向量内积的坐标运算与距离公式
线性代数§5.1向量的内积
称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0 .
例1: 求向量x = (1, 2, 2, 3)与y = (3, 1, 5, 1)的夹角. 解: [x, y]=13+21+25+31=18,
|| x || 12 22 22 32 18,
|| y || 32 12 52 12 36,
由于1, 2, ···, r 是两两正交的非零向量组,则有
当 i j 时, [i, j]=iTj = 0, 当 i = j 时, [i, i]=iTi 0,
用iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得, 1iT1 + ···+ iiTi + ···+ riTr = iT0 = 0,
2. 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量 组为正交向量组. 3. 正交向量组的性质
定理1: 若向量组1, 2, ···, r 是n维正交向量组, 则1, 2, ···, r 线性无关.
证明: 设有数1, 2, ···,r, 使得: 11 + 22 + ···+ rr = 0
解: 先正交化. 取
b1= a1=(1, 1, 1, 1),
b2
a2
[b1 ,a2 [b1 ,b1
] ]
b1
(1, 1,0,4)
114
(1,1,1,1) (0, 2, 1,3),
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
(3,5,1, 1) 8 (1,1,1,1) 14(0, 2, 1,3)
向量内积的坐标运算
向量的内积的直角坐标运算
一、复习导入： 1. 如何用向量的长度、夹角表示内积？ 2. 如何用内积、长度来表示夹角？ 3.
a b
的充要条件?
4. 如何用向量的内积表示向量的长度?
向量的内积：
向量的夹角：
a b ab 0
a a ,b a b b cos a b cos a,b a b
x x y y 1 2 1 2 x y x y 1 1 1 1
2 2 2 2
【探究三】平面向量夹角及模长问题
例题 4 ：设 a ( 3 , 4 ), b ( 4 , 2 ), 求 : ( 1 ) a b
( 2 ) a
( 3 ) b
( 4 ) cos a ,b
a // （ b b 0 ） 存在唯 使得 a b
ab / / x y x y 0 交叉相乘作差等于0 12 21
注意记忆向量垂直与平行的坐标表示区别。
【探究二】两向量垂直与平行的应用
例题 2 ：设 a ( 2 , x ), b ( 4 , 8 ), 如果 a b ，求 x 的
)a(3 ,5 ), b( 5 , 3 ) (3 )a ( 2 ,0 ),b (0 ,7 ) (4
3 、已知 a ( 1 , 3 ), b ( 2 , 6 ) 则 cos a , b 0 a , b
垂直
垂直
垂直
不垂直
1
j
③ i j =
0
② j j = 1 ④ j i = 0
平面向量的直角坐标运算
-2
与向A量 有 B 何关相系 同 ？
-3
4
（一）平面向量坐4 标的概念
3
a
a2 j
2
r
B
a
a2 j
a1i
1
j
A
ar 1 i
C
向量 a 表示平面内任意一向量
-2
2
4
6
Oi
-1
a A A B C C a B 1 i a 2j
-2
同一个向量的坐标是唯一的，与位置无关。
-3
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5
r 一般地，在平面直角坐标系中，对任意向量 a ，都有且只有
a
b
a1b1
a2b2．
aa∥b
b
a
b
0
a1b1
a2b2
0．
( 2 ) 若 A (x 1 ,y 1 ),B (x 2 ,y 2 ), u A u B u r (x 2 x 1 ,y 2y 1 )
两点间距离公式
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33
a a2 a a (计算向量的长度)
4/21/2020
练习一:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ② i j __0___ ③ j i ___0___ ④ j j __1___
解： i i i i cos i ,i
11 cos0
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1
1.向量加法：
B
C
OAACOC
2.向量减法：
OAOB OC O
A
B
OAOBBA
3. 数乘向量：
OBOAAB
A
O
如 a 与 b 果 b 0 平行，本 则定 由理 平
向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及几何意义
向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及⼏何意义向量的内积（点乘）定义概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。
对两个向量执⾏点乘运算，就是对这两个向量对应位⼀⼀相乘之后求和的操作，如下所⽰，对于向量a和向量b：a和b的点积公式为：这⾥要求⼀维向量a和向量b的⾏列数相同。
注意：点乘的结果是⼀个标量(数量⽽不是向量)定义：两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是⾮零向量，则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。
向量内积的性质：1. a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a = 0. （正定性）2. a·b = b·a. （对称性）3. (λa + µb)·c = λa·c + µb·c，对任意实数λ, µ成⽴. （线性）4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).5. |a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成⽴.向量内积的⼏何意义内积（点乘）的⼏何意义包括：1. 表征或计算两个向量之间的夹⾓2. b向量在a向量⽅向上的投影有公式：推导过程如下，⾸先看⼀下向量组成：定义向量c：根据三⾓形余弦定理（这⾥a、b、c均为向量，下同）有：根据关系c=a-b有：即：向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从⽽有a和b间的夹⾓θ：进⽽可以进⼀步判断两个向量是否同⼀⽅向或正交(即垂直)等⽅向关系，具体对应关系为：向量的外积（叉乘）定义概括地说，两个向量的外积，⼜叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是⼀个向量⽽不是⼀个标量。
并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平⾯垂直。
定义：向量a与b的外积a×b是⼀个向量，其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其⽅向正交于a与b。
2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.
张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行． 如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为 （填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角． 考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角． 考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与 的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。
7向量内积的坐标运算与公式
则 a0＝±|a1|a＝±|ax|，|ay|
＝±
x2x＋y2，
y
x2＋y2
其中正号，负号分别表示与 a 同向和反向．
易知 b＝(－y，x)和 a＝(x，y)垂直，
∴与 a 垂直的单位向量 b0 的坐标为±
x－2＋y y2，
x2x＋y2，
其中正，负号表示不同的方向.
∵90°<α<180°，∴－1<cosα<0.
∴－1<
－2λ－1 5· λ2＋1<0.
∴－－22λλ－－11><0－， 5λ2＋5.
即λ>－12，
即λ>－12，
2λ＋12<5λ2＋5， λ≠2.
∴λ 的取值范围是－12，2∪(2，＋∞)．
规律技巧 由于两个非零向量 a，b 的夹角 θ 满足 0°≤θ≤180°，所以用 cosθ＝|aa|·|bb|来判断，可将 θ 分五种情况： cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0 且 cosθ≠－1，θ 为钝角；cosθ>0 且 cosθ≠1，θ 为锐角．
2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则 a⊥b⇔ 式
向量模公式 两点间距离公式
向量的夹角公式
设 a＝(a1，a2)，则|a|＝ a21＋a22
若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝
x2－x12＋y2－y12
自测自评
1.已知向量 a＝(1,2)，b＝(x＋1，－x)，且 a⊥b，则 x＝( )
A．2
2 B.3
向量内积的坐标运算与距离公式
AB =
(x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2．
− 3 求 例2 已知 A ( 2 ， 4 )， B ( − 2 ， )， AB
．
解：由已知条件得
7 AB = ( − 2，) − ( 2， 4 ) = (− 4，)， 3 −
所以 AB =
(−4) 2 + 7 2 =
65 ．
1 3 0 练习： 练习：已知 A ( 2 ，)， B ( 6 ， )， C ( 5 ， ).
向量 向量 向 量
7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式
1.已知非零向量 a b 则 a b的内积表达式是怎样的？ 已知非零向量 与 ， 与 的内积表达式是怎样的？ 由内积表达式怎样求 cos a, b〉？ 〈
a ⋅ b = a b cos a, b 〈 〉
cos a, b = 〈 〉 a⋅b ab
AB ⊥ AC ． 求证： 求证：
证明： 证明：因为
AB = ( 2，) − (1，) = (1， ， 3 2 1)
AC = ( − 2，) − (1，) = ( − 3，)， 5 2 3
可得
AB ⋅ AC = (1， ⋅ ( − 3，) = 0． 1) 3
所以 AB ⊥ AC ．
本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距 离公式，常见的题型主要有： 离公式，常见的题型主要有： 1．直接用两向量的坐标计算内积； 直接用两向量的坐标计算内积； 2．根据向量的坐标求模； 根据向量的坐标求模； 3．根据两点的坐标求两点间的距离； 根据两点的坐标求两点间的距离； 4．运用内积的性质判定两向量是否垂直． 运用内积的性质判定两向量是否垂直．
必做题： 练习A 必做题：教材 P56 练习 组第 1 题； 选做题： 选做题：教材 P56 练习 B 组第 1题． 题
向量内积的坐标表示
1
复习回顾
向量的内积
a b a b cos
cos a b
| a || b |
a⊥b a ·b=0 (判断两向量垂直的依据)
运算律： 1．a b b a
2．ab a b a b 3． a bc a c bc
③ j i ___0___ ④ j j __1___ 由于a=（x1，y1）， b =（x2，y2）
故ab x1i y1 j x2i y2 j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2 x1x2 y1 y2 两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即
AC 2 1,5 2 3,2 ∴ AB AC 1 313 0
ABC 是直角三角形.
试一试：教材40页习题7.3第6题
分析:
例4:已知 a 1,2,b 3,2当k取何值时,
1). k a b 与 a 3b 垂直? 2).k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向还是反向?
探究新知
在直角坐标系中已知两个非零向量a=（x1，y1）， b =（x2，y2），
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a b (x1 x2 Nhomakorabea y1 y2 )
a ( x1, y1)
如何用a 与b的坐标表示
a•
b
呢
？
向量内积的坐标表示
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求 ① i i __1___ ② i j ___0___
a b x1x2 y1 y2
利用向量内积计算立体几何中的“距离”和“夹角”
不难 求 出 相关 点 及 相关 向量 的坐 标 ： Ｄ（ ０ ， ０ ， ０ ） ， Ａ ， Ｏ ） ， ｃ （ ｏ ， ２ ， ０ ） ， Ｐ （ ０ ， ２ ， Ｘ ／ Ｔ） ， Ｅ （Ｘ ／ Ｙ ＃３ －０
＿
一
１
，
，
，
Ｏ ） ， 商
置 时 ，利 用 公 式 ｄ ＝
二（ １ ） （ 是 平 面 法 向量 ， Ｐ 是 平 面外 的
（ ， 一 要 ， ｏ ） ， ＝ （ ０ ， ０ ， ｘ ／ Ｔ ） ， 设 ０ 【 的 法 向 量 ： （ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ，
， ０ ） ， ｘｏ － － － ｄ ： （ ０ ， ２ ，
ｊ
由 ． 矗： ０ ， ｎ ． ： ｏ 易求得一个 ： （ １ ，
ＭＣ Ｄ上平 面 Ｂ Ｃ Ｄ， Ａ Ｂ上平 面Ｂ Ｃ Ｄ， Ａ Ｂ ＝ ２ 、 ｖ ／ ３ ，求 点 Ａ到 平 面
－
：
（ 、 ／ ， 一 １ ， １ ） ， 代人公式 （ １ ） 得所求距离ｄ ：
３ ： — ２ Ｘ ／
—
、 ／５
２
一
距 离 和夹 角 （ 两条异面直线之间的距离 、 点 到 平 面 的 距 离 和异面直线所成 的角 、 直线 与 平 面 所 成 的 角 、 二面角 等 ） 是 立 体 几何 中 的 计 算 难 点 。 也是 考试热点． 用 传 统 知 识 和 方 法 解 决 这 些 问题 ． 往往要对图形做过多的分析 ． 需 要 作 辅 助 线 和 一 些 烦琐 的拼凑技巧 ． 对学生 而言不易掌握． 利 用 向量 内积 知识 一 般 可将 上 述 的问 题 转 化 为 代 数 问题 来 解 决 ．可避 免许 多 繁 难 的图形分析 ， 将 问 题 的解 决 程 序 化 和 公 式 化 ， 易于操作 ， 学 生 也 容易掌握 ， 可大大降低思 维难度 ， 提 高 学 生 的解 题 能 力 ． 正 如 张 奠 宙教 授 说 的 ．利 用 向量 许 多 几何 命 题 迎 刃 而 解 … … 比 起 综合方法需要 “ 个别处理 ” 的技 巧 ， 它是一个 “ 一揽 子” 解 决
向量内积的坐标运算
向量内积的结果是一个标量，而不是向量。
向量内积的性质
交换律
$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
分配律
$(mathbf{A} + mathbf{C}) cdot mathbf{B} = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{C} cdot mathbf{B}$。
零向量没有固定的大小和方向，其坐 标表示为$(0,0)$。
在二维平面直角坐标系中，零向量可 以表示为起点与终点的坐标相同的有 向线段，例如从点$(1,2)$到点$(1,2)$ 的有向线段。
03
CHAPTER
向量内积的坐标运算
向量内积的坐标运算公式
向量内积的坐标运算公式
假设向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$mathbf{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
物理量。
向量内积在数学中的应用
向量模的计算
向量模是向量的长度，可以通过向量内积来 计算。
向量的投影
向量投影是向量内积的一个重要应用，可以用来计 算一个向量在另一个向量上的投影长度和方向。
线性代数
向量内积在线性代数中有着广泛的应用，如 矩阵的乘法、特征值和特征向量的计算等。
向量内积在其他领域的应用
注意事项二
向量的内积运算满足交换律和分配律。即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$，并且对于任意标量k，有$k(mathbf{A} cdot mathbf{B}) = (mathbf{A}k) cdot mathbf{B} = mathbf{A} cdot (mathbf{B}k)$。
教案运用平面向量的坐标求内积
平面向量内积的坐标表示教案章节一：向量内积的概念介绍教学目标：1. 了解向量内积的定义和几何意义。
2. 掌握向量内积的计算公式。
教学内容：1. 向量内积的定义：两个向量a和b的内积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
2. 向量内积的几何意义：向量内积可以表示为两个向量的数量积，即向量a和b的模长的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
3. 向量内积的计算公式：在坐标系中，向量a和b可以表示为a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，则它们的内积为a·b = a1b1 + a2b2。
教学活动：1. 引入向量内积的概念，通过图形和实际例子解释向量内积的定义和几何意义。
2. 引导学生理解向量内积的计算公式，并给出具体的计算例子。
作业：1. 练习计算两个向量的内积，包括坐标表示和数量积的计算。
教案章节二：向量内积的性质教学目标：1. 掌握向量内积的基本性质。
2. 学会运用向量内积的性质解决问题。
教学内容：1. 向量内积的交换律：a·b = b·a。
2. 向量内积的分配律：a·(b+c) = a·b + a·c。
3. 向量内积的数乘性质：λa·b = (λa)·b = λ(a·b)。
4. 向量内积的非负性：a·b ≥0，且当a和b夹角为0度时，a·b取最大值|a||b|。
教学活动：1. 引导学生通过实例验证向量内积的交换律、分配律和数乘性质。
2. 讲解向量内积的非负性，并解释其几何意义。
作业：1. 运用向量内积的性质计算一些具体的向量内积。
教案章节三：向量内积的应用教学目标：1. 学会运用向量内积解决实际问题。
2. 掌握向量内积在几何和物理中的应用。
教学内容：1. 向量内积在几何中的应用：计算向量的夹角、判断平行或垂直关系等。
2. 向量内积在物理中的应用：力的合成与分解、动能和势能的计算等。
内积
他是一种矢量运算，但其结果为某一数值，并非向量。
设矢量A=[a1,a2,...an]，B=[b1,b2...bn]
则矢量A和B的内积表示为: A·B=a1×b1+a2×b2&
外积的几何意义：a和b所张成的平行四边形的有向面积
坐标公式：a*b=(0,0,x1y2-x2y1)或者(x1y2-x2y1)k
注意，矢量的外积仍然是一个矢量，只不过我们在上边的公式中人为规定了正方向k，可以理解为根据右手螺旋定则，四指由a转向b时拇指所指向的方向，也就是正方向。
2.向量的外积即向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
2.设空间坐标系下矢量a=(x1,y1,0) b=(x2,y2,0）k=(0,0,1)
A·B = |A| × |B| × cosθ
|A|=(a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/2);|B|=(b1^2+b2^2+...+bn^2)^(1/2).
其中，|A|和|B|分别是向量A和B的模，是θ向量A和向量B的夹角（θ∈[0,π]）。
若B为单位向量，即|B|=1时，A·B= |A| × cosθ，表示向量A在B方向的投影长度。
矢量的内积：
内积的几何意义：a在b的投影a’与b的长度乘积
坐标公式：a·b=x1x2+y1y2
注意，矢量的内积是一个标量，但是由于两个矢量所成角<a,b>是在[0，180]的，所以有正负之分。根据几何定义a·b=|a||b|cos<a,b>，所以我们可以根据内积方便的计算得到两个矢量所成角是直角，钝角还是锐角。
向量内积的坐标运算与距离公式
向量内积的坐标运算与距离公式向量的内积，也叫点积或数量积，是一个很重要的概念，常用于几何学、物理学和工程学等领域的问题求解中。
本文将详细介绍向量内积的坐标运算和距离公式。
一、向量的内积向量的内积定义如下：对于二维向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们的内积表示为A·B=x1*x2+y1*y2对于三维向量A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)，它们的内积表示为A·B=x1*x2+y1*y2+z1*z2更一般地，对于n维向量A = (x1, x2, ..., xn)和B = (y1,y2, ..., yn)，它们的内积表示为A·B = x1*y1 + x2*y2 + ... +xn*yn。
内积有以下重要的性质：1.交换律：A·B=B·A2.分配律：A·(B+C)=A·B+A·C3.结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)，其中k是一个常数二、向量内积的坐标运算当我们给出向量的坐标时，可以通过坐标运算来计算向量的内积。
设A=(x1,y1)和B=(x2,y2)是二维向量，它们的内积可以表示为A·B=x1*x2+y1*y2例如，当A=(2,3)和B=(4,1)时，它们的内积为A·B=2*4+3*1=11设A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)是三维向量，它们的内积可以表示为A·B=x1*x2+y1*y2+z1*z2例如，当A=(1,2,3)和B=(4,5,6)时，它们的内积为A·B=1*4+2*5+3*6=32三、向量的距离公式向量的距离公式是用来计算两个向量之间的距离的公式。
对于二维向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们之间的距离表示为d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。
例如，当A=(2,3)和B=(4,1)时，它们之间的距离为d=√((4-2)^2+(1-3)^2)=√8=2√2对于三维向量A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)，它们之间的距离表示为d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
向量内积的坐标运算与度量公式
$mathbf{u} cdot mathbf{u} geq 0$，当且仅当$mathbf{u} = mathbf{0}$时取等号。
交换律
$mathbf{u} cdot mathbf{v} = mathbf{v} cdot mathbf{u}$。
向量内积的性质
向量内积的几何意义
两个非零向量的夹角余弦值等于它们的点积除以它们的模长乘积，即$costheta = frac{mathbf{u} cdot mathbf{v}}{|mathbf{u}| |mathbf{v}|}$。
度量公式的几何意义
长度
对于任意向量$mathbf{a}$，其模长（或长度）定义为$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}}$，表示向量$mathbf{a}$的长度或大小。
角度
两个非零向量的夹角余弦值定义为$costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| times |mathbf{b}|}$，其中$theta$表示两向量的夹角。
欧几里得度量公式
对于任意两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，其切比雪夫度量公式为$d(mathbf{a},mathbf{b}) = max{|a_i - b_i|}$，其中$i$表示向量的第$i$个分量。
切比雪夫度量公式
对于任意两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，其曼哈顿度量公式为$d(mathbf{a},mathbf{b}) = |mathbf{a}^Tmathbf{a} - mathbf{b}^Tmathbf{b}|$。
定义
对于任意两个向量$mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$和$mathbf{b} = (b_1, b_2, ldots, b_n)$，其内积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n$。
向量坐标a·b点乘公式
向量坐标a·b点乘公式
点乘，也称为内积或数量积，是向量代数中的一种运算。
对于两个三维向量a和b，它们的点乘可以用以下公式表示：
a·b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3。
其中，a1、a2、a3分别是向量a的三个分量，b1、b2、b3分别是向量b的三个分量。
这个公式也可以写成矩阵形式：
a·b = |a| |b| cosθ。
其中|a|和|b|分别是向量a和b的模长，θ是a和b之间的夹角。
这个公式表明，两个向量的点乘结果等于它们的模长乘积再乘以它们夹角的余弦值。
点乘的几何意义是，它给出了一个向量在另一个向量方向上的投影长度。
当两个向量平行时，它们的夹角为0度，点乘的结果达到最大值；当两个向量垂直时，它们的夹角为90度，点乘的结果为0；当两个向量方向相反时，点乘的结果为负值。
点乘在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
在物理学中，点乘可以用来计算功和做功；在工程学中，点乘可以
用来计算力和力矩；在计算机图形学中，点乘可以用来进行投影变
换和光照计算等。
总之，点乘是向量代数中的重要运算，它不仅有着严格的数学
定义，还具有丰富的几何和物理意义，对于理解和解决实际问题都
具有重要的意义。
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向量内积的坐标运算与距离公式
【教学目标】
1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问
题．
2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．
3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．
【教学重点】
向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．
【教学难点】
向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝| a | | b | cos‹a，b›与a·b＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．。