数学：1.6微积分基本定理

数学：1.6微积分基本定理（教案）

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一、教学目标知识与技能目标

通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分

过程与方法

通过实例体匸会用微积分基本定理求定积分的方法

情感态度与价值观

通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观

点，提高理性思维能力。

二、教学重难点

重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的

含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点了解微积分基本定理的含义

三、教学过程

1、复习：

定积分的概念及用定义计算

2、引入新课

我们讲过用定积分定义计算定积分，但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t) ( v(t) o)，

则物体在时间间隔［「,丁2］内经过的路程可用速度函数表示为T2 v(t)dt °

T

1

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S(t )在［T,,T2］上的增量S(TJ S(T2)来表达，

即

T2

〒v(t)dt = S(TJ S(T2)

而S (t) v(t)。

对于一般函数f(x)，设F (x) f(x)，是否也有

b

f(x)dx F (b) F(a)

a

若上式成立，我们就找到了用f (x)的原函数(即满足F (x) f (x))的数值差F(b) F(a)来计算f (x)在［a,b］上的定积分的方法。

注：1：定理如果函数F(x)是［a,b］上的连续函数f (x)的任意一个原函数，则

b

f (x)dx F(b) F(a)

a

x

证明：因为(x)= f(t)dt与F(X)都是f(x)的原函数，故

a

F (x) - (x) =C ( a x b)

其中C为某一常数。

a

令x a 得F(a)- (a)=C,且(a)= f(t)dt=O

a

即有C=F(a)，故F(x)= (x)+ F(a)

x

(x) = F(x)- F(a)= a f(t)dt

b

令x b，有f (x)dx F(b) F(a)

a

此处并不要求学生理解证明的过程

为了方便起见，还常用F (x) i a表示F (b) F⑻，即

b

b

b

a f(x)dx F(x) |a F(b) F(a)

该式称之为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式

r

。它指出了求连续函数定积分的一

般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

它

不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面 的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如 此，它甚至给微积分学的发展带来了深

例1.计算下列定积分：

2

1 -dx ; (2)

x

远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

解:( 1) 因为 (In x)

3 1

(2

x

1 2 )dx 。

x

2

1 所以2

dx

1 x

In 2 In1 In 2。 (2))因为 (x 2)

3

所以1(2x

x 2 ,3

练习：计算

1

2)dx x

(9 x

1

2

0xdx

1 '

2x,(—)

x

3 2xdx 1

1) (3 丄

7， 3 1 1 2dx

1 x 1) 22

1)

3。

1 解：由于丄x 3 1

2 . 1

3 .1 1 .3 x dx = x |0 = 1 0 3 3

例2.计算下列定积分：

3 2

是x 的一个原函数，所以根据牛顿一莱布尼兹公式有

汽车需走过21.90米才能停住

2 2

sin xdx,

sin xdx, sin xdx 。 0 ' ' 0

由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解：因为(cosx) 所以

sin x ,

sin xdx

(COSX )b (cos )

( cos 0) 2,

sin xdx (cosx) |2

(cos 2 ) ( cos ) 2,

sin xdx (cosx) I 2

(cos 2 ) ( cos0) 0.

0 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是 (l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时(图 曲边梯形的面积；

0:

1.6 一 3 )，定积分的值取正值，且等于

v=sin x

图 1 . 6 一 3 ( 2 )

(2)当对应的 曲边梯形位于x 轴下方时(图 等于曲边梯形的面积的相反数；

4)，定积分的值取负值，且

(3 )当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 的值为0 (图1 . 6 一 5 )，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 边梯形面积.

例3•汽车以每小时 32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 米/秒2

刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

解：首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当

x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分

x 轴下方的曲

a =1.8

t =0时，汽车速度 V o =32公里/小

时=32 1000米/秒 8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶

3600

,其速度为 v(t)= v 0 at=8.88-1.8t 当

汽车停住时,速度v(t)=0 ,故从v(t)=8.88-1.8t=0解得

t=8^

4.93 秒

1.8

于是在这段时间内，汽车所走过的距离是

4.93 4.93

s 0 v(t) dt 0 (8.88

1.8t)dt =(8.88 1.8 1t 2)

4.93

21.90米，即在刹车，

2

0 2