2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题五《导数及其应用》

2019届高三一轮复习理科数学专题卷
专题五 导数及其应用
考点13：导数的概念及运算（1,2题）
考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题）
考试时间：120分钟 满分：150分
说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I 卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

）
1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 函数()2sin f x x =的导数是（ ）
A.2sin x
B.22sin x
C.2cos x
D.sin 2x 2．【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 已知()2
1cos 4
f x x x =
+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ）
3.【2017课标II ，理11】 考点14 易
若2x =-是函数21
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）
A.1-
B.32e --
C.3
5e - D.1 4．【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考 考点14 中难 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2
e
a b ++的取值范围是（ ） A.2,2e e ⎛⎫
++∞
⎪⎝⎭
B.[),e +∞
C.[)2,+∞
D.[)2,e 5．【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中 考点14 难
已知函数2
x y =的图象在点),(2
00x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（ ）
A ．2100<
<x
B ．12
1
0<<x C ．2220<<x D ．320<<x 6．【来源】2017届河北磁县一中高三11月月考 考点14 易
已知函数()f x 的导数为()f x ′，且()()()10x f x xf x ++>′对x R ∈恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）
A.()f x
B.()xf x
C.()x e f x
D.()x xe f x
7．【来源】2017届江西抚州市七校高三上学期联考 考点14 易 已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()
x f x g x e
=
的递减区间为（ ）
A.()0,4
B.()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C.40,
3⎛⎫
⎪⎝⎭
D.()()0,1,4,+∞ 8．【来源】2017届山东省青州市高三10月段测 考点14中难
定义在R 上的函数()f x 满足：'()1()f x f x >-，(0)6f =，'()f x 是()f x 的导函数，则不等式()5x
x
e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(,0)(3,)-∞+∞
C ．(,0)
(1,)-∞+∞ D ．(3,)+∞
9.【2017课标3，理11】考点14 难
已知函数
211
()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ）
A ．12-
B ．13
C ．1
2
D ．1
10．【来源】2017届河南中原名校高三理上质检三 考点14 难 已知函数()f x 的定义域为R ,()'
f
x 为函数()f x 的导函数，当[)0,x ∈+∞时，
()'2sin cos 0x x f x ->且x R ∀∈，()()cos21f x f x x -++=.则下列说法一定正确的
是（ ） A.
15324
643
f f ππ⎛⎫⎛⎫
-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B.
15344
643
f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C
3134
324
f f ππ⎛⎫⎛⎫
->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D.
1332
4
43f f ππ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11．【来源】2017届辽宁沈阳二中高三理上学期期中 考点14 中难 已知函数 ()()()()232
5ln ,26,2
f x x ax a x a R
g x x x x g x =--∈=-+
+-在[]1,4上的最大值为 b ，当[)1,x ∈+∞时，()f x b ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.2a ≤ B.1a ≤ C.1a ≤- D.0a ≤ 12．【来源】2017届辽宁盘锦高级中学高三11月月考 考点15 中难 已知0a >，0b >，
'()f x 为()f x 的导函数，若()ln
2
x
f x =，且31112'()12
b
b dx f a b x =+-⎰
，则a b +的最小值为（ ）
A ．
B ．．92 D ．9
2+第Ⅱ卷（非选择题）
二.填空题（每题5分，共20分） 13．【来源】2017届广东省仲元中学高三9月月考 考点14易 已知函数ln 4
()x f x x
+=
，求曲线)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程____________
14．【来源】2017届广西陆川县中学高三8月月考 考点14 中难
若函数2
()x
f x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是 . 15．【来源】2017届湖北襄阳四中高三七月周考二 考点14 中难
若函数21()ln 12
f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ． 16．【来源】2015-2016新疆哈密地区二中高二下期末考试 考点15易
如图，阴影部分的面积是_________．
三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）
【来源】2017届四川遂宁等四市高三一诊联考 考点14 易
已知函数()()x f x ae x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数， 2.71828e =…． （Ⅰ）判断函数()f x 的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）若[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，求a 的取值范围． 18．（本题满分12分）
【来源】2017届河南百校联盟高三文11月质监 考点14 中难 已知函数()x
f x e ax =-，（0a >）.
（Ⅰ）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值；
（Ⅱ）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围. 19．（本题满分12分）
【来源】2017届河北唐山市高三理上学期期末 考点14中难 已知函数()()ln ,ln 12x ax f x g x x x x ⎛
⎫=
=-- ⎪⎝⎭
. （1）求()y f x =的最大值；
（2）当10,a e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()(]()
,0,y g x x e =∈有最小值. 记()g x 的最小值为()h a ，
求函数()h a 的值域.
20．（本题满分12分）
【来源】2017-2018学年江苏南通海安县实验中学高二上学期期中 考点14中难 已知函数2
2()()x
f x x x ce
c R -=-+∈.
（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围；
（2）若函数5
()()'()2
F x f x f x =+-
（其中'()f x 为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围. 21．（本题满分12分）
【来源】2017届四川自贡市高三一诊考试 考点14中难
已知函数()()()()()121
'10'2
x f x f e f x x f x -=-+是()f x 的导数，e 为自然对数的底数），
()()21
2
g x x ax b a R b R =++∈∈，.
（Ⅰ）求()f x 的解析式及极值；
（Ⅱ）若()()f x g x ≥，求()12
b a +的最大值.
22.（本题满分12分）
【2017课标1，理21】已知函数
2()(2)x x
f x ae a e x =+--.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若
()
f x有两个零点，求a的取值范围.
参考答案
1．D 【解
析
】
由
题
意
得
，
函
数
的
导
数
为
()2(sin )2sin (sin )2sin cos sin 2f x x x x x x x '''==⋅==.
2．A
【解析】由题意得，()1
sin 2
f x x
x '=-， 所以()11
()sin()[sin ]()22
f x x x x x f x ''-=---=--=-，所以函数()f x '为奇函数，即
函数的图象关于原点对称，当2x π=时，1
()1024
f ππ'=-<，当2x >时，()0f x '>恒
成立，故选A.
3．【答案】A 【解析】
4．C
【解析】设切点为),(00y x ，则有2)ln(1
000-=⇒⎪⎩⎪
⎨⎧+=+=+ae b b
ex a x e e x ，e a b 2,0>∴> ，
21
2≥+=++
a
a b e a ，故选C. 5．D
【解析】函数2
y x =的导数y'2x =，2
y x =在点2
00(,)x x 处的切线斜率为02k x =，切线方程为()2
0002y x x x x -=-，设切线与ln y x =相交的切点为(),ln m m ，（01m <<），由
ln y x =的导数为1'y x =
可得012x m =，切线方程为()1
ln y m x m m
-=-，令0x =，可得2
0ln 1y m x =-=-，由01m <<可得012
x >
，且2
01x >，解得01x >由012m x =，可得
()2
00,ln 210x x --=，令()()2ln 21,f x x x =--
()()1
1,'20,x f x x f x x
>=-
>在1x >递增，
且2ln 10,3ln 10f
f =-<=->，则有()2
00ln 210x x --=的根
x ∈，故选D.
6．D 【解析】
设()()x F x xe f x =，则()()()()()()()11x x x F x x e f x xe f x e x f x xf x =++=++⎡⎤⎣⎦′′′. ()()()10x f x xf x ++>′对R x ∈恒成立，且0x e >.()()0,F x F x >∴′∴在R 上递增. 7．D
【解析】()()()()
()()x
x x
x e
x f x f e e x f e x f x g -'=
-'=
'2
，令()0<'x g 即()()0<-'x f x f ,由图可得()()+∞∈,41,0 x ，故函数单调减区间为()()0,1,4,+∞，故选D. 8．A
【解析】设x x
g x e f x e x R =-∈（）（），（），
[]1'1x x x x g x e f x e f x e e f x f x f x f x '=+'-=+'--（）（）（）（）（），（）＞（），
100f x f x g x y g x ∴+'-∴'∴=（）（）＞，（）＞，（）
在定义域上单调递增， 55x x e f x e g x +∴（）＞，（）＞，
又
000061500g e f e g x g x =-=-=∴∴（）（），（）＞（），＞，∴不等式的解集为0+∞（，）
. 9．【答案】C
【解析】函数的零点满足()2
112x x x
x a e e --+-=-+，
设()1
1
x x g
x e
e
--+=+，则()()211
1
1
1
1
11
x x x x x x e g x e
e
e
e e
---+----'=-=-
=， 当()0g x '
=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，
当1x >时，()0g x '
>，函数()g x 单调递增，
当1x =时，函数取得最小值()12g
=，
设()2
2h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，
10．B
【解析】令()()2sin F x x f x =-，则()()''sin 2F x x f x =-.因为当[)0,x ∈+∞时，
()'2sin cos 0x x f x ->，即()'sin 2x f x >，所以()()''sin 20F x x f x =->，所以()()2sin F x x f x =-在[)0,x ∈+∞上单调递增.又x R ∀∈，()()cos21f x f x x -++=，
所以()()22sin f x f x x -+=， 所
以
,
，
故
()()2sin F x x f x =-为奇函数，所以()()2sin F x x f x =-在R 上单调递增，所以
546
3F F ππ⎛⎫⎛⎫
->- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭.即15344643
f f π
π⎛⎫⎛⎫
-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选B. 11．B
【解析】)13)(2(253)(2
'
+--=++-=x x x x x g ，所以)(x g 在]2,1[上是增函数，]4,2[上是减函数0)(,0)2()(≥==x f g x g 在),1[+∞∈x 上恒成立， 由),1[+∞∈x 知，
0ln >+x x ，所以0)(≥x f 恒成立等价于x
x x a ln 2
+≤
在),1[+∞∈x ，时恒成立，令),1[,ln )(2+∞∈+=x x x x x h ，有0)ln (ln 2)1()(2
'>++-=x x x
x x x h ，所以)(x h 在),1[+∞上是增
函数，有1)1()(=≥h x h ，所以1≤a . 12．C
【解析】∵()x x f 1=
'，∴()a a f 1='，∵2212111213b b x b dx x b b
b +-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎰，()121
211
3
-+'=⎰
b a f dx x b b
，∴12
12221-+=+-b a b b ，∴121
2=+b
a ，∵0a >，0
b >，∴()()292222
52225212=⋅+≥+
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+a b b a a b b a b a b a b a ，当a b b a 22=且1212=+b a ，
即2
3
,3==b a 时
等号成立，故选C. 13．370x y +-= 【解析】()2
3
ln x
x x
f +-
=
'，所以(1)3,(1)4k f f '==-=，切线方程为
43(1),y x -=--即370x y +-=
14．2ln 22a ≤-
【解析】因为函数2
()x
f x x e ax =--，所以()2x
f x x e a '=--，因为2
()x
f x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，所以()20x
f x x e a '=-->，即2x a x e <-有解，令
()2x g x x e =-，则()2x g x e '=-，则()20ln 2x g x e x '=-=⇒=，所以当ln 2x <时，
()20x g x e '=->；当ln 2x >时，()20x g x e '=-<，当ln 2x =时，()max 2ln 22g x =-，所以2ln 22a <-. 15．)2
3
,1[
【解析】函数的定义域为),0(+∞，令0214212)(2=-=-='x x x x x f ，解得21=x 或2
1-=x （不在定义域内舍），所以要使函数在子区间)1,1(+-a a 内存在极值等价于
),0()1,1(21+∞⊂+-∈a a ，即⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
>+<-≥-2112110
1a a a ，解得231<≤a ，答案为)23,1[．
16．
32
3
【解析】由题意得，直线2y x =与抛物线2
3y x =-，解得交点分别为(3,6)--和(1,2)，
抛物线2
3y x =-与x 轴负半轴交
点(，设阴影部分的面积为S ，
则
10
220(32))S x x dx x dx =--+-⎰⎰
23
3
2)xdx x dx ---+-⎰
532933
=
+-=． 17．（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）
⎪
⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞+,1
12e e
【解析】（Ⅰ）由题可知，()x f x ae x =-，则()1x f x ae '=-， （i ）当0a ≤时，()0f x '＜，函数()x f x ae x =-为R 上的减函数， （ii ）当0a ＞时，令10x ae -=，得ln x a =-，
② (),ln x a ∈-∞-，则()0f x '＜，此时函数()f x 为单调递减函数；
②若()ln ,x a ∈-+∞，则()0f x '＞，此时函数()f x 为单调递增函数．………………(4分) （Ⅱ）由题意，问题等价于[]1,2x ∈，不等式x x ae x e --≥恒成立， 即[]1,2x ∈，21x
x xe a e
+≥恒成立，
令()21x
x xe g x e
+=，则问题等价于a 不小于函数()g x 在[]1,2上的最大值．………………(6分)
由()()()
()221214212x x
x x
xe e
xe e x e x
x
x e g x e '+-+--'=
=
，
当[]1,2x ∈时，()0g x '＜，所以函数()g x 在[]1,2上单调递减，……………………………(8分)
所以函数()g x 在[]1,2x ∈的最大值为()2
111g e e
=
+， 故[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，实数a 的取值范围为⎪⎪⎭⎫
⎢⎣⎡+∞+
,1
12
e e
．…………(10分)
18．（Ⅰ）()max 1g a =（Ⅱ）()f a 的取值范围是(
21,e e e ⎤-⎦.
【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()'x
f x e a =-.在定义域上单调递增。

()'0f x >，得ln x a >，所以()f x 的单调区间是()ln ,a +∞，函数()f x 在ln x a =处取
极小值，
a a a a a e a f x f a g a ln ln )(ln )()(ln 极小值-=-=== .
()()'11ln ln g a a a =-+=-，当01a <<时，()'0g a >，()g a 在()0,1上单调递增；
当1a >时，()'0g a <，()g a 在()1,+∞上单调递减.
所以1a =是函数()g a 在()0,+∞上唯一的极大值点，也是最大值点，所以
()()max 11g a g ==.
…………………………………………………………………………………………………………………………………….(6分)
（Ⅱ）当0x ≤时，0a >，0x e ax -≥恒成立.
当0x >时，()0f x ≥，即0x
e ax -≥，即x
e a x
≤.
令()x e h x x
=，()0,x ∈+∞，()()22
1'x
x x e x e x e h x x x --==， 当01x <<时，()'0h x <，当()'0h x >，故()h x 的最小值为()1h e =， 所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e .
()2a f a e a =-，(]0,a e ∈，()'2a f a e a =-，由上面可知20a e a -≥恒成立,
故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()201e f f e e e =<=-， 即
()
f a 的取值范围是
(21,e
e
e ⎤-⎦. ………………………………………………………………(12分)
19．（1）1
e ；（2）[,1]2
e
-
-. 【解析】（1）f ′(x)＝1－ln x
x
2
（x ＞0）， 当x ∈(0，e)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减， 所以当x ＝e 时，f (x)取得最大值f (e)＝ 1
e
. ………………………………………(3分) （2）g ′(x)＝ln x －ax ＝x (ln x
x
－a )，由（1）及x ∈(0，e]得： ①当a ＝
1
e 时，ln x x
－a ≤0，g ′(x)≤0，g (x)单调递减， 当x ＝e 时，g (x)取得最小值g (e)＝h (a)＝－ e
2
. .....................(5分) ②当a ∈[0，
1
e )，
f (1)＝0≤a ，f (e)＝ 1
e
＞a ， 所以存在t ∈[1，e)，g ′(t)＝0且ln t ＝at ，
当x ∈(0，t)时，g ′(x)＜0，g (x)单调递减，当x ∈(t ，e]时，g ′(x)＞0，g (x)单调递增，
所以g (x)的最小值为g (t)＝h (a). ...................................(7分)
令h (a)＝G (t)＝t ln t
2
－t ，
因为G
′(t)＝ln t －12＜0，所以G(t)在[1，e)单调递减，此时G (t)∈(－ e
2，－1]. ...(11
分)
综上，h (a)∈[－
e
2
，－1]. ...........................................(12分) 20．（1）1
(,]2-∞-（2）65(0,
)2
e - 【解析】（1）因为
22()()x
f x x x ce c R -=-+∈， 所以函数()f x 的定义域为R ，且2'()212x
f x x ce -=--，
由'()0f x ≥得
22120x x c e ---≥即21
(21)2x
c x e ≤-对于一切实数都成立.
再令21
()(21)2x g x x e =-，则2'()2x
g x xe =，令'()0g x =得0x =.
而当0x <时'()0g x <，当0x >时'()0g x >，
所以当0x =时()g x 取得极小值也是最小值，即
min 1
()(0)2g x g ==-
.
所以c 的取值范围是
1(,]
2-∞-. ……………………………………(6分) （2）由（1）知2'()212x
f x x c e -=--，所以由()0F x =得
2225(212)2x x x x ce x ce ---++--=
，整理得227
()2x
c x x e =+-.
令227
()()2x h x x x e =+-，则222'()2(23)2(3)(1)x x
h x x x e x x e =+-=+-，
令'()0h x =，解得3x =-或1x =. 列表得：
由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值652e
-； 当1x =时，()h x 取得极小值2
3
2e -.
又当3x <-时，
2702x x +-
>，20x e >，所以此时()0h x >.
因此当3x <-时，65()(0,)2h x e -∈；当31x -<<时，2635()(,)
22h x e e -∈-；
当1x >时，23()(,)2h x e ∈-+∞；因此满足条件c 的取值范围是65
(0,)
2e -. ……（12分）
21．（Ⅰ）()212x f x e x x =-+；()f x 的极大值为1)0(=f ，无极小值；（Ⅱ）4
e
.
【解析】（Ⅰ）由已知得()()()1''10x f x f e f x -=-+， 令1x =，得()()()'1'101f f f =-+， 即()01f = 又()()'10f f e
=
，∴()'1f e =，
从而()21
2
x f x e x x =-+
∴()'1x f x e x =+-，
又()'1x f x e x =+-在R 上递增，且()'00f =， ∴当0x <时，()'0f x <；0x >时，()'0f x >，
故0x =为极大值点，且1)0(=f …………………………………………(4分) （Ⅱ）()()()2
1102
x f x x ax b h x e a x b ≥
++⇔=-+-≥得()()'1x h x e a =-+， ① 当10a +≤时，()()'0h x y h x >⇔=在x R ∈上单调递增，x ∈-∞时，
()h x -∞→与()0h x ≥相矛盾； ……………………………………………(5分)
②当10a +>时， )1ln(0)(+>⇔>'a x x h ，()()'0ln 1h x x a <⇔<+得：当
()ln 1x a =+时，()()()()min 11ln 10h x a a a b =+-++-≥，
即()()()11ln 1a a a b +-++≥，
∴()()()()2
2
111ln 1a b a a a +≤+-++，()10a +> 令()()22ln 0F x x x x x =->，则
()()'12ln F x x x =-，
∴()'00F x x e >⇔<<，()'0F x x e <⇔>， 当x e =时，()max 2
e F x =， 即当1a e =-，e
b =时，()1a b +的最大值为2e ， …………………………(11分) ∴
()12
a b +的最大值为4
e . …………………………(12分)
22.。