高三数学幂函数
高三幂函数知识点
高三幂函数知识点幂函数是数学中常见的一类函数，其中最为典型的就是高三幂函数。
高三幂函数是指幂指数为3的函数，可以表示为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d的形式。
在高三数学学习中，掌握高三幂函数的相关知识点对于解题和理解函数的性质非常重要。
本文将从定义、图像、性质以及函数应用等方面来介绍高三幂函数的知识要点。
一、定义高三幂函数是由幂指数为3的变量函数所构成的，函数表达式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数，a≠0。
其中，a决定了函数的开口方向，正值开口向上，负值开口向下；b、c、d分别对应二次项、一次项和常数项的系数。
二、图像特点高三幂函数的图像特点与其系数a的正负值有关。
当a>0时，函数图像开口朝上；当a<0时，函数图像开口朝下。
而且，当幂函数为3次时，其图像可能与x轴交于三个不同的点，也可能与x轴相切于某一点。
这些交点或者切点被称为函数的零点。
三、性质1. 零点和与坐标轴的交点：在图像上，高三幂函数的零点是与x轴交点的横坐标值，也是函数的解；与y轴的交点为函数的截距点，对应的坐标为(0, d)。
2. 单调性：当a>0时，高三幂函数在定义域上单调递增，当a<0时，高三幂函数在定义域上单调递减。
3. 奇偶性：高三幂函数在定义域上为奇函数，即满足f(-x) = -f(x)的性质。
4. 极值点：由于高三幂函数的图像可能存在局部最小值或者最大值，因此其极值点可以通过求导数或者观察图像得到。
5. 函数的拐点：高三幂函数的拐点是函数图像从凹向上凸或者从凸向上凹的点，对应的坐标为(x, f(x))。
四、函数应用高三幂函数在实际问题中具有广泛的应用，下面列举一些常见的应用场景：1. 物体的运动问题：高三幂函数可用于描述物体的运动状态，如自由落体运动、弹性碰撞等。
2. 经济学中的成本、收益分析：高三幂函数可以用来分析成本和收益之间的关系，从而对经济决策进行评估和优化。
3.3-幂函数课件-2025届高三数学一轮复习
(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函
数，否则就不是幂函数．
•
(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α为常
数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②
底数为自变量，③底数系数为1.
知识点2 幂函数的图象与性质
1．五个幂函数的图象
5
6
5
∴ 0.31 < 0.35 ，即 −0.31
6
5
6
5
< 0.35 .
6
5
例12 (2024·湖南省长沙市期末)已知幂函数y =
m2
+m−5
2 −2m−3
m
x
,当
2
x ∈ 0, +∞ 时，y随x的增大而减小，则实数m的值为___.
【解析】∵ y
=（m2
+m
2 −2m−3
m
− 5）x
是幂函数，
(x α 的系数为1，注意该隐含条件)
高中数学人教版必修第一册A版
第三章 函数的概念与性质
3.3-幂函数
知识点1 幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数，其中
x是自变量，α是常数．
y＝xα
基础过关
例1-1 在函数y = x −4 ,y = 3x 2 ,y = x 2 + 2x,y = 1中,幂函数的个数为(
A.0
B.1
C.2
对于C，由幂函数的性质可知，幂函数的图象一定不经过第四象限，故C正确；
对于D，幂函数y = x与y = x 3 的图象的交点为(−1, −1)， 0,0 ， 1,1 ，共3个，故D
错误.
高三数学幂函数知识点
高三数学幂函数知识点幂函数是数学中的一种函数形式，它的特点是自变量的指数是固定的，依次增大或减小。
在高三数学中，幂函数是一个重要的知识点，它与指数函数密切相关，并且在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍高三数学中幂函数的定义、性质以及解题方法等知识点。
1. 幂函数的定义幂函数是指具有如下形式的函数：y = a^x，其中a为正数，且不等于1。
在幂函数中，a被称为底数，x为指数。
2. 幂函数的性质（1）定义域与值域：对于幂函数y = a^x，当底数a > 1时，定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
当0 < a < 1时，定义域为实数集R，值域为(0, 1)。
（2）增减性：当底数a > 1时，幂函数y = a^x是递增函数；当0 < a < 1时，幂函数y = a^x是递减函数。
（3）奇偶性：当底数a > 1时，幂函数y = a^x是奇函数；当0 < a < 1时，幂函数y = a^x是偶函数。
（4）对称轴：幂函数y = a^x在y轴上有对称轴。
（5）与指数函数的关系：幂函数和指数函数是互为反函数的关系，即幂函数y = a^x和指数函数y = loga(x)互为反函数。
3. 幂函数的图像幂函数的图像形状与底数a的大小有关。
当底数a > 1时，幂函数的图像随着自变量x的增大而迅速上升；当0 < a < 1时，幂函数的图像随着自变量x的增大而迅速下降。
4. 幂函数的应用幂函数在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：（1）物理学上，很多物理现象的变化规律可以用幂函数来描述，比如弹簧的弹力、电路中电流随时间的变化等。
（2）经济学中，幂函数可以表示一些经济指标的增长模式，比如人口增长、GDP增长等。
（3）统计学中，幂函数可以用来拟合一些自然现象的分布规律，比如城市中人口数量、物种的种群分布等。
5. 幂函数的解题方法在解题过程中，一般需要根据题目给出的条件，确定底数a的取值范围，并利用幂函数的性质进行计算。
高考数学知识点 幂函数知识点_知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点_知识点总结幂函数是高中数学中重要的知识点之一，它在高考数学考试中经常出现。
掌握幂函数的知识点对于顺利解决各类与幂函数相关的数学题目至关重要。
本文将对幂函数的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们理清思路，加强对该知识点的掌握。
一、幂函数的定义幂函数是指函数y = x^n，其中x为自变量，n为常数。
在幂函数中，x的指数是常数，y与x之间存在特定的关系。
二、幂函数的图像特点1. 当n为正整数时，幂函数的图像是以原点为中心的相似变换。
当n为正奇数时，函数具有奇对称性，图像关于坐标原点对称；当n为正偶数时，函数具有偶对称性，图像关于y轴对称，并且右侧都是正数部分；当n为正数时，函数图像都通过第一象限。
2. 当n为负整数时，幂函数的图像将关于x轴对称，并且经过第一象限和第三象限的两点。
3. 当n为0时，幂函数的图像为直线y = 1，是一个常数函数。
三、幂函数的性质1. 定义域：所有实数。
2. 值域：当n为正奇数时，函数的值域为(-∞, +∞)；当n为正偶数时，函数的值域为[0, +∞)；当n为负奇数时，函数的值域为(-∞, 0)；当n为负偶数时，函数的值域为[0, +∞)。
3. 单调性：当n为正数时，幂函数在定义域上是递增函数；当n为负数时，幂函数在定义域上是递减函数。
4. 对称性：当n为正奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当n为正偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当n为负整数时，幂函数的图像关于x轴对称。
5. 渐近线：当n为正数时，幂函数的图像与x轴无交点；当n为负整数时，幂函数的图像与y轴无交点。
四、幂函数的应用幂函数广泛应用于数学中的各种实际问题中，比如面积、体积、变量关系等。
在解决这些问题时，我们可以通过列方程、求导等方法将其转化为幂函数的求解过程。
例如，求解一个正方形的面积与边长之间的关系。
我们可以将正方形的面积设为y，边长设为x，那么根据正方形的性质可得 y = x^2，这就是一个幂函数的表达式，通过对该函数进行数学分析，我们可以得出边长与面积之间的关系，并解决相关的数学问题。
高三数学幂函数
课堂互动讲练
例2 已知幂函数 f(x)的图象过点( 2，
1 2)，幂函数 g(x)的图象过点(2， )． 4 (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)当x为何值时：①f(x)＞g(x)； ②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x)．
课堂互动讲练
【思路点拨】 先用待定系数法 求幂函数的解析式，然后利用g(x)， f(x)的图象，求x的取值范围．
课堂互动讲练
在同一平面直角坐标系中画出y＝ f(x)与y＝g(x)的图象，如图，
课堂互动讲练
从图中及h(x)的定义可知：
x－2，x≥1 h(x)＝ 3 ， x ，x＜1
且在(－∞，1)上h(x)为增函数， 在[1，＋∞)上h(x)为减函数， 函数h(x)的定义域为R.
课堂互动讲练
又∵h(－2)＝(－2)3＝－8， 1 －2 h(2)＝2 ＝ ， 4 ∴h(－2)≠h(2)且h(－2)≠－h(2)， ∴h(x)为非奇非偶函数．
课堂互动讲练
【名师点评】 本题集幂函数的概 念、图象及单调性、奇偶性于一体，综 合性较强，解此题的关键是弄清幂函数 的概念及性质．解答此类问题可分为两 大步：第一步，利用单调性和奇偶性 (图象对称性)求出m的值或范围；第二 步，利用分类讨论的思想，结合函数的 图象求出参数a的取值范围．
课堂互动讲练
规律方法总结
1．幂函数y＝xα(α＝0,1)的图象
规律方法总结
q * q 2.幂函数 y＝x (α＝p，p，q∈N ，p为最
α
简分式)的图象
规律方法总结
随堂即时巩固
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/ 北京保安
望咯/没存在想到壹向自诩君子の方心远被对方壹喝斥/连话都不敢说咯/就这样着本人の同伴送到虎口/刘荤尔那双眸子里
高考数学知识点幂函数知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点总结幂函数是高考数学中的重要知识点之一。
它在求解各类问题中具有广泛的应用。
本文将对幂函数的定义、性质以及解题技巧进行总结，以帮助考生全面掌握相关知识。
一、幂函数的定义与性质1. 定义：幂函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为实数且a>0且a≠1。
2. 幂函数的基本性质：(1) 当a>1时，幂函数是递增函数；(2) 当0<a<1时，幂函数是递减函数；(3) 幂函数的图象是关于y轴对称的；(4) 当x取整数时，幂函数的函数值为恒定值。
3. 幂函数的特殊情况：(1) 当a>1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近y轴；(2) 当0<a<1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近x轴；(3) 当a=1时，幂函数为常数函数。
二、幂函数的常见解题技巧1. 求解幂函数的零点：对于幂函数f(x) = a^x = 0，可以通过求解a^x = 0的条件来得到幂函数的零点。
由于指数函数a^x的定义域为实数集，而等式0^x没有意义，因此幂函数的零点不存在。
2. 求解幂函数的最值：当幂函数f(x) = a^x存在最值时，可以通过导数法求解。
具体步骤为：(1) 求得f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数；(2) 令f'(x) = 0，解得x = ln(a)；(3) 将x = ln(a)带入幂函数，得到最值点或者端点的函数值；(4) 比较得到最值。
3. 幂函数与其他函数的复合：幂函数和其他常见函数的复合，如幂函数与线性函数、指数函数、对数函数的复合等，可以通过替换变量或者利用函数关系进行求解。
具体步骤需要根据题目的要求和已知条件进行灵活运用。
4. 幂函数在实际问题中的应用：幂函数在生活和工作中有广泛的应用，比如指数增长与衰减问题，利润与销售量关系的建模，物理中的涉及到指数增长和衰减的问题等，需要考生能够将幂函数与实际问题相结合，进行建模和求解。
高考数学幂函数知识点总结
高考数学幂函数知识点总结一、幂函数的定义和性质幂函数是数学中一种常见的函数形式，它的定义形式为y = ax^n，其中a和n都为实数，x为自变量，y为因变量。
幂函数在数学中扮演着重要的角色，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
下面我们来总结一些幂函数的重要性质和应用。
1. 幂函数的定义域和值域：幂函数y = ax^n的定义域为实数集R，值域则取决于a和n 的取值范围。
当a>0时，n为整数时，函数的值域为正实数集R+；当a<0时，n为奇数时，函数的值域为负实数集R-。
2. 幂函数的奇偶性：当n为偶数时，函数为偶函数；当n为奇数时，函数为奇函数。
具体而言，当n为偶数时，对于任意x，有f(-x)=f(x)；当n为奇数时，对于任意x，有f(-x)=-f(x)。
3. 幂函数的图像变换：幂函数y = ax^n在平面直角坐标系中的图像变换与参数a和n的取值相关。
当a>1时，函数图像沿y轴方向压缩，当0<a<1时，函数图像沿y轴方向拉伸；当n>1时，函数图像在原点左侧上升，当0<n<1时，函数图像在原点右侧上升。
4. 幂函数的极限：当a>1时，幂函数在正无穷大时趋于正无穷大；当0<a<1时，幂函数在正无穷大时趋于0。
若n>0，幂函数在负无穷大时趋于正无穷大；若n<0，幂函数在负无穷大时趋于0。
二、幂函数的常见应用幂函数因为其特殊的形式和性质，在科学和工程中有广泛的应用。
以下是幂函数在一些具体问题中的运用。
1. 物质的增长和衰减：在生物学和经济学中，常常需要研究物质的增长和衰减过程。
幂函数可用来描述这种过程。
例如，生物种群的增长可以用幂函数进行建模，其中a表示种群的初始数量，n表示增长率。
同样，经济学中的人口增长、环境污染以及经济发展等问题也可以利用幂函数进行分析。
2. 各种规律的描述：幂函数可以应用于描述一些规律和现象。
例如，光的强度随距离的关系、金融领域中财富分布的不平等系数、能量消耗与功率之间的关系等都可以用幂函数来表达。
数学高考知识点幂函数
数学高考知识点幂函数数学高考知识点：幂函数幂函数是高考数学中非常重要的一个知识点，它是指形如y=x^a的函数，其中a是一个实数。
在高考中，幂函数常常会与其他函数进行比较或者求解方程等相关问题，因此熟练掌握幂函数的性质和应用是非常重要的。
一、幂函数的性质1. 幂函数的定义域：幂函数y=x^a的定义域是所有使得x^a有意义的实数x。
2. 幂函数的奇偶性：当指数a为偶数时，幂函数具有关于y轴的对称性，即f(-x) = f(x)。
当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)。
3. 幂函数的单调性：当指数a大于0时，幂函数在定义域上是递增的；当指数a小于0时，幂函数在定义域上是递减的。
4. 幂函数的图像：幂函数的图像呈现出如下特点：当a>1时，幂函数在∞处增加，0处取到最小值；当0<a<1时，幂函数在∞处减小，0处取到最大值；当a<0时，幂函数在定义域上是奇函数，图像关于原点对称。
二、幂函数的应用1. 幂函数与对数函数的关系：幂函数和对数函数是互为反函数的，即y=x^a和y=loga(x)是一对反函数。
这一性质在解决指数方程和对数方程时非常有用。
2. 幂函数的极限：对于幂函数y=x^a，当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于零。
这一性质在求解极限时常常会被用到。
3. 幂函数的应用：幂函数在物理学、生物学、经济学等领域具有广泛的应用。
例如，在物理学中，速度和加速度的计算常常涉及到幂函数的运算。
三、幂函数在高考中的常见题型解析1. 求解方程：高考经常出现要求解幂函数方程的题目，在解这类问题时，我们可以利用幂函数和对数函数互为反函数的特性，将幂函数方程转化为对数方程进行求解。
2. 判断性质：高考中会出现判断幂函数性质的题目，例如给出一个函数的图像，要求判断该函数的奇偶性、单调性等。
在解这类问题时，我们需要运用幂函数的性质和图像特点进行分析。
高考数学考点归纳之幂函数
高考数学考点归纳之幂函数一、基础知识1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质二、常用结论对于形如f(x)＝x nm(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．考点一幂函数的图象与性质[典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23－n n(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2 [解析] (1)设f (x )＝x α，将点(3，33)代入f (x )＝x α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.(2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x23－n n在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x－2的图象关于y 轴对称，故n ＝1.[答案] (1)C (2)B[解题技法] 幂函数y ＝x α的主要性质及解题策略(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．[题组训练]1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( ) A ．y ＝x －4 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A 函数y ＝x －4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x －1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x 2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y ＝x 13为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．2.[口诀第2、3、4句]已知当x ∈(0,1)时，函数y ＝x p 的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．解析：当p >0时，根据题意知p <1，所以0<p <1；当p ＝0时，函数为y ＝1(x ≠0)，符合题意；当p <0时，函数y ＝x p 的图象过点(1,1)，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．综上所述，p 的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)考点二 比较幂值大小[典例] 若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c[解析] 因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c . [答案] D[题组训练]1．若a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选B 因为y ＝x 25在第一象限内为增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫3525>c ＝⎝⎛⎭⎫2525，因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x是减函数，所以c ＝⎝⎛⎭⎫2525>b ＝⎝⎛⎭⎫2535，所以a >c >b . 2．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 [课时跟踪检测]1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( ) A ．4 B.2 C ．22D ．1解析：选C 设f (x )＝x n ，由条件知f (4)＝2，所以2＝4n ，n ＝12，所以f (x )＝x 12，f (8)＝812＝2 2.2．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( ) A ．1 B ．2 C.12D ．－1解析：选D 由幂函数的性质得k <0，故选D. 3．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3解析：选A ∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.4．(2018·邢台期末)已知幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选A 设幂函数f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，∴2α＝14，解得α＝－2. ∴函数f (x )＝x －2，其中x ≠0. ∴函数g (x )＝f (x )＋x 24＝x －2＋x 24＝1x 2＋x 24≥21x 2·x 24＝1， 当且仅当x ＝±2时，g (x )取得最小值1.5．(2019·安徽名校联考)幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x 23－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3解析：选C 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|m －1|>0，3m －m 2>0，m ∈Z ，解得m ＝2.6．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c <b <aD ．c <a <b解析：选C 因为a ＝8115，b ＝1615，c ＝1215，由幂函数y ＝x 15在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c ，故选C.7．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( ) A ．x <z <y B ．y <x <z C ．y <z <xD ．z <y <x解析：选A 由函数y ＝0.3x 在R 上单调递减，可得y >z .由函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x <z .所以x <z <y .8．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]解析：选D ∵f (x )是幂函数，∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．若m ＝0，则f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，即f (x )＝x 2.当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)；当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴2－k ≥1且4－k ≤4，解得0≤k ≤1.9．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则f ⎝⎛⎭⎫19＝________. 解析：设f (x )＝x α，∵f (9)f (3)＝9α3α＝3α＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫19＝⎝⎛⎭⎫19α＝⎝⎛⎭⎫132α＝132α＝122＝14. 答案：1410．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________．解析：由f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3.又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3.答案：311．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．解析：分别作出y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝h (x )的图象如图所示，可知h (x )＞g (x )＞f (x )．答案：h (x )＞g (x )＞f (x )12．(2019·银川模拟)已知幂函数f (x )＝x 12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，幂函数f (x )＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>10－2a ，a ＋1>0，10－2a >0，解得3<a <5.答案：(3,5)13．已知幂函数f (x )＝x ()21－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．(1)试确定m 的值；(2)求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解：(1)∵幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2()21－＋m m ，即212＝2()21－＋m m .∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32.。
高三数学知识点幂函数
高三数学知识点幂函数高三数学知识点：幂函数幂函数是高中数学中的重要知识点之一，它在数学建模、经济学、生物学等各个领域中有着广泛应用。
本文将介绍幂函数的定义、特征、性质以及解题方法。
一、幂函数的定义幂函数是指形如y = ax^k的函数，其中a为常数，k为实数。
在这个函数中，x是自变量，y是因变量，a称为幂函数的底数，k 称为幂函数的指数。
二、幂函数的特征1. 底数a和指数k可以是任意实数，因此幂函数具有广泛的定义域和值域。
2. 当底数a大于1时，函数图像随着自变量x的增加而上升，呈递增趋势；当底数a介于0和1之间时，函数图像随着自变量x 的增加而下降，呈递减趋势。
3. 幂函数的特殊情况包括指数函数（当底数a为常数e时）、常数函数（当指数k为0时）和线性函数（当指数k为1时）。
三、幂函数的性质1. 对于同一个底数a和不同的指数k1和k2，若k1 < k2，则a^k1 < a^k2。
即幂函数的值随着指数的增大而增大。
2. 幂函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)，因此幂函数是偶函数。
3. 幂函数的导数可以通过对幂函数取对数来求得，即幂函数的导数为它自身的指数乘以底数的对数。
四、解题方法1. 求幂函数的零点：设幂函数的零点为x0，则有a^k = 0，由此可得x0 = 0。
因此，幂函数的零点为x = 0。
2. 求幂函数的定义域和值域：根据幂函数的定义，可以推导出幂函数的定义域为全体实数集，当底数a大于0时，幂函数的值域为(0, +∞)；当底数a小于0时，幂函数的值域为(-∞, 0)。
3. 求解幂函数方程：对于给定的幂函数方程，可以利用对数运算将其转化为对数方程，再进一步求解。
总结：本文详细介绍了高三数学中的幂函数知识点，包括定义、特征、性质以及解题方法。
通过学习幂函数的相关内容，我们可以更好地理解和应用幂函数，在数学问题的解答中得心应手。
希望本文的内容能够对高三学生的数学学习有所帮助。
幂函数高考知识点总结
幂函数高考知识点总结幂函数是高中数学中非常重要的一部分内容，也是高考中经常出现的知识点之一。
幂函数在数学中具有广泛的应用，不仅仅体现在纵坐标的数值关系上，更是涉及到图像特征、函数性质以及解题方法等方面。
下面我将对幂函数的相关知识进行总结和梳理，希望对大家复习和备考有所帮助。
1、幂函数的定义和性质幂函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^b，其中a和b是常数，而x是变量。
其中，a称为幂函数的系数，b称为幂函数的指数。
幂函数的定义域由指数b的正负决定，若b为正整数，则定义域是全体实数；若b为负整数，则定义域是x ≠ 0的一切实数；若b为0，则幂函数的定义域是x > 0的一切实数。
当只考虑幂函数f(x)在正数定义域上的取值时，幂函数的图像可以分为两种情况：当a > 1时，图像呈现递增趋势；当0 < a < 1时，图像则呈现递减趋势。
2、幂函数的图像特征通过观察幂函数的图像，我们可以得出一些重要的结论。
首先，当幂函数的系数a为正数时，图像都经过第一象限的点(1, a)。
其次，当幂函数的指数b为奇数时，幂函数的图像对称于y轴；当幂函数的指数b为偶数时，幂函数的图像具有原点对称性。
除此之外，我们还可以通过改变系数a和指数b的值，来改变幂函数图像的特征，如峰值的高低、函数图像的陡峭程度等。
3、幂函数的运算与应用幂函数的求导是高中数学中的重要内容之一。
对于幂函数f(x) =ax^b，其中a为常数，b为实数，我们可以通过求导的方法来确定幂函数的导函数形式。
具体来说，当指数为整数时，我们可以利用幂函数的定义进行求导；当指数为实数且不为整数时，我们则需要利用对数函数的性质来求导。
此外，由于幂函数具有多种性质和特点，在解决实际问题时也能够提供很多启示和方法。
4、幂函数的解题技巧和例题分析在高考中，幂函数常常出现在各种数学题目中，因此熟练掌握幂函数的解题方法是非常重要的。
对于幂函数的解题技巧，我们可以利用以下几点进行分析和总结：首先，要熟悉幂函数的性质和特点，了解其图像形态和函数性质；其次，要能够根据题目给出的条件和要求，建立幂函数方程或不等式；最后，要善于运用数学方法和思维工具，进行合理的推导和计算。
高考数学知识点幂函数知识点知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点知识点总结幂函数知识点总结幂函数是数学中重要的函数之一，也是高考数学中的考点内容。
本文将对幂函数的相关知识点进行总结，包括定义、性质、图像和应用等内容。
一、定义幂函数是指函数y = ax^n，其中a和n均为常数，且a ≠ 0，n为正整数。
其中，a称为幂函数的底数，n称为幂函数的指数。
幂函数的定义域为全体实数，值域根据指数的奇偶性而定。
当指数n为奇数时，值域为全体实数；当指数n为偶数时，值域为非负实数。
二、性质1. 当底数a大于1时，幂函数的图像随着自变量x的增大而增大；当底数a介于0和1之间时，幂函数的图像随着自变量x的增大而减小。
2. 当指数n为正整数时，幂函数的图像在第一象限上且经过点(1,a)。
3. 当指数n为奇数时，幂函数的图像关于y轴对称；当指数n为偶数时，幂函数的图像关于原点对称。
三、图像根据幂函数的性质，我们可以画出幂函数的大致图像。
以y = 2x^2为例，我们可以按照以下步骤绘制图像：1. 计算出若干个点的坐标，取x的值为-2，-1，0，1，2，3等，并计算出对应的y值。
2. 将这些点连接起来，形成平滑的曲线。
3. 注意幂函数的对称性，根据对称轴上的点可以在其他位置上找到对应的点。
四、应用幂函数在实际问题中有广泛的应用，其中一些典型的应用包括：1. 复利计算：由于幂函数的特性，它可以很好地描述复利增长的情况。
例如，存款的本金在每年按一定的比例增长，这就可以用幂函数来表示。
2. 科学实验：在某些科学实验中，现象的变化与自变量并非线性关系，而是呈现幂函数的规律。
通过研究幂函数的图像和性质，可以更好地理解实验结果。
3. 经济增长：幂函数也可以描述经济增长的规律。
例如，某地区的GDP每年按一定的比例增长，可以用幂函数来表示。
总结：幂函数是高考数学中的重要知识点，掌握了幂函数的定义、性质、图像和应用，能够解决与幂函数相关的各种问题。
在学习过程中，我们还可以通过练习题加深对幂函数的理解和应用能力。
高三幂函数总结知识点
高三幂函数总结知识点幂函数是数学中的一种重要函数形式，它的形式为f(x) = ax^b，其中a和b都是常数，b表示幂指数。
在高三学习中，幂函数是一个重要的内容，本文将对高三幂函数的知识点进行总结。
一、函数的定义与基本性质1. 幂函数的定义：幂函数是指数为常数的函数，形式为f(x) =ax^b，其中a和b都是常数，a称为系数，b称为幂指数。
2. 幂函数的定义域：对于幂函数来说，定义域是实数集。
3. 幂函数的图像特点：当b为正数时，幂函数的图像在第一象限上增长，当b为负数时，则在第一象限上递减。
二、幂函数的分类根据幂指数b的取值，我们可以将幂函数进行分类。
1. 当b>0时，幂函数为正幂函数，图像随着x的增大而增大。
2. 当b=0时，幂函数为常数函数，图像为一条水平直线。
3. 当b<0时，幂函数为倒数函数，图像随着x的增大而减小。
三、幂函数的性质1. 对称性：当b为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当b为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。
2. 增减性：当b>0时，幂函数是递增函数；当b<0时，幂函数是递减函数。
3. 渐近线：当b>0时，幂函数的图像都有一条水平渐近线y=0；当b<0时，幂函数的图像都有一条垂直渐近线x=0。
四、幂函数与其他函数的关系在高三学习中，我们经常需要与其他函数进行比较与分析。
1. 幂函数与线性函数：当b=1时，幂函数退化为一次函数，即f(x) = ax。
2. 幂函数与指数函数：幂函数是指数函数的逆运算，即幂函数是指数函数的反函数。
3. 幂函数与对数函数：幂函数与对数函数是互逆函数关系，幂函数是对数函数的反函数，对数函数可以视为幂函数的解析式。
五、解题技巧与应用在高三数学中，幂函数是必考内容，掌握解题技巧和应用非常重要。
1. 求幂函数的零点：将幂函数设置为零，解方程得到x的值。
2. 求幂函数的最值：通过分析幂函数的增减性和图像特点，可以求得幂函数的最大值和最小值。
数学高中幂函数知识点总结
数学高中幂函数知识点总结一、幂函数的定义幂函数是形如y = ax^b (a ≠ 0)的函数，其中a、b为常数且b为实数。
当b为自然数时，叫做指数函数；当b为整数时，叫做整数幂函数。
二、幂函数的基本性质1、幂函数的定义域：要求x的b次幂在任何实数范围内都有定义，即x∈R。
2、幂函数的值域：当b为正数时，a为正值时，y的取值范围是(0,+∞)；当b为正数时，a为负值时，y的取值范围是(-∞,0)；当b为负数时，函数图象经过第二象限，y的取值范围是(0,+∞)，a的正负对y的取值范围没有影响。
3、幂函数的奇偶性：b为偶数时，函数图象关于y轴对称；b为奇数时，函数图象关于原点对称。
4、幂函数的单调性：在定义域内，当b>0时，a>0时y随x增大而增大；当b>0时，a<0时y随x增大而减小。
5、幂函数的图象：a) b>0时，a>1时的函数图象是上凸的抛物线，a<1时的函数图象是下凸的抛物线；b) b<0时，a>0时的函数图象是一条破折线；c) b=1时，函数图像是一条直线。
6、幂函数的增长性：a) 当a>1，b>0时，y随x增大而增大；b) 当0<a<1，b>0时，y随x增大而减小；c) 当a>0，b<0时，y随x增大而减小。
三、幂函数的运算性质1、乘法运算：幂函数y=ax^m和y=bx^n的乘积是幂函数y=abx^(m+n)。
2、除法运算：幂函数y=ax^m和y=bx^n的商是幂函数y=(a/b)x^(m-n)。
(b≠0)3、幂函数的乘方：(ax^m)^n = a^nx^(m*n)。
四、幂函数的应用1、指数增长和指数衰减：指数增长是指幂函数的指数大于1且底数大于1时，函数值随自变量的增大而呈指数增长；指数衰减是指幂函数的指数大于1且底数小于1时，函数值随自变量的增大而呈指数衰减。
2、复利问题：利息的计算通过年限n^{'}m即可直接得到m*n倍经过以上的总结，我们对高中幂函数的相关知识有了更深入的了解。
高三数学幂函数
知识要点
4.幂函数的性质
（1）所有幂函数在( 0 , )上都有定义，并且图象都
通过（1，1）点；
（2）如果 0 ，则幂函数的图象通过原点，并且在
区间 [0, )上是增函数；
（3）如果 0 ，则幂函数在区间( 0 , )上是减
函数.
比较大小
1
1
例1.比较 ( 0 . 9 5)3 与( 0 . 9 6 )3 的大小并说明理由
长着淡绿色果冻一样的铅笔滢鳞额头，前半； / 亲子鉴定 ；身是纯黑色琴弓一样的怪鳞，后半身是异形的羽毛。这巨魔长着淡橙色果冻一样的脑袋和淡 黄色篦子一样的脖子，有着金橙色彩蛋般的脸和橙白色香蕉一样的眉毛，配着深黄色轮胎造型的鼻子。有着淡红色般的眼睛，和暗绿色滚珠一样的耳朵，一张淡红色田埂一样 的嘴唇，怪叫时露出暗黄色精灵一样的牙齿，变态的纯黑色闪电似的舌头很是恐怖，墨黑色牙膏模样的下巴非常离奇。这巨魔有着极似手杖一样的肩胛和很像黄瓜造型的翅膀 ，这巨魔匀称的暗黑色怪石似的胸脯闪着冷光，仿佛面具造型的屁股更让人猜想。这巨魔有着酷似香肠一样的腿和纯黄色折扇一样的爪子……肥壮的紫红色奶糖似的三条尾巴 极为怪异，墨绿色元宵一样的海胆雪峰肚子有种野蛮的霸气。暗黑色蜈蚣造型的脚趾甲更为绝奇。这个巨魔喘息时有种深黄色弯刀似的气味，乱叫时会发出深橙色树怪般的声 音。这个巨魔头上金红色玉兔造型的犄角真的十分罕见，脖子上如同木头造型的铃铛淡紫色猪肺般的脑袋好像十分愚笨又超脱！这时那伙校精组成的巨大履带独腮神忽然怪吼 一声！只见履带独腮神转动不大的亮白色洋葱样的脑袋，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的浅橙色种子一样裂开……八千三百七 十三条淡黄色鱼眼模样的残缺巨根急速从里面伸出然后很快钻进泥土中……接着，一棵嫩黄色珍珠模样的炽热巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇淡绿色烟缸模样的残暴巨大枝 叶疯速向外扩张……突然！一朵银橙色玉米模样的阴森巨蕾恐怖地钻了出来……随着深橙色路灯模样的凶恶巨花狂速盛开，无数火橙色黄瓜模样的奇寒花瓣和暗紫色花蕊飞一 样伸向远方……突然，无数锅底色天鹰模样的炽热果实从巨花中窜出，接着飞一样射向魔墙！只见每个巨大果实上都骑着一个履带独腮神的小替身，而那伙校精的真身也混在 其中……“哇！真有小康性！”壮扭公主道。“还多少带点贿赂性！咱们让他们看看什么高层次！嘻嘻！”月光妹妹和壮扭公主一边说着一边念动咒语……只见巨大灯管雀皮 魔猛然间长啸一声！巨大果实的飞速顿时变得慢如蚂蚁，只见柴刀木鳞魔转动异形的羽毛，整个身体快速变成一枚巨大的缤纷
高中幂函数知识点总结
高中幂函数知识点总结在高中数学中，学生们需要掌握幂函数的基本性质、图像特征、变化规律以及应用等知识点。
下面就幂函数的这些知识点进行总结。
一、幂函数的基本性质1.定义域和值域幂函数的定义域为全体实数集R，当a>0时，幂函数的值域为(0,+∞)；当a<0时，幂函数的值域为(-∞,0)。
当b为实数时，定义域不变，值域也不变。
2.奇函数和偶函数当b为奇数时，幂函数为奇函数，其图像关于原点对称；当b为偶数时，幂函数为偶函数，其图像关于y轴对称。
3.增减性当b>0时，a^b是单调递增函数；当b<0时，a^b是单调递减函数；当a>1时，a^x是单调递增函数；当0<a<1时，a^x是单调递减函数。
4.奇偶性当b为偶数时，幂函数的值域为(0,+∞)，其奇函数；当b为奇数时，幂函数的值域为(-∞,+∞)，其为奇函数。
5.图像特征当a>1时，幂函数的图像开口向上，且与y轴有交点(0,1)；当0<a<1时，幂函数的图像开口向下，且与y轴有交点(0,1)。
二、幂函数的变化规律1.当a>1时，随着x的增大，幂函数的值也增大；当0<a<1时，随着x的增大，幂函数的值逐渐减小。
2.当b>0时，随着x的增大，幂函数的值也增大；当b<0时，随着x的增大，幂函数的值逐渐减小。
3.在定义域内，当a大于1时，幂函数呈现增长趋势，a小于1时，幂函数呈现下降趋势。
幂函数的图像是在a的基础上上升或下降，实际上是在描绘x的指数函数。
4.幂函数的图像经常在一轴上浮躺，显示出一种不平滑的弧度，变化没有一元二次函数的平稳。
随着a的变大或者减小，幂函数的图像与x轴的夹角越来越小。
5.当b不为整数，是一个更加复杂的形式；而指数函数是幂函数的一种特殊情况，b为整数时。
三、幂函数的应用1.在现实生活中，幂函数的变化规律被应用在各个方面，比如物理学中的指数增长和衰减模型、生物学中的人口增长模型、经济学中的利润增长模型等。
高中幂函数知识点总结
高中幂函数知识点总结在高中的同学需要学习幂函数，那么关于幂函数的知识点是怎样的呢？下面是小编分享给大家的高中幂函数知识点总结，欢迎阅读。
定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
当x为不同的'数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是r，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)，《幂函数知识点总结》。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
高三数学幂函数
通过概念和图象了解幂函数
① 通过实例，了解幂函数的概念.
3 2 ② 结合函数 y = x ， ， ， y = x y = x
1 1 y = 2 y = x ， 的图象.了解它们的变 x
化情况
知识要点
1.幂函数的定义
y x ( R ) 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数.
1 n取 2 ， 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n 2
依次为
(A) 2, 1 1 , ,2 2 2 1 1 (B) 2, , , 2 2 2 1 1 (C) , 2,2, 2 2 (D) 2, 1 1 , 2, 2 2
；
/ 梦书屋
（3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图 象只在第一象限内.
知识要点
3. 幂函数的图象 先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。 指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）； 指数等于1,在第一象限为上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为水平的射线；
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பைடு நூலகம்济南九中高三数学备课组
例1.比较 (0.95) 与 (0.96) 的大小并说明理由
1 3 1 3
求幂函数的定义域、值域
例2.求下列函数的定义域和值域
（1）y
x
2 5
；（2）y
x
3 5
证明幂函数的单调性
例3.证明函数 f( x)
上是增函数 x 在[0,)
注意掌握证明函数单调性的方法和基本模式
例4.图中曲线是幂函数 y x n 在第一象限的图象，已知
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Hale Waihona Puke