2019届高考数学模拟考试试卷及答案(文科)(四)

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云南省昆明市2019届高三高考模拟(第四次统测)文科数学试题(解析版)

2019年云南省昆明市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x |0≤x ≤2}，集合B ={x |x 2≤4}，则A ∩B =（）A. {0,1，2}B. {−2,−1,0，1，2}C. [0,2]D. [0,4] 2. 设复数z 满足（1+i ）z =3-i ，则|z |=（）A. √5B. 2√2C. √10D. 5 3. 已知命题p ：∃x 0＜0，e x 0+e −x 0＜2，则￢p 为（）A. ∃x 0≥0，e x 0+e −x 0≥2B. ∃x 0<0，e x 0+e −x 0≥2C. ∀x ≥0，e x +e −x ≥2D. ∀x <0，e x +e −x ≥2 4. 若x ，y 满足约束条件{x −y +1≤0,x+y−1≥0,则x +2y （）A. 有最小值也有最大值B. 无最小值也无最大值C. 有最小值无最大值D. 有最大值无最小值5. 如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图（例如：第3季度内，洗衣机销量约占20%，电视机销量约占50%，电冰箱销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（）A. 电视机销量最大的是第4季度B. 电冰箱销量最小的是第4季度C. 电视机的全年销量最大D. 电冰箱的全年销量最大6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 4+2π3 B. 4+4π3 C. 12+2π3 D. 12+4π37.已知直线y=ax与圆C：x2+y2-6y+6=0相交于A、B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为（）A. 1B. ±1C. √3D. ±√38.函数y=1x−ln(x+1)的图象大致为（）A. B. C. D.9.将函数y=sin(2x−π4)的图象向左平移π4个单位，所得图象对应的函数在区间[-m，m]上单调递增，则m的最大值为（）A. π8B. π4C. 3π8D. π210.数列{F n}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数列{F n}的前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A. S2019=F2021+2B. S2019=F2021−1C. S2019=F2020+2D. S2019=F2020−111.已知函数f（x）=ax2+bx+c ln x（a＞0）在x=1和x=2处取得极值，且极大值为−52，则函数f（x）在区间（0，4]上的最大值为（）A. 0B. −52C. 2ln2−4D. 4ln2−412.三棱锥P-ABC的所有顶点都在半径为2的球O的球面上．若△PAC是等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，则三棱锥P-ABC体积的最大值为（）A. 2B. 3C. 2√3D. 3√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗，b⃗ 均为单位向量，若|a⃗-2b⃗ |=√3，则a⃗与b⃗ 的夹角为______．14.已知递增等比数列{a n}满足a2+a3=6a1，则{a n}的前三项依次是______．（填出满足条件的一组即可）15.已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x-3y+11=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为______．16.已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a3=3，a n+3=a n（n∈N*）．若a n=A sin（ωn+φ）+c(ω＞0，|φ|＜π2)，则实数A=______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知√3asinB−bcosA=0．（1）求角A；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．18.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1上的一点，AA1⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2DC．（1）若M是DD1的中点，证明：平面AMB⊥平面A1MB1；的（2）设四棱锥M-ABB1A1与四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积分别为V1与V2，求V1V2值．19.某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为0.9．（1）若引种树苗A、B、C各10棵．①估计自然成活的总棵数；②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗A的概率；（2）该农户决定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？)．20.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(−√3，0)，且C经过点P(√3，12（1）求C的方程；（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．21. 已知函数f （x ）=a （x -sin x ）（a ∈R 且a ≠0）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）设g(x)=e x (14x 2+2x −1)−ax +a ，若对任意x ≥0，都有f （x ）+g （x ）≥0，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosα，y =√3sinα，（α为参数），直线l 的参数方程为{y =tsinβ,x=tcosβ,（t 为参数，0≤β＜π），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|OA |-|OB |=2，求β．23. 已知函数f （x ）=|2x -1|．（1）解不等式f （x ）+f （x +1）≥4；（2）当x ≠0，x ∈R 时，证明：f(−x)+f(1x )≥4．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|-2≤x≤2}；∴A∩B=[0，2]．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：由（1+i）z=3-i，得z=，∴|z|=．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：∃x0＜0，＜2，则￢p为：∀x＜0，e x+e-x≥2．故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图：可知平移直线x+2y=0，经过可行域的A时，x+y取得最小值；没有最大值，故选：C．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断选项即可．本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查．5.【答案】C【解析】解：由某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图，知：在A中，电视机销量所占面百分比最大的是第4季度，故A错误；在B中，电冰箱销量所占百分比最小的是第4季度，故B错误；在C中，电视机的全年销量最大，故C正确；在D中，电视机的全年销量最大，故D错误．故选：C．电视机销量所占面百分比最大的是第4季度；电冰箱销量所占百分比最小的是第4季度；电视机的全年销量最大．本题考查命题真假的判断，考查百分比堆积图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数据处理能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为正四棱柱，上部为半球体的组合体；且正四棱柱的底面边长为2，高为3，半球体的半径为1；所以，该组合体的体积为V几何体=2×2×3+=12+．故选：C．根据几何体的三视图，得出该几何体是长方体与半球体的组合体，结合图中数据求出它的体积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．7.【答案】D【解析】解：根据题意，圆C：x2+y2-6y+6=0即x2+（y-3）2=3，其圆心为（0，3），半径r=，直线y=ax与圆C：x2+y2-6y+6=0相交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y=ax的距离d=，则有=，解可得：a=±；故选：D．根据题意，分析圆C的圆心与半径，结合等边三角形的性质分析可得圆心C 到直线y=ax的距离d=，则有=，解可得a的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意将原问题转化为点到直线的距离，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由于函数y=-ln（x+1）在（-1，0），（0，+∞）单调递减，故排除B，D，当x=1时，y=1-ln2＞0，故排除C，故选：A．根据函数的单调性排除B，D，根据函数值，排除C本题考查了函数的图象与性质的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：∵将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为y=sin（2x+）在区间[-m，m]上单调递增，∴2m+≤，且-2m+≥-，求得m≤，则m的最大值为，故选：A．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得m的最大值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．则：F n+2=F n+F n+1=F n+F n-1+F n=F n+F n-1+F n-2+F n-1=F n+F n-1+F n-2+F n-3+F n-2=…=F n+F n-1+F n-2+F n-3+…+F2+F1+1，∴S2019=F2021-1故选：B．利用迭代法可得F n+2=F n+F n-1+F n-2+F n-3+…+F2+F1+1，可得S2019=F2021-1，代值计算可得结果．本题考查的知识要点：迭代法在数列中的应用．11.【答案】D【解析】解：函数的导数f′（x）=2ax+b+=∵f（x）在x=1和x=2处取得极值，∴f′（1）=2a+b+c=0 ①f′（2）=4a+b+=0 ②，∵f（x）极大值为，∵a＞0，∴由函数性质当x=1时，函数取得极大值为，则f（1）=a+b+cln1=a+b=，③，由①②③得a=，b=-3，c=2，即f（x）=x2-3x+2lnx，f′（x）=x-3+==，由f′（x）＞0得4≥x＞2或0＜x＜1，此时为增函数，由f′（x）＜0得1＜x＜2，此时f（x）为减函数，则当x=1时，f（x）取得极大值，极大值为，又f（4）=8-12+2ln4=4ln2-4＞，即函数在区间（0，4]上的最大值为4ln2-4，故选：D．求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系，建立方程组求出a，b，c的值，结合函数最值性质进行求解即可．本题主要考查函数极值和最值的应用，根据条件求函数的导数，建立方程组求出a，b，c的值是解决本题的关键．难度不大．12.【答案】B【解析】解：设AC的中点为D，连接PD，则PD⊥AC，∵平面PAC⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC，∵AB⊥BC，∴AC为平面ABC所在截面圆的直径，∴球心O在直线PD上，又△PAC是等边三角形，∴△PAC的中心为棱锥外接球的球心，即OP=2，∴OD=1，AC=2，∴B到平面APC的距离的最大值为AC=，∴三棱锥P-ABC体积的最大值为V=×××=3．故选：B．根据三角形的形状判断球心O的位置，得出B到平面APC的最大距离，再计算体积．本题考查棱锥与外接球的位置关系，球的结构特征，属于中档题．13.【答案】π3【解析】解：∵，均为单位向量，设与的夹角为θ，又|-2|=，∴，∴=，则与的夹角cos=，∴，故答案为：．由|-2|=，结合向量数量积的性质可求，然后代入到夹角公式cos即可求解．本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．14.【答案】1，2，4（填首项为正数，公比为2的等比数列均可）【解析】解：因为等比数列的项a n≠0，故由a2+a3=6a1得，q+q2=6，所以q=2或q=-3，若q＞1，则a1≥1时即可满足等比数列{a n}递增，若q＜0，则{a n}为摆动数列．不满足递增．取a1=1，则{a n}的前三项依次是1，2，4．故答案为：1，2，4．因为等比数列的项a n≠0，故由a2+a3=6a1得，q+q2=6，所以q=2或q=-3，若q ＞1，则a≥1时即可满足等比数列{a n}递增，若q＜0，则{a n}为摆动数列．解决本题的关键在于了解等比数列递增，递减时应满足的条件，属于基础题．15.【答案】3【解析】解：∵点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，∴过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线，则点到直线的距离为d1+d2最小值，∵F（1，0），直线4x-3y+11=0，∴d1+d2==3，故答案为：3．利用抛物线的定义，将d1+d2的最小值转化为点到直线的距离即可求得结论．本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的应用，将d1+d2的最小值转化为点到直线的距离是关键．16.【答案】−2√33【解析】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a3=3，a n+3=a n（n∈N*）；且a n=Asin（ωn+φ）+c（ω＞0，|φ|＜），∴=3，解得ω=；∴a n=Asin（n+φ）+c（|φ|＜），∴1=Asin（+φ）+c，2=Asin（+φ）+c，3=Asin（2π+φ）+c；化为：1=Asin（+φ）+c，2=-Asin（+φ）+c，3=Asinφ+c；∴1=Asinφ+Asin（+φ），2=Asinφ-Asin（+φ）；联立方程组，化简得，解得Asinφ=1，Acosφ=-；∴tanφ=-；又|φ|＜，∴φ=-，∴A==-．故答案为：-．根据题意知a n=Asin（ωn+φ）+c的最小正周期为T=3，由此求得ω的值，再令n=1、2、3，联立方程组求出A的值．本题考查了数列递推关系、数列与三角函数的周期性，也考查了推理与计算能力，是中档题．17.【答案】解：（1）由√3asinB−bcosA=0及正弦定理得：√3sinAsinB−sinBcosA=0，因为sin B≠0，所以√3sinA=cosA，即tanA=√33．因为0＜A＜π，所以A=π6．……………………………………（6分）（2）因为a=2，所以4=c2+b2−√3bc≥2bc−√3bc，所以4(2+√3)≥bc，因为S△ABC=12bcsinA=14bc，所以当且仅当b=c=√6+√2时S△ABC最大，所以S△ABC最大值为2+√3．………………………（12分）【解析】（1）通过已知条件，结合正弦定理，转化求解A即可．（2）利用余弦定理以及基本不等式求出bc，说明面积的最大值即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．18.【答案】（1）证明：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，又AB⊥AD，AA1∩AD=A，所以BA⊥平面AA1D1D，MA1⊂平面AA1D1D，故BA⊥MA1．……………………（2分）因为AD=DM，所以∠AMD=45°，同理∠A1MD1=45°，所以AM⊥MA1，又AM∩BA=A，所以MA1⊥平面AMB，………………（4分）MA1⊂平面A1MB1，故平面AMB⊥平面A1MB1；………………（6分）（2）解：设AD=1，四棱锥M-ABB1A1的底面ABB1A1的面积为S ABB1A1=4，高为AD=1，所以四棱锥M-ABB1A1的体积V1=13S ABB1A1×AD=43，………………（8分）四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的面积为S ABCD =32，高为AA 1=2，所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V 2=S ABCD ×AA 1=3，………………（10分）即V 1V 2=49．………………………………（12分）【解析】（1）证明AA 1⊥AB ，AB ⊥AD ，推出BA ⊥平面AA 1D 1D ，得到BA ⊥MA 1．证明AM ⊥MA 1，即可证明MA 1⊥平面AMB ，说明平面AMB ⊥平面A 1MB 1．（2）设AD=1，求出四棱锥M-ABB 1A 1的体积，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积V 2=S ABCD ×AA 1=3，即可得到比值．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 19.【答案】解：（1）①依题意：10×0.8+10×0.9+10×0.9=26，所以自然成活的总棵数为26．②没有自然成活的树苗共4棵，其中两棵A 种树苗、一棵B 种树苗、一棵C 种树苗，分别设为a 1，a 2，b ，c ，从中随机抽取两棵，可能的情况有：（a 1，a 2），（a 1，b ），（a 1，c ），（a 2，b ），（a 2，c ），（b ，c ），抽到的两棵都是树苗A 的概率为16．（2）设该农户种植B 树苗n 棵，最终成活的棵数为0.9n +(1−0.9)n ×34×0.8=0.96n ，未能成活的棵数为n -0.96n =0.04n ，由题意知0.96n ×300-0.04n ×50≥200000，则有n ≥699.3．所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元．【解析】（1）①依题意：10×0.8+10×0.9+10×0.9=26，由此能求出自然成活的总棵数． ②没有自然成活的树苗共4棵，其中两棵A 种树苗、一棵B 种树苗、一棵C 种树苗，分别设为a 1，a 2，b ，c ，从中随机抽取两棵，利用列举法能求出抽到的两棵都是树苗A 的概率．（2）设该农户种植B 树苗n 棵，最终成活的棵数为，未能成活的棵数为n-0.96n=0.04n ，由题意知0.96n×300-0.04n×50≥200000，由此能求出该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元．本题考查自然成活动总棵数、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20.【答案】（1）解：由题意，设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，则c =√3，椭圆的另一个焦点为F 2(√3，0)，由椭圆定义得2a =|PF 1|+|PF 2|=72+12=4，则a =2， ∴b =√a 2−c 2=1， ∴C 的方程x 24+y 2=1；（2）证明：由已知得D （0，1），由{y =kx +mx 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2-4=0，当△＞0时，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+4k 2，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=m 2−4k 21+4k 2，由AD ⊥BD 得，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+（y 1-1）（y 2-1）=0，即5m 2−2m−31+4k 2=0，∴5m 2-2m -3=0，解得m =1或m =−35， ①当m =1时，直线l 经过点D ，舍去；②当m =−35时，显然有△＞0，直线l 经过定点(0，−35)．【解析】（1）由题意设椭圆，可得，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解a=2，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（2）由已知得D （0，1），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A ，B 横纵坐标的和与积，结合AD ⊥BD ，得=x 1x 2+（y 1-1）（y 2-1）=0，由此求解m 值，得到当时，有△＞0，直线l 经过定点．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域为x∈R；由题意，得f'（x）=a（1-cos x）．当a＞0时，x∈R，f'（x）≥0，所以f（x）在R上单调递增．当a＜0时，x∈R，f'（x）≤0，所以f（x）在R上单调递减．…………………（4分）（2）由题意得，当x=0时，f（0）+g（0）=a-1≥0，则有a≥1．下面证当a≥1时，对任意x≥0，都有f(x)+g(x)=e x(14x2+2x−1)+a(1−sinx)≥0．由于x∈R时，1-sin x≥0，当a≥1时，则有f(x)+g(x)≥e x(14x2+2x−1)+1−sinx．只需证明对任意x≥0，都有e x(14x2+2x−1)+1−sinx≥0．………………（6分）证明：由（1）可知f（x）=x-sin x在[0，+∞）上单调递增；所以当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，即x≥sin x，所以1-x≤1-sin x，则e x(14x2+2x−1)+1−sinx≥e x(14x2+2x−1)+1−x．……（7分）设F(x)=e x(14x2+2x−1)+1−x，x≥0，则F′(x)=e x(14x2+52x+1)−1．当x≥0时，e x≥1，14x2+52x+1≥1，所以F'（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增；当x≥0时，F（x）≥F（0）=0．所以对任意x≥0，都有e x(14x2+2x−1)+1−sinx≥0．所以，当a≥1时，对任意x≥0，都有f（x）+g（x）≥0．………………（12分）【解析】（1）f（x）的定义域为x∈R；由题意，得f'（x）=a（1-cosx）．对a分类讨论即可得出单调性．（2）由题意得，当x=0时，f（0）+g（0）=a-1≥0，有a≥1．下面证当a≥1时，对任意x≥0，都有．只需证明对任意x≥0，都有．由（1）可知f（x）=x-sinx在[0，+∞）上单调递增．当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，即x≥sinx，可得1-x≤1-sinx，．设，x≥0，利用导数已经其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）由曲线C的参数方程可得普通方程为（x-2）2+y2=3，即x2+y2-4x+1=0，……………………（2分）所以曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+1=0．……………………（5分）（2）由直线l 的参数方程可得直线的极坐标方程为θ=β（ρ∈R ），……………（6分）因为直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，所以设A （ρ1，β），B （ρ2，β），联立{θ=βρ2−4ρcosθ+1=0可得ρ2-4ρcosβ+1=0，…………………（7分）因为△=16cos 2β-4＞0，即cos 2β＞14，…………………（8分）所以|OA |-|OB |=|ρ1-ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√16cos 2β−4=2，解得cosβ=±√22，所以β=π4或3π4．…………………（10分）【解析】（1）先消去α得普通方程，再通过互化公式化成极坐标方程；（2）利用直线l 和曲线C 的极坐标方程联立，根据极径的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）原不等式f （x ）+f （x +1）≥4等价于|2x -1|+|2x +1|≥4，等价于{x ＜−12−4x ≥4 或{−12≤x ≤122≥4或{x ＞124x ≥4，解得x ≤-1或x ≥1，所以原不等式的解集是（-∞，-1]∪[1，+∞）．（2）当x ≠0，x ∈R 时，f （-x ）+f （1x ）=|-2x -1|+|2x −1|，因为|-2x -1|+|2x −1|≥|-2x -1-（2x -1）|=|2x +2x |=2|x |+2|x|≥4，当且仅当{(2x +1)(2x −1)≥02|x|=2|x|即x =±1时等号成立，所以f(−x)+f(1x )≥4．【解析】（1）讨论x 的范围，去掉绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值不等式和基本不等式即可证明．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．。

普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(4)(文科数学含答案详解)PDF.pdf

地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有
4．已知变量 x ， y 之间满足线性相关关系 yˆ =1.3x −1，且 x ， y 之间的相关数据如下表
（） A． 58
1
B． 59
C． 60
D． 61
【答案】C 【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是 1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60．故选 C． 8．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
= 15a1 3a1
= 5 ，选
C．
7．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四
日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女
儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿
从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当
y = b ，即有 M (a，b) ，又 A(−a，0) ， MAB = 30 ，则直线 AM 的斜率 k = 3 ，又
3
( ) k = b ，则 3b2 = 4a2 = 3 c2 − a2 ，即有 3c2 = 7a2 ，则离心率 e = c = 21 ，故选 B．
2a
a3
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13 ． △ABC 内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 2c cos B = 2a + b ，则 C = _________．【答案】120 【解析】∵ 2c cos B = 2a + b ，∴ 2c a2 + c2 − b2 = 2a + b ，即 a2 + b2 − c2 = −ab ，

2019年人教版高考数学仿真模拟文科试卷(四)(含答案)

2019年高考数学仿真模拟卷四文科数学（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|1}B x x =>，则A B =（）A. {}B. {}1,1-C. {}2,2-D. {}2,1,1,2--2. 已知2iz =，且z 的共轭复数为z ，则z z +=（） A. 2-B. 1-C. i -D. 2i -3. 某校高三年级共有1200名学生，且各班学生的整体水平基本一样。

下图是该校高三年级的某个班级在一次月考中，全部学生的数学分数在各个分数段的人数的统计图。

则下列说法中一定正确的是（）。

A. 该班级在这次月考中，及格（分数大于等于90分）的人数为48人B. 该校高三年级在这次月考中，有720人的数学分数不低于115分C. 该班级这次月考中，数学分数的中位数在[115，125）内D. 该校高三年级在这次月考中，数学分数的中位数在[115，125）内4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，312S =，则6a =（） A. 8 B. 10 C. 12 D. 145. 已知函数()()2sin 210,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，若()()()1212=1f x f x x x =≠，且12x x -的最小值为2π，312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A. 15,212πωϕ==B.1,212πωϕ==-C.1,6πωϕ==-D. 1,3πωϕ==6. 已知圆C ：()2224x y -+=与直线:10l kx y k --+=交于A ，B 两点，则AB 的取值范围是（）A. (0,22B. (]0,4C. 2,4⎡⎤⎣⎦D. 22,4⎡⎤⎣⎦7. 执行如图所示的程序框图，若输入的1x =时，则输出的y =（）A. 2018B. 2019C. 2020D. 20218. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,AA CC 的中点，给出下列命题：①BN 平面1MND ；②平面MNA ⊥平面ABN ；③平面1MND 截该正方体所得截面的面积为。

2019届高三文科数学高考模拟卷4含答案

【命题说明】命题者是在认真研究近几年新课标全国卷高考试题，命题时严格按照全国Ⅰ卷格式编排，以最新发布的2018年全国卷《考试说明》为依据，内容确保不超纲。

调研卷体现高考“前瞻性”和“预测性”。

试卷力争做到形、神与新课标全国卷风格一致，让学生和教师有“高考卷”的感觉。

试卷中知识点分布、试卷的总字数（包括各科选择题的题干字数、大题材料的长度、信息的有效性）、选项文字的长度、答案的规范、难易度的梯度等，都要符合高考试卷特点。

2019届高三文科数学高考模拟卷4一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{|lg(2)0}A x x =-≤，={|13}B x x -≤≤，则A B ⋂= （）A ．[1,3]-B ．[1,2]-C ．(2,3]D ．(1,2]【答案】C【解析】：由lg(2)0x -≤解得：021x <-≤，所以{|23}A x x =<≤，所以{|23}A B x x ⋂=<≤。

故选项C 正确。

2.已知向量(1,3),(3,1),a b m =-= 若a b ⊥ ，则||b =（）A ．﹣1B ．1CD 【答案】C【解析】：因为a b ⊥ ，所以330,1m m -=∴=，所以||b ==C 正确。

3.复数Z 满足(1)|1i Z -=，则Z = （）A ．1+iB ．1i -C ．1i --D ．1+i -【答案】B【解析】根据已知得：(1)2i Z -=，所以22(1)11(1)(1)i Z i i i i +===+--+，所以1Z i =-，故选项B 正确。

4. “春晚歌舞是抢红包背景乐”成了春晚被转发频次最高的“段子”之一。

抢红包涉及平台有支付宝、微信、QQ 、微博四个；如果夫妻两人参与其中一个抢红包活动，每人参与等可能的，则夫妻二人参与同一个平台的概率是（）。

【答案】B故选项B 正确。

2019届全国高考仿真模拟(四)数学(文科)试卷

2019届全国高考仿真模拟（四）文科数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|30}A x x x =->，{|2}B x x =<，则AB =（）A ．(2,0)-B ．(2,3)-C ．(0,2)D ．(2,3)2.（2019·海口市调研）已知复数12z i =-，22z a i =+（i 为虚数单位，a R ∈），若12z z R ∈，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-3.（2018·桂林市模拟）若向量a ，b 满足：1a =，()a b a +⊥，(3)a b b +⊥，则b =（）A ．3B ．1 D ．34.（2019·福建省质检）在ABC ∆中，3B π=，2AB =，D 为AB 的中点，BCD ∆的面积为4AC 等于（）A ．2B 5.已知,{1,2,3,4,5,6}x y ∈，且7x y +=，则2xy ≥的概率为（） A ．13 B ．23 C ．12 D ．566.（2019·昆明市统考）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（单位：cm ），图中粗线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：3cm ）为（）A ．24024π-B ．24012π-C ．2408π-D ．2404π- 7.（2018·长春市三模）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（）A ．6n =B ．6n <C ．6n ≤D ．8n ≤8.（2019·郑州一预）函数()cos xf x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（）A ．0B ．1-C ．1D ．29.（2017·海口市调研）若x ，y 满足30300x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为12-，则k 的值为（） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14- 10.（2017·桂林市模拟）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F交抛物线于A ，B 两点.若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(11,0)M ，则p =（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．1211.（2017·河南九校联考）四面体的一条棱长为c ，其余棱长为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（） A ．272π B ．92π C ．152πD ．15π 12.设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为（）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B． C ．1,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D．2e ⎛ ⎝ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.（2017·长春三模）函数1sin 0,22y x x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是．14.（2017·潍坊一中模拟）已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，ABC ∆的顶点B 在椭圆上，顶点A ，C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e ，则sin sin 1sin A C B e+=，现将该命题类比到双曲线中，ABC ∆的顶点B 在双曲线上，顶点A 、C分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>.双曲线的离心率为e ，则有．15.在一幢10m 高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60，塔基的俯角为30，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为 m ．16.设函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，(3)0f =，且()(1)g x f x =+为偶函数，则不等式(22)0g x -<的解集为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 满足1511a =，143(2)n n a a n -=-≥.（1）求证：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log (1)n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（2017·合肥市质检）四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，222AD AE BC AB ====，AB AD ⊥，平面EAD ⊥平面ABCD ，点F 为DE 的中点.（1）求证：//CF 平面EAB ；（2）若CF AD ⊥，求四棱锥E ABCD -的体积.19.有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由550名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：（1）为了调查大众评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表.（2）在（1）中，若A ，C 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.20.（2017·昆明市统考）已知动圆E 经过定点(1,0)D ，且与直线1x =-相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设过点(1,2)P 的直线1l ，2l 分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线1l ，2l 的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值.21.（2017·贵州省适应性考试）设*n N ∈，函数ln ()n x f x x =，函数()(0)xn e g x x x=>.（1）当1n =时，求函数()y f x =的零点个数；（2）若函数()y f x =与函数()y g x =的图象分别位于直线1y =的两侧，求n 的取值集合A ；（3）对于n A ∀∈，12,(0,)x x ∀∈+∞，求12()()f x g x -的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 42sin x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）若直线l 的斜率为2，判断直线l 与曲线1C 的位置关系；（2）求1C 与2C 交点的极坐标（0ρ≥，02θπ≤<）. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1g x x a x =+++. （1）求实数a 的值；（2）求函数()g x 的最小值.普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（四）文科数学一、选择题1-5: ACBBB 6-10: BCCDC 11、12：DB 二、填空题13. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.sin sin 1sin A C B e -= 15. 40 16. (0,2) 三、解答题17.解析：（1）证明：由11344n n a a -=-知111(1)4n n a a -+=+，所以数列{1}n a +是以512为首项，14为公比的等比数列.则11212n n a -+=，11221n n a -=-. （2）112n b n =-，设数列{112}n -前n 项和为n T ，则210n T n n =-，当5n ≤时，210n n S T n n ==-；当6n ≥时，2521050n n S S T n n =-=-+；所以2210,51050,6n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩.18.解析：（1）证明：如图，取AE 的中点G ，连接GF ，GB . ∵点F 为DE 的中点， ∴//GF AD ，且12GF AD =，又//AD BC ，2AD BC =， ∴//GF BC ，且GF BC =， ∴四边形CFGB 为平行四边形，则//CF BG ，而CF ⊄平面EAB ，BG ⊂平面EAB ， ∴//CF 平面EAB .（2）∵CF AD ⊥，∴AD BG ⊥，而AB AD ⊥， ∴AD ⊥平面EAB ， ∴AD EA ⊥，又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，∴EA ⊥平面ABCD ， ∴113E ABCD ABCDV S EA -=⋅=梯形. 19.解析：（1）（2）A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为3. C 组抽取的12人中有2人支持1号歌手，则从12人中任选2人，支持1号歌手的概率为21126=. 现从抽样评委A 组3人，C 组12人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率211369p =⨯=.∴从，两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为19. 20.解析：（1）由已知，动点E 到定点(1,0)D 的距离等于E 到直线1x =-的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以(1,0)D 为焦点，以1x =-为准线的抛物线，故曲线C 的方程为24y x =.（2）由题意可知直线1l ，2l 的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线1l 的方程为(1)2y k x =-+，0k ≠. 直线2l 的方程为(1)2y k x =--+，由2(1)24y k x y x=-+⎧⎨=⎩得2222(244)(2)0k x k k x k --++-=，已知此方程一个根为1，∴22122(2)441k k k x k k --+⨯==，即21244k k x k -+=，同理22222()4()444()k k k k x k k ---+++==-， ∴212228k x x k ++=，12288k x x k k ---==， ∴1212[(1)2][(1)2]y y k x k x -=-+---+2122288()22k k x x k k k k k+=+-=⋅-=，∴1212818ABy yk k x x k-===---，所以，直线AB 的斜率为定值1-. 21.解析：（1）当1n =时，ln ()x f x x =，21ln '()(0)xf x x x-=>. 由'()0f x >得0x e <<；由'()0f x <得x e >.所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，因为1()0f e e=>，10f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在(0,)e 上存在一个零点；当(,)x e ∈+∞时，ln ()0xf x x=>恒成立，所以函数()f x 在(,)e +∞上不存在零点.综上得函数()f x 在(0,)+∞上存在唯一一个零点. （2）由函数ln ()n x f x x =求导，得11ln '()(0)n n xf x x x+-=>，由'()0f x >，得10nx e <<；由'()0f x <，得1nx e >，所以函数()f x 在1(0,)n e 上单调递增，在1(,)ne +∞上单调递减，则当1nx e =时，函数()f x 有最大值1max 1()()nf x f e ne==；由函数()(0)x n e g x x x =>求导，得1()'()(0)xn x n e g x x x+-=>，由'()0g x >得x n >；由'()0f x <得0x n <<.所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，则当x n =时，函数()g x 有最小值min()()ne g x g n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭；因为*n N ∀∈，函数()f x 的最大值11()1nf e ne=<，即函数ln ()nxf x x =在直线1y =的下方，故函数()(0)xn e g x x x=>在直线l ：1y =的上方，所以min()()1ne g x g n n ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，解得n e <.所以n 的取值集合为{1,2}A =.（3）对12,(0,)x x ∀∈+∞，12()()f x g x -的最小值等价于min max 1()()ne g xf x n ne⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当1n =时，min max 1()()g x f x e e-=-；当2n =时，2min max1()()42e g x f x e-=-；因为2211(4)20424ee e e e e e ⎛⎫--⎛⎫---=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12()()f x g x -的最小值为2312424e e e e--=. 22.解析：（1）斜率为2时，直线l 的普通方程为12(1)y x -=+，即23y x =+. ①将22cos 42sin x ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程得22(2)(4)4x y -+-=，②则曲线1C 是以1(2,4)C 为圆心，2为半径的圆，圆心1(2,4)C 到直线l 的距离2d ==<，故直线l 与曲线（圆）1C 相交.（2）2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，由22224816040x y x y x y x ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以1C 与2C 的交点的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭. 23.解析：（1）∵()(1)11a a f x ax a x a x x =+=+-+--，1x >，0a >， ∴()3f x a ≥，即有315a =，解得5a =.（2）由于51(5)(1)4x x x x +++≥+-+=，当且仅当51x -≤≤-时等号成立，∴()51g x x x =+++的最小值为4.。

2019年黑龙江省哈尔滨高考数学四模试卷(文科)(解析版)

2019年黑龙江省高考数学四模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，M={x|y=ln（1﹣x）}，N={x|x（x﹣2）＜0}，则（∁U M）∩N=（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0＜x≤1}2．复数﹣=（）A．0 B．2 C．﹣2i D．2i3．根据如图所示的程序语句，若输入的x值为3，则输出的y值为（）A．2 B．3 C．6 D．274．观察下列各式：m+n=1，m2+n2=3，m3+n3=4，m4+n4=7，m5+n5=11，…，则m9+n9=（）A．29 B．47 C．76 D．1235．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．87．某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）A．B．9+3 C．18 D．12+38．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣ C．3+2 D．3﹣29．已知函数y=f（x）在R上为偶函数，当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（t）＞f（2﹣t），则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）10．已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）A ．B ．C ．D ．11．函数y=，x ∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）A ．B ．C ．D ．12．在▱ABCD 中， •=0，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD ，2||2+||2=4，则三棱锥A ﹣BCD 的外接球的半径为（）A ．1B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x ，y 满足不等式，则z=2x ﹣y 的最大值为______．14．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于______．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），则该问题中圆周率π的取值为______．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2，∠C=，且sinC+sin（B﹣A）﹣2sin2A=0，下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．①b=2a；②△ABC的周长为2+2；③△ABC的面积为；④△ABC的外接圆半径为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=（n∈N+）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•3an（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．18．调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如表：（Ⅰ）画出年推销金额y关于工作年限x的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；（Ⅱ）利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额．附：=，=﹣．19．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=2，P为A1B1中点．（Ⅰ）求证：CP⊥平面AD1P；（Ⅱ）求点P到平面ACD1的距离．20．平面直角坐标系xOy中，椭圆C1： +y2=1（a＞1）的长轴长：y2=2px（p＞0）的焦点F是椭圆C1的右焦点．为2，抛物线C（Ⅰ）求椭圆C1与抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点F作直线l交抛物线C2于A，B两点，射线OA，OB与的交点分别为C，D，若•=2•，求直线l的方程．椭圆C21．已知函数f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，其中AB=AC，∠ABD=∠CBD，AC与BD交于点F，直线BC与AD交于点E．（Ⅰ）证明：AC=CE；（Ⅱ）若DF=2，BF=4，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，将曲线C1：（α为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C2上任意一点，点Q是曲线C3上任意一点，求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b为实数．（Ⅰ）若a＞0，b＞0，求证：（a+b+）（a2++）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，M={x|y=ln（1﹣x）}，N={x|x（x﹣2）＜0}，则（∁U M）∩N=（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0＜x≤1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出关于集合M、N的不等式，得到M的补集，从而求出（∁U M）∩N即可．【解答】解：M={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，N={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，∁U M={x|x≥1}，∴（∁U M）∩N={x|1≤x＜2}，故选：B．2．复数﹣=（）A．0 B．2 C．﹣2i D．2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：﹣=﹣=+=2i，故选：D．3．根据如图所示的程序语句，若输入的x值为3，则输出的y值为（）A．2 B．3 C．6 D．27【考点】伪代码．【分析】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，由x=3，满足条件1≤x＜4，从而计算可得y的值．【解答】解：根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，由于：x=3，满足条件1≤x＜4，可得：y=3﹣1=2．故选：A．4．观察下列各式：m+n=1，m2+n2=3，m3+n3=4，m4+n4=7，m5+n5=11，…，则m9+n9=（）A．29 B．47 C．76 D．123【考点】归纳推理．【分析】由题意可得到可以发现从第三项开始，右边的数字等于前两项的右边的数字之和，问题得以解决．【解答】解：∵1+3=4，3+4=7，4+7=11，7+11=18，11+18=29，18+29=47，29+47=76…∴可以发现从第三项开始，右边的数字等于前两项的右边的数字之和，∴m9+n9=76，故选：C．5．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据四种命题之间的关系，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断真假．【解答】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；综上，以上3个命题中真命题的个数是2．故选：C6．在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用已知条件求解即可．【解答】解：在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=cosB=|BC|2=8．故选：D．7．某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）A．B．9+3 C．18 D．12+3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是直四棱柱，由梯形、矩形的面积公式求出各个面的面积求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是直四棱柱，其中底面是等腰梯形，上底、下底分别是1、2，高是1，则梯形的腰是=，侧棱与底面垂直，侧棱长是3，∴该几何体的表面积S=+=12+3，故选：D．8．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣ C．3+2 D．3﹣2【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选C9．已知函数y=f（x）在R上为偶函数，当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（t）＞f（2﹣t），则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用f（x）的奇偶性及在x≥0上的单调性，由f（x）的性质可把f（t）＞f（2﹣t），转化为具体不等式，解出即可．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=log3（x+1），∴函数在x≥0上为增函数，∵函数y=f（x）在R上为偶函数，f（t）＞f（2﹣t），∴|t|＞|2﹣t|，∴t＞1，∴实数t的取值范围是（1，+∞）．故选：B．10．已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，可得m=3n，从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率．【解答】解：双曲线mx2﹣ny2=1化为标准方程为：∵双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，∴∴m=3n椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为：∴椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方为=∴椭圆mx2+ny2=1的离心率为故选C．11．函数y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】解：∵是偶函数，排除A，当x=2时，，排除C，当时，，排除B、C，故选D．12．在▱ABCD中，•=0，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，2||2+||2=4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的半径为（）A．1 B．C．D．【考点】球内接多面体．【分析】由已知中•=0，可得AB⊥BD，沿BD折起后，由平面ABD⊥平面BDC，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，进而根据2||2+||2=4，求出三棱锥A﹣BCD的外接球的半径．【解答】解：平行四边形ABCD中，∵•=0，∴AB⊥BD，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，∵平面ABD⊥平面BDC三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，∴AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4∴外接球的半径为1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足不等式，则z=2x﹣y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，通过平移直线结合图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，显然直线过（2，0）时，z最大，z的最大值是4，故答案为：4．14．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先判断出此题是古典概型；利用排列、组合求出随机取出2个球的方法数及取出的2个球颜色不同的方法数；利用古典概型概率公式求出值．【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型从中随机取出2个球，所有的取法共有C52=10所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C31•C21=6由古典概型概率公式知P=故答案为15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），则该问题中圆周率π的取值为3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），求出V，再建立方程组，即可求出圆周率π的取值．【解答】解：由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，∵圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），∴V=×=，∴∴π=3，R=，故答案为：3．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2，∠C=，且sinC+sin（B﹣A）﹣2sin2A=0，下列命题正确的是②③④（写出所有正确命题的编号）．①b=2a；②△ABC的周长为2+2；③△ABC的面积为；④△ABC的外接圆半径为．【考点】正弦定理．【分析】根据内角和定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简已知的式子，由化简的结果进行分类讨论，由内角的范围、余弦定理分别解三角形，根据结果分别判断①、②；利用三角形的面积公式求出△ABC的面积判断③；根据正弦定理判断④．【解答】解：由C=π﹣A﹣B的，sinC=sin（A+B），∵sinC+sin（B﹣A）﹣2sin2A=0，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）﹣2sin2A=0，化简得，sinBcosA﹣2sinAcosA=0，则cosA（sinB﹣2sinA）=0，∴cosA=0或sinB﹣2sinA=0，（1）当cosA=0，A=时，由∠C=得B=，∵c=2，∴b=ctanB=，则a=；（2）当sinB﹣2sinA=0时，由正弦定理得，b=2a，∵c=2，∠C=，∴由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，则，解得a=，则b=，此时满足b2=a2+c2，即B=，对于①，当A=时，a=2b，故①错误；对于②，当A=或B=时，△ABC的周长为：a+b+c=2+2，故②正确；对于③，当B=时，△ABC的面积S===，当A=时，=，成立，故③正确；对于④，当A=或B=时，由正弦定理得2R==，得R=，故④正确，综上可得，命题正确的是②③④，故答案为：②③④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=（n∈N+）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•3an（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的数列{a n}的通项公式代入b n=a n•3an，求出数列{b n}的通项公式，再利用错位相减法求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，S n﹣1=，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=n；当n=1时，a1=S1=1，符合上式．综上，a n=n．（Ⅱ）b n=a n•3a=n•3n（n∈N+），则数列{b n}的前n项和T n，T n=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，3T n=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1，﹣2T n=﹣n•3n+1，∴T n=+（﹣）•3n+1，数列{b n}的前n项和T n，T n=+（﹣）•3n+1．18．调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如表：（Ⅰ）画出年推销金额y关于工作年限x的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；（Ⅱ）利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额．附：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据表中数据，画出散点图，利用散点图估计月推销金额y与工作时间x有线性相关关系；（Ⅱ）利用公式求出线性回归方程即可；（Ⅲ）根据线性回归方程计算x=10时y的值，即可得到预报值．【解答】解：（Ⅰ）年推销金额y关于工作年限x的散点图：从散点图可以看出，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，工作年限与年推销金额之间成正相关，即工作年限越多，年推销金额越大．（Ⅱ）=5，=5，b==，a=5﹣=，∴年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程为y=x+．（Ⅲ）当x=10时，y=×10+=，∴预测工作年限是10年的推销员的年推销金额为万元．19．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=2，P为A1B1中点．（Ⅰ）求证：CP⊥平面AD1P；（Ⅱ）求点P到平面ACD1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理，证明CP⊥AP，CP⊥D1P，即可证明CP⊥平面AD1P；（Ⅱ）利用等体积求点P到平面ACD1的距离．【解答】证明：（Ⅰ）Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC=，C=，AP=同理DA1P中，D1P=，同理，Rt△DP，Rt△CCP中，CC1=1，C1P=D1P=，连接C∴CP=，∴CP2+AP2=AC2，CP2+D1P2=D1C2，即CP⊥AP，CP⊥D1P，又AP∩D1P=P，∴CP⊥平面AD1P．中，AC=D1C=，AD1=，解：（Ⅱ）△ACD∴==．P中，AD1=AP=D1P=，△AD∴=，设点P到平面ACD1的距离为h，由等体积，得，∴h=1，即点P到平面ACD1的距离为1．20．平面直角坐标系xOy中，椭圆C1： +y2=1（a＞1）的长轴长为2，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F是椭圆C1的右焦点．（Ⅰ）求椭圆C1与抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点F作直线l交抛物线C2于A，B两点，射线OA，OB与的交点分别为C，D，若•=2•，求直线l的方程．椭圆C【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知可得：2a=2，b=1，c=，解出即可得出椭圆C1的方程．利用=c，解得p，即可得出抛物线C2的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+1，A，B，C（x3，y3），D（x4，y4）．直线方程与抛物线方程联立可得：y2﹣my﹣4=0，利用斜率计算公式可得k OA，进而定点直线OA的方程，与椭圆方程联立可得=2，进而得到，，利用向量数量积运算性质可得：，，利用•=2•，及其根与系数的关系解出m，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：2a=2，b=1，c=，解得a=，b=c=1．∴椭圆C1的方程为：=1．又F（1，0），∴=1，解得p=2．∴抛物线C2的方程为y2=4x．（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+1，A，B，C（x3，y3），D（x4，y4）．联立，化为：y2﹣my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．△=16m2+16＞0，∴k OA==，∴直线OA的方程为：x=y，∴，得=2，=，同理=，∴=×+y1y2=﹣3，=xx4+y3y4=+y3y4=y3y4，y4=﹣，∵•=2•，∴y∴=•===，∴m2=，∴m=，∴直线l的方程为：x=±y+1．21．已知函数f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx++1，设g（x）=f′（x），g′（x）=，令g′（x）＞0，得x＞1，g′（x）＜0，得0＜x＜1，∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，g（x）min=g（1）=2，∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间．（Ⅱ）设h（x）=（x+1）lnx﹣ax+a，由（Ⅰ）知：h′（x）=lnx++1﹣a=g（x）﹣a，g（x）在（1，+∞）递增，∴g（x）≥g（1）=2，（1）当a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）递增，∴h（x）≥h（1）=0，满足题意．（2）当a＞2时，设ω（x）=h′（x），ω′（x）=，当x≥1时，ω′（x）≥0，∴ω（x）在[1，+∞）递增，ω（1）=2﹣a＜0，ω（e a）=1+e﹣a＞0，∴∃x0∈（1，e a），使ω（x0）=0，∵ω（x）在[1，+∞）递增，∴x∈（1，x0），ω（x）＜0，即h′（x）＜0，∴当x∈（1，x0时，h（x）＜h（1）=0，不满足题意．综上，a的取值范围为（﹣∞，2]．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，其中AB=AC，∠ABD=∠CBD，AC与BD交于点F，直线BC与AD交于点E．（Ⅰ）证明：AC=CE；（Ⅱ）若DF=2，BF=4，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）利用等腰三角形的性质，证明∠CAE=∠E，即可证明：AC=CE；（Ⅱ）证明△ADF∽△BDA，即可求AD的长．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABC=2∠DBC，∴∠ACB=∠DBC，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=2∠DBC，∵∠ADB=∠DBC+∠E，∴∠DBC=∠E，∵∠DBC=∠CAE，∴∠CAE=∠E，∴AC=CE．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ABD=∠DBC=∠CAD，∠ADF=∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴=，∴AD2=DF•BD=12，∴AD=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，将曲线C1：（α为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C2上任意一点，点Q是曲线C3上任意一点，求|PQ|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）设曲线C2上的任意一点（x，y），则在曲线C1：（α为参数）上，代入即可得出曲线C2的参数方程，消去参数可得普通方程．同理可得：将曲线C3的参数方向与普通方程．利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出曲线C3的极坐标方程．（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），C（0，1），利用两点之间的距离公式可得：|PC|2=+，再利用二次函数与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设曲线C2上的任意一点（x，y），则在曲线C1：（α为参数）上，∴，即为曲线C2的参数方程，可得普通方程：=1．同理可得：将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3：，化为普通方程：x2+（y﹣1）2=1．可得曲线C3的极坐标方程为：ρ2﹣2ρsinθ=0，化为ρ=2sinθ．（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），C（0，1），则|PC|2=（2cosθ）2+（sinθ﹣1）2=4cos2θ+sin2θ﹣2sinθ+1=+，∴当sin时，=．∴PQ的最大值为+1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b为实数．（Ⅰ）若a＞0，b＞0，求证：（a+b+）（a2++）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|．第31页（共31页）【考点】不等式的证明．【分析】（I ）使用基本不等式证明；（II ）使用分析法证明．【解答】证明：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，∴a +b +≥3，≥3． ∴（a +b +）（a 2++）≥3•3=9．（Ⅱ）欲证|1﹣ab |＞|a ﹣b |，只需证：（1﹣ab ）2＞（a ﹣b ）2，即1+a 2b 2﹣a 2﹣b 2＞0．只需证：（a 2﹣1）（b 2﹣1）＞0．∵|a |＜1，|b |＜1，显然上式成立．∴|1﹣ab |＞|a ﹣b |．。

2019年高考数学文科(课标版)仿真模拟卷(四)(含新题附答案)

A.[ -2,5]
B.[ - 2,3)
C.[ -3,5)
D.[ -3,5]
9.在直角坐标系 xOy 中,设 F 为双曲线 C: 角形 ,则双曲线 C 的离心率为 ( )
= 1(a> 0,b> 0)的右焦点 ,P 为双曲线 C 的右支上一点 ,且 △OPF 为正三
A. C.1+
B. D.2 +
10.将函数 y= 2sin x+ ()
7.如图 ,网格纸上正方形小格的边长为
()
则 z=x+ 3y 的取值范围是 ( )
C.[7,8]
D.[7, + ∞)
1,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图
,则该三棱锥的外接球的表面积为
A. π 8.
B. π
C.3π
D. π
执行右画的程序框图 ,如果输入的 x∈[ -1,4], 则输出的 y 属于 ( )
A.2
B.3
C.- 2
D. -3
4.条件 p:|x+ 1|> 2,条件 q:x≥ 2,则 p 是 q 的 ( )
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理 ,创制了一副 “弦图 ”,后人称其为 “赵爽弦图 ”(如图一 ),图二是在 “赵爽弦图 ”
2019 高考仿真卷 ·文科数学 (四)
(考试时间 :120 分钟试卷满分 :150 分 ) 一、选择题 (本题共 12 个小题 ,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )
1.已知集合 M=
,N= { x|x≥ 1,x∈ R}, 则下列结论正确的是 ( )

2019年高考数学模拟试题(4)文(含解析)

2019高考数学模拟试卷（文科）（4）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数m满足=1﹣i（i为虚数单位），则m=（）A．B．﹣ C．﹣2 D．22．已知A={1，2，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A．{1，2} B．[1，2] C．{0，1，2，4} D．[0，4]3．某种饮料每箱装6瓶，库存23箱未开封的饮料，现欲对这种饮料进行质量检测，工作人员需从中随机取出10瓶，若采用系统抽样法，则要剔除的饮料瓶数是（）A．2 B．8 C．6 D．44．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，e x＞1，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（¬q）是假命题D．命题p∨（¬q）是真命题5．已知双曲线 C：﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．3 B．C．D．26．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若=24， =18，则S5=（）A．18 B．36 C．50 D．727．运行如图所示的程序框图，当输入x的值为5时，输出y的值恰好是，则处的关系式可以是（）A．y=x3B．y=x C．y=5﹣x D．y=5x8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列命题中的真命题是（）①将函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数的图象关于原点对称；②将函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数的图象关于原点对称；③当x∈[，π]时，函数f（x）的最大值为；④当x∈[，π]时，函数f（x）的最大值为．A．①③ B．①④ C．②④ D．②③9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．已知x，y满足约束条件若目标函数z=3x+y的最大值是﹣3，则实数a=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．11．半径为R的球O中有两个半径分别为2与2的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R，则球O表面积为（）A．64π B．100πC．36π D．24π12．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3） B．（，3） C．（2，3）D．（1，3）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，则这个等腰直角三角形的面积为．14．已知函数f（x）=，则不等式f（2）≥f（lgx）的解集为．15．已知D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为．16．在△ABC中，点D在线段AC上，AD=2DC，BD=，且tan∠ABC=2，AB=2，则△BCD 的面积为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n+a n=n2+2n+2，n∈N*，数列{b n}满足b n=a n﹣n（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求log3b3+log3b5+…+log3b2n+1．18．某科考试题中有甲、乙两道不同类型的选做题，且每道题满分为10分，每位考生需从中任选一题作答．（1）A同学将自己在该考试中历次的选题及得分情况统计如下：选甲题8次，得分分别为：6，10，10，6，6，10，6，10选乙题10次，得分分别为：5，10，9，8，9，8，10，8，5，8某次考试中，A同学的剩余时间仅够阅读并解答出甲、乙两题中的某一道题，他应该选择甲题还是乙题？（2）某次考试中，某班40名同学中选择甲、乙两题的人数相等，在16名该选做题获得满分的同学中有10人选的是甲题，则在犯错误概率不超过1%的情况下，判断该选做题得满分是否与选题有关？参考公式：K2=参考数据：19．如图（1）在平面六边形ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF=，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求三棱锥E﹣BCF的体积．20．已知中心在坐标系原点，焦点在y轴上的椭圆离心率为，直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）过下焦点的直线l交椭圆于A，B两点，点P为椭圆的上顶点，求△PAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，是否存在实数a，使得=g′（a）成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C1的参数方程是（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1．（其中α为常数，α∈（0，π），且α≠），点A，B（A在x轴下方）是曲线C1与C2的两个不同的交点．（1）求曲线C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）求|AB|的最大值及此时点B的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，a+b=2．（1）求+的最小值；（2）求证：≤1．2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（文科）（4）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数m满足=1﹣i（i为虚数单位），则m=（）A．B．﹣ C．﹣2 D．2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：实数m满足=1﹣i（i为虚数单位），∴m+i====2+i，可得m=2．故选：D．2．已知A={1，2，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A．{1，2} B．[1，2] C．{0，1，2，4} D．[0，4]【考点】1D：并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵A={1，2，4}，B={y|y=log2x，x∈A}={0，1，2}，∴A∪B={0，1，2，4}．故选：C．3．某种饮料每箱装6瓶，库存23箱未开封的饮料，现欲对这种饮料进行质量检测，工作人员需从中随机取出10瓶，若采用系统抽样法，则要剔除的饮料瓶数是（）A．2 B．8 C．6 D．4【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样法利用样本容量求间隔，得到余数即为所求．【解答】解：由题意知：23×6=138，138÷10=13余8，所以应先从138瓶中随机剔除8瓶．故选：B．4．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，e x＞1，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（¬q）是假命题D．命题p∨（¬q）是真命题【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用函数的性质先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：对于命题p：例如当x=10时，8＞1成立，故命题p是真命题；对于命题q：∀x∈R，e x＞1，当x=0时命题不成立，故命题q是假命题；∴命题p∨￢q是真命题．故选：D．5．已知双曲线 C：﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．3 B．C．D．2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设出一个虚轴端点为B（0，b）以及双曲线的一条渐近线，根据点到直线的距离公式，建立方程关系，进行求解即可．【解答】解：设双曲线的一个虚轴端点为B（0，b），双曲线的一条渐近线为y=x，即bx﹣ay=0，则点B到bx﹣ay=0的距离d===，即c=2a，∴双曲线C的离心率为e==2，故选：D6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若=24， =18，则S5=（）A．18 B．36 C．50 D．72【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S5．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n， =24， =18，∴，解得a1=2，d=4，∴S5=5×2+=50．故选：C．7．运行如图所示的程序框图，当输入x的值为5时，输出y的值恰好是，则处的关系式可以是（）A．y=x3B．y=x C．y=5﹣x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【分析】由题意，执行程序框图，写出得到的x的值，然后逐一检验4个选项的关系式即可．【解答】解：由题意，执行程序框图，有x=5不满足条件x≤0，有x=x﹣2=3不满足条件x≤0，有x=x﹣2=1不满足条件x≤0，有x=x﹣2=﹣1满足条件x≤0，此时经相应关系式计算得y=，检验4个选项，有A，y=（﹣1）3=﹣1≠，不正确．B，y=（﹣1）=﹣1≠，不正确．C，y=5﹣（﹣1）=5≠，不正确．D，y=5﹣1=，正确．故选：D．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列命题中的真命题是（）①将函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数的图象关于原点对称；②将函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数的图象关于原点对称；③当x∈[，π]时，函数f（x）的最大值为；④当x∈[，π]时，函数f（x）的最大值为．A．①③ B．①④ C．②④ D．②③【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据已知函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，0）代入解析式，可求出φ值，进而求出函数的解析式．利用三角函数图象变换及正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．【解答】解：由函数图象可得：A=，周期T=﹣（﹣），可得：T=，可得：ω=2，由点（，）在函数的图象上，可得： sin（2×+φ）=，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，由于|φ|＜，当k=0时，可得φ=﹣，从而得解析式可为：f（x）=sin（2x﹣），对于①，将函数f（x）的图象向左平移个单位，可得：f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），将（0，0）代入不成立，故错误；对于②，将函数f（x）的图象向左平移个单位，可得：f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin2x，由正弦函数的性质可知正确；当x∈[，π]时，可得：2x﹣∈[，]，故函数f（x）的最大值为f（x）max=sin=，故C错误，D正确．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】首先由已知三视图还原几何体，然后根据图中数据计算体积．【解答】解：由已知得到几何体是如图所示的三棱锥：所以几何体的体积为=；故选：A．10．已知x，y满足约束条件若目标函数z=3x+y的最大值是﹣3，则实数a=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出a的值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（，），结合图象得目标函数z=3x+y过A点时取得最大值﹣3，故+=﹣3，解得：a=﹣1，故选：B．11．半径为R的球O中有两个半径分别为2与2的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R，则球O表面积为（）A．64π B．100πC．36π D．24π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是OO1=O2E=，AB=2AE=2=R即可．【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是OO1=O2E=，AB=2AE=2=R∴R=4．则球O表面积为4πR2=64π故选：A．12．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3） B．（，3） C．（2，3）D．（1，3）【考点】82：数列的函数特性．【分析】根据题意，首先可得a n通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得；解可得答案．【解答】解：根据题意，a n=f（n）=；要使{a n}是递增数列，必有；解可得，2＜a＜3；故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，则这个等腰直角三角形的面积为16 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由抛物线关于x轴对称，可得等腰三角形的另外两个点关于x轴对称，求得直线y=x和抛物线的交点，即可得到所求面积．【解答】解：由等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，由抛物线的对称性可得另外两个点关于x轴对称，可设直线y=x，代入抛物线y2=4x，可得x2=4x，解得x=0或x=4，可得等腰直角三角形的另外两个点为（4，4），（4，﹣4），则这个等腰直角三角形的面积为•（）2=16．故答案为：16．14．已知函数f（x）=，则不等式f（2）≥f（lgx）的解集为．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】求出f（2）=0，通过讨论lgx的范围，求出不等式的解集，取并集即可．【解答】解：f（2）=0，0＜x≤1时，f（lgx）=lgx+2≤0，解得：0＜x≤，x＞1时，f（lgx）=﹣x+2≤0，解得：x≥100综上所述，不等式f（x）≥1的解集为（0，]∪[100，+∞），故答案为：．15．已知D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点， =x+y，可得=3x+，利用向量共线定理可得=1，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，∵BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点， =x+y，∴=3x+，∴=1，∴2x+y=．∵x，y＞0，∵，，当且仅当y=2x=时取等号．则xy的最大值为．故答案为：．16．在△ABC中，点D在线段AC上，AD=2DC，BD=，且tan∠ABC=2，AB=2，则△BCD的面积为．【考点】HP：正弦定理．【分析】设BC=a，AD=2DC=2x，则AC=3x，先根据余弦定理可得9x2=4+a2﹣a，①，再根据余弦定理可得3x2﹣a2=﹣6，②，求出a，x的值，进而可求sin∠BDC，再根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵tan∠ABC=2，∴cos∠ABC==，设BC=a，AD=2DC=2x，则AC=3x，∵在△ABC中由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC，∴9x2=4+a2﹣a，①在△ABD和△DBC中由余弦定理可得cos∠ADB==，cos∠BDC==，∵∠ADC=π﹣∠BDC，∴cos∠ADC=cos（π﹣∠BDC）=﹣cos∠BDC，∴=﹣，化简得3x2=a2﹣6，②，由①②可得a=3，x=1，BC=3，∴cos∠BDC==，sin∠BDC=，∴S△BCD=BD•CD•sin∠BDC=×1×=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n+a n=n2+2n+2，n∈N*，数列{b n}满足b n=a n﹣n（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求log3b3+log3b5+…+log3b2n+1．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由，得，两式相减得3a n+1﹣a n=2n+3，又b n=a n﹣n，可得3b n+1=b n，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）得，可得，可得，再利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）由，得，两式相减得3a n+1﹣a n=2n+3…∵b n=a n﹣n，∴a n=b n+n，a n+1=b n+1+n+1∴3b n+1=b n…..又n=1时，由得，∴，∴{b n}是以为首项，为公比的等比数列∴…．（2）由（1）得，∴，∴，∴log3b3+log3b5+…+log3b2n+1=log32﹣3+log32﹣5+…+log32﹣（2n+1）==nlog32﹣n（n+2）．18．某科考试题中有甲、乙两道不同类型的选做题，且每道题满分为10分，每位考生需从中任选一题作答．（1）A同学将自己在该考试中历次的选题及得分情况统计如下：选甲题8次，得分分别为：6，10，10，6，6，10，6，10选乙题10次，得分分别为：5，10，9，8，9，8，10，8，5，8某次考试中，A同学的剩余时间仅够阅读并解答出甲、乙两题中的某一道题，他应该选择甲题还是乙题？（2）某次考试中，某班40名同学中选择甲、乙两题的人数相等，在16名该选做题获得满分的同学中有10人选的是甲题，则在犯错误概率不超过1%的情况下，判断该选做题得满分是否与选题有关？参考公式：K2=参考数据：【考点】BO：独立性检验的应用；BC：极差、方差与标准差．【分析】（1）计算甲、乙两题得分的平均数与方差，比较即可；（2）根据题意，填写2×2列联表，计算K2的观测值k，对照临界值表即可得出结论．【解答】解：（1）计算甲、乙两题得分的平均数分别为=×（6+10+10+6+6+10+6+10）=8，=×（5+10+9+8+9+8+10+8+5+8）=8，甲、乙两题得分的方差为=×[（6﹣8）2+…+（10﹣8）2]=4，=×[（5﹣8）2+…+（8﹣8）2]=2.8，因此选择乙题更加稳妥；（2）根据题意，填写2×2列联表如下；因此K2的观测值k==≈1.667＜6.635，则在犯错误概率不超过1%的情况下，判断该选做题得满分是否与选题无关．19．如图（1）在平面六边形ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF=，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求三棱锥E﹣BCF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由题意，点E在底面ABCD的射影在MN上，可设为点P，同理，点F在底面ABCD 的射影在MN上，可设为点Q，推导出平面EMP⊥平面ABCD，平面FNQ⊥平面ABCD，由结论2能证明E、F、M、N四点共面．（2）三棱锥E﹣BCF的体积V E﹣BCF=V ABCDEF﹣V E﹣ABCD，由此能求出结果．【解答】证明：（1）由题意，点E在底面ABCD的射影在MN上，可设为点P，同理，点F在底面ABCD的射影在MN上，可设为点Q，则EP⊥平面ABCD，FQ⊥平面ABCD，∴平面EMP⊥平面ABCD，平面FNQ⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，MN⊂平面EMP，MN⊂平面FNQ，由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个，得到E、F、M、N四点共面．解：（2）∵二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，∴∠EMP=∠FNQ=60°，∴EP=EM•sin60°=，∴三棱锥E﹣BCF的体积：V E﹣BCF=V ABCDEF﹣V E﹣ABCD=2×+（）×3﹣×=．20．已知中心在坐标系原点，焦点在y轴上的椭圆离心率为，直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）过下焦点的直线l交椭圆于A，B两点，点P为椭圆的上顶点，求△PAB面积的最大值．【考点】K4：椭圆的简单性质；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据题意，分析可得2c=a①，进而可得椭圆过点（3，2），代入椭圆方程得②，结合椭圆的几何性质分析可得a2、b2的值，将a2、b2的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）设直线l的方程为y=kx﹣2．联立直线与椭圆的方程可得（4+3k2）x2﹣12kx﹣36=0，由根与系数的关系分析可得|AB|的长，由点到直线的距离公式可得P（0，4）到直线AB的距离d，则可以用k表示△PAB面积S，利用基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为，所以2c=a①又直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6．所以椭圆过点（3，2），代入椭圆方程得②又a2=b2+c2③由①②③得a2=16，b2=12所以椭圆方程为；（2）设直线l的方程为y=kx﹣2由得（4+3k2）x2﹣12kx﹣36=0显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则，所以=又点P（0，4）到直线AB的距离为所以，令，则t≥1，k2=t2﹣1所以因为t≥1，在[1，+∞）上单调递增所以当t=1时，即k=0时，取最小值4所以S max=18．21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，是否存在实数a，使得=g′（a）成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出g（x）的导数，由题意可得即g′（x）=0有两个不同的实根．设h（x）=lnx﹣ax，求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，求得单调区间得到最大值，令最大值大于0，解得a的范围0＜a＜，即可判断不存在实数a．【解答】解：（1）若a=2，则f（x）=xlnx﹣x2，导数f′（x）=1+lnx﹣2x，又f（1）=﹣1，f′（1）=﹣1，即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=﹣（x﹣1），即为y=﹣x；（2）g′（x）=f′（x）﹣1=lnx﹣ax，g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，即g′（x）=0有两个不同的实根．设h（x）=lnx﹣ax，h′（x）=﹣a，当a≤0时，h′（x）＞0，h（x）递增，g（x）=0不可能有两个实根；当a＞0时，若0＜x＜，h′（x）＞0，h（x）递增，若x＞，h′（x）＜0，h（x）递减．则h（）取得极大值，也为最大值，且为﹣1﹣lna＞0，即有0＜a＜，g′（a）=lna﹣a2＜0，不妨设x2＞x1＞0，g′（x1）=g′（x2）=0，lnx1﹣ax1=lnx2﹣ax2=0，lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），即=a＞0，故不存在实数a，使得=g′（a）成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C1的参数方程是（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1．（其中α为常数，α∈（0，π），且α≠），点A，B（A在x轴下方）是曲线C1与C2的两个不同的交点．（1）求曲线C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）求|AB|的最大值及此时点B的直角坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程．由曲线C2的极坐标方程能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）曲线C2的参数方程为，（t是参数），设A（t1cosα，﹣1+t1sinα），B（t2cosα，﹣1+t2sinα），把曲线C2的参数方程代入=1，得：t2（1+3sin2α）﹣8tsinα=0，由此利用韦达定理，结合均值不等式，能求出|AB|的最大值及此时B点坐标．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程是（ϕ为参数），∴曲线C1消去参数，得到曲线C1的普通方程为=1．∵曲线C2的极坐标方程是ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1．（其中α为常数，α∈（0，π），且α≠），∴曲线C 2的直角坐标方程为：tan α•x﹣y=1．（2）由（1）得曲线C 2的参数方程为，（t 是参数），设A （t 1cos α，﹣1+t 1sin α），B （t 2cos α，﹣1+t 2sin α），把曲线C 2的参数方程代入=1，整理，得：t 2（1+3sin 2α）﹣8tsin α=0，∴，∴|AB|=|t 1﹣t 2|==≤=．当且仅当sin α=取等号，当sin α=时，∵0＜α＜π，且，∴cos，∴B （，），∴|AB|的最大值为，此时B 点坐标为（，）． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a ＞0，b ＞0，a+b=2．（1）求+的最小值；（2）求证：≤1．【考点】7F ：基本不等式．【分析】（1）分式类型，巧运用a+b 的式子即可；（2）利用基本不等式转化为=ab••（）2求解即可．【解答】解：（1）a+b=2．∴+=（+）=（5+）≥仅当（b=2a 等号成立）；（2）证明：=ab••（）2=1．（当且仅当a=b 等号成立）．。

2019年春学期高考文科数学仿真模拟卷四及答案解析

2019年春学期高考文科数学仿真模拟卷四【试卷满分150分，考试时间120分钟】第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|1}B x x =>，则A B =（）A. {}0 B. {}1,1- C. {}2,2-D. {}2,1,1,2--2. 已知21iz i=-，且z 的共轭复数为z ，则z z +=（） A. 2-B. 1-C. i -D. 2i -3. 某校高三年级共有1200名学生，且各班学生的整体水平基本一样。

下图是该校高三年级的某个班级在一次月考中，全部学生的数学分数在各个分数段的人数的统计图。

则下列说法中一定正确的是（）。

A. 该班级在这次月考中，及格（分数大于等于90分）的人数为48人B. 该校高三年级在这次月考中，有720人的数学分数不低于115分C. 该班级这次月考中，数学分数的中位数在[115，125）内D. 该校高三年级在这次月考中，数学分数的中位数在[115，125）内 4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，312S =，则6a =（） A. 8 B. 10 C. 12 D. 145. 已知函数()()2sin 210,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，若()()()1212=1f x f x x x =≠，且12x x -的最小值为2π，312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A. 15,212πωϕ==B. 1,212πωϕ==- C. 1,6πωϕ==-D. 1,3πωϕ==6. 已知圆C ：()2224x y -+=与直线:10l kx y k --+=交于A ，B 两点，则AB 的取值范围是（） A. (0,22⎤⎦B. (]0,4C. 2,4⎡⎤⎣⎦D. 22,4⎡⎤⎣⎦7. 执行如图所示的程序框图，若输入的1x =时，则输出的y =（）A. 2018B. 2019C. 2020D. 20218. 在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别是11,AA CC 的中点，给出下列命题：①BN平面1MND ；②平面MNA ⊥平面ABN ；③平面1MND 截该正方体所得截面的面积为6。

2019年高考文科数学模拟试卷及答案(共五套)

2019年高考文科数学模拟试卷及答案（共五套）2019年高考文科数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)1、设集合{}1 2 3 4U =，，，，集合{}2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（）A ．{}1 2，B ．{}1 4，C ．{}2 4，D ．{}1 3 4，，2、记复数z 的共轭复数为z ，若()1i 2i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模z =（）A ．．1 C ．．23、命题p:∃x ∈N,x 3<x 2;命题q:∀a ∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a (x-1)的图象过点(2,0),则( )A. p 假q 真B. p 真q 假C. p 假q 假D. p 真q 真4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A ．18B ．20C ．21D ．255、已知，且，则A.B.C.D.6、已知，，，若，则A. B.—8 C. D. —27、执行如右图所示的程序框图，则输出的值为A. B.C. D.8、等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为 ( )A. B. C. D.9、已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则的外接圆面积为 A. B. 6π C. 7πD.10、一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）A ．3B ．3C.3D ．311、已知，曲线在点 ))1f(,1( 处的切线经过点，则有A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值12、对实数和，定义运算“ ”：．设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13、设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为．14、已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 7=4，则数列{log 2a n }的前7项之和为15、已知圆，则圆被动直线所截得的弦长是 .16、如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为．三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

{名校}2019年高考考前强化模拟文科数学试卷四含答案解析

4 x y 6 x y 0
π 14． [2019·烟台期末]已知函数 y cos 2 x 2
π π 则等于_____．的图象关于直线 x 对称， 6 2
15．[2019·东师附中]已知 f x 为奇函数，当 x 0 时， f x x 2 3 x ，则曲线 y f x 在点 1, 4 处的切线方程为_______________． 16． [2019·常州期末]过原点的直线 l 与圆 x 2 y 2 1 交于 P ，Q 两点，点 A 是该圆与 x 轴负半轴的交点，以 AQ 为直径的圆与直线 l 有异于 Q 的交点 N ，且直线 AN 与直线 AP 的斜率之积等于 1，那么直线 l 的方程为________．三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
m
ˆ a ˆ bx ˆ ，并预测 4 月 6 （1）试根据 4 月 2 日、3 日、4 日的三组数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 y
日的产品销售量 m ；（2）若选取两组数据确定回归方程，求选取得两组数据恰好是不相邻两天的事件 B 的概率．
ˆ a ˆ bx ˆ，参考公式： y
ˆ 其中 b
5
{名校}2019 年高考考前强化模拟文科数学试卷四含答案解析
请考生在 22 、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
1 x t x y 2 [2019·漳州一模]已知曲线 C1 的方程为（ t 为参数）． 1 ，曲线 C2 的参数方程为 10 6 y 8 3 t 2
） D．

2019年普通高等学校招生统一考试仿真模拟卷：文科数学(4)含答案解析

绝密 ★ 启用前 2019年普通高等学校招生统一考试仿真模拟卷文科数学（四）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}220A x x x =--<，{}2log 0B x x =<，则A B =（）A ．()1,2-B ．()0,1C ．(),2-∞D ．()1,1-2．如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为（）A ．14B ．13C ．25D ．123．欧拉公式i e cos isin θθθ=+(e 是自然对数的底数，i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当πθ=时，就有i πe 10+=．根据上述背景知识试判断2018πi3e -表示的复数在复平面对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，590S =，则等差数列{}n a 的公差d =（） A ．2B ．32C ．3D ．45．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（）A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<6．“远离毒品，珍爱生命”，某校为强化禁毒教育，掌握学生对禁毒宣传资料的了解程度，随机抽取30名学生参加禁毒知识测试，得分情况如图所示，若所有得分的中位数为M ，众数为N ，平均数为x ，则（）A ．N M x <<B ．N x M <<C ．M N x <<D ．M N x ==7．已知某几何体三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为2的正方形，则该几何体外接球的体积是（）A． BCD．8．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为141，则判断框中应填入的条件为（）A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ．6k ≤此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号9．若函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为7π12x =，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（）A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度 10．已知抛物线()220y px p =>上一点()5,t 到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线与圆()2261x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（）A1B．2C．D．111．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（） A ．eBC ．1eD ．112．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b C a =，12n n T c c c =+++，()n ∈*N，则当2019nT<时，n 的最大值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量a 与b 的夹角为π2，1=a ，1=b ，则32-=a b _______．14．已知x ，y 满足约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的最小值为_______．15．已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为__________．16．把三个半径都是2的球放在桌面上，使它们两两相切，然后在它们上面放上第四个球（半径是2），使它与下面的三个球都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离为__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，点D 为BC 边的中点，ABC△的面积为23sin AD B．（1）求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值；（2）若6BC AB =，AD =，求b ．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2AB BC CD DA ====，1PA =，120BAD ∠=︒，E 为BC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面PAD ；（2）若F 为CD 的中点，求点D 到平面PEF 的距离．19．（12分）自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在[]50,70使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[)50,60的概率；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？20．（12分）已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>，点()1,e和⎭都在椭圆C上，其中e为椭圆C 的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）若过原点的直线1:l y kx=与椭圆C交于A，B两点，且在直线22:20l kx y k-+-=上存在点P，使得PAB△是以P为直角顶点的直角三角形，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数()()22e ,0xx f x x m m m=+-∈≠R ，（1）求函数()f x 的单调区间和()f x 的极值；（2）对于任意的[]1,1a ∈-，[]1,1b ∈-，都有()()e f a f b -≤，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα==⎧⎨⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为4,π3⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知()11f x x ax =-++．（1）1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()3f x x ≤-的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．绝密 ★ 启用前 2019年普通高等学校招生统一考试仿真模拟卷文科数学答案（四）一、选择题． 1．【答案】A【解析】解不等式220x x --<，得12x -<<，即()1,2A =-，由2log 0x <，得01x <<，即()0,1B =，所以()1,2A B =-，故选A ． 2．【答案】B【解析】设小三角形的直角边长度为1则小三角形的面积和为141122⨯⨯⨯=，大三角形的面积和为1442⨯=，则飞镖落在阴影部分的概率为21243=+，故选B ． 3．【答案】C 【解析】由题意，2018πi 32018π2018π2π2π1ecos isin cosisin 33332-⎛⎫⎛⎫=-+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2018πi3e-表示的复数在复平面对应的点为1,2⎛- ⎝⎭，位于第三象限，故答案为C ． 4．【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112a =，590S =，所以515456010902S a d d ⨯=+=+=，解得3d =，故选C ．5．【答案】C【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ． 6．【答案】A【解析】由中位数的定义，得565.52M +==，众数为5N =，平均数为2334105663728292105.9630x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，所以N M x <<，故选A ． 7．【答案】D【解析】由几何体正视图、侧视图均是边长为2的正方形，结合俯视图可得此几何体是棱长为2的正方体的一部分，如图，四棱锥E ABCD -，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，外接球的直径等于正方体的体对角线长，即2R =R =此几何体的外接球的体积34π3V R =⨯=，故选D ． 8．【答案】C【解析】当0S =，1k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，1S =，2k =，当1S =，2k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，6S =，3k =，当6S =，3k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，21S =，4k =，当21S =，4k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，58S =，5k =，当58S =，5k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，141S =，6k =，此时，由题意，满足输出条件，输出的数据为141，故判断框中应填入的条件为5k ≤，故答案为C ． 9．【答案】B【解析】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)的图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，12π7π41π23ω⋅=-，解得2ω=．再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅+=，可得π3ϕ=，可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，可得sin 2cos236ππy x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．10．【答案】D【解析】由抛物线()2:20C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2p x =-，则点()5,t 到焦点的距离为562pd =+=，则2p =，所以抛物线方程24y x =，设(),P x y ，圆()22:61M x y -+=，圆心为()6,0，半径为1，则PM =，当4x =时，PQ11=，故选D ． 11．【答案】A【解析】2112x x x x <，即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x x x x <，故()ln xf x x =在()0,m 上为增函数，()21ln 00e x f x x x >⇒'-=<<，故m 的最大值为e ，故选A ． 12．【答案】A 【解析】{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，112121242n n n n b b b T c c c a a a a a a a -∴=+++=+++=++++()()()()()1121122124122121242n n n --=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-=++++-11222212nn n n +-=⨯-=---，2019n T <，1222019n n +∴--<，解得9n ≤．则当2019n T <时，n 的最大值是9，故选A ．二、填空题． 13．【答案【解析】因为平面向量a 与b 的夹角为π2，所以0⋅=a b ，所以32-=a b14．【答案】32【解析】x ，y 满足约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，画出可行域如图所示．目标函数2z x y =-，即2y x z =-．平移直线2y x z =-，截距最大时即为所求．21010y x y +=--=⎧⎨⎩，点11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭， z 在点A 处有最小值1132222z =⨯+=，故答案为32．15．【答案1【解析】因为F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，所以(),0F c -，又点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，00AB b bk a a-==--，所以可得直线l 的方程为()ay x c b=+，又A ，B 中点在直线l 上，所以22b a a c b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得222b a ac =+，又222b c a =-，所以22220c ac a --=，故2220e e --=，解得1e =1e>，所以1e =故答案为1e =+ 16．【答案4+ 【解析】四个球心是正四面体的顶点（如图所示），它的棱长均为4，设E 为BC 的中点，O 为正三角形的中心，则AO ⊥平面BCD ，又ED =23OD ED ==，所以AO == 第四个球的最高点与桌面的距离为OA4+．三、解答题．17．【答案】（1）13；（2．【解析】（1）由ABC △的面积为23sin AD B且D 为BC 的中点可知：ABD △的面积为26sin AD B ，由三角形的面积公式可知21sin 26sin AD AB BD B B⋅⋅=，由正弦定理可得3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=，所以1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=．（2）6BC AB =，又因为D 为BC 的中点，所以26BC BD AB ==，即3BD AB =，在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ABBAD BDA =∠∠，所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠，由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=，所以1sin 3BDA ∠=，sin 1BAD ∠=，()0,πBAD ∠∈，2πBAD ∴∠=，在直角ABD △中AD =1sin 3BDA ∠=，所以1AB =，3BD =．2BC BD =，6BC ∴=，在ABC △中用余弦定理，可得22212cos 136216333b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=18．【答案】（1）详见解析；（2．【解析】（1）如图，连接AC ．由条件知四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒， ∴60BAC ∠=︒，∴ABC △为正三角形． ∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥．又∵AD BC ∥，∴AE AD ⊥．又∵PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴PA AE ⊥．∵PA AD A =，∴AE ⊥平面PAD ．（2）设AC 交EF 于点G ，连接PG ，DE ，则G 为EF 的中点．易知AE AF =，则Rt Rt PAE PAF ≅△△，∴PE PF =，∴PG EF ⊥．连接BD ，∵2AB BC CD DA ====，1PA =，∴BD ==3342AG AC ==，∴12EF BD ==PG ==12PEF S EF PG =⋅=△．1111sin1202442DEF CDE BCD S S S BC CD ===⨯⨯⨯︒=△△△．设点D 到平面PEF 的距离为h ，又PA ⊥底面ABCD ，由P DEF D PEF V V --=，得11133h =，解得h =．故点D 到平面PEF19．【答案】（1）17100；（2）25；（3）2200．【解析】（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在[)30,50且未使用自由购的有31417+=人，所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在[)30,50且未参加自由购的概率估计为17100P =．（2）设事件A 为“这2人年龄都在[)50,60”．被抽取的年龄在[)50,60的4人分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，被抽取的年龄在[]60,70的2人分别记为1b ，2b ，从被抽取的年龄在[]50,70的自由购顾客中随机抽取2人，共包含15个基本事件，分别为12a a ，13a a ，14a a ，11a b ，12a b ，23a a ，24a a ，21a b ，22a b ，34a a ，31a b ，32a b ，41a b ，42a b ，12b b ，事件A 包含6个基本事件，分别为12a a ，13a a ，14a a ，23a a ，24a a ，34a a ，则()62155P A ==．（3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有3121764244+++++=人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=． 20．【答案】（1）2214x y +=；（2）0k ≥或43k ≤-．【解析】（1）由题设知222a b c =+，ce a=．由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b+=，解得21b =，又点⎭在椭圆上，222112a b ∴+=．即21112a+=，解得24a =，所以椭圆的方程是2214x y +=．（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+， 120x x ∴+=，122414x x k=-+，120y y +=，2122414k y y k =-+，设()00,P x y ，则0022y kx k =+-，依题意PA PB ⊥，得1PA PB k k =-⋅，010201021y y y y x x x x --∴⋅=---，即()()220120120120120y y y y y y x x x x x x -+++++-+=，220012120y x y y x x ∴+++=，()()()()22220024114422014k k x k k x k k +∴++-+--=+有解， ()()()()222222411624142014k Δkk kk k ⎡⎤+⎢⎥=--+--≥⎢⎥+⎣⎦，化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-．21．【答案】（1）见解析；（2）2,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．【解析】（1）∵()22e 1x f x x m =+-'，()22e xf x m''=+，其中()f x ''是()f x '的导函数．显然，()0f x ''>，因此()f x '单调递增，而()00f '=，所以()f x '在(),0-∞上为负数，在()0,+∞上为正数，因此()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，当0x =时，()f x 取得极小值为()01f =，无极大值．∴()f x 的极小值为1，无极大值．单增区间为()0,+∞，单减区间为(),0-∞．（2）依题意，只需()()max min e f x f x -≤，由（1）知，()f x 在[]1,0-上递减，在[]0,1上递增， ∴()f x 在[]1,1-上的最小值为()01f =，最大值为()1f 和()1f -中的较大者，而()()22111111e 11e 20e e f f m m ⎛⎫⎛⎫--=+--++=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()()11f f >-，∴()f x 在[]1,1-上的最大值为21e 1m+-，所以21e 11e m+--≤，解得m ≥m ≤ ∴实数m 的取值范围是2,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭；（2）2．【解析】（1）2211:C x y +=，22:cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=．联立方程组得222212x y x y x⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，解得1112x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩2212x y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭．（2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=．∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴当11π12θ=时，max 2S =+ 23．【答案】（1）3322x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或；（2）[]1,1-．【解析】（1）1a =，()2,1112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩，()3f x ≥，则32x ≤-或32x ≥，不等式的解集为3322x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或．（2）()3f x x ≤-的解集包含[]1,1-，即为()3f x x ≤-在[]1,1-上恒成立．[]1,1x ∈-，()1111f x x ax x ax =-++=-++．故()3f x x ≤-，即为113x ax x -++≤-，即12ax +≤．所以212ax -≤+≤，31ax -≤≤，又因为[]1,1x ∈-，()311311a a -≤-⋅≤-≤⋅≤⎧⎪⎨⎪⎩，则[]1,1a ∈-．。

2019年高考数学四模试题文(含解析) 新人教版-新版

2019高考数学四模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=1+2i，则复数z的模等于（）A．B．2 C．D．2．设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，，则A∩B=（）A．（0，2] B．（1，2）C．（1，+∞）D．（1，2]3．已知数列{a n}，那么“对于任意的n∈N*，点P n（n，a n）都在曲线y=3x上”是“数列{a n}为等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α5．设是不共线的向量，，，若与共线，则实数k为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．±16．已知a=，b=lo，c=log2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c7．执行如图所示的程序框图，若输出S=16，则框图中①处可以填入（）A．n＞2 B．n＞4 C．n＞6 D．n＞88．若圆（x﹣1）2+（y+1）2=r2上有且只有两个点到直线x﹣y+1=0的距离等于，则半径r的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2n2﹣n，则数列{a2n}的前10项和等于（）A．380 B．390 C．400 D．41010．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36π B．30π C．29π D．20π11．已知函数，若函数f（x）在区间上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）的图象经过点（2，4），且对∀x∈（0，+∞），都有f′（x）＞1，则不等式f（2x﹣2）＜2x的解集为（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，2）D．（0，1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若曲线y=lnx的一条切线是直线，则实数b的值为．14．动点P（x，y）满足，则z=x+2y的最小值为．15．已知x∈（0，+∞），观察下列各式：x+≥2，x+≥3，x+≥4，…类比得：x+，则a= ．16．已知a n=（b＞1，n≥2），若对不小于4的自然数n，恒有不等式a n+1＞a n 成立，则实数b的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足sin2A+sin2C﹣sin2B=sinA•sinC （Ⅰ）求角B；（Ⅱ）点D在线段BC上，满足DA=DC，且a=11，cos（A﹣C）=，求线段DC的长．18．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：（1）从这5天中任选2天，求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率；（2）请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）根据（2）中所得的线性回归方程，预测温差为16°C时，种子发芽的颗数．参考公式： =， =﹣x．19．如图，四边形ABCD与BDEF均为边长为2的菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求证：FC∥平面EAD；（2）求点A到平面BDEF的距离．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： =1（a＞b＞0）经过点和点B（0，2），斜率为k（k≠0）的直线经过点P（2，0）且交E于M，N两点．（1）求椭圆E的方程；（2）当△AOM与△AON面积比值为7，求实数k的值．21．已知函数f（x）=e x[x2﹣（a+2）x+b]，曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a2x+y﹣b=0，其中e是自然对数的底数）．（Ⅰ）确定a，b的关系式（用a表示b）；（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，求实数M的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，将圆O：x2+y2=4上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线C．（1）求曲线C的参数方程；（2）以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取相同的单位长度，射线θ=α（ρ≥0）与圆O和曲线C分别交于点A，B，求|AB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|tx﹣2|﹣|tx+1|，a∈R．（1）当t=1时，解不等式f（x）≤1；（2）若对任意实数t，f（x）的最大值恒为m，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=m时，≤m．2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=1+2i，则复数z的模等于（）A．B．2 C．D．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：∵z=1+2i，∴|z|==，故选：A．2．设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，，则A∩B=（）A．（0，2] B．（1，2）C．（1，+∞）D．（1，2]【考点】1E：交集及其运算．【分析】运用对数函数的定义域和含根号函数的值域，化简集合A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合A={x|y=log2（x﹣1）}={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，={y|y≥0}，则A∩B={x|x＞1}∩{y|y≥0}=（1，+∞）∩[0，+∞）=（1，+∞），故选：C．3．已知数列{a n}，那么“对于任意的n∈N*，点P n（n，a n）都在曲线y=3x上”是“数列{a n}为等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“对于任意的n∈N*，点P n（n，a n）都在曲线y=3x上”，则a n=3n，则数列{a n}为公比q=3的等比数列，即充分性成立，若a n=2n，满足数列{a n}为等比数列，但点P n（n，a n）都在曲线y=3x上不成立，即必要性不成立，即“对于任意的n∈N*，点P n（n，a n）都在曲线y=3x上”是“数列{a n}为等比数列”的充分不必要条件，故选：A4．对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；2K：命题的真假判断与应用．【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，如果m⊂α，n∥α，则m ∥n或m与n异面，又由m、n共面，那么m∥n；如果m⊂α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异面直线；如果m⊂α，n⊄α，当m、n是异面直线时，则n与α可能平行，也可能相交；如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α或n⊂α．分析后即可得到正确的答案．【解答】解：A答案中：如果m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n异面，又由m、n共面，那么m∥n，故A正确；B答案中：如果m⊂α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异面直线，故B答案错误；C答案中：如果m⊂α，n⊄α，当m、n是异面直线时，则n与α可能平行，也可能相交，故C答案错误；D答案中：如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α或n⊂α故D答案错误；故选A5．设是不共线的向量，，，若与共线，则实数k为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．±1【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量的共线定理和向量相等的定义，列方程求出k的值．【解答】解：是不共线的向量，且，，若与共线，则存在实数λ，使=λ；∴+k=λ（k+）=λk+λ，由向量相等得，解得k=±1．故选：D．6．已知a=，b=lo，c=log2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】分别判断a，b，c的取值范围即可得到结论．【解答】解：a==＞1，b=lo∈（0，1），c=log2＜0，∴a＞b＞c．故选：A．7．执行如图所示的程序框图，若输出S=16，则框图中①处可以填入（）A．n＞2 B．n＞4 C．n＞6 D．n＞8【考点】EF：程序框图．【分析】据程序框图写出几次循环的结果，直到S=16，判定出n满足的条件．【解答】解：第一次循环：s=1，n=3；不满足条件；第二次循环：s=4，n=5，不满足条件；第三次循环：s=9，n=7，不满足条件；第四次循环：s=16，n=9，满足条件；输出s的值，所以判断框中的条件可填写“n＞8”．故选：D．8．若圆（x﹣1）2+（y+1）2=r2上有且只有两个点到直线x﹣y+1=0的距离等于，则半径r的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆心（1，1）到直线x﹣y+1=0的距离d=，由此根据圆上有且只有两个点到直线x﹣y+1=0的距离等于，能求出半径r的取值范围．【解答】解：圆（x﹣1）2+（y+1）2=r2的圆心（1，1），半径为r，圆心（1，1）到直线x﹣y+1=0的距离d==∵圆上有且只有两个点到直线x﹣y+1=0的距离等于，∴．即半径r的取值范围是（）．故选：B．9．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2n2﹣n，则数列{a2n}的前10项和等于（）A．380 B．390 C．400 D．410【考点】8E：数列的求和．【分析】S n=2n2﹣n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．n=1时，a1=S1=1，可得a n，进而达到a2n．再利用求和公式即可得出．【解答】解：S n=2n2﹣n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣n﹣[2（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=4n﹣3．n=1时，a1=S1=1，对于上式也成立．∴a n=4n﹣3．∴a2n=8n﹣3．则数列{a2n}的前10项和等于==410．故选：D．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36π B．30π C．29π D．20π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图得到几何体是平放的三棱柱，底面为直角三角形，高为4，由此计算外接球的表面积．【解答】解：由已知三视图得到几何体是平放的三棱柱，底面为直角边分别为2，3的直角三角形，棱柱的高为4，所以外接球的直径为，所以表面积为：；故选C．11．已知函数，若函数f（x）在区间上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象和性质求出函数的单调递减区间，建立不等式关系即可得求得实数ω的取值范围．【解答】解：∵函数在区间上为单调递减函数，由2kπ+≤ωx﹣≤2kπ+，求得+≤+，故函数f（x）的减区间为[+， +]，k∈Z．∵函数f（x）在区间上为单调递减函数，故有，求得2k+≤ω≤+，令k=0，可得≤ω≤，故选：B．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）的图象经过点（2，4），且对∀x∈（0，+∞），都有f′（x）＞1，则不等式f（2x﹣2）＜2x的解集为（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，2）D．（0，1）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=f（x）﹣x，求出函数的导数，得到函数g（x）的单调性，问题转化为g（2x﹣2）＜g（2），根据函数的单调性求出x的范围即可．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x，则g′（x）=f′（x）﹣1＞0，故g（x）在（0，+∞）递增，而g（2）=f（2）﹣2=2，由f（2x﹣2）＜2x，得g（2x﹣2）＜g（2），故，解得：1＜x＜2，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若曲线y=lnx的一条切线是直线，则实数b的值为﹣1+ln2 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得切线的斜率，列出方程求解即可．【解答】解：曲线y=lnx，可得y′=，曲线y=lnx的一条切线是直线y=x+b，可得=，解得切点的横坐标x=2，则切点坐标（2，ln2），所以ln2=1+b，可得b=﹣1+ln2．故答案为：﹣1+ln2．14．动点P（x，y）满足，则z=x+2y的最小值为 3 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，0），化目标函数z=x+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3．故答案为：3．15．已知x∈（0，+∞），观察下列各式：x+≥2，x+≥3，x+≥4，…类比得：x+，则a= n n．【考点】F3：类比推理；F1：归纳推理．【分析】观察前几个式子的分子分母可发现规律得出结论．【解答】解：当n=1时，a=1，当n=2时，a=2=22，当n=3时，a=27=33，…∴当分母指数取n时，a=n n．故答案为n n．16．已知a n=（b＞1，n≥2），若对不小于4的自然数n，恒有不等式a n+1＞a n 成立，则实数b的取值范围是（3，+∞）．【考点】6P：不等式恒成立的问题；8H：数列递推式．【分析】根据题意可得b＞=1+，再根据数列的函数特征，即可求出b的取值范围．【解答】解：若对不小于4的自然数n，恒有不等式a n+1＞a n成立，则＞，即（n+1）（1﹣b）+3b﹣2＞n（1﹣b）b+3b2﹣2b，即（1﹣b）（n+1﹣nb）＞（3b﹣2）（b﹣1），∵b＞1，∴nb﹣（n+1）＞3b﹣2，∴b（n﹣3）＞n﹣1，∵n≥4，∴b＞=1+，∵设T n=1+，当n≥4时，该数列为递减数列，∴1+≤1+=3，∴b＞3，故b的取值范围为（3，+∞），故答案为：（3，+∞）三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足sin2A+sin2C﹣sin2B=sinA•sinC （Ⅰ）求角B；（Ⅱ）点D在线段BC上，满足DA=DC，且a=11，cos（A﹣C）=，求线段DC的长．【考点】HT：三角形中的几何计算；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理以及余弦定理可得cosB=，即可求出B的值，（Ⅱ）根据正弦定理和三角形的关系即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理及sin2A+sin2C﹣sin2B=sinA•sinC可得，a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，∵B∈（0，π），（Ⅱ）由条件∠BAD=∠A﹣∠C，由cos（A﹣C）=可得sin（A﹣C）=，设AD=x，则CD=x，BD=11﹣x，在△ABD中，由正弦定理得=，故=，解得x=4﹣5，所以AD=DC=4﹣518．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：（1）从这5天中任选2天，求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率；（2）请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）根据（2）中所得的线性回归方程，预测温差为16°C时，种子发芽的颗数．参考公式： =， =﹣x．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）利用对立事件的概率计算所求的概率值；（2）计算、，求出回归系数，，写出回归方程；（3）利用回归方程，计算x=16时的值即可．【解答】解：（1）从这5天中任选2天，至少有一天种子发芽数超过25颗的概率为P=1﹣=；（2）请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据，计算=×（12+11+13）=12，=×（26+25+30）=27，回归系数为===，=﹣=27﹣×12=﹣3，∴y关于x的线性回归方程为=x﹣3；（3）根据（2）中所得的线性回归方程，计算x=16时， =×16﹣3=37；即预测温差为16°C时，种子发芽的颗数为37．19．如图，四边形ABCD与BDEF均为边长为2的菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求证：FC∥平面EAD；（2）求点A到平面BDEF的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）由已知分别证明FB∥ED，BC∥AD，再由面面平行的判定可得平面FBC/平面EAD，进一步得到FC∥平面EAD；（2）设AC∩BD=O，则O为AC的中点，可得FO⊥AO，又AO⊥BD，由线面垂直的判定可得AO ⊥平面BDEF，在菱形ABCD中，求解三角形得答案．【解答】证明：（1）∵BDEF是菱形，∴FB∥ED，又ED⊂平面EAD，FB⊄平面EAD，∴FB∥平面EAD，∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，又AD⊂平面EAD，BC⊄平面EAD，∴BC∥平面EAD，又FB∩BC=B，FB⊂平面EAD，BC⊂平面EAD，∴平面FBC∥平面EAD，又FC⊂平面FBC，∴FC∥平面EAD；解：（2）设AC∩BD=O，则O为AC的中点，∵FA=FC，∴FO⊥AO，又AO⊥BD，FO∩BD=O，∴AO⊥平面BDEF，在菱形ABCD中，∵AB=2，∠DAB=60°，∴，故点A到平面BDEF的距离为．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： =1（a＞b＞0）经过点和点B（0，2），斜率为k（k≠0）的直线经过点P（2，0）且交E于M，N两点．（1）求椭圆E的方程；（2）当△AOM与△AON面积比值为7，求实数k的值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆E经过点和点B（0，2），列出方程组，求出a=2，b=，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）取立，得（3k2+4）y2+16ky+4k2=0，由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能求出实数k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E： =1（a＞b＞0）经过点和点B（0，2），∴，解得a=2，b=，椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设点M（x1，y1），N（x2，y2），取立，得（3k2+4）y2+16ky+4k2=0，∴，且△=256k2﹣16k2（3k2+4）＞0，解得0＜k2＜4，，∴y1=7y2，∴，解得实数k的值为±1．21．已知函数f（x）=e x[x2﹣（a+2）x+b]，曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a2x+y﹣b=0，其中e是自然对数的底数）．（Ⅰ）确定a，b的关系式（用a表示b）；（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，求实数M的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a2x+y﹣b=0确定a，b 的关系式（用a表示b）；（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，即对于任意负数a，x＞0，使f （x）min＜M成立，即可求实数M的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x[x2﹣（a+2）x+b]，∴f′（x）=e x[x2﹣ax+b﹣（a+2）]，∴f′（0）=﹣2a2，∴b=a+2﹣2a2；（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，即对于任意负数a，x＞0，使f（x）min＜M成立，由（Ⅰ）可知f′（x）=e x（x﹣2a）（x+a），令f′（x）=0，可得x=2a，或x=﹣a．a＜0，0＜x＜﹣a，f′（x）＜0，函数单调递减，x＞﹣a，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＞0，f（x）min=f（﹣a）=e﹣a（3a+2），令g（a）=e﹣a（3a+2），则g′（a）=e﹣a（1﹣3a）＞0，此时函数单调递增，即g（a）＜g （0）=2，∴M≥2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，将圆O：x2+y2=4上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线C．（1）求曲线C的参数方程；（2）以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取相同的单位长度，射线θ=α（ρ≥0）与圆O和曲线C分别交于点A，B，求|AB|的最大值．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）圆的参数方程为（θ为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）（2）曲线C的极坐标方程为极坐标方程ρ=，令θ=α，则极坐标系中A，B（，π+α），则|AB|=2×，即可求解．【解答】解：（1）圆的参数方程为（θ为参数）根据题意，曲线C的参数方程为（θ为参数）（2）曲线C的参数方程为（θ为参数）⇒⇒⇒极坐标方程ρ=令θ=α，则极坐标系中A，B（，π+α）则|AB|=2×，当α=0时，|AB|取最大值为4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|tx﹣2|﹣|tx+1|，a∈R．（1）当t=1时，解不等式f（x）≤1；（2）若对任意实数t，f（x）的最大值恒为m，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=m时，≤m．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最大值，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出m的值，结合不等式的性质证明即可．【解答】解：（1）t=1时，f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|，，所以f（x）≤1，故不等式的解集为[0，+∞）（2）由绝对值不等式得||tx﹣2|﹣|tx+1|≤|（tx﹣2）﹣（tx+1）||=3，所以f（x）最大值为3，故m=3，故++≤++≤++==3，当且仅当a=b=c=1时等号成立，故原结论成立．。

2019届全国高考高三模拟考试卷数学(文)试题(四)(解析版)

A． 2 π 4
B．1 π 2
C．1 π 4
D． 1 3
6．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果 S 1320 ，则判断框中应填入（）
A． k 12
B． k 11
C． k 10
D． k 9
7．[2019·江门一模]若 f x ln x 与 g x x2 ax 两个函数的图象有一条与直线 y x 平行的公共
D． 2 2 3
10．[2019·合肥质检]“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、
元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部
分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层 1 件，以后每一层比上一层多 1 件，最后一层是 n 件．已
柱．故V 111 1 π 12 1 π ．故选 C．
4
4
6．【答案】D
【解析】初始值 k 12 ， S 1 ，执行框图如下：
S 112 12 1320 ， k 12 1 11 ； k 不能满足条件，进入循环；
S 12 11 132 1320 ， k 11 1 10 ； k 不能满足条件，进入循环；
阳线和 1 根阴线”为事件 A ，则事件 A 包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，
共有 3 种情况．
由古典概型概率公式可得，所求概率为 P A 3 ．故选 A．
28
5．【答案】C
【解析】根据几何体的三视图，转换为几何体：相当于把棱长为 1 的正方体切去一个以 1 为半径的 1 个圆 4
根据 2 2 列联表判断能否有 99％的把握认为“认定类型”与性别有关？

2019年高三文科数学高考模拟卷4含答案

2019年高三文科数学高考模拟卷文科数学（4）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21iz =+在复平面内对应的点所在象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}11A x x =->，{}1,0,2,3B =-，则()UA B =（）A ．{}0,1,2B ．{}0,2C ．{}1,3-D ．{}1,0,1,2,3-3．已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则m =（） A ．1-B ．1C ．2D ．2-4．直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（） A ．01m <<B ．1m <C ．41m -<<D ．31m -<<5．改革开放四十年以来，北京市居民生活发生了翻天覆地的变化．随着经济快速增长、居民收入稳步提升，消费结构逐步优化升级，生活品质显著增强，美好生活蓝图正在快速构建．北京市城镇居民人均消费支出从1998年的7500元增长到2017年的40000元．1998年与2017年北京市城镇居民消费结构对比如下图所示：1998年北京市城镇居民消费结构2017年北京市城镇居民消费结构，则下列叙述中不正确．．．的是（）A ．2017年北京市城镇居民食品支出占比．．同1998年相比大幅度降低B ．2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同1998年相比有所减少C ．2017年北京市城镇居民医疗保健支出占比．．同1998年相比提高约60% D ．2017年北京市城镇居民人均交通和通信类支出突破5000元，大约是1998年的14倍 6．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π48+，则r =（）A ．2B ．4C ．1D ．37．将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）A ．πcos 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos y x =D ．sin4y x =8．下面框图的功能是求满足111135111n ⨯⨯⨯⨯>的最小正整数n ，则空白处应填入的是（）A ．输出2i +B ．输出iC ．输出1i -D ．输出2i -9．若sin π6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则in 2πs 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C D ．1310．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，2AC BC ==，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向ABC △内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A ．π8B ．π4C ．18π-D ．14π-11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，其中，双曲线半焦距为c ，若抛物线24y cx =的准线被双曲线C 截得的弦长为223ae （e 为双曲线C 的离心率），则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．12y x =±B ．y =C ．32y x =±D ．y = 12．函数()f x 的定义域为R ，且()()3f x f x =-，当20x -≤<时，()()21f x x =+；当01x ≤<时，()21f x x =-+，则()()()()1232018f f f f ++++=（） A ．671 B ．673C ．1343D ．1345第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a b >2sin b A =，则B =______．14已知直线l 、m 与平面α、β，l α⊂，m β⊂，则下列命题中正确的是_______（填写正确命题对应的序号）．①若l m ∥，则αβ∥；②若l m ⊥，则αβ⊥； ③若l β⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，则m α⊥，15．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是_____．16．对于三次函数()()32,,,,0f x ax bx cx d a b c d a =+++∈≠R 有如下定义：设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解m ，则称点()(),m f m 为函数()y f x =的“拐点”．若点()1,3-是函数()()325,g x x ax bx a b =-+-∈R 的“拐点”，也是函数()g x 图像上的点，则函数()211sin cos 32h x a x b x =+的最大值是_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在数列{}n a 、{}n b 中，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，12n n a a +=+，()12352121n n n b b n b a ++++=⋅+，n ∈*N ．（1）求n a 和n S ；（2）若n k ≥时，8n n b S ≥恒成立，求整数k 的最小值．18．（12分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．（1）从III 型号汽车的回访客户中随机选取1人，则这个客户不满意的概率为________；（2）从所有的客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率；（3）汽车公司拟改变投资策略，这将导致不同型号汽车的满意率发生变化．假设表格中只有两种型号汽车的满意率数据发生变化，那么哪种型号汽车的满意率增加0.1，哪种型号汽车的满意率减少0.1，使得获得满意的客户人数与样本中的客户总人数的比值达到最大？（只需写出结论）19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，点M 在线段PC 上，且2PM MC =，O 为AD 的中点．（1）若PA PD =，求证AD PB ⊥；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，且2AB =，求三棱锥P OBM -的体积．20．（12分）已知点O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，点I ，J 分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，IOJ △的边IJ 上的中线长为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,0H -的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程．21．（12分）已知函数()()ln f x x a x =+，()22a g x x x =+（0a ≤且a 为常数）．（1）当0a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意1x ≥都有()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ．（1）求直线l 与曲线1C 公共点的极坐标；（2）设过点31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l '交曲线1C 于A ，B 两点，且AB 的中点为P ，求直线l '的斜率．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设()f x x a x a =++-，当12a =时，不等式()2f x <的解集为M ；当14a =时，不等式()1f x <的解集为P ．（1）求M ，P ；（2）证明：当m M ∈，n P ∈时，212m n mn +<+．文科数学答案（4）一、选择题． 1．【答案】D 【解析】因为()()()21i 21i 1+i 1i 1i z -===-+-，在复平面内对应的点为()1,1-，故选D ． 2．【答案】B【解析】由题意{}{}1102A x x x x x =->=<>或，所以{}02UA x x =≤≤，所以(){}0,2UA B =，故选B ．3．【答案】B【解析】由题意，()3,2m -=+a b ，()-⊥a b b ，()()6220m ∴-⋅=-+=a b b ，解得1m =．故选B ．4．【答案】A【解析】圆22210x y x +--=的圆心为()1,0 因为直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点，所以直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=相交，因此，圆心到直线的距离d =<，所以12m +<，解得31m -<<，求其充分条件即是求其子集，根据选项易得，只有A 符合，故选A ． 5．【答案】B【解析】由1998年与2017年北京市城镇居民消费结构对比图，知：在A 中，2017年北京市城镇居民食品支出占比同1998年相比大幅度降低，故A 正确；在B 中，2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：11%400004400⨯=元， 1998年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：14%75001050⨯=元，故2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同1998年相比明显增加，故B 错误；在C 中，2017年北京市城镇居民医疗保健支出占比同1998年相比提高约60%，故C 正确；在D 中，2017年北京市城镇居民人均交通和通信类支出突破5000元，大约是1998年的14倍，故D 正确．故选B ． 6．【答案】A【解析】由题意，直观图为14圆锥与三棱锥的组合体，该几何体的体积为()21111π3433424π484332r r r r r ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，2r ∴=．故选A ．7．【答案】A【解析】先将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度，得2πsin 2sin 26π3π3y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得2πsin sin cos 32π6π6πy x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A ． 8．【答案】D【解析】根据程序框图得到循环是：1M =，3i =； 13M =⨯，5i =； 135M =⨯⨯，7i =； 1357M =⨯⨯⨯，9i =；；()1352M n =⨯⨯-，i n =之后进入判断，不符合题意时，输出，输出的是2i -．故答案为D ． 9．【答案】D【解析】由题意，根据诱导公式可得sin 2cos 2cos 2626ππ3ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又由余弦的倍角公式，可得221cos 212sin 12π6π33αα⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选D ．10．【答案】D【解析】由题意，题目符合几何概型，ABC △中，90C ∠=︒，2AC BC ==，所以三角形为直角三角形，面积为122AC BC ⨯⨯=，阴影部分的面积为：三角形面积12-圆面积π22=-，所以点落在阴影部分的概率为π4π2212-=-，故选D ． 11．【答案】B 【解析】抛物线24y cx =的准线x c =-，它正好经过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，∴准线被双曲线C 截得的弦长为22b a，22223b ae a ∴=，22222223c b a c a b a∴=⋅==+，222b a ∴=，b a ∴=， ∴则双曲线C的渐近线方程为2y =，故选B ． 12．【答案】D【解析】∵()()3f x f x =-，∴()()3f x f x +=，∴函数()f x 是周期为3的周期函数．又当20x -≤<时，()()21f x x =+；当01x ≤<时，()21f x x =-+， ∴()()()()()()1232101012f f f f f f ++=-+-+=++=， ∴()()()()()()()()()123201867212320172018f f f f f f f f f ++++=⨯++++⎡⎤⎣⎦()()672212134411345f f =⨯++=+=，故选D ．二、填空题． 13．【答案】π4【解析2sin sin A A B =，且在三角形中，故sin 0A ≠，所以sin B =， a b >，sin sin A B ∴>，B ∴∠为锐角，π4B ∴=，故答案为π4． 14．【答案】③【解析】①如图所示，设c αβ=，l c ∥，m c ∥满足条件，但是α与β不平行，故①不正确；②假设αβ∥，l β'⊂，l l '∥，l m '⊥，则满足条件，但是α与β不垂直，故②不正确； ③由面面垂直的判定定理，若l β⊥，则αβ⊥，故③正确； ④若αβ⊥，n αβ=，由面面垂直的性质定理知，m n ⊥时，m α⊥，故④不正确．综上可知：只有③正确．故答案为③． 15．【答案】甲【解析】由四人的预测可得下表：①若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意 ②若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意 ③若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意 ④若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确，故答案为甲．16．【答案】178【解析】()232g x x ax b -'=+，()62g x x a ''=-，则3a =，又()13g =-，得4b =，所以()22sin 2cos sin 2sin 2h x x x x x =+=-+，令sin x t =，则[]1,1t ∈-，即求222y t t =++-，[]1,1t ∈-时的最大值，当14t =时，y 有最大值178，故答案为178．三、解答题．17．【答案】（1）21n a n =-，2n S n =；（2）整数k 的最小值是11．【解析】（1）因为12n n a a +=+，即12n n a a +-=，所以{}n a 是等差数列，又11a =，所以21n a n =-，从而()21212n n n S n +-==．（2）因为21n a n =-，所以()()123357212211n n b b b n b n ++++=⋅-+，当2n ≥时，()()()123135*********n n n b b b n b n b n -+++-++=⋅-+①()()11231357212231n n b b b n b n --+++-=⋅-+②①-②可得()()121221n n n b n -+=⋅+，()2n ≥，即12n n b -=，而11b =也满足，故12n n b -=．令8n n b S ≥，则1228n n -≥，即422n n -≥，因为1042210-<，1142211->，依据指数增长性质，整数k 的最小值是11． 18．【答案】（1）0.4；（2）111320；（3）增加IV 型号汽车的满意率，减少II 型号汽车的满意率．【解析】（1）由表格可知满意的为0.6，所以不满意的为0.4．（2）由题意知，样本中的回访客户的总数是2501002007003501600++++=，样本中满意的客户人数是2500.51000.32000.67000.33500.21253012021070555⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++=，所以样本中客户的满意率为5551111600320=．所以从所有的客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率为111320．（3）增加IV 型号汽车的满意率，减少II 型号汽车的满意率． 19．【答案】（1）见解析；（2）23．【解析】（1）PA PD =，AO OD =，PO AD ∴⊥，又底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，BO AD ∴⊥，PO BO O =，AD ∴⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，AD PB ∴⊥．（2）平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO AD ⊥，PO ∴⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，2AD AB ==，PO ∴=，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，2AB =，由（1）BO AD ⊥，11222OBC S BC OB ∴=⨯⨯=⨯△，2PM MC =，22212123333333P OBM M POB C POB P OBC OBC V V V V S PO ----∴====⨯⨯=⨯=△．20．【答案】（1）2212x y +=；（2）220x y -+=或220x y ++=．【解析】（1）由题意得IOJ △，所以IJ = 设椭圆C 的半焦距为c，则222c aa b c ===⎧⎪+⎪⎪⎩1a b ⎧==⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由题知，点1F 的坐标为()1,0-，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()()20y k x k =+≠，点()11,A x y ，()22,B x y ．联立()22122x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去y ，得()2222128820k x k x k ++-+=，所以()()()()222228412828120Δk k k k =+=-->-，所以2102k <<．()* 且2122812k x x k +=-+，21228212k x x k -=+．因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=，则()()1122110x y x y ---⋅---=,,，12121210x x x x y y ++++=，()()1212121220x x x x k x k x ⋅++++++=，整理得()()()2221212121140k x x k x xk +++++=+．即()()()22222221828121401212k k k k k k k +-⎛⎫+⋅-+++= ⎪++⎝⎭．化简得2410k -=，解得12k =±．因为12k =±都满足()*式，所以直线AB 的方程为()122y x =+或()122y x =-+．即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=． 21．【答案】（1）e1-；（2）2a ≤-．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，当0a =时，()f x 的导数()1ln f x x ='+．令()0f x '>，解得1e x >；令()0f x '<，解得10ex <<．从而()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．所以，当1e x =时，()f x 取得最小值e1-．（2）令()()()()()2ln 12a F x f x g x x a x x x x =-=+--≥，那么，对于任意1x ≥都有()()f x g x ≥，只须()0F x ≥即可， ()ln aF x x ax x'=+-，且()10F '=，记()()()ln 1aG x F x x ax x x==+-≥'，()21a G x a x x =--'，由已知0a ≤，所以对于任意1x ≥，都有()210aG x a x x-'=->恒成立，又因为()()110G F ='=，所以()F x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 112aF x F ==--，由102a--≥，解得2a ≤-，所以，当2a ≤-时，对任意1x ≥都有()()f x g x ≥成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）直线l 与曲线1C 公共点的极坐标为()0,0，π4⎫⎪⎭；（2）1-．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为()2211x y -+=，直线l 的普通方程为y x =，联立方程()2211x y y x -+==⎧⎪⎨⎪⎩，解得00x y ==⎧⎨⎩或11x y ==⎧⎨⎩，所以，直线l 与曲线1C 公共点的极坐标为()0,0，π4⎫⎪⎭．（2）依题意，设直线l '的参数方程为3cos 21sin 2x t y t αα=⎧⎪=+⎨+⎪⎪⎪⎩（α为倾斜角，t 为参数），代入()2211x y -+=，整理得()21cos sin 02t t αα++-=．因为AB 的中点为P ，则120t t +=．所以cos sin 0αα+=，即tan 1α=-．直线l '的斜率为1-．23．【答案】（1）{}11M x x =-<<，1122P x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）当12a =时，()12,211111,222212,2x x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=++-=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，结合图象知，不等式()2f x <的解集{}11M x x =-<<，同理可得，当14a =时，不等式()1f x <的解集1122P x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）证明：∵m M ∈，n P ∈，∴11m -<<，1122n -<<，21m <，241n <， ()()()()222222222124411140m n mn m n m n m n +-+=+--=--<，∴()()22212m n mn +<+，即212m n mn +<+．。

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