N南财期末概率论必考附件二
(最新整理)概率论和数理统计期末考试题库
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数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0。
5,P (B ）=0。
6，P （BA ）=0。
8，则P (A+B)=__ 0。
7 __。
2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。
3、设随机变量X 服从［0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松(Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。
5、一次试验的成功率为p ,进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大,最大值为 25 .6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X ）=34。
8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ～N （－2，4)，Y ～N (3,9），且X 与Y 相互独立.设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(—2， 25） 。
概率论与数理统计期末考试复习资料
（2）二维随机变量的本质
（3）联合分布函数
设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：
（1）
（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即
分布函数具有如下性质：
1° ；
2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；
3° ， ；
4° ，即 是右连续的；
5° 。
对于离散型随机变量， ；
对于连续型随机变量， 。
（5）八大分布
0-1分布
P(X=1)=p,P(X=0)=q
二项分布
在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。
若 ，则 的分布函数为
。。
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为
， ，
分布函数为
。
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查ห้องสมุดไป่ตู้。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。
如果 ~ ，则 ~ 。
。
（6）分位数
下分位表： ；
上分位表： 。
（7）函数分布
离散型
已知 的分布列为
，
的分布列（ 互不相等）如下：
记为（X，Y）～N（
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，
即X～N（
但是若X～N（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。
（10）函数分布
Z=X+Y
根据定义计算：
概率论期末必考题
P57，习题10
甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只
01
白球，6只红球，9只黑球，现从两袋中各取一球，求两
球颜色相同的概率。
P 解：3 分 别1 求0 出 同7 取白 、6 红 、1 黑5 球 的概9率 ，2 再0 相7加即可
P(C) 1 P(A2B3) P(A3B2) P(A3B3) 10.20.7 0.70.20.70.7 0.23
P113，习题16
P ( A) P{3B} P{1G 2B} 1 3 1 1
8 8 2 抽查一个家庭，考察两个事件，：至多有一个女孩 ；：男女
孩子都有。假设男女的出生率都是50%。试证：对3个孩子之家
解 ： 依 题 意P ， 产(品A 通)过 验 收C 可 能5 1的 情C 况 为13：5C5 0C1450.751
C2 40
C2 40
N!
N
P( Ai
Aj )
(N 2)! N!
1 N(N
1)
,
i j
P( A1A2 A3...AN )
1 N!
P( A1 A2 ... AN )
C
1 N
1 N
C
2 N
N
(
1 N
1)
...
(1)
N
1
C
N N
1 N!
解则1“：至设12少有...一个(士1)兵N拿1 到N1自! 己的枪”的概率为：
点第
击 此
一
处 添
章
加
副
标事
题件
与
概率论与数理统计期末考试复习资料
分布函数F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即x1 x2 时，有 F(x1) F(x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件B1, B2,, Bn 满足
（15） 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容，P(Bi) 0(i 1,2,, n) ，
全概公
2°
A
n
Bi
，
式
i 1
则有
P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；
（17）
每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发
伯努利 生与否是互不影响的。
概型 这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。 用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为1 p q ，用Pn(k) 表示n 重伯努利试验中 A 出现k(0 k n) 次的概率，
C Pn(k) k pk qnk ，k 0,1,2,, n 。 n
第二章 随机变量及其分布
3
（1）离 散型随 机变量 的分布 律
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值 的概率，即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
概率论期末测试模拟2答案
幻灯片1第二章练习题一、填空题1.设随机变量X的概率密度为且P{X>1/2}=0.75，则k = , b = .2.设随机变量X的分布律为X 0 1 2p 1/3 1/6 1/2则 X 的分布函数 F(x) = . 120, x<0,1/3, 0x<11/2, 1x<21, 2x幻灯片2●利用常见连续型随机变量的分布求事件的概率3. 若随机变量 X 在(1, 6)上服从均匀分布, 则方程x2+Xx+1=0 有实根的概率是 .0.8●利用常见离散型随机变量的分布求事件的概率4. 设随机变量X的概率密度为以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{X1/2}出现的次数, 则P{Y=2}= .9/645.设X服从参数为(2, p)的二项分布,随机变量Y服从参数为(3, p)的二项分布.若P{X1}=5/9,则P{Y1}= .19/27幻灯片3二、选择题1.设随机变量X具有对称的概率密度，即f(x)=f(-x),其分布函数为F(x), 则P{|X|>a}=( ).(A)2[1-F(a)] (B)2F(a)-1(C) 2-F(a) (D) 1-2F(a)2.设随机变量X的概率密度为则( )~N(0,1).AB(A) (B) (C) (D)幻灯片43.设X~N(, 42) , Y~N (, 52)，记 P( X -4 )=p1 ,P(Y +5)=p2 , 则( )A(A)对于任意的实数有p1 =p2(B)(D)(C)只对的个别值才有p1 =p24. 设随机变量X1 , X2的分布函数为F1(x),F2(x), 为使F(x)=a F1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下面给出的各组数中应取（）.A5. 设随机变量X~N(2, 2), 且P{2<X<4}=0.3, 则P{X<0}=（）D(A)0.5 (B)0.7 (C)0.3 (D)0.2幻灯片5幻灯片6三、解答题●会求待定常数离散型1. 设随机变量X的分布函数为试确定常数a, b的值.【解】由分布函数的右连续性, 可知即解得:a=2/3,b=1/3.幻灯片7●会求离散型随机变量的分布律，分布函数和事件的概率（实质：古典概型）2. 一批零件中有9件正品和3件次品,从中不放回地抽取零件, 求 (1) 在取得正品前已取出次品数X的分布律和分布函数; (2) 概率P{X>2}, P{0.5<X<2}.2. 一批零件中有9件正品和3件次品,从中不放回地抽取零件, 求 (1) 在取得正品前已取出次品数X的分布律和分布函数; (2) 概率P{X>2}, P{0.5<X<2}.【解】【解】(1)的所有可能的取值为0,1,2,3, 且X 0 1 2 30.75 0.204 0.041 0.005幻灯片8●会求离散型随机变量函数的分布律3. 设X的分布律为求Y=cosX的分布律.【解】cosX 0 1 0cosX 0 1P幻灯片9●已知连续型随机变量的概率密度，求待定常数，分布函数和一些事件的概率4. 设连续性随机变量X的概率密度为求 (1) k=? (2) P{1<X<5}, (3)E(3X+5)答 (1) k=1/2 , (2) 1/4, (3) 17/4幻灯片10●已知连续型随机变量的分布函数，求待定常数，概率密度和一些事件的概率5.设X的分布函数为求 c=? ; f(x); P{X<-3}, P{X<1/2},P{X>1/2}, P{X=3},D(X).幻灯片116. 设连续型随机变量X 的分布函数为求:(1)系数A与B;(2)X的概率密度f(x);(3)X的取值落在区间[1,2]内的概率. 幻灯片12解：(1) 由,得A=1又因为X是连续型随机变量,所以F(x)处处连续,故有F(0-0)=F(0),即A+B=0, 所以B=-A= -1故A=1,B= -1 .于是幻灯片13●会求连续型随机变量函数的分布7. 设X的概率密度函数为.求随机变量的概率密度函数【解】Y的分布函数为所以Y的概率密度函数为幻灯片149. 公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的, 设男子身高X (cm) 服从正态分布X~N(170, 36). 问车门的高度应如何确定?若设车门的高度为 h cm,由题意可知解析:由于X~N(170, 6²), 因此查表可知即有, 于是 h=170+6 2.33=183.98(cm)幻灯片1510. 有2500同一年龄段的人参加了人寿保险,每人在1月1日须交保费120元，而在死亡时家属可从保险公司领取20000元赔偿金. 设在一年中每人的死亡率为0.002. 求(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利不少于10万元的概率.【答：（1）0.000069；（2）0.9863 】。
南开大学22春“金融学”《概率论与数理统计》期末考试高频考点版(带答案)试卷号：2
南开大学22春“金融学”《概率论与数理统计》期末考试高频考点版（带答案）一.综合考核(共50题)1.设X~N(0,1)，有常数c满足P(x=c)=P(xc)，则c=()。
A.1B.0C.1/2D.-1参考答案：B2.协方差cov(X，Y)的绝对值越大，说明XY的线性关系越强。
()A.正确B.错误参考答案：A3.设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x), FY(y)，令Z=Min(X,Y),则FZ(z)=1-[1-FX(z)]*[1-FY(z)]。
()A.正确B.错误参考答案：A4.随机变量X的期望是E(X)，随机变量Y的期望E(Y)，X与Y满足E[X+Y]=E[X]+E[Y]，则X与Y不一定相互独立。
()A.正确B.错误参考答案：AA，B为两个互不相容事件，则下列各式中错误的是()。
参考答案：C6.袋中有4个白球和5个黑球，采用放回抽样，连续从中取出3个球，取到的球顺序为黑白黑的概率为()。
A.7/50B.100/729C.17/48D.43/125参考答案：B7.正态分布是一种连续分布。
()A.正确B.错误参考答案：A8.如果三个事件相互独立，则任意一事件与另外两个事件的积、和、差均相互独立。
()A.正确B.错误参考答案：A9.实际推断原理：一次试验小概率事件不会发生。
()A.正确B.错误参考答案：B10.F(X，Y)一定大于等于FX(x)*FY(y)。
()A.正确B.错误参考答案：B11.设X~N(0，1)，有常数c满足P(x>=c)=P(xA.1B.0C.1/2D.-1参考答案：B12.在事件A发生的条件下事件B发生的概率，简称为B的()。
A.估计量B.条件概率C.统计概率D.概率参考答案：B13.设X~N(2，σ2)，P(2A.0.3B.0.2C.0.4D.0.5参考答案：B14.如果随机试验E具有以下特点：(1)样本空间S中所含样本点为有限个，(2)一次试验，每个基本事件发生的可能性相同。
概率论与数理统计(二)》考前精简版(必下)
l min(M , n)
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。
4 / 22
均匀分布 指数分布
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f ( x) 在[a，b]上为常数 1 ，即 ba
pk 1
（1） pk 0 ， k 1,2, ， （2） k1
。
（2）连续型随机 变量的分布密度
（3）离散与连续 型随机变量的关 系
设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有
x
F (x) f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f ( x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
2 / 22
（15）全概公式 （16）贝叶斯公式 （17）伯努利概型
设事件 B1, B2, , Bn 满足
的特例。
设随机变量 X 的分布律为 P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2 ， k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
P( X
k)
CMk
•
C
nk N M
,
k
0,1,2
最新2022-2022江西财经大学概率论与数理统计期末试卷及答案
2022-2022江西财经大学概率论与数理统计期末试卷及答案江西财经大学2022－2022第二学期期末考试试卷试卷代码：03054C 授课课时：64 考试用时：150分钟 课程名称：概率论与数理统计 适用对象：2022本科试卷命题人 徐晔 试卷审核人 何明【本次考试允许带计算器。
做题时，需要查表获得的信息，请在试卷后面附表中查找】 一、填空题〔将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。
每题3分，共15分〕1. 设A 和B 是任意两事件，那么=))()((B A B A B A _________2. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=303271)(3x x x x F ，那么=<<)52(X P _________3. 设随机变量)2,1(~,)1,2(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，那么~42+-=Y X Z _________4. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2和1，方差分别为1和4，而相关系数为5.0，那么根据切比雪夫不等式≤≥--}61{Y X P _________5. 设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他01)(bx a a b x f ，而n x x x ,,,21 为来自总体X 样本),,,(21b x x x a n << ，那么未知参数a 最大似然估计值为_________，未知参数b 最大似然估计值为_________二、单项选择题〔从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。
答案选错或未选者，该题不得分。
每题3分，共15分〕1.设B A ,为两个随机事件，且1)(,0)(=>B A P B P ，那么必有〔 〕)(}{)()(}{)()(}{)()(}{)(B P B A P D A P B A P C B P B A P B A P B A P A ==>>2. 设随机变量()2,~σμN X ，而n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，样本均值和样本修正方差分别为X 和2*S ，1+n X 是对X 的又一独立样本，那么统计量11+-=*+n nS XX Y n 是〔 〕)(A 服从()1,0N 分布 )(B 服从)1(-n t 分布)(C 服从)(2n χ分布 )(D 服从)1,(+n n F 分布3. 设4321,,,X X X X 为来自总体),(~2σμN X 的样本，0≠=μEX ,02≠=σDX ，从无偏性、有效性考虑总体均值μ的最好的点估计量是〔 〕)(A432141414141X X X X +++ )(B 212121X X + )(C 432171717372X X X X +++ )(D 321313131X X X ++4.在假设检验中，原假设0H ，备择假设1H ，显著性水平α，那么检验的成效是指〔 〕 )(A 为假｝接受00|{H H P 〔B 〕为假｝拒绝00|{H H P)(C 为真｝接受00|{H H P )(D 为真｝拒绝00|{H H P 5. 设),,,(21n X X X 为来自正态总体),(2σμN 的样本，μ，未知参数2σ的置信度α-1的置信区间为〔 〕)(A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--∑∑=-=)()(,)()(221222112n X n X n i i n i i ααχμχμ )(B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==∑∑)()(,)()(221122212n X n X ni i n i i ααχμχμ )(C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑=-=)1()(,)1()(221222112n X n X n i i n i i ααχμχμ )(D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==∑∑)1()(,)1()(221122212n X n X ni i n i i ααχμχμ三、计算题〔要求在答题纸上写出主要计算步骤及结果。
概率论与数理统计期末复习重要知识点
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为2()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=⎰标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
概率论期末考试题及答案
概率论期末考试题及答案概率论是一门研究随机现象及其规律性的数学分支。
以下是一套概率论期末考试题及答案，供参考。
一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥的，P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)等于多少？A. 0.1B. 0.7C. 0.35D. 0.6答案：B2. 抛一枚均匀的硬币两次，求正面朝上的次数为1的概率。
A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：B3. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求P(X=1)。
A. λB. λe^(-λ)C. e^(-λ)D. 1/λ答案：B4. 某工厂有5台机器，每台机器正常工作的概率都是0.9，求至少有3台机器正常工作的概率。
A. 0.999B. 0.99C. 0.95D. 0.9答案：C5. 一个骰子连续抛掷两次，求点数之和为7的概率。
A. 1/6B. 1/3C. 5/36D. 2/9答案：C二、填空题（每题2分，共10分）6. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，其密度函数的峰值出现在X=______。
答案：μ7. 假设事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.5，则P(A∩B)=______。
答案：0.38. 某随机试验中，事件A发生的概率为0.2，事件B发生的概率为0.3，且P(A∪B)=0.4，则P(A∩B)=______。
答案：0.19. 连续型随机变量X的分布函数F(x)=1-e^(-λx)，其中λ>0，当x≥0时，X服从______分布。
答案：指数10. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，求其期望E(X)=______。
答案：np三、简答题（每题10分，共30分）11. 简述什么是条件概率，并给出条件概率的公式。
答案：条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B) 是事件A和B 同时发生的概率，P(B) 是事件B发生的概率。
概率论期末复习重点
概率论期末总复习第一章 随机事件 1、 事件的关系与运算 2、 古典概率3、 条件概率的概念与性质，乘法公式4、 事件的独立性5、主要公式（1）()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+- （2）)()()(AB P A P B A P -=- （3）()()1P A P A =- （4）()()()|P AB P B A P A =（5）()()()()()||P AB P A P B A P B P A B ==（6）n 重贝努利试验中，事件A 发生k 次的概率为 6、 主要例题：P10例1.3.3、例； 7、主要习题：P23习题、、、例1、已知8.0)(,5.0)(,3.0)(===B A P B P A P Y ，求（1）P(AB)；（2）P （A －B ）；（3）)(____B A P 解：（1）由)()()()(AB P B P A P B A P -+=Y得()()()()P AB P A P B P A B =+-⋃ （2）3.003.0)()()(=-=-=-AB P A P B A P（3）2.08.01)(1)()(___________=-=-==B A P B A P B A P Y Y 第二章随机变量 1、离散型分布列()i i P X x P ==，i ＝1，2，……（1）0≥iP （2）11=∑∞=i i P2、分布函数)()(x X P x F ≤=3、连续型概率密度函数)(x f （1）0)(≥x f （2）()1f x dx ∞-∞=⎰ （3）⎰-==≤<b a a F b F dx x f b X a P )()()()(（4）)()('x F x f = 4、常用离散型（1）两点（0－1）分布E （x ）＝P ，D （x ）＝P （1－P ） （2）二项分布X ～B （n ，p ） E （x ）＝np ，D （x ）＝np （1－p ） （3）泊松分布X ～)(λP!)(K e K X P K λλ-==，K ＝0，1，2，……0>λE （x ）=D （x ）＝λ 5、常用连续型 （1）均匀分布],[~b a U X （2）指数分布][~λE X （3）正态分布),(~2σu N X（4）标准正态分布X ～N （0，1） 6、重要例题：P39例2.3.3、； 7、重要习题：P48习题、、、、 例1、设随机变量X 的密度函数为求：（1）常数K ；（2）分布函数F （x ）（3）P （<X<2）（4）E （x ），D （x ）解：（1）⎰⎰∞∞-====101022|2)(1Kx K Kxdx dx x f ，K ＝2（2）⎰⎰∞-===≤xxdt dt t f x F x 000)()(0时， （3）43|2)()25.0(15.0215.025.0====<<⎰⎰x xdx dx x f X P （4）32|322)()(10310====⎰⎰∞∞-x xdx x dx x xf x E 第三章 多维随机变量 一、二维离散型随机变量（x,y ） 1、联合分布律()i i ij P X x y P ===，Y性质：（1）0≥ij P （2）111=∑∑∞-∞=j i ij P2、边缘分布11() ()i i ij j j ij j i P P X x P P P Y y P ∞∞⋅⋅========∑∑、()(),X f x f x y dy +∞-∞=⎰，()(),Y f x f x y dx +∞-∞=⎰3、独立性X 与Y 独立j i ij P P P ⋅⋅=⇔4、条件分布()()(),|i j ij i j jj P X x Y y P P X x Y y P P Y y ⋅=======二、重要例题：P53例3.2.1 三、重要习题：P79习题、、、、、 例1、设随机变量X 和Y 的分布律为问（1）βα,为何值时，X 与Y 独立？（2）()(),E X E Y （3）()1|1P X Y == 解：（x ，y ）的边缘分布如上表，由独立特性得 第四章随机变量的数字特征 一、数学期望（1）1 ()() i i i x P E X xf x dx ∞=∞∞⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰－离散连续（2）设Y ＝g （x ），则1()()()()i ii g x P E Y g x f x dx ∞=∞-∞⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰（3）性质：E （C ）＝C ，E （ax+b ）＝aE （x ）＋b 二、方差（1）2()[()]D X E X E X =-（2）简化公式：22()()(())D X E X E X =- （3）性质：D （C ）＝0，2()()D aX b a D X += 三、重要例题：P89例4.1.7；P94例； 四、重要习题：P104习题、、 1、设总体X 的概率密度为()10xe f x θθ-⎧⎪=⎨⎪⎩00<≥x x （0θ>，未知），n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的样本，求未知参数θ的极大似然估计量。
南开大学22春“会计学”《概率论与统计原理》期末考试高频考点版(带答案)试卷号：1
南开大学22春“会计学”《概率论与统计原理》期末考试高频考点版（带答案）一.综合考核(共50题)1.设随机变量X的分布函数为F(x)，则Y=2X+1的分布函数为()。
A.F(0.5y-0.5)B.F(2y+1)C.2F(y)+1D.0.5F(y)-0.5参考答案：A2.掷一枚硬币，当投掷次数充分大时，正面朝上的频率依概率将收敛于()。
A.0.49B.0.5C.0.505D.0.51参考答案：B3.从0，1，2，9共10个数字中的任意两个(可重复使用)组成一个两位数的字码，则字码之和为4的概率为()。
A.0.02B.0.03C.0.04D.0.05参考答案：D4.从总体X中抽取一个容量为9的样本，得样本均值=5，则总体均值的无偏估计值为5。
()A.错误B.正确5.设随机变量X在[0，6]上服从均匀分布，则Y=|X-3|将在[0，3]上服从均匀分布。
()A.错误B.正确参考答案：B6.已知一批同型号的电子元件，次品率为1/6。
从这批元件中任取6000只，设X表示其中的次品数，则X近似服从正态分布N(1000，2500/3)。
()A.错误B.正确参考答案：B7.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，现对X进行五次独立观测，则至少有三次观测值大于3的概率为()。
A.192/243B.163/243C.80/243D.40/243参考答案：A8.如果A与B互斥，且P(A)>0，P(B)>0，则A与B必然相互独立。
()A.错误B.正确参考答案：A9.从100人中用简单随机抽样抽出10人作为样本，并计算其平均身高，抽中样本的平均身高通常是()。
A.等于总体平均身高D.可能高也可能低于总体平均身高参考答案：D10.设f(x)是随机变量X的概率密度，则必有0≤f(x)≤1。
()A.错误B.正确参考答案：A11.设随机变量X～B(300，0.2)，则EX=()。
A.20B.40C.48D.60参考答案：D12.设有3箱同型号零件，里面分别装有10件、15件和25件，而其中一等品分别有7件、8件和20件。
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0 0
F
(
x)
1
e3
x
x 00 x0
(3) P( X 0.1) 3e3xdx e0.3 0.1
上页
下页
返回
4 .设X
~
f(x)
,
f(x)
2x
0
0x1 else
求下列函数的密度函数
(1)2X 1 (2) (X 2)2
解：(1)f Y
(
y
)
(
y
1)
1 2
0
1 y 1 else
(2)f Z
3 2
e2
1 2
0
2x
上页
下页
返回
（3）EX
xf (x, y)dxdy
xf (x, y)dxdy
D
2
dx
0
x
1 2
x2e
y
dy
5e2 1
(4)
fX
(x)
1 2
x
0x2
0
else
ey y 0
fY (y) 0
else
上页
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返回
8.设由机器包装的大米重量的数学期望为10千克， 方差0.2 。求100袋大米的总重量在990至1010千克 的概率。
则P（B）=P（A1）P（B A1 ）+P（A2）P（B A2 ）+P（A3）P（B A3 ）
=
3 6
8%+
2 6
9%+
1 6
12%=0.09
（2)P(A1
B)
P( A1)P(B P(B)
A1)
36 8% 0.09
0.44
上页
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2.设随机变量X在区间[2,6]上服从均匀分布，
求对X进行五次独立观测中，至少两次的观
( 21)2
0
1 4
(3)
f
(x)
F
(
x)
2x
0
0 x1 else
上页
下页
返回
6.从1，2，3，4 四个整数中随机地取一个，用X表示， 再从1，2， ，X中随机取一个，用Y表示，(1)求 （X,Y)的联合概率分布。 (2)求X，Y是否独立？
(3) EX,EY,
XY 1
2
1
1 4
0
2
1 8
1 8
3
(
z
)
(2
1
z
)z
2
0
1 z 4
else 上页
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返回
5．设连续型随机变量 X 的分布函数为
求： 1）常数A ； 2）X落在 [1, 1 )上的概率。
2
3)密度函数f(x).
解:（1）F(x)在x=0,x 1处连续，
F（1+0）=F（1-0）1=A
（2）P（-1
X
1 2)
1 F(2)
F (1)
1
1
12
12
4
1
1
16
16
3
4
0
0
0
0
1 12
0
1
1
16
16
pi.
1 4
1
4 不独立。
1 4 1 4
p. j
25
13
48
48
7 48
1 16
EX
1
1 4
+2
1 4
3
1 4
4
1 4
2 5
上页
4 EY 3
下页
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7. 设随机向量( X ,Y ) ~ f ( x, y)
f
(
x,
y)
Axe
y
0
0 x 2, y 0 其它
求：(1)A； (2)P{X Y}； (3) EX; (4)X, Y的边缘分布.
解
(1)
f
( x,
y)dxdy
Axe ydxdy y
dy
2 Axe ydx 1
0
0
D
则A
1 2
(2)P{X Y} f ( x, y)dxdy
D1
D1 D
x y1
2
dx
0
+ x
1 2
xe ydy=-
上页
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返回
3.
设X的密度函数f(x)
c
e3x
0
x0 x0
确定常数 c ,求分布函数及P(X 0.1).
+
解：(1) f (x)dx 1 ce3xdx 1
-
ห้องสมุดไป่ตู้
x
0
(2）X 0时，F（x)= 0dx 0
c3
x
x
X>0时，F（x)= 3e3xdx e3xd (3x) 1 e3x
上页
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9. 设有一批种子，其中良种占1/6，试估 计在任选的6000粒种子中，良种比例与1/6
比较上下不超过1%的概率.
解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 ,
则 X ~ B( 6000 , 1/6 ) 由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,
近似
有
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10. 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从
正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机
抽取 6 件, 测得直径为
15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1
(1) 若 2=0.06, 求 的置信区间 (2) 若 2未知,求 的置信区间 (3) 求方差 2的置信区间.
置信度
均为0.95
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(1) 由给定数据算得
z z 0.025 1.96
x
1 6
6
i1
x
i
14.95
由公2 式 (1) 得 的置信区间为
( 14.95 1.96 0.1 , 14.95 1.96 0.1 )
( 14.75 , 15.15 )
(2)
取T
X S
~
t(5)查表
t 0.025 (5 )
2.5706
6
由给定数据算得 x 1 4 .9 5
s2
1 5
6
(
i1
x
2 i
6x2
)
0.051.
s 上页 0.2下页26返回
由公式 (2) 得 的置信区间为
(x
s 6 t0.025(5),
x
s 6 t0.025(5) )
(14.71, 15.187 )
(3)
选取
K
5S 2 2
~ 2(5)
s2 0.051.
查表得
2 0
.0
2
5
(
5
)
12.833
总复习
上页
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1.某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量 之比为3：2：1，各车间的不合格率分别为8%，9%，12%。 现在该厂产品中任取一件，求（1）抽到不合格品的概率； (2)已知抽到 的是不合格品，求它是甲厂生产的概率。
解：（1）设B：“抽到一件不合格品”
A1，A2，A3分别为甲，乙，丙生产的产品，
t0.025 (9) 2.262
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12. 某项考试要求成绩的标准差为12，现从考试 成绩单中任意抽取15份，计算样本标准差为16， 设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否 符合要求？( 0.05)?
,
2 0
9
7
5
(
5
)
0.831
由公式 (4) 得 2 的置信区间为
5s2
5s2
(
2 0.02
5
(5
)
,
2 0.9
75
(5
)
)
( 0.019上9页,
0.下页3069返回 )
11. 医生测得10例某种慢性病患者的脉搏（次/钟） 为：54，67，68，78，70，66，67，70，65，69。 设患者的脉搏服从正态分布，问患者的脉搏均值与 正常人的脉搏均值72是否有 显著差异（取 0.05)?
测值大于3的概率.
解： X
1
U[2，6]f（x)=
4
2 x6
61
3 0
P( X
3)
3
4dx
4
Y :"五次独立观测中X〉3的次数” Y
else
B（5，3 ） 4
P（Y 2）=1-P（Y 1）=1-{P（Y=0）+P（Y=1）}
=1-C（50
1 4
）5 -C15
3 4
（
1 4
）4 =
63 64