《圆》章节知识点总结分析
圆章节知识点总结
圆章节知识点总结圆是数学中的一个重要概念，它在几何学、代数学、物理学等领域都有广泛的应用。
下面是关于圆的一些主要知识点的总结：一、基本定义1.圆是一个平面上一点固定到另一点距离恒定的图形，这个恒定距离被称为圆的半径。
2.圆上的所有点到圆心的距离都相等。
二、圆的性质1.圆心角：圆内的任意两条弧所对应的圆心角相等。
2.弧长：弧与半径相交的弧所对应的圆心角的度数即为弧长的度数。
3.弧度：弧长与半径的比值即为弧度。
4.周长：圆的周长等于半径的长度乘以2π。
5.面积：圆的面积等于半径的平方乘以π。
三、与圆相关的角度和弧度1.圆心角的度数等于弧长的度数。
2.180度等于π弧度。
3.角的弧度=角的度数×π/180。
四、圆心角和弧度的换算1.假设圆的半径为r，则圆心角θ的弧度数为：θ=弧长/r。
2.弧长为l的弧所对应的圆心角θ的度数为：θ=(l/r)×(180/π)。
3.圆心角θ的弧度数为r的弧长为：l=r×θ。
五、与圆相关的直线和线段1.弦：圆内两点之间的线段被称为弦。
2.直径：通过圆心的弦被称为直径。
3.弦长：弦的长度。
4.弦长は直径的两倍，即：l=2r。
5.垂直弦：通过圆心的弦被称为垂直弦，其垂直于该弦的直径被称为垂直直径。
六、与圆相关的角度1.切线：与圆形只有一个交点的直线被称为切线。
2.切点：切线与圆的交点被称为切点。
3.切线与半径的关系：切线和半径的夹角等于切点处的弧所对应的圆心角的一半。
七、与圆相关的角度关系1.同弧度弧所对应的圆心角相等。
2.夹脚定理：夹脚所对应的弧所对应的圆心角相等。
3.顶角定理：顶角所对应的弧所对应的圆心角相等。
八、与圆相关的定理和公式1.弧度制：角度制和弧度制的换算公式为：度数×π/180=弧度。
2.半径、弦和切线之间的关系：根据幂定理，切线与切点的弦的乘积等于切点到圆心的距离的平方。
3.弧长角的关系：根据圆心角、圆周角和弧长之间的关系，可以用以下公式计算弧长：弧长=角度/360×2πr。
九年级第三章圆知识点总结
九年级第三章圆知识点总结九年级的数学学科中，第三章圆是一个重要的知识点。
圆是一个几何图形，是由平面上的所有与定点距离相等的点组成的。
在这个章节中，学生需要掌握圆的性质、圆的表达式和圆与直线的关系等内容。
下面将从不同的角度对这些知识点进行总结。
一、圆的定义和性质圆是一个几何图形，它由平面上的所有与定点距离相等的点组成。
圆的性质有以下几点：1. 圆的半径：圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的距离，用字母r表示。
2. 圆的直径：圆的直径是通过圆心并在圆上的一条直线段，它的长度是圆的两倍，用字母d表示。
3. 圆的周长：圆的周长是圆周上的一段弧所对应的长度，用字母C表示。
圆的周长可以通过公式C = 2πr来计算，其中π是一个常数，约等于3.14。
4. 圆的面积：圆的面积是圆内部所包围的区域的大小，用字母A表示。
圆的面积可以通过公式A = πr^2来计算。
二、圆的表达式在数学中，我们常常需要用到圆的表达式来描述一个圆。
圆的表达式一般有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程：标准方程是以圆心和半径为依据的表达式形式。
标准方程的一般形式为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
2. 一般方程：一般方程是以圆的一般性质为依据的表达式形式。
一般方程的一般形式为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
三、圆与直线的关系圆与直线之间有一些重要的关系。
下面将介绍一些常见的关系：1. 切线：切线是与圆相切并且只与圆相交于切点的直线。
切线与半径的关系是垂直关系，切线与圆的切点处的切线段等于半径的长度。
2. 弦：弦是连接圆上任意两点的直线段。
弦的长度小于等于直径的长度。
3. 弧：弧是圆上的一段曲线。
圆周上的任意两点可以确定一个弧。
4. 正切线：正切线是一条通过圆外一点且与圆相切的直线。
正切线的长度等于该点到圆心的距离。
综上所述，九年级第三章圆是一个重要且有趣的数学知识点。
最新九年级上册数学圆章节知识点总结学习资料
与圆相关的基本知识和计算一、知识梳理：（一）：圆及圆的有关概念1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆；2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧；3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，它是圆的最长的弦；4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角；（二）圆的有关性质：1.对称性：①圆是中心对称图形，其对称中心是圆心；②圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；2.垂径定理及其推论：（1）、垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；（2）、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；3.圆心角、弧、弦之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；（2）推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等。
4.圆周角与圆心角的关系（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；90的圆周角所对的弦是直径；（2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，05.圆内接四边形对角互补。
（三）点与圆的位置关系1、点和圆的位置关系如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．(1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内．2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（四）直线与圆的位置关系1、(1)直线与圆的位置关系有关概念①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)；(2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)；(3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)．2、切线(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．(3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．(4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．（五）三角形的外接圆和内切圆1、三角形的外接圆（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．(2)三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等．②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．2、三角形的内切圆与三角形的内心①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等．(六)：圆的有关计算（一）正多边形与圆1、正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
圆的章节知识点总结
圆的章节知识点总结第一章：圆的定义和性质1.1 圆的定义圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
1.2 圆的要素圆包括圆心、半径和圆周。
1.3 圆的性质（1）圆的半径相等（2）圆的直径是两倍半径（3）直径垂直于半径（4）同一圆周上的弧所对的圆心角相等（5）圆周角相等的弧相等（6）圆内切角等于所对的弧的一半（7）弧长与圆心角的关系1.4 圆的常见定理（1）切线与半径垂直（2）切线的长度相等（3）弦长与半径的关系（4）在同一圆中，小弦所对的圆心角小于大弦所对的圆心角第二章：圆的相关公式2.1 圆的周长和面积圆的周长=2πr圆的面积=πr²2.2 弧长和扇形面积弧长=S=rθ扇形面积=0.5r²θ2.3 圆内接四边形面积圆内接四边形面积=1/2×d×R其中，d为对角线，R为半径第三章：圆的相关问题3.1 圆的位置关系（1）内切圆与外接圆（2）相切圆与内切圆（3）相切圆与外切圆3.2 圆和直线的交点问题（1）相离（2）相切（3）相交3.3 圆和三角形的关系（1）圆内接三角形（2）圆外接三角形（3）圆似圆三角形3.4 圆锥雏形问题通过顶点与圆周点的关系判断棱柱、棱锥和圆锥第四章：圆的应用4.1 圆的建模在建模中，圆的应用非常广泛。
例如，轮子、钟表、饼干等都是圆形的。
4.2 圆的测量圆的周长和面积在日常生活中用得非常多，测量圆的周长和面积可以帮助我们计算物体的大小、量取圆形面积等。
4.3 圆的运动圆的运动在机械学、物理学等学科中有着重要的应用，例如圆周运动、匀速圆周运动等。
4.4 圆的工程应用在工程中，圆也有很多应用，例如圆形水箱、圆形路口等。
总结圆是数学中的一个基本概念，它在日常生活和学科中都有着重要的应用。
通过学习圆的定义、性质、公式和相关问题，我们可以更好地理解和运用圆的知识，为我们的生活和学习带来便利。
希望通过本章知识点的总结，能够帮助大家更好地理解和掌握圆的相关知识，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
《圆》章节思维导图(全)
《圆》章节思维导图(全)一、圆的基本概念1. 圆的定义：平面内到定点距离相等的点的集合。
2. 圆的表示：圆心坐标为 (a, b)，半径为 r 的圆表示为(xa)² + (yb)² = r²。
3. 圆的性质：圆心、半径、直径、周长、面积等。
二、圆的方程1. 标准方程：(xa)² + (yb)² = r²。
2. 一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
3. 圆的切线方程：y = mx ± √(r²(1+m²))。
三、圆与直线的关系1. 相交：圆与直线有两个交点。
2. 相切：圆与直线有一个交点。
3. 相离：圆与直线没有交点。
四、圆与圆的关系1. 内含：一个圆完全在另一个圆内部。
2. 外切：两个圆外切于一点。
3. 内切：一个圆内切于另一个圆。
4. 相交：两个圆有两个交点。
5. 相离：两个圆没有交点。
五、圆的几何性质1. 圆心角：以圆心为顶点的角。
2. 弧长：圆周上的一段弧。
3. 扇形：由圆心角和对应的弧组成的图形。
4. 椭圆：平面内到两个定点距离之和为常数的点的集合。
六、圆的应用1. 数学：圆在几何、代数、三角等领域有广泛应用。
2. 物理：圆在运动学、力学等领域有广泛应用。
3. 工程：圆在机械、建筑等领域有广泛应用。
4. 日常生活：圆在装饰、设计等领域有广泛应用。
《圆》章节思维导图(全)七、圆的定理与公式1. 勾股定理：直角三角形的斜边平方等于两腰平方和。
2. 圆的周长公式：C = 2πr。
3. 圆的面积公式：A = πr²。
4. 圆的弧长公式：L = rθ，其中θ为圆心角（弧度制）。
八、圆的几何变换1. 平移：将圆沿着某一方向移动一定距离。
2. 旋转：将圆绕某一点旋转一定角度。
3. 放缩：将圆按一定比例放大或缩小。
4. 对称：将圆关于某一直线或点进行对称。
九、圆与坐标系的关联1. 圆在直角坐标系中的表示：通过圆心和半径确定。
九年级圆章节知识点总结
九年级圆章节知识点总结圆是中学数学中一个重要的几何概念，它的相关知识点在九年级的数学学习中经常出现。
本文将对九年级圆章节的知识点进行总结和梳理，帮助同学们更好地掌握圆的相关知识。
一、圆的定义和性质1. 定义：圆是由平面上到一个确定点的距离都相等的所有点的集合。
2. 圆心和半径：圆心是圆的中心点，用O表示；半径是圆心到圆上任一点的距离，用r表示。
3. 直径和弦：直径是通过圆心的一条线段，用d表示；弦是圆上的一条线段，连接两点，用AB表示。
4. 弧和弧长：弧是圆上的一段弯曲部分，用AB表示；弧长是弧所占据的圆的周长的长度比例。
二、圆的相关定理1. 相等定理：圆心角相等的弧相等；等弧对应的弧相等。
2. 弧度：圆周角为360°，对应的弧长为2πr。
3. 同圆弧：如果两个弧在同一个圆上，则这两个弧叫做同圆弧，且它们的弧长相等。
4. 弧的夹角公式：夹在同一弧上的圆心角相等。
5. 锐角和钝角：圆心角小于180°则为锐角，大于180°则为钝角。
三、弦的性质1. 弦分割圆：弦AB分割圆为两个弧，即AB和AB'，且它们的圆心角相等。
2. 弦的性质：等长的弦对应的圆心角相等；同一个圆上，离圆心较远的弧所对圆心角较小，离圆心较近的弧所对圆心角较大。
3. 弧与弦的关系：在同一个圆上，对任意弦来说，在此弦上的弧所对的圆心角所对的弧长大于不在此弦上的弧所对的圆心角所对的弧长。
四、切线的性质1. 切线的定义：切线是与圆只有一个交点的线。
2. 切线与半径的关系：过圆外一点做圆的切线，切点与圆心连线是切线的垂线。
3. 切线与弦的关系：圆的切线与弦的切点处的切线相等。
五、定理的应用1. 弦切角定理：圆上的切线和半径所夹的角是直角。
2. 弧切角定理：圆上的切线和此切点处的弧所夹的角是半弧对应的圆心角。
3. 切线定理：两条相交的切线所夹的角等于对角所对的圆心角的一半。
六、九年级圆章节例题练习1. 已知圆的半径为8cm，求其周长和面积。
九数学圆的知识点总结大全
第四章：《圆》一、知识回顾圆的周长：C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；A2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；图4图5（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
《圆》章节知识点总结
《圆》章节知识点总结一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、垂径定理（重点）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称知2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
几何表示法： 推论1：（1）在⊙O 中，∵AB 是直径 AB CD ⊥∴CE DE = 弧BC =弧BD 弧AC =弧AD（2）：在⊙O 中，∵AB CD ⊥ CE DE = ∴AB 是直径 弧BC =弧BD 弧AC =弧AD（3）：在⊙O 中，∵AB 是直径 弧BC =弧BD （或弧AC =弧AD ）∴AB CD ⊥ CE DE = 弧AC =弧AD （或弧BC =弧BD ）三、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称知1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 几何表示法：在⊙O 中，∵AOB DOE ∠=∠∴AB DE = OC OF = 弧BA =弧BDB（重点）圆心角定理和推论可概括为：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对的其余各组量也相等。
《圆》章节知识点复习专题
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系A外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
九年级上册数学第24章《圆》知识点梳理完整版
【学习目标】九年级数学上册第24 章《圆》知识点梳理1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1.圆的定义(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心1 2n是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3. 两圆的性质(1) 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2) 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4. 与圆有关的角(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1. 判定一个点 P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为 ，OP= ，则有点 P 在⊙O 外；点 P 在⊙O 上； 点 P 在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2. 判定几个点A 、A 、 A 在同一个圆上的方法 当时， 在⊙O 上.3. 直线和圆的位置关系设⊙O 半径为 R ，点 O 到直线 的距离为 .(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4.切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5.圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1) 和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2) 和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3) 和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4) 和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O 表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2倍，通常用G 表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外三角形三边中垂线的(1)OA=OB=OC ；(2)外心不一接圆的圆心) 交点定在三角形内部内心(三角形内三角形三条角平分线(1)到三角形三边距离相等；切圆的圆心) 的交点(2)OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1.圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为 R 的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】13 (1 + 1)2 + (0 - 3)2 OE 2 - EF 2 3 3 类型一、圆的基础知识1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为 ．【答案】 ；【解析】由已知得 BC∥x 轴，则 BC 中垂线为 x =-2 + 4 = 12那么，△ABC 外接圆圆心在直线 x=1 上，设外接圆圆心 P(1,a)，则由 PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为 P(1,0) 则 r = PA = = 【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由 B 、C 的坐标知：圆心 P （设△ABC 的外心为 P ）必在直线x=1 上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到 P （1，0）；连接 PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB＝60°， 求 CD 的长．【答案与解析】作 OF⊥CD 于 F ，连接 OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ OA =AB = 3 ，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．2在 Rt△OEF 中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°， ∴ EF = 1OE = 1 ，∴ OF = = ．2在 Rt△DFO 中，OF ＝ ，OD ＝OA ＝3，13OD 2 - OF 2∵ OF⊥CD，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝ 2 cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作 OF⊥CD 于 F ，构造 Rt△OEF，求半径和 OF 的长；连接 OD ，构造 Rt△OFD，求 CD 的长．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M 、N ，如果 MN ＝3，那么 BC ＝ ．C【答案】由 OM⊥AB，ON⊥AC，得 M 、N 分别为 AB 、AC 的中点（垂径定理），则 MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A 、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．yCDAOBx（第 3 题）【答案】65°.【解析】连结 OD ，则∠DOB = 40°，设圆交 y 轴负半轴于 E ，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP ≤2，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（）A ．60°B ．120°C ．60°或 120°D ．30°或 150°【答案】C.【解析】作 OD ⊥AB ，如图，N O AMB∴ DF = = 32 - ( 3)2 = 6 (cm)．6∵点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB= ∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB 所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系4．如图，在矩形 ABCD 中，点O 在对角线 AC 上，以OA 的长为半径的圆 O 与AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ACB= ∠DCE．请判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线 CE 与⊙O相切理由：连接 OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形 ABCD 是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线 CE 与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P 的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P 的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时 x 的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，( ，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或( ，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．（2015•丽水）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别与BC，AC 交于点D，E，过点D 作⊙O 的切线DF，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF 是⊙O 的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图， AB 所在圆的圆心为 O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留 π)．【答案与解析】连接 OB ，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E ，交 AB 于点 F ，如图(2)． 由垂径定理，可知 E 是 AB 中点，F 是 AB 的中点，∴ AE= 1AB = 2 2，EF ＝2．设半径为 R 米，则 OE ＝(R-2)m ．在 Rt△AOE 中，由勾股定理，得 R 2 = (R - 2)2 + (2 3)2 ． 解得 R ＝4．∴ OE ＝2，OE = 1AO ，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°．2∴ AB 的长为120 ⨯ 4π = 8π(m)． 180 3 ∴ 帆布的面积为 8π⨯ 60 = 160π(m 2)．3【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以 AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出 AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求 AB 的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所 示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm ，水最深的地方的高度为 4cm ，求这个圆形截面 的半径.【答案】①作法略.如图所示.3②如图所示，过 O 作OC⊥AB于D，交于 C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为 10cm.圆的基本概念和性质【学习目标】1.知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2.能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD2.弧∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】下列命题中，正确的个数是（）⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选 C.类型二、圆及有关概念2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）②弦是直径；（）③长度相等的两段弧是等弧；（）④直径是圆中最长的弦. （）【答案】①√ ②× ③× ④√.【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.举一反三：【变式】（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（）A ．直径相等的两个圆是等圆B ．长度相等的两条弧是等弧C ．圆中最长的弦是直径D ．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A 、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B 、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C 、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D 、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B ．3．直角三角形的三个顶点在⊙O 上，则圆心 O 在 .......................【答案】斜边的中点.【解析】根据圆的定义知圆心 O 到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等. 4．判断正误：有 AB 、C D ， AB 的长度为 3cm, C D 的长度为 3cm ，则 AB 与C D 是等弧.【答案】错误.【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此， 只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.举一反三：【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣 弧长.”试分析这个观点是否正确.甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O 中的优弧 AmB ，中的劣弧C D ，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.请你判断谁的说法正确？【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.类型三、圆的对称性5．已知：如图，两个以 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D．求证：AC=BD．【答案与解析】证明：过 O 点作OM⊥AB于M，交大圆与 E、F 两点.如图，则EF 所在的直线是两圆的对称轴，所以 AM=BM，CM=DM，故AC=BD.【总结升华】作出与AB垂直的圆的对称轴，由圆的对称性可证得结论.垂径定理【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（2）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；OD 2 + AD 2 42 + 32 （4） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则 DC 的长为（ ）A ．5 cmB ．2.5 cmC ．2 cmD ．1 cm【思路点拨】欲求 CD 的长，只要求出⊙O 的半径 r 即可，可以连结 OA ，在 Rt△AOD 中，由勾股定理求出 OA.【答案】D ；【解析】连 OA ，由垂径定理知 AD = 1AB = 3cm ， 2所以在 Rt△AOD 中， AO = = = 5 （cm ）．所以 DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
《圆》重难点整理
《圆》重难点整理圆这一章是常考章节，其中包括以下知识点：圆的认识，圆的周长推导及计算，圆的面积推导及计算，已知圆的直径或半径求周长或面积。
圆的认识：圆是平面上封闭的曲线图形，它有无数条对称轴，直径所在的直线就是它的对称轴。
圆无数条直径和半径。
在同一个圆中，直径都相等，半径也都相等，且直径是半径的两倍。
画圆时，（圆心）决定圆的位置，（半径）决定圆的大小。
圆的半径扩大3倍，直径扩大（）倍，周长扩大（）倍；面积扩大（）倍。
1、圆的周长推导：滚圈法和绕线法。
通过实验发现，圆的周长除以直径的值都是3倍多一些。
我们将这个固定的值（不会随圆的大小而改变）叫圆周率，用字母∏表示。
由此，我们可以说圆的周长是直径的∏倍，或3倍多一些，或大约是3.14倍。
2、已知直径或半径求周长：C=∏d或C=2∏r。
①、一辆自行车轮胎外直径50厘米，如果自行车每分钟转120周，这辆自行车每小时能行多少千米？（得数保留整千米）②、杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮直径50厘米。
要骑过94.2米长的钢丝，车轮要滚动多少周？③、一只挂钟的分针长1.5米，经过45分钟后，分针针尖走过的路程是多少？（3/4圈）④、一段长628米长的绳子刚好绕树干十圈，求树干的横截面的周长？3、圆的面积推导：将圆平均分成8份，然后拼成一个近似的长方形或平行四边形（分的份数越多，越接近于长方形和平行四边形）。
长方形的长（平行四边形的底）相当于圆周长的一半，长方形的宽（平行四边形的高）相当于圆的半径。
长方形的面积=长* 宽，即=圆周长的一半* 圆的半径，S=∏r*r=∏r2。
4、已知直径或半径求面积：S=∏r2。
①、用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（）厘米，所画的圆的面积是（）平方厘米。
②、学校圆形大钟的分针长90厘米，它的针尖一昼夜扫过的面积是多少平方米？（转24圈）③、学校圆形大钟的时针长80厘米，它的针尖一昼夜扫过的面积是多少平方米？（转2圈）④、一根长3米的绳子系着一只羊，栓在草地中央的树桩上，羊吃草的面积最多是多少平方米？⑤、一种压路机的前轮直径1.5米，宽2米。
九年级上册数学圆章节知识点总结
九年级上册数学圆章节知识点总结What is a classic? It takes about 100 years to become a classic.与圆相关的基本知识和计算一、知识梳理：一：圆及圆的有关概念1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆；2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的叫做劣弧；3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径,它是圆的最长的弦；4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧；5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角；二圆的有关性质：1.对称性：圆是中心对称图形,其对称中心是圆心；圆是轴对称图形,其对称轴是直径所在的直线；2.垂径定理及其推论：1、垂径定理：垂直弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧；2、推论：平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧；3.圆心角、弧、弦之间的关系1定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等；2推论：在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等.4.圆周角与圆心角的关系1在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半；2推论：半圆或直径所对的圆周角是直角,090的圆周角所对的弦是直径；5.圆内接四边形对角互补.（三）点与圆的位置关系1、点和圆的位置关系如果圆的半径为r,已知点到圆心的距离为d,则可用数量关系表示位置关系．1d＞r点在圆外；2d=r点在圆上；3d＜r点在圆内．2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（四）直线与圆的位置关系1、1直线与圆的位置关系有关概念①相交与割线：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线．②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,惟一的公共点叫做切点．③相离,当直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离．2用数量关系判断直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么：1直线l和⊙O相交d＜r如图1所示；2直线l和⊙O相切d=r如图2所示；3直线l和⊙O相离d＞r如图3所示．2、切线1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．3切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．4切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．五三角形的外接圆和内切圆1、三角形的外接圆1定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等．②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是惟一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合．2、三角形的内切圆与三角形的内心①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点,三角形的内心到三边的距离相等．六：圆的有关计算一正多边形与圆1、正多边形的定义：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.2、任何正多边形都有一个外接圆和内切圆,这两个圆是同心圆,正多边形都是轴对称图形,一个正n 边形共有n 条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心；如果一个正n 边形有偶数条边,那么它又是中心对称图形,其中心就是对称中心；3、边数相同的正多边形相似,它们的周长的比等于它们的相似比,面积的比等于它们相似比的平方；4、正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形；正n 边形的中心角等于外角等于n3600； 二 弧长与扇形面积1、在半径为R 的圆中,0n 圆心角所对的弧长l=180n ℜπ;2、在半径为R 的圆中,圆心角为0n 的扇形面积扇形S =360n 2R π；半径为R,弧长为l 的扇形面积为扇形S =R l 21;3、侧面积：设圆锥的母线长为l,底面积的半径为r,那么圆的侧面积展开得到的扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,因此圆锥的侧面积为πrl,圆锥的全面积为πrl+πr 2.。
人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结
人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
《圆》数学知识点归纳总结
《圆》数学知识点归纳总结《圆》数学知识点归纳总结在我们平凡的学生生涯里，是不是经常追着老师要知识点？知识点就是学习的重点。
为了帮助大家掌握重要知识点，下面是小编为大家整理的《圆》数学知识点归纳总结，仅供参考，大家一起来看看吧。
《圆》数学知识点归纳总结篇1一、认识圆1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等.3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。
所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。
用字母表示为：d=2r或r=8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线)9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。
这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是：长方形只有3条对称轴的图形是：等边三角形只有4条对称轴的图形是：正方形;有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
二、圆的周长1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
用字母C表示。
2、圆周率实验：在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。
发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。
3.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π(pai)表示。
(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
《圆》知识点归类及典例分析
《圆》知识点归类及典例分析圆是初中数学中的一个重要图形，具有丰富的性质和广泛的应用。
以下将对圆的知识点进行归类，并结合典型例题进行分析，帮助大家更好地掌握这部分内容。
一、圆的基本概念1、圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。
3、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
4、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
5、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
二、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论 1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
推论 2：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 d ＞ r 时，点在圆外；当 d ＝ r 时，点在圆上；当 d ＜ r 时，点在圆内。
2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：当 d ＞ r 时，直线与圆相离；当 d ＝ r 时，直线与圆相切；当 d ＜ r 时，直线与圆相交。
3、圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为 R 和 r（R ＞ r），圆心距为 d，则有：当 d ＞ R ＋ r 时，两圆外离；当 d ＝ R ＋ r 时，两圆外切；当 R r ＜ d ＜ R ＋ r 时，两圆相交；当 d ＝ R r 时，两圆内切；当 d ＜ R r 时，两圆内含。
人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结
人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
初三《圆》章节知识点复习专题word版本
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
、点与圆的位置关系1、点在圆内 d r点C在圆内;2、点在圆上 d r点B在圆上;3、点在圆外 d r点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 d r 无交点；四、圆与圆的位置关系五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1 :（ 1 ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;（2 ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;2、直线与圆相切d3、直线与圆相交d有一个交点;有两个交点;外离（图1）无交点外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点内切（图4）内含（图5）无交点有一个交点(3 )平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中可推出其它3个结论，即:①AB是直径②AB CD ③CE DE ④弧BC 弧BD ⑤弧AC 弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在O O 中，••• AB //CD•••弧AC 弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《圆》章节知识点一、圆的概念1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点o为圆心的圆记作“L o”读作“圆o”2.确定圆的基本条件：（1 ）、圆心：定位置，具有唯一性，（2 ）、半径：定大小。
3.半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合。
4•①连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
③在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧。
理解：弧在圆上，弦在圆及圆上：弧为曲线形，弦为直线形。
5.不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯——个。
6•①三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
②与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆，圆心是三个角的角平分线的交点，他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角。
（补充）圆的集合概念1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
、点与圆的位置关系点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d与半径r的大小关系决定的。
解题注意点和圆的位置不确定性。
圆的对称性对称中心的中心对称图形，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性质叫做圆的旋转不变性。
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
三、直线与圆的位置关系：相交，相切，相离如果圆0的半径为r,圆心0到直线l的距离为d，那么:1、直线与圆相离— d r ―无交点；2、直线与圆相切— d = r ―有一个交点;3、直线与圆相交— d :: r —有两个交点;1、点在圆内=2、点在圆上-■3、点在圆外= d ::rd = r=■点C在圆内;=■点B在圆上;= 点A在圆外;圆是轴对称图形，他有无数条对称轴, 每一条过圆心的直线都是他的对称轴。
圆是以圆心为五、垂径定理（非常重要）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧四、圆与圆的位置关系设两圆半径分别为 R 和r ，圆心距为d ,那么:外离（图1）无交点外切（图2） 有一个交点相交（图3） 有两个交点内切（图4） 有一个交点d =R — r无交点d ：： R - r内含（图5）——以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径② AB _ CD ③ CE = DE ④弧BC二弧BD ⑤弧AC工弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在O O 中，••• AB //CD/•M AC 二弧BD解题技巧：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要做“垂直于弦的直径”作为辅助线。
六、圆心角定理顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的度数与他所对的弧的度数相等。
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：① AOB "DOE :② AB =DE ；③OC =OF :④弧BA二弧BDEOACD七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（或弧的度数）的一半。
即：•- AOB和• ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角AOB =2 ACB2、圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O O中，•二C、. D都是所对的圆周角推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在O O中，：AB是直径或J C =90• C =90 /.AB是直径推论3 :若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
• △ABC是直角三角形或• C = 90即：在△ ABC 中，：OC =OA =OB O注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
注：忽略一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角边有两种不同的角。
八、圆内接四边形般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形, 这个圆叫做多边形的外接圆。
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补。
推论：圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角。
BA E即：在O O中，•••四边形ABCD是内接四边形•••. C BAD =180 /B . D =180.DAE =/C九、切线的性质与判定定理直线和圆有唯一公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：••• MN _OA且MN过半径OA外端•••MN是O O的切线（2）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1 :过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2 :过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题时常用的辅助线，通常叙述为：见切点连半径得垂直。
解决与圆的切线有关的问题时，常需要补充的线是作过切点的半径。
九、切线长定理在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
线长切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切B-6 - OP《圆》章节知识点相等，圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角。
即：••• PA、PB是的两条切线•••PA =PBPO平分BPA十^一、圆幕定理(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在O O中，•••弦AB、CD相交于点P ,•••PA 卩B =PC PD(2 )推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在O O中，•••直径AB _CD ,•••CE2二AE BE(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在O O中，••• PA是切线，PB是割线2• PA = PC 卩B(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线, 每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)即：在O O中，••• PB、PE是割线•••PC PB =PD PE 这一点到DA十二、两圆公共弦定理两圆相切时，连心线必过切点，这一性质是由圆的对称性决定, 图形，对称轴是经过两圆圆心的直线。
圆公共弦定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图：O 1O 2垂直平分AB 。
即P ：vQ O 1、O O 2相交于A 、B 两点•••QO 2垂直平分 AB注：两圆相交时，依照两圆圆心和公共弦的位置，可分为两种情况:侧，②两圆圆心在公共弦异侧。
十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1) 公切线长： Rt O 1O 2C 中，AB 2 二 CQ 2 =.；：Q O 22 _CO 22;(2) 外公切线长：CO 2是半径之差； 内公切线长：CO 2是半径之和十四、圆内正多边形的计算各边相等，各角也相等的多边形叫做 正多边形。
把一个圆分成相等的弧， 依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形， 这个圆叫 做正多边形的外接圆。
经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆 的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆。
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心。
正多边形外接圆的半径叫做正 多边形的半径。
正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的 中心角，正多边形内切圆半径叫做正多边形的 边心距。
正n 边形的半径R 与边心距r 把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。
两个圆组成的图形是轴对称 ①两圆圆心在公共弦同AC O1O2360°180°关系式：中心角打二；边长a n=2Rsin ;n n边心距 & = Rcos18^; R2 = r2 (-a n)2;周长C n = na n；n 2面积S n = a n r n *n= C n・r n・2 2(1)正三角形在O O中厶ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行: OD : BD: OB二1:门：2(2)正四边形同理，四边形的有关计算在Rt，O A冲进行，O E: AE OA 1 : 1厂:2(3)正六边形同理，六边形的有关计算在RC OA中进行，AB:OB:OA=1: 3:2.2、圆柱:(1 )圆柱侧面展开图2S 表 二 S 侧 2S 底=2 二 rh 2 二 r (2)圆柱的体积：V - ：r 2h2 门)S表二 S 侧-S 底 =「：Rr •行 1 2(2)圆锥的体积：V r h 3补充:圆中四心：外心：各边垂直平分线的交点 内心：各角角平分线的交点 垂心：各边高线的交点 重心：各卜五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 CTT 1、扇形：(1)弧长公式：丨 180 (2 )扇形面积公式: n. R 2 360 」IR 2 B n :圆心角 R :扇形多对应的圆的半径 丨：扇形弧长 S :扇形面积 (2 )圆锥侧面展开图。