导数及其应用专题训练

导数及其应用专题训练

(时间:100分钟 满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若函数y=e x +mx 有极值,则实数m 的取值范围是 ( )

A .m>0

B .m<0

C .m>1

D .m<1 2.函数f (x )=x 2+x-ln x 的零点的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 3. 函数f (x )=

x 2-1e x

的图象大致为( )

4. 已知函数f (x )=a x

+x 2

-x ln a ,对任意的x 1,x 2∈[0,1],不等式|f (x 1)-f (x 2)|≤a-2恒成立,则a 的取值范围为( ) A.[e 2,+∞) B.[e,+∞) C.[2,e] D.[e,e 2] 5. 已知定义在R 上的函数f (x ),其导函数为f'(x ),若f'(x )-f (x )<-3,f (0)=4,则不等式f (x )>e x +3的解集是( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,0)

6. 已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2

+8x-8,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是( ) A.y=-2x+3 B.y=x C.y=3x-2 D.y=2x-1

7. 若正项递增等比数列{a n }满足1+(a 2-a 4)+λ(a 3-a 5)=0(λ∈R),则a 6+λa 7的最 小值为( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4

8. 已知函数f (x )为R 内的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=-e x

+1-m cos x ,记a=-2f (-2),b=-f (-1),c=3f (3),则a ,b ,c 之间的大小关系是( ) A.b

9. 已知函数f (x )=1

3x 3-a 2x ,若对于任意的x 1,x 2∈[0,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤1成立,则

实数a 的取值范围是( ) A.[-

2√33,2√33] B.(-2√33,2√33) C.[-2√3

3

,0)∪(0,

2√33

] D.(-

2√33

,0)∪(0,

2√3

3

) 10. 设函数f (x )=min {xlnx ,x 2

e x }(min{a ,b }表示a ,b 中的较小者),则函数

f (x )的最大值为( ) A.3

2ln 2

B.2ln 2

C.1

e

D.4

e 2

11.(2018山东潍坊一模,12)函数y=f (x+1)的图象关于直线x=-1对称,且y=f (x )在[0,+∞)上单调递减.若x ∈[1,3]时,不等式f (2mx-ln x-3)≥2f (3)-f (ln x+3-2mx )恒成立,则实数m 的取值范围为( ) A.[1

2e ,

ln6+66

]

B.[12e ,

ln3+66

] C.[1e ,

ln6+6

6

]

D.[1e ,

ln3+6

6

]

12. 已知函数f (x )=x 2-2x cos x ,则下列关于f (x )的表述正确的是( ) A.f (x )的图象关于y 轴对称 B.f (x )的最小值为-1 C.f (x )有4个零点 D.f (x )有无数个极值点 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知函数f (x )=-1

2x 2+4x-3ln x 在[t ,t+1]上不单调,则t 的取值范围

是 .

14. 曲线f (x )=x ln x 在点P (1,0)处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 .

15. 已知函数f (x )=a ln(x+1)-x 2,在区间(0,1)内任取两个实数p ,q ,且p

f (p+1)-f (q+1)

p -q

>1恒成立,则实数a 的取值范围是 .

16.已知f (x )=x+x ln x ,若k (x-2)2恒成立,则整数k 的最大值为 .

三、解答题(本大题共5小题,共70分)

17.(14分) 设f (x )=ln x ,g (x )=1

2x|x|.

(1)求g (x )在x=-1处的切线方程;

(2)令F (x )=x ·f (x )-g (x ),求F (x )的单调区间;

(3)若任意x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1>x 2,都有m [g (x 1)-g (x 2)]>x 1f (x 1)-x 2f (x 2)恒成立,求实数m 的取值范围.

18.(14分) 已知函数f (x )=ln x-ax ,其中a 为非零常数. (1)求a=1时f (x )的单调区间;

(2)设b ∈R,若f (x )≤b-a 对x>0恒成立,求b

a 的最小值.

19.(14分)已知函数f (x )=2ln x-x 2+ax (a ∈R). (1)当a=2时,求f (x )的图象在x=1处的切线方程;

(2)若函数g (x )=f (x )-ax+m 在[1

e ,e]上有两个零点,求实数m 的取值范围.

20.(14分)函数f(x)=e x-ax2+1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.

(1)求a,b的值;

(2)当x>0时,求证:f(x)≥(e-2)x+2.

21.(14分)已知函数f(x)=ln x-mx+2(m∈R).

(1)若函数f(x)恰有一个零点,求实数m的取值范围;

(2)设关于x的方程f(x)=2的两个不等实根为x1,x2,求证:√x1x2>e(其中e为自然对数的底数).