2020-2021学年度衡水金卷高考模拟数学(理)试题(四)及答案
2020-2021学年度衡水金卷高考模拟数学(文)试题(三)及答案
普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|13}A x x =<≤，{|02}B x x =≤<，则A B =U （ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|03}x x ≤≤C ．{|12}x x <<D ．{|13}x x <≤2.设函数1,0()1,02xx x f x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则[(1)]f f -=（ ）A ．32B1C ．1 D ．3 3.若向量(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，2(2,3)c xa yb =+=r r r(,)x y R ∈，则x y +=（ ）A ．4B ．5C ．3D ．24.若实数x ，y 满足约束条件113x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则y x 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.命题p ：若复数21iz i=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在第二象限，命题q ：若复数z 满足z z ⋅为实数，则复数z 一定为实数，那么（ ）A ．p q ∧是真命题B ．()p q ∧⌝是真命题C ．()p q ⌝∨是真命题D ．()p q ∨⌝是假命题6.执行如图所示的程序框图，若输入的40n =，则输出的S =（ ）A ．80B ．96C ．112D ．120 7.已知函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，得到的图象对应的函数()g x 为奇函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．56π C ．3πD ．23π8.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，从A ，B ，C ，D 四点中任取三点和顶点P 所形成的四面体中，任取两个四面体，则其中一个四面体为鳖臑的概率为（ ）A ．14 B ．23 C ．35 D ．3109.如图，AB 为经过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，点A ，B 在直线2px =-上的射影分别为1A ，1B ，且113AA BB =，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．512π10.一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的表面积为3242π++，则图中的x=（）A．1 B．2C．32D．211.已知数列{}na满足2*1232()nna a a a n N⋅⋅⋅=∈，且对任意的*n N∈都有12111nta a a++⋅⋅⋅+<，则t的取值范围为（）A．1,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.若存在1,x ee⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式22ln30x x x mx+-+≥成立，则实数m的最大值为（）A．132ee+-B．32ee++C．4 D．21e-第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知{}na是等差数列，nS是其数列的前n项和，且4103S=-，1221a a+=，则3a=．14.已知圆C的方程为22(2)(1)1x y++-=，则圆上的点到直线0x y-=的距离的最小值为．15.观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为．16.已知双曲线1C：2212xy-=，曲线2C：1y x=+，P是平面内一点，若存在过点P的直线与1C，2C 都有公共点，则称点P为“差型点”.下面有4个结论：①曲线1C的焦点为“差型点”；②曲线1C与2C有公共点；③直线y kx =与曲线2C 有公共点，则1k >； ④原点不是“差型点”. 其中正确结论的个数是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC ∆的外接圆半径为2，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b =. （1）若2cos cos cos a A c B b C =+，求角C ； （2）若B 为锐角，3a c +=，求ABC ∆的面积.18.已知某地区中小学生人数和近视情况如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生作为样本进行调查.（1）求样本容量和抽取的高中生近视人数分别是多少？（2）在抽取的n 名高中生中，平均每天学习时间超过9小时的人数为310n，其中有12名学生近视，请完成高中生平均每天学习时间与近视的列联表：平均学习时间不超过9小时 平均学习时间超过9小时总计 不近视 近视 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0k2.7063.8415.0246.63510.82819.如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，6DBC ∠=，2BD BC ==，32AB =，E 为AC 的中点，F 在棱CD 上，且BC EF ⊥.（1）求证：BF CF =； （2）求三棱锥A BEF -的体积.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点.（1）若直线AB 与椭圆的长轴垂直，12AB a =，求椭圆的离心率； （2）若直线AB 的斜率为1，3222a AB a b =+，求椭圆的短轴与长轴的比值.21.已知曲线()xmx m f x e -=在点(1,(1))f 处的切线斜率为1e-. （1）求函数()f x 的极小值； （2）当(0,)x π∈时，求证：21()cos sin f x x x x e+>-. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ，2C 的极坐标方程分别为4cos ρθ=，2sin ρθ=. （1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程，将2C 的极坐标方程化为参数方程； （2）当6πα=时，直线l 与1C 交于O ，A 两点，与2C 交于O ，B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23b cf x x a x =-+++的最小值为7（a ，b ，c 为正数）. （1）求222a b c ++的最小值；（2）求证：444222222a b c a b c b c a++≥++.文数（三）一、选择题1-5: BDAAB 6-10: DCBCA 11、12：DA二、填空题13. 43-14. 12 15. 1296 16. 3三、解答题17.解：（1）∵2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理，可得2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+， 即2sin cos sin()sin A A B C A =+=. ∵sin 0A ≠，∴1cos 2A =. ∵0A π<<，∴3A π=.又2sin bR B=（R 为外接圆半径），2b =，R =∴sin 2B =，∴4B π=或34π（舍）. ∴5()12C A B ππ=-+=. （2）由（1）知，4B π=或34π， 又B 为锐角，∴4B π=.由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，即24()2a c ac =+-.∵3a c +=，∴49(2ac =-+，∴(25ac =， ∴ac =∴1sin24ABC S ac B ∆===. 18.解：（1）由图1可知，高中生占学生总数的20%，∴学生总数为300020%15000÷=人， ∴样本容量为150002%300⨯=.∵抽取的高中生人数为30002%60⨯=人， 由于近视率为60%，∴抽取的高中生近视人数为6060%36⨯=人. （2）列联表如下：平均学习时间不超过9小时 平均学习时间超过9小时总计 不近视 18 6 24 近视 24 12 36 总计421860（3）由列联表可知，260(1812246)0.47624364218K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， ∵0.476 3.841<，∴没有95%的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关. 19.解：（1）取BC 的中点G ，连接EG ，GF .∵E 为AC 的中点，∴//EG AB . ∵AB ⊥平面BCD ，∴EG ⊥平面BCD ，∴EG BC ⊥. 又∵BC EF ⊥，EF EG E =I ， ∴BC ⊥平面EFG ，∴BC GF ⊥. 又∵G 是BC 的中点， ∴BF CF =.（2）由图可知，三棱锥A BEF -体积与三棱锥F ABE -体积相等. ∵FG BC ⊥，FG AB ⊥，AB BC B =I ， ∴FG ⊥平面ABC .∵150DBC ∠=o，且2BD BC ==，∴15BCD ∠=o.在Rt FGC ∆中，1CG =，∴tan152GF ==o∴13A BEF F ABE ABE V V S FG --∆-=⨯⨯11111232322ABC S FG ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯1(2(26⨯⨯=， 即三棱锥A BEF -的体积为16. 20.解：（1）由题意，直线AB 的方程为x c =-,∴2212b AB a a ==， 即224a b =，故2c e a ====. （2）设1(,0)F c -，则直线AB 的方程为y x c =+，联立22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222222()20a b c a cx a c a b +++-=，42222222444()()8a b a a b c b a b ∆=-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212222a c x x a b +=-+，2221222()a cb x x a b-=+.∴12AB x =-==22222242ab a a b a b ==++. ∴222a b =，∴2212b a =，∴b a =. 21.解：（1）由题得，()f x 的定义域为R ，(2)'()xm x f x e --=，∴'(1)mf e=.∵曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1e-， ∴1m e e=-，∴1m =-. ∴1()x x f x e -=，2'()xx f x e-=， 当2x >时，'()0f x >，()f x 单调递增， 当2x <时，'()0f x <，()f x 单调递减， ∴()f x 的极小值为21(2)f e=-. （2）由（1）可知，21()f x e +在2x =处取得最小值0， 设()cos sin g x x x x =-，(0,)x π∈， 则'()cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-， ∵(0,)x π∈，∴'()0g x <， ∴()g x 在区间(0,)π上单调递减， 从而()(0)0g x g <=， ∴21()cos sin f x x x x e+>-. 22.解：（1）由直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），得直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 由曲线2C 的极坐标方程2sin ρθ=， 得直角坐标方程为22(1)1x y +-=，∴曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.（2）当6πα=时，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈.当6πθ=时，4cos6OA π==2sin16OB π==，∴1AB OA OB =-=. 23.解：（1）∵2323b c b c x a x a -+++≥++（当且仅当()023b c x a x ⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭时取等号），由题意，得723b ca ++=. 根据柯西不等式，可知22222211()123a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦24923b c a ⎛⎫≥++= ⎪⎝⎭，∴22236a b c ++≥. ∴222a b c ++的最小值为36.（2）∵42222a b a b +≥，42222b c b c +≥，42222c a c a +≥，∴444222222a b c a b c b c a +++++2222()a b c ≥++， ∴444222222a b c a b c b c a++≥++.。
河北省衡水中学2020-2021高考数学模拟试卷及参考答案及评分标准(20页)
河北省衡水中学2020-2021高考数学模拟试卷数学试题考试时间120分钟 总分160分参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.） 1.已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B =_________． 2.复数()()12a i i ++纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =_____________3.某算法的伪代码如图所示，如果输入的x 值为32，则输出的y 值为__________．(第11题)4.现有三张识字卡片，分别写有“抗”、“疫”、“情”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“抗疫情”的概率是_____________5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率2e =，则其渐近线的方程为 _________6.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是_______．7.公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2a 、5a 、14a 成等比数列，253S a =，则10a =______________8.将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为_____________ 9.若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是__．10.若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为______．11.如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，AB CD ⋅=_____________12.若对于任意的-15x ∈∞⋃+∞（，）（，），都有22(2)0,x a x a --+>则实数a 的取值范围是______．13.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()22:23C x y m ++-=，若圆C上存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围为_________． 14.在ABC ∆中，若120C =，tan 3tan A B =，sin sin A B λ=，则实数λ=__________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分..）15.如图，ABC ∆中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =．（1）求cos B 的值； （2）求CD 的长.16.如图，在四棱锥P ABCD⊥，过CD-中，PC⊥平面ABCD，AB//CD，CD ACPA PB交于点,E F．的平面分别与,（1）求证：CD⊥平面PAC；AB EF（2）求证：//17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．（1）若2QF FP =，求直线l 的方程；（2）设直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ．是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18.某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（为上切点），与左右两边相交（，为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1，且，设，透光区域的面积为.（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边的长度.19.已知函数()()22ln f x x x ax a R =-+∈.（1）当2a =时，求()f x 的图象在 1x =处的切线方程；（2）若函数()()g x f x ax m =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围；（3）若对区间()1,2内任意两个不等的实数1x ，2x ，不等式()()12122f x f x x x -<-恒成立，求实数a 的取值范围.20.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为nT ，且满足11b =，22b =，12n nn n T bT b ++=.（1）求数列{}n a 、{}n b 通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得11n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在，求所有满足要求的n b ；若不存在，说明理由.河北省衡水中学2020-2021高考数学模拟试卷（参考答案）考试时间120分钟 总分160分一、填空题：1.【答案】{}1,1-．详解】2{|,3}B x x R x =∈<＝{x|x 又{}1,1,2,3,A =-则A ∩B ＝{＝1＝1}＝【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用集合交集的定义是解决本题的关键． 2.【答案】2【详解】因为复数()()12a i i ++是纯虚数，化简，()()()12221a i i a a i ++=-++，则20210a a -=⎧⎨+≠⎩，则实数2a = 【点睛】本题考查复数的概念，属于简单题 3.【答案】5【详解】由伪代码可得22,5log ,5x x y x x ⎧≤=⎨>⎩，当32x =时，2log 325y ==．【点睛】本题主要考查条件语句及分段函数，属于基础题． 4.【答案】16【详解】由题得“抗”、“疫”、“情”这三个字的排列有：抗疫情，抗情疫，疫抗情，疫情抗，情抗疫，情疫抗，共有6种，其中，组成“抗疫情”的只有1种. 故能组成“抗疫情”的概率是16P =.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5.【答案】y =【【详解】双曲线的方程是()222210,0x y a b a b-=>>，∴双曲线渐近线为b y x a =±，又离心率为2c e a==，可得2c a =，224c a ∴=，即2224a b a +=，可得b =，由此可得双曲线渐近线为y =，故答案为y =. 6.【答案】265【详解】平均值为3698465++++=， 所以方差为()()()()()22222136669686465⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦99442655+++==. 【点睛】本小题主要考查样本方差的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7.【答案】19【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得出0d ≠，由题意得25214253a a a S a ⎧=⎨=⎩，即()()()()211121141351020a d a d a d a d a d d ⎧+=++⎪⎪+=+⎨⎪≠⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 因此，101919219a a d =+=+⨯=.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，解答的关键就是得出关于首项和公差的方程组，考查计算能力， 属于中等题. 8.【答案】【详解】半径为1的小铁球的体积为43π，底面周长为2π，高为4的铁制圆柱的底面半径为1，体积为4π，锻造成的大铁球的体积为341644333R ππππ+==，可得R =，所以该大铁球的表面积为2244R ππ==，故答案为：.【点睛】本题主要考查球的体积与表面积公式，考查了柱体的体积公式，属于基础题. 9.【答案】π7π(,)1212【详解】函数()()π2sin 2(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点(＝则2sin ϕ=，sin ϕ=，0,23ππϕϕ<<∴=，()2sin(2)3f x x π∴=+.0x π≤≤,022x π∴≤≤,72333x πππ≤+≤,有于sin y x =在3[,]22ππ为减函数，所以32232x πππ≤+≤，解得71212x ππ≤≤. 【点睛】根据函数图象过已知点，求出sin ϕ ，借助ϕ的范围求出ϕ的值.求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注意“范围优先原则”，根据x 的范围研究x ωϕ+的范围，有时还要关注A 的符号，因此当自变量有范围限制时，解题更要小心失误. 10.【详解】令2x y k +=＝则2y k x =-＝()22210x x k x ∴+--=＝即23210x kx -+-=＝24120k ∴∆=-≥＝且0k >＝k ∴≥，即2x y +＝点睛：基本不等式的考察的一个主要考察方法就是判别式法，可以应用判别式法的题型基本特点：（1）题干条件是二次式；（2）问题是一次式（或可以化简为一次式）．熟悉判别式法的应用，可以提升考试中碰到不等式题型的准确率． 11.【答案】4-【详解】如图，由已知可得1,3,,60AF AF FB FB ===所以()()C AB A D FB E F CE D ⋅=+⋅+()133F F B AF A B F ⎛⎫=+⋅-+ ⎪⎝⎭2218333FB FB AF AF =-+-⋅18139134332=-+⨯-⨯⨯⨯=-故答案为：4-.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 12.【答案】(1,5] 【详解】利用一元二次方程根的分布去解决，设2()2(2)f x x a x a =--+ ＝ 当24(2)40a a ∆=--<时，即14a << 时，()0f x > 对x ∈R 恒成立； 当1a =时，(1)0f -= ，不合题意； 当4a =时，(2)0f = 符合题意；当∆<0 时，0125(1)0(5)0a f f ∆<<-<≥≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 即：45a <≤综上所述：实数a 的取值范围是(1,5].【点睛】有关一元二次方程的根的分布问题，要结合一元二次方程和二次函数的图象去作，要求函数值在某区间为正，需要分别对判别式大于零、等于零和小于零进行分类研究，注意控制判别式、对称轴及特殊点的函数值的大小，列不等式组解题.13.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()22:23C x y m ++-=，若圆C上存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围为_________． 【答案】[由于圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，所以OA OB ⊥,如图，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B D 、，圆上要存在满足题意的点A ，只需090BOD ∠≥，即045COB ∠≥，连接CB ，CB OB⊥，由于(2,)C m -，CO =CB =，sin sin 45CB COB CO∠==≥=，解得m ≤≤14.【答案】12+ 【详解】在ABC ∆中，120C =，由余弦定理得222c a b ab =++，① 因为tan 3tan A B =，即sin sin 3cos cos A BA B =⋅，所以sin cos 3sin cos A B B A =，由正弦定理得cos 3cos a B b A =，所以222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，整理得22222c a b =-，②由①②可得2230a ab b --=，所以230a bb a⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得a b =，所以sin sin A B =，又sin sin A B λ=，所以sin sin =A λB =．故答案为：12二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.试题解析：（1）在ABC 中，4cos 5A =，()0,πA ∈，所以3sin 5A ===．…………………………2分 同理可得，12sin 13ACB ∠=． ……………………………………… 4分 所以()()cos cos πcos B A ACB A ACB ⎡⎤=-+∠=-+∠⎣⎦sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=． ……………………………………………7分（2）在ABC 中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=． …………9分 又3AD DB =，所以154BD AB ==． ……………………………………………………11分 在BCD中，由余弦定理得，CD ===．………………………………………………………14分【点睛】凑角求值是高考常见题型，凑角求知要“先备料”后代入求值，第二步利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，要灵活使用正、余弦定理，有时还要用到面积公式，注意边角互化.16.详解：（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， (3)分∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PCAC C =，∴CD ⊥平面PAC .………………………………6分（2）∵//AB CD ，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF 平面PAB EF =…………………9分 又CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，………………………………………………………… 11分∴//CD 平面PAB ，而CD ⊂平面CDEF ， ∴//CD EF ∴//AB EF ……………………………………………………………………………………………14分点睛： （1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.17.试题解析：（1）因为24a =，23b =，所以1c ==，所以F 的坐标为()1,0……2分设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线l 的方程为1x my =+， 代入椭圆方程，得()2243690m ymy ++-=，…………………………………………………5分则12343m y m -+=+，22343m y m--=+．若2QF PF =，则2233204343m m m m---++⨯=++，………………………………6分解得m =l 的方程为20y -=． (8)分（2）由（1）知，122643m y y m -+=+，122943y y m -=+，…………………………………10分所以()1212293432mmy y y y m -==++， 所以()()12112212211223y my k y x k x y y my --=⋅=++ ………………………………………………………12分()()1211223123332y y y y y y +-==++， 故存在常数13λ=，使得1213k k =．……………………………………………………………14分【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设λ存在，利用所求的12y y +，12y y ，结合已知条件12k k λ=，得出坐标关系，再把12y y +，12y y 代入求出λ符合题意，则λ存在，否则不存在.18.试题分析： 解:(1) 过点作于点，则，所以，……………………………………………………………………2分．所以…………………………………………………………………………4分，…………………………………………………………………………………6分因为，所以，所以定义域为．…………………………………………7分（2）矩形窗面的面积为．……………………………………9分则透光区域与矩形窗面的面积比值为．设，．………………………………………………………………11分则，……………………………………………………………………………………13分因为，所以，所以，故，所以函数在上单调减．所以当时，有最大值，此时………………………………16分答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1．19.【详解】（1）当时，，，切点坐标为………1分切线的斜率，则切线方程为，即.…………………… …………3分（2），则，…………………………………4分，故时，.当时，； 当时，. 故在处取得极大值.……………………………………………………………6分又，，，则， 在上的最小值是.……………………………… ……………………………………8分在上有两个零点的条件是2a =()22ln 2f x x x x =-+()222f x x x'=-+()1,1()12k f ==()121y x -=-21y x =-()22ln g x x x m =-+()()()21122x x g x x x x-+-'=-=1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0g x '=1x =11x e <<()0g x '>1x e <<()0g x '<()g x 1x =()11g m =-2112g m e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22g e m e =+-()2221140g e g e e e ⎛⎫-=-+<⎪⎝⎭()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭()g x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g e ()110g m =->()g x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()21101120g m g m e e ⎧=->⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得 实数m 的取值范围是…………………………………………………………………………10分（3）不妨设，恒成立等价于，即.………………………………………………………………………………12分令，由，具有任意性知，区间内单调递减，恒成立，即恒成立，，在上恒成立. 令，则……………………………………………………………14分 在上单调递增，则，实数a 的取值范围是 (16)分【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的极值和最值、以及考查函数的恒成立问题和转化思想，属于难题20.【详解】解：（1）因为，所以当时，， 两式相减得，即，又，则，………………………………2分所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故 (3)分2112m e <≤+211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦1212x x <<<()()12122f x f x x x -<-()()()21212f x f x x x -<-()211222f x x f x x ->-（）()()2u x f x x =-1x 2x ()u x ()1,2()()20u x f x '=-<()2f x <222x a x -+<222a x x<-+()1,2()222h x x x=-+()2220h x x'=+>()222h x x x=-+()1,2()()12h x h >=(],2-∞22n n S a =-2n ≥1122n n S a --=-122n n n a a a -=-12n n a a -=1122S a =-12a ={}n a 12a =2n n a =由得，，，…，，以上个式子相乘得，即①，当时，②，………………5分两式相减得，即（），所以数列的奇数项、偶数项分别成等差数列， ,,因此数列的通项公式为.…………………………………………………………………………………………………………6分 （2）当时，无意义，………………………………………………………………………7分设（，），显然.则，即………………………9分…………………………………………………………………………………………………11分显然，所以，所以存在，使得，，……………………………………………………………………………………………………13分下面证明不存在，否则，即， 此式右边为3的倍数，而不可能是3的倍数，故该式不成立. 综上，满足要求的为，.……………………………………………………………………………16分12n nn n T b T b ++=1123T b T b=2234T b T b=3345T b T b=111n n n n T b T b --+=n 1121n n n T b b T b b +=12n n n T b b +=2n ≥112n n n T b b --=()112n n n n b b b b +-=-112n n b b +--=2n ≥{}n b 2121k b k -=-22k b k ={}n b n b n =1n =11n n n n a b a b +++-()112121n n n n n n n a b n c a b n +++++==--+2n ≥*N n ∈1n c >()()11122212221n n n n n n n n c c n n +++++++-=--+-+()()11202221n n nn n n ++-⋅=<⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦11n n c c +>>()2121n nn n ++>-+234731c c c =>=>>>2n =72b c =33b c =2n c =()21221n n nn c n ++==-+()231n n =+2n n b 3b 7b点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.n S n a n a 1,2n n n a S S n -=-≥n a n S n S n n a 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩1,2n n =≥。
河北省衡水市2021届新高考数学四模试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（ ）A ．2B ．C ．73D 【答案】D 【解析】 【分析】由圆22:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又1222AF F AOF S S ab ∆===V a 的值，利用离心率公式，求出e.【详解】由题意得2b =，12AF F S ab ∆==a ∴=3e ∴==. 故选：D. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.2．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理可得1αβ+=,1αβ=-,结合n nn a αβ=+可推出1n a +1n n a a -=+,再计算出11a =,23a =,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.【详解】因为α,β是方程210x x --=的两个不等实数根, 所以1αβ+=,1αβ=-,因为n nn a αβ=+,所以111n n n a αβ+++=+()()n n n n n n αβααβββααβ=+++-- ()()()11n n n n αβαβαβαβ--=++-+ ()()111n n n n n n a a αβαβ---=+++=+,即当3n ≥时,数列{}n a 中的任一项都等于其前两项之和, 又11a αβ=+=,()222223a αβαβαβ=+=+-=, 所以3214a a a =+=,4327a a a =+=,54311a a a =+=, 以此类推,即可知数列{}n a 的任意一项都是正整数,故①正确; 若数列{}n a 存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5, 由11a =,23a =,依次计算可知,数列{}n a 中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期, 故数列{}n a 中不存在个位数字为0或5的项,故②错误; 故选:A. 【点睛】本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力. 3．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}3【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的结果可得3是集合B 的元素，代入方程后可求m 的值，从而可求B . 【详解】依题意可知3是集合B 的元素，即23230m -⨯+=，解得3m =-，由2230x x --=，解得1,3x =-. 【点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.4．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．10【答案】D 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【详解】解：画出满足条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的平面区域，如图示：如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --， 目标函数22xy +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到原点的距离最大，故()()x2222ma 0311x y ++-==.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．5．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）A．乙的数据分析素养优于甲B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数据分析最差【答案】C【解析】【分析】根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.【详解】根据雷达图得到如下数据：数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲 4 5 4 5 4 5乙 3 4 3 3 5 4由数据可知选C.【点睛】本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）A．438π+B．238π+C．434π+D．834π+【答案】A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为234的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为21311434234238323Vππ=⨯⨯⨯⨯=+故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7．已知数列{}n a的通项公式为22na n=+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记nb为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共2n个数的和，则数列nnb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021【答案】D 【解析】 【分析】由题意，设每一行的和为i c ，可得11...(21)i i i n i c a a a n n i ++-=+++=++，继而可求解212...2(1)n n b c c c n n =+++=+，表示12(1)n n b n n =+，裂项相消即可求解. 【详解】由题意，设每一行的和为i c 故111()...(21)2i n i i i i n i a a nc a a a n n i +-++-+=+++==++因此：212...[(3)(5)...(21)]2(1)n n b c c c n n n n n n n =+++=+++++++=+1111()2(1)21n n b n n n n ==-++ 故202011111111(1...)(1)22232020202122021S =-+-++-=-=10102021故选：D 【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-r r ，且a b ⊥r r，则λ等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】因为(1,2),(2,2)a b λ==-r r ，且a b ⊥r r ，·22(2)0a b λ=+-=rr ，本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 9．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 1C ．2D 1【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 11）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 【详解】直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx+p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1，丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨==，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（ 1）p ，2c ＝p ，∴离心率eca ===1， 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．10．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,抛物线C 与圆22:(3C x y +-='交于M,N 两点,若||MN =,则MNF V 的面积为( )A B ．38C D由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由3C M C N ''==，6MN =，得C M C N ''⊥，从而直线MN倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积． 【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图， 由于3C M C N ''==，6MN =，∴C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p =⨯，3p =， ∴3(,0)F ，11333228FMN N S MF y ∆=⨯=⨯⨯=． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．11．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【答案】A 【解析】逐一考查所给的函数：cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ；函数tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝Asin(ωx ＋φ)，y ＝Acos(ωx ＋φ)，y ＝Atan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．12．设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-．有以下6个论断： ①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数； ②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数； ③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数； ④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数 ⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x …． 那么正确论断的编号是（ ） A ．③④ B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数()g x 的奇偶性并证明. 【详解】当()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=， 所以()g x 是偶函数；当()f x 是奇函数时，则()()f x f x -=-，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=， 所以()g x 是偶函数；当()f x 为非奇非偶函数时，例如：()5f x x =+， 则()27f-=，()23f -=，此时(2)0g ->，故⑥错误；故③④正确. 故选：A 【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水中学2021届高三上学期新高考四调考试数学(理)试题含答案
衡水中学2020－2021学年度高三年级上学期四调考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2og 1{|l }A x x =<，集合{|B y y ==，则A B ⋃=（ ）A ．()0,+∞B ．[)0,2C ．()0,2D ．[)0,+∞2．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．若双曲线()2210mx ny m +=>mn=（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．－44．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2D 5．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC △中，12BC AC =．根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）A B ． C ．D ．6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，(log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>7．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．2D ．8．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x R ∈恒成立，则下列不等关系正确的是（ ） A ．()()10f ef >，()20202020f e < B ．()()10f ef >，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <-D ．()()10f ef >，()()202020200f e f >二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知椭圆C ：22148x y +=内一点()1,2M ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的焦点坐标为()2,0、()2,0-B ．椭圆C 的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D ．||AB =10．设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．11a b +B ．21a b +的最小值为2C ．12a b +的最小值为94D ．111b a a b +≥++11．已知函数()sin cos |sin cos |f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ）A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()124f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数()f x 的最小值为－212．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α、下面说法正确的是（ ）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C ．点M 为1CC ；的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设,a b 为单位向量，且|1rra b -=，则|2|a b -=__________．14．已知数列{}n a 满足21,1log (3),2,*n n n a n n n N +=⎧=⎨+≥∈⎩，定义使123)(*a a a k N ⋅⋅∈为整数的k 叫做“幸福数”，则区间[]1,2020内所有“幸福数”的和为__________．15．关于x 的方程ln 1xkx x--=在(]0,e 上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围__________． 16．设双曲线222116x y b -=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程__________；M 在曲线E 上，点()8,0A ，()5,6B ，则1||||2AM BM +的最小值__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，4n n a S +=，设2log n n b a =（1）判断数列{}n b 是否为等差数列，并说明理由． （2）求数列21211n n b b -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．18．在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos222CC -+=③()sin sin sin a A B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，1sin sin 4A B +=，2c =，__________，求角C 及ABC △的面积S ．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q 为PD 的中点．（1）证明：//CQ 平面PAB ； （2）求二面角P AQ C --的余弦值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点(F ，椭圆的两顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，M 为椭圆上除A ，B 之外的任意一点，直线MA ，BM 的斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若P 为椭圆C 短轴的上顶点，斜率为k 的直线不经过P 点且与椭圆C 交于E ，F 两点，设直线PE ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k +=-，试问直线l 是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8． （1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点M ，N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．22．已知函数()ln x f x ae x =，（其中 2.71828e =…是自然对数的底数），()2ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．答案详解1．D解：∵{}2log 1A x x =<{}02x x =<<，{B y y =={}0y y =≥，∴[0,)AB =+∞，故选：D ．2．D依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(),1,122a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭． 圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=．故选D ．本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。
2020届河北省衡水金卷新高考第一次摸底考试数学(理)试题
2020届河北省衡水金卷新高考第一次摸底考试数学试题（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
） 1．已知集合，，则( )A ．B ．C ．D ．2．与函数相同的函数是( )A B ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 C ．D ．3.原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 44．幂函数在上单调递增，则的值为( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 2或45. 已知97log c ,)97(b ,)97(a ,22)x (f 23121xx===-=--则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为( )A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a <<6.已知函数1x )(23=++=在bx ax x x f 处有极值10，则等于( )A. 1B. 2C.D.7.函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间是（ ）A.B.C.D.8．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若是奇函数，则的图像关于轴对称；②若，则；③若函数对任意满足，则是函数的一个周期；④命题“存在”的否定是“任意”A ．B ．C ．D ． 9.函数xx x y 2)(3-=的图象大致是( )10.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时, ()()2log 27f x x =+,则()2017f =( )A. 2log 5-B. 2C. 2-D. 2log 511．设定义域为R 的函数f(x)=.1,01||,1|lg |⎩⎨⎧=≠-x x x ，则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( )A ．b<0且c>0B ．b>0且c<0C ．b<0且c=0D ．b ≥0且c=0 12．已知()(),ln xf x eg x x ==，若()()f t g s =，则当s t -取得最小值时， ()f t 所在区间是（ ）A.()ln2,1 B ． 1,ln22⎛⎫⎪⎝⎭C ． 11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空(每小题5分,共20分)13.设函数，则f [f （2）]=______．14.若函数y =f （x ）的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则函数y =f （log 2x ）的定义域为______． 15．已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x x x a x a x f a 是(-∞,+∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是___________．16．已知函数()()4log 3(0),{130,4xx x x f x x x +->=⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭若()f x 的两个零点分别为12,x x ，则12x x -=__________．三、解答题(17题10分,其它各题每题12分,共70分.) 17.已知函数（1）当x ∈[2,4]，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求m 的取值范围．18.已知a R ∈，命题:p “[0,2],240x x x a ∀∈-+≤均成立”， 命题:q “函数2()ln(2)f x x ax =++定义域为R ”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．()()()()()()(].2,02.213.1923的范围上是减函数，求在若函数的值的极值点，求实数是函数若函数a x f e x g a x f y x x ax x f x ⋅===-=20.已知函数y =a x （a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a 的值；（2）证明f （x ）+f （1-x ）=1；（3）求)20192018()20193()20192(20191f f f f ++++ ）（的值．21、已知函数)(ln 2)12(21)(2R a x x a ax x f ∈++-=（1）若曲线)(x f y =在1=x 和3=x 处的切线互相平行，求a 的值； （2）求)(x f 的单调区间；22.已知函数()2ln f x x ax =+， ()1g x x b x =++，且直线12y =-是函数()f x 的一条切线． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）对任意的1x ⎡∈⎣，都存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =，求b 的取值范围；（Ⅲ）已知方程()f x cx =有两个根12,x x （12x x <），若()1220g x x c ++=，求证： 0b <．数学试题（理）答案第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷含答案
河北衡水中学2020年高考押题试卷理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数122z =--，则||z z +=（ ） A．122-- B．122i -+ C．122+ D．122- 2.集合2{|30}A x x x =-≤，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B I =（ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|13}x x ≤<C ．{|23}x x <≤D ．{|02}x x <≤3.已知函数()cos()6f x x ωπω=-(0)ω>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移3π个单位而得 B 可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移6π个单位而得D ．可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移6π个单位而得4.已知实数x ，y 满足约束条件33,24,34120,y x y x x y ≥-⎧⎪≤+⎨⎪++≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A.2 B ．3 C.4D ．55.一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于M ，若2AB AE =u u u r u u u r，3AD AF =u u u r u u u r ，AM AB AC λμ=-u u u u r u u u r u u u r (,)R λμ∈，则52μλ-=（ ）A ．12-B ．1 C.32D ．-36.在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若2~(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=.（ ）A.906 B ．1359 C.2718 D.34137.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A ．808π+B ．804π+C ．808π-D ．804π- 8.已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（ ）A ．2016?n ≤B ．2017?n ≤ C.2015?n < D ．2017?n < 9.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A.3 B ．72 C.185D ．4 10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00(2)()2pM x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =3|MA ，若=2，则||AF =（ ） A ．32B ．1 C.2 D ．311.若定义在R 上的可导函数()f x 满足(1)1f =，且2'()1f x >，则当3[,]22x ππ∈-时，不等式23(2cos )2sin 22xf x >-的解集为（ ） A. 4(,)33ππ B ．4(,)33ππ- C.(0,)3π D ．(,)33ππ-12.已知0x 是方程222ln 0xx ex +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01x e< C.002ln 0x x += D ．002ln 0x e x += 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若26()baxx+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ． 14.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，16bc =，则ABC ∆的面积为 ．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B 两点，点)C ，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ． 16.已知下列命题：①命题“x R ∀∈，235x x +<”的否定是“x R ∃∈，235x x +<”； ②已知p ，q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(2)(1)n n na n S n n +=+++，*n N ∈. （1）证明：数列{1}nS n+为等比数列； （2）求12n n T S S S =+++L .18.如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，BE EC ⊥，6BC =，43AB =,30ABC ∠=︒.（1）求证：AC BE ⊥；（2）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.19.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm ）频数分布表如表1、表2. 表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165,180)的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165,180)学生的人数，求X 的分布列及数学期望.20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，||32BC =其周长为632+，若点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；（2）若M ，N 是射线OC 上不同的两点，||||1OM ON ⋅=，过点M 的直线与E 交于P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R ，证明：MPR ∆是等腰三角形.21. 已知函数2()xf x e x a =-+，x R ∈，曲线()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为y bx =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当x R ∈时，求证：2()f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C ：2cos ρθ=，曲线2C ：(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为12,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C ，2C 的直角坐标方程；（2）C 与1C ，2C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为H ，I ，J ，K ，求||||||HI JK -的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知a ，b 为任意实数.（1）求证：42242264()a a b b ab a b ++≥+；（2）求函数4224()|2(16)|f x x a a b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-的最小值.参考答案及解析理科数学一、选择题1-5:CADBA 6-10:BBBBB 11、12：DC二、填空题13.2 14.② 三、解答题17.解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++，即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++， 所以112(1)1n n S S n n ++=++，又1121S+=，故数列{1}n S n+为等比数列.（2）由（1）知111(1)221n nn S S n -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-，故2(12222)(12)nn T n n =⨯+⨯++⋅-+++L L . 设212222nM n =⨯+⨯++⋅L ， 则231212222n M n +=⨯+⨯++⋅L ，所以212222n n M n +-=+++-⋅=L 11222n n n ++--⋅，所以1(1)22n M n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n nn n T n ++=-⋅+-.18.解：（1）ABC ∆中，应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=g 2=解得AC = 所以222AC BC AB +=， 所以ACBC ⊥.因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE I 平面ABC BC =，BC AC ⊥，所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥.（2）由（1）AC ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， 所以AC CE ⊥. 又因为BCAC ⊥，平面ACE I 平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=︒. 因为BE EC ⊥，AC BE ⊥， 所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角. 因为在Rt ACE ∆中，sin 4532BE BC =︒=，所以在Rt BAE ∆中，6sin BE BAE AB ∠==. 19.解：（1）设高一女学生人数为x ，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在[165,180)的人数为5141363142+++++=，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[165,180)的概率为423705=. 因此，可估计该校学生身高在[165,180)的概率为35.（3）由题意可得X 的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在[165,180)的概率为13，男生身高在[165,180)的概率为45. 所以412(0)(1)(1)5315P X ==-⨯-=，41419(1)(1)(1)535315P X ==-+-⨯=，414(2)5315P X ==⨯=.所以X 的分布列为：所以9417()012151515E X =+⨯+⨯=. 20.解：（1）以BC 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则||||6||AB AC BC +=>， 所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆.所以26a =，232c =所以3a =，2c =， 所以22292ba c =-=， 所以点A 的轨迹方程为221(0)992x y y +=≠. 设(,)T x y ，点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =，所以(3,3)A x y ，代入221992x y +=，整理可得点T 的轨迹E 的方程是221(0)12y x y +=≠. （2）证明：设(,0)(0)M m m >，由||||1OM ON ⋅=得1(,0)N m，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，33(,)R x y .由题意，直线QM 不与坐标轴平行，11QM y k x m =-，直线QM 的方程为11()y y x m x m=--.与椭圆方程联立，消去y ，得22211(12)2(1)m mx x m x x +---+222111(2)0mx x m x --=.所以2221111221212mx x m x x x m mx --=+-，同理222111131221212mx x m x x x x x m mx --==+-， 所以23x x =，或10x =. 当23x x =时，PR x ⊥轴.当10x =时，2221m x m =+，322212211()1mmx x m m⋅===++，PR x ⊥轴， 所以||||MP MR =， 所以MPR ∆是等腰三角形.21. 解：（1）根据题意，得'()2xf x e x =-，则'(0)1f b ==. 由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入()y f x =，得1a =-，故2()1x f x e x =--.（2）令2()()1xg x f x x x e x =+-=--. 由'()10xg x e =-=，得0x =，当(,0)x ∈-∞，'()0g x <，()y g x =单调递减； 当(0,)x ∈+∞，'()0g x >，()y g x =单调递增. 所以min ()(0)0g x g ==，所以2()f x x x ≥-+. （3）()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立. 令()()f x x x ϕ=，0x >，得2'()()'()xf x f x x xϕ-==22(2)(1)x x x e x e x x ----=2(1)(1)x x e x x ---. 由（2）可知，当(0,)x ∈+∞时，10xex -->恒成立，令'()0x ϕ>，得1x >；令'()0x ϕ<，得01x <<.所以()y x ϕ=的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，故min ()(1)2x e ϕϕ==-，所以min ()2k x e ϕ<=-.所以实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.22.解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=.由(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅，得22sin4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）不妨设四点在C 上的排列顺序由下而上依次为H ，I ，J ，K ，它们对应的参数分别为，1234,,,t t t t ，如图.连接1C J ，则1C IJ ∆为正三角形，所以||1IJ =，故||||||||||||||HI JK HI IK IJ -=-+=1414|||||1||()1|t t t t -+=-++.把1 2,23 2x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x=，得23824t t=-，即238320t t+-=，故1483t t+=-，所以11||||||3HI JK-=.23. 解：（1）42242264()a ab b ab a b++-+=2222222()4()4a b ab a b a b+-++⋅=222(2)a b ab+-4()a b=-，因为4()0a b-≥，所以42242264()a ab b ab a b++≥+.（2）4224()|2(16)|f x x a a b b=-+--332|(221)|x a b ab+-+-=4224|2(16)|x a a b b-+--+ 33|22(221)|x a b ab-+-≥33|[22(221)]x a b ab-+--4224[2(16)]|x a a b b-+--=4|()1|1a b-+≥.即max()1f x=.。
2020届河北省衡中同卷新高考原创精准模拟考试(四)理科数学试卷
2020届河北省衡中同卷新高考原创精准模拟考试（四）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，复数，则z=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】 ,故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.已知集合A={x|-3＜x＜1}，B={x|（x+1）（x-3）≤0}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合A和B，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A={x|-3＜x＜1}，B={x|（x+1）（x-3）≤0}={x|-1≤x≤3}，∴A∩B={x|-1≤x＜1}=[-1，1）．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，得解．【详解】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，故选：B．【点睛】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题．4.已知数列{a n}是等比数列，a1=5，a2a3=200，则a5=（）A. 100B.C. 80D.【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【详解】设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=5，a2a3=200，∴52×q3=200，解得q=2．则a5=5×24=80．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.影壁，也称为照壁，古称萧墙，是我国传统建筑中用于遮挡视线的墙壁．如图是一面影壁的示意图，该图形是由一个正八边形和一个正方形组成的，正八边形的边长和中间正方形的边长相等，在该示意图内随机取一点，则此点取自中间正方形内部的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设正八边形的边长为a，分别求出正八边形的面积及正方形的面积，由几何概型知概率是面积比得答案．【详解】设正八边形的边长为a，则其面积为=．中间正方形的面积为2a2．由几何概型知概率为面积比可得，此点取自中间正方形内部的概率是．故选：A．【点睛】本题考查几何概型，考查正八边形面积的求法，是基础题．6.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可以看出，从而得出a，b，c的大小关系【详解】，；∴b＞c＞a．故选：B．【点睛】考查对数函数的单调性，对数的运算性质，对数的换底公式．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图知该几何体是半圆锥体，结合图中数据求出该锥体的表面积．【详解】解：根据三视图知，该几何体是半圆锥体，如图所示；且底面圆的半径为1，高为2，母线长为；所以该锥体的表面积为：S=π•12+π•1•+•2•2=π+2．故选：C．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．8.设D为△ABC所在平面内一点，，若，则λ-μ=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可知B、C、D三点在同一直线上，然后结合图形和向量运算找出λ、μ的值．【详解】解：由，可知，B、C、D三点在同一直线上，图形如下：根据题意及图形，可得：∴λ-μ=．故选：A．【点睛】本题主要考查向量共线的知识以及向量的数乘和线性运算，属基础题．9.如图所示的程序框图设计的是求的一种算法，在空白的“”中应填的执行语句是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意n的值为多项式的系数，由100，99…直到1，从而得到我们需要输出的结果．【详解】由题意，n的值为多项式的系数，由100，99…直到1，由程序框图可知，输出框中“”处应该填入n=100-i．故选：C．【点睛】本题主要考查了当型循环语句，算法在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．10.已知双曲线，F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点．若，则双曲线C的离心率为（）A. 3 B. 2 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的简单性质，转化求解推出a、b、c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】由题意可知：，解得tan∠MAF=3，可得：，可得c2+2a2-3ac=0，e2+2-3e=0，e＞1，解得e=2．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11.如图，三棱锥D-ABC中，，平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，则异面直线CM与BN所成角的余弦值为（）A. B. C. D. 0【答案】A【解析】【分析】取BC中点O，连结OD，OA，则OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，以O为原点，OC为x轴，OA为y 轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CM与BN所成角的余弦值．【详解】取BC中点O，连结OD，OA，∵三棱锥D-ABC中，，平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，∴OD⊥BC，O A⊥BC，OD⊥OA，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，C（，0，0），A（0，，0），D（0，0，），M（0，，），N（，0，），B（-，0，0），=（-，,），=（，0，），设异面直线CM与BN所成角的平面角为θ，则cosθ=．∴异面直线CM与BN所成角的余弦值为．故选：A．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知函数，若，且恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，利用已知条件列出不等式，然后求解a的范围．【详解】函数f（x）=x2+ax-lnx，可得：f′（x）=2x+a-，若m，n∈[1，+∞），且恒成立，即2x+a-＞3，x∈[1，+∞），恒成立．即a恒成立，令y=3-2x+在x∈[1，+∞）时是减函数，可得a＞3-2+1=2．故选：C．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足约束条件，若z=x+y，则z的最大值为______．【答案】【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．由解得．代入目标函数z=x+y得z=．即目标函数z=x+y的最大值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14.两个女生和三个男生站成一排照相，两个女生要求相邻，男生甲不站在两端，不同排法的种数为______【答案】24【解析】【分析】先把2名女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和另外的2名男生全排列形成了2个空（不包含两端），将男生甲插入到其中，问题得以解决．【详解】先把2名女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和另外的2名男生全排列形成了2个空（不包含两端），将男生甲插入到其中，故有A22A33A21=24种，故选：24．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，对于受到多个限制条件的排队问题，要关键题意，确定合理的分类或分步解决方案，做到既满足题意，又不重不漏15.已知等差数列{a n}的首项a1=1，若3a3=7a7，则数列{a n}的前n项和的最大值为______．【答案】5【解析】【分析】先求出公差，再求出通项公式，求出数列{a n}的前n项和的最大值的项，根据求和公式即可求出．【详解】设公差为d，∵3a3=7a7，a1=1，∴3（1+2d）=7（1+6d），解得d=-，∴a n=1-（n-1）=，令a n≥0，解得n=10，∴数列{a n}的前n项和的最大值为S10=10+，故答案为：5【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和通项公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题16.已知点P（-1，-1），且点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，过点F且斜率为-2的直线l与该抛物线交于A，B两点．若，则p=______．【答案】2【解析】【分析】联立直线l的方程与抛物线的方程，利用韦达定理以及向量数量积列式可得．【详解】∵F（，0），直线l：y=-2（x-）=-2x+p，联立消去y得4x2-6px+p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2= p，x1x2=，∴ =（-1-x1）（-1-x2）+（-1-y1）（-1-y2）=1+x1x2+x1+x2+（p+1）2+4x1x2-2（p+1）（x1+x2）=5x1x2+（-1-2p）（x1+x2）+1+（p+1）2= +（-1-2p）× p+1+（p+1）2=0，解得p=2．故答案为：2【点睛】本题考查了抛物线的性质，属中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角的对边分别为，已知．求；若，且面积，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求b的值，根据余弦定理可得a的值．【详解】（1）∵，∴b=2a（cosCcos+sinCsin），可得：b=acosC+asinC，由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC，可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC，可得：cosA=sinA，可得：tanA=，∵A∈（0，π），∴A=（2）∵，且△ABC面积=bcsinA=2c×c×，∴解得：c=2，b=4，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2××2×=28，解得：a=2【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥DA，DC∥AB，AB=2DC=4，PA=DA=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：平面PCB⊥平面ABP；（2）求二面角D-PC-B的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设E，F分别为AP，PB的中点，过C向AB引垂线，垂直足为Q，连结CF，DE，EF，FQ，推导出DE⊥AP，CF⊥AP，从而CD⊥平面PAD，C D⊥PD，CQ⊥AB，进而，CQ=AD ,CF⊥PB，CF⊥平面APB，由此能证明平面PCB⊥平面ABP．（2）过P作AD的垂线，垂足为O，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD内过点O作A原垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角D-PC-B的余弦值．【详解】（1）如图，设E，F分别为AP，PB的中点，过C向AB引垂线，垂直足为Q，连结CF，DE，EF，FQ，得,，故EF//DC, EF=DC，∴CF∥DE，又PA=PD=DA，∴DE⊥AP，∴CF⊥AP，由平面PAD⊥平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∴PC2=DC2+DP2=8，又CQ⊥AB，∴CQ//AD，CQ=AD,∴BC2=QC2+QB2=8，∴PC=BC，又F为PB的中点，∴CF⊥PB，∴CF⊥平面APB，又CF⊂平面PCB，∴平面PCB⊥平面ABP．（2）如图，过P作AD的垂线，垂足为O，由（1）知O为AD的中点，故PO⊥AD，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD内过点O作A原垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则D（-1，0，0），C（-1，2，0），B（1，4，0），P（0，0，），=（1，-2，），=（2，1，0），设平面PCB的法向量=（x，y，z），则，即，取x=1，得=（1，-1，-），设平面PDC的法向量为=（x，y，z），则，，取z=1，得=（-，0，1），∴cos＜＞==-，∴二面角D-PC-B的余弦值为-．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知P（0，2）是椭圆的一个顶点，C的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点P的两条直线l1，l2分别与C相交于不同于点P的A，B两点，若l1与l2的斜率之和为-4，则直线AB是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，解得a=，b=2，c=，即可求出，（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，根据韦达定理和斜率公式，即可求出y=kx-k-2=k（x-1）-2，可得直线过定点，当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=m，易求出直线AB经过定点，定点为（1，-2）【详解】（1）由题意可得，解得a=，b=2，c=，∴椭圆的方程为+=1，（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理，可得（3k2+2）x2+6ktx+3t2-12=0，∴△=36（kt）2-4×（3k2+2）（3t2-12）=0＞0，即6k2+4-t2＞0，则x1+x2=-，x1x2=，由l1与l2的斜率之和为-4，可得+=-4，又y1=kx1+t，y2=kx2+t，∴+=-+=2k+=2k+=-4，化简可得t=-k-2，∴y=kx-k-2=k（x-1）-2，∴直线AB经过定点（1，-2），当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=m，A（m，y1），B（m，y2），+=，又y1，y2互为反函数，∴y1+y2=0，故x=1，也过点（1，-2），综上直线AB经过定点，定点为（1，-2）【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查根的判断式、韦达定理、斜率公式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.某公司销售部随机抽取了1000名销售员1天的销售记录，经统计，其柱状图如图．该公司给出了两种日薪方案．方案1：没有底薪，每销售一件薪资20元；方案2：底薪90元，每日前5件的销售量没有奖励，超过5件的部分每件奖励20元．（1）分别求出两种日薪方案中日工资y（单位：元）与销售件数n的函数关系式；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：（Ⅰ）根据柱状图，试分别估计两种方案的日薪X（单位：元）的数学期望及方差；（Ⅱ）如果你要应聘该公司的销售员，结合（Ⅰ）中的数据，根据统计学的思想，分析选择哪种薪资方案比较合适，并说明你的理由．【答案】（1）见解析；（2）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（1）分别写出方案1、方案2的日工资y与销售件数n的函数关系式即可；（2）（Ⅰ）根据柱状图写出方案1的日薪X1的分布列，计算数学期望和方差；写出方案2的日薪X2的分布列，计算数学期望和方差；【详解】（1）方案1：日工资y（单位：元）与销售件数n的函数关系式为：y=20n，n∈N；方案2：日工资y（单位：元）与销售件数n的函数关系式为y=；（2）（Ⅰ）根据柱状图知，日销售量满足如下表格；所以方案1的日薪X1的分布列为，数学期望为E（X1）=60×0.05+80×0.2+100×0.25+120×0.4+140×0.1=106，方差为D（X1）=0.05×（60-106）2+0.2×（80-106）2+0.25×（100-106）2+0.4×（120-106）2+0.1×（140-106）2=444；方案2的日薪X2的分布列为，数学期望为E（X2）=90×0.5+110×0.4+130×0.1=102，方差为D（X2）=0.5×（90-102）2+0.4×（110-102）2+0.1×（130-102）2=176；（Ⅱ）答案1：由（Ⅰ）的计算结果可知，E（X1）＞E（X2），但两者相差不大，又D（X1）＞D（X2），则方案2的日薪工资波动相对较小，所以应选择方案2．答案2：由（Ⅰ）的计算结果可知，E（X1）＞E（X2），方案1的日薪工资期望大于方案2，所以应选择方案1．【点睛】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．21.已知函数．（1）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=-x-1，求a，b的值；（2）当b=1，a＜0时，证明：函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1+x2＞2．【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程关系进行求解即可．（2）求函数的导数，判断函数的单调性，由零点存在性定理，转化为证明f（x2）＞f（2-x1）即可．【详解】（1）f（0）=-b=-1，所以b=1．又f'（x）=2x-2+，则f'（0）=-2+a，所以-2+a=-1，得a=1．（2）当b=1吋．f（x）=x2-2x+-1，则f′（x）=2x-2+=（x-1）（2-）已知a＜0，所以2-＞0，故f'（x）=0得x=1．当x∈（-∞，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递减．在（1，+∞）上单调递增．又f（1）=-2+＜0，f（-1）=2-ae＞0，当-1≤a＜0时，3a≥-3，2e3+3a≥2e3-3＞0，所以f（3）=2+＞0；当a＜-1，-e3a＞e3⇒ln（-e3a）＞ln e3=3＞1．不妨没ln（-e3a）=t＞3，则f（t）=t2-2t+-1=t2-2t+-1=t2-（2+）t-1．二次函数g（t）=t2-（2+）t-1的对称轴为t=＜3所以f（t）＞g（3）=9-6--1=2-＞0，由零点存在性定理，函数f（x）存在两个零点x1，x2，设x1＜1＜x2，由x1+x2＞2，得x2＞2-x1＞1＞x1，由函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，只需证f（x2）＞f（2-x1）即可．又f（x1）=f（x2）=0，所以只需证f（x1）＞f（2-x1）即可．f（x1）=x12-2x1+-1，f（2-x1）=（2-x1）2-2（2-x1）+-1，只需证x12-2x1+＞（2-x1）2-2（2-x1）+，化简得即证，=设h（x）=xe2-x-（2-x）e x，则h'（x）=（1-x）（e2-x-e x）．当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0；当x∈（-∞，1）时，h'（x）＞0．而h（1）=0，故当x＜1时，h（x）＜0．而＞0恒成立．故f（x1）＞f（2-x1），即f（x2）＞f（2-x1），则x2＞2-x1，即x1+x2＞2，成立．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，以及导数的几何意义，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和C2的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为，直线l与曲线C1和C2分别交于不同于原点的A，B两点，求|AB|的值．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用求出结果．【详解】（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：y2=8x，转换为极坐标方程为：ρsin2θ=8cosθ．曲线C2的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为：x2+y2-2x-2y=0，转换为极坐标方程为：ρ-2cosθ-2sinθ=0．（2）设A（）B（），所以：，，所以：．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知的最小值为．求的值；若实数满足，求的最小值．【答案】（1）2；（2）1【解析】【分析】（1）分类讨论将函数f（x）化为分段函数，进而求出t的值；（2）根据t的值求得a2+b2的值，进而得到a2+1+b2+2的值再根据基本不等式求最小值．【详解】（1）f（x）=|2x+2|+|x-1|=故当x=-1时，函数f（x）有最小值2，所以t=2．（2）由（1）可知2a2+2b2=2，故a2+1+b2+2=4，所以=当且仅当a2+1=b2+2=2，即a2=1，b2=0时等号成立，故的最小值为1．【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．。
高考数学模拟试卷衡水中学理科
衡水中学高考数学全真模拟试卷〔理科〕 第1卷 一、〔本大共12小， 每小5分， 共60分.在每个小出的四此中，只有一是切合目要求的.〕2＜1}，1．〔5分〕〔2021?衡中模〕会合A={x|x B={y|y=|x|}，A∩B=〔A ．?B ．〔0，1〕C ．[0，1〕D ．[0，1]2．〔5分〕〔2021?衡中模〕随机量ξ～N 〔3， 2假定P 〔ξ＞4〕，P 〔3σ〕，＜ξ≤4〕=〔 〕A ．B ．C ．D ．3．〔5分〕〔2021?衡中模〕复数 z=〔i 虚数位〕，3=〔〕A ．1B ．1C ．D ．4．〔5分〕〔2021?衡中模〕双曲=1〔a ＞0， b ＞0〕的一个焦点F 作两近 的垂，垂足分P 、Q ，假定∠PFQ=π，双曲的近方程〔〕A ．y=±xB．y=±xC．y=±x D ．y=±x 5．〔5分〕〔2021?衡中模〕将半径 1的切割成面之比 1：2：3的三个扇形作三个的面， 三个底面半径挨次r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的〔 〕 A ． B ．2 C ． D ．16．〔5分〕〔2021?衡中模〕如是某算法的程序框，程序运转后出的果是〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．57．〔5分〕〔2021?衡中模〕等差数列{a n }中， a 3=7， a 5=11， 假定b n = ，数列{bn}的前8和〔 〕A ．B ．C ．D ．8．〔5分〕〔2021?衡中模〕〔x3〕10=a0+a1〔x+1〕+a2〔x+1〕2+⋯+a10〔x+1〕10，a=〔 〕8A．45B．180C．180D．720第1页〔共22页〕9．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为〔〕A．16B．8+6C．16D．16+610．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的左焦点F〔﹣3，0〕，P为椭圆上一动点，椭圆内部点M〔﹣1，3〕知足PF+PM的最大值为17，那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．11．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕f〔x〕=，假定函数y=f〔x〕﹣kx恒有一个零点，那么k的取值范围为〔〕A．k≤0B．k≤0或k≥1C．k≤0或k≥eD．k≤0或k≥12．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b nn﹣4，设c n n6n*，n≠6〕，那么=2=，假定在数列{c}中c＜c〔n∈Np的取值范围〔〕A．〔11，25〕B．〔12，22〕C．〔12，17〕D．〔14，20〕第2页〔共22页〕第2卷二、填空题〔本大题共 4小题， 每题5分， 共20分．把答案填在题中的横线上．〕13．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕假定平面向量 、知足||=2| |=2，|﹣|=，那么 在上的投影为．n 12 n+2 ，14〔．5分〕〔2021?衡中模拟〕假定数列{a}知足a=a=1 ，a=那么数列{a n }前2n 项和S 2n =．15．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕假定直线 ax+〔a ﹣2〕y+4﹣a=0把地区 分红面积相等的两局部，那么的最大值为 ．16．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕函数f 〔x 〕=〔a+1〕lnx+ x 2〔a ＜﹣1〕对任意的x 1、x 2＞0， 恒有|f 〔x 1〕﹣f 〔x 2〕|≥4|x 1﹣x 2|，那么a 的取值范围为． 三、解答题〔本大题共 5小题，共70分.解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕 17．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕在△ABC 中， 角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，知足c=1，且cosBsinC+〔a ﹣sinB 〕cos 〔A+B 〕=0〔1〕求C 的大小；〔2〕求a 2+b 2的最大值，并求获得最大值时角 A ，B 的值．18．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕如图， 在四棱锥 P ﹣ABCD 中， 侧棱PA ⊥底面ABCD ， AD ∥BC ， ∠ABC=90°， PA=AB=BC=2， AD=1， M 是棱PB 中点． 〔Ⅰ〕求证：平面 PBC ⊥平面PCD ；〔Ⅱ〕设点N 是线段CD 上一动点， 且 =λ ，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时， 求λ的值．第3页〔共22页〕19．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕如图是两个独立的转盘〔A〕、〔B〕，在两个图中三个扇形地区的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规那么是：同时转动两个转盘待指针停下〔当两个转盘中随意一个指针恰巧落在分界限时，那么此次转动无效，重新开始〕，记转盘〔A〕指针所对的地区为x，转盘〔B〕指针所对的地区为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．〔Ⅰ〕求x＜2且y＞1的概率；〔Ⅱ〕求随机变量ξ的散布列与数学希望．20．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕，倾斜角为45°的直线与椭圆订交于M、N两点，且线段MN的中点为〔﹣1，〕．过椭圆E内一点P〔1，〕的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且知足=λ，=λ，此中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．〔Ⅰ〕求椭圆E的方程；〔Ⅱ〕当λ变化时，k AB能否为定值？假定是，恳求出此定值；假定不是，请说明原因．第4页〔共22页〕21．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕函数f〔x〕=，曲线y=f〔x〕在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．〔Ⅰ〕假定函数g〔x〕= f〔x〕﹣ax在〔1，+∞〕上是减函数，务实数a的最小值；〔Ⅱ〕假定函数F〔x〕=f〔x〕﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．〔10分〕〔2021?衡中模拟〕以以下图，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．〔Ⅰ〕求证：DE∥AB；〔Ⅱ〕求证：AC?BC=2AD?CD．第5页〔共22页〕[选修4-4：坐标系与参数方程]23．〔2021?衡中模拟〕在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=〔1〕求曲线C的直角坐标方程和直线l的一般方程；〔2〕假定直线l与曲线C订交于A，B两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．〔2021?衡中模拟〕函数f〔x〕=|x﹣l|+|x﹣3|．〔I〕解不等式f〔x〕≤6；〔Ⅱ〕假定不等式f〔x〕≥ax﹣1对随意x∈R恒成立，务实数a的取值范围．第6页〔共22页〕参照答案与试题分析一、选择题〔本大题共12小题，每题 5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .〕1．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕会合A={x|x 2＜1}，B={y|y=|x|}，那么A ∩B=〔〕A ．?B ．〔0，1〕C ．[0，1〕D ．[0，1]【解答】解：A={x|x 2＜1}={x|﹣1＜x ＜1}，B={y|y=|x|≥0}， 那么A ∩B=[0，1〕，应选：C ．2．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕设随机变量ξ～N 〔3， 2σ〕，假定P 〔ξ＞4〕，那么P 〔3＜ξ≤4〕=〔 〕A ．B ．C ．D ．2【解答】解：∵随机变量 X 听从正态散布 N 〔3，σ〕，∴μ=3， 得对称轴是x=3．∵P 〔ξ＞4〕∴P 〔3＜ξ≤4〕﹣． 应选：C3．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕复数 z= 〔i 为虚数单位〕，那么3〕=〔A ．1B ．﹣1C ．D ．【解答】解：复数 z= ，可得=﹣=cos+isin ．3那么=cos4π+isin4π=1． 应选：A ．4．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕过双曲线 ﹣ =1〔a ＞0， b ＞0〕的一个焦点 F 作两渐近线的垂线，垂足分别为 P 、Q ， 假定∠PFQ= π， 那么双曲线的渐近线方程为〔〕A ．y=± xB ．y=± xC ．y=±xD ．y=± x【解答】解：如图假定∠PFQ=π，那么由对称性得∠QFO= ，那么∠QOx= ，第7页〔共22页〕即OQ的斜率k= =tan=，那么双曲线渐近线的方程为y=±x，应选：B5．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕将半径为1的圆切割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径挨次为r 1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为〔〕A．B．2C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，应选：D．6．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕如图是某算法的程序框图，那么程序运转后输出的结果是〔〕A．2B．3C．4D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不可立，a=0，T=1，k=3，k ＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不可立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第8页〔共22页〕第四次循， sin2π＞sin， 即0＞1成立， a=1， T =1+1=2， k=5， k ＜6成立，第五次循， sin ＞sin2π， 即1＞0成立， a=1， T =2+1=3， k=6， k ＜6不可立， 出T=3， 故：B7．〔5分〕〔2021?衡中模〕等差数列{a n }中， a 3=7， a 5=11， 假定b n = ，数列{b n }的前8 和〔 〕 A ．B ．C ．D ．【解答】解：等差数列{a n }的公差d ， a 3=7，a 5=11，∴，解得a 1=3， d=2， a n =3+2〔n1〕=2n+1， ∴ ，∴b 8= 〔1 + +⋯+ 〕= 〔1 〕=故B ．8．〔5分〕〔2021?衡中模〕〔x 3〕10=a 0+a 1〔x+1〕+a 2〔x+1〕2+⋯+a 10〔x+1〕10，a 8=〔 〕A ．45B ．180C ．180D ．720 【解答】解：〔x 3〕10=[〔x+1〕4]10， ∴ ，故：D ．9．〔5分〕〔2021?衡中模〕如三棱 SABC 的三， 其表面〔 〕A ．16B ．8 +6C ．16D ．16+6第9页〔共22页〕【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥获得的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16．应选：C．10．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的左焦点F〔﹣3，0〕，P为椭圆上一动点，椭圆内部点M〔﹣1，3〕知足PF+PM的最大值为17，那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F〔﹣3，0〕，可得Q〔3，0〕，由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，那么|PM|+|PF|=2a+〔|PM|﹣|PQ|〕≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，获得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，那么e===，应选：A．11．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕f〔x〕=，假定函数y=f〔x〕﹣kx恒有一个零点，那么k的取值范围为〔〕A．k≤0B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f〔x〕﹣kx=0得f〔x〕=kx，作出函数f〔x〕和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f〔x〕和y=kx恒有一个交点，第10页〔共22页〕当x ≥0时， 函数f 〔x 〕=ln 〔x+1〕的导数f ′〔x 〕= ，那么f ′〔0〕=1，当x ＜0时， 函数f 〔x 〕=e x ﹣1的导数f ′〔x 〕=e x， 那么f ′〔0〕=e 0=1，即当k=1时， y=x 是函数f 〔x 〕的切线，那么当0＜k ＜1时，函数f 〔x 〕和y=kx 有3个交点， 不知足条件．当k ≥1时， 函数f 〔x 〕和y=kx 有1个交点，知足条件．综上k 的取值范围为k ≤0或k ≥1，应选：B ．12．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕数列{a n }的通项公式为 a n =﹣2n+p ，数列{b n }的通项公式为b n=2n ﹣4，设c n，n6n〔n ∈N *，n ≠6〕，那么=假定在数列{c} 中c ＜cp 的取值范围〔〕A ．〔11， 25〕B ．〔12， 22〕C ．〔12， 17〕D ．〔14，20〕【解答】解：∵a n nn ﹣4，﹣b=﹣2n+p ﹣2∴a n ﹣b n 跟着n 变大而变小，又∵a n =﹣2n+p 跟着n 变大而变小，nn ﹣4跟着n 变大而变大， b=2 ∴，〔1〕当〔2〕当 ，综上p ∈〔14， 20〕， 应选D ．二、填空题〔本大题共4小题， 每题5分， 共20分．把答案填在题中的横线上． 〕13．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕假定平面向量 、知足| |=2| |=2，|﹣|=， 那么 在上的投影为﹣1．第11页〔共22页〕【解答】解：依据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕假定数列{a n}知足a1=a2=1，a n+2=，那么数列{a n}前2n项和S2n= 2n+n2﹣1．【解答】解：∵数列{a n}知足a1=a2=1，a n+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a 2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为：2n+n2﹣1．15．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕假定直线ax+〔a﹣2〕y+4﹣a=0把地区分红面积相等的两局部，那么的最大值为2．【解答】解：由ax+〔a﹣2〕y+4﹣a=0得a〔x+y﹣1〕+4﹣2y=0，那么得，即直线恒过C〔﹣1，2〕，假定将地区分红面积相等的两局部，那么直线过AB的中点D，由得，即A〔1，6〕，∵B〔3，0〕，∴中点D〔2，3〕，代入a〔x+y﹣1〕+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，那么，那么的几何意义是地区内的点到点〔﹣2，0〕的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．第12页〔共22页〕故答案为：2．16．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕函数 f 〔x 〕=〔a+1〕lnx+x 2〔a ＜﹣1〕对任意的x 12＞0， 12 1 2 那么a 的取值范围为〔﹣∞，﹣、x 恒有|f 〔x 〕﹣f 〔x〕|≥4|x ﹣x|，2]．【解答】解：由f ′〔x 〕= +x ，得f ′〔1〕=3a+1，所以f 〔x 〕=〔a+1〕lnx+ax 2， 〔a ＜﹣1〕在〔0，+∞〕单一递减， 不如设0＜x 1＜x 2，那么f 〔x 1 2 2 4x 1 1 1 2 2〕﹣f 〔x 〕≥4x ﹣ ，即f 〔x 〕+4x ≥f 〔x 〕+4x ， 令F 〔x 〕=f 〔x 〕+4x ， F ′〔x 〕=f ′〔x 〕+4= +2ax+4，等价于F 〔x 〕在〔0， +∞〕上单一递减，故F'〔x 〕≤0恒成立，即+2ax+4≤0，所以 恒成立，得a ≤﹣2．故答案为：〔﹣∞，﹣2]．三、解答题〔本大题共 5小题， 共70分.解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤 .〕 17．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕在△ ABC 中， 角A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 知足c=1， 且cosBsinC+〔a ﹣sinB 〕cos 〔A+B 〕=0 〔1〕求C 的大小；〔2〕求a 2+b 2的最大值， 并求获得最大值时角 A ， B 的值． 【解答】解：〔1〕cosBsinC+〔a ﹣sinB 〕cos 〔A+B 〕=0 可得：cosBsinC ﹣〔a ﹣sinB 〕cosC=0 即：sinA ﹣acosC=0． 由正弦定理可知： ，第13页〔共22页〕∴，c=1，asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin〔C﹣〕=0，C是三角形内角，∴C=．〔2〕由余弦定理可知：222c=a+b﹣2abcosC，得1=a 2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a 2+b2取到最大值为2+．18．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．〔Ⅰ〕求证：平面PBC⊥平面PCD；〔Ⅱ〕设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：〔1〕取PC的中点E，那么连结DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM?平面PAB，∴BC⊥AM，第14页〔共22页〕又PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．〔2〕以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴成立空间直角坐标系，以以下图：那么A〔0，0，0〕，B〔0，2，0〕，M〔0，1，1〕，P〔0，0，2〕，C〔2，2，0〕，D〔1，0，0〕．∴=〔1，2，0〕，=〔0，1，1〕，=〔1，0，0〕，∴=λ=〔λ，2λ，0〕，=〔λ+1，2λ，0〕，==〔λ+1，2λ﹣1，﹣1〕．∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，那么sinθ=．∴当即时，sinθ获得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕如图是两个独立的转盘〔A〕、〔B〕，在两个图中三个扇形地区的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规那么是：同时转动两个转盘待指针停下〔当两个转盘中随意一个指针恰巧落在分界限时，那么此次转动无效，重第15页〔共22页〕新开始〕， 〔A 〕指所的地区 x ， 〔B 〕指所的地区 y ， x 、y ∈{1， 2， 3}， x+y 的ξ． 〔Ⅰ〕求x ＜2且y ＞1的概率；〔Ⅱ〕求随机量 ξ的散布列与数学希望．【解答】解：〔1〕A 指指向1， 2， 3地区的事件 A 1， A 2，A 3，同理B 指指向1，2，3地区的事件 B 1，B 2，B 3，∴P 〔A 1〕=，P 〔A 2〕=，P 〔A 3〕=，P 〔B 1〕=，P 〔B 2〕=，P 〔B 3〕=，P=P 〔A 1〕P 〔1P 〔B 1〕〕=×〔1〕==．⋯〔5分〕〔2〕由得ξ的可能取 2，3，4， 5，6，P 〔ξ=2〕=P 〔A 〕P 〔B 〕===，11P 〔ξ=3〕=P 〔A 1〕P 〔B 2〕+P 〔A 2〕P 〔B 1〕== ，P 〔ξ=4〕=P 〔A 1〕P 〔B 3〕+P 〔A 2〕P 〔B 2〕+P 〔A 3〕P 〔B 1〕==，P 〔ξ=5〕=P 〔A 2〕P 〔B 3〕+P 〔A 3〕P 〔B 2〕=+=，P 〔ξ=6〕=P 〔A3〕P 〔B 〕==，3 ∴ξ的散布列：ξ 2345 6PE ξ==．⋯〔12分〕20．〔12分〕〔2021?衡中模〕 E ：+=1〔a ＞b ＞0〕， 斜角 45°的直与订交于M 、N 两点， 且段MN 的中点〔1，〕．E 内一点P 〔1，第16页〔共22页〕〕的两条直分与交于点 A 、C 和B 、D ， 且足 =λ ，=λ ， 此中λ数．当直AP 平行于x ， 的λ=．〔Ⅰ〕求E 的方程；〔Ⅱ〕当λ化，k AB 能否定？假定是， 求出此定；假定不是， 明原因．【解答】解：〔Ⅰ〕M 〔m 1，n 1〕、N 〔m 2， n 2〕， ，两式相减 ，故a 2=3b 2⋯〔2分〕 当直AP 平行于x ，|AC|=2d ，∵， ， ，解得 ， 故点A 〔或C 〕的坐．代入方程 ， 得 ⋯4分 a 2=3， b 2=1， 所以方程 ⋯〔6分〕〔Ⅱ〕A 〔x 1， y 1〕、B 〔x 2， y 2〕、C 〔x 3，y 3〕、D 〔x 4， y 4〕因为，可得A 〔x 1， y 1〕、B 〔x 2，y 2〕、C 〔x 3，y 3〕、D 〔x 4，y 4〕，⋯①同理 可得 ⋯②⋯〔8分〕第17页〔共22页〕由①②得：⋯③将点A、B的坐代入方程得，两式相减得〔x1+x2〕〔x1x2〕+3〔y1+y2〕〔y1y2〕=0，于是3〔y1+y2〕k AB=〔x1+x2〕⋯④同理可得：3〔y3+y4〕k CD=〔x3+x4〕，⋯〔10分〕于是3〔y3+y4〕k AB=〔x3+x4〕〔∵AB∥CD，∴k AB=k CD〕所以3λ〔y3+y4〕k AB=λ〔x3+x4〕⋯⑤由④⑤两式相加获得：3[y1+y2+λ〔y3+y4〕]k AB=[〔x1+x2〕+λ〔x3+x4〕]把③代入上式得3〔1+λ〕k AB=2〔1+λ〕，解得：，当λ化，k AB定，．⋯〔12分〕21．〔12分〕〔2021?衡中模〕函数f〔x〕=，曲y=f〔x〕在点x=e 2的切与直x2y+e=0平行．〔Ⅰ〕假定函数g〔x〕=f〔x〕ax在〔1，+∞〕上是减函数，求数a的最小；〔Ⅱ〕假定函数F〔x〕=f〔x〕无零点，求k的取范．【解答】解：〔Ⅰ〕由，得，解得m=2，故，，函数g〔x〕的定域〔0，1〕∪〔1，+∞〕，而，又函数g〔x〕在〔1，+∞〕上是减函数，∴在〔1，+∞〕上恒成立，∴当x∈〔1，+∞〕，的最大．而，即右的最大，第18页〔共22页〕∴， 故实数a 的最小值 ；〔Ⅱ〕由题可得，且定义域为〔0， 1〕∪〔1，+∞〕，要使函数F 〔x 〕无零点，即 在〔0， 1〕∪〔1，+∞〕内无解，亦即 在〔0， 1〕∪〔1，+∞〕内无解．结构函数 ， 那么 ，〔1〕当k ≤0时， h'〔x 〕＜0在〔0， 1〕∪〔1， +∞〕内恒成立， ∴函数h 〔x 〕在〔0， 1〕内单一递减， 在〔1， +∞〕内也单一递减． 又h 〔1〕=0， ∴当x ∈〔0， 1〕时， h 〔x 〕＞0， 即函数h 〔x 〕在〔0， 1〕内无 零点， 同理， 当x ∈〔1， +∞〕时， h 〔x 〕＜0， 即函数h 〔x 〕在〔1， +∞〕内无零点， 故k ≤0知足条件；〔2〕当k ＞0时， ．①假定0＜k ＜2， 那么函数h 〔x 〕在〔0， 1〕内单一递减，在内也单一递减， 在内单一递加．又h 〔1〕=0， ∴h 〔x 〕在〔0，1〕内无零点；又， 而 ， 故在 内有一个零点，∴0＜k ＜2不知足条件；②假定k=2，那么函数h 〔x 〕在〔0， 1〕内单一递减， 在〔1， +∞〕内单一递加．又h 〔1〕=0， ∴当x ∈〔0，1〕∪〔1，+∞〕时，h 〔x 〕＞0恒成立，故无零点．∴k=2知足条件；③假定k ＞2， 那么函数h 〔x 〕在 内单一递减，在内单一递加，在〔1，+∞〕内也单一递加．又h 〔1〕=0，∴在 及〔1，+∞〕内均无零点．易知﹣kkk2 ﹣2=?〔k 〕，，又h 〔e 〕=k ×〔﹣k 〕﹣2+2e =2e ﹣k那么?'〔k 〕=2〔e k﹣k 〕＞0，那么?〔k 〕在k ＞2为增函数，∴?〔k 〕＞?〔2〕=2e 2﹣6＞0．第19页〔共22页〕故函数h〔x〕在内有一零点，k＞2缺少．上：k≤0或k=2．[修4-1：几何明]22．〔10分〕〔2021?衡中模〕如所示，AC⊙O的直径，D的中点，EBC的中点．〔Ⅰ〕求：DE∥AB；〔Ⅱ〕求：AC?BC=2AD?CD．【解答】明：〔Ⅰ〕接BD，因D的中点，所以BD=DC．因E BC的中点，所以DE⊥BC．因AC的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．⋯〔5分〕〔Ⅱ〕因D的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，∠DAC=∠DCB．又因AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD?CD=AC?CE，2AD?CD=AC?2CE，所以2AD?CD=AC?BC．⋯〔10分〕[修4-4：坐系与参数方程][修4-5：不等式]24．〔2021?衡中模〕函数f〔x〕=|x l|+|x 3|．〔I〕解不等式f〔x〕≤6；〔Ⅱ〕假定不等式 f〔x〕≥ax 1随意x∈R恒成立，求数a的取范．【解答】解：函数f〔x〕=|x l|+|x 3|=的象如所示，第20页〔共22页〕〔I 〕不等式 f 〔x 〕≤6，即 ①或 ②， 或 ③．解①求得x ∈?， 解②求得3＜x ≤5， 解③求得1≤x ≤3． 上可得， 原不等式的解集 [ 1， 5]．〔Ⅱ〕假定不等式 f 〔x 〕≥ax 1随意x ∈R 恒成立， 函数f 〔x 〕的象 不可以在y=ax 1的象的下方． 如所示：因为中两射的斜率分 2， 2， 点B 〔3， 2〕， ∴3a 1≤2， 且a ≥2， 求得2≤a ≤1．23．〔2021?衡中模〕在平面直角坐系中， 直l 的参数方程〔t 参数〕，在以直角坐系的原点 O 极点，x 的正半极的极坐系中，曲C 的极坐方程ρ=〔1〕求曲C 的直角坐方程和直 l 的一般方程；〔2〕假定直l 与曲C 订交于A ，B 两点，求△AOB 的面．【解答】解：〔1〕由曲C 的极坐方程ρ=22θ=2ρcos θ．得ρsin∴由曲C 的直角坐方程是：y 2=2x ．由直l 的参数方程〔t 参数〕，得t=3+y 代入x=1+t 中消去t 得：xy4=0，所以直l 的一般方程：xy4=0⋯〔5分〕〔2〕将直l 的参数方程代入曲 C 的一般方程y 2=2x ，得t 28t+7=0，A ，B 两点的参数分 t 1，t 2，所以|AB|===，第21页〔共22页〕因原点到直x y 4=0的距离d=，所以△AOB的面是|AB|d==12．⋯〔10分〕第22页〔共22页〕。
河北衡水中学2020-2021学年度高三上学期新高考第四次调研考试-数学试题及答案
∵ ， 是 ， 的中点，
∴ ，且 .
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ 为平行四边形，
∴ .
又 平面 ，且 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）取 中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ， .设 ，
由（1）得 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，同理∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
【详解】
设 ，则 ， ，
，即 在 上单调递减，
，即 ，
即 ，故选项A不正确； ，
即 ，即 ，故选项D不正确；
，即 ，即 ．
故选项B不正确；故选：C．
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8．A
设椭圆方程为 ，
双曲线方程为 ，
20【答案】（1） ；（2）过定点（2，-1）.
【分析】
（1）设点 ，根据MA，BM的斜率之积为 ，可得 ，又M在椭圆上，所以 ，联立方程，可解得 ，又根据题意 ，即可求得椭圆方程.
（2）设 ， ，联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理可得 的表达式，根据题意 ，代入求解可得 ，代入直线，即可求得定点坐标.
3．若双曲线 ( )的离心率为 ，则 （ ）
A． B． C．4D．
因为 ( )可化为 ( )，
所以 ，则 ，即 .故选：D.
4．B由于正四棱锥：底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形，设正四棱锥的底边为 ，
底面积为 ，所以，该正四棱锥的侧面积为 ，设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为 ，则有 ，所以， ，设内切球的半径为 ，则如图，
河北衡水金卷2021-2022学年高三下学期联合考试数学试题含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 2．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．323．已知直线30x y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为A ．2B ．31+C ．5D ．51-4．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦5．设函数()(1x g x e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭B ．)+∞C ．)+∞D ．2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭6．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．π3B ．π6C ．π2D ．π48．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆9．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ）A ．12- B 1 C ．1D ．3210．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．13-B ．13C ．65-D ．6511．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥12．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π0,0,2A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）A ．π12B ．π6 C ．π3D ．5π12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021 年一般高等学校招生全国一致考试模拟试题理数〔一〕第一卷〔共 60 分〕一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1.会集，，，那么〔〕A. B. C. D.2.设是虚数单位，假设，，，那么复数的共轭复数是〔〕A. B. C. D.3.等差数列的前项和是，且，那么以下命题正确的选项是〔〕A.是常数B.是常数C.是常数D.是常数4.七巧板是我们祖先的一项创立，被誉为“东方魔板〞，它是由五块等腰直角三角形〔两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形〕、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，那么此点取自黑色局部的概率是〔〕学* 科*网...A. B. C. D.5. 点为双曲线：〔，〕的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，假设的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.6.函数那么〔〕A. B. C. D.7. 执行以以下图的程序框图，那么输出的的值为〔〕A. B. C. D.8.函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，那么函数的图象〔〕A.可由函数的图象向左平移个单位而得B.可由函数的图象向右平移个单位而得C.可由函数的图象向右平移个单位而得D.可由函数的图象向右平移个单位而得9.的张开式中剔除常数项后的各项系数和为〔〕A. B. C. D.10.某几何体的三视图以以下图，其中俯视图中六边形是边长为 1 的正六边形，点为的中点，那么该几何体的外接球的表面积是〔〕A. B. C. D.11. 抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、.两点，直线与抛物线交于、两点，假设与的斜率的平方和为1，那么的最小值为〔〕A. 16B. 20C. 24D. 3212. 假设函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒建立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．假设函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．假设，，使建立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.第二卷〔共 90 分〕二、填空题〔每题 5 分，总分值 20 分，将答案填在答题纸上〕13. 向量，，且，那么__________ ．14. ，满足拘束条件那么目标函数的最小值为__________．15.在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，那么数列的前项和为 __________ ．16.如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的地址，并使，那么五棱锥的体积的取值范围为 __________ ．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.的内角，，的对边，，分别满足，，.又点满足．〔1〕求及角的大小；〔2〕求的值．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．〔1〕求证：；〔2〕假设动点在棱上，试确定点的地址，使得直线与平面所成角的正弦值为．19. “过大年，吃水饺〞是我国很多地方过春节的一大民俗．2021 年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1〕求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；.〔2〕①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值遵从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，假设某人从某商场购置了 4 包这类品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这类质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学希望．附：① 计算得所抽查的这100 包速冻水饺的质量指标的标准差为；②假设，那么，．20. 椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为 2．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设直线：与椭圆订交于，两点，在轴上可否存在点，使直线与的斜率之和为定值？假设存在，求出点坐标及该定值，假设不存在，试说明原由．21. 函数，其中为自然对数的底数.〔1〕假设函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；〔2〕函数，且，假设函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为〔为参数，是大于0的常数〕．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．〔1〕求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；〔2〕分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，假设圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．23.选修 4-5 ：不等式选讲函数．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设正数，满足，求证：．一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1. 会集，，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】 C【解析】会集，故，会集表示非负的偶数，故，应选 C.2.设是虚数单位，假设，，，那么复数的共轭复数是〔〕A. B. C. D.【答案】 A【解析】，依照两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，应选 A.3.等差数列的前项和是，且，那么以下命题正确的选项是〔〕A.是常数B.是常数C.是常数D.是常数【答案】 D【解析】，为常数，应选 D.4.七巧板是我们祖先的一项创立，被誉为“东方魔板〞，它是由五块等腰直角三角形〔两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形〕、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，那么此点取自黑色局部的概率是〔〕A. B. C. D.【答案】 A【解析】由七巧板的构造可知，，故黑色局部的面积与梯形的面积相等，那么所求的概率为，应选 A.5.点为双曲线：〔，〕的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，假设的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】 D【解析】由，解得点，又，那么的中点坐标为，于是，，那么，解得或〔舍去〕，应选 D.【方法点睛】此题主要观察双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的观察中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，进而求出 ; ②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④依照圆锥曲线的统必然义求解．此题中，依照的中点坐标为在双曲线上找出之间的关系，从而求出离心率．6.函数那么〔〕A. B. C. D.【答案】 D【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，应选 D.7. 执行以以下图的程序框图，那么输出的的值为〔〕A. B. C. D.【答案】 C【解析】图中程序数列的和，因为，故此框图实质计算，应选 C.8. 函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，那么函数的图象〔〕A. 可由函数的图象向左平移B. 可由函数的图象向右平移C. 可由函数的图象向右平移D. 可由函数的图象向右平移个单位而得个单位而得个单位而得个单位而得【答案】 B【解析】，因为函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，因此函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，应选 B.9.的张开式中剔除常数项后的各项系数和为〔〕A. B. C. D.【答案】 A【解析】令，得，而常数项为，因此张开式中剔除常数项的各项系数和为，应选 A.10. 某几何体的三视图以以下图，其中俯视图中六边形是边长为 1 的正六边形，点为的中点，那么该几何体的外接球的表面积是〔〕A. B. C. D.【答案】 C【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为终究面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥的外接球表面枳为，应选 C.【方法点睛】此题利用空间几何体的三视图重点观察学生的空间想象能力和抽象思想能力以及外接球的表面积，属于难题. 三视图问题是观察学生空间想象能力最常有题型，也是高考热点 . 观察三视图并将其“翻译〞成直观图是解题的重点，不仅需注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等〞，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不相同地址对几何体直观图的影响 .11. 抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、.两点，直线与抛物线交于、两点，假设与的斜率的平方和为1，那么的最小值为〔〕A. 16B. 20C. 24D. 32【答案】 C【解析】易知直线，的斜率存在，且不为零，设，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，又〔当且仅当时取等号〕，的最小值为，应选 C.12. 假设函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒建立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．假设函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．假设，，使建立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】 B【解析】是定义在区间内的级类周期函数，且，，当时，，故时，时，，而当时，，，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递加，故，依题意得，即实数的取值范围是，应选 B.【方法点睛】此题主要观察分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题. 属于难题 .解决这类问题的重点是理解题意、正确把问题转变成最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：〔1〕只需；〔2〕，只需；〔3〕，只需；〔4〕，，.第二卷〔共 90 分〕二、填空题〔每题 5 分，总分值 20 分，将答案填在答题纸上〕13. 向量，，且，那么__________．【答案】【解析】,,故答案为.14. ，满足拘束条件那么目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】，作出拘束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，获取最小值，且，，故答案为.【方法点晴】此题主要观察线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔 1〕作出可行域〔必然要注意是实线还是虚线〕；（2〕找到目标函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目标函数，最先经过或最后经过的极点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，那么数列的前项和为__________．【答案】【解析】设的公比为，那么由等比数列的性质，知，那么，由与的等差中项为，知，得，即，那么，，故答案为.16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的地址，并使，那么五棱锥的体积的取值范围为__________．【答案】【解析】，平面，设，那么五棱锥的体积，，得或〔舍去〕，当时，单调递加，故，即的取值范围是，故答案为.三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．〔1〕求及角的大小；〔2〕求的值．【答案】 (1)(2)【解析】试题解析：〔 1〕由及正弦定理化简可得即，进而得．又，因此，由余弦定理得；〔 2〕由，得，因此．试题解析：〔1〕由及正弦定理得，即，在中，，因此．又，因此．在中，由余弦定理得，因此．〔2〕由，得，因此．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．〔1〕求证：；〔2〕假设动点在棱上，试确定点的地址，使得直线与平面所成角的正弦值为．【答案】 (1)见解析 (2)【解析】试题解析：〔1〕连接，，，与的交点为，连接，那么，由正方形的性质可得，进而得平面，，又，因此；〔 2〕由勾股定理可得，由〔 1〕得因此底面，因此、、两两垂直．以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设〔〕，求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得，进而可得结果 .试题解析：〔 1〕连接，，，因为，，因此和均为正三角形，于是．设与的交点为，连接，那么，又四边形是正方形，因此，而，因此平面．又平面，因此，又，因此．〔2〕由，及，知，于是，进而，结合，，得底面，因此、、两两垂直．如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，那么，，，，，，，，由，易求得．设〔〕，那么，即，因此．设平面的一个法向量为，由得令，得，设直线与平面所成角为，那么，解得或〔舍去〕，因此当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．【方法点晴】此题主要观察利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立合适的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔 4〕将空间地址关系转变成向量关系；〔 5〕依照定理结论求出相应的角和距离 .19. “过大年，吃水饺〞是我国很多地方过春节的一大民俗．2021 年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1〕求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔2〕①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值遵从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，假设某人从某商场购置了 4 包这类品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这类质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学希望．附：① 计算得所抽查的这100 包速冻水饺的质量指标的标准差为；②假设，那么，．【答案】 (1)(2)〔3〕的分布列为01234∴．【解析】试题解析：〔 1〕直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；〔 2〕①∵遵从正态分布，且，，由可得落在内的概率是，②的可能取值为，依照独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，进而可得分布列，进而利用二项分布的希望公式可得的数学希望 .试题解析：〔 1〕所抽取的100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．〔2〕①∵遵从正态分布，且，，∴，∴ 落在内的概率是．②依照题意得，；；；；．∴的分布列为01234∴．20. 椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为 2．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设直线：与椭圆订交于，两点，在轴上可否存在点，使直线与的斜率之和为定值？假设存在，求出点坐标及该定值，假设不存在，试说明原由．【答案】 (1)(2)存在点，使得为定值，且定值为0．【解析】试题解析：〔 1〕由椭圆的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正.方形面积为可得，解方程组即可的结果；〔2〕由得，依照韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得，只需令，即可得结果 .试题解析：〔 1〕由可得解得，，所求椭圆方程为．〔2〕由得，那么，解得或．设，，那么，，设存在点，那么，，因此．要使为定值，只需与参数没关，故，解得，当时，．综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．21.函数，其中为自然对数的底数 .〔1〕假设函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；〔2〕函数，且，假设函数在区间上恰有 3 个零点，求实数的取值范围．【答案】 (1)(2)【解析】试题解析：〔1〕函数在区间上单调递加等价于在区间上恒建立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒建立，可得，综合两种情况可得结果；〔 2〕，由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，那么在区间内不仅调，因此在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，因此只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性谈论的零点，进而可得结果．试题解析：〔 1〕，当函数在区间上单调递加时，在区间上恒建立，∴〔其中〕，解得；当函数在区间单调递减时，在区间上恒建立，∴〔其中〕，解得．综上所述，实数的取值范围是．〔2〕．由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，那么在区间内不仅一，因此在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，因此在区间内恰有两个零点．由〔 1〕知，当时，在区间上单调递加，故在区间内至多有一个零点，不合题意．当时，在区间上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意；因此．令，得，记的两个零点为，〔〕，因此，，必有，．由，得，因此，又，，因此．综上所述，实数的取值范围为．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为〔为参数，是大于 0 的常数〕．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．〔1〕求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；〔2〕分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，假设圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．【答案】 (1)，(2)，【解析】试题解析：〔 1〕先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式即可得圆的直角坐标方程；〔 2〕由〔 1〕知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，圆与圆外切的性质列方程解得，分别将代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段的长 .试题解析：〔 1〕圆：〔是参数〕消去参数，得其一般方程为，将，代入上式并化简，得圆的极坐标方程，由圆的极坐标方程，得．将，，代入上式，得圆的直角坐标方程为．〔2〕由〔 1〕知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，，∵圆与圆外切，∴，解得，即圆的极坐标方程为．将代入，得，得；将代入，得，得；故．【名师点睛】此题观察圆的参数方程和一般方程的转变、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转变以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，即可把参数方程化为一般方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用转变即可 .23.选修 4-5 ：不等式选讲函数．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设正数，满足，求证：．【答案】 (1)(2)见解析【解析】试题解析：〔 1〕对分三种情况谈论，分别求解不等式组，尔后求并集，即可得不等式的解集；〔 2〕先利用根本不等式建立的条件可得，因此. 学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...试题解析：〔 1〕此不等式等价于或或解得或或．即不等式的解集为．〔2〕∵，，，，即，当且仅当即时取等号．∴，当且仅当，即时，取等号．∴．。
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试(四)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（四）数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数21a i i -+为纯虚数（其中i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ） A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】化简复数为a bi +(),a b R ∈,然后由复数的实部等于零且虚部不等于零,求出实数a 即可.【详解】Q 2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a a i i i i ----+==-++-为纯虚数， ∴2020a a -=⎧⎨+≠⎩，即2a =． 故选:D【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的基本概念;属于基础题.2.设集合A={1,-}0,1,2，1{|1}B x x =<，则A B I 的真子集个数为（ ） A. 1B. 3C. 5D. 7 【答案】B【解析】【分析】利用分式不等式的解法求出集合B ,由集合的交运算求出A B I ，再由真子集的定义求出集合A B I 的真子集即可.【详解】由11x<得，110x -<，∴10x x ->， 1x ∴>或0x <,所以集合}{10B x x x =><或， 又因为A={1,-}0,1,2,所以{}1,2A B =-I ，即A B I 的真子集为{}{}1,2,φ-,所以A B I 的真子集个数为2213-=.故选:B【点睛】本题考查集合的交运算和集合真子集个数的求解;属于基础题、常考题型.3.若平面向量,a b r r 满足()2a b b -⊥r r r ，则下列各式恒成立的是（ ） A. a b a +=r r r B. a b b +=r r r C. a b a -=r r r D. a b b -=r r r【答案】C【解析】【分析】 根据向量垂直，推出()20a b b -⋅=r r r ，解得22a b b ⋅=r r r ，配凑2222a b a b a +-⋅=r r r r r ，即可求解. 【详解】∵()2a b b -⊥r r r ，∴()20a b b -⋅=r r r ，即22a b b ⋅=r r r ，∴2222a b a b a +-⋅=r r r r r ，即a b a -=r r r . 故选：C.【点睛】本题考查向量垂直关系转化成数量积，运用配凑法构造模长关系，属于基础题.4.已知m ，n 是两条不同直线，α是一个平面，m α⊄，n α⊂，则“m //n ”是“m //α”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若m //n 由线面平行的定义知m //α成立，即充分性成立，若m //α，则m 与n 可能平行可能异面直线，故必要性不成立，即“m //n ”是“m //α”的充分不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的性质定理是解决本题的关键．5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为（ ）（参考数据：003 1.732,sin150.2588,sin750.9659≈≈≈ ）A. 48B. 36C. 24D. 12【答案】C【解析】【分析】 由6n =开始，按照框图，依次求出s ，进行判断．【详解】00116s 6sin60 2.598,n 12s 12sin303,22n =⇒=⨯≈=⇒=⨯= 01n 24s 24sin152=⇒=⨯ 3.1058≈，故选C. 【点睛】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键．6.函数622log ()14x f x x =+-的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据()f x 为偶函数排除BC 选项，在根据特殊值排除A 选项，从而得出正确选项.【详解】由于()f x 的定义域为()()()(),22,00,22,-∞-⋃-⋃⋃+∞且()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，排除BC 选项.由于()612222log 4log 241111214412f =+=+=+=>-，所以A 选项错误.所以正确的为D.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题.7.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos b c B a +=，则A ∠的大小为（ ） A. 30°B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理把边化成角,再由()C A B π=-+和两角和的正弦公式进行展开化简,求出cos A 即可.【详解】根据题意,由正弦定理可得：sin 2sin 2cos sin B C B A +=， 即sin 2sin 2cos sin B C B A +=，因为()C A B π=-+,∴sin 2sin()sin 2sin cos 2cos sin 2cos sin B A B B A B A B B A ++=++=，sin 2cos sin 0B A B ∴+=，sin 0B ≠Q ，12cos 0A ∴+=，解得1cos 2A =-，(0,180)A ∈︒︒Q ，120A ∴=︒. 故选：C【点睛】本题考查利用正弦定理边化角和两角和的正弦公式求三角形内角;属于中档题、常考题型. 8.若函数()121x a f x =--的图象关于原点对称，则实数a 等于（ ） A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意知，函数()f x 为奇函数,利用()()0f x f x -+=,化简整理即可求出实数a .【详解】因为函数()121x a f x =--的图象关于原点对称， 所以函数()f x 为奇函数，则有()()0f x f x -+=， 即(1)(1)02121x x a a --+-=--，化简可得，(21)2021x x a -+=-， 解可得2a =-.故选:A【点睛】本题考查奇函数的定义和性质;根据题意,挖掘题中隐含的条件:函数()f x 为奇函数是求解本题的关键;属于中档题.9.在(3)(1)(*)n x x n N -+∈的展开式中，已知各项系数之和为64，则3x 的系数是（ ）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B【解析】【分析】 令1x =,可得展开式各项系数和为1264n +=,据此求出n ,对于()1nx +利用二项式定理展开即可求解. 【详解】在(3)(1)(*)n x x n N -+∈的展开式中，令1x =，则展开式各项系数之和为1264n +=，5n ∴=，则55432(3)(1)(3)(1)(3)(5101051)n x x x x x x x x x x -+=-+=-+++++，则3x 的系数是301020-=，故选：B【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中某项的系数; 令1x =,求出各项系数和是求解本题关键;属于基础题、常考题型.10.如图是函数()sin()f x x ωϕ=+（其中0>ω，0)ϕπ<<的部分图象，则5()6f π-的值为（ ）A. 2-B. 22C. 22-D. 12- 【答案】B【解析】【分析】结合正弦函数的图象知,354122T ππ-=,据此求出ω,再根据五点法作图可得()532,12k k z πϕπ⨯+=∈,求出ϕ即可求解. 【详解】由题意知,354122T ππ-=，因为2T πω=，所以3ω=， 再根据五点法作图可得()532,12k k z πϕπ⨯+=∈， 因为0ϕπ<<，34πϕ∴=，∴函数3()sin(3)4f x x π=+， 则55332()sin()sin()sin 624244f ππππππ-=-+=-+= 故选：B【点睛】本题考查结合正弦函数的图象与性质求()sin y x ωϕ=+的解析式;考查数形结合的思想和等价转化的思想;属于中档题、常考题型.11.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上存在点P 与右焦点F 关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 5【答案】D【解析】【分析】根据题意知,过右焦点F (),0c 且垂直渐近线b y x a =的直线方程为：0()a y x c b -=--， 联立渐近线方程b y x a=与0()a y x c b -=--，求出对称中心的点坐标,再利用中点坐标公式求出点P 的坐标,把点P 代入双曲线的方程即可求解. 【详解】根据题意知,过右焦点F (),0c 且垂直渐近线b y x a =的直线方程为：0()a y x c b -=--， 联立渐近线方程b y x a=与0()a y x c b -=--， 解之可得2a x c=，ab y c =，故对称中心的点坐标为2(a c ，)ab c ， 设点()00,P x y ，由中点坐标公式可得200202c x a c y ab c⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得20022a x c c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以对称点P 的坐标为22(a c c-，2)ab c ， 将点P 代入双曲线的方程可得222222222(2)41a c a b a c b c--=， 结合222+=a b c ，化简可得225c a =，故可得c e a==． 故选:D【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,两直线的位置关系,意在考查学生对数学知识的熟练掌握程度和综合运用能力、运算能力;属于中档题.12.设max{,}p q 表示p ，q 两者中较大的一个，已知定义在[0,2]π的函数()max{2sin ,2cos }f x x x =，满足关于x 的方程22()(12)()0f x m f x m m +-+-=有6个不同的解，则m 的取值范围为（ ）A. (-B. (1,1+C. 2)D. (1+【答案】C【解析】【分析】根据题干得到()f x m =或()1f x m =-，画出函数(){}max 2sin ,2cos f x x x =的图像，找()f x m =和()1f x m =-与(){}max 2sin ,2cos f x x x =的交点个数使得交点有6个即可.【详解】由()()()22120f x m f x m m +-+-=，可得()f x m =或()1f x m =-.函数(){}max 2sin ,2cos f x x x =的图像如图所示，所以22212m m ⎧<<⎪⎨-<-<⎪⎩，解得22m <<.故答案为C.【点睛】这个题目考查了复合函数方程根的问题，一般先找到内外层，分别研究内外层函数的根即可得到结果.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上13.如图，EFGH 是圆O 的内接正方形，将一颗豆子随机扔到圆O 内，记事件A ：“豆子落在正方形EFGH 内”，事件B ：“豆子落在扇形OEH （阴影部分）内”，则条件概率(|)P B A =__．【答案】14【解析】【分析】利用与面积有关的几何概型公式求出()(),P A P AB ,然后代入条件概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】如图,设正方形边长为a，由几何概型的概率公式可得,P（A）2222()aππ==⨯，21122()22()aaP ABaππ⨯==⨯，∴由条件概率公式可得,1()12(|)2()4P ABP B AP Aππ===．故答案为：14【点睛】本题考查与面积有关的几何概型和条件概率的求解;熟练掌握概率公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__【答案】14π【解析】【分析】通过分析三视图,得出该几何体是圆柱，挖去一部分，然后结合图中数据,代入圆柱的体积公式求解即可. 【详解】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱，挖去一部分，如图:结合图中数据知,该几何体的体积2212424148Vπππ=⨯⨯-⨯⨯⨯=.故答案为：14π【点睛】本题考查三视图还原几何体及求几何体的体积;根据三视图正确还原几何体是求解本题的关键;重点考查学生的空间想象能力属于中档题、常考题型.15.化简()2tan122cos 121sin12︒︒︒=-________. 【答案】8【解析】【分析】由二倍角公式得出22cos 121cos 24︒︒-=，再将分子分母同乘以cos12︒结合商数关系化简得出sin12cos 24sin12cos12︒︒︒︒︒-，逆用两角差的正弦公式，二倍角的正弦公式求解即可.【详解】原式()sin122sin 60122sin 48cos12811cos24sin12sin 48sin 4844︒︒︒︒︒︒︒︒︒-=====. 故答案为：8【点睛】本题主要考查了利用两角差的正弦公式，商数关系以及二倍角公式化简求值，属于中档题.16.已知函数22ln 3()x x f x m x++=+，若01,4x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得00(())f f x x =，则m 的取值范围是______【答案】[0)-【解析】【分析】由题意，设()0t f x =，得()00f x x =有零点，化简得2ln 3x m x+-=，转化为直线y m =-与()2ln 3x g x x+=有交点，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，结合图象，即可求解． 【详解】由题意，设()0t f x =，∵()()00f f x x =，∴()0f t x =，∴()00f x x =有零点， 即()22ln 3x x f x m x x++=+=，整理得2ln 3x m x +-=， 即直线y m =-与()2ln 3x g x x +=有交点，又由()22ln 1'x g x x +=-，（1 4x ≥），令()'0g x =，解得ex e=， 当1,4e x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 当,e x ⎡⎤∈+∞⎢⎥⎣⎦时，()'0g x <，函数()g x 单调递减， ∴()2max e g x g e ⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭， 又()143ln1604g ⎛⎫=->⎪⎝⎭，当x →+∞时，()0g x →， 分别画出y m =-与()y g x =的图象，如图所示；由图象可得当02m e <-≤，即20e m -≤<时，y m =-与()y g x =有交点， 故答案为)2,0e ⎡-⎣．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中函数的零点问题转化为直线y m =-与()2ln 3x g x x+=有交点，再利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列{}n a 满足11a =，且112n n a a n +-=+，其中*n N ∈． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：12311111211n n a a a a n +++++⋯+<+． 【答案】（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）见详解.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意,121n n a a n +-=+,利用累加法求出数列{}n a 的通项公式即可;（Ⅱ）由（Ⅰ）知,2n a n =，利用放缩法知，211111(1)1n a n n n +=<-++,再由裂项相消法求和即可证明. 【详解】（Ⅰ）因为数列{}n a满足11a =，且112n n a a n +-=+，即121n n a a n +-=+， 由累加法得，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+， 即()()()22112123312n n n a n n n -+=-+-+⋅⋅⋅++==，故数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（Ⅱ）证明：因为211111(1)1n a n n n +=<-++， 所以1231111111111112231n a a a a n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为11111121112223111n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即12311111211n n a a a a n +++++⋯+<+. 【点睛】本题主要考查累加法求通项公式、裂项相消法求和和利用放缩法证明不等式;考查推理论证能力、运算求解能力；累加法和放缩法的应用是求解本题的关键;属于中档题. 18.如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，23BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）77【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，设1AD CD BC ===，题意求得2AB =,再由余弦定理求得23AB =,满足222AB AC BC =+,得则BC AC ⊥.再由CF ⊥平面ABCD 得AC CF ⊥，由线面垂直的判定可.进一步得到AC 丄平面BCF ;（Ⅱ）分别以直线,,CA CB CF 为:x 轴，y 轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD CF === ,令FM λ=()03λ≤≤得到,,,C A B M 的坐标，求出平面MAB 的一法向量.由题意可得平面的FCD 一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ0=时，有最小值为7,此时点M 与点F 重合. 试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ,设1AD CD BC ===， 又∵23BCD π∠=,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒= ∴222AB AC BC =+.则BC AC ⊥. ∵CF ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ，∴AC CF ⊥,而CF BC C =I ,∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ,∴EF ⊥平面BCF . （Ⅱ）解：分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD BC CD ====，令(03FM λλ=≤≤， 则())()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,,0,1C AB M λ，∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-u u u v u u u u v 设(),,n x y z =v为平面MAB 的一个法向量，由n ABn BM⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u u vv得30x yx y zλ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x=，则()1,3,3nλ=-v，∵()1,0,0m=v是平面FCB的一个法向量，∴()()22cos,133134n mn mn mλλ⋅===++-⨯-+v vv vv v∵03λ≤≤，∴当0λ=时，cosθ有最小值为77，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为7.19.大型中华传统文化电视节目《CCTV中国诗词大会》以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨，深受广大观众喜爱，各基层单位也通过各种形式积极组织、选拔和推荐参赛选手．某单位制定规则如下：（1）凡报名参赛的诗词爱好者必须先后通过笔试和面试，方可获得入围CCTV正赛的推荐资格；（2）笔试成绩不低于85分的选手进入面试，面试成绩最高的3人获得推荐资格．在该单位最近组织的一次选拔活动中，随机抽取了一个笔试成绩的样本，据此绘制成频率分布直方图（如图1)．同时，也绘制了所有面试成绩的茎叶图（如图2，单位：分）．（Ⅰ）估计该单位本次报名参赛的诗词爱好者的总人数；（Ⅱ）若从面试成绩高于（不含）中位数的选手中随机选取3人，设其中获得推荐资格的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【答案】（Ⅰ）60人；（Ⅱ）分布列见解析，97Eξ=【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出对应的频率,利用茎叶图估计所求的总人数即可;（Ⅱ）根据题意知,ξ可能的取值为0,1,2,3,计算对应概率,列出分布列,代入数学期望公式求解即可. 【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图知，笔试成绩不低于85分的频率为230.2523762a aa a a a a+=++++，由茎叶图知，参加面试的人数为15人，所以估计该单位本次报名参赛的诗词爱好者的总人数为150.2560÷=（人)； （Ⅱ）面试成绩高于（不含）中位数的选手有7人，其中获得推荐资格的有3人， 所以从7人中随机选取3人，获得推荐资格的人数0ξ=，1，2，3，计算()0334374035C C P C ξ===,()12343718135C C P C ξ===, ()21343712235C C P C ξ===,()3034371335C C P C ξ===, 所以随机变量ξ的分布列为：所以数学期望为41812190123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查频率分布直方图和茎叶图的应用及利用排列组合、二项式定理求随机变量的分布列、数学期望;考查学生的运算能力;属于中档题、常考题型.20.设动圆P 经过点(1,0)F -，且与圆22:270(G x y x G +--=为圆心）相内切．（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设经过F 的直线与轨迹E 交于A 、B 两点，且满足GH GA GB =+u u u u r u u u r u u u r的点H 也在轨迹E 上，求四边形GAHB 的面积．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）S =【解析】 【分析】（Ⅰ）因为圆G 的圆心(1,0)G，半径为P 与圆G 相内切，利用椭圆的定义可知,动圆圆心P 的轨迹是以F ，G为焦点且长轴长为（Ⅱ）设直线l 的方程为1x ty =-，(t 一定存在），代入2222x y +=，并整理得22(2)210t x ty +--=，利用韦达定理、向量的坐标运算,结合已知条件即可求解. 【详解】（Ⅰ）由已知可得,圆G 的圆心(1,0)G，半径为 由圆P 与圆G相内切，得||||2PF PG +=>， 由椭圆定义可知，动圆圆心P 的轨迹是以F ，G 为焦点且长轴长为2212x y +=．（Ⅱ）设直线l 的方程为1x ty =-，(t 一定存在），代入2222x y +=，并整理得22(2)210t x ty +--=，所以判别式△2244(2)0t t =++>恒成立， 设1(1A ty -，1)y ，2(1B ty -，2)y ，由韦达定理可得,12222ty y t +=+,12212y y t -=+, 设0(H x ，0)y ,则()()()0011221,,2,,2,GH x y GA ty y GB ty y =-=-=-u u u r u u u r u u u r由GH GA GB =+u u u u r u u u r u u u r，得012012122x ty ty y y y -=-+-⎧⎨=+⎩，即2012201226()3222t x t y y t ty y y t ⎧+=+-=-⎪⎪+⎨⎪=+=⎪+⎩，即22262,22t t H t t ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭，又点H 在轨迹E 上，故2222222(6)412(2)(2)t t t t ++=++， 即4212280t t --=，解得214t =，（舍负），因为GH GA GB =+u u u u r u u u r u u u r,所以四边形GAHB 为平行四边形,所以平行四边形GAHB 的面积为12S FG y y =⋅-==即S ==因为214t =，所以四边形GAHB 的面积为S ． 【点睛】本题考查椭圆的定义及其几何性质、直线与椭圆的位置关系；重点考查学生的运算求解能力；方程思想和韦达定理的应用与向量的坐标运算相结合是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题. 21.已知函数()a lnxf x x+=，其中a 为常数， 2.71828e ≈为自然对数的底数． （Ⅰ）若()f x 在区间[1，]e 上的最小值为1，求a 的值；（Ⅱ）若“00x ∃>，使00()1x f x e >-”为假命题，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1a e =-；（Ⅱ）1a … 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得函数()f x 的导数()'fx ,利用导数()'f x 判断函数()f x 的单调性,求函数()f x 的极值即最值,由题意知, 函数()f x 的最小值只能在1x =或x e =处取得,分别解方程求解即可.（Ⅱ）若“00x ∃>，使00()1x f x e >-”为假命题，等价于0x ∀>，()1x f x e -…为真命题,即0x ∀>，x a lnx xe x +-…恒成立,通过分离参数法和构造函数法,令()()x g x xe lnx x =-+,结合导数判断函数()g x 的单调性,由零点存在性定理求出函数()g x 的最小值,进而求出实数a 的取值范围即可. 【详解】（Ⅰ）由题意知,函数()a lnx f x x +=的导数为21()a lnxf x x --'=， 所以当10a x e -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1a x e ->时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当1a x e -=时()f x 有极大值即最大值，即有()f x 的最小值只能在1x =或x e =处取得． 若f （1）1=,解得1a =,此时()f e 21e=<与函数()f x 最小值为1相矛盾， 故1a =不符合题意；若f （e ）1=，解得1a e =-，此时()1f 11e =->符合题意； 综上可知1a e =-；（Ⅱ）若“00x ∃>，使00()1x f x e >-”为假命题， 即0x ∀>，()1x f x e -…为真命题， 等价于0x ∀>，可得x a lnx xe x +-…恒成立, 化简可得0x ∀>，()x a xe lnx x -+…恒成立，令()()x g x xe lnx x =-+,则11()(1)(1)(1)()x xg x x e x e x x'=+-+=+-，令1()xh x e x =-，则1()xh x e x=-在()0,∞+上单调递增，因为1()202h =<,()1h 10e =->，由零点存在性定理知,函数()h x 在1(2，1)存在唯一零点t ，即有1()0th t e t=-=，则1t te =，两边同时取以e 为底的对数可得，0t lnt +=，所以当0x t <<时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减， 当x t >时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增， 所以当x t =时,函数()g x 有极小值即最小值,()()min ln 1t g x g t te t t ==--=，所以实数a 的取值范围为1a …．【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性,求函数的极值、最值;通过构造函数,判断函数的单调性、求最值，解决恒成立问题是求解本题的关键;重点考查学生的运算求解能力、转化与化归能力;属于综合型强、难度大型试题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22.已知直线112:2x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin (3)a a ρθ-=>-. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 有唯一公共点，求实数a 的值.【答案】（1）(223y x a +=+,()3a >- （2）94a =-【解析】 【分析】（1）由极坐标方程与直角坐标方程转化公式，代入即可得解.（2）将直线参数方程化为普通方程，利用直线与圆相切的性质即可求得a 的值. 【详解】（1）曲线C的极坐标方程为2sin (3)a a ρθ-=>-.化为直角坐标方程可得22a y x -=+化为标准方程可得(223y x a -+=+，()3a >-（2）直线112:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），0y -= 由（1）可知曲线C:(223y x a +=+为圆因为曲线C 与直线l 有唯一公共点，由点到直线距离公式可知d ==解得94a =-【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，参数方程化为普通方程，直线与圆的位置关系应用，属于中档题.23.已知0a >，0b >，记A =，B a b =+.（1B -的最大值；（2）若4ab =，是否存在,a b ，使得6A B +=？并说明理由. 【答案】（1）1 （2）存在,理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）将A =，B a b =+B -中，配成二次函数形式，结合二次函数性质即可求得最大值.（2）假设存在,a b ，使得6A B +=和4ab =,x y ==将方程组化简后再令,t x y =+可得关于t 的一元二次不等式.结合判别式即可判断是否存在正数解，即可判断是否存在,a b .【详解】（1）0a >，0b >，记A =，B a b =+B -()a b =-+a b =--+221212⎫-+≤⎪⎪⎭⎭=- 当且仅当12a b ==时取等号B -的最大值为1（2）存在,a b ，使得6A B +=.理由如下: 假设存在,a b ，使得6A B +=.则64A B a b ab ⎧+=+=⎪⎨=⎪⎩,0,0x y x y ==>>则方程组可化为2262x y x y xy ⎧+++=⎨=⎩令,0t x y t =+>将上述方程组化为2100t t +-=则1410410∆=+⨯=>且12100t t =-<所以2100t t +-=由正实数根，即存在正数t 满足方程 因此存在,x y 使得t 为正数也就存在,a b ，使得6A B +=，4ab =同时成立【点睛】本题考查了方程和不等式的综合应用，由二次函数性质求最值，一元二次方程的根与判别式关系的应用，属于中档题.。
河北省衡水中学2020-2021学年度高三年级上学期四调考试数学(理)试题
3．如图，圆柱的轴截面 为正方形， 为弧 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知α、β都为锐角，且 、 ，则α﹣β＝（）
A． B． C． D．
5．设 ， .若对任意实数x都有 ，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为（）.
A．1B．2C．3D．4
河北省衡水中学2020-2021学年度高三年级上学期四调考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知AB是抛物线 的一条焦点弦， ，则AB中点C的横坐标是 ( )
（Ⅰ）证明：G是AB的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
19．设椭圆 的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为 ， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线 与椭圆交于 ， 两点， 与直线 交于点M，且点P，M均在第四象限．若 的面积是 面积的2倍，求 的值．
6．已知 是双曲线 的一个焦点，点 在 上， 为坐标原点，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知等差数列 的公差不为零，其前 项和为 ，若 ， ， 成等比数列，则 （）
A． B． C． D．
8．在 中，点 满足 ，过点 的直线与 、 所在的直线分别交于点 、 ，若 ， ，则 的最小值为（ ）
【详解】
所以
故答案选A
【点睛】
本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.
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普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i虚数单位，复数53 3ii ++对应的点在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合{|}A x x a=≤，21221{|log(4)log}5B x x x=-≥，若A B=∅I，则实数a的取值范围为（）A．(1,5)-B．[0,4]C．(,1]-∞-D．(,1)-∞-3.设a，b，c，d，x为实数，且0b a>>，c d>，下列不等式正确的是（）A．d a c d-<-B．b b xa a x+≥+C．c db a>D．||||a a xb b x+≤+4.设随机变量2(,)Nξμσ:，则使得(3)(3)1P m Pξξ≤+>=成立的一个必要不充分条件为（）A．1m=或2m=B．1m= C.1m=-D．23m=-或2m=5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果3S=，则判断框内实数M应填入的整数值为（）A．998 B．999 C.1000 D．10016.已知公差不为0的等差数列{}na的前n项和为nS，若2297a a=，则下列选项中结果为0的是（）A．9a B．7a C.15S D．16S7.设1A，2A分别为双曲线2222:1x yCa b-=（0a>，0b>）的左、右顶点，过左顶点1A的直线l交双曲线右支于点P，连接2A P，设直线l与直线2A P的斜率分别为1k，2k，若1k，2k互为倒数，则双曲线C的离心率为（）A．12B23D．28.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．816π-B ．8π C.16 D ．8162π+9.已知曲线33y x x =-和直线y x =所围成图形的面积是m ，则5()y x m ++的展开式中3x 项的系数为（ ）A ．480B ．160 C.1280 D ．64010.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(0,4)A ，(2,0)AB =u u u r ，(2,0)AB =u u u r ，(1,1)BC BA -=-u u u r u u u r，设(,)P x y ，AP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r，若0m ≥，0n ≥，且1m n +≤，则2x y +的最大值为（ ）A ．7B ．10 C.8 D ．1211.如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为2244x y +=，其左、右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与椭圆C 切于点P ，且1||1PF =，过点P 且与直线l 垂直的直线'l 与椭圆长轴交于点M ，则12||:||F M F M =（ ）A 23B ．2 C.1:3 D ．312.将给定的一个数列{}n a ：1a ，2a ，3a ，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将1a 作为第一组，将2a ，3a 作为第二组，将4a ，5a ，6a 作为第三组，…，依次类推，第n 组有n 个元素（*n N ∈），即可得到以组为单位的序列：1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第n 个括号称为第n 群，从而数列{}n a 称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第m 个群众，且从第m 个括号的左端起是第k 个，则称这个元素为第m 群众的第k 个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，23），…，以此类推.设该数列前n 项和12n N a a a =+++L ，若使得14900N >成立的最小n a 位于第m 个群，则m =（ ）A ．11B ．10 C.9 D ．8第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数3()log (19)x f x kx =++为偶函数，则k =． 14.已知993sin()cos cos()sin 1471475x x ππππ-+-=，3(,)2x ππ∈，则tan 2x =． 15.中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手A 、B 、C 、D 参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，C 对B 说：“你没有获得一等奖”，B 对C 说：“你获得了二等奖”；A 对大家说：“我未获得三等奖”，D 对A 、B 、C 说：“你妈三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计种．（用数字作答）16.已知G 为ABC ∆的重心，点P 、Q 分别在边AB ，AC 上，且存在实数t ，使得PG t PQ =u u u r u u u r.若AP AB λ=u u u r u u u r AQ AC μ=u u u r u u u r ，则11λμ+=．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a B c b =-. （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积S =D 为BC 边的中点，AD =，求b c +. 18. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占据了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料:的线性回归方程，并预测该企业2017年7月份的市场份额；(2)如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数(单位:天)统计图.设销售产品数量为s ，经统计，当0200s ≤≤时，企业每天亏损约为200万元，当200400s <≤时，企业平均每天收人约为400万元;当400s>时，企业平均每天收人约为700万元。
①设该企业在六月份每天收人为X,求X的数学期望;②如果将频率视为概率，求该企业在未来连续三天总收入不低于1200万元的概率。
附:回归直线的方程是$$ y bx a =+,121()()()ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑$,$a y bx=-$,61()()35i iix x y y=--=∑.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C-中，侧面11ABB A为矩形，1AB=，12AA=，D为棱1AA的中点，BD与1AB交于点O，CO⊥侧面11ABB A，E为1B C的中点.（1）证明：DE P平面ABC；（2）若OC OA=，求直线1C D与平面ABC所成角的正弦值.20. 已知焦点为F的的抛物线C：22y px=（0p>）与圆心在坐标原点O，半径为r的Oe交于A，B 两点，且(2,)A m，5||2AF=，其中p，r，m均为正实数.（1）求抛物线C及Oe的方程；（2）设点P为劣弧»AB上任意一点，过P作Oe的切线交抛物线C于Q，R两点，过Q，的直线1l，2l均于抛物线C相切，且两直线交于点M，求点M的轨迹方程.21. 已知函数()lnf x x k=+，()xg x e=，其中k为常数， 2.71828e=L是自然对数的底数.（1）设()()()F x f x g x=g，若函数()F x在区间1[,]ee上有极值点，求实数k的取值范围；（2）证明：当1k=时，()[1(2)]1()1g x gxf xx+--<+恒成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为2sinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），直线l的参数方程为2,x ty kt=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t为参数，k为实数），直线l与曲线C交于A B两点.（1）若k=||AB的长度；（2）当AOB∆面积取得最大值时（O为原点），求k的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||4|f x x x=-+.（1）求不等式()61f x x≥+的解集；（2）若246,0,()21,0,a ag a aa a a⎧++<⎪=⎨⎪-++≥⎩证明：不等式()()f xg a≥恒成立.试卷答案一、选择题1-5:DDDAA 6-10:CBADB 11、12：CB二、填空题13.-1 14.247-15.12 16.3 三、解答题17.解：（1）因为2cos 2a B c b =-，由正弦定理，得2sin cos 2sin sin A B C B =-. 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=-， 所以2sin cos 2sin 2cos sin sin A B AcisB A B B =+-， 即2cos sin sin A B B =. 因为sin B o ≠，故1cos 2A =. 所以3A π=.（2）由ABC ∆的面积1sin 2S bc A ===，得6bc =. 又D 为BC 边的中点，故1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，因此222119||()44AD c b bc =++=u u u r ，故2219c b bc ++=， 即2()19c b bc +-=， 故2()1925c b bc +=+=. 所以5b c +=.18.解：（1）由题意，1234563.56x +++++==，111316152021166y +++++==，故621()17.5ii x x =-=∑，2b=$， 由$ay bx =-$得$162 3.59a =-⨯=， 则$29y x =+.当7x =时，$27923y =⨯+=，所以预测该企业2017年7月的市场份额为23%.（2）①设该企业每天亏损约为200万元为事件A ，平均每天收入约达到400万元为事件B ，平均每天收入约达到700万元为事件C ，则()0.1P A =，()0.2P B =，()0.7P C =. 故X 的分布列为550（万元）. ②由①知，未来连续三天该企业收入不低于1200万元包含五种情况.则322222233330.20.70.10.70.20.20.70.70.876P C C C =+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=. 所以该企业在未来三天总收入不低于1200万元的概率为0.876. 19.解：（1）取BC 中点为F ，连接EF ，DE ，FA ， 由112EF BB =，112AD BB =，1EF BB P ，1AD BB P ， 得EF DA P ，且EF DA =， 所以四边形ADEF 为平行四边形. 所以DE AF P ，又因为AF ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，所以DE P 平面ABC .（2）由已知1()(2)0BD AB BA DA AD AB OA OD =++=⇒⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g .又CO ⊥平面11ABB A ， 所以OD ，OA ，OC 两两垂直.以O 为坐标原点，OD ，1OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则经计算得3(0,A ，6(B ，3)C ，6D ， 因为12CC AD =u u u u r u u u r，所以16233C ，， 所以63(33AB =-u u u r ，33(0,33AC =u u u r ，6233(DC =u u u r .设平面ABC 一个法向量为(,,)n x y z =，由630,330,33AB n x y AC n y z ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩u u u r g u u u r g令1x =，得2,2)n =.设直线1C D 与平面ABC 所成的角为α，则11||355sin ||||DC n DC n α==u u u u rg u u u u r g .20.解：（1）由题意，5||222p AF =+=，故1p =。