质点系牛二定律分析及习题
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质点系牛顿第二定律
质点系牛顿第二定律可叙述为:质点系的合外力等于系统内各质点的质量与加速度乘积的矢量和。即:
F合=m
1a
1
+m
2
a
2
+m
3
a
3
+……+m
n
a
n
对一个质点系而言,同样可以应用牛顿第二定律
这里假定质点系中有n个质点具有对地的相对加速度。
如果这个质点系在任意x方向上的合外力为F
x ,质点系中的n个物体(质量分别为m
1
,m
2
…m
n
)
在x轴上的加速度分别为a
1x ,a
1x
…a
nx
那么有,在y轴上的分量为a
1y
,a
2y
,…a
ny
F x = m
1
a
1x
+ m
2
a
2x
+…+ m
n
a
nx
F y = m
1
a
1y
+ m
2
a
2y
+…+ m
n
a
ny
这就是质点系的牛顿第二定律。
1如图,质量为M、倾角为α的斜面静止在粗糙的水平面上,质量为m的滑块沿M粗糙的斜面以加速度a下滑,求地面对M的支持力和摩擦力。
2:如图,静止在水平面上的木箱M中央有一根竖直的杆,小环m沿杆有摩擦地以加速度a下滑,求M对地面的压力的大小。
3 如图,质量为M的木板可沿放在水平面上固定不动、倾角为α的斜面无摩擦地滑下。欲使木板静止在斜面上,木板上质量为m的人应以多大的加速度沿斜面向下奔跑?
4:如图,质量为M 、倾角分别为1α、2α的粗糙斜面上,质量为m 1、m 2的两个滑块在斜面上分别以a 1、a 2加速度下滑,如果斜面不动,则地面对M 的支持力和摩擦力分别是多少?
5如图,质量为m1的物块A 沿质量为m3的光滑直角三角形斜面下滑,质量为m2的物体B 上升,
斜面与水平面成α角,若滑轮与绳的质量及一切摩擦均不计,求斜面作用于地面凸出部分的压力。
6如图所示,C 为一放在固定的粗糙水平桌面上的双斜面,其质量mc=6.5kg ,顶端有一定滑轮,滑
轮的质量及轴处的摩擦皆可不计.A 和B 是两个滑块,质量分别为mA=3.0kg ,mB=0.50kg ,由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳相连.开始时,设法抓住A 、B 和C ,使它们都处于静止状态,且滑轮两边的轻绳恰好伸直.今用一大小等于的水平推力F 作用于C ,并同时释放A 、B 和C.沿桌面向左滑行,其加速度a=3.0m/s2,B 相对于桌面无水平方向的位移(绳子一直是绷紧的).试求C 与桌面间的动摩擦因数μ.(图中α=37°,β=53°,已知sin37°=,重力加速度g=10m/s2)
1 解:在M 、m 两质点组成的系统中,受到竖直向下的重力(M +m )g ;地面对质点系的支持力N ;F 1’是质点m 因具有加速度a 而转换成的假设力,其大小为ma ,方向与加速度a 相反;f 是地面对质点系的摩擦力,如图2。
这样我们就可马上求得: f =F 1’cos α=ma cos α N =(M +m )g -F 1’sin α
=(M +m )g -ma sin α
2解:在M 、m 两质点组成的系统中,受到重力(M +m )g ,地面对质点系的支持力N ,质点m 因具有a 加速度而添加的假设力ma ,如图4。
则立即可得到: N =(M +m )g -ma
3解:在M 、m 两质点组成的系统中,受到竖直向下的重力(M+m)g ,斜面对质点系的支持力N ,质点m 因具有a 加速度a 而添加的假设力ma ,如图6。
在沿斜面即x 方向上,有:
(M +m )g sin α-ma =0 图6 即:a =
αsin g m
m
M + 此方法在多质点系中更显优势。下面再举一个三质点系统问题。
4 解:在M 、m 1、m 2三质点组成的系统中,受到竖直向下的重力(M+ m 1+m 2)g ,地面对质点系的支持力N ,质点m 1因具有a 1加速度而转换的假设力m 1a 1,质点m 2因具有a 2加速度而转换的假设力m 2a 2,f 是地面对质点系的摩擦力,如图8。 图8
在y 轴方向:
N =(M +m 1+m 2)g -m 1a 1 sin 1α-m 2a 2 sin 2α 在x 轴方向:
f = m 2a 2 cos 2α-m 1a 1 cos 1α
当m 2a 2 cos 2α> m 1a 1 cos 1α时,摩擦力f 方向如图8所示。 当m 2a 2 cos 2α< m 1a 1 cos 1α时,摩擦力f 方向与图8所示方向相反。
上题若用隔离法求解则相当麻烦,用吴文的办法处理也有一定的难度,有兴趣的同学可以练习解答。
〖解法1〗常规解法:
对A :a m T sin g m 11=-α…………① 对B :a m g m T 22=-…………② 由①②式得:加速度g m m m sin m a 2
12
1+-=
α
绳子张力:()αsin m m g
m m T ++=
12
121
对斜面,受力图如图,
01=-+=∑ααsin N cos T N F x 平 αααααcos g m m m m sin m cos T cos sin g m N 12
12
11+-=
-=∴平
〖解法2〗对质点组运用牛顿第二定律。A 、B 连接体的加速度求法同解法1(略)。 对A 、B 和斜面组合体,其受力情况如图所示, 由质点组牛顿第二定律有:
αααcos g m m m m sin m cos m N F x 12
12
11+-=
==∑平
〖探讨评价〗
⑴本题求解的难点是受力分析。解法1为常规方法,大多学生会采用;解法2运用的质点组牛顿第二定律形式,该法不大常用。关键是由于高中阶段不讲质点组的规律。如果能掌握质点组的规律,如质点组动能定理、质点组牛顿第二定律等,往往会给解题带来方便。
⑵解法2中运用的质点组牛顿第二定律,是牛顿第二定律在水平方向的分量 形式,即:
nx n x x x x a m a m a m a m F ++++=∑ΛΛ332211
另外还有:ny n y y y y a m a m a m a m F ++++=∑ΛΛ332211,本题没有使用。
⑶本题的题设情景可作如下变化:
①若原题中地面没有凸出部分,并且斜面在A 、B 运动过程中始终不动,求地面对斜面体的摩擦力为多大? 〖解析〗
地面不凸出,斜面又不动,说明地面对斜面有摩擦力。该摩擦力对斜面而言,与原题中凸出部分对斜面的水平作用力等效,大小仍为:
ααcos g m m m m sin m 12
12
1+- 。
【注】
变化后的题设情景与原题尽管有所不同,但实质为同一题,其解法没有任何变化