《数值分析》第五章答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习题5
1．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。
(1) 左矩形公式：⎰-≈b
a a
b a f dx x f ))(()(
(2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f b
a
-≈⎰
(3) 中矩形公式：⎰-+≈b
a
a b b
a f dx x f ))(2
(
)( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f b
a
b
a -=≈⎰⎰
⎰⎰⎰⎰-=-=--b
a b
a b
a b
a dx a f x f dx a f dx x f a
b a f dx x f ))()(()()())(()(
),()(2
1
)()()()(2
ηηξf a b dx a x f dx a x f b
a b a
'-=-'=-'=⎰⎰
),(,b a ∈ηξ
(2) )()(b f x f ≈，⎰⎰-=≈b a
b
a
a b a f dx b f dx x f ))(()()(
⎰⎰⎰⎰-=-≈--b a b a b a b
a dx
b f x f dx b f dx x f a b b f dx x f )]()([)()())(()(
)()(2
1)()()()(2ηηξf a b dx b x f dx b x f b
a b a
'--=-'=-'=⎰⎰
，),(,b a ∈ηξ
(3) 法1 )2
(
)(b
a f x f +≈ ， ⎰⎰-+=+≈b
a b
a
a b b a f dx b a f dx x f ))(2
()2()(
⎰-+-b
a
a b b a f dx x f ))(2(
)(⎰⎰+-=b a b a dx b a f dx x f )2
()( dx b a f x f b a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-=)2()( dx b a x f b a x b
a f
b a ⎰⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+-''++-+'=2)2)((21)2)(2(ξ dx b a x f dx b a x b a f b
a b a 2)2
()(21)2()2(⎰⎰+-''++-+'=η
3))((24
1
a b f -''=
η 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 )(x H 满足 )2()2(
b a f b a H +=+，)2
()2(b
a f
b a H +'=+'，则有 )2
)(2()2(
)(b
a x
b a f b a f x H +-+'++= 2
)2
)((!21)()(b a x f x H x f +-''=
-ξ， ),(b a ∈ξ
))(2
())(2()(a b b
a f a
b b a H dx x H b
a -+=-+=⎰ 于是
dx x H dx x f a b b a f dx x f b a b
a b
a
⎰⎰⎰-=-+-)()()()2
(
)( []dx b a x f dx x H x f b
a
b
a
2
)2
(!2)()()(+-''=-=⎰⎰
ξ 3
2))((24
1)2(2)(a b f dx b a x f b a -''=+-''=⎰ηη 2．考察下列求积公式具有几次代数精度：
（1）
⎰'+≈1
)1(2
1
)0()(f f dx x f ；
（2）
)31
()31()(1
1f f dx x f +-≈⎰-。
解： （1）当1)(=x f 时，左=1，右=1+0=1，左=右； 当x x f =)(时，左21
=
，右=
2
1210=+，左=右； 当2
)(x x f =时，左=3
1，右=1，左≠右，代数精度为1。
（2）当1)(=x f 时，左=2，右=2，左=右；
当x x f =)(时，左=0，右=03
1)31(=+-
，左=右； 当2
)(x x f =时，左32=
，右3
2
3131=+=，左=右； 当3
)(x x f =时，左0=，右0)3
1(
)31(33=+-
=，左=右；
当4
)(x x f =时，左52
=
，右9
2)31()31(22=+=，左≠右。代数精度为3。
3．确定下列公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次数。
（1）
⎰-++-≈1
1)](3)(2)1([31
)(βαf f f dx x f ；
（2）
)]()([)()]()([2
)(2b f a f a b a b f a f a
b dx x f b
b
'-'-++-≈
⎰-； （3）
)1()0()1()(211
10f a f a f a dx x f ++-≈⎰-。
解：)1( 当1)(=x f 时，左2=，右2)321(3
1
=++=
，左=右； 当x x f =)(时，左0=，右)321(3
1
βα++-=
， 当2
)(x x f =时，左32=
，右)321(3
12
2βα++=； 要使所给求积公式至少具有2次代数精度当且仅当α、β满足
0)321(3
1
=++-βα 3
2)321(3122=++βα 132=+βα
13222=+βα