ，… ]= ，… 的 B 。

A 充分条件B充要条件C必要条件D既不充分也不必要条件
3、设a、b是两整数，且b≠0，则存在 C 的两个整数q和r，使得a=bq+r,0≤r＜︱b︱
A B C 唯一 D
四、计算题
1、设a，b是整数，且9︱+ab+ ，则3︱（a，b）
（第一章第三节例3）
2、求（12345，678）
（第一章第五节辗转相除法例二）
3、解同余方程325X≡2a （mod 161）
（第五章第一节例2）
4、设a、b是正整数，b<2, 则-1︱-1
（第一章第三节例4）
5、将-1=34359738367，分解因数
（第三章第四节Euler定理例7）
6、求被50除的余数
（第二章第一节例4）
五、证明题
1、设a，b是两整数，b≠0。

证明存在唯一两个整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜︱b︱.
（第一章第二节定理一）
2、设A=﹛，… ﹜是模m的完全系，以﹛x﹜表示x的小数部分。

证明：若（a，m）=1，则=（m-1）／2 （第二章第二节例1）
3、证明：对于任意整数n，f（n）=3 +5 +7n被15整除。

（第一章第二节带余除法例5）
4、假设a为正整数，则5︱的充要条件为4︱n。

（第三章第四节Enler定理例1）。