江苏省南京市金陵中学2021届高三上学期学情调研测试(10月)数学试题含答案

2 ln x, x e
则 a＋b＋c 的取值范围是
．
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
在 △ ABC 中 ， a ， b ， c 分 别 为 内 角 A ， B ， C 的 对 边 ， 且 满 足
D．
3
6．已知△ABC 的面积为 S，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2S＝(a＋b)2﹣c2，则 tanC
的值是
A． 4 3
B． 4 3
C． 3 4
D． 3 4
7．若过抛物线 y2 4x 的焦点作两条互相垂直的弦 AB，CD，则四边形 ACBD 的面积的最
小值为
A．8
B．16
C．32
数列．
（1）求数列an 的通项公式；
（2）若数列bn 满足 bn (1)n an ( 2)1an ，求数列 bn 的前 2n 项的和 T2n ．
19．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍，P 为
侧棱 SD 上的点． （1）求证：AC⊥SD； （2）若 SD⊥平面 PAC，求二面角 P—AC—S 的大小．
．
14．已知二项式 (x2 a)6 的展开式中含 x3 项的系数是 160，则实数 a 的值是
．
x
15．已知正三棱锥 S—ABC 的侧棱长为 4 3 ，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的表面
2
积是
．
16．已知函数
f
(
x)
ln
x
,
0
xe
，若 a，b，c 互不相等，且
f (a)
f
(b)
f (源自文库) ，
1
A．
3
5
B．
3
5
C．
3
13
D．
3
4．马林·梅森(Marin Mersenne，1588—1648)是 17 世纪法国著名的数学家和修道士，也是
当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对 2P﹣
1 作了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如 2P﹣1
件这种产品，若是正品，则盈利 90 元；若是次品，则亏损 30 元．记 为生产一件这种产品
的利润，求随机变量 的分布列和数学期望．
参考数据： 150 ≈12.2．
若 X~N( ， 2 )，则 P( ﹣ ＜X≤ ＋ )≈0.6827，P( ﹣2 ＜X≤ ＋2 )≈ 0.9545，P( ﹣3 ＜X≤ ＋3 )≈0.9973．
至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知圆 C：x2＋y2﹣2x＝0，点 A 是直线 y＝kx﹣3 上任意一点，若以点 A 为圆心，半径
为 1 的圆 A 与圆 C 没有公共点，则整数 k 的值可能为
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
10．下列说法正确的是
A．若 x，y＞0，x＋y＝2，则 2x 2y 的最大值为 4
B．若
x＜
1 2
，则函数
y
2x
1 2x 1
的最大值为﹣1
C．若 x，y＞0，x＋y＋xy＝3，则 xy 的最小值为 1
D．函数
y
1 sin2
x
4 cos2
x
的最小值为
9
11．已知集合 M＝ (x, y) y f (x) ，若对于任意( x1 ， y1 )M，存在( x2 ， y2 )M，使
得 x1x2 y1 y2 0 成立，则称集合 M 是“完美对点集”．给出下列四个集合：
频数
2
9
22
33
24
8
2
已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布 N( ， 2 )， 其中 近似为样本平均数
x ， 2 近似为样本方差 s2 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）求 P(132.2＜l＜144.4)； （2）公司规定：当 l≥115 时，产品为正品；当 l＜115 时，产品为次品．公司每生产一
（其中 p 是素数）的素数，称为梅森素数．在不超过 40 的素数中，随机选取两个不同的
数，至少有一个为梅森素数的概率是
5
A．
11
1
B．
6
5．若函数 f (x) sin(1 x ) 2
9
C．
22
1
D．
22
3 cos(1 x ) ( )的图像关于原点对称，则 的值
2
2
为
A． 6
B．
6
C． 3
江苏省南京市金陵中学 2021 届高三年级学情调研测试
数学试题
2020．10
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．若集合 A＝{0，1，2}，B＝ x x2 3x 0 ，则 A B＝
20．（本小题满分 12 分）
3
某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为 l，单位：cm），先从中随机
抽取 100 件，测量发现全部介于 85cm 和 155cm 之间，得到如下频数分布表：
分组 [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) [125，135) [135，145) [145，155)
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) x ln x ， g(x) (x2 1) （ 为常数）． （1）当 1 时，证明：对任意 x[1， )，不等式 f (x) g(x) 恒成立；
2 （2）若对任意 x[1， )，不等式 f (x) g(x) 恒成立，求实数 的取值范围．
(b a)(sin B sin A) c( 3 sin B sin C) ．
（1）求 A 的大小；
（2）再在①a＝2，②B＝
，③ c
3b ，这三个条件中，选出两个使△ABC 唯一确
4
定的条件补充在下面的问题中，并解答问题．若
，
，求△ABC 的面积．
18．（本小题满分 12 分）
设 n N ，数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 Sn1 Sn an 2 ， a1 ， a2 ， a5 成等比
22．（本小题满分 12 分）
x2 如图，已知椭圆 C： a2
y2 b2
1(a＞b＞0)的离心率 e＝ 1 2
，椭圆上的点到左焦点 F1 的
距离的最大值为 3． （1）求椭圆 C 的方程； （2）求椭圆 C 的外切矩形 ABCD 的面积 S 的取值范围．
参考答案
4
1．B 2．A 3．D 4．A 9．ABC 10．BD 11．BD
①M＝ (x,
y)
y
1
；②M＝
(x,
y)
y sin x 1
；
x
③M＝ (x, y) y log2 x ；④M＝ (x, y) y ex 2 ．
其中是“完美对点集”的序号为
A．①
B．②
C．③
D．④
12．如图，已知在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，点 E，F，H 分别是 AB，DD1，
D．64
8．已知点 P 为函数 f (x) 1 x2 2ax 与 g(x) 3a2 ln x b (a＞0)的图象的公共点，若以 2
点 P 为切点可作直线与两个函数的图象都相切，则实数 b 的最大值为
1
A．
2
2
e3
3
B．
3
e
2 3
2
C．
2
3
e2
3
D．
3
e
3 2
2
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中，
A．{1，2}
B．{0，1，2}
C．{0，1，2，3} D． x 0 x 3
2．已知复数 z 满足(2﹣i)z＝1＋2i（i 为虚数单位），那么 z 的虚部为
A．1
B．﹣1
C．0
D．i
5
3．若两个正数 a，b 的等差中项为 ，等比中项为
2
6
，且
a＞b，则双曲线
x2 a2
y2 b2
1的
的离心率 e 等于
13．32
14．2
15．64π
17．
5．D 6．B 7．C 12．ABD
16．( 2e 1 ， 2 e2 ) e
8．B
18．
5
19．
20．
6
21．
7
8
22．
9
10
BC1 的中点，下列结论中正确的是
A．C1D1∥平面 CHD
B．AC1⊥平面 BDA1
5
C．三棱锥 D—BA1C1 的体积为
6
D．直线 EF 与 BC1 所成的角为 30°
第 12 题
三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上）
13．若等比数列 an 的前 n 项的和为 Sn ，且满足 S2 3 ， S3 S1 6 ，则 a6 ＝