《圆》章节知识点总结分析

《圆》章节知识点

一、圆的概念

1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称

为半径，以点o为圆心的圆记作“L o”读作“圆o”

2.确定圆的基本条件：（1 ）、圆心：定位置，具有唯一性，（2 ）、半径：定大小。

3.半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合。

4•①连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每

一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。③在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧。理解：弧在圆上，弦在圆及圆上：弧为曲线形，弦为直线形。

5.不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯——个。

6•①三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的

圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三

角形。②与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角

平分线的交点，叫做三角形的内心。三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆，圆心是三个

角的角平分线的交点，他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角。

（补充）圆的集合概念1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫

中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

、点与圆的位置关系

点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d与半径r的大小关系决定的。

解题注意点和圆的位置不确定性。

圆的对称性

对称中心的中心对称图形，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性质叫做圆的旋转不变性。圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。

三、直线与圆的位置关系：相交，相切，相离如果圆0的半径为r,圆心0到直线l的距离为d，那么:

1、直线与圆相离— d r ―无交点；

2、直线与圆相切— d = r ―有一个交点;

3、直线与圆相交— d :: r —有两个交点;

1、点在圆内=

2、点在圆上-■

3、点在圆外= d ::

r

d = r

=■点C在圆内;

=■点B在圆上;

= 点A在圆外;

圆是轴对称图形，他有无数条对称轴, 每一条过圆心的直线都是他的对称轴。圆是以圆心为

五、垂径定理（非常重要）

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

四、圆与圆的位置关系

设两圆半径分别为 R 和r ，圆心距为d ,那么:

外离（图1）

无交点

外切（图

2

） 有一个交点

相交（图3） 有两个交点

内切（图4） 有一个交点

d =R — r

无交点

d ：： R - r

内含（图5）

—

—

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径② AB _ CD ③ CE = DE ④弧BC二弧BD ⑤弧AC工弧AD

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即:在O O 中，••• AB //CD

/•M AC 二弧BD

解题技巧：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要做“垂直于弦的直径”作为辅助线。

六、圆心角定理

顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的度数与他所对的弧的度数相等。圆心角定

理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中,

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：① AOB "DOE :② AB =DE ；

③OC =OF :④弧BA二弧BD

E

O

A

C

D

七、圆周角定理

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（或弧的度数）的一半。

即：•- AOB和• ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

AOB =2 ACB

2、圆周角定理的推论:

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆

周角所对的弧是等弧；

即：在O O中，•二C、. D都是所对的圆周角

推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是

半圆，所对的弦是直径。

即：在O O中，：AB是直径或J C =90

• C =90 /.AB是直径

推论3 :若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

• △ABC是直角三角形或• C = 90

即：在△ ABC 中，：OC =OA =OB O

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于

斜边的一半的逆定理。

注：忽略一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角边有两种不同的角。

八、圆内接四边形

般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内

接多边形, 这个圆叫做多边形的外接圆。

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补。推论：圆内接四边形任何一个外角都等

于他的内对角。

B

A E