平行六面体课件

注:①、②、③式都称为平面的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
16
思考 (课本 p88 思考) 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A 、 B、 C, 满 足向 量 关系 式 ( 其 中 x y z 1 ) 的 点 P 与 点
OP xOA yOB zOC A 、 B、 C 是否共面 ?
17
课外思考题: 如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量 AB a , AC b , AD c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为
△BCD 的重心,试用 a 、 b 、 c 表示下列向量:
⑴ DM
1 （ a b) c 2
B M
⑵ AG
A
1 （ a b c) 3
(1) AB BC (2) AB AD AA1
A1 D1 B1 C1
M 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 G 1 (4) AB AD CC1 D C 2 解： (1) AB BC＝AC; A B (2) AB AD AA1 AC AA1 AC CC1 AC1 1 1 (3) ( AB AD AA1 ) AC AG 3 3
ABC D 的中心，求下列各式中x、y、z的值：
(1) BD x AD y AB z AA; (2) AE x AD y AB z AA.
8
二、共线向量及其定理
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考 ⑴ : 对空间任意两个向量 a 与 b , 如果 a b , 那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
例如:
a
3a
3a
4
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即： (a b) a b （ ） a a a
( a) ( )a
A
P89 练习1、①②③
D
F
5
B
E
C
思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
OB 、 OC 为棱的平行六面 练习 1: 已知 OE 是以 OA 、 体 OADB─CFEG 的对角线,点 M 是 △ ABC 的重心. G 求证:点 M 在直线 OE 上. E
分析: 证三点共线可 尝试用向量来分析.
O
C
F
M
N
B
D A
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 ，求 OP xOA yOB
14
三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O A

a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
10
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A
O

l
a
BP
注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
即， P,A,B 三点共线。或表示 t ⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 R ,使 AP t a . OP (1t )OA tOB .① tR , 使 AP ∴ 点 P 在直线 l 为： 上 唯一实数 t a
3.1.2空间向量的 数乘运算
昌江县矿区中学 陆师
上一节课 ,我们把平面向量的有关概念及加减运 算扩展到了空间.
加法 减法 运算 运 算 律 平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 ab ba 加法结合律: (a b) c a (b c) 空间向量
A a B
15
b
C
p
P
思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线
的非零向量 a 、 b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P P 呢? p C
b
⑴∵ AP与a 、b 共面, ∴ 唯一有序实数对 ( x, y),
O
A a B
使 AP xa yb .
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP xa yb ①
∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA 、 OB 不共线
∴由平面向量基本定理可知 x 1 t , y t
∴ x y 1
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , B、 P 三点共线吗? 那么 A 、
学习共面
13
例4、已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是 边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点， 且 CF 2 CB, CG 2 CD. 3 3 求证：四边形EFGH是梯形。
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.
2
b
b
a
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b .
b
c
a
9
二、共线向量及其定理
1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 b 记作a // b ． 向量．a 平行于 o 与任一向量 a 是共线向量. 规定: a b、 b（0 ≠ ） 2.共线向量定理： 空间任意两个向量 ， a //b 的充要条件是存在实数 ，使a b .
x的值 y.
12
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
y . 外一点,且 OP xOA yOB ，求 x 的值 解:∵ A 、 B、 P 三点共线,∴ t R ,使 OP OA t AB
∴ OP (1 t )OA tOB ∵A 、 B、 P、 O 四点在同一个平面内,且 OP xOA yOB
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
3
a
一、 数乘空间向量的运算法则
与平面向量一样 , 实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量. ⑴当 0 时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0 时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA 则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③ 注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定 . 11
1 2 AA BC AB ，并在图中标出其结果； （1）化简 2 3
上的3/4分点，设 MN AB AD AA ，试求
的值。
是平行六面体。
（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面 BCC B对角线 BC
、、
练习： 如图，已知正方体ABCD ABC D，点E是上底面
C 在平面 内且 AB a , AC b ⑵∵已知点 B 、
∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP xAB yAC ②
C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ⑶∵已知点 B 、 ∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 OP OA xAB yAC ③
1 (4) AB AD+ CC1＝AM . 2
6
例2、平行六面体A1B1C1D1 ABCD，M分 AC 成的
1 比为 ，N分 2
A1D 成的比为2，设
AB a, AD b, AA1
c,试用
B1
A1
C1
N
D1
a, b, c
表示 MN 。
A
M
D C
7
B
例3、已知 ABCD ABC D
D
Βιβλιοθήκη Baidu
G C
作业：P97 A组第1、2题
18