大学物理 第3章刚体力学基础(完全版)
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第三章刚体力学基础
（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
大学物理第三章刚体力学
三维
dm dm dV ：质量体密度
(2) 决定刚体转动惯量的因素
① 与刚体的总质量m有关
② 与转轴的位置有关
例题2. 求长为L、质量为m的均匀细棒AB的转动惯量.
(1) 对于通过棒的一端与棒垂直的轴;
(2) 对于通过棒的中心与棒垂直的轴.
J r 2dm
解：设 为单位长度的质量， m L ,则: dm dx
解
(1)
受力分析; 对于质点：牛顿第二定律
F
ma
题
要 (2) 列方程: 对于刚体：定轴转动定律 M J
点
线量与角量的关系：at R
(3) 解方程.
单选题 25分
4. 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端
分别悬有质量为m1和m2的物体，且m1<m2. 设滑轮的质量为M， 半径为R，绳与轮之间无相对滑动，则滑轮两侧绳中张力的大小
(1)求角加速度和从制动开始到停止转动飞轮转过的圈数；
(2)求从制动开始后 t =10s 时飞轮的角速度；
(3)设飞轮半径为0.5m，求在t =10s时飞轮边缘上一点的线速度和切
向及法向加速度.
解：(1)
已知0
2
1800 60
t 0 t
60 rad/s；t 20s时，t t 0 3 rad/s2
A 一定为零
B 不一定为零 C 一定不为零
提交
F
F
Fi 0 , M i 0
F
F
Fi 0 , M i 0
结论： 一个刚体所受合外力为零，其所受合外力矩不一定为零
3.2.2 定轴转动定律 转动惯量
1. 定轴转动定律
取刚上切a体式向it 内两：riF任F端iit 一同f质f乘iitF元以it irm，mif再iitiaa它i求it 所和m受ir：i 合 外力为Fo iz，ri f内i mf力iit 为Fit fFii:r
第三章+刚体力学基础
定轴转动刚体的角坐标。
θ角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和z 轴成右手螺旋时，θ角为正，否则θ角为负。
4、定轴转动刚体运动的描述 ①运动学方程： (t)， 即：角坐标随时间的变化规律。
②描述刚体整体运动的物理量——角量，包括：角位移， 角速度，角加速度。
角位移 ：定轴转动刚体在 t时间内角坐标的增量 。
任意质元的角位移 是相同的——是一整体运动的量。
面对z 轴观察：逆时针转动， 0 ；反之， 0。
单位： rad
角速度ω：在 t t t这一过程中，
(t)
lim
d
t0 t dt
即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。
面对z轴观察逆时针转动时： 0；反之， 0。
②刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但
各质元的速度和加速度却相同。
rj ri rij O
rj
rij
r 根据刚体平动特点
drj dt
dri dt
vj
ijv为i , 恒矢dd2t量r2j
d 2ri dt 2
ri
a j
ai
刚体内任何一点的运动就可代表整个刚体的运动
小结:
刚体上各质点的位置、线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体的转动用角量最方便。
角量与刚体上各质点具体位置 无关
角坐标
角位移
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
d
dt
v r an r 2 a r
θ角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和z 轴成右手螺旋时，θ角为正，否则θ角为负。
4、定轴转动刚体运动的描述 ①运动学方程： (t)， 即：角坐标随时间的变化规律。
②描述刚体整体运动的物理量——角量，包括：角位移， 角速度，角加速度。
角位移 ：定轴转动刚体在 t时间内角坐标的增量 。
任意质元的角位移 是相同的——是一整体运动的量。
面对z 轴观察：逆时针转动， 0 ；反之， 0。
单位： rad
角速度ω：在 t t t这一过程中，
(t)
lim
d
t0 t dt
即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。
面对z轴观察逆时针转动时： 0；反之， 0。
②刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但
各质元的速度和加速度却相同。
rj ri rij O
rj
rij
r 根据刚体平动特点
drj dt
dri dt
vj
ijv为i , 恒矢dd2t量r2j
d 2ri dt 2
ri
a j
ai
刚体内任何一点的运动就可代表整个刚体的运动
小结:
刚体上各质点的位置、线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体的转动用角量最方便。
角量与刚体上各质点具体位置 无关
角坐标
角位移
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
d
dt
v r an r 2 a r
大学物理教程课件讲义刚体力学基础
图3.13 例3.4图
3.2 刚体的定轴转动定律
例3.5 一根长为l，质 量为m的均匀细杆，可绕通过 其一端且与杆垂直的光滑水 平轴转动，如图3.14所示， 将杆由水平位置静止释放， 求它下摆到角度为θ 时
的角加速度和角速度。
图3.14 例3.5图
3.2 刚体的定轴转动定律
3.3 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.4.5
1.刚体定轴转动的功能原理
如果刚体在定轴转动中除受到外力矩外，还受到 保守力矩的作用，而在刚体的定轴转动中，涉及的势 能主要是重力势能。所以，保守力只考虑重力，当系 统取地球和刚体时，式(3-22) 可写为
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.2 刚体的定轴转动定律
图3.12 平行轴定理
3.2 刚体的定轴转动定律
以上例子是根据转动惯量的定义式（3-5）计算规则几 何形状的刚体的转动惯量，对于几何形状较复杂的刚体通 常要用实验测定。表3.1列出几种几何形状简单、规则、密 度均匀的物体对通过质心的不同转轴的转动惯量。
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2.3 力对转轴的力矩
图3.9 转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
由转动定律的表达式M=Jβ可以看出，在相同的外力矩作 用下，刚体的转动惯量J越大，刚体所获得的角加速度β越小， 则刚体的转动状态不易改变；刚体的转动惯量J越小，刚体所获 得的角加速度β越大，刚体的转动状态容易发生变化。转动惯 量J是和质量m相对应的物理量，物体的质量m是质点的平动惯性 的量度，而刚体的转动惯量J是刚体转动惯性的量度。
3.2 刚体的定轴转动定律
例3.5 一根长为l，质 量为m的均匀细杆，可绕通过 其一端且与杆垂直的光滑水 平轴转动，如图3.14所示， 将杆由水平位置静止释放， 求它下摆到角度为θ 时
的角加速度和角速度。
图3.14 例3.5图
3.2 刚体的定轴转动定律
3.3 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.4.5
1.刚体定轴转动的功能原理
如果刚体在定轴转动中除受到外力矩外，还受到 保守力矩的作用，而在刚体的定轴转动中，涉及的势 能主要是重力势能。所以，保守力只考虑重力，当系 统取地球和刚体时，式(3-22) 可写为
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.2 刚体的定轴转动定律
图3.12 平行轴定理
3.2 刚体的定轴转动定律
以上例子是根据转动惯量的定义式（3-5）计算规则几 何形状的刚体的转动惯量，对于几何形状较复杂的刚体通 常要用实验测定。表3.1列出几种几何形状简单、规则、密 度均匀的物体对通过质心的不同转轴的转动惯量。
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2.3 力对转轴的力矩
图3.9 转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
由转动定律的表达式M=Jβ可以看出，在相同的外力矩作 用下，刚体的转动惯量J越大，刚体所获得的角加速度β越小， 则刚体的转动状态不易改变；刚体的转动惯量J越小，刚体所获 得的角加速度β越大，刚体的转动状态容易发生变化。转动惯 量J是和质量m相对应的物理量，物体的质量m是质点的平动惯性 的量度，而刚体的转动惯量J是刚体转动惯性的量度。
大学物理第3章-刚体力学基础
2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
大学物理学A
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
例6、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ 的定滑轮（当作均匀圆盘）上面 绕有细绳，绳的一端固定在滑轮 边上，另一端挂一质量为ｍ的物 体而下垂。忽略轴处摩擦，求物 mg 体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度 和此时滑轮的角速度。
1.刚体 §3.1 刚体运动概述
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变 的物体，即运动过程中不发生形变的物体。 ➢ 刚体是实际物体的一种理想的模型 ➢ 刚体可视为由无限多个彼此间距离保持不变的质 元组成的质点系。
大学物理学A
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
2.刚体的运动形式
刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过 该点的轴线的转动
大学物理学A
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
k
3
t3
3 400π 1503
rad s-4
103 rad s-4
由此得
1 103 t3
3
由角速度的定义 d，得转子在150s内转过的角度为
dt
150 1 103 t3dt 1687.5102 rad 03
因而转子在这一段时间内转过的圈数为
由角加速度的定义，有
d kt 2
dt
分离变量并积分，有
d
t kt 2dt
0
0
t 时刻转子的角速度为
1 kt3
3
当t =150s，转子的角速度为 2π 12000 rad s-1 400πrad s-1
60
则有
k
3t3
3 400π 1503
rad s-4
大学物理第三章刚体力学基础习题答案
方向竖直向下
3-15 由角动量守恒得
mul J mvl 1 1 2 1 2 2 mu m v J 因弹性碰撞，系统机械能守恒： 2 2 2 1 1 2 2 又： J M 2l Ml 12 3 6mu M 3m u 联立可得： v M 3m l M 3m
2 2 2 1 mv l [m( l ) M l 2 ] 3 3 3
o
2 l 3
6mv (4m 3M ) l
v
m
A
3-9 电风扇在开启电源后，经过t1时间到达了额定 转速，此时相应的角速度为 0。当关闭电源后，经 过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J， 并假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据 已知量推算电机的电磁力矩。 解： 设电机的电磁力矩为M，摩擦力矩为Mf
1
0
t1
3-9 (1)
mg T ma
T mg sin 30 ma
g 2 a m/s 4
方向竖直向下
T2 N 2
mg
(2)
mg T1 ma
T2 mg sin 300 ma
T1r T2r J
a r
T1
1
mg
J k m r2
g 联立求解得： a 22 k
质点运动 m 质 量 力 F 刚体定轴转动 2 J r 转动惯量 m dm 力矩 M Fr sin
dp dL F m a F 第二定律 转动定律 M J M dt dt p mv 动 量 角动量 L J t t2 动量定理 t Fdt mv2 mv1 角动量定理 t Mdt J 2 J1 1 动量守恒 F 0, mv 恒矢量 角动量守恒 M 0, J 恒矢量 力矩的功 W Md 力 的 功 W F dr
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
大学物理 第3章刚体力学基础(完全版)课件
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
dsrd
学习交流PPT
r ds d
o
x
8
•速度与角速度之间的关系
将 dsrd式两边同除 dt
ds r d dt dt
r
r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速 度可分解为切向加速 度和法向加速度.
a
o
ran
at
学习交流PPT
9
由
a
d dt
an
2 r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2 r2
r
•若角加速度 =c(恒量)，则有
a
o
ran
a
o t
ot
1t2
2
2 -o2 2
学习交流PPT
10
§5-2 刚体的定轴转动
一.刚体的角动量
刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。
设刚体以角速度 绕固定轴z转动(见图5-2),质量
为Δmi的质点对o点的角动量为
对时间 t 的二次导数。
单位：弧度/秒2，rad/s2, s-2 方向：角速度变化的方向。
0
0
学习交流PPT
7
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角 加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线 运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写 平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
2 线量与角量之间的关系
环
(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转
动时，可将圆盘划分为若干个半
径r、宽dr的圆环积分 ：
Jc
第3章 刚体力学基础
第i个质元的动能： Eki
1 1 mi vi2 mi ri 2 2 2 2 n 1 1 n 1 2 2 2 2 刚体的动能： Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1 2
1 E k J 2 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度平方乘积的一半。
1
d J d dt
W
2
1
1 1 2 Jd J2 J12 2 2
1 2 Md ( J ) 2
2
1
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动 动能的增量。这就是刚体定轴转动时的动能定理。
-------------------------------------------------------------------------------
当输出功率一定时 ,力矩与角速度成反比。 ------------------------------------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W M d
1 2
Jd
1
2
2
2
-------------------------------------------------------------------------------
L＝rm=mr2
2.定轴转动的角动量守恒 若
M
iz
0
则 L=J = 恒量
外力对某轴的力矩之和为零，则该物 体对同一轴的角动量守恒.
装置反向转动的双旋翼产 生反向角动量而相互抵消
-------------------------------------------------------------------------------
1 1 mi vi2 mi ri 2 2 2 2 n 1 1 n 1 2 2 2 2 刚体的动能： Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1 2
1 E k J 2 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度平方乘积的一半。
1
d J d dt
W
2
1
1 1 2 Jd J2 J12 2 2
1 2 Md ( J ) 2
2
1
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动 动能的增量。这就是刚体定轴转动时的动能定理。
-------------------------------------------------------------------------------
当输出功率一定时 ,力矩与角速度成反比。 ------------------------------------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W M d
1 2
Jd
1
2
2
2
-------------------------------------------------------------------------------
L＝rm=mr2
2.定轴转动的角动量守恒 若
M
iz
0
则 L=J = 恒量
外力对某轴的力矩之和为零，则该物 体对同一轴的角动量守恒.
装置反向转动的双旋翼产 生反向角动量而相互抵消
-------------------------------------------------------------------------------
大学物理 第3章 刚体力学基础
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF
大学物理教案-第3章 刚体力学基础
J —描述刚体的转动惯性，称之为转动惯量。
二、力矩的功
对于 i 质点，其受外力为 F i ，则
Wi Fi dsi Fi cos α i ridθ Fiτ ridθ
Mid 对 i 求和，当整个刚体转动 d ，则力矩
的元功
dW ( Mi )d Md
∴ 当刚体转过有限角时，力矩的功为
W 2 Md 1
对于单个质点 转动惯量
J mr2 ，
质点系 转动惯量
n
J miri2 ，式中 ri 为 i 质点到轴的矩离。 i 1
质量连续分布的刚体 转动惯量 I r2dm 。 m
2
大学物理学
大学物理简明教程教案
刚体的转动惯量与
刚体的质量的有关, 刚体的质量分布有关, 。
轴的位置有关。
三、转动定律的应用
三、刚体定轴转动的动能定理
Md
J
d dt
d
J
d dt
dt
J
d
d
1 2
J2
2 1
M
d
1 2
J22
1 2
J12
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
§3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
一、质点的角动量 角动量定理和角动量守恒定律（教材 P40 §2.4）
1、质点对固定点的角动量
ani ri 2
质点（a =常数）
v v0 at
x
x0
v0t
1 at 2 2
v2 v02 2ax x0
刚体（ ＝常数）
0 t
0
0
t
1
2
t2
2 02 2 0
1
大学物理学
大学物理第三章刚体力学
第三节 定轴转动的动能定理
1. 力矩的功
dA F dl F cos dl F cos rd Frsin d Md
A Md
1 2
d
dl
r
F
dA d M M 功率为： P dt dt
2.转动动能
刚体中任一质元 mi 动能：
1 1 2 2 2 mi vi mi ri 2 2
因此，刚体的转动动能：
ri
vi
1 1 2 2 2 2 Ek mi ri mi ri 2 2
1 2 Ek J 2
3.刚体做定轴转动时的动能定理
d dA Md J d J d d t 2 1 1 2 2 A dA J d J 2 J 1 1 2 2 1 2 1 2 A J 2 J 1 2 2
刚体各质元的角量相同，线量一般不同。 对刚体的运动描述，要注意角量、线量的特点。 对于定轴转动任意一点线速度与角速度、线加速度与角加 速度的关系：
v r
at r an r 2
刚体作匀变速转动时， 0 t 有以下的运动方程： 1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 0
定轴转动角动量定理：作定轴转动的刚体所受的对轴的的 冲量矩等于系统角动量的增量。
对于绕固定点的转动，可以做如下变化
dL M dt
t2 dL Mdt L2 L1 M t1 dt t2 是力矩在t1 到t2时间内的冲量矩。 M d t
t1
3.角动量守恒定律 ������ = 0 , ������������ = 0 , ������ = const. ������������ ������2 = ������1 ������2 ������ 2 = ������1 ������ 1 若系统合外力矩为零，则系统的角 动量守恒。 ——自然界重要的普遍规律
大学物理-第三章 刚体力学
向力的作用点P的矢量。 M rF
大小：M rF sin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
方向：右手螺旋，图中向上
0 , M o，沿转轴向上，使刚体绕转轴逆时针转
2 , M o，沿转轴向下，使刚体绕转轴顺时针转
上一页 下一页
2.外力F不在转动平面内 MFOFr FFz r F r Fz
T
N2
mg T2 T2 2m
2mg
解 ： 设 整 体 顺 时 针 运 动， 即 两 滑 轮 转 轴 正 向 向内 。
右 质 点2m正 向 向 下 ， 左 质 点m正 向 向 上 ，
受力分析如图。
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右质点 2mg T2 2ma
左质点 T1 mg ma
右 滑 轮 T2 r
Tr
第三章 刚体力学
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刚体：不发生形变的物体（理想模型）
刚体模型突出了物体的大小形状，忽略形变和振动。 刚体的运动形式：平动、转动、滚动、进动
刚体复杂运动可视为：平动 转动（绕某轴线转动） 刚体力学研究方法 把刚体看成不变质点系(任意两个质元的相对距离 保持不变),运用质点系定理和定律研究刚体的运动。
m 2
r
2
左滑轮Tr
T1r
m 2
r 2
关联方程 a r
解出 T 11 mg 8
N1
T
T1
mg
T1 m
mg
T
N2
a
mg T2
T2 2m
2mg
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M,
J
大小：M rF sin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
方向：右手螺旋，图中向上
0 , M o，沿转轴向上，使刚体绕转轴逆时针转
2 , M o，沿转轴向下，使刚体绕转轴顺时针转
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2.外力F不在转动平面内 MFOFr FFz r F r Fz
T
N2
mg T2 T2 2m
2mg
解 ： 设 整 体 顺 时 针 运 动， 即 两 滑 轮 转 轴 正 向 向内 。
右 质 点2m正 向 向 下 ， 左 质 点m正 向 向 上 ，
受力分析如图。
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右质点 2mg T2 2ma
左质点 T1 mg ma
右 滑 轮 T2 r
Tr
第三章 刚体力学
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刚体：不发生形变的物体（理想模型）
刚体模型突出了物体的大小形状，忽略形变和振动。 刚体的运动形式：平动、转动、滚动、进动
刚体复杂运动可视为：平动 转动（绕某轴线转动） 刚体力学研究方法 把刚体看成不变质点系(任意两个质元的相对距离 保持不变),运用质点系定理和定律研究刚体的运动。
m 2
r
2
左滑轮Tr
T1r
m 2
r 2
关联方程 a r
解出 T 11 mg 8
N1
T
T1
mg
T1 m
mg
T
N2
a
mg T2
T2 2m
2mg
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M,
J
第3章 刚体力学基础
M = F1 d 1
r Ft 2 r2 F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋 1 r1
转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元
Fi
t
qi
n
fi
∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri sin q i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
O
ji
ri
等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和
∑ ∑
∑
是矢量式 与质点平动对比
刚体的角动量守恒定律
由 若 则 刚体所受合外力矩 即
当刚体所受的合外力矩 刚体的角动量
等于零时， 保持不变。
乘积
角动量守恒的另一类现象 角动量守恒的另一类现象 保持不变， 变小则 变大， 变大则
变小。
张臂
大
用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩
收臂
小 大
小
乘积
角动量守恒的另一类现象 花样滑冰中常见的例子 保持不变， 变小则
刚体系统的角动量定理
若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体 系统的总合外力矩 ∑ ∑ 系统的总角动量的变化率 系统的总角动量增量 轻绳 （忽略质量） 同向 ∑ 而 解得
系统的总冲量矩 例如 求角加速度
∑
系统：
静 止 释 放
∑ 总合外力矩 对O的角动量 对O的角动量 ∑ 由 得
主要公式归纳
（微分形式） （积分形式）
3
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
4
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
5
第二节
平 动
定轴转动
大学物理03-刚体力学基础
15
J
r
m
2
dm
• 刚体的形状（质量分布）
16
J
注 意
r
m
2
dm
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
例3-2 一均匀细棒，质量为 m ，长为 l 。求该棒对下列转轴 的转动惯量：（1）通过棒中心且与棒垂直的轴；（2）通过 棒的一端且与棒垂直的轴。 解：取如图坐标，在棒上任取质元，到转轴的垂直距离为x， 长度为 d x，该质元的质量为 dm = (m/l )dx (质量为线分布)。 A L/2 C
S
O
Mz r d
P
F
M r F
O r
F
P
F
F //
大小： M rF sin Fd 方向： 由右手螺旋法则确定
转动平面
F 应该理解为外力在转动平面内的 分力F//
转动平面
在定轴转动中，M 的方向只有两种可能指向。若先选 定了转轴的正方向，则 M 与转轴方向一致时取正 值，反之为负值
11
(3) 如果有几个外力矩作用在刚体上，则合力矩等 于各个力矩的代数和
M
i i i
ri Fi
12
2
二 刚体绕定轴的转动定律
刚体可视为由许多质点组成的，而每一个质点都遵从质点力学 的规律。刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出。
Fi f i mi ai mi ri
一、力对转轴的力矩
力是引起质点运动状态变化的原因，而力 矩是引起转动物体运动状态变化的原因
(2) 外力F 不在转动平面内（任意力） 可将 F 分解为转动平面内的分力 F// 和垂直于转动平面的分力F F不能引起刚体转动状态的变化 力矩：
J
r
m
2
dm
• 刚体的形状（质量分布）
16
J
注 意
r
m
2
dm
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
例3-2 一均匀细棒，质量为 m ，长为 l 。求该棒对下列转轴 的转动惯量：（1）通过棒中心且与棒垂直的轴；（2）通过 棒的一端且与棒垂直的轴。 解：取如图坐标，在棒上任取质元，到转轴的垂直距离为x， 长度为 d x，该质元的质量为 dm = (m/l )dx (质量为线分布)。 A L/2 C
S
O
Mz r d
P
F
M r F
O r
F
P
F
F //
大小： M rF sin Fd 方向： 由右手螺旋法则确定
转动平面
F 应该理解为外力在转动平面内的 分力F//
转动平面
在定轴转动中，M 的方向只有两种可能指向。若先选 定了转轴的正方向，则 M 与转轴方向一致时取正 值，反之为负值
11
(3) 如果有几个外力矩作用在刚体上，则合力矩等 于各个力矩的代数和
M
i i i
ri Fi
12
2
二 刚体绕定轴的转动定律
刚体可视为由许多质点组成的，而每一个质点都遵从质点力学 的规律。刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出。
Fi f i mi ai mi ri
一、力对转轴的力矩
力是引起质点运动状态变化的原因，而力 矩是引起转动物体运动状态变化的原因
(2) 外力F 不在转动平面内（任意力） 可将 F 分解为转动平面内的分力 F// 和垂直于转动平面的分力F F不能引起刚体转动状态的变化 力矩：
第三章刚体力学基础(大学物理)
2
兰州城市学院
证: 两平行转轴间距d，C为刚体的质心，X轴垂直 ' 相交两转轴,质元到两转轴的距离为ri和ri 。
2 ri
z
m i
ri
'2 ri
d
2
' ' 2dri cos i
ri'2 d 2 2dxi'
相对质心C的X坐标值
J
m
'
' ri
i
n
m i ri2
o x i
兰州城市学院
例1: 一飞轮在时间t内转过角度 a bt 2 ct 3，式a，b，c中都 是常量。 求: 它的角速度和角加速度 解: 将角度式对时间求一阶导数，即得飞轮的角速度为
d 2 3 2 (a bt ct ) 2bt 3ct dt
由角加速度定义得
d d 2 (2bt 3ct ) 2b 6ct dt dt
d m 2r d r
由公式直接得
J r dm 2 r d r
2 3 0
R
R 4
2
1 mR 2 2
兰州城市学院
3.3 力矩 转动定律 3.3.1 力矩 力 改变质点的运动状态 力矩 改变刚体的转动状态 (1) 力 F 在转 动平面内 大小：
Z M z
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(2)转动惯量——量度转动惯性大小的物理量
定轴转动动能的计算公式 1 1 2 2 2 Ek (mi ri ) I 单位：千克· 2 ，kg ·m2 米 2 2
J z mi ri 2
i 1 n
J z r 2 dm
质量连续分布
第3章 刚体力学基础
3-7如图所示，长为 的均匀细杆水平地放置在桌面上，质心离桌边缘的距离为 ，从静止开始下落。已知杆与桌边缘之间的摩擦系数为 。试求：杆开始滑动时的临界角。
分析细杆滑动前以 点为轴在重力矩作用下转动，细杆质心做以 点为圆心的圆周运动，根据转动定律及质心运动定律即可求出 点摩擦力 与 角关系，细杆开始滑动的临界条件为 。
(1)
(2)
式中 为圆环对 轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为 ，根据垂直轴定理
(3)
由（1）~（3）式解得
(4)
(5)
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至 、 处时，相对于环的速度分别为 、 ，则有
解无滑动时，杆绕过 点的固定轴做定轴转动，由转动定律有
(1)
由平行轴定理求细杆绕 点转动时的转动惯量
(2)
无滑动时，杆绕 点转动，杆上各点做圆周运动，对质心 ，由牛顿运动定律得
(3)
(4)
杆绕 点转动，只有重力作功，机械能守恒，有
得
(5)
将式（5）代入式（3），并利用式（2），得
(6)
将式（1）代入式（4），并利用式（2），得
分析滑块与细杆碰撞角动量守恒，由此求细杆转动的 ，此后，细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零，由摩擦力矩，根据角动量定理即可求出时间 。
解（1）以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短，杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，即
(1)
解得
（2）碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为
第3章 刚体力学基础
一、目的与要求
1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。
分析细杆滑动前以 点为轴在重力矩作用下转动，细杆质心做以 点为圆心的圆周运动，根据转动定律及质心运动定律即可求出 点摩擦力 与 角关系，细杆开始滑动的临界条件为 。
(1)
(2)
式中 为圆环对 轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为 ，根据垂直轴定理
(3)
由（1）~（3）式解得
(4)
(5)
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至 、 处时，相对于环的速度分别为 、 ，则有
解无滑动时，杆绕过 点的固定轴做定轴转动，由转动定律有
(1)
由平行轴定理求细杆绕 点转动时的转动惯量
(2)
无滑动时，杆绕 点转动，杆上各点做圆周运动，对质心 ，由牛顿运动定律得
(3)
(4)
杆绕 点转动，只有重力作功，机械能守恒，有
得
(5)
将式（5）代入式（3），并利用式（2），得
(6)
将式（1）代入式（4），并利用式（2），得
分析滑块与细杆碰撞角动量守恒，由此求细杆转动的 ，此后，细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零，由摩擦力矩，根据角动量定理即可求出时间 。
解（1）以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短，杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，即
(1)
解得
（2）碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为
第3章 刚体力学基础
一、目的与要求
1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。
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式中: J=Δmi ri2
称为刚体对z轴的转动惯量。
o ri i
mi
实用文档
图5-2
11
刚体对z轴的角动量：
Lz= J (5-1)
显然，刚体的角动量的方向
与角速度的方向相同，沿z轴
方向(见图5-2),故也称为刚体对 固定轴z的角动量。
问题：为何动量的概念对刚体 已失去意义？
Z
L
o ri i
mi
图5-2
3
2
于是得 M-4g
J 3R
o
由= o+ t = 0得
t -o 3RO 4g
又由2-o2=2 ，
dr r
水平桌面
图5-11
所以停下来前转过的圈数为
N 2-2o2 1 36 o2R g
实用文档
33
§5-4 定轴转动的角动量守恒定律
定轴转动方程:
MdLd(J)
dt dt
tt1 2M d J J 1 2 1 t2d (J )J2 2-J1 1(5-8)
解 由 M=J , = o+t
有外力矩时,
20-M20r==JJ1，1，1=1=/t/1t1(因(因o=o=00)) (1)
撤去外力矩时,
-Mr=J2 , 2=- /t2
(2)
代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s,
解式(1)、(2)得
J=17.3kg.m2 。
第5 章
Dynamics of Rigid Body
刚体力学基础
(6)
实用文档
1
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。
核心内容： • 定轴转动的转动定理
• 刚体的转动惯量 • 定轴转动的角动量守恒
• 定轴转动的功能原理 这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。
实用文档
2
刚体——力学中物体的一种理想模型。 刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。
0
0
实用文档
7
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角 加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线 运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写 平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
2 线量与角量之间的关系
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
dsrd
实用文档
r
ds
P=0
实用文档
12
二.刚体定轴转动定理
设有一质点系, 第i个质点的
位矢为 ri , 外力为 Fi , 内力为 fij , j( i j )
按质点角动量定理(4-11)式，有
mi：r i F i r i j(i j)f ij d (r i d m it i)
对各质点求和，并注意到
(ri fij)0
实用文档
19
二.转动惯量的计算
(1)质量离散分布刚体
J=Δmi ri2
(5-5)
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘
以它到转轴距离的平方的总和。
(2)质量连续分布刚体
J r2dm (5-6)
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
实用文档
20
三.平行轴定理
Jo=Jc+Md2
(5-7)
a
o
ran
a
o t
ot
1t2
2
2-o22
实用文档
10
§5-2 刚体的定轴转动
一.刚体的角动量
刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。
设刚体以角速度 绕固定轴z转动(见图5-2),质量为
Δmi的质点对o点的角动量为
Z
Li=Δmiiri=Δmi ri2
L
刚体对z轴的角动量就是
Lz=(Δmi ri2) =J
度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数 为µ，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
解 将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环， 用积分计算出摩擦力矩。
M
R
-rg
m
0
R2
2rdr
o
- 2 mgR
3
dr r
J 1 mR2 2
水平桌面
实用文档
图5-11
32
M- 2 mgR, J 1 mR2
处理办法：
对平动的物体，分析受力，按照 F m a 列方程。 对转动的刚体，分析力矩，按照 MJ列方程。
补加转动与平动的关联方程
联立求解各方程。
实用文档
29
例题5-6 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可 绕一水平光滑轴o在竖直平面内转动，Ao= l/3。今使
棒从水平位置由静止开始转动，求棒转过角 时的角
环
(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转 动时，可将圆盘划分为若干个半 径r、宽dr的圆环积分 ：
Jc
R
r2
m
0 R
2
2rdr
1 mR 2 2
实用文档
R
dm
r dr
图5-7
25
例题5-3 以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转 轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到 100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。试 推算此转轮对该轴的转动惯量。
积分得
记住！
l
Jc
2 x 2 m dx 1 ml 2
-l l
12
C dm o x dx x
2
若棒绕一端o转动，由平行 轴定理， 则转动惯量为
图5-6 o
Jo
1 ml2m( l
12
2
)2
1 3
ml
2
实用文档
24
(2)均质细圆环(m, R)绕中心轴转动时，其转动 惯量为
Jc
R2dm mR2
J
J是刚体转动惯性大小的量度
注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是
力矩，而不是力！
如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速
度一定大，则错。
实用文档
17
2 M M J J为 瞬 间作用规律。
一旦 M0，立刻 0，匀角速度转动。
3
M和
J，均对同一转轴而言。
4 M代表作用于刚体的合外力矩，M M外
上式的物理意义是：合外力矩的冲量(冲量矩)等于 物体角动量的增量。
若物体所受的合外力矩为零(即Ｍ＝0)时，则
J =常量
(5-9)
这表明：当合外力矩为零时，物体的角动量将保持
不变，这就是定轴转动的实用角文档动量守恒定律。
34
系统角动量守恒定律：
当系统所受的合外力力矩为零时，系统的总角动量 的矢量和就保持不变。
d
o
x
8
•速度与角速度之间的关系
将 dsrd式两边同除 dt
ds r d dt dt
r r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速 度可分解为切向加速 度和法向加速度.
a
o
ran
at
实用文档
9
由
d a dt
2 an r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2 r2
r
•若角加速度 =c(恒量)，则有
显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。
实用文档
14
M
dL
dt
(5-2)
上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴z方
向上的分量式为
Mz
dLz dt
d( J )
dt
(5-3)
(Lz=J)
上式称为物体定轴转动方程。
对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(6-16)
又可写成
M=J
(5-4)
如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间 的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。
在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此
平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来
代表整个刚体的平动。 比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动
还是转动？
实用文档
4
如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆 周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动 的,就称为定轴转动。
0 特别强调：系统所受合外力为零，M外不一定
一对力偶产生的力矩不为零。
以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转
动定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问
题的方法。
实用文档
18
§5-3 转动惯量 一.转动惯量的物理意义
动量: p=m 角动量: L=J
质量m—物体平动惯性大小的量度。 转动惯量J—物体转动惯性大小的量度。
对m:
mg-T=ma
对柱： TR=J
M •R
T
m
a=R 解得 =2mg/[(2m+M)R],
T=Mmg/(2m+M)。 实用文档
mg 图5-8
27
例题5-5 两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量
m1=24kg， m2=5kg。一轻绳缠绕于盘m1上，另一端 通过盘m2后挂有m=10kg的物体。求物体m由静止开 始下落h=0.5m时，物体m的速度及 绳中的张力。
dt
又因 d d d d 3g cos dt d dt d 2l
d 3gcosd
0
0 2l
完成积分得 3gsin
l
A
o
C
讨论: (1)当=0时， =3g/2l， =0 ； mg (2)当=90°时， =0， 3 g 图5-10
l
实用文档
B
31
称为刚体对z轴的转动惯量。
o ri i
mi
实用文档
图5-2
11
刚体对z轴的角动量：
Lz= J (5-1)
显然，刚体的角动量的方向
与角速度的方向相同，沿z轴
方向(见图5-2),故也称为刚体对 固定轴z的角动量。
问题：为何动量的概念对刚体 已失去意义？
Z
L
o ri i
mi
图5-2
3
2
于是得 M-4g
J 3R
o
由= o+ t = 0得
t -o 3RO 4g
又由2-o2=2 ，
dr r
水平桌面
图5-11
所以停下来前转过的圈数为
N 2-2o2 1 36 o2R g
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33
§5-4 定轴转动的角动量守恒定律
定轴转动方程:
MdLd(J)
dt dt
tt1 2M d J J 1 2 1 t2d (J )J2 2-J1 1(5-8)
解 由 M=J , = o+t
有外力矩时,
20-M20r==JJ1，1，1=1=/t/1t1(因(因o=o=00)) (1)
撤去外力矩时,
-Mr=J2 , 2=- /t2
(2)
代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s,
解式(1)、(2)得
J=17.3kg.m2 。
第5 章
Dynamics of Rigid Body
刚体力学基础
(6)
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1
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。
核心内容： • 定轴转动的转动定理
• 刚体的转动惯量 • 定轴转动的角动量守恒
• 定轴转动的功能原理 这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。
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2
刚体——力学中物体的一种理想模型。 刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。
0
0
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7
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角 加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线 运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写 平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
2 线量与角量之间的关系
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
dsrd
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r
ds
P=0
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12
二.刚体定轴转动定理
设有一质点系, 第i个质点的
位矢为 ri , 外力为 Fi , 内力为 fij , j( i j )
按质点角动量定理(4-11)式，有
mi：r i F i r i j(i j)f ij d (r i d m it i)
对各质点求和，并注意到
(ri fij)0
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19
二.转动惯量的计算
(1)质量离散分布刚体
J=Δmi ri2
(5-5)
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘
以它到转轴距离的平方的总和。
(2)质量连续分布刚体
J r2dm (5-6)
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
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20
三.平行轴定理
Jo=Jc+Md2
(5-7)
a
o
ran
a
o t
ot
1t2
2
2-o22
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10
§5-2 刚体的定轴转动
一.刚体的角动量
刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。
设刚体以角速度 绕固定轴z转动(见图5-2),质量为
Δmi的质点对o点的角动量为
Z
Li=Δmiiri=Δmi ri2
L
刚体对z轴的角动量就是
Lz=(Δmi ri2) =J
度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数 为µ，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
解 将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环， 用积分计算出摩擦力矩。
M
R
-rg
m
0
R2
2rdr
o
- 2 mgR
3
dr r
J 1 mR2 2
水平桌面
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图5-11
32
M- 2 mgR, J 1 mR2
处理办法：
对平动的物体，分析受力，按照 F m a 列方程。 对转动的刚体，分析力矩，按照 MJ列方程。
补加转动与平动的关联方程
联立求解各方程。
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29
例题5-6 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可 绕一水平光滑轴o在竖直平面内转动，Ao= l/3。今使
棒从水平位置由静止开始转动，求棒转过角 时的角
环
(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转 动时，可将圆盘划分为若干个半 径r、宽dr的圆环积分 ：
Jc
R
r2
m
0 R
2
2rdr
1 mR 2 2
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R
dm
r dr
图5-7
25
例题5-3 以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转 轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到 100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。试 推算此转轮对该轴的转动惯量。
积分得
记住！
l
Jc
2 x 2 m dx 1 ml 2
-l l
12
C dm o x dx x
2
若棒绕一端o转动，由平行 轴定理， 则转动惯量为
图5-6 o
Jo
1 ml2m( l
12
2
)2
1 3
ml
2
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24
(2)均质细圆环(m, R)绕中心轴转动时，其转动 惯量为
Jc
R2dm mR2
J
J是刚体转动惯性大小的量度
注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是
力矩，而不是力！
如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速
度一定大，则错。
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17
2 M M J J为 瞬 间作用规律。
一旦 M0，立刻 0，匀角速度转动。
3
M和
J，均对同一转轴而言。
4 M代表作用于刚体的合外力矩，M M外
上式的物理意义是：合外力矩的冲量(冲量矩)等于 物体角动量的增量。
若物体所受的合外力矩为零(即Ｍ＝0)时，则
J =常量
(5-9)
这表明：当合外力矩为零时，物体的角动量将保持
不变，这就是定轴转动的实用角文档动量守恒定律。
34
系统角动量守恒定律：
当系统所受的合外力力矩为零时，系统的总角动量 的矢量和就保持不变。
d
o
x
8
•速度与角速度之间的关系
将 dsrd式两边同除 dt
ds r d dt dt
r r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速 度可分解为切向加速 度和法向加速度.
a
o
ran
at
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9
由
d a dt
2 an r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2 r2
r
•若角加速度 =c(恒量)，则有
显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。
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14
M
dL
dt
(5-2)
上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴z方
向上的分量式为
Mz
dLz dt
d( J )
dt
(5-3)
(Lz=J)
上式称为物体定轴转动方程。
对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(6-16)
又可写成
M=J
(5-4)
如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间 的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。
在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此
平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来
代表整个刚体的平动。 比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动
还是转动？
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4
如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆 周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动 的,就称为定轴转动。
0 特别强调：系统所受合外力为零，M外不一定
一对力偶产生的力矩不为零。
以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转
动定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问
题的方法。
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18
§5-3 转动惯量 一.转动惯量的物理意义
动量: p=m 角动量: L=J
质量m—物体平动惯性大小的量度。 转动惯量J—物体转动惯性大小的量度。
对m:
mg-T=ma
对柱： TR=J
M •R
T
m
a=R 解得 =2mg/[(2m+M)R],
T=Mmg/(2m+M)。 实用文档
mg 图5-8
27
例题5-5 两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量
m1=24kg， m2=5kg。一轻绳缠绕于盘m1上，另一端 通过盘m2后挂有m=10kg的物体。求物体m由静止开 始下落h=0.5m时，物体m的速度及 绳中的张力。
dt
又因 d d d d 3g cos dt d dt d 2l
d 3gcosd
0
0 2l
完成积分得 3gsin
l
A
o
C
讨论: (1)当=0时， =3g/2l， =0 ； mg (2)当=90°时， =0， 3 g 图5-10
l
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B
31