质点系牛二定律分析及习题

质点系牛顿第二定律
质点系牛顿第二定律可叙述为：质点系的合外力等于系统内各质点的质量与加速度乘积的矢量和。

即：
F合＝m
1a
1
+m
2
a
2
+m
3
a
3
+……＋m
n
a
n
对一个质点系而言，同样可以应用牛顿第二定律
这里假定质点系中有n个质点具有对地的相对加速度。

如果这个质点系在任意x方向上的合外力为F
x ，质点系中的n个物体（质量分别为m
1
，m
2
…m
n
）
在x轴上的加速度分别为a
1x ，a
1x
…a
nx
那么有，在y轴上的分量为a
1y
，a
2y
，…a
ny
F x = m
1
a
1x
+ m
2
a
2x
+…+ m
n
a
nx
F y = m
1
a
1y
+ m
2
a
2y
+…+ m
n
a
ny
这就是质点系的牛顿第二定律。

1如图，质量为M、倾角为α的斜面静止在粗糙的水平面上，质量为m的滑块沿M粗糙的斜面以加速度a下滑，求地面对M的支持力和摩擦力。

2：如图，静止在水平面上的木箱M中央有一根竖直的杆，小环m沿杆有摩擦地以加速度a下滑，求M对地面的压力的大小。

3 如图，质量为M的木板可沿放在水平面上固定不动、倾角为α的斜面无摩擦地滑下。

欲使木板静止在斜面上，木板上质量为m的人应以多大的加速度沿斜面向下奔跑？
4：如图，质量为M 、倾角分别为1α、2α的粗糙斜面上，质量为m 1、m 2的两个滑块在斜面上分别以a 1、a 2加速度下滑，如果斜面不动，则地面对M 的支持力和摩擦力分别是多少？
5如图，质量为m1的物块A 沿质量为m3的光滑直角三角形斜面下滑，质量为m2的物体B 上升，
斜面与水平面成α角，若滑轮与绳的质量及一切摩擦均不计，求斜面作用于地面凸出部分的压力。

6如图所示，C 为一放在固定的粗糙水平桌面上的双斜面，其质量mc=6.5kg ，顶端有一定滑轮，滑
轮的质量及轴处的摩擦皆可不计.A 和B 是两个滑块，质量分别为mA=3.0kg ，mB=0.50kg ，由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳相连.开始时，设法抓住A 、B 和C ，使它们都处于静止状态，且滑轮两边的轻绳恰好伸直.今用一大小等于的水平推力F 作用于C ，并同时释放A 、B 和C.沿桌面向左滑行，其加速度a=3.0m/s2，B 相对于桌面无水平方向的位移(绳子一直是绷紧的).试求C 与桌面间的动摩擦因数μ.(图中α=37°，β=53°，已知sin37°=，重力加速度g=10m/s2)
1 解：在M 、m 两质点组成的系统中，受到竖直向下的重力（M ＋m ）g ；地面对质点系的支持力N ；F 1’是质点m 因具有加速度a 而转换成的假设力，其大小为ma ，方向与加速度a 相反；f 是地面对质点系的摩擦力，如图2。

这样我们就可马上求得： f ＝F 1’cos α=ma cos α N ＝（M ＋m ）g －F 1’sin α
＝（M ＋m ）g －ma sin α
2解：在M 、m 两质点组成的系统中，受到重力（M ＋m ）g ，地面对质点系的支持力N ，质点m 因具有a 加速度而添加的假设力ma ，如图4。

则立即可得到： N ＝（M ＋m ）g －ma
3解：在M 、m 两质点组成的系统中，受到竖直向下的重力(M+m)g ，斜面对质点系的支持力N ，质点m 因具有a 加速度a 而添加的假设力ma ，如图6。

在沿斜面即x 方向上，有：
（M ＋m ）g sin α－ma ＝0 图6 即：a ＝
αsin g m
m
M + 此方法在多质点系中更显优势。

下面再举一个三质点系统问题。

4 解：在M 、m 1、m 2三质点组成的系统中，受到竖直向下的重力(M+ m 1＋m 2)g ，地面对质点系的支持力N ，质点m 1因具有a 1加速度而转换的假设力m 1a 1，质点m 2因具有a 2加速度而转换的假设力m 2a 2，f 是地面对质点系的摩擦力，如图8。

图8
在y 轴方向：
N ＝（M ＋m 1＋m 2）g －m 1a 1 sin 1α－m 2a 2 sin 2α 在x 轴方向：
f = m 2a 2 cos 2α－m 1a 1 cos 1α
当m 2a 2 cos 2α> m 1a 1 cos 1α时，摩擦力f 方向如图8所示。

当m 2a 2 cos 2α< m 1a 1 cos 1α时，摩擦力f 方向与图8所示方向相反。

上题若用隔离法求解则相当麻烦，用吴文的办法处理也有一定的难度，有兴趣的同学可以练习解答。

〖解法1〗常规解法：
对A ：a m T sin g m 11=-α…………① 对B ：a m g m T 22=-…………② 由①②式得：加速度g m m m sin m a 2
12
1+-=
α
绳子张力：()αsin m m g
m m T ++=
12
121
对斜面，受力图如图，
01=-+=∑ααsin N cos T N F x 平 αααααcos g m m m m sin m cos T cos sin g m N 12
12
11+-=
-=∴平
〖解法2〗对质点组运用牛顿第二定律。

A 、B 连接体的加速度求法同解法1（略）。

对A 、B 和斜面组合体，其受力情况如图所示， 由质点组牛顿第二定律有：
αααcos g m m m m sin m cos m N F x 12
12
11+-=
==∑平
〖探讨评价〗
⑴本题求解的难点是受力分析。

解法1为常规方法，大多学生会采用；解法2运用的质点组牛顿第二定律形式，该法不大常用。

关键是由于高中阶段不讲质点组的规律。

如果能掌握质点组的规律，如质点组动能定理、质点组牛顿第二定律等，往往会给解题带来方便。

⑵解法2中运用的质点组牛顿第二定律，是牛顿第二定律在水平方向的分量 形式，即：
nx n x x x x a m a m a m a m F ++++=∑ΛΛ332211
另外还有：ny n y y y y a m a m a m a m F ++++=∑ΛΛ332211，本题没有使用。

⑶本题的题设情景可作如下变化：
①若原题中地面没有凸出部分，并且斜面在A 、B 运动过程中始终不动，求地面对斜面体的摩擦力为多大？ 〖解析〗
地面不凸出，斜面又不动，说明地面对斜面有摩擦力。

该摩擦力对斜面而言，与原题中凸出部分对斜面的水平作用力等效，大小仍为：
ααcos g m m m m sin m 12
12
1+- 。

【注】
变化后的题设情景与原题尽管有所不同，但实质为同一题，其解法没有任何变化。