因式分解法解方程.
因式分解法解一元二次方程
∴ x 1= A解 , x 2= A解
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1.方程右边化为 零 。 2.将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3.至少 有一个 因式为零，得到两个一 元一次方程。 4.两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解。
课堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 2x2-8x=0 (2) (x+1)2-9=0 (3) (2x-1)2=x2 (4) (2x-5)2-2x+5=0
课堂
总结
回味无穷
• 本节课你学习了什么知识？
1.用因式分解法解一元二次方程的前题是什 么？关键是什么？ 2.因式分解法解一元二次方程的步骤是什么？ 3.因式分解的方法,突出了转化的思想方法— —“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程.
发现解一元二次方而另一边 易于分解成两个一次因式的乘积时,我 们就可以用因式分解的方法求解.这种 用因式分解来解一元二次方程的方法 称为因式分解法.
提示：解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式B =0 得 一次因式A =0或或
因式分解法 解一元二次方程
学习目标
• 了解用因式分解法解一元二次方程 的概念 • 并会用因式分解法解一些特殊的方 程
复习： （1）什么叫因式分解? 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式 叫做因式分解. （2）因式分解有哪几种方法？ ①提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) ②公式法: 逆用平方差公式： a2-b2= (a+b)(a-b) 逆用完全平方公式：a2+2ab+b2= (a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2
因式分解法解一元二次方程的步骤
因式分解法解一元二次方程的步骤因式分解法是解一元二次方程的一种常用方法。
它的基本思路是将二次方程转化成两个一次方程相乘的形式，然后通过求解这两个一次方程得到方程的解。
下面我们来详细介绍因式分解法的步骤。
步骤1：确定一元二次方程的形式首先，我们要确定一元二次方程的形式，即确认方程为a*x^2 +b*x + c = 0，其中a、b和c是实数，且a ≠ 0。
确保方程满足这个条件后，我们才能使用因式分解法进行求解。
步骤2：计算二次项系数a将已知的一元二次方程写成标准形式，我们可以直接从方程中读取二次项系数a的值。
这一步很重要，因为我们后续的计算都会用到a 的值。
步骤3：计算常数项c同理，我们从方程中读取常数项c的值。
这一步同样很关键，因为我们在解方程时，需要用到常数项的值。
步骤4：根据二次项系数a和常数项c的符号确定因式的形式根据二次项系数a的符号，一元二次方程的因式形式分为两种情况：当a > 0时，我们可以使用“差平方”的形式进行因式分解；当a < 0时，我们可以使用“和平方”的形式进行因式分解。
步骤5：根据因式的形式进行因式分解对于“差平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x - n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ n。
将原方程的右侧展开并整理，得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后通过求解m和n的值，可以得到方程的解。
对于“和平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x + n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ -n。
也是通过展开右侧等式并整理得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后求解m和n的值，得到方程的解。
步骤6：求解方程通过步骤5的因式分解，我们得到了一元二次方程的两个一次因式，接下来，我们可以将每个因式设置为零，分别求解得到方程的解。
步骤7：检验解的有效性最后，我们还需要检验求得的解是否满足原方程。
将解代入原方程中，如果方程两侧相等，那么我们的解就是有效的，否则需要重新检查求解过程。
因式分解法解方程
8分钟后，比一比，做与例题类似的检测题。
04
二、自学指导
认真看课本（12—14页练习止）注意：
自研：
先认真自主学习课本p12-p14的内容，遇到看不懂的地方要用笔圈画下来。（时间：５分钟）
对学（3分钟）： 对子之间对于学习指导中的问题进行交流，对于解决不了的问题记录下来。
群学（3分钟）：小组内交流对子交流中解决不了的或出现争议的疑难问题，进行重点探讨：
理解解一元二次方程方程的思想就是“降次”。
通过“思考”问题，能灵活运用因式分解法解一元二次方程。
一、学习目标
看13页“思考”问题，如何用因式分式分解法解的一元二次方程须满足什么样的条件？ 3、看例题的解题格式，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤。
02
理解14页归纳的内容。
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请言简意赅地阐述您的观点。
21.2解一元二次方程（四） 因式分解法
单击此处添加副标题
202X
情境引入：
我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？ 式子ab=0说明了什么？ 把下列各式因式分解. （1）x2－x x2－4x （3）x＋3－x（x＋3） （2x－1）2－x2
（组长认真组织本组成员，确保每名组员都能认真参与，记录员要把小组内的疑难问题或争议题记录下来，教师巡视，可参与组内交流。）
三、自研共探:
四、学情展示
五、归纳总结
这一节课我的收获是什么？
当堂训练
课堂作业P17 第6题
初中数学解方程的因式分解法
初中数学解方程的因式分解法解方程是数学中常见的问题，通过找到方程的解可以解决实际生活中的许多问题。
在解方程的过程中，因式分解是一种十分有效的方法。
因式分解法可以将给定的方程转化为更简单的形式，从而更容易找到解。
本文将详细介绍初中数学解方程的因式分解法。
一、一元一次方程的因式分解法一元一次方程是指含有一个未知数的一次方程。
例如：2x + 3 = 9。
为了解这个方程，可以使用因式分解法进行求解。
首先，将方程的所有项都移到等号的一侧，得到2x - 6 = 0。
然后，将方程进行因式分解，即将方程的左侧进行因式分解。
在本例中，2x - 6可以因式分解为2(x - 3)。
因此，得到方程2(x - 3) = 0。
最后，根据零乘积法则，得知方程的解为x = 3。
二、一元二次方程的因式分解法一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程。
例如：x² - 5x + 6 = 0。
为了解这个方程，可以使用因式分解法进行求解。
首先，将方程的所有项都移到等号的一侧，得到x² - 5x + 6 = 0。
然后，观察方程的三个项，确定其是否可以进行因式分解。
在本例中，可以将x² - 5x + 6进行因式分解。
找出方程的两个因式，使其乘积等于6，而和等于-5。
在本例中，-2和-3是符合条件的因式。
因此，得到方程(x - 2)(x - 3) = 0。
最后，根据零乘积法则，得知方程的解为x = 2或x = 3。
三、方程组的因式分解法方程组是指同时包含多个方程的一组方程。
为了解这组方程，可以将其转化为一个整体的方程，再使用因式分解法进行求解。
例如，解方程组2x + y = 7x + 3y = 11首先，根据第一个方程，将y的表达式表示为y = 7 - 2x。
然后，将y的表达式代入第二个方程得到x + 3(7 - 2x) = 11。
接着，使用分配律和合并同类项得到x - 6x = -10，即-5x = -10。
最后，解得x = 2。
一元二次次方程 因式分解法
一元二次次方程因式分解法一元二次方程是指形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c都是已知实数且a≠0。
解一元二次方程的方法之一是因式分解法。
因式分解法是将一元二次方程转化成二元一次方程，然后利用分解公式将方程因式分解为两个一次因式的乘积，并求解得到方程的解。
下面详细介绍一元二次方程的因式分解法。
1. 首先，将一元二次方程写成标准形式，即ax^2+bx+c=0。
2. 判断方程的判别式D=b^2-4ac的值。
- 若D>0，方程有两个不相等的实数根。
- 若D=0，方程有两个相等的实数根。
- 若D<0，方程没有实数根，但有复数根。
3. 根据判别式D的值，采取相应的方法进行因式分解。
- 若D>0，假设方程的解为x1和x2，则方程可以因式分解为(x-x1)(x-x2)=0。
- 若D=0，假设方程的解为x0，则方程可以因式分解为(x-x0)^2=0。
- 若D<0，假设方程的解为x1和x2，则方程可以因式分解为(x-x1+i√(-D))(x-x2-i√(-D))=0，其中i为虚数单位。
4. 将方程因式分解后的形式转化为二元一次方程，进行求解。
- 若D>0，将方程转化为两个一次方程进行求解。
分别令(x-x1)=0和(x-x2)=0，得到x1和x2的值。
- 若D=0，将方程转化为一个一次方程进行求解。
令(x-x0)^2=0，得到x0的值。
- 若D<0，将方程转化为一个一次方程进行求解。
令(x-x1+i√(-D))(x-x2-i√(-D))=0，分别令x-x1+i√(-D)=0和x-x2-i√(-D)=0，得到x1和x2的值。
5. 根据求解得到的x1、x2和x0的值，得到方程的解。
综上所述，一元二次方程可以通过因式分解法进行求解。
根据方程的判别式的值，将方程进行因式分解，并转化为二元一次方程进行求解。
这种方法在某些情况下可以简化求解过程，帮助我们更好地理解和解决一元二次方程的问题。
用因式分解法解一元二次方程的步骤
用因式分解法解一元二次方程的步骤一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 是已知实数且a≠0。
解一元二次方程的方法有多种，其中一种常用的方法是因式分解法。
下面将详细介绍用因式分解法解一元二次方程的步骤。
步骤一：将方程化为标准形式我们需要将给定的一元二次方程化为标准形式，即ax^2 + bx + c = 0。
确保方程的各项系数已经排列好，并且a≠0。
如果方程不是标准形式，可以通过移项、合并同类项等基本代数运算将其化简。
步骤二：对方程进行因式分解接下来，我们将对方程进行因式分解。
因式分解的目的是将二次方程表示为两个一次因式的乘积形式。
设方程为(ax + m)(nx + p) = 0，其中m、n、p是待确定的实数。
展开括号后得到(ax + m)(nx + p) = anx^2 + (am + np)x + mp = 0。
比较展开后的方程与原方程的系数，即可得到m、n、p的关系。
步骤三：求解因式的根确定了m、n、p的关系后，我们可以分别解出(ax + m) = 0和(nx + p) = 0这两个一次方程。
解一次方程的方法比较简单，可以直接得到一次方程的根。
步骤四：检验解的有效性在得到一次方程的根之后，我们需要将这些根代入原方程进行检验。
将根代入原方程，如果等式成立，则该根是方程的解；如果等式不成立，则该根不是方程的解。
步骤五：总结解的形式根据一次方程的根和检验结果，我们可以总结出一元二次方程的解的形式。
一元二次方程的解通常有两种情况：一种是有两个不同的实数解，即方程有两个不相等的根；另一种是有一个重根，即方程有两个相等的根。
步骤六：给出最终解我们将解的形式具体化，给出一元二次方程的最终解。
将步骤五中总结出的解的形式代入即可得到方程的解。
通过以上六个步骤，我们可以用因式分解法解一元二次方程。
这种方法相对简单直观，适用于一些较为简单的二次方程。
当方程较为复杂时，可以尝试其他解方程的方法，如配方法、求根公式等。
解方程的因式分解法
解方程的因式分解法一、引言解方程是数学中常见的问题之一，而因式分解法是解方程的一种常用方法。
通过将方程进行因式分解，可以将复杂的方程简化为更简单的形式，从而更容易求解。
本文将详细介绍解方程的因式分解法，并给出一些例子来帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
二、基本概念在了解因式分解法之前，我们需要了解一些基本概念。
首先，方程是一个等式，其中包含一个或多个未知数，并且需要找到使等式成立的未知数的值。
其次，因式分解是将一个多项式拆解为更简单的乘积形式的过程。
在解方程时，我们可以利用已知的因式分解形式来帮助我们求解未知数。
三、解方程的因式分解法步骤解方程的因式分解法可以分为以下几个步骤：1. 将方程移项，将所有项都移到等式的一边，使方程等于零。
2. 因式分解多项式。
将多项式进行因式分解，找到可以整除多项式的因子。
3. 令每个因子等于零，解出因子对应的未知数值。
4. 将解得的未知数值代入原方程中验证。
四、例子下面我们通过几个例子来演示解方程的因式分解法。
例子1：解方程：2x^2 - 5x - 12 = 0步骤1：将方程移项，得到2x^2 - 5x - 12 = 0步骤2：因式分解多项式，得到(2x + 3)(x - 4) = 0步骤3：令每个因子等于零，解得2x + 3 = 0 或 x - 4 = 0，得到x = -3/2 或 x = 4步骤4：将解得的未知数值代入原方程中验证，验证通过。
例子2：解方程：x^2 + 7x + 12 = 0步骤1：将方程移项，得到x^2 + 7x + 12 = 0步骤2：因式分解多项式，得到(x + 3)(x + 4) = 0步骤3：令每个因子等于零，解得x + 3 = 0 或 x + 4 = 0，得到x = -3 或 x = -4步骤4：将解得的未知数值代入原方程中验证，验证通过。
通过以上两个例子，我们可以看出解方程的因式分解法能够有效地求解方程，并且验证结果的准确性。
五、总结解方程的因式分解法是一种常用的解方程方法。
用因式分解法求解一元二次方程 (6种题型)-2023年新九年级数学常见题型(北师大版)(解析版)
用因式分解法求解一元二次方程 （6种题型）【知识梳理】一、用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 二、常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【考点剖析】题型1利用提公因式法例1.解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）230x =； （2）7(3)39x x x −=−．【答案】（1）120x x ==， （2）12337x x ==，．【解析】（1）(30x x = （2）7(3)3(3)x x x −=−①0x = ②30x 7(3)3(3)0x x x −−−=∴120x x ==， (3)(73)0x x −−= ① 30x −= ②730x −=∴12337x x ==，． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【变式】（2023春·北京房山·八年级统考期末）方程224x x −=的解为：___________． 【答案】10x =，22x =−【分析】先移项，然后用分解因式法解方程即可．【详解】解：224x x −=，移项得：2240x x +=，分解因式得：()220x x +=，∴20x =或20x +=， 解得：10x =，22x =−． 故答案为：10x =，22x =−．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法：因式分解法，是基础知识比较简单，解题的关键是分解因式．题型2利用平方差公式例2.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0． 【答案与解析】(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．【变式】解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x −+−=． 【答案】1220162015x x ==，．【解析】移项，得：22(2016)1(2015)x x −=−−，2(2016)[1(2015)][1(2015)]x x x −=+−−−， 2(2016)(2014)(2016)x x x −=−−， 2(2016)(2014)(2016)0x x x −−−−=， (2016)(40302)0x x −−=，解得：1220162015x x ==，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．题型3利用完全平方公式例3.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； 【答案与解析】(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即， ∴ ． 题型4十字相乘法因式分解例4.用合适的方法解下列关于x 的方程：（1）2(1(30x x −+=； （2）2(35)5(35)40x x +−++=；【答案】（1）121x x =， （2）124133x x =−=−，；【解析】（1）2(1(30x x −+=，[(11](0x x −=，解得：121x =−=， （2）2(35)5(35)40x x +−++=351354x x +−+−(351)(354)0x x +−+−=，解得：124133x x =−=−，；【总结】本题考查了一元二次方程的解法．题型5：选择合适的方法解一元二次方程例5.解关于x 的方程（合适的方法 ）： （1）2110464x x −+=； （2）22((1x +=+． 【答案】（1）1218x x ==；（2）1211x x ==−−， 【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法2(23)0x +=1232x x ==−21()08x −= (1x +=±+108x −= ①1x + ②(1x =−∴1218x x ==； ∴1211x x ==−−， 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！ 【变式1】解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +−=； （2）2(41)10(14)240x x −+−−=． 【答案】（1）1235136x x ==−，； （2）1213144x x ==−，． 【解析】（1）因式分解法 （2）把41x −看作一个整体，因式分解 (3635)(1)0x x −+= 2(41)10(14)240x x −−−−= ①36350x −= ②10x += (4112)(412)0x x −−−+= ∴1235136x x ==−，； (413)(41)0x x −+= ① 4130x −= ②410x +=∴1213144x x ==−，． 【变式2】用适当的方法解下列方程：（1）22((1x =； （2）2x x =；（3）(3)(1)5x x +−=； （4）2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠．【答案】（1）1211x x =−=−； （2）1201x x ==，； （3）1242x x =−=，； （4）121c bx x b a−==−，．【解析】（1）(1x =± （2）20x x −=① 1x +=− ②(1x =− ， (1)0x x −=，解得：1211x x =−=−； 解得：1201x x ==，； （3）整理得：2235x x +−= （4）∵a b ≠原方程是一元二次方程，2280x x +−=， 2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠， (4)(2)0x x +−=，()()1b a xc b x −−−− 解得：1242x x =−=，； [()()](1)0b a x c b x −−−−=， 解得：121c bx x b a−==−，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．【答案】B【分析】根据题意进行分类讨论，当0x >时，可得2450x x −−=，求出x 的值即可；当0x <时，可得2250x x −−=求出x 的值即可．【详解】解：当0x >时，则0x x >>−， ∴{}2max ,35x x x x x −==−−，即2450x x −=，解得：125,1x x ==−（不符合题意，舍去），当0x <时，则0x x −>>，∴{}2max ,35x x x x x −=−=−−，即2250x x −−=，解得：11x =，21x =综上：x 的值是5或1 故选：B ．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．【变式】在正数范围内定义运算“※”，其规则为2a b a b =+※，则方程()15x x +=※的解是（ ） A ．4x =或1x = B ．2x =C ．1x =或4x =−D ．1x =【答案】D【分析】根据规则可得：()215x x ++=，再解此方程，即可求解．【详解】解：根据题意得：()()2115x x x x +=++=※，得2340x x +−=，得()()410x x +−=，故40x +=或10x −=，解得14x =−（舍去），21x =， 所以，原方程的解为1x =， 故选：D ．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．【答案】3【分析】先通过因式分解法解方程260x x −−=，求出12x x ，，根据新定义的运算规则，12x x ※的值为1x 和2x 中较大的那个数，由此可解．【详解】解：方程260x x −−=，分解因式得：()()320x x −+=，解得：3x =或=2x −， 则()12323x x =−=※※或()233−=※．故答案为：3．【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解题的关键． 题型7：因式分解综合应用(1)问梯子的长是多少？(2)若梯子的长度保持不变，梯子的顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你利用学过的知识解答上面的问题． 【答案】(1)2.69m (2)有可能，理由见解析【分析】（1）根据梯子长度不变进而得出等式求出即可；（2）设梯子顶端从A 处下滑y 米，点B 向外也移动y 米代入（1）中方程，求出y 的值符合题意． 【详解】（1）解：设A C '的长是m x ，根据题意得出：2222A C B C BC AC ''+=+，2222(0.41)1(0.2)x x ∴++=++，解得： 2.3x =，2.69m AB ∴≈，答：梯子的长是2.69m ； （2）有可能．设梯子顶端从A 处下滑y 米，点B 向外也移动y 米，则有22(1)(2.5)7.25y y ++−=，解得：1 1.5y =或20y =（舍）∴当梯子顶端从A 处下滑1.5米时，点B 向外也移动1.5米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出关于y 的一元二次方程是解答此题的关键． 【变式1】（2023·河北石家庄·统考二模）老师就式子39⨯+−，请同学们自己出问题并解答． (1)小磊的问题：若W 代表()22−，代表()31−，计算该式的值；(2)小敏的问题：若398⨯+−=□，W 代表某数的平方，代表该数与1的和的平方，求该数．【答案】(1)22 (2)0或1【分析】（1）根据代数式代入值进行计算即可； （2）设该数为a ，则()22391=8a a ⨯+−+，再进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：原式()()233291=⨯−+−−()3491=⨯+−−22=；（2）解：设该数为a ，则()22391=8a a ⨯+−+，解得：10a =，21a =，∴求该数为0或1．【点睛】本题考查代数值求值、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式2】（2023·河北石家庄·校考一模）发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积；验证：连续整数1−，2−，3−______（填“满足”或“不满足”）这种关系； 连续整数2，3，4，______（填“满足”或“不满足”）这种关系； 延伸：设中间整数为n（1）列式表示出三个连续整数的和、积，并分别化简； （2）再写出一组符合“发现”要求的连续整数（直接写结果）．【答案】验证：满足；不满足；（1）和为3n ，积为3n n −；（2）1−，0，1（答案不唯一）【分析】先分别计算123−−−和()()()123−⨯−⨯−的值，比较两组值是否相等；再分别计算234++和234⨯⨯的值，比较两组值是否相等即可；（1）设中间整数为n ，则三个连续整数可表示为：n 1−，n ，1n +，将n 1−，n ，1n +三数相加得其和；将n 1−，n ，1n +三数相乘得其积；（2）令（1）中的和等于积，解方程，求得n 的值，从而可得符合要求的连续整数．【详解】验证：解：1236−−−=−，()()()1236−⨯−⨯−=− ()()()123123∴−−−=−⨯−⨯−1∴−，2−，3−满足这种关系；2349++=，23424⨯⨯=，924≠， 234234∴++≠⨯⨯，∴2，3，4不满足这种关系．延伸：设中间整数为n ，则三个连续整数可表示为：n 1−，n ，1n +， （1）三个连续整数的和可表示为：()()113−+++=n n n n ，三个连续整数的积可表示为：()()311−⋅⋅+=−n n n n n ，（2）当33=−n n n 时，340−=n n ()()220∴+−=n n n解得：0n =，2n =−或2n =，∴符合要求的一组连续整数为：1−，0，1.【点睛】本题考查了探究某类数的规律性问题，其中涉及到了因式分解方法的运用，按照要求写出相关数或式子，按照规则计算，是解答本题的关键．【过关检测】一、单选题【答案】D【分析】变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：()()2131x x x −=−移项，得2(1)3(1)0x x x −−−=， 因式分解，得()()2310x x −−=，则10x −=或230x −=，解得2131,2x x ==．故选：D【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 2．（2023·全国·九年级假期作业）已知20x ax b +−=的解是11x =，24x =−，则方程()()223230x a x b +++−=的解是（ ）A ．11x =−，2 3.5x =−B ．11x =，2 3.5x =−C ．11x =−，2 3.5x =D ．11x =，2 3.5x =【答案】A【分析】由这两个方程结合整体思想，可得231x +=，234x +=−，解这两个一元一次方程即得方程()()223230x a x b +++−=的解．【详解】解：令23x y +=，∵方程20x ax b +−=的解是11x =，24x =−，∴方程20y ay b +−=的解是11y =，24y =−，∴对于方程方程()()223230x a x b +++−=而言，231x +=或234x +=−，解得=1x −或 3.5x =−，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，整体思想解一元二次方程，关键是把方程()()22332340m x x +++−=中的23x +当作一个整体，则此方程与²340mx x +−=毫无二致．3．（2023·全国·九年级假期作业）方程29180x x −+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是( ) A ．12 B ．15 C ．12或15 D ．9或15或18【答案】B【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x 的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长．【详解】解：29180x x −+=，(3)(6)0x x −−=，30x −=，60x −=，13x =，26x =，有两种情况：①三角形的三边为3，3，6，此时不符合三角形三边关系定理，②三角形的三边为3，6，6，此时符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为36615++=， 故选：B ．【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．【答案】C【分析】利用换元法求解即可．【详解】解：设33x m y +=，∵()()3333130x y x y +−++=，∴()()130m m −+=，∴10m −=或30m +=， 解得1m =或3m =−，∴331x y +=或333x y +=−，故选C ．【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键．【答案】D【分析】利用因式分解法求出两个根，再从中找出较小的根即可．【详解】解：提公因式，得：331()()0442x x x −−+−=， 整理得：35()(2)044x x −−=，∴123548x x ==，， ∵3548>，∴较小的根是58，故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是通过提取公因式将等号左边的式子进行因式分解．【答案】B【分析】由2212m m +=可得42210m m −+=，则有21m =，即1m =，然后问题可求解．【详解】解：∵2212m m +=，∴42210m m −+=，解得：21m =，∵0m >， ∴1m =，∴2251254m m −+=−+=；故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 7．（2023·全国·九年级假期作业）实数x 满足方程222()()20x x x x +++−=，则2x x +的值等于（ ） A ．2− B ．1 C ．2−或1 D ．2或1−【答案】B【分析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解．【详解】解：根据题意，设2x x M +=，则原式变形得220M M +−=，因式分解法解一元二次方程得，22(1)(2)0M M M M +−=−+=， ∴12M =−，21M =，当2M =−时，22x x +=−，变形得，220x x ++=，根据判别式24141270b ac ∆=−=−⨯⨯=−<，无实根；当1M =时，21x x +=，变形得，210x x +−=，根据判别式24141(1)50b ac ∆=−=−⨯⨯−=>，方程有两个实根；∴21x x +=，故选：B ．【点睛】本题主要考查换元法解高次方程，掌握换元法解方程的方法，根的判别式判断根的情况等知识是解题的关键．8．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程()230x k x k +++=的一个根是2−，则另一个根是( ) A ．1 B ．1−C ．3−D ．2【答案】A【分析】将2x =−代入方程得：()4230k k −++=，解得：2k =−，再把2k =−代入原方程求解．【详解】解：将2x =−代入方程得：()4230k k −++=，解得：2k =−，∴原方程为：220x x +−=，则()2(1)0x x +−=，解得：2x =−或1x =， ∴另一个根为1． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题．【答案】D【分析】设221x y x −=，则原方程可变形为15y y +=，再化为整式方程即可得出答案.【详解】解：设221x y x −=，则原方程可变形为15y y +=，即2510y y −+=；故选：D.【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.10．（2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了()()12345na b n +=⋯，，，，，的展开式的系数规律（其中，字母按a 的降幂排列，b 的升幂排列）．例如，在三角形中第2行的三个数1，2，1，恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数；第三行的的4个数1，3，3，1，恰好对应()3322333a b a a b ab b +=+++展开式中各项的系数；第4行的五个数1，4，6，4，1；恰好对应着()4432234464a b a a b a b ab b +=++++展开式中各项的系数，有如下结论：①()3322333b a b a a ab b −−+=−； ②“杨辉三角”中第9行所有数之和1024； ③“杨辉三角”中第20行第3个数为190； ④32993993991+⨯+⨯+的结果是610；⑤当代数式4328243216a a a a ++++的值是1时，实数a 的值是1−或3−，上述结论中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【分析】把()3322333a b a a b ab b +=+++中b 换成b −后可得，()()()()3233233a b a a b a b b −−+−⋅+−=+，由此即可判断①；观察并计算可以发现第n 行所有数字之和为2n，由此即可判断②；观察并计算可以发现第n 行（n 大于2）第三个数诶为()12n n −，由此即可判断③；991a b ==，时，()326399139939999110=+++=+⨯⨯，即可判断④；当2b =时，()443228243216a a a a a +=++++，再由4328243216a a a a ++++的值为1，得到()421a +=，解方程即可判断⑤．【详解】解：∵()3322333a b a a b ab b +=+++，∴把上述式子中的b 换成b −后可得，()()()()3233233a b a a b a b b −−+−⋅+−=+，∴()3322333b a b a a ab b −−+=−，故①正确；第1行的所有数字之和为11122+==，第2行的所有数字之和为212124++==，第3行的所有数字之和为3133128+++==，第4行的所有数字之和为414641216++++==，……，∴可以得到规律第n 行所有数字之和为2n，∴“杨辉三角”中第9行所有数之和92512=，故②错误；第2行第三个数为()22112⨯−=， 第3行第三个数为()33132⨯−=，第4行第三个数为()44162⨯−=，第5行第三个数为()551102⨯−=，……，∴第n 行（n 大于2）第三个数为()12n n −， ∴“杨辉三角”中第20行第3个数为()202011902−=，故③正确；∵()3322333a b a a b ab b +=+++，∴当991a b ==，时，()326399139939999110=+++=+⨯⨯，故④正确；∵()4432234464a b a a b a b ab b +=++++，∴当2b =时，()443228243216a a a a a +=++++，∵4328243216a a a a ++++的值为1，∴()421a +=， ∴()221a +=，∴21a +=±， ∴1213a a =−=−，，故⑤正确；故选C ．【点睛】本题主要考查了多项式乘法中得规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．二、填空题11．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程230ax bx +−=（0a ≠）有一个根为5x =，则方程()213a x bx b −+−=必有一根为______． 【答案】6x = 【分析】把()213a x bx b−+−=化为()2(1)130,a xb x −+−−=再结合题意得到15,x −=解出即可．【详解】解：()213a x bx b−+−=，()2(1)130a xb x ∴−+−−=．令1x t −=，则230,at bt +−=∵方程230ax bx +−=（0a ≠）有一个根为5x =，∴方程230at bt +−=有一根为5t =，()2(1)130a xb x ∴−+−−=有一根为15x −=，15,x ∴−=6.x ∴=故答案为： 6.x =【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键． 12．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程220x x +−=的解是________． 【答案】122,1x x =−= 【分析】原方程可转化为()()210x x +−=，再化为两个一次方程即可．【详解】解：∵220x x +−=，∴()()210x x +−=，∴20x +=或10x −=， 解得122,1x x =−=．故答案为：122,1x x =−=．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的掌握因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 13．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程()()23121x x =−−的解是________．【答案】12531,x x ==【分析】先移项，再提取公因式分解因式，把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】∵()()23121x x =−−，∴()()231201x x −−−=．∴()()13120x x −−−⎤⎣⎦=⎡．∴10x −=或()3120x −−=，解得12531,x x ==．故答案为：12531,x x ==．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解方程是解本题的关键． 14．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程2320x x −+=时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案： 方法如下： 2320x x −+=2220x x x −−+= 第①步222x x x −=− 第②步()22x x x −=− 第③步1x = 第④步老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为________（填序号）． 【答案】④ 【分析】由()22x x x −=−，()()120x x −−=，解得1x =或2x =，进而判断作答即可．【详解】解：()22x x x −=−，()()120x x −−=，解得1x =或2x =，∴第④步错误， 故答案为：④．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的解一元二次方程．15．（2023秋·湖南常德·九年级统考期末）若()()22222340x y x y +−+−=，则22x y +=______．【答案】4【分析】设22t x y =+，则0t >，根据换元法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：设22t x y =+，则0t >，∴原方程可以化为2340t t −−=，解得：4t =或1t =−（舍去）即22x y +=4 故答案为：4．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．16．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x 满足2220()(23)x x x x −−−−=，则代数式22020x x −+的值为_______．【答案】2023【分析】设2t x x =−，则原方程转化为关于t 的一元二次方程2230t t −−=，利用因式分解法解该方程即可求得t 的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式0≥，方程有解．【详解】解：设2t x x =−，由原方程，得2230t t −−=，整理，得()()310t t −+=，所以3t =或1t =−．当3t =时，23−=x x ，则220202023x x −+=；当1t =−时，21x x −=−即210x x −+=时，()214110∆=−−⨯⨯<，方程无解，此种情形不存在．故答案是：2023．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换．三、解答题17．（2023·江苏·九年级假期作业）用适当的方法解下列各一元二次方程： (1)(2)15x x −=；(2)23680x x +−=（用配方法）； (3)2(2)10(2)210x x +−++=； (4)23520x x −+=；(5)22(2)(1)6x x ++−=． 【答案】(1)15a =，23a =−(2)11x =−，21x =−(3)15=x ，21x = (4)123x =，21x =(5)1x =，2x =【分析】（1）（4）用因式分解的十字相乘法求解比较简便；（2）先把常数项移到等号的另一边，把二次项系数化为1，配方，利用直接开平方法求解； （3）把(2)x +看成一个整体，利用因式分解的十字相乘法求解比较简便； （5）先整理方程，用公式法比较简便． 【详解】（1）解：(2)15x x −=，整理，得22150a a −−=，(5)(3)0a a ∴−+=．50a ∴−=或30a +=．15a ∴=，23a =−；（2）23680x x +−=（用配方法），移项，得2368x x +=，二次项系数化为1，得2823x x +=，配方，得211213x x ++=，211(1)3x ∴+=．1x ∴+=．11x ∴=−，21x =−；（3）2(2)10(2)210x x +−++=，[(2)7][(2)3]0x x ∴+−+−=，即(5)(1)0x x −−=．50x ∴−=或10x −=．15x ∴=，21x =；（4）23520x x −+=，(32)(1)0x x −−=，320x −=或10x −=，123x ∴=，21x =；（5）22(2)(1)6x x ++−=，方程整理，得22210x x +−=，x ===．1x ∴=，2x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解决本题的关键．18．（2023·全国·九年级假期作业）已知()()22222150a b a b +++−=，求22a b +的值． 【答案】3【分析】先用换元法令22(0)a b x x +=>，再解关于x 的一元二次方程即可． 【详解】解：令22(0)a b x x +=>，则原等式可化为：(2)150x x +−=，解得：123,5x x ==−，0x >，3x ∴=，即223a b +=．22a b +的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意22a b +为非负数是本题的关键．【答案】2x = 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：2211x x x =+−方程两边同乘()()11x x +−， 得()12x x −=，整理得，220x x −−=，∴()()120x x +−=，解得：11x −=，22x =，检验：当=1x −时，()()110x x +−=，=1x −是增根， 当2x =时，()()1130x x +−=≠，∴原方程的解为2x =．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．【答案】,21x −+【分析】先对分式进行化简，然后求出一元二次方程的解，进而代值求解即可．【详解】2222421121x x x x x x x −−−÷+−−+()()()()222121112x x x x x x x −−=−⋅++−−()21211x x x x −=−++， 2221x x x −+=+ 21x =+解方程220x x +−=得：2x =−或1x =，如果已知分式有意义，必须x 不等于2，1−，1，∵x 为方程220x x +−=的根，∴x 只能为2−，∴当2x =−时，原式2221−+==−．【点睛】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握各个运算方法． 21．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知数字A 为负数，将其加6得到数字B ，若数字A 与数字B 的积为7，求数字A ．【答案】7A =−【分析】根据题意得()67A A +=，解一元二次方程即可求解．【详解】解：由题意得6A B +=，7A B ⨯=，∴()67A A +=，∴2670A A +−=，即()()710A A +−=， 解得7A =−或1A =，∵数字A 为负数，∴7A =−．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“因式分解法”解一元二次方程是解题的关键．22．（2023·全国·九年级假期作业）阅读下面的材料：【答案】(1)1x =，2x =，3x ，4x =；(2)5【分析】（1）设2y x x =+，则2540y y −+=，整理，得(1)(4)0y y −−=，解关于y 的一元二次方程，然后解关于x 的一元二次方程即可求解；（2）设22x a b =+，则23100x x −−=，整理，得−+=(5)(2)0x x ，解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：设2y x x =+，则2540y y −+=，整理，得(1)(4)0y y −−=，解得11y =，24y =，当21x x +=即210x x +−=时，解得x = ；当24x x +=即240x x +−=时，解得x ；∴原方程的解为112x −=， 212x −=， 312x −=， 412x −=；（2）设22x a b =+，则23100x x −−=，整理，得−+=(5)(2)0x x ，解得15y =，2(2y =−舍去)，225a b +=．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．【答案】(1)1x =±(2)114x =−，21x =【分析】（1）设2x y =，则由已知方程得到：2560y y −=+，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x 的一元二次方程；（2）设1x y x +=，则由已知方程得到：260y y +−=，利用因式分解法求得该方程的解，然后进行检验即可．【详解】（1）令2x y =∴2560y y −=+∴(6)(1)0y y +−=∴16y =−，21y =∴26x =−（舍去），21x =∴1x =±；（2）令1x y x += ∴610y y −+=∴260y y +−=∴(3)(2)0y y +−=∴13y =−，22y = ∴13x x +=−，12x x += ∴114x =−，21x = 经检验，114x =−，21x =为原方程的解.【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，分式方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．任务：(1)判断：方程2560x x −+= ______ “邻根方程”（填“是”或“不是”）；(2)已知关于x 的一元二次方程()210(x m x m m +++=是常数)是“邻根方程”，求m 的值．【答案】(1)是(2)0m =或2m =【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到1x m =，21x =−，再根据“邻根方程”的定义得到11m −=−或11+=−m ，然后解关于m 的方程即可．【详解】（1）解方程2560x x −+=得13x =，22x =， 3比2大1，∴方程是“邻根方程”；（2）()210x m x m +++=， ()()10x m x ∴++=， 0x m ∴+=或10x +=，1x m ∴=−，21x =−，方程()210(x m x m m +++=是常数)是“邻根方程”，11m ∴−−=−或11m −+=−，0m ∴=或2m =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【答案】14x =，214x =m =m =代入方程得22520m m −+=，求出m 的值，再求出x 即可．m ．原方程化为：22520m m −+=，解得：12m =，212m =．当2m =2，解得：14x =；当12m =12=，解得：214x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，会根据题目所描述的换元法求解方程．。
用因式分解法解一元二次方程
12．2 用因式分解法解一元二次方程一教学目标1、正确理解因式分解法的实质；2、熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程；二教学过程1．复习提问1、或．语言表述：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．2．例题讲解例1 解方程解：原方程可变形……第一步∴或……第二步∴，分析：（1）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”。
（2）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解。
用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法。
由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法。
例2 用因式分解法解方程（1）解：原方程可变形为得，或∴，（2）∴或∴，教师板演，学生回答，总结因式分解的步骤：（1）方程化为一般形式；（2）方程左边因式分解；（3）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．练习：P20中1，2．例3 解方程解：原方程可变形为∴或∴，此方程不需去括号将方程变成一般形式．对于总结的步骤具体情况具体分析．∴或．∴，．2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）化方程为一般形式；（2）将方程左边因式分解；（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．但要具体情况具体分析．3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．四、布置作业教材P21 A 1教材P21 B 1、2（学有余力的学生做）．。
因式分解法解方程
在数学中，因式分解法是解方程的常用方法之一。本章将介绍方程的基本概 念，然后重点讲解一次和二次因式分解法，以及解方程的步骤和示例。
方程的定义和基本概念
了解方程的定义和基本概念是解方程过程中的第一步。方程是等式，其中包 含未知数的表达式和已知数的常量，通过求解方程，我们可以找到未知数的 值。
因式分解法的介绍
因式分解法是一种将多项式分解成更简单的因式的方法。通过因式分解，我 们可以更容易地解决复杂的方程。
一次因式分解法
一次因式分解法适用于一次方程，即未知数的最高次数为1的方程。通过因式分解，我们可以将方 程转化为一个或多个一次因式相乘的形式，从而求解方程。
二次因式分解法
二次因式分解法适用于二次方程，即未知数的最高次数为2的方程。通过因式分解，我们可以将方 程转化为一个或多个二次因式相和示例
解方程的一般步骤包括观察方程、因式分解、列方程、求解方程和检验解。通过一些示例，我们 可以更好地理解和掌握解方程的方法。
通过因式分解法解方程的练习题
通过一些练习题，我们可以巩固和应用因式分解法解方程的知识。挑战自己，提升解题能力。
总结和要点
通过本章的学习，我们了解了方程的基本概念和因式分解法的重要性。掌握解方程的方法可以帮 助我们解决实际问题和提升数学能力。
因式分解法解方程步骤
因式分解法解方程步骤一、引言方程是数学中重要的概念，它描述了数值之间的关系。
解方程是求解未知数的值，因式分解法是解方程的一种常用方法。
本文将介绍使用因式分解法解方程的具体步骤。
二、因式分解法解方程的基本思想因式分解法是将一个复杂的方程转化为一个或多个简单的因式相乘的形式，从而得到方程的解。
这种方法常用于一次方程、二次方程和高次方程的求解。
三、一次方程的因式分解法解法步骤1. 将一次方程移到等式的一边，使等式为0。
2. 将方程进行因式分解，将其转化为两个或多个因式相乘的形式。
3. 令每个因式等于0，得到多个子方程。
4. 解每个子方程，得到对应的解。
5. 将所有解合并，得到原方程的全部解。
四、二次方程的因式分解法解法步骤1. 将二次方程移到等式的一边，使等式为0。
2. 将方程进行因式分解，将其转化为两个一次因式相乘的形式。
3. 令每个一次因式等于0，得到两个子方程。
4. 解每个子方程，得到对应的解。
5. 将所有解合并，得到原方程的全部解。
五、高次方程的因式分解法解法步骤1. 将高次方程移到等式的一边，使等式为0。
2. 将方程进行因式分解，将其转化为多个一次或二次因式相乘的形式。
3. 令每个一次或二次因式等于0，得到多个子方程。
4. 解每个子方程，得到对应的解。
5. 将所有解合并，得到原方程的全部解。
六、注意事项1. 在进行因式分解时，要注意是否存在公因式，可以通过提取公因式简化方程。
2. 在解子方程时，要考虑每个因式的根是否为实数或复数，进而得到方程的实数解或复数解。
3. 在合并解时，要注意去除重复解，得到方程的不同解。
七、例题解析以下是几个例题的解析，以帮助读者更好地理解因式分解法解方程的步骤和思路。
例题1：解方程2x + 4 = 01. 将方程移到等式的一边，得到2x = -4。
2. 由于2和-4没有公因式，无法进行因式分解。
3. 将方程除以2，得到x = -2。
4. 所以方程的解为x = -2。
一元二次方程的解法5-因式分解法
P42
T5
解得
x1 1 , x2 3 . 5 2
（3）（35-2x)² -900=0 解 （3）原方程可化为（35-2X）² -30² =0 把方程左边因式分解，得
(35-2X+30)(35-2X-30)=0
因此得 65-2X=0或 5-2X=0
解得 x1=32.5 ，x2= 2.5.
小提示
从例1至例4看到，解一元二次方程的 基本方法之一是因式分解法，即通过移项 使方程右边为0，然后把左边分解成两个 一次因式的乘积，从而转化成一元一次方 程，进行求解．
.
移项，得(x-1)(x+2)-2(x+2)=0. ∴(x+2)(x-3)=0, ∴ x+2=0 或 x-3=0. ∴ x1=-2，x2=3.
中考 试题
2
3 方程 x -4x = 0 的解是 x1=0，x2=-2，x3=2 .
解
原方程变形为x(x2-4)=0, 即 x(x+2)(x-2)=0, ∴ x=0 或 x+2=0或x-2=0， ∴ x1=0，x2=-2，x3=2.
（1） x(x-5)=3x 解:
原方程可以写成 x(x-5)-3x = 0.
把方程左边因式分解，得 x(x-5-3)= 0. 由此得出 x =0 或 x-5-3 = 0. 解得 x1=0 ，x2= 8.
（2） 2x(5x-1)=3(5x-1) 解: 原方程可以写成 2x(5x-1)-3(5x-1)= 0. 把方程左边因式分解，得 (5x-1)(2x-3)= 0. 由此得出 5x-1 = 0 或 2x-3 = 0.
2
2.解下列方程：
（1）2x(x-1)= 1-x；
（2）5x(x+2) = 4x+8.
解方程的因式分解法
解方程的因式分解法解方程是数学中的重要内容之一，它涉及到数与数之间的关系，通过运算和推理找出未知数的值。
解方程的因式分解法是一种常用的解方程方法，它可以将复杂的方程化简为简单的因式相乘形式，从而更容易找到方程的解。
本文将介绍解方程的因式分解法，并通过例题来说明其应用。
一、因式分解的基本概念因式分解是将一个多项式拆分为若干个因式相乘的形式，从而使得方程更易于求解。
在因式分解中，常用的因式有常数因子、一次因子、二次因子等。
常数因子即多项式中的常数项，一次因子即多项式中的一次项，二次因子即多项式中的二次项。
二、一次方程的因式分解法对于一次方程，即次数最高为一的方程，可以通过因式分解法来解。
考虑以下的一次方程：ax + b = 0其中a和b为已知数，x为未知数。
我们可以将方程因式分解为：a(x + b/a) = 0由于一个数的乘积为零，当且仅当其中一个因子为零时，整个乘积为零。
因此，我们可以得出以下两个方程：a = 0 或 x + b/a = 0解得x = -b/a，这就是原方程的解。
三、二次方程的因式分解法对于二次方程，即次数最高为二的方程，也可以通过因式分解法来解。
考虑以下的二次方程：ax^2 + bx + c = 0其中a、b和c为已知数，x为未知数。
我们可以将方程因式分解为：(ax + m)(nx + p) = 0其中m、n、p为待定数。
通过展开上式，我们可以得到以下方程：anx^2 + (am+np)x + mp = 0比较以上方程与原方程，我们可以得出以下三个方程：an = a，am + np = b，mp = c通过求解以上三个方程，即可得到m、n和p的值。
将m、n和p 代入因式分解式，即可得到原方程的解。
四、应用举例1. 解方程2x + 3 = 0根据一次方程的因式分解法，我们可以将方程重新写成2(x + 3/2) = 0。
解得x = -3/2，这就是原方程的解。
2. 解方程x^2 - 5x + 6 = 0根据二次方程的因式分解法，我们可以将方程重新写成(x - 2)(x - 3) = 0。
一元二次方程的6种解法
一元二次方程的6种解法
一元二次方程的6种解法如下：
1、因式分解法：将一元二次方程化成 ax^2+bx+c=0 的形式，先将两边同乘以a后，即a(x^2+ b/ax + c/a)，然后将此形式拆解为（x+()）(x+(/))的形式，得到两个一元一次方程，求出x的值，即可求出原方程的解。
2、公式法：用公式法求解一元二次方程，即通过求解公式：x=(-
b±√(b^2-4ac))/2a来求解，此公式中，b和c为方程的系数，a为系数前的系数。
3、图像法：使用图像法求解一元二次方程，即作出ax^2+bx+c=0方程图象，然后根据图象上的交点判断出方程的解。
4、判别式法：此法根据一元二次方程的判别式来求解，即当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不等实根；当判别式b^2-4ac=0时，方程有一个实根；当判别式b^2-4ac<0时，方程没有实根。
5、求根公式法：此法可以用来求解一元二次方程的实根，即用求根公式x1=(-b+ √(b2- 4ac))÷2a和x2=(-b-√(b2- 4ac))÷2a，其中，b 为系数前的系数，a和c分别为方程的系数。
6、特殊值法：此法适用于一元二次方程中特殊的系数或解。
如当
a=0，系数b和c任意时，可将该方程化为一元一次方程，求解即可；当a=b=0时，可直接算出方程的解。
用因式分解法解下列方程
用因式分解法解下列方程方程是数学中的基本概念，是研究数量关系和量的相等关系的代数式。
解方程是数学中的一个重要内容，可以帮助我们找到方程中未知数的取值，进而解决实际问题。
因式分解法是解方程的一种常用方法，通过将方程中的多项式进行因式分解，将复杂的方程化简为简单的乘法形式，从而求解方程中的未知数。
下面我们来看几个用因式分解法解方程的例子。
第一个例子：解方程x² - 4x + 4 = 0首先，我们将方程进行因式分解，得到 (x-2)² = 0然后，根据乘法公式得到 x-2 = 0 或 x-2 = 0最终解得 x = 2第二个例子：解方程2x² + 5x - 3 = 0首先，我们将方程进行因式分解，得到 (2x-1)(x+3) = 0然后，根据乘法公式得到 2x-1 = 0 或 x+3 = 0最终解得 x = 1/2 或 x = -3第三个例子：解方程x³ - 8 = 0首先，我们将方程进行因式分解，得到 (x-2)(x² + 2x + 4) = 0然后，根据乘法公式得到 x-2 = 0 或x² + 2x + 4 = 0其中x² + 2x + 4 = 0 为一个一元二次方程，通过求根公式或配方法可以解得 x = -1 + √3i 或 x = -1 - √3i最终解得 x = 2 或 x = -1 + √3i 或 x = -1 - √3i通过以上几个例子，我们可以看到，因式分解法在解方程中的应用十分灵活和方便，可以帮助我们更快地找到方程的解。
当然，对于更复杂的方程，我们还可以结合其他方法进行求解，如配方法、求根公式等。
总的来说，解方程是数学中的一项重要技能，掌握不同的解方程方法可以帮助我们更好地理解数学知识，提高数学解题能力。
希望通过学习因式分解法解方程的方法，能够帮助大家更好地应对数学问题，提高解题效率。
用因式分解法解一元二次方程
应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为
一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用
因式分解法，不然选用公式法；
4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较
即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝ 0，
2
5
∴ x1 ＝ ，x2 ＝-8.
（4）9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝（-12）2-4×9×（-1）＝
144+36 ＝ 180>0，
b b 2 4ac (12) 180 2 5
因式分解，得 x5 x 4 0.
x 0, 或5 x 4 0.
4
x1 0，x2
5
（2）移项，得 x 2 xx 2 0,
因式分解，得 x 21 x 0.
x 2 0, 或1 x 0.
x1 2，x2 1
几种常见的用因式分解法求解的方程
（1）形如x2 +bx ＝ 0 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为
x（x+b）＝ 0，则x ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1= 0， x2 ＝ -b.
（2）形如x2 - a2 ＝ 0 的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分
解为（x+a）（x-a）＝ 0，则x+a ＝ 0 或x-a ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2
因式分解法解方程
因式分解法解方程1. 引言在数学中，方程是一个数学等式，其中包含未知数和已知数之间的关系。
解方程是求出使得等式成立的未知数的值。
因式分解法是一种常用的解方程方法，它通过将方程中的多项式进行因式分解，从而简化求解过程。
本文将详细介绍因式分解法解方程的基本概念、步骤和示例，并提供一些常见问题的解答。
2. 基本概念在讨论因式分解法解方程之前，我们先来了解一些基本概念。
2.1 方程与多项式方程（equation）是一个等式，其中包含未知数和已知数之间的关系。
通常用字母表示未知数。
多项式（polynomial）是由若干个单项式相加或相减得到的代数表达式。
例如，2x2+3x−5就是一个二次多项式。
2.2 因子与因式因子（factor）是能整除一个数字或代数表达式的数字或代数表达式。
例如，在6中，1,2,3,6都是它的因子；在x2+x中，x是它的因子。
因式（factor）是能整除一个多项式的多项式。
例如，在2x2+3x−5中，2,x+1,x−5都是它的因式。
3. 因式分解法解方程的步骤接下来，我们将介绍因式分解法解方程的基本步骤。
步骤1：将方程转化为多项式形式首先，将所给的方程转化为多项式形式。
确保方程中只包含一个未知数，并将未知数的次数按照降序排列。
例如，对于方程2x2+3x−5=0，已经是多项式形式了。
步骤2：因式分解多项式接下来，我们要对多项式进行因式分解。
通过找到多项式的因子和因子间的关系，将多项式分解为更简单的乘积形式。
例如，在2x2+3x−5中，我们可以发现2x2的因子是2x，而−5的因子是−1,5。
根据乘法运算法则可知：(2x2+3x−5)=(ax+b)(cx+d)其中a,b,c,d是待确定的常数。
步骤3：确定常数的值现在，我们需要确定常数a,b,c,d的值。
这可以通过展开右侧的乘积并与原多项式进行比较来实现。
例如，在(ax+b)(cx+d)中展开并与2x2+3x−5进行比较，我们可以得到以下等式：$$ ac = 2 \\ ad + bc = 3 \\ bd = -5 $$通过解这个方程组，可以求解出a,b,c,d的值。
经典因式分解法求解三次方程
经典因式分解法求解三次方程在代数学中，我们经常会遇到各种各样的方程。
其中，三次方程是一种常见的高阶方程，其形式通常为ax³ + bx² + cx + d = 0。
为了求解这类方程，经典因式分解法是一种简单而有效的方法。
本文将介绍如何使用经典因式分解法来求解三次方程，并通过实例来详细说明。
步骤一：寻找因子首先，我们需要将三次方程进行因式分解。
为了寻找方程的因子，我们可以尝试将方程的左边进行因式分解，使得方程两边的乘积等于零。
根据乘法的性质，只要其中一个因子为零，整个乘积就等于零。
步骤二：设置方程等于零在找到方程的因子后，我们将每个因子设置为零，得出多个方程。
将这些方程分别解开，可以得到多组解。
然后，我们将这些解合并，并检查它们是否满足原始方程。
如果满足，那么这些解即为方程的解。
步骤三：示例让我们通过一个示例来说明经典因式分解法的具体步骤。
假设我们有一个三次方程2x³ - 5x² + 3x - 6 = 0。
我们将根据以上提到的步骤来解决该方程。
首先，我们尝试将方程进行因式分解，寻找因子。
在本例中，我们可以使用试除法或找出方程的根来找到因子。
假设我们找到了一个因子x = 2。
那么根据因式定理，我们可以将方程表示为(x - 2)(2x² + 9x - 3) = 0。
接下来，我们将上述方程设置为零，得到两个方程x - 2 = 0和2x² + 9x - 3 = 0。
我们分别求解这两个方程。
对于第一个方程x - 2 = 0，我们可以得到解x = 2。
对于第二个方程2x² + 9x - 3 = 0，我们可以使用求根公式或其他解方程的方法来求解。
假设我们使用求根公式，即x = (-b ± √(b² - 4ac)) /2a。
根据该公式，我们可以得到两个解x = -1和x = 3/2。
现在，我们将这三个解合并，并检查它们是否满足原始方程2x³ -5x² + 3x - 6 = 0。
因式分解法解方程
基础练习题
总结词
掌握基本概念
详细描述
通过简单的因式分解法练习，如x^2 - 4 = 0， 熟悉因式分解的基本步述
通过练习，熟悉因式分解的基本步骤，如提取公因 式、分组、应用差平方公式等。
提高速度和准确性
总结词
详细描述
通过大量的基础练习，提高因式分解的速度和准确性， 为解决更复杂的方程打下基础。
进阶练习题
总结词
应用进阶技巧
总结词
解决实际问题
详细描述
在基础练习的基础上，尝试更复杂的因式分 解，如x^4 - 16，需要应用平方差公式和完 全平方公式。
详细描述
通过解决实际问题，如几何问题、代数问 题等，将因式分解法应用于实际情境中， 提高解决实际问题的能力。
综合练习题
总结词
综合运用知识
详细描述
04 因式分解法的扩展应用
二次方程的因式分解法
总结词
通过因式分解简化求解过程
详细描述
对于形如 ax^2+bx+c=0 的二次方程，可以通过因式分解将其转化为两个一次方程，从而简化求解过程。 例如，对于方程 2x^2-3x+1=0，可以分解为 (2x-1)(x-1)=0，从而得出解 x=1/2 和 x=1。
复杂多项式的因式分解
总结词
复杂多项式的因式分解需要运用更多的技巧和规则，如十字相乘法、差平方公 式等，以将多项式化为整式的积。
详细描述
对于形如 $x^2 - 2x - 3$ 的多项式，可以使用十字相乘法，找到两个数 $a$ 和 $b$，满足 $a + b = -2$ 且 $ab = -3$，即 $-3$ 和 $-1$，得到 $(x - 3)(x + 1)$。差平方公式也可以用于因式分解，如 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$。
解一元二次方程因式分解法
2. 示例二：解方程 $2x^2+7x+3=0$。
所以方程的解为 $x_1=2, x_2=3$。
综合除法的实例分析
计算判别式 $Delta = 7^2
1
- 4 times 2 times 3 = 25
> 0$，方程有两个实根。
4
所以方程的解为 $x_1=-3, x_2=-frac{1}{2}$。
利用综合除法，将
步骤：将方程化为一般形式，计算判别式并 判断根的情况，根据求根公式写出方程的解
。
提公因式法
适用于各项含有公因式的一元二次方程，通过提取公 因式进行因式分解。
步骤：观察各项是否含有公因式，如有则提取公因式 ，将剩余部分化为两个一次式的乘积。
分组分解法
适用于可以通过分组进行因式分解的一元二次方程。
步骤：将方程的二次项和一次项分别进行分组，并尝试 进行因式分解，得到两个一次式的乘积。
3
将 $x_1 = -4$ 代入原方程，得 $(-4)^2 + 4 times (-4) + 3 = 0$，符合原方程，保留。
主元法的实例分析
将 $x_2 = 0$ 代入原方程，得 $0^2 + 4 times 0 + 3 = 3 neq 0$，不符合原方程，舍去。
因此，原方程的解为 $x = -4$。
换元法
01
适用于可以通过换元简化的一元 二次方程。
02
步骤：观察方程是否可以通过换 元简化，如可以则进行换元，将 原方程化为更易求解的新方程。
特殊值法
适用于一些特殊形式的一元二次方程，可以通过代入特殊值进行因式分解。
步骤：观察方程是否具有特殊形式，如具有则尝试代入特殊值（如1、-1、0等）进行因 式分解。
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布置作业：
观察思考
合作交流
知识运用
知识提升
课后训练
精典作业设计：
教学反思：
3）学习运用
4）归纳总结
学前准备
1、提问：
(1)解一元二次方程的基本思路是什么？
(2)现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法?
2、用两种方法解方程：9(1-3x)2=25
1、说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论：因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
解得tl=0，t2=200。
t1=0表明小明与小亮第一次相遇；t2=200表明经过200s小明与小亮再次相遇。
三）典例剖析
1、展示课本P．8例3。
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。
2、让学生讨论P．9“说一说”栏目中的问题。
要使学生明确：解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子，若方程两边同除以含未知数的式子，可能使方程漏根。
桃江玉潭实验学校初中部
教学设计（）节
学习主题：第3课时因式分解法
学习目标：1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。
学习准备：
学习过程：
学习环节
学习想：展示课本1．1节问题二中的方程0.01t2-2t =0，这个方程能用因式分解法解吗?
一）合作探究
问题：、想一想：展示课本1．1节问题二中的方程0.01t2-2t =0，这个方程能用因式分解法解吗?
引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0，解答课本1．1节问题二。
把方程左边因式分解，得t(0.01t-2)=0，由此得出t=0或0.01t-2=0
3、展示课本P．9例4。
：
四）课堂小结1、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：先把一个一元二次方程变形，使它的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，然后使每一个一次因式等于0，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
2、在解方程时，千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式，否则可能丢失方程的一个根。