2021高三数学北师大版(理)一轮教师用书：第6章 第4节 数列求和

第四节 数列求和

[最新考纲] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．

1．公式法

(1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1

＋n (n －1)2d ； (2)等比数列的前n 项和公式：

S n ＝⎩⎨⎧

na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n

)

1－q ，q ≠1.

2．几种数列求和的常用方法

(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n 项和．裂项时常用的三种变形：

①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1

； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝

12⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2n －1－12n ＋1； ③

1n ＋n ＋1

＝n ＋1－n .

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．

(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．

(5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知等差数列{a n }的公差为d ，则有1a n a n ＋1＝1d ⎝

⎛⎭⎪⎫1

a n －1a n ＋1.( )

(2)当n ≥2时，

1n 2－1＝

12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )

(4) 利用倒序相加法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23° ＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编

1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )

A.1

B.56

C.16

D.130

B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1

，

∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5

6.]

2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2

D ．2n ＋n －2 C [S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n

＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋...＋(2n ＋2n －1)＝(2＋22＋ (2)

)＋2(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2(1－2n )1－2

＋2×n (n ＋1)

2－n

＝2(2n －1)＋n 2＋n －n ＝2n ＋1＋n 2－2.]

3．S n ＝12＋12＋38＋…＋n

2n 等于( ) A.2n －n －1

2n B.2n ＋1－n －22n

C.2n －n ＋12n

D.2n ＋1－n ＋22n

B [由S n ＝12＋222＋323＋…＋n

2n ，① 得12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n

2n ＋

1，②

①－②得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n

2n ＋1， ∴S n ＝2n ＋1－n －22n

.]

4．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋ (－1)n －1·n ，则S 17＝________.

9 [S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]

考点1 分组转化法求和

分组转化法求和的常见类型

(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．

(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

b n ，n 为奇数，

c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等

差数列，可采用分组求和法求和．

提醒：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．

已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n

2，n ∈N ＋.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． [解] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .

当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足a n ＝n ， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则

T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2(1－22n )1－2

＝22n ＋1－2，

B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.

[母题探究] 在本例(2)中，若条件不变求数列{b n }的前n 项和T n . [解] 由本例(1)知b n ＝2n ＋(－1)n n . 当n 为偶数时，

T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋11－2

＋n 2＝2n ＋1＋n

2－

2；

当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ] ＝2n ＋1－2＋n －12－n ＝2n ＋1－n 2－5

2.

所以T n ＝⎩⎪⎨

⎪

⎧

2n ＋1

＋n

2－2，n 为偶数，

2

n ＋1

－n 2－52，n 为奇数.