整数规划

若某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油。使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为S 1,S 2.…,S 10相应的钻探费用为C 1 ,C 2 ,… C 10,并且井位选择要满足下列限制条件: (1)在s 1,s 2,S 4中至多只能选择两个;

(2)在S 5,s 6中至少选择一个;(3)在s 3,s 6,S 7,S 8中至少选择两个。 试建立这个问题的整数规划模型

解:设x j (j=1,…,10)为钻井队在第i 个井位探油 minZ=j j j x c ∑=10

1

背包问题:一个登山队员,她需要携带的物品有:食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可序号 1 2 3 4 5 6 7 物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 照相器材 通信设备 重量/Kg 5 5 2 6 12 2 4 重要性系数 20 15 18 14 8 4 10 解i i i ⎩⎨

⎧==≤++++++++++++=7

,...,2,1,10254212625510481418152076543217654321i x x x x x x x x x x x x x x x naxz i 或

集合覆盖与布点问题

某市消防队布点问题。该市共有6个区,每个区都可以建消防站,市政府希望设置的消防站最少,但必须满足在城市任何地区发生火警时,消防车要在15min 内赶到现场。据实地测定,各区之间消防车行驶的时间见表,请制定一个布点最少的计 地区1 地区2 地区3 地区4 地区5 地区6 地区1 地区2 地区3 地区4 地区5 地区6 0 10 16 28 27 20 10 0 24 32 17 10 16 24 0 12 27 21 28 32 12 0 15 25 27 17 27 15 0 14 20 10 21 25 14 0 i i i

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥++≥++≥++≥+≥++≥++++++=0

11

11111min 65

2

654

543

436

2

121654321或i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 解得: X*=(0,1,0,1,0,0)’ Z*=2

某公司现有5个项目被列入投资计划,各项目的投资额与期望的投资收益如下表所示:

该公司只有600万元资金可用于投资,由于技术上的原因,投资受到以下条件的约束:(1)在项目1、2与3中必须有一项被选中,(2)项目3与项目4只能选中一项,(3)项目5被选中的前提就是项目1

必须被选中。试就这一问题建立运筹学研究模型。

5、2某市为方便学生上学,拟在新建的居民小区增设若干所小学。已知备选校址代号及其能覆盖的居民小区编号如表5–2所示,问为覆盖所有小区至少应建多少所小学,要求建模并求解。

所示,现货物2、4中优先运2,货物1、5不能混装,试建立运费收入最多的运输方案。

表5-13

5、11 运筹学中著名的旅行商贩(货朗担)问题可以叙述如下:某旅行商贩从某一城市出发,到其她几个城市推销商品,规定每个城市均需到达且只到达一次,然后回到原出发城市。已知城市i与城市j之间的距离为d ij问商贩应选择一条什么样的路线顺序旅行,使总的旅程最短。试对此问题建立整数规划模型。

有一组物品S,共有9件,其中第i件重i w,价值i v,从S中取出一些物品出来装背包,

工程上马的决策问题

某部门三年内有四项工程可以考虑上马,每项工程的期望收益与年度费用(千

元)如下表所示:假定每一项已选定的工程要在三年内完成,就是确定应该上马哪些工程,方能使该部门可能的期望收益最大。

A、B、C

物2,构建一个整数规划模型,在满足环保要求的前提下使投资与运行费用最少。

1231231231

23112233123123min 50040030050080010008050408000060405060000

800500400,,0;,,0,1z y y y x x x x x x x x x x y x y x y x x x y y y =+++++++≥⎧⎪++≥⎪⎪≤⎪⎨

≤⎪⎪≤⎪≥⎪⎩为变量

为解决污水对河流的污染问题,某城市拟建污水处理站,备选的站址有A 、B 、C 三

物2,构建一个整数规划模型,在满足环保要求的前提下使投资与运行费用最少。

第五章 整数规划习题

5、1 考虑下列数学模型

)()(m in 2211x f x f z += 且满足约束条件

(1)或101≥x ,或102≥x ;

(2)下列各不等式至少有一个成立:

⎪⎩⎪

⎨⎧≥+≥+≥+15

215152212121x x x x x x

(3)021=-x x 或5或10 (4)01≥x ,02≥x 其中

)(11x f =⎩⎨

⎧=>+0,0

0,520111x x x 如如 =)(2

2x f ⎩⎨

⎧=>+0,00,612222x x x 如如 将此问题归结为混合整数规划的模型。 解:2211612510m in x y x y z +++=

⎪

⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎧•••=≥≥=+++++-+-=-≤++-≥+-≥+-≥+•--≥•-≥•≤•≤），，＝（或，）（）（）（；）（11.110;00)4(1

11105503215215152)1(1010102111

1098711109872165462152142132312211i y x x y y y y y y y y y y x x y y y M y x x M y x x M y x x M y x M y x M y x M y x i

5、2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题

3

3

3221max x x x x z -+= ⎩⎨

⎧==≤++-）

，（或3,2,110332321j x x x x j

解:令=y ⎩⎨⎧==否则，当,01132x x

故有y x x =32,又21x ,3

1x 分别与1x ,3x 等价,因此题中模型可转换为

31m ax x y x z -+=

⎪

⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧-+≤+≤≤≤++-变量均为10,,,1

3

323213

23

2321y x x x y x x x y x y x x x 5、3 某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上。有关数据资料见表5-1

13安装一件;(3)A 2与A 4中至少安装一件;(4)A 5同A 6或者都安上,或者都不安。总的目的就是装上取的仪器装置使该科学卫星发挥最大的实验价值。试建立这个问题的数学模型。 解:

j

j j x c z ∑==6

1max