大学物理 第3章刚体力学基础(完全版)课件
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《刚体力学基础》课件
2
刚体在作用力学和运动学中的应用
说明刚体在作用力学和运动学研究中的应用，如力的分析和刚体的运动分析。
3
刚体力学与其他学科的关系
探讨刚体力学与其他学科的关系，如力学、工程学和物理学等的联系。
六、总结
1 刚体力学基础的重要性
总结刚体力学基础的重要性，强调其在物体运动研究中的价值。
2 接下来的深入研究方向
介绍刚体力学研究中所采用 的基本假设和运动条件，以 便准确描述刚体的运动。
二、刚体的运动学
1
刚体的平动运动和定点运动
讲解刚体的平动运动和定点运动，包括平移和旋转的概念以及运动轨迹。
2
刚体的旋转运动和欧拉角
解释刚体的旋转运动和欧拉角的概念，阐明旋转的自由度和描述方法。
3
刚体的复合运动
讲述刚体的复合运动，即平动和旋转运动的组合，展示不同运动方式的例子。
ห้องสมุดไป่ตู้
刚体静力学的经典问题
介绍刚体的平衡和力的平衡条件， 解释如何使刚体保持静止。
探讨刚体静力学中的经典问题， 如杠杆原理和平衡木问题。
牛顿第三定律在刚体上的 应用
讲解牛顿第三定律在刚体运动中 的应用，如碰撞和反作用力。
五、实际应用
1
刚体在机械和结构工程中的应用
展示刚体在机械和结构工程中的应用案例，如建筑物和机械装置。
提出刚体力学研究中的深入方向，如刚体动力学和非线性刚体力学。
3 刚体力学研究的意义
归纳刚体力学研究的意义，展示其对工程和科学领域的贡献。
三、刚体的动力学
牛顿第二定律在刚体 上的应用
探讨牛顿第二定律在刚体力学 中的应用，包括力和加速度的 关系。
刚体的角动量和角动 量定理
大学物理课件第3章-刚体
究力的平衡和静力问题。
刚体的分类总结
根据是否可以发生平动或转动， 可以将刚体分为可动刚体和固定 刚体两类。不同类型的刚体在研 究力和运动关系时具有不同的应
用场景和特点。
02
刚体的运动
平动
01
02
03
平动定义
刚体在运动过程中，其上 任意两点都保持相对位置 不变的运动。
平动特点
刚体上任意两点在运动过 程中保持相对位置不变， 刚体整体做平行移动，没 有发生旋转。
刚体的稳定性
总结词
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保 持原有平衡状态的能力。
VS
详细描述
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保持 原有平衡状态的能力。如果外力较小，刚 体能够恢复到原来的平衡状态，则称该平 衡状态是稳定的。反之，如果外力较小， 刚体不能恢复到原来的平衡状态，则称该 平衡状态是不稳定的。刚体的稳定性可以 通过对平衡状态的稳定性进行分析来确定 。
刚体的性质总结
刚体的性质包括不发生形变、具有无限大的弹性和重心位 置不变。这些性质使得刚体成为研究力和运动关系的理想 化模型。
刚体的分类
可动刚体
可动刚体是指可以发生平动或转 动的刚体。这类刚体通常用于研 究物体的运动状态和力的作用效
果。
固定刚体
固定刚体是指形状和大小始终不 变的刚体。这类刚体通常用于研
06
刚体的应用
刚体在日常生活中的应用
钟表
钟表内部的齿轮、指针等都是刚 体，其运动规律符合刚体的运动
定理。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
交通工具
自行车、汽车、火车等交通工具中 的轮子、轴承等都是刚体，其运动 规律符合刚体的运动定理。
家居用品
家具如椅子、桌子等，其结构大多 由刚体组成，符合刚体的运动定理 。
刚体的分类总结
根据是否可以发生平动或转动， 可以将刚体分为可动刚体和固定 刚体两类。不同类型的刚体在研 究力和运动关系时具有不同的应
用场景和特点。
02
刚体的运动
平动
01
02
03
平动定义
刚体在运动过程中，其上 任意两点都保持相对位置 不变的运动。
平动特点
刚体上任意两点在运动过 程中保持相对位置不变， 刚体整体做平行移动，没 有发生旋转。
刚体的稳定性
总结词
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保 持原有平衡状态的能力。
VS
详细描述
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保持 原有平衡状态的能力。如果外力较小，刚 体能够恢复到原来的平衡状态，则称该平 衡状态是稳定的。反之，如果外力较小， 刚体不能恢复到原来的平衡状态，则称该 平衡状态是不稳定的。刚体的稳定性可以 通过对平衡状态的稳定性进行分析来确定 。
刚体的性质总结
刚体的性质包括不发生形变、具有无限大的弹性和重心位 置不变。这些性质使得刚体成为研究力和运动关系的理想 化模型。
刚体的分类
可动刚体
可动刚体是指可以发生平动或转 动的刚体。这类刚体通常用于研 究物体的运动状态和力的作用效
果。
固定刚体
固定刚体是指形状和大小始终不 变的刚体。这类刚体通常用于研
06
刚体的应用
刚体在日常生活中的应用
钟表
钟表内部的齿轮、指针等都是刚 体，其运动规律符合刚体的运动
定理。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
交通工具
自行车、汽车、火车等交通工具中 的轮子、轴承等都是刚体，其运动 规律符合刚体的运动定理。
家居用品
家具如椅子、桌子等，其结构大多 由刚体组成，符合刚体的运动定理 。
大学物理教程课件讲义刚体力学基础
图3.13 例3.4图
3.2 刚体的定轴转动定律
例3.5 一根长为l，质 量为m的均匀细杆，可绕通过 其一端且与杆垂直的光滑水 平轴转动，如图3.14所示， 将杆由水平位置静止释放， 求它下摆到角度为θ 时
的角加速度和角速度。
图3.14 例3.5图
3.2 刚体的定轴转动定律
3.3 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.4.5
1.刚体定轴转动的功能原理
如果刚体在定轴转动中除受到外力矩外，还受到 保守力矩的作用，而在刚体的定轴转动中，涉及的势 能主要是重力势能。所以，保守力只考虑重力，当系 统取地球和刚体时，式(3-22) 可写为
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.2 刚体的定轴转动定律
图3.12 平行轴定理
3.2 刚体的定轴转动定律
以上例子是根据转动惯量的定义式（3-5）计算规则几 何形状的刚体的转动惯量，对于几何形状较复杂的刚体通 常要用实验测定。表3.1列出几种几何形状简单、规则、密 度均匀的物体对通过质心的不同转轴的转动惯量。
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2.3 力对转轴的力矩
图3.9 转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
由转动定律的表达式M=Jβ可以看出，在相同的外力矩作 用下，刚体的转动惯量J越大，刚体所获得的角加速度β越小， 则刚体的转动状态不易改变；刚体的转动惯量J越小，刚体所获 得的角加速度β越大，刚体的转动状态容易发生变化。转动惯 量J是和质量m相对应的物理量，物体的质量m是质点的平动惯性 的量度，而刚体的转动惯量J是刚体转动惯性的量度。
3.2 刚体的定轴转动定律
例3.5 一根长为l，质 量为m的均匀细杆，可绕通过 其一端且与杆垂直的光滑水 平轴转动，如图3.14所示， 将杆由水平位置静止释放， 求它下摆到角度为θ 时
的角加速度和角速度。
图3.14 例3.5图
3.2 刚体的定轴转动定律
3.3 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.4.5
1.刚体定轴转动的功能原理
如果刚体在定轴转动中除受到外力矩外，还受到 保守力矩的作用，而在刚体的定轴转动中，涉及的势 能主要是重力势能。所以，保守力只考虑重力，当系 统取地球和刚体时，式(3-22) 可写为
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.2 刚体的定轴转动定律
图3.12 平行轴定理
3.2 刚体的定轴转动定律
以上例子是根据转动惯量的定义式（3-5）计算规则几 何形状的刚体的转动惯量，对于几何形状较复杂的刚体通 常要用实验测定。表3.1列出几种几何形状简单、规则、密 度均匀的物体对通过质心的不同转轴的转动惯量。
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2.3 力对转轴的力矩
图3.9 转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
由转动定律的表达式M=Jβ可以看出，在相同的外力矩作 用下，刚体的转动惯量J越大，刚体所获得的角加速度β越小， 则刚体的转动状态不易改变；刚体的转动惯量J越小，刚体所获 得的角加速度β越大，刚体的转动状态容易发生变化。转动惯 量J是和质量m相对应的物理量，物体的质量m是质点的平动惯性 的量度，而刚体的转动惯量J是刚体转动惯性的量度。
第三章刚体力学基础[1]PPT课件
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注意： F应该理解为外力在转动平面内的分力
如果有几个外力矩作用在刚体上，则合力矩等于
各个力矩的代数和
Mi riFi
i
i
力是引起质点运动状态变化的原因，而力矩是引起
转动物体运动状态变化的原因
二 刚体绕定轴的转动定律
刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出
F ifi m iai
外力的合力
内力的合力
假设 Fi和fi 都是位于质
点i所在的转动平面内
得到：
质点i的加速度 Z Mz
df
dF
Odr
dm
dF
F i fi m ia i m ir i
转动平面
dFn
转动定律
将力分解为作用在质量元△m上
的切向力和法向力
Z Mz
Fifim iai
dF df
Finfinmiain
将切向分量式两边同乘r，
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J r2dm
Z
R 2dm R 2 dm m2R O
J是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。
R dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动 惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
•转轴的位置
布，与转轴的位置结合决定转
•刚体的形状
轴到每个质元的矢径。
单个质点的转动惯量 J miri2 n
质点系的转动惯量 J (miri2)
i1
质量连续分布的刚 体的转动惯量
J r2dm m
国际单位制中转动惯量的单位为千克·米2（kg·m2）
转动惯量的定义及物理意义
刚体力学基础PPT课件
转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
5
二、刚体定轴转动的描述
1.刚体定轴转动的特点 轴上各点都保持不动，轴外各点在同一时间间隔内转过的角度一样。
以某转动平面与转轴的交点为原点，转动平面上所有质元都绕着这个 原点作圆周运动。
2.描述 可类似地定义绕定轴转动的刚体的：
*角位置 (t)
i
ri
z
切向加速度 法向加速度
ai ri
ani ri 2
ri
vi
§3-2 定轴转动刚体的转动惯量
一、刚体定轴转动定律
（1）单个质点m
与转轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sinθ
z
M
Ft
F
O
r
m
Fn
M rFt mr 2 M mr2
一、刚体运动分类
2.转动 如果刚体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为转动，
这条直线称为转轴。
A
A
分为定轴转动和非定轴转动
*非定轴转动 若转轴方向或位置变化，这种转动称为非定轴转动
A
A
* 定轴转动 若转动轴固定不动，这种转动称为定轴转动. 这个转
轴称为固定轴，
转动平面：垂直于固定轴的平面
内力（F质i2j 量）元刚受体外力Fej ，
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
j
j
Mij M ji Mij 0
j
大学物理课件第3章刚体力学
d dt
3
二. 刚体的定轴转动 1.力矩
力F 对o点的力矩定义为：
M=r×F 力矩的大小: M=Frsin =Fd 方向: r F 右手螺旋 注意: 对定轴转动, (1)只有 在垂直于转轴平面内的力才会 产生力矩; 平行于转轴的力是 不会产生力矩的。 (2)力矩的方向沿转轴。
2
T2
m: mg-T2= ma
a=R1= r2 , 2=2ah
求解联立方程，代入数据，可得
m mg
=2m/s, T1=50N, T2=60N。
17
例题1.6 均匀细棒(m、长l)AB可绕o轴转 动，Ao= l/3。求棒从水平位置静止开始转过 角 时的角加速度和角速度。 解 重力集中在质心，其力矩为
即一对内力的力矩的矢量和为零。 也可以从力矩大小对应于平行四边形面积的角 度来看。 两个平行四边形底和高都相等，故而面积相同； 两力矩大小相等，方向相反，于是矢量和为零。 任意质点系的合内力矩都为零。
6
三. 转动惯量
1.转动惯量的物理意义
M I F ma
质量m—物体平动惯性大小的量度。
2
1
2
t1
26
例题2.1 一质点的质量为m，位矢为： r =acos t i+bsin t j (式中a、b、 均为常量); 求质点的角动量及它所受的力矩。 z dr k 解 asinti bcostj j o dt
i x L r ( m ) mr m(acosti bsintj ) ( asinti bcostj ) 2 2 mabsin tk mabcos tk
25
大学物理第三章刚体力学PPT课件
精选
7
F is iin fis iin m ir i
两边同乘ri，得
F ir i siin fir i siin m ir i2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
F ir is ii n fir is ii n ( m ir i 2 )
密度为，则dm=dx，有：
Ox
dx
l
J0r2dm ll2 2x2dx1l32 1 1m 22 l
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时：
JAr2dm0 lx2dx3 l31 3m2l
精选
12
例2 求质量为m、半径为R、厚 为h的均质圆盘对通过盘心并与 盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一 半径为r，宽度为dr的薄圆环，它的转动惯量为：
转动惯量与刚体的大小形状、质量分布以及转
轴的位置等有关。
精选
9
一般的情况下刚体质量是连 续分布的，把它分割成无限多个 微小部分，其中质量为dm的小块 到转轴的垂直距离为r，则它对该 转轴的转动惯量为
dJr2dm
r dm
积分得到整个刚体对相应转轴的转动惯量为
J r2dm
精选
10
常见刚体的转动惯量
MF 2dF 2rsin
精选
5
若F位于转动平面内，则上式简化为
MFd Fsri n
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
M rF
大学物理第三章刚体力学
第三节 定轴转动的动能定理
1. 力矩的功
dA F dl F cos dl F cos rd Frsin d Md
A Md
1 2
d
dl
r
F
dA d M M 功率为： P dt dt
2.转动动能
刚体中任一质元 mi 动能：
1 1 2 2 2 mi vi mi ri 2 2
因此，刚体的转动动能：
ri
vi
1 1 2 2 2 2 Ek mi ri mi ri 2 2
1 2 Ek J 2
3.刚体做定轴转动时的动能定理
d dA Md J d J d d t 2 1 1 2 2 A dA J d J 2 J 1 1 2 2 1 2 1 2 A J 2 J 1 2 2
刚体各质元的角量相同，线量一般不同。 对刚体的运动描述，要注意角量、线量的特点。 对于定轴转动任意一点线速度与角速度、线加速度与角加 速度的关系：
v r
at r an r 2
刚体作匀变速转动时， 0 t 有以下的运动方程： 1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 0
定轴转动角动量定理：作定轴转动的刚体所受的对轴的的 冲量矩等于系统角动量的增量。
对于绕固定点的转动，可以做如下变化
dL M dt
t2 dL Mdt L2 L1 M t1 dt t2 是力矩在t1 到t2时间内的冲量矩。 M d t
t1
3.角动量守恒定律 ������ = 0 , ������������ = 0 , ������ = const. ������������ ������2 = ������1 ������2 ������ 2 = ������1 ������ 1 若系统合外力矩为零，则系统的角 动量守恒。 ——自然界重要的普遍规律
第3章 大学物理刚体力学ppt课件
M2 0
z F // M1 M r d
A
M2 F 2
F
对定轴转动，力矩用正负表示方向。 F1
F
M 1 0
3.合力矩
M M M M 1 2 3
M 对同一定轴的合力矩等于各分力矩的代数和 M i
与正方向相同的力矩取 正值，相反的取负值.
若力对刚体的转动状态有影响，称该力有力矩。若两个 力对刚体的转动状态影响相同，称为力矩相同。
力矩的影响因素分析，请选择： 1力矩与哪些因素有关？ A 力的大小； B 力的方向； C 力的大小和方向； D力的大小、力的方向、力的作用点； 2 如果一个垂直于门面的力分别作用在门的中心①与边 缘② ，两种方式中哪个更容易推动一个静止的门？ A ①容易；
3.1.2 角速度和角加速度
圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方 法，此处全部可用。此处注意方向性。 角速度的正负表示方向. 定轴转动： 可沿转轴设正方向，
dω z 2 角加速度： α 方向：右手螺旋拇指方向.
3 角量与线量的关系 2 法向加速度 an r 切向加速度
dt
3若 t 2 ，圆盘半径为r，其边缘加速度为 (E) 2 r(2 t)2r (F)
2r
(G) r(2t )
2
2 r e ( 2 t )r e (H) 2 t n
力矩为零的情况： 对定轴：
当力的作用线与轴平行或相交时， 该力对刚体转动状态不影响，相对于该 轴的力矩为零。
F1
F2
z 方向沿转轴
dv 0 0 r a t dt
A
v ωr
v
r
z F // M1 M r d
A
M2 F 2
F
对定轴转动，力矩用正负表示方向。 F1
F
M 1 0
3.合力矩
M M M M 1 2 3
M 对同一定轴的合力矩等于各分力矩的代数和 M i
与正方向相同的力矩取 正值，相反的取负值.
若力对刚体的转动状态有影响，称该力有力矩。若两个 力对刚体的转动状态影响相同，称为力矩相同。
力矩的影响因素分析，请选择： 1力矩与哪些因素有关？ A 力的大小； B 力的方向； C 力的大小和方向； D力的大小、力的方向、力的作用点； 2 如果一个垂直于门面的力分别作用在门的中心①与边 缘② ，两种方式中哪个更容易推动一个静止的门？ A ①容易；
3.1.2 角速度和角加速度
圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方 法，此处全部可用。此处注意方向性。 角速度的正负表示方向. 定轴转动： 可沿转轴设正方向，
dω z 2 角加速度： α 方向：右手螺旋拇指方向.
3 角量与线量的关系 2 法向加速度 an r 切向加速度
dt
3若 t 2 ，圆盘半径为r，其边缘加速度为 (E) 2 r(2 t)2r (F)
2r
(G) r(2t )
2
2 r e ( 2 t )r e (H) 2 t n
力矩为零的情况： 对定轴：
当力的作用线与轴平行或相交时， 该力对刚体转动状态不影响，相对于该 轴的力矩为零。
F1
F2
z 方向沿转轴
dv 0 0 r a t dt
A
v ωr
v
r
刚体力学基础 ppt课件
k
O
F1
F
F2
F 对转轴的力矩
M rF2 sin
r
17
PPT课件
第三章 刚体力学
17
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 二、转动定律 质点绕轴作圆周运 动,根据牛顿第二定律沿 切线方向的分量式
O
z
ri
Fii
mi
i
i
Fie
Fie sin i Fii sin i mi ait mi ri
z
O
r *
P
F
M Fr sin
0 π
π 2π
sin 0 力矩为正.
sin 0 力矩为负.
15
15
0 或 π sin 0 力矩为零. PPT课件 第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
力臂: 点 O 至力 F
的作用线的垂直距离.
3
PPT课件
第三章 刚体力学
3
教学基本要求
四 了解力矩的功和刚体转动动能的概念。
五 理解刚体对定轴的角动量概念，理解 刚体定轴转动的角动量定理，理解角动量守 恒定律。 六 了解经典力学的适用范围。
4
PPT课件
第三章 刚体力学
4
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
一、刚体的平动和定轴转动 刚体:在力的作用下,大小和形状都保持不变的物体. 刚体最基本的运动形式是平动和定轴转动.
n n
18
18
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
n 2 Fie ri sin i Fii ri sin i mi ri i 1 i 1 i 1
O
F1
F
F2
F 对转轴的力矩
M rF2 sin
r
17
PPT课件
第三章 刚体力学
17
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 二、转动定律 质点绕轴作圆周运 动,根据牛顿第二定律沿 切线方向的分量式
O
z
ri
Fii
mi
i
i
Fie
Fie sin i Fii sin i mi ait mi ri
z
O
r *
P
F
M Fr sin
0 π
π 2π
sin 0 力矩为正.
sin 0 力矩为负.
15
15
0 或 π sin 0 力矩为零. PPT课件 第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
力臂: 点 O 至力 F
的作用线的垂直距离.
3
PPT课件
第三章 刚体力学
3
教学基本要求
四 了解力矩的功和刚体转动动能的概念。
五 理解刚体对定轴的角动量概念，理解 刚体定轴转动的角动量定理，理解角动量守 恒定律。 六 了解经典力学的适用范围。
4
PPT课件
第三章 刚体力学
4
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
一、刚体的平动和定轴转动 刚体:在力的作用下,大小和形状都保持不变的物体. 刚体最基本的运动形式是平动和定轴转动.
n n
18
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§3.2 刚体定轴转动的转动定律
n 2 Fie ri sin i Fii ri sin i mi ri i 1 i 1 i 1
大学物理第三章PPT课件
第3章刚体力学基础
刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时完全不 会发生形变。因此运动过程中刚体内部任意两点之间 的距离始终保持不变。
§3.1 刚体运动的描述
一、刚体运动基本形式和自由度
自由度：完全描述运动所需的独立坐标数
（决定物体空间位置）
1 平动（平移）：刚体内任意两质点连线的 方向保持不变
自由度 i 3 (xc yc zc )
Lz Liz rimivi
i
i
( miri2 ) J
i
式中 J miri2
i
称为刚体对转轴 z 的转动惯量
代入
Mz
dLz dt
得到 M dJ
dt
J为常量 M = J dω J
dt
刚体定轴转动定理
z o
Li
ri
vi
mi
Ri
x o
y
F ma
M dL dt
L J
2
0
F
.y
O
F x
Fy mg
l0 C .
Fx
3l0 2l
1F
F .A
mg
M J
M J
l0F J
3l0F ml 2
F mg (Fx i Fy j ) mac
Fx
3l0 2l
1F
讨论
F
.y
O
F x
l0 C .
F .A
mg
(1) Fx
0, l0
2l 3
(2) Fx
0, l0
2 3
二、定 轴 转 动 定 理
刚体是一个质点系,描述质点系转动的动力
学方程
M
dL
z
dt
刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时完全不 会发生形变。因此运动过程中刚体内部任意两点之间 的距离始终保持不变。
§3.1 刚体运动的描述
一、刚体运动基本形式和自由度
自由度：完全描述运动所需的独立坐标数
（决定物体空间位置）
1 平动（平移）：刚体内任意两质点连线的 方向保持不变
自由度 i 3 (xc yc zc )
Lz Liz rimivi
i
i
( miri2 ) J
i
式中 J miri2
i
称为刚体对转轴 z 的转动惯量
代入
Mz
dLz dt
得到 M dJ
dt
J为常量 M = J dω J
dt
刚体定轴转动定理
z o
Li
ri
vi
mi
Ri
x o
y
F ma
M dL dt
L J
2
0
F
.y
O
F x
Fy mg
l0 C .
Fx
3l0 2l
1F
F .A
mg
M J
M J
l0F J
3l0F ml 2
F mg (Fx i Fy j ) mac
Fx
3l0 2l
1F
讨论
F
.y
O
F x
l0 C .
F .A
mg
(1) Fx
0, l0
2l 3
(2) Fx
0, l0
2 3
二、定 轴 转 动 定 理
刚体是一个质点系,描述质点系转动的动力
学方程
M
dL
z
dt
最新大学物理第3章-刚体力学基础课件ppt
对所有质元的同样的式子求和：
∑Fi risini+ ∑ fi rsi ini = (∑ mi ri2 )
一对内力的力矩之和为零，所以有
∑ Fi ri sini = （∑mi ri2）
只与刚体的形状、质量分布和转轴位置有关
大学物理学A
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
令J＝ ∑mi ri2 J为刚体对于定转轴的转动惯量
对平动的刚体列出牛顿第二定律方程，对定轴转动的刚体 列出定轴转动定律方程；
注意利用角量与线量的关系。
大学物理学A
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
例5: 已知光滑桌面,滑轮半径R,质量为Mc,两物体质 量分别为m1 m2 ,求两物体的加速度和绳的张力.
m2
a
m1
g
m1 解:
m1 m 2
T m 1m 2 g
1 3
mLL2
Jo
2 5
mo
R2
mO
J L 2 J 0 m 0 d 2 J 0 m 0 ( L R ) 2
J1 3m L L 25 2m oR 2m o(L R )2
大学物理学A
第一篇 力学基础
大学物理学A
匀质矩形薄板
转轴通过中
心垂直板面
I=
m 12
(a2 + b2
)
匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
FT 1mAa
m BgF T2 m Ba
RTF 2 RTF 1 J
a R
FN
PmAAO
FT1
x
第3章 刚体力学基础
FT1
FC
PC
FT 2
FT 2
O
mB
∑Fi risini+ ∑ fi rsi ini = (∑ mi ri2 )
一对内力的力矩之和为零，所以有
∑ Fi ri sini = （∑mi ri2）
只与刚体的形状、质量分布和转轴位置有关
大学物理学A
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
令J＝ ∑mi ri2 J为刚体对于定转轴的转动惯量
对平动的刚体列出牛顿第二定律方程，对定轴转动的刚体 列出定轴转动定律方程；
注意利用角量与线量的关系。
大学物理学A
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
例5: 已知光滑桌面,滑轮半径R,质量为Mc,两物体质 量分别为m1 m2 ,求两物体的加速度和绳的张力.
m2
a
m1
g
m1 解:
m1 m 2
T m 1m 2 g
1 3
mLL2
Jo
2 5
mo
R2
mO
J L 2 J 0 m 0 d 2 J 0 m 0 ( L R ) 2
J1 3m L L 25 2m oR 2m o(L R )2
大学物理学A
第一篇 力学基础
大学物理学A
匀质矩形薄板
转轴通过中
心垂直板面
I=
m 12
(a2 + b2
)
匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
FT 1mAa
m BgF T2 m Ba
RTF 2 RTF 1 J
a R
FN
PmAAO
FT1
x
第3章 刚体力学基础
FT1
FC
PC
FT 2
FT 2
O
mB
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环
(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转
动时，可将圆盘划分为若干个半
径r、宽dr的圆环积分 ：
Jc
R
r2
m
0 R
2
2rdr
1 mR 2 2
R
d m
r dr
图5-7
学习交流PPT
25
例题5-3 以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的 转轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到 100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。 试推算此转轮对该轴的转动惯量。
实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体
视为刚体。
刚体的特征：
(a)刚体上各质点之间的距离保持不变。
无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形 状都始终保持不变。
(b)刚体有确定的形状和大小。
(c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。
学习交流PPT
3
§5-1 刚体运动 学 一.刚体的平动和转动
学习交流PPT
19
二.转动惯量的计算
(1)质量离散分布刚体
J=Δmi ri2
(5-5)
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘
以它到转轴距离的平方的总和。
(2)质量连续分布刚体
J r2dm (5-6)
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
学习交流PPT
20
三.平行轴定理
Jo=Jc+Md2
第5章
Dynamics of Rigid
Bod刚y 体力学基础
(6)
学习交流PPT
1
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。
核心内容： • 定轴转动的转动定理 • 刚体的转动惯量 • 定轴转动的角动量守恒
• 定轴转动的功能原理 这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。
学习交流PPT
2
刚体——力学中物体的一种理想模型。 刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。
解 各物体受力情况如图所示。
m1:
T1R=
1 2
m1R21
m2:
T2r-T1r
=
1 2
m2r22
m: mg-T2= ma
1
T1
R
m1
T1
r 2
m
2
T2
a=R1=r2 , 2=2ah
m
求解联立方程，代入数据，可得
图5-9
=2m/s, T1=48N, T2=58N。
mg
学习交流PPT
28
小结: 若一个系统的运动包含物体平动和刚体的转动
角加速度和角速度。
解 细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力 矩为
Mo
mg l 6
cos
A
Jo
1 12
ml
2
m( l )2 6
1 9
ml
2
M o 3g cos
J o 2l
2 -o2 2
o
B
C
m g 图5-10
oc l - l l 236
学习交流PPT
30
Mo 3gcos d
Jo 2l
周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动
的,就称为定轴转动。
刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般
运动可看作是平动和转动的结合。
二.定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时,由于各质点 到转轴的距离不同,所以各质点的线 速度、加速度一般是不同的。
r
但由于各质点的相对位置保持不变,
所以描述各质点运动的角量,如角位移、
动惯量为
J2O=m.0
+2m(2l2)+3m(2l) 2
+4ml2+5m(2l2)=30ml 2
2m
l
ml
l 3m
o
4m
l
5m
图5-5
学习交流PPT
23
例题5-2 质量连续分布刚体: J r2dm
(1)质量为m、长度为l的细直棒，可绕通过质心C
且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。
解 方法：将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx ,然
问题：为何动量的概念对刚体 已失去意义？
Z
L o ri i
mi
图5-2
P=0
学习交流PPT
12
二.刚体定轴转动定理
设有一质点系, 第i个质点的
位矢为 ri , 外力为 Fi , 内力为 fij ,
j( i j )
按m质i：r 点i 角F 动i量r 定i 理j( (4i -j1)f 1i)j式，d(有r i d m iti)
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
dsrd
学习交流PPT
r ds d
o
x
8
•速度与角速度之间的关系
将 dsrd式两边同除 dt
ds r d dt dt
r
r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速 度可分解为切向加速 度和法向加速度.
a
o
ran
at
学习交流PPT
9
由
a
(5-4)
这就是刚体定轴转动定理，它是刚体定轴转动
的动力学方程 。
学习交流PPT
15
MJ (5-4)
(5-4)表明, 刚体所受的合外力矩等于刚体的转动
惯量与刚体角加速度的乘积。 恒与 M方向相同.
物理意义: 1 受合外力矩作用,刚体转动状态将发生改变，
产生角加速度。
J 当刚体的 一定时， M
a=R 解得 =2mg/[(2m+M)R],
T=Mmg/(2m+M)。
M •R
T
m
mg 图5-8
学习交流PPT
27
例题5-5 两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量 m1=24kg， m2=5kg。一轻绳缠绕于盘m1上，另一 端通过盘m2后挂有m=10kg的物体。求物体m由静止 开始下落h=0.5m时，物体m的速度及 绳中的张力。
角速度和角加速度都是一样的。
图5-
学习交流PPT
1
5
1 描述定轴转动刚体的运动的角量
• 角坐标：
角位移：
• 角速度
单位：rad
r
lim 方是 向：t矢 0与量 转. t向成右ddt手螺旋关系。
图51
学习交流PPT
6
•角加速度
lim ω t0 t
dω
dt
d 2θ
dt 2
角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，或为角坐标
26
例题5-4 质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通 过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕
有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的 物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。
解 对柱体,由转动定律M=J有 mg.R=J
这式子对吗？
错！此时绳中张力Tmg。 正确的解法是用隔离体法。
对m: mg-T=ma 对柱： TR=J
如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间
的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。
在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此
平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来
代表整个刚体的平动。
比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动
还是转动？
学习交流PPT
4
如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆
学习交流PPT
16
MJ 2 当M一定时， 1
J J是刚体转动惯性大小的量度
注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是
力矩，而不是力！
如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速
度一定大，则错。
学习交流PPT
17
MJ
2
M J
为瞬间作用规律。
一旦 M0，立刻0 ，匀角速度转动。
3 M 和 J ，均对同一转轴而言。
对时间 t 的二次导数。
单位：弧度/秒2，rad/s2, s-2 方向：角速度变化的方向。
0
0
学习交流PPT
7
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角 加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线 运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写 平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
2 线量与角量之间的关系
d dt
an
2 r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2 r2
r
•若角加速度 =c(恒量)，则有
a
o
ran
a
o t
ot
1t2
2
2 -o2 2
学习交流PPT
10
§5-2 刚体的定轴转动
一.刚体的角动量
刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。
设刚体以角速度 绕固定轴z转动(见图5-2),质量
为Δmi的质点对o点的角动量为
dt
又因 d d d d 3g cos dt d dt d 2l
d 3gcosd
0
0 2l
完成积分得 3gsin
l
A
o
C
讨论: (1)当=0时， =3g/2l， =0 ； m (2)当=90°时， =0， 3 g 图g5-10
l
学习交流PPT
B
31
例题5-7 匀质圆盘：质量m、半径R，以o的角
3
2
于是得 M-4g
J 3R
o
由= o+ t = 0得
dr
t -o 3RO
r
4g
水平桌面
又由2-o2=2 ，
(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转
动时，可将圆盘划分为若干个半
径r、宽dr的圆环积分 ：
Jc
R
r2
m
0 R
2
2rdr
1 mR 2 2
R
d m
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图5-7
学习交流PPT
25
例题5-3 以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的 转轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到 100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。 试推算此转轮对该轴的转动惯量。
实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体
视为刚体。
刚体的特征：
(a)刚体上各质点之间的距离保持不变。
无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形 状都始终保持不变。
(b)刚体有确定的形状和大小。
(c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。
学习交流PPT
3
§5-1 刚体运动 学 一.刚体的平动和转动
学习交流PPT
19
二.转动惯量的计算
(1)质量离散分布刚体
J=Δmi ri2
(5-5)
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘
以它到转轴距离的平方的总和。
(2)质量连续分布刚体
J r2dm (5-6)
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
学习交流PPT
20
三.平行轴定理
Jo=Jc+Md2
第5章
Dynamics of Rigid
Bod刚y 体力学基础
(6)
学习交流PPT
1
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。
核心内容： • 定轴转动的转动定理 • 刚体的转动惯量 • 定轴转动的角动量守恒
• 定轴转动的功能原理 这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。
学习交流PPT
2
刚体——力学中物体的一种理想模型。 刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。
解 各物体受力情况如图所示。
m1:
T1R=
1 2
m1R21
m2:
T2r-T1r
=
1 2
m2r22
m: mg-T2= ma
1
T1
R
m1
T1
r 2
m
2
T2
a=R1=r2 , 2=2ah
m
求解联立方程，代入数据，可得
图5-9
=2m/s, T1=48N, T2=58N。
mg
学习交流PPT
28
小结: 若一个系统的运动包含物体平动和刚体的转动
角加速度和角速度。
解 细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力 矩为
Mo
mg l 6
cos
A
Jo
1 12
ml
2
m( l )2 6
1 9
ml
2
M o 3g cos
J o 2l
2 -o2 2
o
B
C
m g 图5-10
oc l - l l 236
学习交流PPT
30
Mo 3gcos d
Jo 2l
周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动
的,就称为定轴转动。
刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般
运动可看作是平动和转动的结合。
二.定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时,由于各质点 到转轴的距离不同,所以各质点的线 速度、加速度一般是不同的。
r
但由于各质点的相对位置保持不变,
所以描述各质点运动的角量,如角位移、
动惯量为
J2O=m.0
+2m(2l2)+3m(2l) 2
+4ml2+5m(2l2)=30ml 2
2m
l
ml
l 3m
o
4m
l
5m
图5-5
学习交流PPT
23
例题5-2 质量连续分布刚体: J r2dm
(1)质量为m、长度为l的细直棒，可绕通过质心C
且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。
解 方法：将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx ,然
问题：为何动量的概念对刚体 已失去意义？
Z
L o ri i
mi
图5-2
P=0
学习交流PPT
12
二.刚体定轴转动定理
设有一质点系, 第i个质点的
位矢为 ri , 外力为 Fi , 内力为 fij ,
j( i j )
按m质i：r 点i 角F 动i量r 定i 理j( (4i -j1)f 1i)j式，d(有r i d m iti)
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
dsrd
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r ds d
o
x
8
•速度与角速度之间的关系
将 dsrd式两边同除 dt
ds r d dt dt
r
r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速 度可分解为切向加速 度和法向加速度.
a
o
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9
由
a
(5-4)
这就是刚体定轴转动定理，它是刚体定轴转动
的动力学方程 。
学习交流PPT
15
MJ (5-4)
(5-4)表明, 刚体所受的合外力矩等于刚体的转动
惯量与刚体角加速度的乘积。 恒与 M方向相同.
物理意义: 1 受合外力矩作用,刚体转动状态将发生改变，
产生角加速度。
J 当刚体的 一定时， M
a=R 解得 =2mg/[(2m+M)R],
T=Mmg/(2m+M)。
M •R
T
m
mg 图5-8
学习交流PPT
27
例题5-5 两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量 m1=24kg， m2=5kg。一轻绳缠绕于盘m1上，另一 端通过盘m2后挂有m=10kg的物体。求物体m由静止 开始下落h=0.5m时，物体m的速度及 绳中的张力。
角速度和角加速度都是一样的。
图5-
学习交流PPT
1
5
1 描述定轴转动刚体的运动的角量
• 角坐标：
角位移：
• 角速度
单位：rad
r
lim 方是 向：t矢 0与量 转. t向成右ddt手螺旋关系。
图51
学习交流PPT
6
•角加速度
lim ω t0 t
dω
dt
d 2θ
dt 2
角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，或为角坐标
26
例题5-4 质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通 过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕
有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的 物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。
解 对柱体,由转动定律M=J有 mg.R=J
这式子对吗？
错！此时绳中张力Tmg。 正确的解法是用隔离体法。
对m: mg-T=ma 对柱： TR=J
如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间
的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。
在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此
平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来
代表整个刚体的平动。
比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动
还是转动？
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4
如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆
学习交流PPT
16
MJ 2 当M一定时， 1
J J是刚体转动惯性大小的量度
注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是
力矩，而不是力！
如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速
度一定大，则错。
学习交流PPT
17
MJ
2
M J
为瞬间作用规律。
一旦 M0，立刻0 ，匀角速度转动。
3 M 和 J ，均对同一转轴而言。
对时间 t 的二次导数。
单位：弧度/秒2，rad/s2, s-2 方向：角速度变化的方向。
0
0
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7
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角 加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线 运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写 平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
2 线量与角量之间的关系
d dt
an
2 r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2 r2
r
•若角加速度 =c(恒量)，则有
a
o
ran
a
o t
ot
1t2
2
2 -o2 2
学习交流PPT
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§5-2 刚体的定轴转动
一.刚体的角动量
刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。
设刚体以角速度 绕固定轴z转动(见图5-2),质量
为Δmi的质点对o点的角动量为
dt
又因 d d d d 3g cos dt d dt d 2l
d 3gcosd
0
0 2l
完成积分得 3gsin
l
A
o
C
讨论: (1)当=0时， =3g/2l， =0 ； m (2)当=90°时， =0， 3 g 图g5-10
l
学习交流PPT
B
31
例题5-7 匀质圆盘：质量m、半径R，以o的角
3
2
于是得 M-4g
J 3R
o
由= o+ t = 0得
dr
t -o 3RO
r
4g
水平桌面
又由2-o2=2 ，