最新相交线与平行线单元复习小结
2023年相交线与平行线知识点归纳总结
《相交线与平行线》知识点总结一: 相交线（1）相交线旳定义两条直线交于一点, 我们称这两条直线相交．相对旳, 我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成旳角中有特殊旳数量关系和位置关系旳有对顶角和邻补角两类.（3）在同一平面内, 两条直线旳位置关系有两种: 平行和相交（4）对顶角: 有一种公共顶点, 并且一种角旳两边分别是另一种角旳两边旳反向延长线, 具有这种位置关系旳两个角, 互为对顶角．∠1和∠3, ∠2和∠4是对顶角.（5）邻补角：只有一条公共边，它们旳另一边互为反向延长线，具有这种关系旳两个角，互为邻补角.如图：∠1和∠2，∠2和∠3是邻补角.（6）对顶角旳性质：对顶角相等．（如图∠1＝∠3, ∠2＝∠4）（7）邻补角旳性质：邻补角互补, 即和为180°．（如图∠1＋∠2＝180°）（8）邻补角、对顶角成对出现, 在相交直线中, 一种角旳邻补角有两个. 邻补角、对顶角都是相对与两个角而言, 是指旳两个角旳一种位置关系. 它们都是在两直线相交旳前提下形成旳。
二、垂线（1）、垂线旳定义: 当两条直线相交所成旳四个角中, 有一种角是直角时, 就说这两条直线互相垂直, 其中一条直线叫做另一条直线旳垂线, 它们旳交点叫做垂足.如图, OD⊥AB, 垂足为O（2）、垂线旳性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.注意: “有且只有”中, “有”指“存在”, “只有”指“唯一”“过一点”旳点在直线上或直线外都可以。
（3）、垂线段: 从直线外一点引一条直线旳垂线, 这点和垂足之间旳线段叫做垂线段.（4）垂线段旳性质: 垂线段最短.对旳理解此性质, 垂线段最短, 指旳是从直线外一点到这条直线所作旳垂线段最短. 它是相对于这点与直线上其他各点旳连线而言.（如图, PA,PB,PC等线段中, PO最短）（4）、点到直线旳距离（如图, PO旳长）（1）点到直线旳距离：直线外一点到直线旳垂线段旳长度, 叫做点到直线旳距离．（2）点到直线旳距离是一种长度, 而不是一种图形, 也就是垂线段旳长度, 而不是垂线段．它只能量出或求出, 而不能说画出, 画出旳是垂线段这个图形．三、平行线1.在同一平面内, 两条直线旳位置关系有两种: 平行和相交.（1）平行线旳定义:在同一平面内,不相交旳两条直线叫平行线.记作: a∥b；读作: 直线a平行于直线b.（2）同一平面内, 两条直线旳位置关系: 平行或相交, 对于这一知识旳理解过程中要注意:①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说, 指旳是它们所在旳直线.（3）平行公理：通过直线外一点, 有且只有一条直线与这条直线平行.如图, 过点P只有直线a 与直线b 平行（4）平行公理中要精确理解“有且只有”旳含义．从作图旳角度说, 它是“能但只能画出一条”旳意思．（5）平行公理旳推论：假如两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行．如图, 假如a∥c, b∥c, 那么a∥c2.同位角、内错角、同旁内角（1）同位角: 两条直线被第三条直线所截形成旳角中, 若两个角都在两直线旳同侧, 并且在第三条直线（截线）旳同旁, 则这样一对角叫做同位角.例如∠1和∠5，∠3和∠7，∠4和∠8，∠2和∠6.（2）内错角: 两条直线被第三条直线所截形成旳角中, 若两个角都在两直线旳之间, 并且在第三条直线（截线）旳两旁, 则这样一对角叫做内错角. 例如∠3和∠5, ∠4和∠6.（3）同旁内角: 两条直线被第三条直线所截形成旳角中, 若两个角都在两直线旳之间, 并且在第三条直线（截线）旳同旁, 则这样一对角叫做同旁内角。
2023年超用心相交线和平行线知识点总结
相交线和平行线知识点总结在平面内不重叠旳两条直线相交与平行旳两种位置关系: 相交与平行。
在初中, 我们会愈加深入地研究角度旳关系。
角度旳关系和直线旳位置关系亲密有关。
5.1相交线一、邻补角与对顶角有关测试:（1） .若三条直线交于一点, 则共有对顶角(平角除外)( )A.6对B.5对C.4对D.3对（2）下列各图中, 与是对顶角旳是( ).直线AB.CD相交于点O, ⑴假如, 那么；⑵假如旳2倍大, 那么二、两条直线相交旳特殊位置: 垂线⑴定义, 当两条直线相交所成旳四个角中, 有一种角是直角时, 就说这两条直线互相垂直, 其中旳一条直线叫做另一条直线旳垂线, 它们旳交点叫做垂足。
符号语言记作:如图所示：AB⊥CD, 垂足为O⑵垂线性质1: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点旳所有线段中, 垂线段最短。
简称：垂线段最短。
有关测试:（1）如图, 点O 是直线CD 上一点, , , 求旳度数．（2）三角形ABC 中, , cm ,cm,cm.那么点B 到直线 AC 旳距离是___________, A.B 两点旳距离是________.怎样理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线旳距离”这些相近而又相异旳概念分析它们旳联络与区别⑴垂线与垂线段 区别: 垂线是一条直线, 不可度量长度；垂线段是一条线段, 可以度量长度。
联络: 具有垂直于已知直线旳共同特性。
(垂直旳性质) ⑵两点间距离与点到直线旳距离 区别: 两点间旳距离是点与点之间, 点到直线旳距离是点与直线之间。
联络: 都是线段旳长度；点到直线旳距离是特殊旳两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离 距离是线段旳长度, 是一种量；线段是一种图形, 它们之间不能等同。
三. 平行线1.平行线旳概念: 同一平面内两条直线旳位置关系有两种 1.相交;2.平行 在同一平面内, 不相交旳两条直线叫做平行线, 直线与直线互相平行, 记作∥。
第二章 相交线与平行线(单元小结)七年级数学下册(北师大版)
考点专练
【要点指导】直线外一点到这条直线的垂线段的 长度叫作点到直线的距离, 这说明, 点到直线的距 离可以转化为两点之间的距离.
考点专练
考点三：与平行线性质、判定有关的计算与说理题
例3：已知：如图, AB∥CD, BD平分∠ABC, CE平分∠DCF, ∠ACE=90°. (1)判断BD和CE的位置关系, 并说明理由； (2)判断AC和BD是否垂直, 并说明理由．
考点专练
考点专练
解：AD平分∠BAC. 理由：如图2-Z-9, 因为AD⊥BC于点D, EG⊥BC于点G(已知), 所以∠ADC=∠EGC=90°(垂直的定义), 所以AD∥EG(同位角相等, 两直线平行), 所以∠1=∠2(两直线平行, 内错角相等), ∠E=∠3(两直线平行, 同位角相等). 又因为∠E=∠1(已知), 所以∠2=∠3(等量代换), 所以AD平分∠BAC(角平分线的定义).
知识专题
二、定理与性质 （1）对顶角的性质：对顶角相等. （2）垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
A
A
l
l
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
知识专题
（3）平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与 已知直线平行. （4）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线 平行，那么这两条直线也互相平行.
例1：如图, 直线AB与直线CD相交于点O, 已知OE⊥AB于点O,
∠BOD=45°, 则∠COE的度数是( B ).
A．125°
ห้องสมุดไป่ตู้
B．135°
C．145°
D．155°
考点专练
考点专练
【要点指导】两条直线相交形成四个角, 这四个角中有 两对对顶角、四对邻补角；当相交的两条直线互相垂 直时, 相交形成的角是直角. 根据对顶角、邻补角之间 的数量关系以及直角的定义, 可进行角度的相关计算.
新人教版七年级下第五章《 相交线与平行线》小结复习(二)
E
M B
1 D
N
G
知识及运用
4、如图，AB∥CD，∠ABE=120°，
∠DCE=15°，则∠BEC=
。
A F
C
B E D
知识及运用
5、如图，∠B=70°，∠BEF=70° ，
∠DCE=140°，CD∥AB，则∠BEC
=
。
A
E
B
C D
F
知识及运用
6、已知AB∥CD，分别探讨下面四个图
形中∠APC、∠PAB、∠PCD之间的关系。
小结与复习(2)
知识结构
两条直线相交
平 面
相交线
内
直
线
的
位
置
关 平行线
系
两条直线被第 三条直线所截
平行公理 平移
邻补角 对顶角
对顶角 相等
垂线及 其性质
点到直 线距离
同位角 内错角 同旁内角
条件
性质
知识及运用
1、见到以下图形，你有什么想法？
三线八角 同位角 内错角 同旁内角
m a b
知识及运用
2、“过一点有且只有一条直线与已 知直线平行”这句话对吗？为什么？
P
P
l
l
直线外一点
知识及运用 3、如图，AB∥CD，EF分别交AB、 CD于M、N，∠EMB=50°，MG平 分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的 度数。
∵ MG平分∠BMF(已知)
A
∴ ∠BMG= ∠BMF(角平分线定义)12C
F
作业 1、把一张长方形ABCD沿EF折叠后， ED交BC于点G，点D、C分别落在D′、 C′位置上，若∠EFG=55°，求 ∠ AEG和∠ BGE的 度数。
人教版七年级数学下册—复习第5章相交线与平行线单元总结巩固复习
第五章 相交线与平行线一．知识框架 二．知识梳理 1.邻补角互补注意：（1）邻补角指明了位置关系，又指明了数量关系，“邻”指位置上的相邻；“补”指两个角的和为180°； （2）邻补角的条件：①有公共顶点；②其中一边公共；③另一组边互为反向延长线； （3）邻补角是成对的 2.对顶角相等注意： （1）定义：有一个公共顶点，且有一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线（2）性质：对顶角相等3.垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
4.点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 5.三线八角概念两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角.内错角与同旁内角. 如图，直线b a ,被直线l 所截①∠1与∠5在截线l 的同侧，同在被截直线b a ,的上方 叫做同位角（位置相同）；（一边共线）②∠5与∠3在截线l 的两旁（交错），在被截直线b a ,之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）； ③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线b a ,之间（内），叫做同旁内角. 6.如何判别三线八角判别同位角.内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全.模型：同位角是“F ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型.ABC DO abl1 2 3 45 6 7 87.平行线的概念及公理一般地，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.记作“a∥b”平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行8.平行线的判定两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
相交线与平行线知识点总结
相交线与平行线知识点总结在初中数学的几何部分，相交线与平行线是非常基础且重要的知识点。
理解和掌握这些内容，对于后续更复杂的几何学习有着至关重要的作用。
下面就让我们一起来详细梳理一下相交线与平行线的相关知识点。
一、相交线1、邻补角两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
邻补角的特点是：它们的和为 180°。
例如，在图中，∠AOC 与∠AOD 就是一组邻补角。
2、对顶角一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
对顶角的性质是：对顶角相等。
比如，∠AOC 与∠BOD 就是一对对顶角。
3、垂线当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
垂线的性质包括：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
4、点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
二、平行线1、平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2、平行线的表示方法通常用“／／”表示平行，例如，直线 a 与直线 b 平行，可以记作 a/／b 。
3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。
例如，若 a/／b，则∠1 ＝∠2 。
（2）两直线平行，内错角相等。
比如，若 a/／b，则∠2 ＝∠3 。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
即若 a/／b，则∠3 ＋∠4 ＝180°。
4、平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
5、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
6、平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
三、平行线的证明在证明两条直线平行或者角的关系时，常常需要综合运用平行线的性质和判定。
例如，已知某些角的关系，要证明两条直线平行，就需要根据角的关系找到对应的判定定理；反之，如果已知两条直线平行，要证明角的关系，就需要运用平行线的性质。
人教版数学七年级下册《相交线与平行线》的考点归纳
的一元二次方程或不等式，然后求其解.需要注意的是，求解后还得根据题目的实际情况确定适当的值.例3某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？分析：此题只涉及盈利的涨价与否问题，可以设一个未知数（设每千克应涨价x元），涨价x元以后，每千克盈利为（10+x）（元），日销售减少量为x×20=20x（千克），每天可售出量为（500-20x）（千克）.此时每天的盈利可表示为（10+x）×（500-20x）.题目中指出使顾客得到实惠（即x尽量取较小值），又要保证每天盈利6000元，所以可以转化为求满足（10+x）×（500-20x）≥6000条件的x的最小值问题.解：设每千克应涨价x元，由题意可得每千克盈利：10+x（元），日销售量减少：x×20=20x（千克）日销售量为：500-20x（千克）据题意得（10+x）（500-20x）≥6000，解一元二次不等式得，5≤x≤10.因为题目中要求“使顾客得到实惠”，所以x应当尽量小，故而x=5.答：现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元.点评：该题是一元二次方程与不等式的结合问题，设一个未知数x即可，但用含有x 的式子表示其他量时容易出错，特别是涨价x元后每千克盈利是10+x元，而不是10x 元，一定要细心以避免出错.总之，列方程解应用题可以化逆向思维为正向思维，让解题更加容易.列方程解应用题的难点在于设未知数，以及如何用未知数表示其他量，再根据等量关系列出方程求解.最后还要重视方程解完后的检验环节，这样才能确保解题的准确率．相交线与平行线是平面几何的重点内容，是以后深入学习三角形、四边形等几何知识的基础.其中互余和互补的概念、平行线的性质与判定等都是考试中常考的重要内容.现对与相交线与平行线相关的常见考点进行归纳说明.考点一补角与余角的概念如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角.类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角.同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.例1（1）如图1，已知：线段AB，延长线段AB到C，使AC＝32AB，反向延长线段AB到D，使AD＝2AB，①请画出图形；②若AB＝4，计算CD的长度．（2）如图2，已知A、O、E三点在同一条直线上，∠1＝∠2，且∠1和∠4互为余角．①∠2和∠3互余吗？为什么？②∠3和∠4有什么关系，为什么？《相交线与平行线》的考点归纳③∠3的补角是哪个角？若∠AOC：∠COE＝2：7，请计算这个补角的度数．图1图2解：（1）①画出图形，如图3：D A B C图3②∵AC＝32AB，AB＝4，∴BC＝12AB＝2，又∵AD＝2AB＝8，∴CD＝AD+AB+BC＝8+4+2＝14．（2）①∠2与∠3互余，∵∠1+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝180°-（∠1+∠4）＝90°，即∠2与∠3互余，②∠3＝∠4，∵∠1+∠4＝90°，∠1＝∠2，由①∠2+∠3＝90°，即∠3＝∠4（等角的余角相等），③∠3的补角是∠AOD，若∠AOC：∠COE＝2：7，又∵∠AOC+∠COE＝180°，∴∠AOC＝40°，∠COE＝140°，又∵∠1＝∠2＝12∠AOC＝20°，∴∠4＝90°-∠1＝70°（∠1与∠4互为余角），又∵∠AOD+∠4＝180°，即∠AOD＝180°-∠4＝180°-70°＝110°．评注:本题考查了余角、补角和两点间的距离以及角与角之间的关系.解答这类题目时，我们要熟悉线段和角的概念.考点二对顶角的定义及其性质若两个角有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，则这两个角互为对顶角.对顶角是两条直线相交所成的角，它们是成对出现的，若∠1和∠3为对顶角，则必有∠1=∠3；但反过来，若∠1=∠3，则∠1和∠3不一定是对顶角.例2如图4所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE=4：1，则∠AOF等于（）.A.130°B.120°C.110°D.100°解：设∠BOE=α，∵∠AOD：∠BOE=4：1，∴∠AOD=4α，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=α,∴∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°，∴4α+α+α=180°，∴α=30°，∴∠AOD=4α=120°，∴∠BOC=∠AOD=120°，∵OF平分∠COB，∴∠COF=12∠BOC=60°，∵∠AOC=∠BOD=2α=60°，∴∠AOF=∠AOC+∠COF=120°，故选B项.评注:解本题的关键是找到角与角之间的关系，然后运用方程思想解题．考点三垂线的性质两条直线相交所成的角中，若有一个为直角，则这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，这两条直线互相垂直的交点叫垂足.垂线具有如下性质：①一条线段有无数条垂线；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③经过直线或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.例3在直线AB上任取一点O，过点O 作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是（）．A.60°B.120°C.60°或90°D.60°或120°分析：本题没有图形，OC、OD的位置不BAFEOCD图4确定，存在两种情况，画出图形，再分类讨论才能解题.O B AOBADDC C (1)(2)图5解：如图5(1)所示，∵OC ⊥OD ，∴∠COD =90°，∵∠AOC =30°，∴∠AOD =120°，∴∠BOD =60°；如图5(2)，∵OC ⊥OD ，∴∠COD =90°，∵∠AOC =30°，∴∠AOD =90°-∠AOC =60°，∴∠BOD =120°.故答案选D 项.评注:正确画出示意图，灵活运用分类讨论思想及垂线的性质，才能顺利解答此题.考点四平行线的性质在同一平面内，两条直线若没有公共点，则这两条直线必为平行线.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.平行线具有如下性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补.例4如图6，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C =50°，则∠AED =（）.A.65°B.115°C.125°D.130°解：∵AB ∥CD ，∴∠C +∠CAB =180°，∵∠C =50°，∴∠CAB =180°-50°=130°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠EAB =65°，∵AB ∥CD ，∴∠EAB +∠AED =180°，∴∠AED =180°-65°=115°，故选B 项．评注：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键.考点五平行线的判定当两条直线被第三条直线所截，要判定这两条直线为平行线，可借助如下方法：①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②若同位角相等，则这两条直线平行；③若内错角相等，则这两条直线平行；④若同旁内角互补，则这两条直线平行.例5如图7所示，DE 、BE 分别为∠BDC ，∠DBA 的角平分线，且∠DEB =∠1+∠2.求证：（1）AB ∥CD ；（2）∠DEB =90°.D CABF E21图7证明：（1）以点E 为顶点，DE 为一边，在∠DEB 的内部作∠DEF =∠2.∵DE 为∠BDC 的平分线，∴∠2＝∠EDC ，∴∠FED =∠EDC ，∴EF ∥CD ，∵∠FEB =∠DEB -∠DEF =∠DEB -∠2，∠1+∠2＝∠DEB ，∴∠FEB =∠1，∵∠1=∠ABE ，∴∠FEB =∠ABE ，∴EF ∥AB ，又∵EF ∥CD ，∴∠CDF ＋∠DFE =180°，∴∠CDF ＋∠FBA =180°，∴AB ∥CD ；（2）∵AB ∥CD ，∴∠BDC +∠DBA =180°，又∵∠1=12∠DBA ，∠2＝12∠BDC ，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1+∠2＝∠DEB ，∴∠DEB =90°.评注：解答第（1）题时，平行线的性质和判定定理可以帮助我们转化角或找到角与角之间的关系，也有利于我们确定两条直线的位置关系；解答第（2）题时，我们要对条件进行综合分析，对结论进行转化.这是找寻思路、顺利解题的一般方法.6。
相交线与平行线单元系统总结与复习-人教版七年级数学下册
人教版七年级数学下册相交线与平行线单元系统总结与复习【归纳拓展1】两条直线相交包括垂直和斜交两种情形.相交时形成了两对对顶角和四对邻补角.其中垂直是相交的特殊情况，它将一个周角分成了四个直角.【归纳拓展2】点到直线的距离容易和两点之间的距离相混淆.当图形复杂不容易分析出是哪条线段时，准确掌握概念，抓住垂直这个关键点，认真分析图形是关键.【归纳拓展3】平行线的性质和判定经常结合使用，由角之间的关系得出直线平行，进而再得出其他角之间的关系，或是由直线平行得到角之间的关系，进而再由角的关系得出其他直思维导图理解记忆线平行.【归纳拓展4】平移前后的图形形状和大小完全相同，任何一对对应点连线段平行（或共线）且相等.【归纳拓展5】利用方程解决问题,是几何与代数知识相结合的一种体现,它可以使解题思路清晰,过程简便.在有关线段或角的求值问题中它的应用非常广泛.考点1：相交线【例题1】如图,AB⊥CD于点O,直线EF过O点,∠AOE=65°,求∠DOF的度数.考点2：点到直线的距离【例题2】如图，AD为三角形ABC的高，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（）A.2条B.3条C.4条D.5条考点3：平行线的性质和判定【例题3】(1)如图所示,∠1=72°,∠2=72°,∠3=60°,求∠4的度数.(2)已知∠DAC=∠ACB,∠D+∠DFE=180°,求证:EF//BC.考点4：平移【例题4】如图所示,下列四组图形中,有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个,这组图形是（）考点5：相交线中的方程思想【例题5】如图所示，三条直线交于点O,∠1=∠2,∠3∶∠1=8∶1,求∠4的度数.DCBA参考答案考点1：【答案】25°【解析】∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°.∵∠AOE=65°,∴∠COE=25°又∵∠COE=∠DOF(对顶角相等）∴∠DOF=25°.考点2：【答案】B【解析】从图中可以看到共有三条，A到BC的垂线段AD,B到AD的垂线段BD,C到AD的垂线段CD.考点3：【答案】见解析。
平行线与相交线的知识点总结与归纳
平行线与相交线的知识点总结与归纳一、平行线的定义平行线是在同一个平面上，永远也不会相交的两条直线。
平行线的特点是它们的斜率相等，且不相交。
若两条直线平行，则可表示为l，m。
平行线的性质：1.平行线具有等于90°的斜角。
2.平行线与同一条直线垂直的直线也是平行线。
这一性质被称为垂直平行线定理。
3.如果一条直线与两条平行线相交，则它与另一条平行线的交角与第一条直线与第二条直线的交角相等。
4.平行线的反身性质：如果l，m，则m，l。
二、平行线的判定方法1.高度差法：通过计算两线间的垂直距离和斜率判断是否平行。
2.点斜式法：通过两点确定的直线斜率相等来判定。
3.斜率法：两直线斜率相等，则平行。
4.三角形内角和法：若两直线被一条直线所截，则截线两侧内角和相等，则平行。
三、相交线的定义相交线是指在同一个平面上，会相交的两条或更多条直线。
相交线两两相交于一点，称之为交点。
相交线的性质：1.相交线之间的交角之和等于180°，即交角互补。
2.两条相交线总有一对互为垂直的直线。
3.相交线的交点称为顶点，可以通过顶点来判断直线相交的情况，包括内角和外角。
四、平行线与相交线的关系1.平行线切割相交线定理：当一条直线与两条平行线相交时，它切割的两条平行线与该直线所夹的两对内角互补。
2.内错角定理：当两条平行线被一条截线相交时，直线截线所夹的内错角相等。
3.同位角定理：同位角为同侧的内角，当两直线被另一直线切割时，同位角相等。
4.外错角定理：当两条平行线被一条截线相交时，直线截线所夹的外错角互补。
五、应用举例1.在平行四边形中，对角线互相平分。
2.平行线截割三角形：当一条线段与两条平行线相交时，它将三角形切割成两个面积相等的三角形。
3.测量高度：通过测量两个平行线之间的垂直距离来确定垂直高度。
4.道路设计：在公路设计中，平行线可以将车道分隔开，并引导交通流向。
在几何学中，平行线与相交线是解决问题和证明定理中经常用到的概念。
相交线、平行线复习小结
5.5 相交线、平行线复习小结·教学设计教学目标1．知识储备：理解对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角的概念，能在图形中正确地辨认它们；掌握垂线，点到直线的距离的概念，会用三角板或量角器画直线的垂线，了解垂线段最短的性质，会度量点到直线的距离；了解平行线的概念，掌握平行公理及其推论，平行线的判定、性质，会用三角板和直尺画各种位置的直线的平行线；了解命题的题设和结论，把命题改成“如果……那么……”的形式；2．能力培养点：熟悉和掌握几何语言，能够把学过的概念和性质，用图形或符号表示出来，也能用语言说明几何图形；训练学生观察图形和利用图形解决问题的能力；3．情感体验点：使学生了解知识来源于实践，又服务于实践，只有学好文化知识，才有解决实际问题的本领，从而对学生进行学习目的教育．教学重点难点1．相交线、平行线的性质与判定，命题证明的步骤、格式；2．本章知识点的综合理解与应用．教学方法由题组引发概念，再由题组巩固概念与性质等知识点．教学准备教师准备三角板、演示文稿．教学过程一、引发概念组题．师：请同学们看一组题，通过这一组题我们来归纳本章的知识结构．1．平面内两直线的位置关系有________种，即________和________．2．如图5—5—1，直线a和b相交，∠3和∠2叫________角，∠3和∠2的数量关系是________；∠1和∠2叫________角，它们的数量关系是________．3．如图5—5—2，直线AB、CD交于O，且∠AOC＝90°，则直线AB与CD的位置关系是________，几何符号表示为AB________CD．根据垂直定义∠AOC＝90°时，则AB________CD；若AB⊥CD，则∠AOC＝________度．4．过直线外一点有且只有________条直线垂直于已知直线．5．如图5—5—3，PO ⊥AB ，则P A 、PO 、PB 三条线段中最短线段为_________，根据是_________．6．如图5—5—4，直线a 、b 被直线c 所截，则∠1与∠2叫_______角；∠2与∠3叫_________角；∠2与∠4叫_________角．7．若a ∥b ，c ∥b ，则有结论___________．8．经过直线外一点有且只有_________条直线与已知直线平行．9．如图5—5—5，因为 ∠1＝∠2，所以 a ∥b ．根据______________________．因为 ∠2＝∠3，所以 a ∥b ．根据______________________．因为 ∠2＋∠4＝180°，所以 a ∥b ．根据______________________．10．如图5—5—6，因为 a ∥b ，所以 ∠3＝∠2．根据______________________．因为 a ∥b ，所以 ∠2＝∠1．根据______________________．因为a∥b，所以∠2＋∠4＝180°．根据______________________．11．命题“同位角相等，两直线平行”写成“如果……那么……”的形式为__________，其中题设为____________，结论为____________．点评：这一组题都是直接体现基本概念的题目，让学生完成题目的同时回忆本章的有关概念、性质及判定等．二、知识结构．点评：引导学生整理结构图，再与教材对照．三、例题选讲．例1 已知：如图5—5—7，直线．a∥b，c∥d，∠1＝100°，求∠2，∠3的度数．解：因为c∥d（已知），所以∠1＝∠4（两直线平行，同位角相等）．因为∠3＝∠4（对顶角相等），所以∠1＝∠3（等量代换）．因为∠1＝100°（已知），所以∠3＝100°（等量代换）．因为a∥b（已知），所以∠2＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），所以∠2＝180°－100°＝80°．点评：教学中要严格要求几何解答题的推理格式变式练习：1．如图5—5—8，AB∥CD，AD∥BC，能否推出∠1＝∠2，∠3＝∠4．要求学生写出已知、求证和证明过程．2．如图5—5—9，AB∥CD，AD∥BC，能否推出∠1＋∠3＝180°．要求学生写出已知、求证和证明过程．点评：要引导学生认清图形，明确哪两条平行线可推出相应的结论．例2 如图5—5—11，已知AB∥EF，∠BED＝∠B＋∠D，求证：AB∥CD．分析：要证AB∥CD，需证EF∥CD，需证∠2＝∠D，需证∠1＝∠B．以上可由AB∥EF一步一步推出．证明：因为AB∥EF（已知），所以∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等）．Array因为∠BED＝∠B＋∠D（已知），因为∠BED＝∠1＋∠2（已知），所以∠2＝∠D（等量代换），所以EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．又因为AB∥EF（已知），所以AB∥CD（平行公理推论）．教师进一步引导学生，能否直接证明AB∥CD，思路是看能否找到相等的内错角和同位角、或同旁内角互补，提示作辅助线．思路：要证AB∥CD，需证∠1＝∠D，需证∠D＝∠2，需证∠B＝∠3．证明：如图5—5—12，延长DE交AB于G因为AB∥EF（已知），所以∠B＝∠3，∠1＝2（两直线平行，同位角、内错角相等）．又因为∠BED＝∠2＋∠3＝∠B＋∠D（已知），所以∠2＝∠D（等量代换），所以∠1＝∠D（等量代换）．所以AB∥CD（内错角相等，两条直线平行）．师：能否利用“同位角相等，两条直线平行”来证明呢？提示学生做出同位角，如图5—5—13，证出∠1＝∠D即可．师：能否通过证明“同旁内角互补”，得到AB∥CD？学生自行完成．点评：初学几何，就使学生感受一题多解的奥妙，提高学习的兴趣．四、综合应用，巩固练习．1．已知：如图5—5—14，∠1＋∠3＝180°，CD⊥AD，C M平分∠DCE，求：∠4的度数．Array解：因为∠3＝∠6（对顶角相等），∠1＋∠3＝180°（已知），所以∠1＋∠6＝180°（等量代换），所以AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．因为CD⊥AD（已知），所以∠7＝90°（垂直定义）．因为 AD ∥BC （已知），所以 ∠7＋∠DCE ＝180°（两直线平行，同旁内角互补），所以 ∠DCE ＝90°．因为 CM 平分工DCE （已知），所以 ∠4＝21∠DCE ＝45°（角平分线定义）． 2．已知：如图5—5—15，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A ，求证：BE ∥CF ． 证明：因为 ∠3＝∠4（已知），所以 AE ∥BC （内错角相等，两直线平行）．所以 ∠FDC ＝∠5（两直线平行，内错角相等）．因为 ∠5＝∠A （已知），所以 ∠FDC ＝∠A （等量代换），所以 DC ∥AB （同位角相等，两直线平行），所以 ∠5＋∠2＋∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．因为 ∠1＝∠2（已知），所以 ∠1＋∠5＋∠3＝180°（等量代换），所以 BE ∥FC （同旁内角互补，两直线平行）．3．已知：如图5—5—16，DC ∥AB ，∠ABD ＋∠4＝90°求证：AD ⊥DB ．证明：因为 DC ∥AB （已知），所以 ∠CDB ＝∠DBA （两直线平行，内错角相等）．∠CDB ＋∠ADB ＋∠A ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以 ∠DBA ＋∠ADB ＋∠A ＝180°（等量代换）．因为 ∠ABD ＋∠A ＝90°（已知），所以 ∠ADB ＋90°＝180°（等量代换），所以∠ADB＝90°（等式性质），所以AD⊥DB（垂直定义）．五、课堂小结．全章知识结构图．六、课外练习．p29—41复习题5 1—3．评析：本节课是平面几何入门后的第一次复习小结课，作者在教案中，设计了引发概念题组，构建知识结构图，综合例题选讲和变式训练四个教学环节，这对于初学几何的七年级学生来说，是非常及时和必要的．相信该课上完后，将有力地促使他们系统地掌握知识，初步掌握数学的论说形式，领略到一题多解的魅力，提高数学学习的兴趣．。
华师版七年级数学上册第4章 相交线和平行线小结与复习
知识回顾
4. 同位角、同旁内角、内错角
角的 名称
位置特征
基本 结构 图形 特征
相同点
共同特征
同位 截线:同侧 1 角 被截线:同旁 2
同旁 截线:同侧 内角 被截线:之间
内错 截线:两侧 角 被截线:之间
12
F 都在截 线同侧 都没有公
U 都在 共顶点
被截线 Z 之间
知识回顾
5. 平行线 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
第4章 相交线和平行线
华东师大版
知识梳理
两条 直线 相交
相 交 线
邻补角
邻补角互补
对顶角
对顶角相等
基本事实：同一平面内，过一点有且只有一 条直线与已知直线垂直
垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线 垂 线 垂线段的性质：垂线段最短
点到直线的距离：从直线外一点到这 条直线的垂线段的长度
两条直线被第 三条直线所截
∴ ∠DOG＝∠DOF－∠FOG＝90°－35°＝55°.
能力提升
2.如图，AD 为三角形 ABC 的高，能表示点到直线
（线段）的距离的线段B有( A )到 BC 的距离 A
A. 2条
B. 3条
C. 4条
D. 5条
B
B 到 AD 的距离
DC
C 到 AD 的距离
能力提升
3. 如图，直线 AB，CD 被两条直线所截，若∠1=64°，
2. 如图，已知∠DAC=∠ACB，∠D+∠DFE=180°，
求证：EF//BC.
DF C
证明：∵∠DAC= ∠ACB (已知)，
∴ AD//BC(内错角相等，两直线平行). ∵ ∠D+∠DFE=180°(已知)，
2023年新人教版七年级下相交线与平行线知识点总结
相交线与平行线5.1 相交线邻补角、对顶角对顶角相等。
直线a与直线b互相垂直，记作a b垂直是相交旳一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中旳一条直线叫做另一条直线旳垂线，它们旳交点叫做垂足。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点旳所有线段中，垂线段最短。
垂线段最短。
直线外一点到这条直线旳垂线段旳长度，叫做点到直线旳距离。
同位角、内错角、同旁内角5.2 平行线及其鉴定5.2.1 平行线a b.在同一平面内，当直线a与直线b不相交时，我们就说直线a与直线b互相平行，记作//平行公理：通过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即假如b a，c a，那么b c.5.2.2 平行线旳鉴定鉴定措施1 两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行。
同位角相等，两直线平行。
鉴定措施2 两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么这两条直线平行。
内错角相等，两直线平行。
鉴定措施3 两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么这两条直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
5.3 平行线旳性质5.3.1 平行线旳性质性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
两直线平行，同位角相等。
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
两直线平行，内错角相等。
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
两直线平行，同旁内角互补。
5.3.2 命题、定理、证明判断一件事情旳语句，叫做命题命题由题设和结论两部分构成。
题设是已知事项，结论是由已知事项推出旳事项。
数学中旳命题一般可以写成“假如……那么……”旳形式，这时“假如”后旳部分是题设，“那么”后接旳部分是结论。
假如题设成立，那么结论一定成立，这样旳命题叫做真命题。
题设成立时，不能保证结论一定成立，这样旳命题中做假命题。
在诸多状况下，一种命题旳对旳性需要通过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
平行线与相交线的知识点总结与归纳
平行线与相交线的知识点总结与归纳平行线与相交线是几何学中非常基础且重要的概念。
它们在很多几何证明和定理中都占据重要地位。
本文将对平行线与相交线的相关概念、性质和应用进行总结与归纳，帮助读者理解和掌握这些知识点。
一、平行线的概念和判定平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
平行线的概念可以通过以下方式进行判定：1. 法则一：两条直线被一条横截线所截，且内、外两侧交角相等，则这两条直线是平行线。
2. 法则二：两条直线被平行于它们的横截线所截，对应角相等，则这两条直线是平行线。
3. 法则三：两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
二、平行线的性质1. 平行线具有传递性：如果直线a与直线b平行，直线b与直线c 平行，那么直线a与直线c也平行。
2. 平行线具有对应角相等性质：当两条平行线被横截线所截时，对应角相等。
3. 平行线具有同位角相等性质：当两条平行线被平行于它们的横截线所截时，同位角相等。
三、相交线的概念和性质相交线是指在同一个平面内相互交叉或相交的直线。
相交线的性质如下：1. 相交线的交点称为顶点，顶点两侧的角分别称为锐角、钝角或直角。
2. 相交线形成的两组对应角相等，即共鸣。
3. 相交线形成的补角相等，即一个角是另一个角的补角，它们的和等于90°。
四、平行线与相交线的应用1. 平行线与相交线在平面几何证明中经常被应用。
例如，证明两条直线平行时常常使用平行线公理和对应角相等的性质。
2. 平行线与相交线在解决实际问题中也起到重要作用。
例如，在建筑工程中，通过平行线和相交线可以确定物体的垂直、水平方向，从而保证建筑结构的稳定性和安全性。
3. 平行线与相交线还与三角形的性质有密切关系。
在研究三角形的内部角度和边的关系时，平行线与相交线的性质常常用来辅助推导和证明。
综上所述，平行线与相交线是几何学中重要的概念。
通过掌握平行线与相交线的概念、判定、性质和应用，可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识，提高问题解决能力和证明能力。
七年级下册第二章相交线与平行线复习总结(全)
第二章 相交线与平行线考点一、余角与补角：1、 如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角．2、 如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角． 典型例题：例１：如图所示，点A 、O 、B 在一条直线上，OC 垂直于AB 垂足是O ，若∠1＝∠2，则图互余、互补的角有哪些？3、性质：（1）同角或等角的余角相等；（2）同角或等角的补角相等。
例2：如图CD 垂直于AB ，且∠1＝∠2. (1) 求∠DCF 与∠DCE 有什么关系,为什么? (2) 求∠BCF 与∠DCE 有什么关系,为什么?3、 两个角有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，对顶角的性质：对顶角相等。
例3：下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（ ）12121212A ．0B ．1C ．2D ．3 例4：已知一个角的余角比它的补角的135还少4°求这个角。
例5：如图所示，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠AOF ＝3∠FOB ，∠AOC=90°,求∠EOC 的度数。
技巧总结：要注意什么是互补，什么是互余；同角的余角和补角相等；对应的课堂练习：一、填空题1.如图1，直线l1与l2相交，∠1=50°，则∠2=_________，∠3=_________.图1 图22.如图2，直线AB与CD相交于O点，且∠AOD=90°，则∠AOC=_________=_________ =_________=_________.3.如图3，若AO⊥CO，BO⊥DO，∠BOC=150°，则∠DOC=________，∠AOD=________.图3 图44.如图4，直线AB与CD相交于O，∠EOD=90°，正确填写下列两角关系的名称.∠1与∠2:______________________________________________________∠2与∠3:______________________________________________________∠2与∠4:______________________________________________________∠1与∠4:______________________________________________________三、选择题1.两条直线相交于一点，则共有对顶角的对数为（）A.1对B.2对C.3对D.4对2.下面说法正确的个数为（）①对顶角相等②相等的角是对顶角③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等A.1个B.2个C.3个D.4个3.若∠1和∠2互余，∠2与∠3互余，∠1=40°，则∠3等于（ ） A.40°B.130°C.50°D.140°4.如图，∠1和∠2是对顶角的图形有（ ）A.（1）（3）B.（2）（3）C.（3）D.（3）（4）一、判断题1.若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余.（ ）2.若∠A 与∠B 互补，则∠A +∠B =180°.（ ）3.若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3互补.（ ）4.若∠AOB +∠BOC =180°，则点A 、O 、C 必在同一直线上.（ ）5.若∠α+∠β+∠γ=90°，则∠α、∠β、∠γ互余.（ ） 四、解答题1.如图，AO ⊥BO ，直线CD 经过点O ，∠AOC =30°，求∠BOD 的度数.考点二、探索直线平行的条件同位角的特征：（１）在被截两直线的同旁；（２）在截线的两旁 内错角的特征：（１）在被截两直线之间；（２）在截线的两旁 同旁内角的特征：（１）在被截两直线之间；（２）在截线的同旁 例1：如图，写出图中的同位角、内错角和同旁内角。
人教版七年级数学下册 第五章 相交线与平行线 全章知识点归纳总结
相交线与平行线 全章知识点归纳总结5.1相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 符号语言记作：如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.3、垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线. 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上.画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，A B C D O⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线.4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆.如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长.PO 是垂线段.PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条.现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用.5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度. 联系：具有垂直于已知直线的共同特征.(垂直的性质)⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间. 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离.⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同.5.2平行线1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b . 2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行. 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行如左图所示，∵b ∥a ，c ∥aPA BOa bc∴b ∥c 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行.5、三线八角两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角.如图，直线b a ,被直线l 所截①∠1与∠5在截线l 的同侧，同在被截直线b a ,的上方，叫做同位角（位置相同） ②∠5与∠3在截线l 的两旁（交错），在被截直线b a ,之间（内）内且交错）③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线b a ,之间（内），叫做同旁内角.④三线八角也可以成模型中看出.同位角是“A ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型.6、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全. 例如：如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD ；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8.我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图.如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD 是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角.ab l1 2 3 4 5 6 7 81 6 B A D23 45 7 89 F EC A B2 1 A C 1 7A B C D 2 6A DB F 1 BAF E5 8 C注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成.7、两直线平行的判定方法方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：∵ ∠3＝∠2 ∴ AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） ∵ ∠1＝∠2 ∴ AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） ∵ ∠4＋∠2＝180°∴ AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行.平行线的判定是写角相等，然后写平行.注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”.上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”.⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种： ① 如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.② 如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行.典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正： ⑴不相交的两条直线必定平行线.⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交. ⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行解答：⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏. ⑵正确⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的.典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？解答：⑴由∠2＝∠B 可判定AB ∥DE ，根据是同位角相等，两直线平行；A B C DE F 1 2 3 4⑵由∠1＝∠D 可判定AC ∥DF ，根据是内错角相等，两直线平行；⑶由∠3＋∠F ＝180°可判定AC ∥DF ，根据同旁内角互补，两直线平行.5.3平行线的性质1、平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 几何符号语言： ∵AB ∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） ∵AB ∥CD ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）∵AB ∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 2、两条平行线的距离如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离.注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，则垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离.3、命题：⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题. ⑵命题的组成每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……，那么……”的形式.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显.对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式. 注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.A B C DE F 1 2 3 4 A E G BC FH D4、平行线的性质与判定①平行线的性质与判定是互逆的关系 两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等； 两直线平行同旁内角互补.其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质.典型例题：已知∠1＝∠B ，求证：∠2＝∠C证明：∵∠1＝∠B （已知）∴DE ∥BC （同位角相等，两直线平行） ∴∠2＝∠C （两直线平行 同位角相等） 注意，在了DE ∥BC ，不需要再写一次了，得到了DE ∥BC ，这可以把它当作条件来用了.典型例题：如图，AB ∥DF ，DE ∥BC ，∠1＝65°求∠2、∠3的度数 解答：∵DE ∥BC （已知）∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）∵AB ∥DF （已知） ∴AB ∥DF （已知）∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°5.4平移1、平移变换①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 ③连接各组对应点的线段平行且相等 2、平移的特征：①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化.②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.典型例题：如图，△ABC 经过平移之后成为△DEF ，那么：⑴点A 的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵点B 的对应点是点＿＿＿＿＿＿. ⑶点＿＿＿＿＿的对应点是点F ；⑷线段AB 的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；⑸线段BC 的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；A D F BE C 1 2 3⑹∠A的对应角是＿＿＿＿＿＿.⑺＿＿＿＿的对应角是∠F.解答：⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB.思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答.。
平行线与相交线的知识点总结与归纳
平行线与相交线的知识点总结与归纳平行线与相交线是几何学中的重要概念，它们在解决直线与平面关系、求解角度、证明定理等问题中起着关键作用。
以下是对平行线与相交线相关知识点的总结与归纳。
一、平行线与相交线的定义平行线：在一个平面内，如果两条直线没有交点，且在这个平面内无论延长多长都不会相交，那么这两条直线称为平行线。
相交线：在一个平面内，如果两条直线在某一点相交，那么这两条直线称为相交线。
二、平行线的性质1. 平行线之间的距离相等：平行线在任意两点之间的距离都相等。
2. 平行线的倾斜角相等：如果两条直线分别与一条横线交于两个平行线上的点，那么这两条平行线的倾斜角相等。
3. 平行线与平面的交点：如果一直线与两条平行线在同一平面内相交，那么它将与这两条平行线在同侧的点分别成比例。
三、平行线与角度的关系1. 同位角：当两条平行线被一条相交线切割时，同位角的对应角是相等的。
即形成的对应角、内错角、同位角互相相等。
2. 内错角：当两条平行线被一条相交线切割时，内错角的对应角是相等的。
3. 全等三角形与平行线：如果两个三角形的对应边相等，且它们的其中一边平行，那么这两个三角形全等。
因此，对应角也相等。
四、平行线的证明方法1. 使用基本等式：例如，利用垂直线与平行线的性质，可以通过等式推导来证明平行线的存在。
2. 利用反证法：即通过假设给定的命题不成立，然后推导出矛盾来证明平行线的存在。
五、平行线与相交线的应用1. 证明几何定理：平行线与相交线常用于证明几何定理，如平行线分割三角形、平行线夹角定理等。
2. 结合实际问题：平行线与相交线的概念也可以在日常生活与工作中得到应用，如建筑设计、地理测量、交通规划等。
综上所述，平行线与相交线是几何学中的重要概念，掌握了这些知识点，我们可以更好地解决直线与平面关系、求解角度、证明定理等问题。
在学习与应用过程中，我们还可以采用不同的证明方法，灵活运用平行线与相交线的性质，丰富几何学的研究与实践。
相交线与平行线单元复习小结
相交线与平行线单元复习小结一、相交线1.相交线：两条直线相交，有且只有一个交点。
（反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。
）2.对顶角----特点：（1）有一个公共定点（2）两边互为反向延长线-----性质：对顶角相等3.邻补角：两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念。
要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。
----特点：（1）有一个公共定点（2）有一条公共边（3）（3另一边互为反向延长线-----性质：邻补角互补（和为180°）4.垂线：同一平面内，两条直线相交，所成的夹角均为90°时，称这两条直线互相垂直。
垂直是两直线相交的特殊情况。
注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a 。
垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。
垂直时，一定要用直角符号表示出来。
性质：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）垂线段最短----点到直线的距离：就是点到直线的垂线段的长度。
注：①、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；等角的对顶角相等。
反过来亦成立。
②、表述邻补角、对顶角时，要注意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。
二、平行线1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线。
-----特点：没有交点，平行线永不相交。
2.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
推论----如果有一条直线与其它两条直线平行，那么另外两条直线也平行。
3. 三线六面八角：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角形成方式-------两条直线被第三条直线所截（这两条直线不一定平行，）4.特别注意：①三角形的三个内角均互为同旁内角；②同位角、内错角、同旁内角的称呼并不一定要建立在两条平行的直线被第三条直线所截的前提上才有的，这两条直线也可以不平行，也同样的有同位角、内错角、同旁内角。
名称-----同位角（4对）内错角（2对）同旁内角（2对）（成对出现）4.平行线的判定方法----（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行（4）如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
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相交线与平行线单元复习小结
一、相交线
1.相交线：两条直线相交，有且只有一个交点。
（反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。
）
2.对顶角----特点：（1）有一个公共定点
（2）两边互为反向延长线
-----性质：对顶角相等
3.邻补角：两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念。
要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。
----特点：（1）有一个公共定点
（2）有一条公共边
（3）（3另一边互为反向延长线-----性质：邻补角互补（和为180°）
4.垂线：同一平面内，两条直线相交，所成的夹角均为90°时，称这两条直线互相垂直。
垂直是两直线相交的特殊情况。
注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a 。
垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。
垂直时，一定要用直角符号表示出来。
性质：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（2）垂线段最短----点到直线的距离：就是点到直线的垂线段的长度。
注：①、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；等角的对顶角相等。
反过来亦成立。
②、表述邻补角、对顶角时，要注意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。
二、平行线
1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线。
-----特点：没有交点，平行线永不相交。
2.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
推论----如果有一条直线与其它两条直线平行，那么另外两条直线也平行。
3. 三线六面八角：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角形成方式-------两条直线被第三条直线所截（这两条直线不一定平行，）
4.特别注意：
①三角形的三个内角均互为同旁内角；
②同位角、内错角、同旁内角的称呼并不一定要建立在两条平行的直线被第三条直线所截的前提上才有的，这两条直线也可以不平行，也同样的有同位角、内错角、同旁内角。
名称-----同位角（4对）内错角（2对）同旁内角（2对）（成对出现）
4.平行线的判定方法----
（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行
（3）同旁内角互补，两直线平行（4）如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
一个重要结论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
5.平行线的性质-------
（1）两直线平行，同位角相等
（2）两直线平行，内错角相等
（3）两直线平行，同旁内角互补
6.两条平行线间的距离-----就是两条平行线间的垂线段的长度。
一个结论：平行线间的距离处处相等。
三、命题
判断一件事情的语句叫命题。
命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。
1. 定义：判断一件事情的语句
2. 组成----(1)题设（如果……）（2）结论(那么……)
3.
分类----（1）真命题(2)假命题
四、平移
1. 定义：一个图形沿着一定的方向平行移动。
2. 特点----
（1）平移后图形的形状、大小不变，位置改变
（2）对应点所连接的线段平行（或在同一直线上），对应角相等。
特征：发生平移时，新图形与原图形的形状、大小完全相同（即：对应线段、对应角均相等）；对应点之间的线段互相平行（或在同一直线上）且相等，均等于平移距离。
画法：掌握平移方向与平移距离，利用对应点（一般指图形的顶点）之间
连线段平行、连线段相等性质描出原图形顶点的对应点，再依次连接，就形成平移后的新图形。
相交线提高练习题
1、如图1，直线AB、CD相交于点O,且∠DOE=∠BOD,OF
平分∠AOE,
若∠AOC=28°，则∠EOF的度数.
2、已知：如图2，直线AB和CD相交于O，OE平分∠BOC，
且∠AOC=68°，求∠BOE的度数.
3、如图3，∠AOC与∠BOC是邻补角，OD、OE分别是
∠AOC与∠BOC的平分线，试判断OD与OE的位置关系，
并说明理由．
4、如图4，已知直线AB与CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O，
若∠DOE＝3∠COE，求（1）∠BOC的度数．（2）∠BOD的度数.
（3）说明OC是∠AOE的平分线.
5、如图5，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，
G O F E D C B
A 求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．
6、如图6，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠AOD 的对顶角是 ，
∠BOF 的对顶角是 ，∠BOE 的邻补角是 .
7、如图7，直线AB 、CD 相交于O ，OE ⊥CD 于O ，OF ⊥AB 于O ，∠1=65°，求
∠BOE 的度数．
8、如图,直线AB,CD,EF 交于点O,OG 平分∠BOF,且CD ⊥EF,∠AOE=70°,•求∠DOG 的度数.
9、已知：如图9，∠1=35°，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O.求∠2、∠3、∠4
的度数.
.
10、如图10，直线AB、CD、EF交于点O，∠EOG是它的余角的2倍，
∠AOE =2∠DOF，且有OG OA，求∠EOG的度数.
11、如图11，AB、CD、EF相交于O点，EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，OH为∠DOG的平分线，
⑴若∠AOC∶∠COG = 4∶7，求∠DOF的大小；
⑵若∠AOC∶∠DOH = 8∶29，求∠COH的大小.。