浙教版七年级下册数学知识点总结及例题
2023年浙教版七年级数学下册各章知识点汇总
新浙教版七年级下册数学各章知识点第一章：平行线与相交线一、知识构造⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎩同位角相等，两直线平行直线平行的判定内错角相等，两直线平行同旁内角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等平行线直线平行的性质两直线平行，内错角相等平行线与相交线两直线平行，同旁内角互补作一条线段等于已知线段尺规作图作一个角等于已知角相交线：补角、余角、对顶角二、要点诠释1.两条直线旳位置关系（1）在同一平面内，两条直线旳位置关系只有两种：相交与平行。
（2）平行线：在同一平面内，不相交旳两条直线交平行线。
2.几种特殊关系旳角（1）余角和补角：①定义：假如两个角旳和是直角，称这两个角互为余角；假如两个角旳和是平角，称这两个角互为补角。
②性质：同角或等角旳余角相等，同角或等角旳补角相等。
（2）对顶角：①定义：两条直线相交所得有公共顶点、没有公共边旳两个角②性质：对顶角相等。
（3）同位角、内错角、同旁内角两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角。
①在两条直线同一侧并且在第三条直线旳旁边旳两个角叫同位角。
②在两条直线之间并且在第三条直线旳两旁旳两个角叫做内错角。
③在两条直线之间并且在第三条直线旳同旁旳两个角叫做同旁内角。
三、重要内容（1）平行线旳鉴定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角相等，两直线平行；平行于同一直线旳两条直线平行；垂直于同一条直线旳两直线平行。
（2）平行线旳性质两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；通过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
第二章：二元一次方程组2.1二元一次方程具有两个未知数，且具有未知数旳项旳次数都是一次旳方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边旳值相等旳一对未知数旳值，叫做二元一次方程旳一种解。
2.2二元一次方程组由两个二元一次方程构成，并且具有两个未知数旳方程组，叫做二元一次方程组。
浙教版七年级下册数学知识点总结及例题
浙教版七年级下册数学知识点总结及例题第1章平行线1．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行．2．平行线的定义：在同一平面内．．．．．．，不相交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“∥”表示．思考：定义中为什么要有“在同一平面内”这个条件？3．平行线的基本事实：经过直线外．．．一点，有且只有一条直线与这条直线平行．思考：为什么要经过“直线外”一点？4．用三角尺和直尺画平行线的方法：一贴，二靠，三推，四画．（注意：作图题要写结论）5．★★★★★同位角、内错角、同旁内角判断过程：①画出给定的两个角的边（共三条边），公共边就是截线，剩下两条边就是被截线；②根据同位角、内错角、同旁内角的概念判断．同位角：在截线的同旁，被截线的同一侧．内错角：在截线的异侧，被截线之间．同旁内角：在截线的同旁，被截线之间．练习：如图，∠1和∠2是一对___________；∠2和∠3是一对___________；∠1和∠5是一对___________；∠1和∠3是一对___________；∠1和∠4是一对___________；∠4和∠5是一对___________；6．★★★★★平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）平行线的定义：在同一平面内．．．．．．，不相交的两条直线平行；（5）平行于同一条直线的两条直线平行；（不必在同一平面内）（6）在同一平面内．．．．．．，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．练习：如图，要得到AB∥CD，那么可添加条件______________________________．（写出全部）7．★★★★★平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补．练习：如图，已知∠1＝58°，∠3＝42°，∠4＝138°，则∠2＝________°.8．★★★★★图形的平移（1）概念：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．（2）性质：平移不改变图形的形状、大小和方向；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．（3）描述一个图形的平移时，必须指出平移的方向．．！．．和距离练习：如图，已知△ABC和其平移后的△DEF．①点A的对应点是________，点B的对应点是________；②线段AC的对应线段是________；线段AB的对应线段是________；③平移的方向是__________，平移的距离是______________________．④若AC＝AB＝5，BC＝4，平移的距离是3，则CF＝________，DB＝________，AE＝________，四边形AEFC的周长是_________．9．★★★折叠问题方法：（1）找到折叠后和折叠前的图形，若折叠前的图形没有画出，自己必须补画上去；（2）找到折叠前后能重合的角，它们的度数相等；（3）利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的内角和、邻补角的性质、平角等计算出角度．练习：（1）如图，将一张纸条ABCD沿EF折叠，若折叠角∠FEC＝64°，则∠1＝________．（2）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α＝_______．（3）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，①写出图中所有与∠6相等的角；②若∠6＝x°，请用含x的代数式表示∠4的度数．第2章二元一次方程组1．★★★二元一次方程的概念三个条件：（1）含有两个未知数；（2）未知数的项的次数是一次；（3）都是整式．练习：方程①x －1 y＋2＝0，②xy ＝－2，③x 2－5x ＝5，④2x ＝1－3y 中，为二元一次方程的是____________．2．★★★★把二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式（1）用含x 的代数式表示y ，则应变形为“y ＝…”的形式；（2）用含y 的代数式表示x ，则应变形为“x ＝…”的形式．练习：（1）已知方程2x －3y ＝7，用关于x 的代数式表示y 得_______________.（2）已知方程3x ＋2y ＝6，用关于y 的代数式表示x 得_______________.3．★二元一次方程的整数解方程3x ＋2y ＝21的正整数解是_________________________．4．二元一次方程组的概念三个条件：（1）两个一次方程；（2）两个方程共有两个未知数；（3）都是整式．5．★★★★★解二元一次方程组基本思路：消元消元方法：（1）代入消元；（2）加减消元．（注意：一定要把解代入原方程组检验，保证正确）练习：（1）⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝23x ＋2y ＝10 （2）⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 3x ＋y ＝126．★★★★常考题型练习：（1）已知代数式kx ＋b ，当x ＝2时值为－1，当x ＝3时值为－3，则a ＋b ＝_________．（2）若方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －2y ＝12x ＋by ＝5的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝a ，则b ＝________．（3）已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝k x ＋2y ＝－1的解互为相反数，则k 的值是_______．（4）请你写出一个以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1为解的二元一次方程组：_______________. （5）已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝5x ＋3y ＝5，则x ＋y 的值为___________．7．某公司有甲、乙两个工程队．（1）两队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合做2天完成了全部工程．已知甲队单独完成此项工程所需的天数是乙队单独完成所需的天数的三分之二，则甲、乙两队单独完成各需多少天？（2）甲工程队工作5天和乙工程队工作1天的费用和为34000元；甲工程队工作3天和乙工程队工作2天的费用和为26000元，则两队每天工作的费用各多少元？（3）该公司现承接一项（1）中2倍的工程由两队去做，且甲、乙两队不在同一天内合做，又必须各自做整数天，试问甲、乙两队各需做多少天？若按（2）中的付费，你认为哪种方式付费最少？8．某企业承接了一批礼盒的制作业务，该企业进行了前期的试生产，如图 1 所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图 2 所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）（1）该企业原计划用若干天加工纸箱 300 个，后来由于提升工作效率，实际加工时每天加工速度为原计划的 1.5 倍，这样提前 3 天超额完成了任务，且总共比原计划多加工 15 个，问原计划每天加工礼盒多少个；（2）若该企业购进正方形纸板 550 张，长方形纸板 1200 张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；（3）该企业某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板 100 张，长方形纸板a 张，全部加工成上述两种纸盒，且 150＜a＜168，试求在这一天加工两种纸盒时a 的所有可能值．（请直接写出结果）第3章整式的乘除1．★★★★★公式与法则（1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加．a m·a n＝a m＋n（m，n都是正整数）（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘．(a m) n＝a mn（m，n都是正整数）（3）积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．(ab) n＝a n b n（n都是正整数）（4）乘法公式：①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2②完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab(a－b)2＝a2＋b2－2ab（5）同底数幂的除法：底数不变，指数相减．a m÷a n＝a m－n（a≠0）（6）a0＝1（a≠0）（7）a－p＝1a p（a≠0），当a是整数时，先指数变正，再倒数．当a是分数时，先把底数变倒数，再指数变正．（8）单项式乘单项式：系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．（9）单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．m(a＋b)＝ma＋mb（10）多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． (a＋n)(b＋m)＝ab＋am＋nb＋nm（11）单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．（12）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．(a＋b＋c)÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m（m≠0）练习：（1）(2a2)3＝___________；3y·(－2x2y3)＝___________；(9x3－3x)÷(3x)＝___________；(－2)0＝___________；(－3)－3＝___________；(－23)－2＝___________；(2a－1)2＝_______________；(a3)2•a－2a3• a4＝______________；(1－2a)2－(2－a)(1＋a)＝_______________；(x－2)(x＋2)－(1－2x)2＝_________________．2．★★★★★用科学记数法表示较小的数：a×10－n（1≤|a|＜10）方法：第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方．练习：（1）科学记数法表示0.0000103＝_________________．（2）1纳米＝0.000000001米，则0.33纳米＝________米．（用科学计数法表示）（3）把用科学记数法表示的数7.2×10－4写成小数形式为___________________．3．★★★★常考题型（1）已知a＋b＝3，ab＝－1，则a2＋b2＝___________．（2）若多项式x2－(x－a)(x＋2b)＋4的值与x的取值大小无关，那么a，b一定满足_____________．（3）关于x的代数式(3－ax)(x2＋2x－1)的展开式中不含x2项，则a＝___________．（4）若代数式x2＋3x＋2可以表示为(x－1)2＋a(x－1)＋b的形式，则a＋b的值是．（5）若(x－m)(2x＋3)＝2x2－nx＋3，则m－n＝__________．（6）若(2x－5y)2＝(2x＋5y)2＋M，则代数式M应是__________________．（7）如图，一块砖的外侧面积为a，那么图中残留部分的墙面的面积为_______________．（8）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为a米，则绿化的面积为________________m2．（9）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使n2k为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是_________．第4章因式分解1．★★★★因式分解的概念：把一个多项式．．．化成几个整式的积．．．．的形式，叫做因式分解，也叫分解因式．因式分解和整式乘法是互逆关系．练习：下列从左到右边的变形，是因式分解的是（）A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)22．★★★★★因式分解的方法（1）提公因式法：先确定应提取的公因式，然后用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式，最后把多项式写成这两个因式的积的形式．ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)确定公因式的方法：系数的最大公因数和相同字母的最低次幂．即：(□)2－(△)2＝(□＋△)(□－△)②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2即：(□)2±2(□)(△)＋(△)2＝(□±△)2练习：（1）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2－4 B．x2＋2x＋4 C．4x2＋4x＋1 D．x2＋y2（2）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（）A．x2＋4 B．x2＋2x＋1 C．x2－4x D．－x2＋9（3）因式分解：①a3－9a＝_____________________. ②x－xy2＝_____________________．③x2－8x＋16＝_________________. ④3ax2－6axy＋3ay2＝________________．⑤a3－4a(a－1)＝_________________.⑥(x－2y)2－x＋2y＝________________．3．★★★★完全平方式：我们把多项式a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2叫做完全平方式．即：(□)2±2(□)(△)＋(△)2练习：（1）若x2＋(2p－3)x＋9是完全平方式，则p的值等于＝____________．（2）多项式9x2－x＋1加上一个单项式后成为一个整式的平方，请写出3个满足条件的单项式：_____________________________．4.十字相乘法：十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
浙教版七年级数学下册知识点汇总
浙教版七年级数学下册知识点汇总七年级（下册）1.平行线1.1.平行线在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
“平行”用符号“//”表示。
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
1.2.同位角、内错角、同旁内角如图所示：同位角：∠1和∠5内错角：∠3和∠5同旁内角：∠4和∠51.3.平行线的判定两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
(同位角相等，两直线平行) 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
(内错角相等，两直线平行) 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
(同旁内角互补，两直线平行) 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
1.4.平行线的性质两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
(两直线平行，同位角相等)两条直线被第三条直线所截，内错角相等。
(两直线平行，内错角相等)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(两直线平行，同旁内角互补)1.5.图形的平移图形平移的定义：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相同的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。
图形平移的性质：（1）图形平移不改变图形的形状和大小。
（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
图形平移的描述：要描述一个平移，必须先指出平移的方向和距离。
平移的方向和距离是决定平移的因素。
平移图形的画法：（1）找出原图形的关键点（如顶点或者端点）（2）按平移的方向和距离分别描出各个关键点平移后的对应点（3）按原图将各对应点顺次连接2.二元一次方程组2.1.二元一次方程像0.6x + 0.8y = 3.8这样，含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。
2.2.二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
浙教版七下数学知识点(整理)
浙教版七下数学知识点(整理）第一章三角形的初步认识1。
1认识三角形①由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
“三角形”用符号“△”表示,顶点是ABC的三角形记做“△AＢC”读作“三角形ABC”。
由两点之间线段最短，可以得到如下性质:三角形任何两边的和大于第三边。
②三角形三个内角的和等于180°。
由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角,叫做该三角形的外角。
三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和.1。
２三角形的平分线和中线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。
在三角形中,连结一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线。
1。
3三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
锐角三角形的三条高在三角形的内部,垂足在相应顶点的对边上.直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。
而在钝角三角形中,夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。
1。
4全等三角形能够重合的两个图形称为全等图形。
能够重合的两个三角形称为全等三角形。
两个全等三角形重合时,能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。
“全等”可用符号“≌＂来表示。
全等三角形的性质:全等三角形对应边相等，对应角相等.1.5三角形全等的条件①三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”）。
当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。
②有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAＳ”)。
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.③有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角"或“ASA”)。
浙教版七年级数学下册知识点汇总-精品
浙教版七年级数学下册知识点汇总七年级（下册）1.平行线1.1.平行线在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
“平行”用符号“//”表示。
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如图所示：同位角：∠1和∠5内错角：∠3和∠5同旁内角：∠4和∠51.3.平行线的判定两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
(同位角相等，两直线平行)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
(内错角相等，两直线平行)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
(同旁内角互补，两直线平行)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
1.4.平行线的性质两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
(两直线平行，同位角相等)两条直线被第三条直线所截，内错角相等。
(两直线平行，内错角相等)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(两直线平行，同旁内角互补)1.5.图形的平移图形平移的定义：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相同的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。
图形平移的性质：（1）图形平移不改变图形的形状和大小。
（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
图形平移的描述：要描述一个平移，必须先指出平移的方向和距离。
平移的方向和距离是决定平移的因素。
平移图形的画法：（1）找出原图形的关键点（如顶点或者端点）（2）按平移的方向和距离分别描出各个关键点平移后的对应点（3）按原图将各对应点顺次连接2.二元一次方程组2.1.二元一次方程像0.6x + 0.8y = 3.8这样，含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。
2.2.二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
71 浙教版七年级数学下册各章知识点汇总
新浙教版七年级下册数学各章知识点第一章:平行线与相交线一、知识结构⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎩同位角相等，两直线平行直线平行的判定内错角相等，两直线平行同旁内角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等平行线直线平行的性质两直线平行，内错角相等平行线与相交线两直线平行，同旁内角互补作一条线段等于已知线段尺规作图作一个角等于已知角相交线：补角、余角、对顶角二、要点诠释1.两条直线的位置关系(1)在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交与平行。
(2)平行线:在同一平面内,不相交的两条直线交平行线。
2.几种特殊关系的角(1)余角与补角:①定义:如果两个角的与就是直角,称这两个角互为余角;如果两个角的与就是平角,称这两个角互为补角。
②性质:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。
(2)对顶角:①定义:两条直线相交所得有公共顶点、没有公共边的两个角②性质:对顶角相等。
(3)同位角、内错角、同旁内角两条直线分别与第三条直线相交,构成八个角。
①在两条直线同一侧并且在第三条直线的旁边的两个角叫同位角。
②在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角。
③在两条直线之间并且在第三条直线的同旁的两个角叫做同旁内角。
三、主要内容(1)平行线的判定:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角相等,两直线平行;平行于同一直线的两条直线平行;垂直于同一条直线的两直线平行。
(2)平行线的性质两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补;经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
第二章:二元一次方程组2、1二元一次方程含有两个未知数,且含有未知数的项的次数都就是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解。
2、2二元一次方程组由两个二元一次方程组成,并且含有两个未知数的方程组,叫做二元一次方程组。
7-1.浙教版七年级数学下册各章知识点汇总
新浙教版七年级下册数学各章知识点第一章：平行线与订交线一、知识构造同位角相等，两直线平行直线平行的判断内错角相等，两直线平行同旁内角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等平行线与订交线平行线直线平行的性质两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补尺规作图作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角订交线：补角、余角、对顶角二、重点解说1. 两条直线的地点关系（1）在同一平面内，两条直线的地点关系只有两种：订交与平行。
（2）平行线：在同一平面内，不订交的两条直线交平行线。
2. 几种特别关系的角（1）余角和补角：①定义：假如两个角的和是直角，称这两个角互为余角；假如两个角的和是平角，称这两个角互为补角。
②性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
（2）对顶角：①定义：两条直线订交所得有公共极点、没有公共边的两个角②性质：对顶角相等。
（3）同位角、内错角、同旁内角两条直线分别与第三条直线订交，构成八个角。
①在两条直线同一侧而且在第三条直线的旁边的两个角叫同位角。
②在两条直线之间而且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角。
③在两条直线之间而且在第三条直线的同旁的两个角叫做同旁内角。
三、主要内容（1）平行线的判断：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角相等，两直线平行；平行于同向来线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两直线平行。
（2）平行线的性质两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
第二章：二元一次方程组2.1 二元一次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
2.2 二元一次方程组由两个二元一次方程构成，而且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
同时知足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。
浙教版七年级下册数学 专题10 矩形的性质与判定(知识点串讲)(解析版)
专题10 矩形的性质与判定知识网络重难突破知识点一矩形的性质1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形2.性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．【典例1】（2019春•西湖区期末）如图，将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，已知AF∥BE，DF∥CE，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H．（1）判断∠CGH与∠DFE是否相等，并说明理由；（2）①判断GH是否平分∠AGE，并说明理由；②若∠DF A＝52°，求∠HGE的度数．【点拨】（1）由四边形ABCD是矩形，得到AD∥BC，得到CG∥DF根据平行线的性质得到∠AGC＝∠AFD，∠AGH＝∠AFE，于是得到∠CGH＝∠DFE；（2）①根据平行线的性质得到和角平分线的定义即可得到结论；②由折叠的性质得到∠EFG＝∠1，根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．【解析】解：（1）∠CGH＝∠DFE，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴CG∥DF，∵GH∥EF，∴∠AGC＝∠AFD，∠AGH＝∠AFE，∵∠CGH＝∠AGC+∠AGH，∠DFE＝∠DF A+∠AFE，∴∠CGH＝∠DFE；（2）①GH平分∠AGE；理由如下：∵GH∥EF，∴∠AGH＝∠AFE，∠HGE＝∠GEF，∵CE∥DF，∴∠1＝∠GEF，∴∠AGH＝∠EGH，∴GH平分∠AGE；②∵将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，∴∠EFG＝∠1，∵∠DFG＝52°，∴∠EFG＝64°，∵GH∥EF，∴∠AGH＝∠AFE＝64°，∵∠EGF＝∠DFG＝52°，∴∠HGE＝64°．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式训练】1．（2020•宁波模拟）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，则点A到BD的距离是（）A．4B．4.6C．4.8D．5【点拨】先根据矩形的性质和勾股定理求出BD＝10，再根据△ABD的面积的不同计算方法即可得出答案．【解析】解：设点A到BD的距离为h，在矩形ABCD中，∴AB＝6，BC＝AD＝8，∴由勾股定理可知：BD＝10，∴h•BD＝AD•AB，∴h＝＝4.8，故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用勾股定理以及矩形的性质，本题属于基础题型．2．（2019春•嘉兴期末）矩形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．邻边相等D．对角线相等【点拨】利用矩形的性质对每个选项进行判断后即可确定正确的选项．【解析】解：A、矩形的对边相等，正确；B、矩形的对角相等，正确；C、矩形的邻边不一定相等，错误；D、矩形的对角线相等，正确，故选：C．【点睛】考查了矩形的性质，了解矩形的所有性质是解答本题的关键，难度不大．3．（2019春•温州期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO＝55°，则∠AOD等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°【点拨】根据矩形的性质可得∠BAO＝∠ABO＝55°，再依据三角形外角性质可知∠AOD＝∠BAO+∠ABO＝55°+55°＝110°．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB．∴∠BAO＝∠ABO＝55°．∴∠AOD＝∠BAO+∠ABO＝55°+55°＝110°．故选：A．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，矩形中对角线互相平分且分成的四条线段都相等．4．（2019春•东阳市期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝5．则图中阴影部分的面积为10．【点拨】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．【解析】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×5＝5，∴S阴＝5+5＝10，故答案为10【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD．知识点二矩形的判定矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.有三个角是直角的四边形是矩形；3.对角线相等的平行四边形是矩形.【典例2】（2018春•杭州期末）已知，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A 作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF＝DC，连结CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．【点拨】（1）根据平行四边形的判定定理得出即可；（2）可证△AFE≌△DBE，得出AF＝BD，进而根据AF＝DC，得出D是BC中点的结论，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．【解析】（1）证明：∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）解：当AB＝AC时，四边形ADCF为矩形，理由是：∵E是AD的中点，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠F AE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE．在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）．∴AF＝BD．∵AF＝DC，∴BD＝DC．∵AB＝AC，∴AD⊥BC即∠ADC＝90°．∴平行四边形ADCF是矩形，即当AB＝AC时，四边形ADCF为矩形．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用，熟记特殊平行四边形的判定方法是解题的关键【变式训练】1．（2019春•温岭市期末）下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是（）A．一组对边平行且相等，一个角是直角B．对角线互相平分且相等C．有三个角是直角D．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等【点拨】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．【解析】解：A、正确．一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形；B、正确．对角线互相平分且相等的四边形是矩形；C、正确．有三个角是直角的四边形是矩形；D、错误．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等，等腰梯形满足此条件，不是矩形；故选：D．【点睛】此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．2．四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边形ABCD是矩形，①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC＝BD，则正确的选法是（）A．①②B．①③C．②③D．以上都可以【点拨】根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断即可．【解析】解：当具备①③两个条件，能得到四边形ABCD是矩形．理由如下：∵对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．故选：B．【点睛】本题主要考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．3．（2020•资兴市一模）如图，AC∥DB，且AC＝2DB，E是AC的中点．（1）求证：四边形BDEC是平行四边形；（2）连接AD、BE，直接写出△ABC添加一个什么条件使四边形DBEA是矩形？（不需说明理由）【点拨】（1）证出DB＝EC，即可得出结论；（2）先证四边形DBEA是平行四边形，再证AB＝DE，即可得出结论．【解析】（1）证明：∵E是AC中点，∴AC＝2EC．∵AC＝2DB，∴DB＝EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．（2）解：添加AB＝BC，理由如下：连接AD、BE，如图，∵DB∥AE，DB＝AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC＝DE，AB＝BC，∴AB＝DE．∴四边形DBEA是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定是解题的关键．4．（2020•徐汇区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE＝DG，BF＝DH．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当AB＝BC，且BE＝BF时，求证：四边形EFGH是矩形．【点拨】（1）利用全等三角形的性质可得EF＝HG，EH＝FG，可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得∠BEF＝∠BFE＝，∠AEH＝∠AHE＝，可求∠FEH＝90°，可得结论．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，∵BE＝DG，BF＝DH，且∠B＝∠D，∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝HG，同理可得EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）∵AB＝BC，BE＝BF∴AB＝BC＝CD＝AD，BE＝BF＝DH＝DG，∴AE＝AH，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵BE＝BF，AE＝AH，∴∠BEF＝∠BFE＝，∠AEH＝∠AHE＝，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∴∠FEH＝90°，∴平行四边形EFGH是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．知识点三矩形的性质与判定综合【典例3】（2020•温州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，BE＝CF．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．（2）若OD＝13，CF＝12，求BF的长．【点拨】（1）根据垂直的定义得到∠BEO＝∠CFO，根据全等三角形的性质得到OB＝OC，根据平行四边形的性质得到＝OC，OB＝OD，求得AC＝BD，于是得到结论；（2）根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°，∵∠BOE＝∠COF，BE＝CF，∴△BOE≌△COF（AAS），∴OB＝OC，∵四边形BCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴AO＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵OD＝13，∴OB＝OC＝OD＝13，∵CF＝12，∴OF＝＝＝5，∴BF＝OB+OF＝18．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式训练】1．（2020•北京一模）如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求AD的长．【点拨】（1）根据平行四边形的下载得到BC＝AD，BC∥AD，求得ECAF，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）解直角三角形得到BE＝2，AE＝，根据矩形的性质得到FC⊥BC，FC＝AE＝．由角平分线的定义得到∠FBC＝∠ABC＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，BC∥AD，又∵BE＝DF，∴BC﹣BE＝AD﹣DF，即EC＝AF，∴EC＝AF，∴四边形AECF为平行四边形，又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形；（2）解：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，AB＝4，∴BE＝2，AE＝，∵四边形AECF是矩形，∴FC⊥BC，FC＝AE＝．∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠ABC＝30°，在Rt△BCF中，∠FCB＝90°，∠FBC＝30°，FC＝，∴BC＝6，∴AD＝BC＝6．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．2．（2020•萧山区一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝2，求△OEC的面积．【点拨】（1）证出∠BAD＝∠BCD，得出四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OC，OB＝OD，证出AC＝BD，即可解决问题；（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF即可解决问题；【解析】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴OF＝CD＝1，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．3．（2019春•香坊区校级期中）四边形ABCD是平行四边形，∠A＝∠B．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝AB，求∠ACB的度数；（3）在（2）的条件下，点E，F分别在AB，AD上，且CE＝CF，∠ECF＝30°，AC＝4，求2AE﹣FD 的值．【点拨】（1）如图1中，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，求得∠A＝∠B＝90°，于是得到四边形ABCD是矩形；（2）如图2中，根据三角函数的定义即可得到结论；（3）如图3中，作FH⊥AC于H，根据全等三角形的性质得到BE＝FH，根据直角三角形的性质得到AE+AF＝AE+FH＝AE+BE＝AB，求得AB＝AC＝2，于是得到结论．【解析】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：如图2中，在Rt△ACB中，tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°；（3）解：如图3中，作FH⊥AC于H．∵∠ACB＝∠ECF＝30°，∴∠BCE＝∠FCH，∵CE＝CF，∠B＝∠FHC＝90°，∴△BCE≌△HCF，∴BE＝FH，在Rt△AFH中，∵∠F AH＝30°，∴FH＝AF，∴AE+AF＝AE+FH＝AE+BE＝AB，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC＝2，∴AE+AF＝2，∴2AE+AF＝4，∴AF＝4﹣2AE，∴DF＝AD﹣AF＝2﹣（4﹣2AE），∴2AE﹣FD＝4﹣2．【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．巩固训练1．（2019春•海曙区期末）如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E是CD的中点，已知AB＝5，OE＝6，则AC的长为（）A．10B．11C．12D．13【点拨】首先利用三角形的中位线定理求得BC的长，然后利用勾股定理求得AC的长即可．【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴O为BD的中点，∵E为CD的中点，∴OE为△ABC的中位线，∵OE＝6，∴BC＝2OE＝12，∵AB＝5，∴AC＝＝13，故选：D．【点睛】考查了矩形的性质，了解矩形的性质是解答本题的关键，难度不大．2．（2018秋•江东区校级月考）已知在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，再补充一个条件使得ABCD为矩形，这个条件可以是（）A．AC＝BD B．AB＝BCC．AC与BD互相平分D．AC⊥BD【点拨】由矩形的判定可求解．【解析】解：∵有一个直角的平行四边形是矩形，∴只要四边形ABCD是平行四边形，即可判定四边形ABCD是矩形，∴添加AC与BD互相平分故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是本题的关键．3．（2019春•柘城县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数等于75°．【点拨】由矩形ABCD，得到OA＝OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB＝OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB＝BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，∠BAC＝60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB＝OB，∠ABO＝60°，∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故答案为75°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB＝BE．4．（2019秋•朝阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC 上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．【点拨】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【解析】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．（2020春•鄂州期中）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；【点拨】（1）利用平行线的性质得：∠OEC＝∠ECB，根据角平分线的定义可知：∠ACE＝∠ECB，由等量代换和等角对等边得：OE＝OC，同理：OC＝OF，可得结论；（2）先根据对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由角平分线可得：∠ECF＝90°，利用有一个角是直角的平行四边形可得结论；【解析】解：（1）OE＝OF，理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB，∴∠OEC＝∠ACE，∴OE＝OC，同理可得：OC＝OF，∴OE＝OF；（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：∵OA＝OC，OE＝OF（已证），∴四边形AECF是平行四边形，∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACG，∴∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定以及正方形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握并区分平行四边形、矩形、正方形的判定是解题关键．6．（2019春•西湖区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N是AD边上的点，BM，CN交于点O，AN＝DM，BM＝CN．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．（2）若∠BOC＝90°，MN＝1，AM•MD＝12，求矩形ABCD的面积．【点拨】（1）先由平行四边形的性质得出∠A+∠D＝180°，再证明△ABM≌△DCN得出∠A＝∠D，证出∠A＝∠D＝90°，即可得出结论；（2）证明△ABM是等腰直角三角形，得出AB＝AM，求出AM＝4，MD＝3，得出AB＝AM＝4，AD＝AM+MD＝7，即可得出结果．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，AD∥BC，∴∠A+∠D＝180°，∵AN＝DM，∴AM＝DN，在△ABM和△DCN中，，∴△ABM≌△DCN（SSS），∴∠A＝∠D，∵∠A+∠D＝180°，∴∠A＝∠D＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．（2）解：∴△ABM≌△DCN，∴∠AMB＝∠DNC，∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠OBC，∠DNC＝∠OCB，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝90°，∴△OBC是等腰直角三角形，∴AMB＝∠OBC＝45°，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AB＝AM，∵AM•MD＝12，AN＝DM，∴AM（AM﹣1）＝12，解得：AM＝4，或AM＝﹣3（舍去），∴AB＝AM＝4，MD＝3，∴AD＝AM+MD＝7，∴矩形ABCD的面积＝AD×AB＝7×4＝28．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．7．（2019•福田区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．（1）求证：四边形AEBC是矩形；（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．【点拨】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，推出四边形AEBC是平行四边形，求得∠CAE＝90°，于是得到四边形AEBC是矩形；（2）根据三角形的内角和得到∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，推出△AOE是等边三角形，得到AE＝EO，求得∠GOF＝∠GAF＝30°，根据直角三角形的性质得到OG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DA＝AE，∴AE＝BC，AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形，∵AC⊥AD，∴∠DAC＝90°，∴∠CAE＝90°，∴四边形AEBC是矩形；（2）∵EG⊥AB，∴∠AFG＝90°，∵∠CAB＝30°，∴∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，∵四边形AEBC是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OE，∴△AOE是等边三角形，∴AE＝EO，∴AF＝OF，∴AG＝OG，∴∠GOF＝∠GAF＝30°，∴∠CGO＝60°，∴∠COG＝90°，∵OC＝OA＝AB＝3，∴OG＝，∴△OGC的面积＝×3×＝．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．。
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浙教版七年级下册数学知识点总结及例题第1章平行线1．在同一平面内，两条直线的地点关系只有两种：订交与平行．2．平行线的定义：在同一平面内，不订交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“∥”表示．．．．．．．思虑：定义中为何要有“在同一平面内”这个条件？3．平行线的基本领实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．．．．思虑：为何要经过“ 直线外”一点？4．用三角尺和直尺画平行线的方法：一贴，二靠，三推，四画．（注意：作图题要写结论）5．★★★★★同位角、内错角、同旁内角判断过程：①画出给定的两个角的边（共三条边），公共边就是截线，剩下两条边就是被截线；②依据同位角、内错角、同旁内角的观点判断．同位角：在截线的同旁，被截线的同一侧．内错角：在截线的异侧，被截线之间．同旁内角：在截线的同旁，被截线之间．练习：如图，∠ 1 和∠ 2 是一对 ___________；∠ 2 和∠ 3 是一对 ___________；∠1 和∠ 5 是一对 ___________；∠ 1 和∠ 3 是一对 ___________；∠1 和∠ 4 是一对 ___________；∠ 4 和∠ 5 是一对 ___________；6．★★★★★平行线的判断（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）平行线的定义：在同一平面内，不订交的两条直线平行；．．．．．．（5）平行于同一条直线的两条直线平行；（不用在同一平面内）（6）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．．．．．．．练习：如图，要获得 AB∥CD，那么可增添条件．（写出所有）7．★★★★★平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补．练习：如图，已知∠ 1＝58°，∠ 3＝ 42°，∠ 4＝ 138°，则∠ 2＝________° .8．★★★★★图形的平移（1）观点：一个图形沿某个方向挪动，在挪动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．（2）性质：平移不改变图形的形状、大小和方向；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．（3）描绘一个图形的平移时，一定指出平移的方向和距离！．．．．练习：如图，已知△ ABC和其平移后的△ DEF．①点 A 的对应点是 ________，点 B 的对应点是 ________；②线段 AC的对应线段是 ________；线段 AB的对应线段是 ________；③平移的方向是 __________，平移的距离是 ______________________．④若 AC＝AB＝5，BC＝4，平移的距离是 3，则 CF＝________，DB＝________，AE＝________，四边形 AEFC的周长是 _________．9．★★★折叠问题方法：（ 1）找到折叠后和折叠前的图形，若折叠前的图形没有画出，自己一定补画上去；（2）找到折叠前后能重合的角，它们的度数相等；（3）利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的内角和、邻补角的性质、平角等计算出角度．练习：（1）如图，将一张纸条ABCD沿 EF折叠，若折叠角∠ FEC＝64°，则∠ 1＝________．（2）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α＝_______．（3）如图，将一条两边缘相互平行的纸带折叠，①写出图中所有与∠ 6 相等的角；②若∠ 6＝ x°，请用含 x 的代数式表示∠ 4 的度数．第 2 章 二元一次方程1．★★★二元一次方程的观点三个条件：（1）含有两个未知数；（2）未知数的 的次数是一次； （ 3）都是整式．12：方程① x － y ＋ 2＝0，② xy ＝－ 2，③ x －5x ＝5，④ 2x ＝ 1－ 3y 中， 二元一次方程的是____________．2．★★★★把二元一次方程 形成用对于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式（1）用含 x 的代数式表示 y ， 形 “ y ＝⋯”的形式；（2）用含 y 的代数式表示 x ， 形 “ x ＝⋯”的形式．：（ 1）已知方程 2x －3y ＝7，用对于 x 的代数式表示 y 得_______________.（ 2）已知方程 3x ＋2y ＝6，用对于 y 的代数式表示 x 得_______________.3．★二元一次方程的整数解方程 3x ＋ 2y ＝21 的正整数解是 _________________________．4．二元一次方程 的观点三个条件：（1）两个一次方程；（2）两个方程共有两个未知数； （ 3）都是整式．5．★★★★★解二元一次方程基本思路： 消元消元方法：（1）代入消元；（2）加减消元．（ 注意：必定要把解代入原方程 ，保 正确）x － y ＝2y ＝ x：（ 1）2 （2）3 x ＋ y ＝10x ＋y ＝ 123 236．★★★★常考 型：（ 1）已知代数式kx ＋b ，当 x ＝ 2 － 1，当 x ＝ 3 － 3， a ＋b ＝_________．ax －2y ＝ 1x ＝ 1（ 2）若方程 2x ＋by ＝ 5的解是 y ＝ a ， b ＝________．x ＋ 3 y ＝ k （ 3）已知对于 x ，y 的二元一次方程 2的解互 相反数， k 的 是 _______．x ＋ y ＝－2 1x ＝3（ 4） 你写出一个以y ＝－ 1 解的二元一次方程 ： _______________.x ＋y ＝5（ ）已知方程2．x ＋ y ＝， x ＋y 的55___________37．某公司有甲、乙两个工程队．（1）两队共同达成一项工程，乙队先独自做 1 天后，再由两队合做 2 天达成了所有工程．已知甲队独自达成此项工程所需的天数是乙队独自达成所需的天数的三分之二，则甲、乙两队独自达成各需多少天？（2）甲工程队工作 5 天和乙工程队工作 1 天的花费和为 34000 元；甲工程队工作 3 天和乙工程队工作 2 天的花费和为 26000 元，则两队每日工作的花费各多少元？（3）该公司现承接一项（ 1）中 2 倍的工程由两队去做，且甲、乙两队不在同一天内合做，又一定各自做整数天，试问甲、乙两队各需做多少天？若按（ 2）中的付费，你以为哪一种方式付费最少？8．某公司承接了一批礼盒的制作业务，该公司进行了先期的试生产，如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图 2 所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝资料不计）（1）该公司原计划用若干天加工纸箱 300 个，后出处于提高工作效率，实质加工时每日加工速度为原计划的 1.5 倍，这样提早 3 天超额达成了任务，且总合比原计划多加工 15 个，问原计划每日加工礼盒多少个；（2）若该公司购进正方形纸板 550 张，长方形纸板 1200 张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰巧能将购进的纸板所有用完；（ 3）该公司某一天使用的资料清单上显示，这日一共使用正方形纸板100张，长方形纸板a 张，所有加工成上述两种纸盒，且150 ＜a＜ 168，试求在这天加工两种纸盒时 a 的所有可能值．（请直接写出结果）第 3 章整式的乘除1．★★★★★公式与法例（ 1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加． a m · a n ＝a m ＋ n （m ，n 都是正整数）（ 2）幂的乘方：底数不变，指数相乘．( a m ) n ＝ a mn （m ，n 都是正整数）（ 3）积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． ( ab) n ＝a n b n （ n 都是正整数）（ ）乘法公式：①平方差公式：(a ＋b)( a －b ＝ a 2－b 2 4)②完好平方公式： ( a ＋b) 2＝a 2＋ b 2＋2ab(a －b) 2＝a 2＋b 2－2ab（ 5）同底数幂的除法：底数不变，指数相减． a m ÷ a n ＝a m － n （a ≠0） （ 6） a 0 ＝1（a ≠0）－ p1（ 7） a ＝ a p （ a ≠ 0），当 a 是整数时，先指数变正，再倒数．当 a 是分数时，先把底数变倒数，再指数变正．（ 8）单项式乘单项式：系数、同底数幂分别相乘，其他字母连同它的指数不变，作为积的因式．（ 9）单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．m( a ＋b) ＝ma ＋ mb（ 10）多项式乘多项式： 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加．(a ＋n)(b ＋m) ＝ab ＋ am ＋ nb ＋nm（ 11）单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．（ 12）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．(a ＋b ＋ c) ÷m ＝a ÷m ＋ b ÷m ＋c ÷m （m ≠0）练习：（1）(2 a 2) 3＝___________；3y ·( －2x 2y 3) ＝___________；(9 x 3－ 3x) ÷(3 x) ＝___________；－ 32－ 2(－ 2) ＝ ___________；( －3) ＝ ___________；( － 3 ) ＝___________；(2a －1) 2 ＝_______________；( a 3) 2 ? a － 3 a 4＝ ______________；2a ?(1 －a 2 －(2 － a＋ a( x － 2)( x ＋ 2) － (1 － x 2 ＝2 ) )(1 ) ＝ _______________；2 )_________________．．★★★★★用科学记数法表示较小的数：a×－n（ 1≤ | a| ＜10）210方法：第一个不为零的数前方有几个零就是负几次方．练习：（ 1）科学记数法表示0.0000103 ＝_________________．（2） 1 纳米＝ 0.000000001 米，则 0.33 纳米＝ ________米．（用科学计数法表示）（3）把用科学记数法表示的数7.2×10－4写成小数形式为 ___________________．3．★★★★常考题型（1）已知 a＋ b＝ 3， ab＝－ 1，则 a2＋b2＝ ___________．（2）若多项式x2 －(x－ a x ＋ b＋4的值与x 的取值大小没关，那么a， b 必定知足)( 2 )_____________．（3）对于 x 的代数式 (3 －ax)( x2＋2x－1) 的睁开式中不含 x2项，则 a＝___________．（ 4）若代数式x2＋ x＋2能够表示为(x－1)2＋ a x－1)＋b 的形式，则 a＋b 的值是．3(（5）若 ( x－ m)(2 x＋3) ＝2x2－ nx＋3，则 m－n＝__________．（6）若 (2 x－5y) 2＝(2 x＋5y) 2＋ M，则代数式 M应是 __________________．（7）如图，一块砖的外侧面积为 a，那么图中残留部分的墙面的面积为 _______________．（ 8）以下图，某住所小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修建相同宽的两条“之”字2路，余下部分绿化，道路的宽为 a 米，则绿化的面积为 ________________m．（ 9）定义一种对正整数n 的“ F 运算”：①当 n 为奇数时，结果为3n＋5；②当 n 为偶数时，结n n果为2k（此中k是使2k为奇数的正整数），而且运算重复进行．比如，取n＝26，则：若 n＝ 449，则第 449 次“ F 运算”的结果是 _________．第4章 因式分解1．★★★★ 因式分解的观点：把一个多项式 化成几个 整式的积 的形式，叫做因式分解，也叫分解 ．．． ．．．．因式．因式分解和整式乘法是互逆关系．练习：以下从左到右侧的变形，是因式分解的是（ ）． － x x ＝ －x 2 B ． y ＋ 1)( y － 3) ＝－ (3 － y )( y ＋1)A (3 )(3＋ ) 9 ( C ．4yz －2y 2z ＋z ＝2y(2 z －yz) ＋ zD ．－ 8x 2＋8x －2＝－ 2(2 x －1) 22．★★★★★因式分解的方法（ 1）提公因式法：先确立应提取的公因式，而后用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式，最后把多项式写成这两个因式的积的形式． ma ＋mb ＋mc ＝ m( a ＋b ＋c)确立公因式的方法：系数的最大公因数和相同字母的最低次幂．（ 2）用乘法公式因式分解：①平方差公式： a 2－b 2＝ ( a ＋b)( a －b)即： ( □) 2－( △) 2＝( □＋△ )( □－△ )②完好平方公式： a 2＋ 2ab ＋b 2＝( a ＋b)2a 2－ 2ab ＋b 2＝( a －b) 2这里的“□”和“△”能够是单项式，也能够是多项式．即：( □) 2±2( □)( △) ＋( △) 2＝( □±△ ) 2练习：（ 1）以下多项式能用完好平方公式分解因式的是（）A ．x 2－ 4B．x 2＋ 2x ＋4 C ． 4x 2＋4x ＋1D．x 2＋y 2（ 2）以下多项式能用平方差公式分解因式的是（）A ．x 2＋ 4B ．x 2＋ 2x ＋1C． x 2－4xD．－ x 2 ＋9（ 3 ） 因 式 分 解 ： ① a 3 － 9a ＝ _____________________.② x － xy 2 ＝_____________________．③ x 2 －x ＋ 16＝ _________________. ④ ax 2 － axy ＋ ay 2 ＝8 3 6 3________________．⑤ a 3 － 4a( a － 1) ＝ _________________. ⑥ ( x － 2y) 2 － x ＋ 2y ＝________________．3．★★★★完好平方式：我们把多项式a 2＋ 2ab ＋b 2 和 a 2－2ab ＋b 2 叫做完好平方式．即：(□)2±2(□)( △)＋(△)2练习：（ 1）若 x 2＋ (2 p －3) x ＋9 是完好平方式，则 p 的值等于＝ ____________．（ 2）多项式 9x2－x＋1加上一个单项式后成为一个整式的平方，请写出3个知足条件的单项式：．4.十字相乘法：十字分解法的方法简单来讲就是：十字左侧相乘等于二次项系数，右侧相乘等于常数项，交错相乘再相加等于一次项。
浙教版七年级数学下册专题1.3平行线的判定(知识解读)(原卷版+解析)
专题1.3 平行线的判定（知识解读）【学习目标】1．理解和掌握平行线的判定公理及3个判定定理．2．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力．3．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式，通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．【知识点梳理】知识点1：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性知识点2：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。
几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【典例分析】【考点1：平行线公理及推论】【典例1】（2023秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线叫做平行线B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直C．平角是一条直线D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线【变式1】（2023秋•奉化区校级期末）下列说法正确的是（）A．两点之间，直线最短B．永不相交的两条直线叫做平行线C．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点D．两点确定一条直线【典例2】（2023春•麒麟区期末）下列说法正确的是（）A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥cB．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥cD．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c【变式2-1】（2023春•阳春市校级月考）下列说法中，正确的个数为（）（1）过一点有无数条直线与已知直线平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）如果两线段不相交，那么它们就平行（4）如果两直线不相交，那么它们就平行A．1个A B．2个C．3个D．4个【变式2-2】（2023春•饶平县校级期中）若AB∥CD，AB∥EF，则∥，理由是．【考点2：平行线判定】【典例3】（2023秋•香坊区校级期中）如图，下列各组条件中，能得到AB∥CD 的是（）A．∠1＝∠3B．∠2＝∠4C．∠B＝∠D D．∠1+∠2+∠B＝180°【变式3-1】（2023春•台江区校级期中）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（）A．两直线平行，同位角相等B．内错角相等，两直线平行C．同位角相等，两直线平行D．两直线平行，内错角相等【变式3-2】（2023•德保县二模）如图，能判定AD∥BC的条件是（）A．∠1＝∠3B．∠1＝∠2C．∠2＝∠3D．∠2＝∠4【变式3-3】（2023春•宾阳县期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判断a∥b的条件是（）A．①③B．②④C．①②③④D．①③④【典例4】（2023春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）∴∠AOE＝90°（）又∵∠1＝∠B（）∴（）∴∠AFB＝∠AOE（）∴∠AFB＝90°（）又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝（平角的定义）∴∠AFC+∠2＝（）°又∵∠A+∠2＝90°（已知）∴∠A＝∠AFC（）∴（内错角相等，两直线平行）【变式4-1】（2023秋•社旗县期末）〖我阅读〗“推理”是数学的一种基本思想，包括归纳推理和演绎推理．演绎推理是一种从一般到特殊的推理，它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论，通过推断，说明最后结论的正确．〖我会做〗填空（理由或数学式）已知：如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D．求证：AB∥CD．证明：∵∠1＝∠E（）∴（）∴+∠2＝180° （）∵∠B＝∴+＝180°∴AB∥CD（）【变式4-2】（2023春•岳池县期末）把下面的说理过程补充完整：已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH ⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：AB∥CD．解：∵GH⊥CD（），∴∠CHG＝90°（）又∵∠2＝30°（），∴∠3＝（）∴∠4＝60°（）又∵∠1＝60°（）∴∠1＝∠4（）∴AB∥CD（）【变式4-3】（2023春•宁远县期末）完成下面的证明如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．完成推理过程BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β （）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（）．∴AB∥CD（）．【典例5】（2023春•大埔县期末）如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点D在线段EC上，求证：AB∥CD．【变式5-1】（2023秋•西乡县期末）如图，已知∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．求证：BE∥CD．【变式5-2】（2023春•宣恩县期末）如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB与DG平行吗？为什么？专题1.3 平行线的判定（知识解读）【学习目标】1．理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理．2．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力．3．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式，通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．【知识点梳理】知识点1：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性知识点2：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。
新浙教版七年级数学下册各章知识点汇总
新浙教版七年级数学下册各章知识点汇总学英教育教学资料七年级下册数学各章知识点第一章：平行线与相交线一、知识结构平行线的判定：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角相等，两直线平行平行于同一直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两直线平行平行线的性质：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行相交线的角度关系：同位角相等内错角相等同旁内角互补对顶角相等二、要点诠释1.两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。
平行线是指在同一平面内，不相交的两条直线。
2.几种特殊关系的角余角和补角：两个角的和是直角时，称这两个角互为余角；两个角的和是平角时，称这两个角互为补角。
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
对顶角：两条直线相交所得有公共顶点、没有公共边的两个角。
对顶角相等。
同位角、内错角、同旁内角：两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角。
在两条直线同一侧并且在第三条直线的旁边的两个角叫同位角；在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角；在两条直线之间并且在第三条直线的同旁的两个角叫做同旁内角。
三、主要内容1.平行线的判定：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角相等，两直线平行平行于同一直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两直线平行2.平行线的性质：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.相交线的角度关系：同位角相等内错角相等同旁内角互补对顶角相等第二章：二元一次方程组1.二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
2.二元一次方程组：由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
浙教版七年级数学下册知识点汇总
浙教版七年级数学下册知识点汇总一、平行线1、平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2、平行线的表示方法直线 a 与直线 b 平行，记作 a∥b。
3、平行线的性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
4、平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
二、同位角、内错角、同旁内角1、同位角两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条被截线的同侧，并且在截线的同旁，那么这样的一对角叫做同位角。
2、内错角两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条被截线之间，并且在截线的两旁，那么这样的一对角叫做内错角。
3、同旁内角两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条被截线之间，并且在截线的同旁，那么这样的一对角叫做同旁内角。
三、平移1、平移的定义在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2、平移的性质（1）平移不改变图形的形状和大小。
（2）经过平移，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等。
（3）平移后，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。
四、二元一次方程组1、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
4、解二元一次方程组的方法（1）代入消元法将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
（2）加减消元法当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得方程组的解。
浙教版七年级下册数学知识点总结及例题
浙教版七年级下册数学知识点总结及例题第1章平行线1．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行．2．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“∥”表示．．．．．．．思考：定义中为什么要有“在同一平面内”这个条件？3．平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．．．．思考：为什么要经过“直线外”一点？4．用三角尺和直尺画平行线的方法：一贴，二靠，三推，四画．（注意：作图题要写结论）5．★★★★★同位角、内错角、同旁内角判断过程：①画出给定的两个角的边（共三条边），公共边就是截线，剩下两条边就是被截线；②根据同位角、内错角、同旁内角的概念判断．同位角：在截线的同旁，被截线的同一侧．内错角：在截线的异侧，被截线之间．同旁内角：在截线的同旁，被截线之间． 3是一对；是一对；∠2和∠练习：如图，∠1和∠2 是一对；和∠是一对；∠13∠1和∠5 是一对；4和∠5∠1和∠4是一对；∠6．★★★★★平行线的判定 1）同位角相等，两直线平行；（ 2）内错角相等，两直线平行；（ 3）同旁内角互补，两直线平行；（，不相交的两条直线平行；在同一平面内（4）平行线的定义：．．．．．．（不必在同一平面内）（5）平行于同一条直线的两条直线平行；，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．6）在同一平面内（．．．．．．练习：如图，要得到∥，那么可添加条件．（写出全部） 7．★★★★★平行线的性质）两直线平行，同位角相等；1 （）两直线平行，内错角相等；（2 （3）两直线平行，同旁内角互补．. 138°，则∠2＝°＝°，∠＝°，∠＝练习：如图，已知∠ 1583424 ．★★★★★图形的平移8一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移）概念：1（动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．（2）性质：平移不改变图形的形状、大小和方向；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．距离！）描述一个图形的平移时，必须指出平移的方向和（3．．．．练习：如图，已知△和其平移后的△．BA①点的对应点是，点的对应点是；②线段的对应线段是；线段的对应线段是；③平移的方向是，平移的距离是．，则＝，＝，＝，4，平移的距离是3④若＝＝5，＝四边形的周长是．．★★★折叠问题9 ）找到折叠后和折叠前的图形，若折叠前的图形没有画出，自己必须补画上去；（1 方法：）找到折叠前后能重合的角，它们的度数相等；（2）利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的内角和、邻补角的性质、平角等计算（3出角度． 1＝．）如图，将一张纸条沿折叠，若折叠角∠＝64°，则∠练习：（1）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α＝．2 （）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，（3相等的角；①写出图中所有与∠6xx 6°，请用含的代数式表示∠＝4的度数．②若∠章第2 二元一次方程组．★★★二元一次方程的概念1．三个条件：（1）含有两个未知数；（2）未知数的项的次数是一次；（3）都是整式．2xxyxxy中，为二元一次方程的－23，③＝－51＝5练习：方程①－1 , ，④ )＋2＝0，②＝－2是．2．★★★★把二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式xyy＝…”的形式；）用含，则应变形为“的代数式表示（1yxx＝…”的形式．，则应变形为“的代数式表示（2）用含xyxy得的代数式表示7）已知方程2，用关于－3. ＝练习：（1xyyx得，用关于. ＋2的代数式表示＝6）已知方程（233．★二元一次方程的整数解xy＝212的正整数解是．方程3 ＋4．二元一次方程组的概念三个条件：（1）两个一次方程；（2）两个方程共有两个未知数；（3）都是整式．5．★★★★★解二元一次方程组基本思路：消元消元方法：（1）代入消元；（2）加减消元．（注意：一定要把解代入原方程组检验，保证正确）练习：（1）（2）!!错误错误6．★★★★常考题型bxxab＝．，则＋1，当时值为－＝3 练习：（1）已知代数式＋3，当＝2时值为－b＝．）若方程组的解是，则（2!错误!错误xyk的值是． 3）已知关于的二元一次方程组，的解互为相反数，则（!错误（4）请你写出一个以为解的二元一次方程组：. !错误xy的值为．，则）已知方程组＋（5!错误7．某公司有甲、乙两个工程队．（1）两队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合做2天完成了全部工程．已知甲队单独完成此项工程所需的天数是乙队单独完成所需的天数的三分之二，则甲、乙两队单独完成各需多少天？（2）甲工程队工作5天和乙工程队工作1天的费用和为34000元；甲工程队工作3天和乙工程队工作2天的费用和为26000元，则两队每天工作的费用各多少元？（3）该公司现承接一项（1）中2倍的工程由两队去做，且甲、乙两队不在同一天内合做，又必须各自做整数天，试问甲、乙两队各需做多少天？若按（2）中的付费，你认为哪种方式付费最少？8．某企业承接了一批礼盒的制作业务，该企业进行了前期的试生产，如图 1 所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图 2 所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）（1）该企业原计划用若干天加工纸箱 300 个，后来由于提升工作效率，实际加工时每天加工速度为原计划的 1.5 倍，这样提前 3 天超额完成了任务，且总共比原计划多加工 15 个，问原计划每天加工礼盒多少个；（2）若该企业购进正方形纸板 550 张，长方形纸板 1200 张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；a 张，长方形纸板）该企业某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板 100 （3aa 的所有 ，＜试求在这一天加工两种纸盒时＜168张，全部加工成上述两种纸盒，且 150可能值．（请直接写出结果）第3章 整式的乘除1．★★★★★公式与法则n ＋mn 都是正整数），（ （1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加．·＝n mn 都是正整数）＝（ （ 2）幂的乘方：底数不变，指数相乘．()， n n 都是正整数）() ＝（ （3）积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．22bababa ）乘法公式：①平方差公式：（4(－＋))(＝－222baba ＋＋＋()＝2 ②完全平方公式：222baab －＝2(＋－)n －a ≠0）（ 5）同底数幂的除法：底数不变，指数相减．÷＝ （0aa ）0≠（1＝）6（p －aaa ，当 )（是整数时，先指数变正，再倒数．≠ （7）0）＝1 ,a 是分数时，先把底数变倒数，再指数变正． 当 （8）单项式乘单项式：系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．（9）单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．bam ＋＝＋() 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，）多项式乘多项式：再把所得的积相加． （10manb ＋))(＝＋＋＋＋(）单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有 （11 的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． （12）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．mmcmbcmamba ÷)≠＝÷÷0＋（ (÷＋）＋＋33232xyxxaxy ))÷)＝；(9 练习：（1）(2(3＝；)－＝；3·(－2323－0－ ＝； ))3)＝；(－2 , (－2)3＝；(－ aaa ?－?243232aa ＝；() (2－1)＝；22xxaxaa )＋2)－)(1－(2－－)(1＋)＝；(2－2)(＝． (1－2n ）10（1≤＜－a 2．★★★★★用科学记数法表示较小的数：10× 方法：第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方． ＝． 练习：（1）科学记数法表示0.0000103 纳米＝0.000000001米，则0.33纳米＝米．（用科学计数法表示）1 （2）4 写成小数形式为．－10）把用科学记数法表示的数7.2×（3 3．★★★★常考题型22baab ，则＝． （1）已知＋＋3＝，＝－12bxbxaxxa 一定满足．＋2的取值大小无关，那么)＋ （2）若多项式4(－的值与－，)(22axxxx＝．项，则－1) （3）关于的代数式(3－)(的展开式中不含2＋22bxxxabxa．＋的形式，则＋（ 4）若代数式(＋3＋2可以表示为的值是－1)＋ (－1)2nxmxxm 3－＋，则＝．（ 5）若(－2)(2＋3)＝－22MMyyxx，则代数式＋应是．(2(26（）若－5)＝＋5)a（ 7）如图，一块砖的外侧面积为，那么图中残留部分的墙面的面积为．）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字8 （2a米，则绿化的面积为路，余下部分绿化，道路的宽为．nnnn为偶数时，结；②当为奇数时，结果为39）定义一种对正整数＋的“F运算”：①当5（kk nnkn，＝，并且运算重复进行．例如，取26 , 2 果为) , 2 )（其中是使为奇数的正整数）则：n次“F若运算”的结果是．＝449，则第449章因式分解第4★★★★的形式，叫做因式分解，也叫分解多项式化成几个1．整式的积因式分解的概念：把一个．．．．．．．因式．因式分解和整式乘法是互逆关系．）练习：下列从左到右边的变形，是因式分解的是（2yyxxxyy1) ＝－)((3 B．(－＋1)(＋－A．(3－3))(3＋)＝9－222xxzxyzzyz1)8＋．C4－2－－2＋＝2＝－(2＋－)2(2 D．－8 2．★★★★★因式分解的方法）提公因式法：先确定应提取的公因式，然后用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个（1cmab)(＋因式，最后把多项式写成这两个因式的积的形式．＋＋＝＋确定公因式的方法：系数的最大公因数和相同字母的最低次幂．22babbaa)2 （）用乘法公式因式分解：①平方差公式：)(＋－－(＝这里的“□”和“△”可以是单22))(□)△－()□－△＝(□＋△即：(项式，也可以是多222baab＝( ②完全平方公式：＋＋2)＋项式．222baab－＋－2(＝)222 )□±△(＝)△(＋)△)(□2(±)□(即：练习：（1）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）22222yxxxxxx．＋4－4 B．＋＋＋2＋4 C．41 DA．（2）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（）2222xxxxxx＋ D．－．＋4 B－4＋29＋1 CA．．32xaa＝． 9－＝（3）因式分解：①. ②－222xx＝．3 －6＋－8④＋16＝. ③332xyyaaxa＝．－－2＋⑤)2－4((－1)＝.⑥2222bbaa叫做完全平方式．＋和 3．★★★★完全平方式：我们把多项式－＋2＋222))＋(△□即：(□)±2()(△2pxpx是完全平方式，则－3)的值等于＝．＋）若练习：（19(2＋2xx个满足条件的1加上一个单项式后成为一个整式的平方，请写出（ 2）多项式93－＋单项式：．十字相乘法：十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于4. 的逆运算来进行因式分解。
浙教版七年级下册数学 知识点+经典题目+解析
a1a2第1章 平行线【知识结构图】1、平行线用三角尺和直尺画平行线的方法：一贴，二靠，三推，四画经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 2、同位角、内错角、同旁内角如图：直线a 1 , a 2 被直线a 3 所截，构成了八个角。
在“三线八角”中确定关系角的步骤：确定构成角中的关系角 知道关系角后，如何找截线、被截线：两个角的顶点所在直线就是截线，剩下的两条边就是被截线。
3、 平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
平行线判定方法的特殊情形：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
4、平行线的性质（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单地说，两直线平行，同位角相等。
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单地说，两直线平行，内错角相等。
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单地说，两直线平行，同旁内角互补。
5、图形的平移平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
二、知识巩固（一）区分三种角各自特征和用途练习1：如图1-1①∠2和∠5的关系是______；②∠3和∠5的关系是______；③∠2和______是直线______、______被______所截，形成的同位角；练习2：如图2，下列推断是否正确？为什么？（1）若∠1=∠2，则 AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。
（2）若AB∥CD，则∠3=∠4（内错角相等，两直线平行）。
（二）平行线判定和性质应用1．已知，如图2-1，∠1＝∠2，∠A＝∠F。
求证：∠C＝∠D。
证明：∵∠1＝∠2（已知）∠1＝∠3（对顶角相等）∴∠2＝∠（）∴BD∥（）∴∠FEM＝∠D，∠4＝∠C （）又∵∠A＝∠F（已知）∴AC∥DF（）∴∠C＝∠FEM（）又∵∠FEM＝∠D（已证）∴∠C＝∠D（等量代换）2．已知，如图2-2，∠1＝∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，求证：FG∥BC。
新浙教版七年级数学下册各章知识点汇总
新浙教版七年级下册数学各章知识点第一章：平行线与相交线一、知识结构⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎩同位角相等，两直线平行直线平行的判定内错角相等，两直线平行同旁内角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等平行线直线平行的性质两直线平行，内错角相等平行线与相交线两直线平行，同旁内角互补作一条线段等于已知线段尺规作图作一个角等于已知角相交线：补角、余角、对顶角二、要点诠释1.两条直线的位置关系（1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。
（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线交平行线。
2.几种特殊关系的角（1）余角和补角：①定义：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角；如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角。
②性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
（2）对顶角：①定义：两条直线相交所得有公共顶点、没有公共边的两个角②性质：对顶角相等。
（3）同位角、内错角、同旁内角两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角。
①在两条直线同一侧并且在第三条直线的旁边的两个角叫同位角。
②在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角。
③在两条直线之间并且在第三条直线的同旁的两个角叫做同旁内角。
三、主要内容（1）平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两直线平行。
（2）平行线的性质两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
第二章：二元一次方程组2.1二元一次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
2.2二元一次方程组由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章二元一次方程组2
浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章 二元一次方程组2.4二元一次方程组的应用（1）【知识重点】1．当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程. 2．一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为： (1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)； (2)制定计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)； (3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案)；(4)回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意). 【经典例题】【例1】顺风旅行社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水涧的人数的2倍少1人．设到花果岭的人数为x 人，到云水涧的人数为y 人，根据题意可列方程组为（）A ．{x +y =200x =2y −1B ．{x +y =200y =2x −1C ．{x +y =200x =2y +1D ．{x +y =200y =2x +1【例2】某工厂有26名工人，一个工人每天可加工800个螺栓或1000个螺帽，1个螺栓与2个螺帽配套，现要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且没有剩余．若设安排x 个工人加工螺栓，y 个工人加工螺帽，则列出正确的二元一次方程组为（ ）A ．{x +y =261600x −1000y =0B ．{x +y =26800x −2000y =0C ．{x +y =263200x −1000y =0D ．{x +y =211600x −2000y =0【例3】打折前，买50件A 商品和20件B 商品用了1300元，买30件A 商品和10件B 商品用了750元．打折后，买100件A 商品和100件B 商品用了2800元，问比不打折少花了多少钱？【基础训练】1．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm 和ycm ，则依题意可列方程组为（ ）A ．{x +2y =25y =3xB ．{x +2y =25x =3yC ．{2x −y =25x =3yD ．{2x +y =25y =3x2．盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A 与玩偶B 组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A 和2个玩偶B ，已知每米布料可做1个玩偶A 或3个玩偶B ，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x 米布料做玩偶A ，用y 米布料做玩偶B ，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）A ．{x +y =136x =3yB ．{x +y =136x =2×3yC ．{x +y =1363x =yD ．{x +y =1362x =3y3．七年级一班有x 人，分y 个学习小组，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则不足5人，求全班人数及分组数.正确的方程组为( )A ．{7x =y −38x =y +5B ．{7y =x +38x =y −5C ．{7y =x +38y =x −5D ．{7y =x −38y =x +54．某校运动员分组训练，若每组7人，则余3人:若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x 人，组数为y 组，则可列方程为（ ）A ．{7y =x +38y =x +5B ．{7y =x +38y +5=xC ．{7y =x −38y +5=xD ．{7y =x −38y =x +55．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1、图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x 、y 的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为{3x +2y =114x +3y =26，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）A ．{2x +3y =233x +4y =32B ．{2x +3y =233x +4y =37C ．{11x +3y =233x +4y =32D ．{3x +2y =234x +3y =326．一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠2的度数为 ．7．如图，8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形（如图），若大长方形的宽为12cm ，则每一个小长方形的面积为 cm 2．8．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨. 9．如图，周长为68cm 的长方形ABCD 被分成7个相同的矩形，长方形ABCD 的面积为 cm 2.10．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满．设大房间有x 个，小房间有y 个，则列出方程组为 ．11．某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎样调配劳力才能使挖出来的土能及时运走且不窝工？12．被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．13．A，B两地相距80km．一艘船从A出发，顺水航行4h到B，而从B出发逆水航行5h到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差，求船在静水中的速度和水流速度．14．一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军89km，且第一天比第天少走1km，第一天和第二天行军的平均速度各是多少？15．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，求图中一个小长方形的面积.【培优训练】16．某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，由消元法可得x的值为（17．小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形，如图1所示．小红看见了，说：“我也来试一试．“结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，但中间留下了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形，则每个小长方形的长和宽分别为（）A ．10mm ，18mmB ．18mm ，10mmC ．10mm ，6mmD ．6mm ，10mm18．上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中34男生与女生同桌，这些女生占全班女生的35，本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学年该班有男生x 人，女生y 人，则列方程组为（ ）A ．{x +4=y 34x =35yB ．{x +4=y 35x =34yC ．{x −4=y 34x =35yD ．{x −4=y 35x =34y19．玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x 天，乙种玩具零件y 天，则有（ ）A ．{x +y =6024x =12yB ．{x +y =6012x =24yC ．{x +y =602×24x =12yD ．{x +y =6024x =2×12y20．某纸厂要制作如图的甲、乙两种无盖的小长方体盒子．该厂利用边角材料裁出了长方形和正方形两种纸片，其中长方形纸片的宽和正方形纸片的边长相等．现用150张正方形纸片和300张长方形纸片制作这两种小盒，恰好用完．设可做成甲、乙两种盒子各x 、y 个，根据题意，可列正确的方程组为 ．21．一片草原上的一片青草，到处长的一样密、一样快.20头牛在96天可以吃完，30头牛在60天可以吃完，则70头牛吃完这片青草需 天.22．一艘轮船顺流航行时，每小时行32km ；逆流航行时，每小时行28km ，则轮船在静水中的速度是每小时行 km ．（轮船在静水中的速度大于水流速度） 23．某眼镜厂有工人25名，每人每天平均生产镜架9个或镜片12片.为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套，设x 名工人生产镜架，y 名工人生产镜片，则可列出方程组： .24．把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为 cm 2.25．在某工程建设中，有A、B两种卡车搬运沙土.据了解，3辆A种卡车与2辆B种卡车一次共可搬运沙土38立方米，2辆A种卡车与3辆B种卡车一次共可搬运沙土42立方米，求每辆A种卡车和每辆B种卡车分别可搬运沙土多少立方米？26．2022年5月8日是“母亲节”，小明买了一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈，以表祝福.在买花过程中，爱思考的小明发现一个数学问题：3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元，买2支百合和1支康乃馨共花费14元.如果买一束百合和康乃馨组合的鲜花共11支，且百合不少于2支，那么怎样组合，能使费用支出最少？请你帮助小明解决这个数学问题.27．甲乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了10件.甲、乙两人原来每小时各加工多少件？28．2010年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，如图所示是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克?29．某班为充实图书角图书，在学习委员的倡议下进行了一次给班级捐书活动，受污染区域（阴影部分）记录了在相应捐书数目为N时的人数分布情况.本以下的同学平均捐书3.5本.问捐书4本和5本的各有多少人？30．如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是-20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？31．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如下表是某省的电价标准（每月）.例如：方女士家5月份用电500度，电费＝180×0.6＋220×二档电价＋100×三档电价＝352元；李先生家5月份用电460度，交费316元.请问表中二档电价、三档电价各【直击中考】32．五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ） A ．30 B ．26 C ．24 D ．2233．“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x 场，平了y 场，根据题意可列方程组为（ ） A ．{x +y =7，3x +y =17. B ．{x +y =9，3x +y =17.C ．{x +y =7，x +3y =17.D ．{x +y =9，x +3y =17.34．上学期某班的学生都是双人桌，其中 14 男生与女生同桌，这些女生占全班女生的 15。
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浙教版七年级下册数学知识点总结及例题第1章平行线1.在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交与平行.2.平行线的定义:在同一平面内．．．．．．,不相交的两条直线叫做平行线.“平行”用符号“∥”表示.思考:定义中为什么要有“在同一平面内”这个条件？3.平行线的基本事实:经过直线外．．．一点,有且只有一条直线与这条直线平行.思考:为什么要经过“直线外”一点？4.用三角尺与直尺画平行线的方法:一贴,二靠,三推,四画.(注意:作图题要写结论)5.★★★★★同位角、内错角、同旁内角判断过程:①画出给定的两个角的边(共三条边),公共边就就是截线,剩下两条边就就是被截线;②根据同位角、内错角、同旁内角的概念判断.同位角:在截线的同旁,被截线的同一侧.内错角:在截线的异侧,被截线之间.同旁内角:在截线的同旁,被截线之间.练习:如图,∠1与∠2就是一对___________;∠2与∠3就是一对___________;∠1与∠5就是一对___________;∠1与∠3就是一对___________;∠1与∠4就是一对___________;∠4与∠5就是一对___________;6.★★★★★平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)平行线的定义:在同一平面内．．．．．．,不相交的两条直线平行;(5)平行于同一条直线的两条直线平行;(不必在同一平面内)(6)在同一平面内．．．．．．,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.练习:如图,要得到AB∥CD,那么可添加条件______________________________.(写出全部) 7.★★★★★平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.练习:如图,已知∠1＝58°,∠3＝42°,∠4＝138°,则∠2＝________°、8.★★★★★图形的平移(1)概念:一个图形沿某个方向移动,在移动的过程中,原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离,这样的图形运动叫做图形的平移.(2)性质:平移不改变图形的形状、大小与方向;一个图形与它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.(3)描述一个图形的平移时,必须指出平移的方向．．！．．与距离练习:如图,已知△ABC与其平移后的△DEF.①点A的对应点就是________,点B的对应点就是________;②线段AC的对应线段就是________;线段AB的对应线段就是________;③平移的方向就是__________,平移的距离就是______________________.④若AC＝AB＝5,BC＝4,平移的距离就是3,则CF＝________,DB＝________,AE＝________,四边形AEFC的周长就是_________.9.★★★折叠问题方法:(1)找到折叠后与折叠前的图形,若折叠前的图形没有画出,自己必须补画上去;(2)找到折叠前后能重合的角,它们的度数相等;(3)利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的内角与、邻补角的性质、平角等计算出角度.练习:(1)如图,将一张纸条ABCD沿EF折叠,若折叠角∠FEC＝64°,则∠1＝________.(2)如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α＝_______.(3)如图,将一条两边沿互相平行的纸带折叠,①写出图中所有与∠6相等的角;②若∠6＝x°,请用含x的代数式表示∠4的度数.第2章二元一次方程组1.★★★二元一次方程的概念三个条件:(1)含有两个未知数;(2)未知数的项的次数就是一次;(3)都就是整式.练习:方程①x －1 y＋2＝0,②xy ＝－2,③x 2－5x ＝5,④2x ＝1－3y 中,为二元一次方程的就是____________.2.★★★★把二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式(1)用含x 的代数式表示y ,则应变形为“y ＝…”的形式;(2)用含y 的代数式表示x ,则应变形为“x ＝…”的形式.练习:(1)已知方程2x －3y ＝7,用关于x 的代数式表示y 得_______________、(2)已知方程3x ＋2y ＝6,用关于y 的代数式表示x 得_______________、3.★二元一次方程的整数解方程3x ＋2y ＝21的正整数解就是_________________________.4.二元一次方程组的概念三个条件:(1)两个一次方程;(2)两个方程共有两个未知数;(3)都就是整式.5.★★★★★解二元一次方程组基本思路:消元消元方法:(1)代入消元;(2)加减消元.(注意:一定要把解代入原方程组检验,保证正确)练习:(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝23x ＋2y ＝10 (2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 3x ＋y ＝126.★★★★常考题型练习:(1)已知代数式kx ＋b ,当x ＝2时值为－1,当x ＝3时值为－3,则a ＋b ＝_________.(2)若方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －2y ＝12x ＋by ＝5的解就是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝a ,则b ＝________.(3)已知关于x ,y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝k x ＋2y ＝－1的解互为相反数,则k 的值就是_______.(4)请您写出一个以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1为解的二元一次方程组:_______________、 (5)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝5x ＋3y ＝5,则x ＋y 的值为___________.7.某公司有甲、乙两个工程队.(1)两队共同完成一项工程,乙队先单独做1天后,再由两队合做2天完成了全部工程.已知甲队单独完成此项工程所需的天数就是乙队单独完成所需的天数的三分之二,则甲、乙两队单独完成各需多少天？(2)甲工程队工作5天与乙工程队工作1天的费用与为34000元;甲工程队工作3天与乙工程队工作2天的费用与为26000元,则两队每天工作的费用各多少元？(3)该公司现承接一项(1)中2倍的工程由两队去做,且甲、乙两队不在同一天内合做,又必须各自做整数天,试问甲、乙两队各需做多少天？若按(2)中的付费,您认为哪种方式付费最少？8.某企业承接了一批礼盒的制作业务,该企业进行了前期的试生产,如图 1 所示的长方形与正方形纸板(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图 2 所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱.(加工时接缝材料不计)(1)该企业原计划用若干天加工纸箱 300 个,后来由于提升工作效率,实际加工时每天加工速度为原计划的 1、5 倍,这样提前 3 天超额完成了任务,且总共比原计划多加工 15 个,问原计划每天加工礼盒多少个;(2)若该企业购进正方形纸板 550 张,长方形纸板 1200 张.问竖式纸盒,横式纸盒各加工多少个,恰好能将购进的纸板全部用完;(3)该企业某一天使用的材料清单上显示,这天一共使用正方形纸板 100 张,长方形纸板a张,全部加工成上述两种纸盒,且 150＜a＜168,试求在这一天加工两种纸盒时 a 的所有可能值.(请直接写出结果)第3章整式的乘除1.★★★★★公式与法则(1)同底数幂的乘法:底数不变,指数相加.a m·a n＝a m＋n(m,n都就是正整数)(2)幂的乘方:底数不变,指数相乘.(a m) n＝a mn(m,n都就是正整数)(3)积的乘方:等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.(ab)n＝a n b n(n都就是正整数)(4)乘法公式:①平方差公式:(a＋b)(a－b)＝a2－b2②完全平方公式:(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab(a－b)2＝a2＋b2－2ab(5)同底数幂的除法:底数不变,指数相减.a m÷a n＝a m－n(a≠0)(6)a0＝1(a≠0)(7)a－p＝ 1ap(a≠0),当a就是整数时,先指数变正,再倒数.当a就是分数时,先把底数变倒数,再指数变正.(8)单项式乘单项式:系数、同底数幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.(9)单项式乘多项式:用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.m(a＋b)＝ma＋mb(10)多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. (a＋n)(b＋m)＝ab＋am＋nb＋nm(11)单项式除以单项式:把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.(12)多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.(a＋b＋c)÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m(m≠0)练习:(1)(2a2)3＝___________;3y·(－2x2y3)＝___________;(9x3－3x)÷(3x)＝___________;(－2)0＝___________;(－3)－3＝___________;(－ 23)－2＝___________;(2a－1)2＝_______________;(a3)2•a－2a3• a4＝______________;(1－2a)2－(2－a)(1＋a)＝_______________;(x－2)(x＋2)－(1－2x)2＝_________________.2.★★★★★用科学记数法表示较小的数:a×10－n(1≤|a|＜10)方法:第一个不为零的数前面有几个零就就是负几次方.练习:(1)科学记数法表示0、0000103＝_________________.(2)1纳米＝0、000000001米,则0、33纳米＝________米.(用科学计数法表示)(3)把用科学记数法表示的数7、2×10－4写成小数形式为___________________.3.★★★★常考题型(1)已知a＋b＝3,ab＝－1,则a2＋b2＝___________.(2)若多项式x2－(x－a)(x＋2b)＋4的值与x的取值大小无关,那么a,b一定满足_____________.(3)关于x的代数式(3－ax)(x2＋2x－1)的展开式中不含x2项,则a＝___________.(4)若代数式x2＋3x＋2可以表示为(x－1)2＋a(x－1)＋b的形式,则a＋b的值就是.(5)若(x－m)(2x＋3)＝2x2－nx＋3,则m－n＝__________.(6)若(2x－5y)2＝(2x＋5y)2＋M,则代数式M应就是__________________.(7)如图,一块砖的外侧面积为a,那么图中残留部分的墙面的面积为_______________.(8)如图所示,某住宅小区内有一长方形地块,想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路,余下部分绿化,道路的宽为a米,则绿化的面积为________________m2.(9)定义一种对正整数n的“F运算”:①当n为奇数时,结果为3n＋5;②当n为偶数时,结果为 n2k(其中k就是使n2k为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n＝26,则:若n＝449,则第449次“F运算”的结果就是_________.第4章因式分解1.★★★★因式分解的概念:把一个多项式．．．化成几个整式的积．．．．的形式,叫做因式分解,也叫分解因式.因式分解与整式乘法就是互逆关系.练习:下列从左到右边的变形,就是因式分解的就是( )A.(3－x)(3＋x)＝9－x2B.(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)C.4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋zD.－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)22.★★★★★因式分解的方法(1)提公因式法:先确定应提取的公因式,然后用公因式去除这个多项式,所得的商作为另一个因式,最后把多项式写成这两个因式的积的形式.ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)确定公因式的方法:系数的最大公因数与相同字母的最低次幂.即:(□)2－(△)2＝(□＋△)(□－△)②完全平方公式:a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2即:(□)2±2(□)(△)＋(△)2＝(□±△)2练习:(1)下列多项式能用完全平方公式分解因式的就是( )A.x2－4B.x2＋2x＋4C.4x2＋4x＋1D.x2＋y2(2)下列多项式能用平方差公式分解因式的就是( )A.x2＋4B.x2＋2x＋1C.x2－4xD.－x2＋9(3)因式分解:①a3－9a＝_____________________、②x－xy2＝_____________________.③x2－8x＋16＝_________________、④3ax2－6axy＋3ay2＝________________.⑤a3－4a(a－1)＝_________________、⑥(x－2y)2－x＋2y＝________________.3.★★★★完全平方式:我们把多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2叫做完全平方式.即:(□)2±2(□)(△)＋(△)2练习:(1)若x2＋(2p－3)x＋9就是完全平方式,则p的值等于＝____________.(2)多项式9x2－x＋1加上一个单项式后成为一个整式的平方,请写出3个满足条件的单项式:_____________________________.4.十字相乘法:十字分解法的方法简单来讲就就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项。