专题1.3 极值点偏移第一招——不含参数的极值点偏移问题-2121届高考数学压轴题讲义(解答题)

函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.

例.（2010天津理）已知函数()()x

f x xe x R -=∈，如果12x x ≠，且12()()f x f x =.证明：12 2.

x x +>构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈，则0)1()1(')1(')('21>-=--+=+x x e e x

x f x f x F ，所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=，

也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立.

由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈，

所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==，

即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以122x x -<，即证12 2.x x +>学&科网

法三：由12()()f x f x =，得1212x x x e x e --=，化简得2121

x x x e x -=…①，不妨设21x x >，由法一知，1201x x <<<.

令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入①式，得11t t x e x +=，反解出11t t x e =

-，学科#网则121221t t x x x t t e +=+=+-，故要证122x x +>，即证221t t t e +>-，又因为10t e ->，等价于证明：2(2)(1)0t t t e +-->…②，

构造函数()2(2)(1),(0)t G t t t e t =+-->，则()(1)1,()0t t

G t t e G t te '''=-+=>，故()G t '在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G ''>=，

从而()G t 也在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G >=，学&科网

构造(1)ln 2()(1)ln ,(1)11

t t M t t t t t +==+>--，则22

12ln ()(1)t t t M t t t --'=-，又令2

()12ln ,(1)t t t t t ϕ=-->，则()22(ln 1)2(1ln )t t t t t ϕ'=-+=--，由于1ln t t ->对(1,)t ∀∈+∞恒成立，故()0t ϕ'>，

()t ϕ在(1,)t ∈+∞上单调递增，

所以()(1)0t ϕϕ>=，从而()0M t '>，

故()M t 在(1,)t ∈+∞上单调递增，

由洛比塔法则知：1111(1)ln ((1)ln )1lim ()lim lim lim(ln )21(1)x x x x t t t t t M t t t t t

→→→→'+++===+='--，即证()2M t >，即证 式成立，也即原不等式122x x +>成立.

【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.学科*网

例.（2013湖南文）已知函数2

1()1x x f x e x -=+，证明：当1212()()()f x f x x x =≠时，120.x x +<【解析】易知，()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减.学&科网

招式演练：★已知函数2()ln f x x x x =++，正实数12,x x 满足1212()()0f x f x x x ++=.证明：1251

2x x -+≥.

【解析】由1212()()0f x f x x x ++=，得2211122212ln ln 0

x x x x x x x x ++++++=从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=-，

令12t x x =，构造函数()ln t t t ϕ=-，得11

()1t t t t ϕ-'=-=，可知()t ϕ在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，学&科网

所以()(1)1t ϕϕ≥=，也即21212()()1x x x x +++≥，

解得：12512

x x -+≥.★已知函数()ln f x x x =-．

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若方程()f x m =(2)m <-有两个相异实根1x ，2x ，且12x x <，证明：2122x x <.

【答案】（Ⅰ）()y f x =在(0,1)递增，()y f x =在(1,+)∞递减；（Ⅱ）见解析学科@网

（2）由(1)可设的两个相异实根分别为，满足

且，由题意可知又有(1)可知在递减故

所以，令

新题试炼：

【2019福建福州质检】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）求证：.

【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）见解析

【解析】（1）解：由已知得，

∴∴，又∵，

曲线在点处的切线方程为：.

（2）（ⅰ）令，