点估计--教学设计演示教学
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点估计(PPT 22)
4 16 f 2 (2, 1 ) 1 .
这就是说，罐中黑球多时，出现两个全黑的的概率
比白球多时出现两个全黑的概率大的多,或说使n=2的样
本来自p=1/4的总体的可能性大的多。用到“概率最大
事情最可能出现”原理, 从参数角度，对总体p
有
pˆ 1
3 4
,
两种估计。自然应是选
pˆ 2
1 4
p 大的
pˆ 1
质。例如，在例5中已得到的极大似然估计为
sˆ 2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2.
函数u u(s 2 ) s 2 有单值反函数s 2 u 2 (u 0),
根据上述性质，得到标准差s的极大似然估计为
sˆ sˆ 2
1 n
n i 1
(Xi
X)2 .
•
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 10.3020 .10.30Friday , October 30, 2020
Θ
i 1
这一概率随的取值而变化，它是的函数。 L()称为样
本的似然函数
由Fisher引进的极大似然估计法，就是固定样本观察
值x1, x2 , ····, xn，在 的可能取值的范围Q内 挑选使概率 L(x1, x2 , ····, xn; )达到最大的参数值，作为参数的估 计值 。即取使
L( ) L(x1, x2 ,, xn ;ˆ) max L(x1, x2 ,, xn ; ),
解 直观上可以回答。现以概率的角度考虑。设抽
一球为黑球的概率为p，抽n个而出现x个黑球的概率服
从b(n, p).
fn
(x,
p)
n x
p
x
参数的点估计PPT学习教案
θˆj θj ( A1, A2, , Ak ) j=1,2,…,k
矩估计量的观察值称为矩估计值 .
第9页/共41页
例2 设总体 X 在 [ a , b ] 上服从均匀分
布 , a , b 未X知1,. , Xn 试求 a , b 的矩估计量 .
是来自 X 的样本 ,
解
μ1
E
X
a
2
b
μ2 E X 2 D( X ) [E( X )]2
θ( X1, , Xn ) 称为 θ 的最大似然估计量 .
第19页/共41页
两点说明：
1、求似然函数L( ) 的最大值点，可以应 用微积分中的技巧。由于ln(x)是 x 的增函数, lnL( )与L( )在 的同一值处达到它的最大值， 假定 是一实数，且 lnL( )是 的一个可微函数。
通过求解方程：
对 , 分别求偏导并令其为0,
ln
L( , )
n
1
2
n
( xi
i 1
)=0
(1)
ln
L( , )
n
=0
(2)
由(1)得
1 n
n i 1
xi
第30页/共41页
L( , )
1
n
1
e ,
i
n 1
(
xi
)
0,
min xi
其它
对 min xi , L( , ) 0, 且是的增函数
x 1, 0 x 1
其中
X ~ f (x) 0,
其它
>0,
求 的最大似然估计值.
解 似然函数为
n
n
L( ) xi 1 n( xi ) 1
点估计教案
n n
样本值x1, x2, …,xn
,
n i 1
1
对数似然函数 ln L n ln 1 ln xi
n n d ln L n n ln x i 0 ln x i 0, d i 1 i 1
18
点估计
n
解之得， θ的最大似然估计值 ˆ
x1, x2, …,xn 是总体X一个样本观察值，若在θ的取值 范围Θ内确定一个 ,使似然函数L(x1, x2, …,xn,θ)最大. 既有 L(x1, x2, …,xn, )=max L(x1, x2, …,xn,θ)
ˆ x , x ,, x 为参数 此时称 的最大似然估计值 . 1 2 n
i 1
i
i
i
i 1
i 1
1 n ˆ xi x 解之得，p的最大似然估计值 p n i 1 1 n ˆ Xi X p的最大似然估计量 p n i 1
17
i 1 令 i 1 ln L( p )0 , 0. dp p 1 p
x d
n
ln L( p) ( xi ) ln p ( n xi ) ln( 1 p).
μ1=E(X)= μ,
i
2 ˆ
n 1 2 1 2 2 2 ( X X ) i A2 A1 X i X n i 1 n i 1
n
分别为参数μ,σ2的矩估计量.
8
点估计
说明 若总体X~N(μ,σ2) ,μ,σ2未知, X1, X2, … ,Xn是
总体X的一个样本，则参数μ,σ2的矩估计量为
1 2 n
1 2 n
ˆ ( X , X ,, X )为 的估计量； 而称 知参数θ. 此时称 1 2 n
样本值x1, x2, …,xn
,
n i 1
1
对数似然函数 ln L n ln 1 ln xi
n n d ln L n n ln x i 0 ln x i 0, d i 1 i 1
18
点估计
n
解之得， θ的最大似然估计值 ˆ
x1, x2, …,xn 是总体X一个样本观察值，若在θ的取值 范围Θ内确定一个 ,使似然函数L(x1, x2, …,xn,θ)最大. 既有 L(x1, x2, …,xn, )=max L(x1, x2, …,xn,θ)
ˆ x , x ,, x 为参数 此时称 的最大似然估计值 . 1 2 n
i 1
i
i
i
i 1
i 1
1 n ˆ xi x 解之得，p的最大似然估计值 p n i 1 1 n ˆ Xi X p的最大似然估计量 p n i 1
17
i 1 令 i 1 ln L( p )0 , 0. dp p 1 p
x d
n
ln L( p) ( xi ) ln p ( n xi ) ln( 1 p).
μ1=E(X)= μ,
i
2 ˆ
n 1 2 1 2 2 2 ( X X ) i A2 A1 X i X n i 1 n i 1
n
分别为参数μ,σ2的矩估计量.
8
点估计
说明 若总体X~N(μ,σ2) ,μ,σ2未知, X1, X2, … ,Xn是
总体X的一个样本，则参数μ,σ2的矩估计量为
1 2 n
1 2 n
ˆ ( X , X ,, X )为 的估计量； 而称 知参数θ. 此时称 1 2 n
《点估计与区间估计》课件
间。
区间估计在假设检验中的应用
在假设检验中，我们通常使用区间估计来确定样本数据是 否支持原假设或备择假设。
点估计与区间估计在回归分析中的应用
点估计在回归分析中的应用
在回归分析中，我们通常使用最小二乘法等统计方法来得到参数的点估计值，并以此为 基础进行预测和推断。
区间估计在回归分析中的应用
除了点估计外，我们还可以使用区间估计来评估模型参数的可能取值范围，从而更全面 地了解模型的预测精度和不确定性。
适用场景
适用于已知概率分布模型的情况，广泛应用于统 计学、机器学习等领域。
最小二乘法
总结词
基于误差平方和最小的点估 计方法
详细描述
最小二乘法是一种基于误差 平方和最小的点估计方法。 它通过最小化观测值与预测 值之间的误差平方和来估计 参数。这种方法在回归分析 、时间序列分析等领域广泛 应用。
数学公式
计算方法
根据样本数据和适当的统计量，通过计算得到参数的 置信下限和置信上限。
应用场景
当需要了解某一参数的可能取值范围时，可以使用双 侧置信区间。
置信区间与置信概率
定义
置信区间是指在一定置信概率下 ，某一参数的可能取值范围。而 置信概率是指对参数取值范围的 信任程度。
关系
置信概率越高，则对应的置信区 间越窄，说明对参数的估计越精 确。
应用场景
在统计推断中，经常需要根据样 本数据和适当的统计量，计算某 一参数的置信区间和对应的置信 概率，以评估对参数的估计精度 和信任程度。
05
点估计与区间估计
的应用场景
点估计在统计推断中的应用
总体参数的点估计
点估计是对总体参数的一个具体的数值估计， 例如，使用样本均值来估计总体均值。
区间估计在假设检验中的应用
在假设检验中，我们通常使用区间估计来确定样本数据是 否支持原假设或备择假设。
点估计与区间估计在回归分析中的应用
点估计在回归分析中的应用
在回归分析中，我们通常使用最小二乘法等统计方法来得到参数的点估计值，并以此为 基础进行预测和推断。
区间估计在回归分析中的应用
除了点估计外，我们还可以使用区间估计来评估模型参数的可能取值范围，从而更全面 地了解模型的预测精度和不确定性。
适用场景
适用于已知概率分布模型的情况，广泛应用于统 计学、机器学习等领域。
最小二乘法
总结词
基于误差平方和最小的点估 计方法
详细描述
最小二乘法是一种基于误差 平方和最小的点估计方法。 它通过最小化观测值与预测 值之间的误差平方和来估计 参数。这种方法在回归分析 、时间序列分析等领域广泛 应用。
数学公式
计算方法
根据样本数据和适当的统计量，通过计算得到参数的 置信下限和置信上限。
应用场景
当需要了解某一参数的可能取值范围时，可以使用双 侧置信区间。
置信区间与置信概率
定义
置信区间是指在一定置信概率下 ，某一参数的可能取值范围。而 置信概率是指对参数取值范围的 信任程度。
关系
置信概率越高，则对应的置信区 间越窄，说明对参数的估计越精 确。
应用场景
在统计推断中，经常需要根据样 本数据和适当的统计量，计算某 一参数的置信区间和对应的置信 概率，以评估对参数的估计精度 和信任程度。
05
点估计与区间估计
的应用场景
点估计在统计推断中的应用
总体参数的点估计
点估计是对总体参数的一个具体的数值估计， 例如，使用样本均值来估计总体均值。
《概率论与数理统计》中“点估计”一节的课堂教学设计
《概率论与数理统计》中“点估计”一节的课堂教学设计摘要：《概率论与数理统计》中“点估计”一节，是数理统计中统计推断最基本问题。
它对不同专业的要求不同，不管是实践应用，还是学生继续学习都起着身份重要的作用。
但一般普通本科院校的学生，对该节理解认识和深入学习还是有一定的困难。
关键词：点估计课堂教学教学目标辽宁科技学院本文针对辽宁科技学院应化BG18与环境BG18《概率论与数理统计》两个专业的学生设计一个基础的，系统的，巩固的教学活动，使学生对本节的概念，问题，操作和解决问题的方法全面掌握。
一、教学环境与教学目标1.教学环境根据辽宁科技学院教学大纲，《概率论与数理统计》定位考查课，总学时48学时。
2教学目标2.1 知识与技能目标（1）点估计的实际意义（2）点估计的表达形式（3）两个常用的估量方法的构造及估量求法（4）解决实际问题2.2 过程与方法目标采用讲授法与讨论法相结合。
让学生在情景教学中经历理解、探索、思考、交流来获取知识，积累知识，感受科学的方法论。
2.3教学重点：点估计的两种常见的估计方法的理解。
2.4教学难点：构造估计量。
二、教学过程1．基础知识的梳理（1）离散型随机变量的分布律（2）连续性型随机变量的概率密度（3）总体及它的一个样本和观察值（4）阶原点矩（5）阶中心矩（6）样本阶原点矩(7) 样本阶中心矩（8）当时，2．问题的提出（1）在总体的分布函数已知情况下，它的一个或多个参数未知，如何通过总体的一个样本来估计总体的参数值。
（2）数学表示：以知，求，为未知参数。
3．点估计的定义如果去统计量来估计总体分布未知参数，则称为的估计量，这种用对参数作定值估计，称为的点估计。
注意：估计量是一个随机变量，是样本的函数，即是一个统计量，对不同的样本值，的估计值一般是不同的。
4．操作总体及它的一个样本和观察值构造适当的统计量，用它的观察值作为未知参数的近似值。
5．点估计的两种构造估计方法分为四个步骤：已知，构造，求解，代替。
16-第16讲 点估计的方法及其评价标准ppt
例4 设样本X1，X2，…，Xn来自总体X， 其密度函数为
求q 1，q 2的矩估计. 解 由
得方程组：
解此方程组，得到矩估计量:
二、最大似然估计法 若总体X属离散型, 其分布律P{X=x}=p(x;q), qQ的形式为 已知, q为待估参数, Q是q的可能取值范围. 设X1,X2,...,Xn 是来自X的样本, 则X1,X2,...,Xn的联合分布律为
2), m, s2为未知参数, x ,x ,...,x 是来自X的一个样 设 X ~ N ( m , s 1 2 n 例5
本值. 求m, s2的最大似然估计值. 解 X的概率密度为
θ)dθ f(x ;
i i1
n
其值随q的取值而变化. 与离散型的情况一样,
ˆ q 取q 的估计值 使概率(1.3)最大, 考虑函数
L( q ) L( x1 , x 2 , , x n ;q ) f ( xi ;q )
i 1 n
的最大值. 这里 L(q )称为样本的似然函数. 若
参数估计
理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握 样本均值、样本方差及样本矩的计算。 了解卡方分布、t分布和F分布的定义及性质，了解分布 分位数的概念并会查表计算。 了解正态总体的某些常用统计量的分布。 理解点估计的概念。 掌握矩估计法和极大似然估计法。 了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）。 理解区间估计的概念。 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。 了解两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。
第七章
参数估计
第二节 点估计的方法 第三节 点估计的评价标准
一、矩估计法 二、最大似然估计法 三、无偏性 四、有效性 五、一致性
对给定的统计问题，在建立了统计模型以后，我们的任务就
概率论与数理统计点估计PPT课件
每一个xi ( i=1,2,3 …,n),所以θ的极大似然估计量为
ˆ max{x1, x2 , , xn}.
《概率统计》
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结束
三、估计量的评选标准
1 . 一致性
设ˆ =ˆ （X1，X2，…，Xn）为未知参数θ的估计量序列，
nn
若 ˆ依n 概率^收敛于θ，即 对于任意ε>0,有
lim P{| n | } 1 ，则称 ˆ为θ的一致估计量.
α=0.05时，若从总体中1抽得2容量相同的100个样本，则在确定的100
个置信区间中将有95个包含θ的真值，不包含θ真值的区间只有5个.
绝不能理解为θ的真值落在( , )内的ˆ概1 率ˆ2 为1-α！
《概率统计》
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结束
求置信区间的方法：
１．选取统计量 找样本（ Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn）的一个函数 U（ Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn;θ）
88，123，n=10。则， ˆ x 58.
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结束
例5．X服从参数为λ的指数分布，求λ的极大似然估计.
解：设x1,…,xn为样本的一组观测值，于是似然函数为
n
L(x1, xn;)
n
exi n
n
e e xi
xi
n
i1
i 1
i 1
n
ln L n ln xi ,
U X ~ N (0,1) X ~ t(n 1)
n
S/ n
(n 1)S 2 2
~
2(n 1)
2
n i1
(Xi )2 2
~
2(n)
U统计量
2.
P|U | u 1
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概率统计 点估计 课件
n−∑xi ∑xi ∵L( p) = p i=1 (1− p) i=1
ln L( p) = ∑xi ln( p) + (n − ∑xi ) ln( 1− p)
求导并令其为0， 对p求导并令其为0， 求导并令其为
i=1 i=1
n d ln L( p) 1 n 1 = ∑xi − (n − ∑xi ) dp p i=1 1− p i =1
n
X = 1 ∑Xi =α1; n i=1 1 2 S = ∑( Xi - X) ≠ β2 . n-1 i =1
2 n
设总体X具有已知的概率函数 设总体 具有已知的概率函数 p ( x ; θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ k ), ( θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ k ) ∈ Θ 未 知 x1,x2,….xn 是来自 X 的样本，假定总体的 阶矩存在，那么它的 的样本，假定总体的k 阶矩存在， 都存在。 前 k 阶矩 α1 , α2 ,⋯, αk 都存在。 若 θ1 ,θ2 ,⋯,θk能够表示为 α1 , α2 ,⋯, αk 的函数，即由 的函数，
统计 推断 的 基本 问题
参数估计 问题
点估计 区间估 计
假设检验 问题
第一节 参数的点估计
参数的点估计是指:对未知参数 选用一个统计量 参数的点估计是指:对未知参数θ选用一个统计量 ˆ ˆ θ = θ( x1, x2 ,⋯, xn ) 的取值作为 的估计值 θ 的取值作为θ的估计值 ˆ 的估计值, 就是θ的点估 ).简称估计 好的估计量体现好的统计思想. 简称估计. 计(量).简称估计.好的估计量体现好的统计思想.
L(θ ) = p(x1, x2 ,…, xn;θ )
ˆ L(θ) = sup L(θ)
为似然函数
估计(教案)2023-2024学年数学 三年级上册 人教版
教案标题：估计（教案）2023-2024学年数学三年级上册人教版一、教学目标1. 让学生理解估计的含义，能够运用估计的方法对数量进行大致的判断。
2. 培养学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力。
3. 培养学生运用估计解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 估计的含义和作用2. 估计的方法和技巧3. 估计在实际生活中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：理解估计的含义，掌握估计的方法和技巧。
2. 教学难点：如何引导学生运用估计解决实际问题。
四、教学过程1. 导入新课通过一个生活实例，引导学生思考估计在日常生活中的重要性，激发学生的学习兴趣。
2. 讲授新课（1）估计的含义和作用引导学生理解估计的含义，即在无法准确计算的情况下，通过对已知信息的观察和分析，对未知数量进行大致的判断。
（2）估计的方法和技巧介绍常用的估计方法，如比较法、比例法、四舍五入法等，并举例说明如何运用这些方法进行估计。
（3）估计在实际生活中的应用通过生活中的实例，让学生体会估计在购物、烹饪、出行等方面的应用，培养学生的估算意识。
3. 实践活动组织学生进行小组讨论，探讨如何运用估计解决实际问题，提高学生的估算能力。
4. 总结与反思引导学生回顾本节课所学内容，总结估计的方法和技巧，并对自己的估算过程进行反思，提高学生的估算能力。
五、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 观察生活中的估计现象，与家长分享自己的估算经验。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和讨论情况，了解学生对估计知识的掌握程度。
2. 作业完成情况：检查学生课后练习题的完成情况，评估学生对估计方法的运用能力。
3. 实践活动表现：评价学生在实践活动中的表现，了解学生运用估计解决实际问题的能力。
七、教学建议1. 注重培养学生的观察能力和分析能力，引导学生关注生活中的估计现象。
2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的估算能力。
3. 加强课后辅导，关注学生的学习需求，帮助学生克服学习难点。
第十五讲点估计
（2）总体 阶中心矩 ，样本 阶中心矩 ， 。
用相应的样本矩来估计总体矩，如 ， 等。同样由于 ，故有 。
例1设 ， ， ，一个样本为 。则
， 或 。
例2设 ， ，一个样本为 ，则
例3设 ， ，一个样本为 ，则
若 ，则有 。
由于参数 可以由其总体的各阶原点矩表示出来，即
此时，用样本原点矩来估计总体原点矩代入上面的函数中就可以得到参数 的估计，即
最佳估计量 应具有下列性质：
（1）无偏性
若 的数学期望E（ ）= ，则称 是参数 的无偏估计量。
设样本观测值为 ，则称 为参数 的无偏估计值。
例6设总体 的均值 ，方差 ，证明样本均值 是总体均值 的无偏估计量。
证因为样本 相互独立，且与总体 服从相同分布，所以有
由于
所以样本均值 是总体均值 的无偏估计量。
例如，人的身高 ，一个样本为 ,则 为 个人的平均身高，近似认为总体均值 为 ，即 。用 来估计 ，这里 不是真值，而是估计值。
若总体的分布中含有m（m>1)个未知参数，则需构造m个统计量作为相应m个未知参数的点估计量。下面介绍两种常用的求未知参数点估计量的方法。
1.矩估计法
（1）总体 阶原点矩 ，样本 阶原点矩 ， ；
例8从总体 中抽取样本 ，证明下列三个统计量
, ,
都是总体均值 的无偏估计量，并确定哪个估计量更有效。
证
所以三个统计量都是总体均值 的无偏估计量。
由于 的值最小，所以 是三个估计量中最有效估计量。
（3）一致性
若对于任意给定的正数 ，有 P ( )=1,则称 是参数 的一致估计量。
例9设总体 的均值 ，方差 ，证明样本均值 是总体均值 的一致估计量。
用相应的样本矩来估计总体矩，如 ， 等。同样由于 ，故有 。
例1设 ， ， ，一个样本为 。则
， 或 。
例2设 ， ，一个样本为 ，则
例3设 ， ，一个样本为 ，则
若 ，则有 。
由于参数 可以由其总体的各阶原点矩表示出来，即
此时，用样本原点矩来估计总体原点矩代入上面的函数中就可以得到参数 的估计，即
最佳估计量 应具有下列性质：
（1）无偏性
若 的数学期望E（ ）= ，则称 是参数 的无偏估计量。
设样本观测值为 ，则称 为参数 的无偏估计值。
例6设总体 的均值 ，方差 ，证明样本均值 是总体均值 的无偏估计量。
证因为样本 相互独立，且与总体 服从相同分布，所以有
由于
所以样本均值 是总体均值 的无偏估计量。
例如，人的身高 ，一个样本为 ,则 为 个人的平均身高，近似认为总体均值 为 ，即 。用 来估计 ，这里 不是真值，而是估计值。
若总体的分布中含有m（m>1)个未知参数，则需构造m个统计量作为相应m个未知参数的点估计量。下面介绍两种常用的求未知参数点估计量的方法。
1.矩估计法
（1）总体 阶原点矩 ，样本 阶原点矩 ， ；
例8从总体 中抽取样本 ，证明下列三个统计量
, ,
都是总体均值 的无偏估计量，并确定哪个估计量更有效。
证
所以三个统计量都是总体均值 的无偏估计量。
由于 的值最小，所以 是三个估计量中最有效估计量。
（3）一致性
若对于任意给定的正数 ，有 P ( )=1,则称 是参数 的一致估计量。
例9设总体 的均值 ，方差 ，证明样本均值 是总体均值 的一致估计量。
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解：由题可知P{X=x}=p（x；λ）= /*难点：整理部分*/
L（λ）= =
LnL（λ）=
令=0，得 估计值
其估计量
2．设总体X为连续型，其概率密度为 ，设 是来自总体X的一个样本，则 的联合概率密度为
=
LnL（θ）= ——极大似然函数
例5． （θ>-1，待估参数）
解：L（θ）= =
LnL（θ）=
由于
故 的矩估计值为
注：1）矩估计量与矩估计值的表示 及其联系与区别；
2）“ ”是错误的， 只可近似代替 ，并非相等。例2.设 是来自总体 的一个样本，总体 的均值 及方差 均存在，但 未知，试求 的矩估计量。
解 （因为本题中有两个未知参数，一个等式不能够确定，故需考虑用样本二阶矩估计总体二阶矩来构造第二个等式）
分析 1.因为样本矩较易得到，而总体矩为含参函数形式，且本题中含有一个未知参数，需一个等式关系，因此，不防先把总体一阶矩（数学期望）求解出来，离散型数学期望的求解为
2.用样本一阶矩（样本均值 ）近似代替 后， 可看做是已知的，在上述等式中可直接求解未知参数 ，即
3.可用样本矩代替总体矩，即 代替 ，得 的矩估计量为
教学分析
教学内容
1.参数点估计定义
2.矩估计法及其使用
3.极大似然估计法及其使用
教学重点
矩估计法及极大似然估计法适用范围、基本步骤。
教学难点
矩估计法及极大似然估计法的理解与应用。
教学方法与策略
板书设计
教学时间设计
1.引导课题…………3分钟
2.学生活动…………5分钟
3.参数点估计定义…………22分钟
4.矩估计法…………20分钟
1．设总体X为离散型，其分布律为P{X=x}=p（x；θ），θ 为待估参数，设 是来自总体X的样本，则样本取到的样本值 的概率为
=
=
令L（θ）=L（ ；θ）= ——极大似然函数
LnL（θ）= =
或 从而得到
且 ，极大似然估计值
例4．设总体X~π（λ），λ>0为待估参数，设 是来自X的一个样本，试求λ的极大似然估计值和估计量。
由案例可知，样本矩依据具体的样本信息是可知的，而总体矩则是含未知参数 的函数形式，因此，不防用已知的样本矩来近似代替含参形式的总体矩，从而，确定未知参数 的估计值。
简而概之，就是用样本矩估计总体矩，用样本均值估计总体期望。
例1.设总体 的分布律为
-1
0
2
其中 未知且 ，用样本值 求参数 的矩估计值。
估计量： 是来自总体X的样本， （ ）叫做θ的估计量
（此时是随机变量）
估计值：将样本值x1，x2，…，xn，代入（ ），得到 （ ）叫做θ的估计值（此时是个具体数值）
对于不同样本值，估计值一般是不同的。
常用的方法：矩估计法，极大似然估计法
矩估计是基于一种简单的“替换”思想建立的一种估计方法，是由英国统计学家K.Pearson最早提出的。由大数定理可知，样本矩依概率收敛于总体矩，即当 越来越大时，样本矩接近总体矩的概率会越来越大。
5.极大似然估计法…………45分钟
5.课堂小结…………5分钟
教学手段
多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。
教学进程
教学意图
教学内容
教学理念
引出课题
（3分钟）
某工厂生产某种零件，零件上的疵点数 为一随机变量，假定 服从参数为 的泊松分布，且 未知，设有以下的样本观察值，试估计未知参数 。
例如：产品的质量指标X~ N（μ，σ2），但μ，σ2未知，借助于总体X的一个样本来估计。
由于μ=E（X），可测得x1，x2，…，x10，用 来估计μ。
分为参数的点估计和参数的区间估计。
参数点估计：总体X的分布函数F（ ）的形式是已知的，其中 是待估计的参数。点估计问题就是根据样本（ ）对 进行估计。
（反解上述两等式，得未知参数的表示形式）
用样本矩 代替上式中的 ，得
注：无论总体 服从怎样的分布，总有
教师给予引导，回归到刚提出的问题上。
通过具体的例题展现极大似然估价法步骤，便于学生更易掌握。
极大似然估计法及其使用（45分钟）
二、极大似然估计法
基本思想：若事件A的概率依赖于未知参数θ，如果观察到A已经发生，那么就取θ的估计值使A的概率为最大。（极大似然法的直观想法：如果随机试验的结果得到样本观察值 ，则我们应当这样选取 ，使这组样本观察值出现的可能性最大，作为 的估计值 ．）
疵点数
0
1
2
3
4
5
6
频数
14
27
26
20
7
3
3
激发学生的兴趣，让学生体会数学来源于生活。
学生活动
（5分钟）
问题细化，学生讨论，激发兴趣。
从日常生活的经验和常识入手，调动学生的积极性。
参数点估计定义（22分钟）
矩估计法及其使用（20分钟）
参数估计：实际工作中碰到的总体X，它的分布类型往往是知道的（如果对总体的分布类型也未确定，参见第6章）只是不知道其中的某些参数。
了解点估计的基本思想；
掌握点估计的基本步骤及其在离散型和连续型变量中的运用。
过程与方法
通过“零件疵点数”的案例引入，引导学生解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观
通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。
点估计--教学设计
概率论与数理统计教学设计
课程名称
概率论与数专业与班级
财管B1601---B1606
课型
新授课
课题
6.1点估计
教材分析
“点估计”属于教材第七章第一节，位于教材的第184页至第196页。对于应用型经管类本科生来说，此课程的重点在统计部分，统计部分的重点在统计推断，统计推断是根据样本所提供的的信息对总体特性做出种种推断。
令=0，得 为极大似然估计值
若含两个待估参数：
L（θ1，θ2）= 或 令 =0， =0
例6．设X~N（μ，σ2）；μ，σ2>0未知， 为一个样本值，求μ，σ2的极大似然估计。
参数估计是统计推断中的基本问题之一，主要是指在实际问题中遇到的许多总体，根据以往的经验和理论分析知其分布类型，但分布中的一个或几个参数未知，可根据样本信息构造合适的统计量来估计总体中的未知参数。
点估计是参数估计中的常用类型，是指根据样本信息计算出一个数值来估计总体中的未知参数。
学
习
目
标
知识与技能
了解点估计的背景来源及点估计的概念；
L（λ）= =
LnL（λ）=
令=0，得 估计值
其估计量
2．设总体X为连续型，其概率密度为 ，设 是来自总体X的一个样本，则 的联合概率密度为
=
LnL（θ）= ——极大似然函数
例5． （θ>-1，待估参数）
解：L（θ）= =
LnL（θ）=
由于
故 的矩估计值为
注：1）矩估计量与矩估计值的表示 及其联系与区别；
2）“ ”是错误的， 只可近似代替 ，并非相等。例2.设 是来自总体 的一个样本，总体 的均值 及方差 均存在，但 未知，试求 的矩估计量。
解 （因为本题中有两个未知参数，一个等式不能够确定，故需考虑用样本二阶矩估计总体二阶矩来构造第二个等式）
分析 1.因为样本矩较易得到，而总体矩为含参函数形式，且本题中含有一个未知参数，需一个等式关系，因此，不防先把总体一阶矩（数学期望）求解出来，离散型数学期望的求解为
2.用样本一阶矩（样本均值 ）近似代替 后， 可看做是已知的，在上述等式中可直接求解未知参数 ，即
3.可用样本矩代替总体矩，即 代替 ，得 的矩估计量为
教学分析
教学内容
1.参数点估计定义
2.矩估计法及其使用
3.极大似然估计法及其使用
教学重点
矩估计法及极大似然估计法适用范围、基本步骤。
教学难点
矩估计法及极大似然估计法的理解与应用。
教学方法与策略
板书设计
教学时间设计
1.引导课题…………3分钟
2.学生活动…………5分钟
3.参数点估计定义…………22分钟
4.矩估计法…………20分钟
1．设总体X为离散型，其分布律为P{X=x}=p（x；θ），θ 为待估参数，设 是来自总体X的样本，则样本取到的样本值 的概率为
=
=
令L（θ）=L（ ；θ）= ——极大似然函数
LnL（θ）= =
或 从而得到
且 ，极大似然估计值
例4．设总体X~π（λ），λ>0为待估参数，设 是来自X的一个样本，试求λ的极大似然估计值和估计量。
由案例可知，样本矩依据具体的样本信息是可知的，而总体矩则是含未知参数 的函数形式，因此，不防用已知的样本矩来近似代替含参形式的总体矩，从而，确定未知参数 的估计值。
简而概之，就是用样本矩估计总体矩，用样本均值估计总体期望。
例1.设总体 的分布律为
-1
0
2
其中 未知且 ，用样本值 求参数 的矩估计值。
估计量： 是来自总体X的样本， （ ）叫做θ的估计量
（此时是随机变量）
估计值：将样本值x1，x2，…，xn，代入（ ），得到 （ ）叫做θ的估计值（此时是个具体数值）
对于不同样本值，估计值一般是不同的。
常用的方法：矩估计法，极大似然估计法
矩估计是基于一种简单的“替换”思想建立的一种估计方法，是由英国统计学家K.Pearson最早提出的。由大数定理可知，样本矩依概率收敛于总体矩，即当 越来越大时，样本矩接近总体矩的概率会越来越大。
5.极大似然估计法…………45分钟
5.课堂小结…………5分钟
教学手段
多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。
教学进程
教学意图
教学内容
教学理念
引出课题
（3分钟）
某工厂生产某种零件，零件上的疵点数 为一随机变量，假定 服从参数为 的泊松分布，且 未知，设有以下的样本观察值，试估计未知参数 。
例如：产品的质量指标X~ N（μ，σ2），但μ，σ2未知，借助于总体X的一个样本来估计。
由于μ=E（X），可测得x1，x2，…，x10，用 来估计μ。
分为参数的点估计和参数的区间估计。
参数点估计：总体X的分布函数F（ ）的形式是已知的，其中 是待估计的参数。点估计问题就是根据样本（ ）对 进行估计。
（反解上述两等式，得未知参数的表示形式）
用样本矩 代替上式中的 ，得
注：无论总体 服从怎样的分布，总有
教师给予引导，回归到刚提出的问题上。
通过具体的例题展现极大似然估价法步骤，便于学生更易掌握。
极大似然估计法及其使用（45分钟）
二、极大似然估计法
基本思想：若事件A的概率依赖于未知参数θ，如果观察到A已经发生，那么就取θ的估计值使A的概率为最大。（极大似然法的直观想法：如果随机试验的结果得到样本观察值 ，则我们应当这样选取 ，使这组样本观察值出现的可能性最大，作为 的估计值 ．）
疵点数
0
1
2
3
4
5
6
频数
14
27
26
20
7
3
3
激发学生的兴趣，让学生体会数学来源于生活。
学生活动
（5分钟）
问题细化，学生讨论，激发兴趣。
从日常生活的经验和常识入手，调动学生的积极性。
参数点估计定义（22分钟）
矩估计法及其使用（20分钟）
参数估计：实际工作中碰到的总体X，它的分布类型往往是知道的（如果对总体的分布类型也未确定，参见第6章）只是不知道其中的某些参数。
了解点估计的基本思想；
掌握点估计的基本步骤及其在离散型和连续型变量中的运用。
过程与方法
通过“零件疵点数”的案例引入，引导学生解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观
通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。
点估计--教学设计
概率论与数理统计教学设计
课程名称
概率论与数专业与班级
财管B1601---B1606
课型
新授课
课题
6.1点估计
教材分析
“点估计”属于教材第七章第一节，位于教材的第184页至第196页。对于应用型经管类本科生来说，此课程的重点在统计部分，统计部分的重点在统计推断，统计推断是根据样本所提供的的信息对总体特性做出种种推断。
令=0，得 为极大似然估计值
若含两个待估参数：
L（θ1，θ2）= 或 令 =0， =0
例6．设X~N（μ，σ2）；μ，σ2>0未知， 为一个样本值，求μ，σ2的极大似然估计。
参数估计是统计推断中的基本问题之一，主要是指在实际问题中遇到的许多总体，根据以往的经验和理论分析知其分布类型，但分布中的一个或几个参数未知，可根据样本信息构造合适的统计量来估计总体中的未知参数。
点估计是参数估计中的常用类型，是指根据样本信息计算出一个数值来估计总体中的未知参数。
学
习
目
标
知识与技能
了解点估计的背景来源及点估计的概念；