2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第7讲立体几何中的向量方法一证明平行与垂直练习理

第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

一、选择题

1.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( )

A.l ∥α

B.l ⊥α

C.l α

D.l 与α相交

解析 ∵n ＝－2a ，∴a 与平面α的法向量平行，∴l ⊥α.

答案 B

2.若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )

A.相交

B.平行

C.在平面内

D.平行或在平面内

解析 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面.

则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内.

答案 D

3.已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )

A.P (2，3，3)

B.P (－2，0，1)

C.P (－4，4，0)

D.P (3，－3，4)

解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1，4，1)，

∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，

∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.

答案 A

4.(2017·西安月考)如图，F 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点.E

是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有( )

A.B 1E ＝EB

B.B 1E ＝2EB

C.B 1E ＝12

EB D.E 与B 重合

解析 分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则D (0，0，0)，F (0，1，0)，D 1(0，0，2)，设E (2，2，z )，D 1F →＝(0，1，－2)，DE →

＝(2，2，z )，∵D 1F →·DE →＝0×2＋1×2－2z ＝0，∴z ＝1，∴B 1E ＝EB .

答案 A

5.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，

CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：

①A 1M ∥D 1P ；

②A 1M ∥B 1Q ；

③A 1M ∥平面DCC 1D 1；

④A 1M ∥平面D 1PQB 1.

以上说法正确的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12

AB →，∴A 1M →∥D 1P →，所以A 1M ∥D 1P ，由线面平行的判定定理可知，A 1M ∥面DCC 1D 1，A 1M ∥面D 1PQB 1.①③④正确.

答案 C

二、填空题

6.(2017·武汉调研)已知平面α内的三点A (0，0，1)，B (0，1，0)，C (1，0，0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.

解析 设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )，

由m ·AB →＝0，得x ·0＋y －z ＝0⇒y ＝z ，

由m ·AC →＝0，得x －z ＝0⇒x ＝z ，取x ＝1，

∴m ＝(1，1，1)，m ＝－n ，∴m ∥n ，∴α∥β.

答案 α∥β

7.(2017·西安调研)已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，

－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝________.

解析 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧3＋5－2z ＝0，x －1＋5y ＋6＝0，3（x －1）＋y －3z ＝0，

解得x ＝407，y ＝－157，z ＝4， ∴x ＋y ＝407－157＝257

. 答案 257

8.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，

0)，AP →＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是________.

解析 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，

∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确.又AB →与AD →不平行，

∴AP →是平面ABCD 的法向量，则③正确.

由于BD →＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →＝(－1，2，－1)，

∴BD →与AP →不平行，故④错误.

答案 ①②③

三、解答题

9.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12

PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .

证明 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA ，DP ，DC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .

依题意有Q (1，1，0)，C (0，0，1)，P (0，2，0)，

则DQ →＝(1，1，0)，DC →＝(0，0，1)，PQ →＝(1，－1，0).

∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0.

即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，

又DQ ∩DC ＝D ，∴PQ ⊥平面DCQ ，

又PQ 平面PQC ，∴平面PQC ⊥平面DCQ .

10.(2017·郑州调研)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED .