导数应用八个专题汇总

1、导数应用之函数单调性题组1:1、求函数32()3912f x x x x =--+的单调区间、2、求函数2()3ln f x x x x =-+的单调区间、3、求函数2()3ln f x x x x =+-的单调区间、4、求函数1()ln f x x x=的单调区间、5、求函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++的单调区间、 题组2:1、讨论函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+>的单调区间、2、讨论函数32()3912f x x ax x =+--的单调区间、3、求函数321()(2)4132mf x mx x x =-+++(0)m >的单调递增区间、4、讨论函数1ln )1()(2+++=ax x a x f 的单调性、5、讨论函数1()ln 1af x x ax x-=-+-的单调性、 题组3:1、设函数32()1f x x ax x =+++、 (1)讨论函数()f x 的单调区间;(2)设函数()f x 在区间21()33--，内就是减函数,求a 的取值范围.2、(1)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递增,求实数a 的取值范围、 (2)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递减,求实数a 的取值范围、3、已知函数32()(3)xf x x x ax b e -=+++、 (1)若3a b ==-,求()f x 的单调区间;(2)若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调递增,在(,2),(,)αβ+∞单调递减,证明:6βα-＞、解:(1)当a="b=" -3时,f(x)=(x +3x -3x-3)e ,故=………………………………3分当x<-3或0<x<3时,>0; 当-3<x<0或x>3时,<0,从而f(x)在(-,-3),(0,3)上单调递增,在(-3,0),(3,+)上单调递减………、 6分(2)…、、7分……………、……………8分将......、、...、、 (10)………………………………………………、、11分 、由此可得a<-6,于就是>6。

………………………………………………… 12分4、设函数322()1f x x ax a x =+-+,2()21g x ax x =-+, (1)若0a >,求函数()f x 的单调区间;(2)若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数,求a 的取值范围.2、导数应用之极值与最值1、设函数2132()x f x x eax bx -=++,且2x =-与1x =均为()f x 的极值点.(1)求a ,b 的值,并讨论()f x 的单调性; (2)设322()3g x x x =-,试比较()f x 与()g x 的大小.2、设函数2()()f x x x a =-、(1)若'(1)3f =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (2)求函数()y f x =在区间[]2,0上的最大值、3、设函数233)(x ax x f -=.(1)若2=x 就是函数)(x f y =的极值点,求a 的值;(2)若函数()()()g x f x f x '=+,[02]x ∈，,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围.4、已知函数321()23f x x x =+-、 (1)设n S 就是正项数列{}n a 的前n 项与,13a =,且点211(,2)n n n a a a ++-在函数'()y f x =的图象上,求证:点(,)n n S 也在'()y f x =的图象上; (2)求函数()f x 在区间(1,)a a -内的极值、5、设函数322()31f x ax bx a x =+-+在1x x =,2x x =处取得极值,且122x x -=.(1)若1a =,求b 的值,及函数()f x 的单调区间; (2)若0a >,求实数b 的取值范围.6、设函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值,且12012x x <<<<、证明:0a >,并求2a b +的取值范围、7、已知1x =就是函数3213()(1)532f x ax x a x =-+++的一个极值点, (1)求函数()f x 的解析式;(2)若()y f x =的图像与直线2y x m =+有三个不同的交点,求实数m 的取值范围、8、已知3x =就是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点、 (1)求()f x 的解析式及其单调区间;(2)若直线y b =与曲线()y f x =有三个交点,求b 的取值范围、9、设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R . (1)若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围;(2)若对于任意的[]22a ∈-，,不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立,求b 的取值范围.10、设3x =就是函数23()()xf x x ax b e-=++的一个极值点、(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数()f x 的单调区间; (2)设0a >,225()()4xg x a e =+、若存在．．[]12,0,4x x ∈,使12()()1f x g x -<总成立,求a 的取值范围、11、已知函数21()kx f x x c+=+(0c >且1c ≠)恰有一个极大值点与一个极小值点,其中一个就是x c =-. (1)求函数()f x 的另一个极值点;(2)求函数()f x 的极大值M 与极小值m ,并求1M m -≥时k 的取值范围.12、设函数32()f x ax bx cx d =+++的图像∏上有两个极值点,P Q ,其中P 为坐标原点, (1)当点Q 的坐标为(1,2)时,求()f x 的解析式;(2)当点Q 在线段50x y +-=(13)x ≤≤上时,求曲线∏的切线斜率的最大值、3、导数应用之函数的零点题组1:1、函数2()3xf x x =-在区间[1,0]-内有没有零点？为什么？ 2、函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间就是【 】、A 、(2,1)--B 、(1,0)-C 、(0,1)D 、(1,2) 3、函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x 可以就是【 】、A 、()1xf x e =- B 、()41f x x =- C 、2()(1)f x x =- D 、1()ln()2f x x =-4、若234a b <<<<,且函数()log a f x x x b =+-的零点0(,1)x n n ∈+()n Z ∈,则n =【 】、A 、1B 、2C 、3D 、4题组2:5、设函数)(x f y =的图像在[,]a b 上连续,若满足____________,则方程0)(=x f 在[,]a b 上有实根、6、已知0x 就是函数1()21xf x x=+-的一个零点、若10(1,)x x ∈,20(,)x x ∈+∞,则【 】、 A 、1()0f x <,2()0f x < B 、1()0f x <,2()0f x > C 、1()0f x >,2()0f x < D 、1()0f x >,2()0f x >7、函数1()f x x x=+的零点个数为____________、 8、求证:函数23()21f x x x =---在区间(0,2)内没有零点、题组3:9、函数2()log f x x x =+在区间(0,1)内就是否有零点？为什么？ 10、求证:函数4()21f x x x =--在区间[1,2]-内至少有两个零点、 11、求证:函数()(3)(8)1f x x x =---有且只有两个零点、 12、求证:函数2()ln 1f x x x x =-++有且只有两个零点、13、设函数c bx ax x f ++=2)(,若0)1(>f ,0)2(<f ,则)(x f 在区间)2,1(上的零点个数为【 】、A 、至多有一个B 、有且只有一个C 、有一个或两个D 、一个也没有14、设(1,)m ∈+∞,求证:函数()ln()f x x x m =-+有且只有两个零点、15、判断函数2()lg f x x x =-在区间(0,10)内的零点个数,并说明理由、 题组4:16、设函数()1n n f x x x =+-*(,2)n N n ∈≥、(1)证明:()n f x 在区间)1,21(内存在唯一的零点;(2)设n x 就是()n f x 在)1,21(内的零点,判断数列23,,,nx x x 的增减性.17、设函数2()(2)ln f x x a x a x =---.(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值; (3)若方程()f x c =有两个不等实根12,x x ,求证:12()02x x f +'>.18、设函数2ln 2)(x mx x x f -+=有两个零点21,x x ,求证:12()02x x f +'<、19、设函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ,2x ,求证:212x x e >、20、记函数!!2!11)(2n x x x x f nn ++++= ()n N +∈,求证:当n 为偶数时,方程0)(=x f n 没有实数根; 当n 为奇数时,方程0)(=x f n 有唯一实数根n x ,且n n x x <+2、21、设函数232222()1123nn x x x x f x n=-+++++(,)x R n N +∈∈, (1)证明:对每个n N +∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =; (2)证明:对任意p N +∈,由(1)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<、4、导数应用之图像的切线题组1:1、求平行于直线910x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程、2、求垂直于直线320x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程、3、求与直线320x y -+=夹角为45︒,且与抛物线22y x =相切的直线方程、4、设函数()sin f x x =图像上动点P 处切线的倾斜角为θ,求θ的取值范围、题组2:5、求函数3()2f x x =的图像C 在点(1,2)P 处的切线l 方程,以及曲线C 与切线l 的所有交点坐标、6、求函数3()2f x x =的图像经过点(1,2)P 的切线方程、7、求函数3()2f x x =的图像经过点(1,10)P 的切线方程、8、求经过坐标原点,且与函数9()5x f x x +=+的图像相切的直线方程、9、设函数()bf x ax x=-,曲线C :()y f x =在点(2(2))f ，处的切线为74120x y --=. (1)求函数()f x 的解析式;(2)求证:曲线C 上任意一点处的切线与直线y x =,以及y 轴所围成三角形的面积为定值、10、已知直线23ln 20x y +-+=就是函数()ln mf x x x=+的图像C 的一条切线、 (1)求()f x 的解析式;(2)若(,)P s t 就是曲线C 上的动点,求曲线C 在点P 处的切线纵截距的最小值、 题组3:11、已知直线y x =就是函数32()31f x x x ax =-+-图像的一条切线,求实数a 的值、12、已知0a >,且过点(,)P a b 可作函数3()f x x x =-图像的三条切线,证明:()a b f a -<<、13、设函数3211()32f x x ax bx c =-++(0)a >的图像C 在点(0,(0))P f 处的切线为1y =、 (1)确定,b c 的值;(2)设曲线C 在1122(,()),(,())A x f x B x f x 处的切线都过(0,2)Q ,证明:若12x x ≠,则12'()'()f x f x ≠; (3)若过点(0,2)Q 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围、14、已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，,(13]，内各有一个极值点. (1)求24a b -的最大值;(2)当248a b -=时,设曲线C :()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线l 穿过曲线C (穿过就是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求()f x 的表达式.15、由坐标原点(0,0)O 向曲线x x x y +-=233引切线,切于不同于点O 的点111(, )P x y ,再由1P 引切线切于不同于1P 的点222(,)P x y ,如此继续下去……,得到点(,)n n n P x y ,求1n x +与n x 的关系,及n x 的表达式、巩固练习:1、求函数3()2f x x =的图像经过点(1,8)P -的切线方程、 2、求函数23()3x f x x +=+的图像经过点1(3,)2P 的切线方程、3、如图,从点1(0, 0)P 作x 轴的垂线交于曲线xy e =于点1(0, 1)Q ,曲线在1Q 点处的切线与x 轴交与点2P ;再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ,依次重复上述过程得到一系 列的点:1P ,1Q ,2P ,2Q ,…,n P ,n Q ,记点k P 的坐标为(, 0)k k P x (1,2,3,,)k n =、(1)求1k x +与k x 之间的等量关系; (2)求112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++、5、导数应用之存在与任意1、已知函数()(0)af x x b x x=++≠,其中,a b R ∈. (1)若曲线)(x f 在点))2(,2(f P 处的切线方程为13+=x y ,求函数()f x 的解析式; (2)若对于任意的1[,2]2a ∈,不等式10)(≤x f 在1[,1]4x ∈恒成立,求b 的取值范围.2、已知函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+、(1)求()f x 的单调区间; (2)若()f x m <对1[1,1]x e e -∈--恒成立,求m 的取值范围;3、设函数1()ln f x x x=、 (1)求()f x 的单调区间; (2)若12axx >对(0,1)x ∈恒成立,求a 的取值范围、4、已知函数22()ln (1)1x f x x x =+-+、(1)求()f x 的单调区间; (2)若1(1)n e n+α+≤对n N +∈都成立,求α的最大值、5、设函数2)1()(ax e x x f x --=、 (1)若21=a ,求)(x f 的单调区间; (2)若当0≥x 时,0)(≥x f ,求a 的取值范围、6、设函数x ax e x f x--=2)(、(1)若0=a ,求)(x f 的最小值; (2)若当0≥x 时,()1f x ≥恒成立,求a 的取值范围、7、设函数()xf x e ax =-的图象与y 轴交于点A ,曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-<a 、 (1)求()f x 的极值;(2)证明:当0>x 时,xe x <2;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当()∞+∈，0x x ,恒有xce x <2、 8、设函数()cos f x ax x =+,(1)讨论函数()f x 在区间[0,]π内的单调性;(2)若()1sin f x x ≤+对[0,]x π∈恒成立,求实数a 的取值范围、9、设函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈、(1)求证:()0f x ≤; (2)若sin x a b x <<对(0,)2x π∈恒成立,求a 的最大值与b 的最小值、10、已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f , (1)讨论函数)(x f 的单调性;(2)设1-<a ,且对任意的),0(,21+∞∈x x ,都有||4)()(|2121x x x f x f -≥-,求a 的取值范围、11、已知3x =就是函数23()()xf x x ax b e-=++的一个极值点、(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数()f x 的单调区间; (2)设0a >,225()()4xg x a e =+、若存在[]12,0,4x x ∈,使得12()()1f x g x -<成立,求a 的取值范围、12、已知函数321()cos 22f x ax x x c θ=+-+的图像过点37(1,)6,且在[2,1]-上递减,在[1,)+∞上递增、(1)求()f x 的解析式;(2)若对任意的12,[,3]x x m m ∈+都有1245()()2f x f x -≤成立,求正实数m 的取值范围、13、设函数5)(,14)22(31)(23+=+++-=mx x g x x mmx x f 、 (1)当0m >时,求函数)(x f 的递增区间;(2)就是否存在负实数m ,使得对任意的12,[1,2]x x ∈,都有1)()(21≤-x f x g ？若存在,求m 的范围;若不存在,请说明理由、6、导数应用之极值点偏移1、(1)设不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 均在二次函数2()f x ax bx c =++(0abc ≠)的图像上,记直线AB 的斜率为k ,求证:12'()2x x k f +=; (2)设不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 均在“伪二次函数”2()ln g x ax bx c x =++(0abc ≠)的图像上,记直线AB 的斜率为k ,试问:12'()2x x k g +=还成立不？2、设函数2()(12)ln ()f x ax a x x a =+--∈R .(1)当0a >时,求函数()f x 的单调递增区间;(2)记函数()y f x =的图像为曲线C ,设11(,)A x y ,22(,)B x y 就是曲线C 上不同的两点,M 为线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N .试问:曲线C 在点N 处的切线就是否平行于直线AB ？3、设函数2()(2)ln f x x a x a x =---. (1)求函数()f x 的单调区间;(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值; (3)若方程()f x c =有两个不等实根12,x x ,求证:12()02x x f +'>.4、设函数2ln 2)(x mx x x f -+=、(1)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为n x y +=2,求实数n m ,的值; (2)若4->m ,求证:当0>>b a 时,有2)()(22->--b a b f a f ;(3)若函数()f x 有两个零点21,x x )(21x x <,且0x 就是21,x x 的等差中项,求证:0)('0<x f 、5、设函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ,2x ,求证:212x x e >、6、设函数()xf x e ax a =-+的两个零点为1x ,2x ,求证:2121x x x x +<、7、设函数()xf x e ax =-,其中a e >,(1)求证:函数()f x 有且仅有两个零点1x ,2x ,且1201x x <<<; (2)对于(1)中的1x ,2x ,求证:12'()'()0f x f x +>、8、设函数()x f x e mx =+的图像在点(0,(0))P f 处的切线方程为210x y -+=,求证:对满足a b c <<的实数,,a b c ,都有()()()()f b f a f c f b b a c b--<--成立、7、导数应用之不等式证明(1)1、证明:对任意的n N +∈,都有3211)11ln(nn n ->+、2、已知,m n N +∈,且1m n <<,求证:(1)(1)nmm n +>+、3、设函数1()ln(1),1)nf x a x x =+--（ (1)当2n =时,求函数()f x 的极值;(2)当1a =时,证明:对任意的n N +∈,当2x ≥时,都有() 1.f x x ≤-4、已知函数()ln(1)1xf x e a x =-+-在点(0,(0))P f 处的切线垂直于y 轴, (1)求函数()f x 的单调区间; (2)当0m n >>时,求证:1ln(1)ln(1)m ne m n -->+-+、5、设函数xe xx f =)(,且)(')(1x f x f =,)(')(1x f x f n n =+()n N +∈、 (1)求)(1x f ,)(2x f ,)(3x f ,)(x f n 的解析式;(2)求证:对任意的实数b a ,,以及任意的正整数n ,都有)()()(122n f b f a f n n <--、6、设函数x x mx x f ln )(-=在1=x 处取得极值,数列}{n a 满足111<<-a e ,1()n n a f a +=()n N +∈、(1)求函数()f x 的单调区间;(2)求证:对任意的*N n ∈,都有11<<-n a e ;(3)求证:对任意的*N n ∈,都有122++<+n n n a a a 、7、记函数!!2!11)(2n x x x x f nn ++++= ()n N +∈,求证:当n 为偶数时,方程0)(=x f n 没有实数根;当n 为奇数时,方程0)(=x f n 有唯一实数根n x ,且n n x x <+2、8、设函数232222()1123nn x x x x f x n=-+++++(,)x R n N +∈∈, (1)证明:对每个n N +∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =; (2)证明:对任意p N +∈,由(1)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<、8、导数应用之不等式证明(2)1、设函数1()ln xf x x ax-=+、 (1)若函数()f x 在),1[+∞上为增函数,求正实数a 的取值范围;(2)当1a =时,求证:对大于1的任意正整数n ,都有1111ln 234n n>+++⋅⋅⋅+、2、设函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0,其中>0a 、(1)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; (2)证明:对大于1的任意正整数n ,都有)12ln(211215131+<-+++n n 、3、设函数2()f x kx =,()ln g x x =,(1)讨论关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e -内的实数根的个数; (2)求证:对任意的正整数n ,都有44444ln1ln 2ln 3ln 4ln 112342n n e+++++<、4、设函数2()ln(1)f x x a x =-+,(1)若函数()f x 在区间12(,)33上递增,求实数a 的取值范围; (2)证明:当0x >时,2ln(1)x x +<; (3)证明:对大于1的任意正整数n ,都有44441111(1)(1)(1)(1)2123e n ++++<、5、设函数2()xf x ax b=+,其中(1)1f =,12()23f =、在数列{}n x 中,112x =,且1()n n x f x +=、(1)求数列{}n x 的通项n x 、(2)求证:对任意的正整数n ,都有12312n x x x x e>、6、设函数()1xf x e ax =--,(1)若()0f x ≥对x R ∈均成立,求正实数a 的取值集合;(2)求证:对任意的正整数n ,都有123()()()()1n n n n n en n n n e ++++<-、7、设函数()1xf x e x =--,(1)求证:函数()f x 有且只有一个零点;(2)求证:对任意的正整数n ,都有13521()()()()2222n n n n n n n nn -++++<8、(1)设函数r x rx x f r-+-=1)()0(>x ,其中10<<r 、求函数)(x f 的最小值;(2)用(1)的结果证明命题:设01≥a ,02≥a ,21,b b 为正实数,若121=+b b ,则22112121b a b a a a bb+≤; (3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明您所推广的命题、9、(1)求函数1ln )(+-=x x x f 的最大值; (2)设,k k a b 均为正实数,证明:若112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++,则12121n b b b n a a a ≤;(3)设,k k a b 均为正实数,证明:若121n b b b +++=,则1222212121n b b b n n b b b b b b n≤≤+++、。