【高考数学试题】2001年高考.全国卷.理科数学试题及答案

【高考数学试题】2001年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理工农医类）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 60分）
注意事项：
1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写
在答题卡上。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：
三角函数的积化和差公式
()()[]βαβαβα-++=sin sin 2
1cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 2
1sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 2
1cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2
1sin sin 正棱台、圆台的侧面积公式 ()l c c S +'=2
1台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长
台体的体积公式
()
h S S S S V +'+'=
3
1台体 其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高
一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 若0cos sin >θθ，则θ在
（A ）第一、二象限 （B ）第一、三象限 （C ）第一、四象限 （D ）第二、四象限
（2）过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是
（A ）()()41322=++-y x （B ）()()41322=-++y x （C ）()()41122=-+-y x （D ）()()4112
2=+++y x （3）设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6
（4）若定义在区间()01，
-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是 （A ）（0，21） （B ）（0，21] （C ）（2
1，+∞） （D ）（0，+∞） (5)极坐标方程)4sin(2π
θρ+=的图形是
（A ） （B ） （C ） （D ）
（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是 （A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π
（C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y （D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π
（7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为
（A ）43 （B ）32 （C ）21 （D ）4
1 （8）若4
0πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则 （A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab
（9）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为
（A ）60° （B ）90° （C ）105° （D ）75°
（10）设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题：
○
1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ○
2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ○
3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ○
4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减； 其中，正确的命题是
（A ）○1○3 （B ）○1○4 （C ） ○2○3 （D ）○2○4
（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面
积分别为321P P P 、、.
①
② ③
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 （A ）123P P P >>（B ）123P P P =>（C ）123P P P >=（D ）123P P P ==
（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。

连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。

现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。

则单位时间内传递的最大信息量为
（A ）26 （B ）24
（C ）20 （D ）19
第II 卷（非选择题 90分）
注意事项：
1． 第II 卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横
线上。

（13）若一个椭圆的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个椭圆的侧面积是
（14）双曲线116
92
2=-y x 的两个焦点为21F F 、，点P 在双曲线上.若1PF ⊥2PF ，则点P 到x 轴的距离为 .
（15）设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和.若{}n S 是等差数列，则=q .
（16）圆周上有2n 个等分点（1>n ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .
三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。

(17)(本小题满分12分)
如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，
∠90=ABC °，SA ⊥面ABCD ，1===BC AB SA ，
2
1=AD . (Ⅰ)求四棱锥ABCD S -的体积；
(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.
(18) (本小题满分12分)
已知复数31)1(i i z -=.
(Ⅰ)求1arg z 及1z ；
(Ⅱ)当复数z 满足1=z ，求1z z -的最大值.
（19）(本小题满分12分)
设抛物线)0(22
>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A 、两点. 点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴. 证明直线AC 经过原点O .
（20）(本小题满分12分)
已知n m i ,,是正整数，且n m i <≤<1.
(Ⅰ)证明 i n i i m i P m P n <； (Ⅱ)证明 m
n n m )1()1(+>+.
(21) (本小题满分12分)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
5
1. 本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41. (Ⅰ)设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元. 写出n n b a ,的表达式； (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?。