衡水金卷(一)理科数学试题含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

理数（一）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合...则

（）

A. B. C. D.

2. 设是虚数单位.若...则复数的共轭复数是（）

A. B. C. D.

3. 已知等差数列的前项和是.且.则下列命题正确的是（）

A. 是常数

B. 是常数

C. 是常数

D. 是常数

4. 七巧板是我们祖先的一项创造.被誉为“东方魔板”.它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点.则此点取自黑色部分的概率是（）

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A. B. C. D.

5. 已知点为双曲线：（.）的右焦点.直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为.若的中点在双曲线上.则双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

6. 已知函数则（）

A. B. C. D.

7. 执行如图所示的程序框图.则输出的的值为（）

A. B. C. D.

8. 已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为.则函数

的图象（）

A. 可由函数的图象向左平移个单位而得

B. 可由函数的图象向右平移个单位而得

C. 可由函数的图象向右平移个单位而得

D. 可由函数的图象向右平移个单位而得

9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）

A. B. C. D.

10. 某几何体的三视图如图所示.其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形.点为的中点.则该几何体的外接球的表面积是（）

A. B. C. D.

11. 已知抛物线：的焦点为.过点分别作两条直线..直线与抛物线交于、

两点.直线与抛物线交于、两点.若与的斜率的平方和为1.则的最小值为（）

A. 16

B. 20

C. 24

D. 32

12. 若函数..对于给定的非零实数.总存在非零常数.使得定义域内的任意实数.都有恒成立.此时为的类周期.函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数.且.当时.

函数．若..使

成立.则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分.满分20分.将答案填在答题纸上）

13. 已知向量..且.则__________．

14. 已知.满足约束条件则目标函数的最小值为__________．

15. 在等比数列中..且与的等差中项为17.设..则数列的前项和为__________．

16. 如图.在直角梯形中....点是线段上异于

点.的动点.于点.将沿折起到的位置.并使.则五棱锥

的体积的取值范围为__________．

三、解答题（本大题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知的内角..的对边..分别满足..又

点满足．

（1）求及角的大小；

（2）求的值．

18. 在四棱柱中.底面是正方形.且.

．

（1）求证：；

（2）若动点在棱上.试确定点的位置.使得直线与平面所成角的正弦值为．19. “过大年.吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕.市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺.检测其某项质量指标.

（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）①由直方图可以认为.速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布.利用该正态分

布.求落在内的概率；

②将频率视为概率.若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺.记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为.求的分布列和数学期望．

附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；

②若.则.．

20. 已知椭圆：的离心率为.且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线：与椭圆相交于.两点.在轴上是否存在点.使直线与的斜率之和为定值？若存在.求出点坐标及该定值.若不存在.试说明理由．

21. 已知函数.其中为自然对数的底数.

（1）若函数在区间上是单调函数.试求实数的取值范围；

（2）已知函数.且.若函数在区间上恰有3个零点.求实数的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中.圆的参数方程为（为参数.是大于0的常数）．以坐标原点为极点.轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆的极坐标方程为

．

（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；

（2）分别记直线：.与圆、圆的异于原点的焦点为..若圆与圆外切.试求实数的值及线段的长．

23. 选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若正数.满足.求证：．

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合...则

（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

集合.故.集合表示非负的偶数.故

.故选C.

2. 设是虚数单位.若...则复数的共轭复数是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】.根据两复数相等的充要条件得.即

.其共轭复数为.故选A.

3. 已知等差数列的前项和是.且.则下列命题正确的是（）

A. 是常数

B. 是常数

C. 是常数

D. 是常数

【答案】D

【解析】.为常数.故选D.

4. 七巧板是我们祖先的一项创造.被誉为“东方魔板”.它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点.则此点取自黑色部分的概率是（）