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等比数列及其前n项和(高三一轮复习)

数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
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思维点睛►
(1)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，分为q＝1时与q≠1时的情况．
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解法二：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.由题意可得aa12＋－aa25＋＝a432＝，168，
即a111－－qq3＝168， a1q1－q3＝42，
a1＝96，解得q＝12，
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
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(2)设等比数列{an}的公比为q，由题意得2（12a3）＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q. 因为数列{an}的各项均为正数，所以a1>0，且q>0，故A、B正确；由q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍)，所以aa32＝q＝3，aa46＝q2＝9，故C错误，D正确，故选ABD.
第六章数列
第3讲等比数列及其前n项和
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究课标解读
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1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系；3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题；4.体会等比数列与指数函数的关系．
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(2)由(1)可知 an－3n＝(－1)n，所以 an＝3n＋(－1)n，所以 Sn＝311－－33n＋－11·－[1－－1－ 1n] ＝3n＋1－2－1n＋1－2.

2025届高三数学等比数列-一轮复习

2025届高三数学等比数列-一轮复习1.等比数列的概念(1)等比数列:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比都等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比常用字母q 表示(显然q ≠0),定义的表达式为a na n -1=q (n ∈N *,n ≥2)或a n+1a n =q (n ∈N *).(2)等比中项:若三个数a ,G ,b 成等比数列,则G 叫做a 与b 的等比中项,且有 .2.等比数列的有关公式(1)通项公式:a n = (n ∈N *);(2)前n 项和公式:S n ={na 1,q =1, ,q ≠1或S n ={na 1,q =1, ,q ≠1.3.等比数列的性质(1)通项公式的推广:a n =a m q n -m (n ,m ∈N *).(2)若数列{a n }为等比数列,且m +n =p +q ,则a m a n =a p a q (m ,n ,p ,q ∈N *).(3)若数列{a n }是等比数列,公比为q ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公比为q m 的等比数列.(4)如果等比数列{a n }的前n 项和为S n ,那么(S 2n -S n )2=S n (S 3n -S 2n ),如果公比q ≠-1或虽q =-1但n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列.不能认为在任何等比数列中,都有S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列（5）当等比数列{a n }的项数为偶数,公比为q 时,S 偶S 奇=q . 4、等比数列的单调性当q >1,a 1>0或0<q <1,a 1<0时,{a n }是递增数列;当q >1,a 1<0或0<q <1,a 1>0时,{a n }是递减数列;当q =1时,{a n }是常数列;当q <0时,{a n }是摆动数列.常用结论 1.若数列{a n },{b n }为等比数列,则{λa n }(λ≠0),{|a n |},⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1,{a n 2},{a n b n },⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 仍为等比数列.2.若数列{a n }为公比不为1的等比数列,其前n 项和S n =A ·q n +B (A ≠0,B ≠0,q ≠0,q ≠1),则必有A +B =0;反之,若某一非常数列的前n 项和S n =A ·q n -A (A ≠0,q ≠0,q ≠1),则数列{a n }必为等比数列.3.若非零数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =ka n +b (k ≠0,k ≠1),则数列{a n }必为等比数列.题型一等比数列基本量的运算【例1】设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=().A.31B.32C.63D.64【对点1】在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.【对点2】已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84【对点3】若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+......+ln a20=.【对点4】等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=7,4 ,则a8=.S6=634题型二等比数列的性质【例2】(1)记S n为等比数列{a n}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=()A.120B.85C.-85D.-120(2)已知正项等比数列{a n}共有2n项,它的所有项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=.【对点1】已知{a n}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=_________. 【对点2】记S n为等比数列{a n}的前n项和,且1Sλ,则=5a=n⋅3-n___________.【对点3】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若6845,,3a a a 成等差数列，则=+6510a a S ___________. 【对点4】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,且436=S S ，则=69S S ___________.题型三等比数列的判定与证明【例3】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n +1=3a n -b n +4,4b n +1=3b n -a n -4.(1) 证明:{a n +b n }是等比数列【对点1】在数列{a n }中,a 1=1,且a n +1=2a n +n -1.（1）证明:数列{a n +n }为等比数列,并求出a n ;【对点2】已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1.(1)证明{a n +12}是等比数列,并求{a n }的通项公式;。

高考数学复习等比数列

高考数学复习等比数列高考要求：1、理解等比数列的概念，2、掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，3、并能解决简单的实际问题．考点回顾：1．定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.2．通项公式11-=n n q a a ,推广形式:mn m n q a a -=,变式),,(*-∈>=N n m m n a a q mn mn3．前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--==)10(11)1()1(111q q q q a a qq a q na S n nn 且注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:若a 、b 、c 成等比数列,则b 是a 、c 的等比中项,且ac b ±=5．在等比数列{}n a 中有如下性质: (1)若q p n m a a a a N q p n m q p n m ⋅=⋅∈+=+*则,,,, (2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若{}为等比数列数列n nn a N n q a a ⇔∈=*+)(1(2)等比中项法:若{}为等比数列数列且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*++)0(21221 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:若{}为等比数列数列且为常数n nn a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论 ②当{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>>()1(111-=--+q q a a a n n n ){}为递减数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<>><考点解析：考点1、关于基本量的计算EG1．数列{}n a 为等比数列,求下列各值, (1)已知.,2118367463n a a a a a n 求==+=+ (2) .,15367382q a a a a 求公比已知=+= (3) .),21(15,218a S q 求已知-=-=思维分析:运用等比数列的基本公式和基本性质”知三求二”问题解(1)21,36,18)(63636374=∴=+=+=+=+q a a a a q q a q a a a 9212)21(3232,36)1(833333333363=∴====∴=∴=+=+=+---n q a a a q a q a a a a n n n n (2) ,03615,,1536273738273两根是方程=+-∴=+==x x a a a a a a a a222414,3,1212,3447373±=±=∴==∴====∴q q q q a a a a 或或或 (3)1)21()21()21(1521)15(21])2(1[11818=+⋅--=∴-=+-=+--=a a a SB1-1.设一个等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),其前n 项和为80,而其中最大的一项为54,又其前2n 项和是6560,求a 和q.思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想, 解:若q=1,则na=80,∴2na=160矛盾,1≠∴q于是)3(541,081)1()2()2(65601)1()1(801)1(11211==∴>∴>=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=---n n n nn q a a q q q q q a qq a 又得 3,2548111)3)(1(81==∴=-=-=q a q a qaq n 及得代入 B1-2、设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 3+S 6=2S 9,求数列的公比q.答案:243-=q B1-2 已知等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n .剖析：利用等比数列的基本量a 1，q ，根据条件求出a 1和q . 解：设{a n }的公比为q ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=++,8,721112111q a q a a q a q a a解得⎩⎨⎧==2,11q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.21,41q a ∴a n =2n －1或a n =23－n.评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.2.关于等比数列的证明EG2.已知数列{}n a ,S n 是它的前n 项和,且1),(2411=∈+=*+a N n a S n n (1)设)(21*+∈-=N n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列(2)设nn na c 2=,,求证:数列{}n c 是等差数列思维分析:证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n 项和S n 已知可求a n 解:(1) n n n n n n n n n n n a a a a a S S a S a S 444424,2412112121-=-=-⇒+=+=++++++++即n n n n n n n n n b b a a b a a a a 22),2(2211112=∴-=-=-⇒+++++而,由此可得{}n b 是等比数列且首项112123,2,32-⋅=∴==-=n n b q a a b 公比(2)43223222,2111111=⋅==-=-∴=+-++++n n n n n n n n n n n n n b a a c c b c 可知{}n c 是首项43,21211===d a c 公差的等差数列,4143-=∴n c n B2-2、数列{}{}n n b a ,的通项公式分别是,23,2+==n b a n nn 它们公共项由小到大排列的数列是{}n c ,①写出{}n c 的前5项 ②证明{}n c 是等比数列思维分析:容易证明{}n c 是等比数列,由定义式,只需找出{}n c 中任意相邻两项关系即可. 解(1) {}n c 的前5项为:8、32、128、512、2048（2）设1)12(3)23(222,232,1++⋅=+=⋅=+==∴==+p p a p c c b a mm mn n p m 而{}{}中在又中不在bn a p p a b a m m m n m 221,2)24(3)23(424,+++∴++⋅=+⋅=⋅=∴{}{}是等比数列故项中的项即是n n n n n m c c c c c a ,4,112=∴∴+++B2-3 已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n .剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a n k ，然后列方程求得k n .解：设｛a n ｝的首项为a 1，∵a 1k 、a 2k 、a 3k 成等比数列，∴（a 1＋4d ）2＝a 1（a 1＋16d ）. 得a 1＝2d ，q ＝12k k a a ＝3.∵a n k ＝a 1＋（k n －1）d ，又a n k ＝a 1·3n －1，∴k n ＝2·3n －1－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2（1＋3＋…＋3n －1）－n＝2×3131--n －n ＝3n－n －1.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于k n 的方程是解题的关键，转化时要注意：a nk 是等差数列中的第k n 项，而是等比数列中的第n 项.B2-4 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列，lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n 、b n .剖析：由等比中项、等差中项的性质得a n +1=1+⋅n n b b 递推出a n =n n b b ⋅-1（n ≥2）. 解：∵5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列， ∴（5n b ）2=5n a ·51+n a ，即2b n =a n +a n +1.①又∵lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，∴2lg a n +1=lg b n +lg b n +1，即a n +12=b n ·b n +1.②由②及a i ＞0，b j ＞0（i 、j ∈N *）可得a n +1=1+⋅n nb b .③ ∴a n =n n b b 1-（n ≥2）.④将③④代入①可得2b n =n n b b ⋅-1+1+⋅n n b b （n ≥2）， ∴2n b =1-n b +1+n b （n ≥2）. ∴数列{n b }为等差数列. ∵b 1=2，a 2=3，a 22=b 1·b 2，∴b 2=29. ∴n b =2+（n －1）（29－2） =21（n +1）（n =1也成立）.∴b n =2)1(2+n . ∴a n =n n b b ⋅-1=2)1(222+⋅n n =2)1(+n n （n ≥2）. 又当n =1时，a 1=1也成立.∴a n =2)1(+n n .评述：由S n 求a n 时要注意验证a 1与S 1是否一致.方法归纳：1．涉及等差比数列的基本概念的问题，常用基本量q a ,1来处理；2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；3．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求．实战训练1．等比数列{a n }中，如果817643=⋅⋅⋅a a a a ，则a 1a 9的值为A ．3B ．9C ．±3D ．±92．在等比数列{a n }中，100992019109,),0(a a b a a a a a a +=+≠=+则等于（）A ．89abB ．9)(abC ．910abD ．10)(ab3．已知821,,,a a a 是各项均为正数的等比数列，且公比q ≠1，则A=与81a a +B=54a a + 的大小关系是（） A ．A>B B ．A<BC ．A=BD ．不确定，由公比q 的取值而定4．无穷等比数列｛a n ｝的前n 项的和S n ＝a －(21)n，则所有项的和是[ ] A ．1 B ．21 C ．－21D ．任意实数 5.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是A.arccos215-B.arcsin215- C.arccos 251-D.arcsin251- 解析：设Rt △ABC 中，C =2π，则A 与B 互余且A 为最小内角.又由已知得sin 2B =sin A ，即cos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =215-或sin A =215--（舍）.答案：B6.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于A.210B.220C.216D.215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3=（q a 3）3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=（1030963qa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）3.又q =2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220.答案：B7.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为A.5B.10C.14D.15解析：由题意列式（1－20%）n＜5%，两边取对数得n ＞2lg 3112lg -+≈13.4.故n ≥14.答案：C8.（2004年全国，文14）已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =___________________.解析：由已知得q 7=aa 10=128=27，故q =2.∴a n =a 3·q n －3=3·2n －3. 答案：3·2n －39.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n （n ∈N *）行，在这些数中非1的数字之和是___________________.1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1……解析：观察可知，第n （n ∈N *）行中有n 个数，从左向右依次是二项式系数C 01-n ，C 11-n ，C 21-n ，…，C 11--n n ，故当n ≥3时，除了1外，第n 行各数的和为a n =C 11-n +C 21-n +…+C 21--n n =2n －1－2.又前两行全部为数字1，故前n 行非1的数字之和为a 3+a 4+…+a n =21)21(42---n －2（n －2）=2n －2n .12、无穷等比数列{a n }的前项和S n ，公比1≠q ，已知1是221S 和331S 的等差中项，6是2 S 2和3 S 3的等比中项。

高考数学第一轮复习：《等比数列》

高考数学第一轮复习：《等比数列》最新考纲1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系.【教材导读】1．如何推导等比数列的通项公式？采用什么方法？提示：可采用累积法推导．2．b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：必要而不充分条件，因为b2＝ac时，不一定有a，b，c成等比数列(如a＝0，b＝0，c＝1)，而a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.3．如何推导等比数列的前n项和公式？采用了什么方法？提示：可用错位相减法推导．1．等比数列的相关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．符号表示为a na n－1＝q(n≥2)，q为常数．(2)等比中项：如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么Ga＝bG，即G2＝ab.2．等比数列的通项公式(1)设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，q≠0，则它的通项公式a n＝a1q n－1.(2)通项公式的推广a n＝a m·q n－m.3．等比数列的前n 项和公式S n ＝⎩⎨⎧na 1， q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ， q ≠1.4．等比数列的常见性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍然是等比数列．(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．5．等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列；当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列；当q ＝1时，{a n }是常数列． 6．等比数列与指数函数的关系当q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n，可以看成函数y ＝cq x ，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上．1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) (A)－24 (B)0 (C)12(D)24A 解析：由等比数列的性质和定义进行解题，由等比中项性质得(3x ＋3)2＝x ·(6x ＋6)，因x ＋1≠0，得x ＝－3.所以a 4＝(6x ＋6)·3x ＋3x ＝18·(x ＋1)2x ＝－24.故选A.2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )(A)1盏(B)3盏(C)5盏(D)9盏B解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得a1(1－27)1－2＝381，解得a1＝3，选择B.3．已知a1，a2，…，a n，…为各项均大于零的等比数列，公比q≠1，则()(A)a1＋a8＞a4＋a5(B)a1＋a8＜a4＋a5(C)a1＋a8＝a4＋a5(D)a1＋a8与a4＋a5的大小关系不能由已知条件确定A解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7)－a1(q3＋q4)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1(1－q3)(1－q4)．q＝a na n－1＞0且q≠1，当q＞1时，q3＞1，q4＞1,1－q3＜0,1－q4＜0；当0＜q＜1时，q3＜1，q4＜1,1－q3＞0,1－q4＞0.总之a1(1－q3)(1－q4)＞0.∴a1＋a8＞a4＋a5.4．若正项等比数列{a n}满足a n＋2＝a n＋1＋2a n，则其公比为()(A)12(B)2或－1(C)2 (D)－1C解析：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a n＋2＝a n＋1＋2a n，则有a n q2＝a n q＋2a n，即q2－q－2＝0，解可得q＝2或－1，由数列{a n}为正项等比数列，可得q＝2，故选C.5．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 为________．解析：若q ＝1，则S n ＝na 1，∴{S n }是等差数列；若q ≠1，则当{S n }是等差数列时，一定有2S 2＝S 1＋S 3， ∴2·a 1(1－q 2)1－q ＝a 1＋a 1(1－q 3)1－q ，即q 3－2q 2＋q ＝0，故q (q －1)2＝0， ∴q ＝0或q ＝1，而q ≠0，q ≠1，∴此时不成立．答案：1考点一等比数列的基本运算(1)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) (A)31 (B)36 (C)42(D)48解析：(1)解法一由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝4n －1.解法二由题意可设等比数列{a n }的前3项分别为x 4，x,4x ，则x4＋x ＋4x ＝21，解得x ＝4，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝4×4n －2＝4n －1.(2)a 3a 5＝a 2a 6＝64，因为a 3＋a 5＝20，所以a 3和a 5为方程x 2－20x ＋64＝0的两根，因为a n ＞0，q ＞1，所以a 3＜a 5，所以a 5＝16，a 3＝4，所以q ＝a 5a 3＝164＝2，所以a 1＝a 3q 2＝44＝1，所以S 5＝1－q 51－q＝31.【反思归纳】等比数列基本运算的方法策略(1)将条件用a 1，q 表示，在表示S n 时要注意判断q 是否为1； (2)解方程(组)求出a 1，q ，消元时要注意两式相除和整体代入； (3)利用a 1，q 研究结论．【即时训练】 (1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N )．(2)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8等于( ) (A)255 (B)256 (C)510(D)511解析：(1)很明显等比数列的公比q ≠1，则由题意可得：S 3S 6＝a 1(1－q 3)1－q a 1(1－q 6)1－q＝11＋q 3＝89，解得：q ＝12，则：a n ＋1a n －a n －1＝a n －1q 2a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝1412－1＝－12.(2)当n ＝1时，a 1＝2a 1－2，据此可得：a 1＝2，当n ≥2时：S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2，两式作差可得：a n ＝2a n －2a n －1，则：a n ＝2a n －1，据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为：S 8＝2×(1－28)1－2＝29－2＝510－2＝510.故选C.答案：(1)－12 (2)C考点二等比数列的判定与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *有a n ＋S n ＝n . (1)设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c 1＝a 1且c n ＝a n －a n －1(n ≥2)，求{c n }的通项公式．(1)证明：由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1得a 1＝12. 又由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1得 a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1. ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2b n ＋1＝b n .∴数列{b n }是以b 1＝a 1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列． (2)解：方法一：由(1)知2a n ＋1＝a n ＋1. ∴2a n ＝a n －1＋1(n ≥2)， ∴2a n ＋1－2a n ＝a n －a n －1， ∴2c n ＋1＝c n (n ≥2)．又c 1＝a 1＝12，a 2＋a 1＋a 2＝2，∴a 2＝34. ∴c 2＝34－12＝14，c 2＝12c 1.∴数列{c n }是首项为12，公比为12的等比数列． ∴c n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 方法二：由(1)b n ＝－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＋1.∴c n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ≥2)．又c 1＝a 1＝12也适合上式，∴c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .【反思归纳】等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则数列{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式写成a n ＝c ·q n (c 、q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则数列{a n }是等比数列．如果判定某数列不是等比数列，只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可．【即时训练】已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．解析：(1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列．(2)因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n (a n －3n ＋21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b 1＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，则b n ≠0，所以b n ＋1b n＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．考点三等比数列的性质及应用(1)等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3(D)5(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.解析：(1)因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项，所以(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝(a 5＋a 7)2a 1＋a 3＝428＝2；同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项，所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)，故a 13＋a 15＝(a 9＋a 11)2a 5＋a 7＝224＝1.所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3.(2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.答案：(1)C (2)－12【反思归纳】在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n 项和公式，建立方程(组)求解，但如果灵活运用等比数列的性质，可减少运算量，提高解题速度．【即时训练】 (1)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )(A)18 (B)－18 (C)578(D)558(2)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：(1)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，在等比数列中S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.故选A.(2)利用等比数列通项公式求出首项a 1与公比q ，再将a 1a 2…a n 的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数最值问题．设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12(n －1)n 2＝23n －n 22＋n 2＝2－n 22＋72n . 记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. 答案：(1)A (2)64等比数列的基本运算教材源题：在等比数列{a n }中： (1)已知a 1＝－1，a 4＝64，求q 与S 4； (2)已知a 3＝32，S 3＝92，求a 1与q . 解：(1)由q 3＝a 4a 1＝－64，解得q ＝－4，所以S 4＝a 1－a 4q 1－q ＝－1＋64×41＋4＝51.(2)因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3(q －2＋q －1＋1)，所以q －2＋q －1＋1＝3，即2q 2－q －1＝0，解这个方程得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，a 1＝32；当q ＝－12时，a 1＝6.【规律总结】解决等比数列的基本计算问题主要是利用方程思想，建立方程(组)求解．注意两式相除、整体代换、分类讨论等技巧的应用．【源题变式】在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________.解析：因为a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15，a 1q 3－a 1q ＝6(q ≠1)两者相除得(q 2＋1)(q 2－1)q ·(q 2－1)＝156，即2q 2－5q ＋2＝0，所以q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1，当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．所以a 3＝1×22＝4.答案：4课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件B 解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2，由a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .故选B.2．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( ) (A)(－2)n －1 (B)－(－2)n －1 (C)(－2)n(D)－(－2)nA 解析：∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1.∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3，∴q 3＝－8，∴q ＝－2.又a 5＞a 2，即a 2q 3＞a 2，∴a 2＜0.而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1.故a n ＝a 1·(－2)n －1＝(－2)n －1.故选A.3．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( ) (A)16(1－4－n )(B)16(1－2－n )(C)323()1－4－n (D)323(1－2－n )C 解析：∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12.a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n )．故选C. 4．在等比数列{a n }中，若a 1＝19，a 4＝3，则该数列前5项的积为( ) (A)±3 (B)3 (C)±1(D)1D 解析：因为a 4＝3，所以3＝19×q 3(q 为公比)，得q ＝3，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝(a 1q 2)5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19×95＝1，故选D. 5．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn 等于( )(A)32 (B)32或23 (C)23(D)以上都不对B 解析：设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a ＜c ＜d ＜b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23.故选B.6．已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )(A)29 (B)210 (C)211(D)212C 解析：由b n ＝a n ＋1a n，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211.故选C.7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝________.解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ①，∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n－1②，∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S 2016＝1－210081－2＋2×(1－21008)1－2＝3×21008－3.答案：3×21008－38．如图，“杨辉三角”中从上往下共有n (n ＞7，n ∈N )行，设第k (k ≤n ，k ∈N *)行中不是1的数字之和为a k ，由a 1，a 2，a 3，…组成的数列{a n }的前n 项和是S n ，现有下面四个结论：①a 8＝254；②a n ＝a n －1＋2n ；③S 3＝22；④S n ＝2n ＋1－2－2n .其中正确的结论序号为________．1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 …… ……解析：a n ＝2n －2，S n ＝21＋22＋…＋2n －2n ＝2(1－2n )1－2－2n ＝2n ＋1－2－2n ，故只有①④正确．答案：①④9．设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S n T n ＝n 2n ＋1，则log b 5a 5＝________.解析：设正项数列{a n }的公比为q ，正项数列{b n }的公比为p ，则数列{lg a n }是公差为lg q 的等差数列，{lg b n }是公差为lg p 的等差数列．故S n ＝n lg a 1＋n (n －1)2lg q . T n ＝n lg b 1＋n (n －1)2lg p .又S n T n＝n 2n ＋1＝lg a 1＋n －12lg q lg b 1＋n －12lg p.所以log b 5a 5＝lg a 5lg b 5＝lg a 1＋4lg q lg b 1＋4lg p ＝S 9T 9＝919.答案：91910．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大项为27，求数列的第2n 项．解：若q ＝1，则na 1＝40,2na 1＝3 280，矛盾． ∴q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝40 ①a 1(1－q 2n)1－q＝3 280 ②①②得1＋q n ＝82，∴q n ＝81③将③代入①得q ＝1＋2a 1④又∵q ＞0，∴q ＞1，∴a 1＞0，{a n }为递增数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝27由③④⑤得q ＝3，a 1＝1，n ＝4. ∴a 2n ＝a 8＝1×37＝2 187.能力提升练(时间：20分钟)11．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前100项和为S 100＝90，则其偶数项a 2＋a 4＋…＋a 100为( )(A)15 (B)30 (C)45(D)60D 解析：S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 100＝90，设S ＝a 1＋a 3＋…＋a 99，则2S ＝a 2＋a 4＋…＋a 100，所以S ＋2S ＝90，S ＝30，故a 2＋a 4＋…＋a 100＝2S ＝60，故选D.12．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )(A)158或4 (B)4027或4 (C)4027(D)158C 解析：设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.而S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q .解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.故选C.13．已知各项均不相等的等比数列{a n }，若3a 2,2a 3，a 4成等差数列，设S n 为{a n }的前n 项和，则S 3a 3＝( )(A)139 (B)79 (C)3(D)1A 解析：4a 3＝3a 2＋a 4， 4a 1q 2＝3a 1q ＋a 1q 3， ∴q 2－4q ＋3＝0， q ＝3或q ＝1(舍)．∴S 3a 3＝a 1(1－q 3)1－q a 1q 2 ＝1－q 3q 2(1－q )＝1－279×(－2)＝139.故选A.14．已知数列{a n }的各项均为正数，且前n 项和S n 满足S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)．若a 2，a 4，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式．解析：因为S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，所以当n ＝1时，有S 1＝a 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2；当n ≥2时，有S n －1＝16(a n －1＋1)(a n －1＋2)．①－②并整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0(n ≥2)．因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n －a n －1＝3(n ≥2)．当a 1＝1时，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，此时a 24＝a 2a 9成立．当a 1＝2时，a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，此时a 24＝a 2a 9不成立．所以a 1＝2舍去．故a n ＝3n －2.15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }和通项公式．(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜32.解析：证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1，因为当n ≥1时，23n －1＜2＋13n －1＋1＝13n －1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜1＋13＋…＋13n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－13n ×32，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.。

2023高考数学复习专项训练《等比数列》(含答案)

2023高考数学复习专项训练《等比数列》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）等比数列{a n}满足a1+a2+a3=13,a2+a3+a4=133，则a5=()A. 1B. 13C. 427D. 192.（5分）给出以下命题：①存在两个不等实数α，β，使得等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立；②若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t(m、n、s、t∈N∗)，则m+n=s+t；③若S n是等比数列{a n}的前n项和，则S6，S12−S6，S18−S12成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，则A+B为零；⑤已知ΔABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2>c2，则ΔABC一定是锐角三角形．其中正确的命题的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.（5分）设T n为等比数列{a n}的前n项之积，且a1=−6，a4=−34，则当T n最大时，n的值为()A. 4B. 6C. 8D. 104.（5分）等比数列{a n}，满足a1+a2+a3+a4+a5=3，a12+a22+a32+a42+a52= 15，则a1−a2+a3−a4+a5的值是()A. 3B. √5C. −√5D. 55.（5分）已知在等比数列{a n}中，公比q是整数，a1+a4=18，a2+a3=12，则此数列的前8项和为()A. 514B. 513C. 512D. 5106.（5分）已知正项数列{a n}，{b n}分别为等差、等比数列，公差、公比分别为d，q(d,q∈N∗)，且d=q，a1+b1=1，a3+b3=3.若a n+b n=2013(n>3)，则n= ()A. 2013B. 2012C. 100D. 997.（5分）若a，b，c成等比数列，则关于x的方程a x2+bx+c=0( )A. 必有两个不等实根B. 必有两个相等实根C. 必无实根D. 以上三种情况均有可能8.（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a10=()9.（5分）记Sn为等比数列{a n}的前n项和，已知S2=2，S3=−6.则{a n}的通项公式为()A. a n=(−2)nB. a n=−2nC. a n=(−3)nD. a n=−3n10.（5分）正项等比数列{a n}中，a3=2，a4.a6=64，则a5+a6a1+a2的值是()A. 4B. 8C. 16D. 6411.（5分）在等比数列{a n}中，a7，a11是方程x2+5x+2=0的二根，则a3.a9.a15a5.a13的值为()A. −2+√22B. −√2C. √2D. −√2或√212.（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，9S3=S6=63，则S10=A. 255B. 511C.1023 D. 2047二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3+a9=a10−a8.若a n=0，则n=__________14.（5分）若等比数列{an}的前n项和Sn满足：an+1=a1Sn+1（n∈N*），则a1=____．15.（5分）在等比数列{an}中，已知前n项和Sn=5n+1+a，则a的值为____________．16.（5分）若等比数列{a n}的首项为23，且a4=∫41(1+2x)dx，则公比q等于______．17.（5分）如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n群，……，第n群恰好有n个数，则第n群中n个数的和是____________.123465812107162420149324840281811…三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3−x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n.19.（12分）如果等比数列{a n}中公比q>1，那么{a n}一定是递增数列吗?为什么?20.（12分）数列{a n}满足a1=1，a n=2a n−1-3n+6（n≥2，n∈N+）．（1）设b n=a n-3n，求证：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．21.（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12−4n−1，n∈N∗，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2=√4a1+5；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2+1a2a3+…+1a n a n+1<12.22.（12分）已知数列{a n}是等差数列，其首项为2，且公差为2，若b n=2a n(n∈N∗).(Ⅰ)求证：数列{b n}是等比数列；(Ⅱ)设c n=a n+b n，求数列{c n right}的前n项和A n．23.（12分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求和：b1+b3+b5+⋯+b2n−1．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则下列说法正确的是()A. a1+a5+a9a2+a3的值为3 B. a1+a5+a9a2+a3的值为2C. 数列{a n}的公差和首项相等D. 数列{a n}的公差和首项不相等25.（5分）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，则下列命题正确的是()A. 若a n+1-a n=2(n∈N∗)，则数列{a n}为等差数列B. 若b n+1=2b n(n∈N∗)，则数列{b n}为等比数列C. 若数列{a n}是等差数列，则S n，S2n-S n，S3n-S2n⋯⋯(n∈N∗)成等差数列D. 若数列{b n}是等比数列，则T n，T2n-T n，T3n-T2n⋯⋯(n∈N∗)成等比数列26.（5分）在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项，若a1+a4= 18，a2+a3=12，则下列说法正确的是()A. q=2B. 数列{S n+2}是等比数列C. S8=510D. 数列\left{ lg a n}是公差为2的等差数列27.（5分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差d=4，前n项和为S n，则下列结论成立的有()A. 数列{S nn}的前10项和为100B. 若a1，a3，a m成等比数列，则m=21C. 若∑n i=11a i a i+1>625，则n的最小值为6D. 若a m+a n=a2+a10，则1m +16n的最小值为251228.（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，{a n}的前n项和为S n，若a1+ a6+a11=3π，b1b5b9=8，则()A. S11=11πB. sin a2+a10b4b6=12C. a3+a7+a8=3πD. b3+b7⩾4答案和解析1.【答案】D;【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2+a 3)q ，得133=13q ，解得q =13，又a 1+a 2+a 3=a 1+13a 1+19a 1=139a 1=13，解得a 1=9，所以a 5=a 1q 4=9×(13)4=19，故选：D.设等比数列{a n }的公比为q ，通过a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2+a 3)q 可求出q 值，进一步根据a 1+a 2+a 3=a 1+a 1q +a 1q 2=13可求出a 1，最后利用a 5=a 1q 4进行求解即可．此题主要考查等比数列的通项公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．2.【答案】B; 【解析】该题考查命题真假的判断，考查学生灵活运用等差、等比数列的性质，三角函数以及三角形的判断，是一道综合题，属于中档题．利用特殊值判断①的正误；利用特殊数列即可推出命题②的正误；根据等比数列的性质，判断③的正误；根据等比数列的前n 项的和推出A ，B 判断④的正误．利用特殊三角形判断⑤的正误；解：对于①，实数α=0，β≠0，则sin (α+β)=sinβ，sinα+sinβ=sinβ，所以等式成立；故①正确；对于②，当公差d =0时，命题显然不正确，例如a 1+a 2=a 3+a 4，1+2≠3+4，故②不正确；对于③，设a n =(−1)n ，则S 6=0，S 12−S 6=0，S 18−S 12=0，∴此数列不是等比数列，故③不正确；对于④，S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S n =Aq n +B ；(其中A 、B 是非零常数，n ∈N ∗)，所以此数列为首项是a 1，公比为q ≠1的等比数列，则S n =a 1(1−q n )1−q ，所以A =−a11−q ，B =a11−q ，∴A +B =0，故④正确；对于⑤，如果三角形是直角三角形，a =5，b =3，c =4，满足a 2+b 2>c 2，故⑤不正确；故选：B ．3.【答案】A;【解析】解：因为等比数列{a n }中，a 1=−6，a 4=−34，则由a 4=a 1q 3可得q =12． ∵T n 为等比数列{a n }的前n 项之积，∴T n =(−6)n .(12)n(n−1)2，因为求最大值，故只需考虑n 为偶数的情况， ∵T 2n +2T 2n =36×(12)4n +1，由T 2n +2T 2n⩾1可得n =1，∴T 2<T 4>T 6>T 8>⋯．则公比q =12，当T n 最大时，n 的值为4．故选：A ．由已知可得q =12.只需考虑n 为偶数的情况，由T 2n +2T 2n⩾1可得n =1，即可求解．该题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】D;【解析】解：设数列{a n }的公比为q ，且q ≠1，则 a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=a 1(1−q 5)1−q =3①， a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=a 12(1−q 10)1−q 2=15②∴②÷①得a 12(1−q 10)1−q 2÷a 1(1−q 5)1−q=a 1(1+q 5)1+q=5，∴a 1−a 2+a 3−a 4+a 5=a 1(1+q 5)1+q=5.故选：D.先设等比数列{a n }公比为q ，分别用a 1和q 表示出a 12+a 22+a 32+a 42+a 52，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5和a 1−a 2+a 3−a 4+a 5，发现a 12+a 22+a 32+a 42+a 52除以a 1+a 2+a 3+a 4+a 5正好与a 1−a 2+a 3−a 4+a 5相等，进而得到答案．此题主要考查了等比数列的性质．属基础题．解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．5.【答案】D;【解析】由已知得{a 1+a 1q 3=18a 1q +a 1q 2=12，解得：q =2或q =12.∵q 为整数，∴q =2.∴a 1=2.∴S 8=2(1−28)1−2=29−2=510.6.【答案】A;【解析】此题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和性质的应用.计算时要认真仔细.解：∵{_1+b1=1a3+b3=3，∴{_1+b1=1a1+2d+b1q2=3，∵d=q，所以{_1+b1=1a1+2q+b1q2=3，解得d=q=1，∴a n+b n=a1+(n−1)d+b1q n−1=a1+n−1+b1=2013，∴n=2013.故选A.7.【答案】C;【解析】若a，b，c成等比数列，则b²=ac由题意得△=b²-4ac=b²-4b²=-3b²等比数列中没有为0的项，∴-3b²<0∴△小于0，即方程a x2+bx+c=0必无实根故选C。

2024年新高考版数学专题1_7.3 等比数列

1 3
,
1 an1
+
2 an1
-
3 =0(n≥2,n∈N*).记bn= 1 - 1 .
an
an1 an
(1)证明:{bn}是等比数列;
(2)设cn=2log2bn+2+bn,求数列{cn}的前n项和Sn.
解析
(1)证明:因为 1
an1
2
+
an1
3
-
an
=0,所以 1
an1
1
-
an
=2
1 an
1 an1
2
1 2
an1
2)通项公式:an=a1qn-1(n∈N*,a1,q≠0).推广:an=amqn-m(m,n∈N*,m≠n).
3)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称G
为a与b的等比中项,即G=± ab (a,b同号). 2.等比数列的前n项和公式
Sn=
na1, q a1(1
1, qn )
1 q
a1 qan , q 1. 1 q
考点二等比数列的性质 1.等比数列的单调性设等比数列{an}的首项为a1,公比为q. 1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}为递增数列; 2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{an}为递减数列; 3)当q=1时,数列{an}是常数列; 4)当q<0时,数列{an}是摆动数列. 2.等比数列的运算性质 1)若{an}是等比数列,且m+n=p+q,则aman=apaq,其中m,n,p,q∈N*. 特别地,若2m=p+q,则apaq=am2 .反之,不一定成立. 2)若{an}是等比数列,公比为q,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是等比数列,公比为qm.

高考数学《等比数列及其性质》专项复习

等比数列及其性质【1】【课标要求】正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列.【学习目标】（1）了解等比数列的有关概念；（2）掌握等比数列的通项公式．【重难点】（1）等比数列定义的归纳及运用，正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列是否为等比数列；（2）掌握并会灵活运用等比数列的通向公式；（3）要学会‘知三求一’.【知识回顾】。

1、一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用q 表示.2、若等比数列{a n}的首项是a1，公差是q，则其通项公式为，求等差数列{a n}通项公式的方法叫做累乘法.3、在等比数列{a n}中，（1）若a4＝27，q＝－3，求a7；（2）若a2＝18，a4＝8，求a1和q；（3）若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.（4）若a1＝127，a7＝27，求a n.4、若a,2a＋2,3a＋3成等比数列，求实数a的值5、等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a3、a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.等比数列及其性质【2】【课标要求】让学生理解并会熟练运用等比中项，并会熟练运用等比数列的性质【学习目标】（1）掌握等比数列的性质；（2）掌握等比数列的性质及其在解题中的运用. 【重难点】（1）等比数列的性质．（2）等比数列性质的灵活应用．【知识回顾】。

1、对于无穷等比数列{a n }，若将其前k 项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为q ；若取出所有奇数(偶数)项，组成的数列为等比数列，首项为a 1 (a 2)，公比为q 2；若每隔m 项取出一项（即），组成的数列为等比数列，其公比为q m ；若取出所有的k 的倍数项，组成的数列为等比数列，首项为a k ，公比为q k. 2、如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，如果G 是x 和y 的等比中项，则 3、等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n ＝(n ，m ∈N *)，（2）若{a n }为等比数列，且k =2yx ，则，即当项数成等差数列时，它们所在的项成等比数列；（3）若{a n }为等比数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．即当项数和相等时，它们所在项的积也相等；（4）若{a n }为等比数列，则也为等比数列，为等差数列，若{b n }也为等比数列，则{a n ·b n }为等比数列.4、若2a ，b,2c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或25、各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.1－52B.5＋12 C ．5－12 D ．5＋12或5－126、在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于( ) A ．90 B ．30 C ．70 D ．407、等比数列{a n }各项为正数，且3是a 5和a 6的等比中项，则a 1·a 2·…·a 10＝( ) A ．39 B ．310 C ．311 D ．312 8、等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于等比数列及其性质【3】【课标要求】让学生加深对等比数列的理解；加深等比数列性质的掌握和应用；学会等比数列与其他知识点的综合问题.【学习目标】（1）更深层次的理解等差数列的性质；（2）掌握等差数列的综合性问题. 【重难点】总结题型，学会应用多种手段解决中上等难题，寻求简单方法. 【章节小测】1、在数列{a n }中，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，则a 1，a 3，a 5( )A ．成等差数列B ．成等比数列C ．倒数成等差数列D ．不确定2、已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2 C ．n 2D ．(n －1)23、等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1等于( )A ．65B ．56C ．20D ．1104、已知{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，a n >0，m ＝a 5＋a 6，k ＝a 4＋a 7，则m 与k 的大小关系是( )A ．m >kB ．m ＝kC ．m <kD ．m 与k 的大小随q 的值而变化 5、若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时，log a x ，log b x ，log c x ( )A ．依次成等差数列B ．依次成等比数列C ．各项的倒数依次成等差数列D ．各项的倒数依次成等比数列 6、在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2；当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n －1，则a 12等于( )A ．32B ．34C ．66D ．647、数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．。

专题32 等比数列(解析版)

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
【小问2详解】由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
3.（2022·浙江卷T20）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
（1）若，求；
（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
2023高考一轮复习讲与练
专题32等比数列
练高考明方向
1.（2022·全国乙（理）T8）已知等比数列的前3项和为168，，则（）
A.14B.12C.6D.3
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，
基本方法：
等比数列的三种常用判定方法：
定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a ＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列
通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若 ,求 .
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .

高考等比数列专题及答案百度文库

一、等比数列选择题1．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂. A ．55989 B ．46656C ．216D ．362．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝（） A ．4B ．5C ．8D ．153．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记{}n a 的前n 项积为nT，则下列选项错误的是（） A ．01q << B ．61a > C ．121T > D ．131T > 4．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（）A ．6B ．16C ．32D ．645．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（） A1B1C．3-D．3+6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13nS n = C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列7．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项8．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（） A ．2B ．4C ．8D ．169．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（） A ．8B ．8-C ．16D ．16-10．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N *∈，m n m n a a a +=⋅，若1262n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n =（）A ．3B ．4C ．5D ．611．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n +的最小值为（） A ．53B ．32C ．43D ．11612．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S =（） A ．76B ．32C ．2132D ．1413．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=大吕=太簇．据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（）A．n -B．n -C． D． 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（） A ．152B ．142C ．132D ．12215．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（） A ．9B ．10C ．11D ．1216．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则5678a a a a +++=（）A ．80B ．20C ．32D ．255317．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（） A ．1009B ．1010C ．1011D ．202018．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．719．在等比数列{}n a 中，12345634159,88a a a a a a a a +++++==-，则123456111111a a a a a a +++++=（） A ．35B ．35C ．53D ．53-20．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（） A ．数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．数列{}2na 为等比数列C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a +=D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S += 24．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（） A ．数列2{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-125．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列26．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（） A ．1023B ．341C ．1024D ．34227．已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．数列{}2log n a 是等差数列D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比数列28．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列 C ．5121S =D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥29．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T30．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（） A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=31．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--32．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列 33．等比数列{}n a 中，公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足11a >.99100·10a a ->，99100101a a -<-，下列选项中，正确的结论有（） A ．01q << B ．9910110a a -< C ．100T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于19834．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为251235．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．B 【分析】第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量．【详解】设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1666n n n a -=⨯=到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂．故选：B ． 2．C 【分析】由等比中项，根据a 3a 11＝4a 7求得a 7，进而求得b 7，再利用等差中项求解. 【详解】 ∵a 3a 11＝4a 7， ∴27a ＝4a 7， ∵a 7≠0， ∴a 7＝4， ∴b 7＝4， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8．故选：C 3．D 【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，可得67(1)(1)0a a --<，因此61a >，71a <，01q <<．进而判断出结论．【详解】解：等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，67(1)(1)0a a ∴--<，11a >，若61a <，则一定有71a <，不符合由题意得61a >，71a <，01q ∴<<，故A 、B 正确． 6712a a +>，671a a ∴>，6121231267()1T a a a a a a =⋯=>，故C 正确，131371T a =<，故D 错误，∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12．故选：D ． 4．C 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231a a a ++=，所以2q，所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选：C ．【分析】根据1a ，312a ，22a 成等差数列可得3121222a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将91078a a a a ++化简即可求解.【详解】因为{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，所以3121222a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，解得：1q =+1q =(222291078787813a a a q a q q a a a a ++====+++，故选：D 6．C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ．【详解】2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3n n n S =+-=，所以13n S n =，B 正确； 113a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；1313n n S +=，数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，D 正确．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错．【分析】首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比414141328a qa -===，所以12q =，则其通项公式为：116113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭，所以()()5611542212622222n n +n n n n n T a aa ---==⨯==，令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 8．C 【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ．【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2318a a q ==．故选：C . 9．C 【分析】根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】因为254,32a a ==，所以3528a q a ==，所以2q ，所以2424416a a q ==⨯=，故选：C.【分析】令1m =，可得112+=⋅=n n n a a a a ，可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列前n 项和公式，求解即可. 【详解】因为对任意的,m n N *∈，都有m n m n a a a +=⋅，所以令1m =，则112+=⋅=n n n a a a a ，因为10a ≠，所以0n a ≠，即12n na a +=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2(12)6212n -=-，解得n =5，故选：C 11．B 【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得22q q =+，解得2q，根据存在两项m a 、n a14a =14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出．【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，满足：7652a a a =+，22q q ∴=+，解得2q，存在两项m a 、n a14a =，∴14a =，6m n ∴+=，m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，则14m n+的最小值为143242+=．故选：B ． 12．B 【分析】由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S q q---===+---求解. 【详解】在等比数列{}n a 中，5312a a a +=，所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=，解得212q =所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---，故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题, 13．C 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以q =所以111111k k n n k a a a a a ---⎛⎫ ⎪⎛== ⎭⎝⎝1111n k k n n na a----==⋅ 故选：C. 14．A 【分析】根据29T T =得到761a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得：761a =，故61a =，即511a q =.又2121512a a a q ==，所以91512q =，故12q =，所以()()211122123411...2n n n n n n n T a a a a a a q--⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以n T 的最大值为15652T T ==.故选：A. 15．C 【分析】根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得121n n a -=+，即求.【详解】因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即1121n n a a +-=-，所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.则112n n a --=，即121n n a -=+.因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C 16．A 【分析】由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q则()()456781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.故选：A 17．C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =，所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<，所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.18．C 【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得．【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 19．D 【分析】利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==，而目标式可化为162534162534a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】162534123456162534111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++， ∵等比数列{}n a 中3498a a =-，而162534a a a a a a ==， ∴123456111111a a a a a a +++++=12345685()93a a a a a a -+++++=-，故选：D 20．B 【分析】根据11a >，667711,01a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾，若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾，所以01q <<，故B 正确；因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误；因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误；因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误；故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<.二、多选题 21．无 22．无23．ABC 【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为()112n n n S na d -=+，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-= 其前n 项和为()112n n n S na d -=+ 选项A.112n S n a d n -=+，则+1111+1222n n S S n n d a d a d n n -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（常数）所以数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故A 正确. 选项B. ()1122na n da +-=,则112222n n n na a a d a ++-==（常数），所以数列{}2n a为等比数列，故B正确.选项C. 由,m n a n a m ==，得()()1111m na a m d na a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩ ，解得11,1a m n d =+-=- 所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-⨯-=，故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==，则()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=将以上两式相减可得：()()()2212dm n a m m n n n m ⎡⎤-+---=-⎣⎦()()()112dm n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠所以()1112d a m n ++-=-，即()1112dm n a +-=-- ()()()()()()()111112m n m n m n d S m n a m n a m n a m n +++-=++=+++--=-+，所以D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m na a m d na a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩，从中解出1,a d ，从而判断选项C ，由前n 项和公式得到()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=，然后得出()1112dm n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题. 24．AC 【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠则222112()n n n na a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确；因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；若123,a a a <<则1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，即数列{}n a 是递增数列，C 正确；若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-，即D 错误故选：AC 【点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若1(n na q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且212n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则{}n a 是等比数列.25．AD 【分析】根据等比数列的定义判断．【详解】设{}n a 的公比是q ，则11n n a a q -=，A ．23513a aq a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，363a q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误； C ．242a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．36936a a q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确．故选：AD ．【点睛】结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列：如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,a a a 仍是等比数列，实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,n k k k k a a a a 仍是等比数列． 26．AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得；【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±，当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 27．AC 【分析】由已知得12n na 可得以2122n n a -=，可判断A ；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，可判断B ；由122log log 21n n a n -==-，可判断C ；求得10S ，20S ，30S ，可判断D.【详解】等比数列{}n a 中，满足11a =，2q，所以12n n a ，所以2122n n a -=，所以数列{}2n a 是等比数列，故A 正确；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，故B 不正确；因为122log log 21n n a n -==-，所以{}2log n a 是等差数列，故C 正确；数列{}n a 中，101010111222S -==--，202021S =-，303021S =-，10S ，20S ，30S 不成等比数列，故D 不正确；故选：AC . 【点睛】本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题. 28．ACD 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ⋅=⋅⇒=⇒=，因此选项A 正确；因为131(31)132nn n S -==--，所以131+2+2(3+3)132nn n S -==-，因为+1+111(3+3)+222=1+1+21+3(3+3)2n nn n n S S -=≠常数，所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确；因为551(31)=1212S =-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=⋅=>，因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++⋅=，所以选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 29．AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q n N -=∈.30．ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=，则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=，故选：ABD 【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 31．AB 【分析】由已知构造出数列{}3n a +是等比数列，可求出数列{}n a 的通项公式以及前n 项和，结合选项逐一判断即可．【详解】123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+，∴数列{}3n a +是等比数列又∵11a =，∴()11332n n a a -+=+，∴123n n a +=-，∴313a =，∴()2412323412n n nS n n +-=-=---.故选：AB. 32．BC 【分析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项．【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0，故a 2＞0，a 3＞0．根据根与系数的关系，可知a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根．解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4．故必有公比q ＞0， ∴a 12a q=＞0． ∵等比数列{a n }是递增数列，∴q ＞1． ∴a 2＝4，a 3＝8满足题意． ∴q ＝2，a 12a q==2．故选项A 不正确． a n ＝a 1•q n ﹣1＝2n ． ∵S n ()21212n -==-2n +1﹣2．∴S n +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．∴数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确． S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确． ∵lga n ＝lg 2n ＝n ．∴数列{lga n }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确．故选：BC 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 33．ABD 【分析】由已知9910010a a ->，得0q >，再由99100101a a -<-得到1q <说明A 正确；再由等比数列的性质结合1001a <说明B 正确；由10099100·T T a =，而10001a <<，求得10099T T <，说明C 错误；分别求得1981T >，1991T <说明D 正确.【详解】对于A ，9910010a a ->，21971·1a q ∴>，()2981··1a q q ∴>.11a >，0q ∴>.又99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <. 01q ∴<<，故A 正确；对于B ，299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩，991010?1a a ∴<<，即99101·10a a -<，故B 正确；对于C ，由于10099100·T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故C 错误；对于D ，()()()()19812198119821979910099100·····991T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=⨯>， ()()()199121991199219899101100·····1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故D 正确.∴不正确的是C .故选：ABD . 【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 34．AB 【分析】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为 11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得111ni i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确;1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451ni ii n n n a an =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误.故选:AB.【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般. 35．ACD【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn ) 11121131313131313n n n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1）故选：ACD.【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．。

高三等比数列复习专题doc

一、等比数列选择题1．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()21234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（）A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >2．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．23．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（）A ．312或112B ．312 C ．15D ．64．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞05．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（） A ．40B ．81C ．121D ．2426．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（）A ．15B ．10C ．5D ．37．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝14，且a n ＝1n nb b +，则b 2020＝（）A ．22017B ．22018C ．22019D ．220208．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N *∈，m n m n a a a +=⋅，若1262n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n =（）A ．3B ．4C ．5D ．69．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（） A ．8B ．8-C ．16D ．16-10．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S =（） A ．76B ．32C ．2132D ．1411．题目文件丢失！12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（） A ．31B ．32C ．63D ．6413．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若425S S =，则等比数列{}n a 的公比为（） A ．2 B ．1或2 C ．-2或2 D ．-2或1或2 14．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（）A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定15．在等比数列{}n a 中，12345634159,88a a a a a a a a +++++==-，则123456111111a a a a a a +++++=（） A ．35B ．35C ．53D ．53-16．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（） A ．312或112B ．312 C ．15D ．617．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（） A ．50B ．60C ．70D ．8018．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（） A ．8B ．7C ．6D ．419．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，416a =，则6S ＝（）A ．32B ．63C ．123D ．12620．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（）A ．3B ．12C ．24D ．48二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！ 23．题目文件丢失！24．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（）A ．{}n a 为单调递增数列B ．639S S = C ．3S ，6S ，9S 成等比数列D ．12n n S a a =-25．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，135111214a a a ++=，则（） A ．{}n a 必是递减数列 B ．5314S =C ．公比4q =或14D ．14a =或1426．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（） A ．24a =B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <27．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确的有（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列 28．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（）A ．25B ．26C ．27D ．2829．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（） A ．1023B ．341C ．1024D ．34230．设{}n a 是各项均为正数的数列，以n a ，1n a +为直角边长的直角三角形面积记为n S ()n *∈N ，则{}n S 为等比数列的充分条件是（）A ．{}n a 是等比数列B ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅或 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列C ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列D ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列，且公比相同 31．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍32．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（） A ．()21121n nS n a -=-⋅ B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+33．已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=--34．数列{}n a 为等比数列（）. A ．{}1n n a a ++为等比数列B ．{}1n n a a +为等比数列C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）35．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．B 【分析】由12340a a a a +++≥可得出1q ≥-，进而得出1q >-，再由11a >得出0q <，即可根据q 的范围判断大小. 【详解】设等比数列的公比为q ，则()()()2321234111+++1+1+0a a a a a q q qa q q +++==≥，可得1q ≥-，当1q =-时，12340a a a a +++=，()21230a a a ++≠，1q ∴>-，()21234123a a a a a a a +++=++，即()223211+++1++q q q a q q =，()231221+++11++q q q a q q ∴=>，整理得432++2+0q q q q <，显然0q <，()1,0q ∴∈-，()20,1q ∈，()213110a a a q ∴-=->，即13a a >，()()32241110a a a q q a q q ∴-=-=-<，即24a a <.故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的性质，解题的关键是通过已知条件判断出()1,0q ∈-，从而可判断大小. 2．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 3．B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+，2332a a ∴=+，解得32a =或31a =-（舍去）又112a =， 2314a q a ∴==，解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 4．A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>，综上，当20210S >时，130a a +>，故选：A 【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况. 5．C 【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=，所以23123a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =，所以()5515113121113a q S q--===--，故选：C. 6．A 【分析】根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】因为478a a ⋅=，则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=.故选：A. 7．A 【分析】根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为20201b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】因为1n n nb a b +=，所以32019202020202412320182019123201820191b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=，因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =，所以()()()123201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅22220192019101010101010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==所以2019202012b b =，又114b =，所以201720202b =，故选：A. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；（2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.8．C 【分析】令1m =，可得112+=⋅=n n n a a a a ，可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列前n 项和公式，求解即可. 【详解】因为对任意的,m n N *∈，都有m n m n a a a +=⋅，所以令1m =，则112+=⋅=n n n a a a a ，因为10a ≠，所以0n a ≠，即12n na a +=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2(12)6212n -=-，解得n =5，故选：C 9．C 【分析】根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】因为254,32a a ==，所以3528a q a ==，所以2q ，所以2424416a a q ==⨯=，故选：C. 10．B 【分析】由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S q q---===+---求解. 【详解】在等比数列{}n a 中，5312a a a +=，所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=，解得212q =所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---，故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题,11．无12．C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列，所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 13．C 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，4121422S a S a ==，不合题意；当1q ≠时，()()41424222111115111a q S q q q S qa q q---===+=---，解得2q =±.故选：C. 14．A 【分析】根据等比中项的性质有216x =，而由等比通项公式知2x q =，即可求得x 的值. 【详解】由题意知：216x =，且若令公比为q 时有20x q =>， ∴4x =，故选：A 15．D 【分析】利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==，而目标式可化为162534162534a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】162534123456162534111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++， ∵等比数列{}n a 中3498a a =-，而162534a a a a a a ==， ∴123456111111a a a a a a +++++=12345685()93a a a a a a -+++++=-，故选：D 16．B 【分析】首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S . 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+∴，2332a a =+∴，解得32a =或31a =-（舍去）又112a =， 2314a q a ==，解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 17．B 【分析】由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】解：数列{}n a 是等比数列，3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列，易知公比2q，9616S S ∴-=，12932S S -=，121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.故选：B. 18．A 【分析】利用已知条件化简，转化求解即可．【详解】已知{}n a 为等比数列，1322a a a ∴=，且22a =，满足13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，则S 3＝8．故选：A ．【点睛】思路点睛：（1）先利用等比数列的性质，得1322a a a ∴=，（2）通分化简312311124S a a a ++==. 19．D 【分析】根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=.∴2260q q --=，∴2q 或32q =-（舍去），∵416a =，∴4132a a q ==， ∴6616(1)2(12)126112a q S q --===--，故选：D. 20．C 【分析】题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，由系数前n 项和公式求得1a ，再由通项公式计算出中间项．【详解】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，则有()7171238112a S ⋅-==-，解得13a =，中间层灯盏数34124a a q ==，故选：C.二、多选题 21．无 22．无 23．无24．BD 【分析】根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ，然后结合等比数列的求和公式，逐项判断选项可得答案．【详解】由638a a =，可得3338q a a =，则2q，当首项10a <时，可得{}n a 为单调递减数列，故A 错误；由663312912S S -==-，故B 正确；假设3S ，6S ，9S 成等比数列，可得2693S S S =⨯，即6239(12)(12)(12)-=--不成立，显然3S ，6S ，9S 不成等比数列，故C 错误；由{}n a 公比为q 的等比数列，可得11122121n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-，故D 正确；故选：BD ．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用638a a =求得2q ，同时需要熟练掌握等比数列的求和公式. 25．BD 【分析】设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得1112114a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为21531a a a ==，2311a a q == ，所以51115135151511111112111114a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=，解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1142.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，当14a =，12q =时，551413121412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，数列{}n a 是递减数列；当114a =，2q 时，5314S =，数列{}n a 是递增数列；综上，5314S =. 故选：BD. 【点睛】本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为1112114a a ++=，进而解方程计算. 26．ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=，所以2n ≥时，2422n nn a -=⋅=，令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+， 2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 27．AD 【分析】利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ；利用等比数列的通项公式可判断B. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-，则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=⎡⎤⎣⎦，所以{}n A 是等差数列，故A 正确；对于B ，若{}n A 是等差数列，设公差为d ，()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+，即数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B 不正确，D 正确. 对于C ，若{}n a 是等比数列，设公比为q ，当1q ≠-时，则11111n n n n n n n n n na q a A a a a qq a A a a --+--+=+++==，当1q =-时，则10n n n A a a ++==，故{}n A 不是等比数列，故C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题. 28．CD 【分析】由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>；当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>；当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>；当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 29．AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得；【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±，当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 30．AD 【分析】根据{}n S 为等比数列等价于2n na a +为常数，从而可得正确的选项. 【详解】{}n S 为等比数列等价于1n n S S +为常数，也就是等价于12+1n n n n a a a a ++即2n na a +为常数.对于A ，因为{}n a 是等比数列，故22n na q a +=（q 为{}n a 的公比）为常数，故A 满足；对于B ，取21221,2nn n a n a -=-=，此时满足2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列，1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅不是等比数列，2121n n a a +-不是常数，故B 错. 对于C ，取2123,2n nn n a a -==，此时满足2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列，1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅是等比数列，21213n n a a +-=，2222n naa +=，两者不相等，故C 错. 对于D ，根据条件可得2n na a +为常数. 故选：AD. 【点睛】本题考查等比数列的判断，此类问题应根据定义来处理，本题属于基础题. 31．BD 【分析】根据题意，得到此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错；此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确；故选：BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 32．CD 【分析】根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈，所以1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列；偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列；所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()1322122⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122S =+=，而 11122S =，故错误；C. 当1n =时， 213122S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++，令()1111...1232f n n n n n=+++++++，因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112f n f ≥=，故正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题. 33．ABD 【分析】由()*123nn na a n N a +=∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】因为112323n nn n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11340a +=≠，所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，故选项A 、B 正确. 由{}n a 的通项公式为1123n n a +=-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.因为1231n na +=-，所以 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-++-=+++-22(12)2312234n n n n +-⨯-=⨯-=--.选项D 正确，故选：ABD 【点睛】本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题. 34．BCD 【分析】举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】解：设{}n a 的公比为q ，A. 设()1nn a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.B.2211n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列. C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列；当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()222112n n n S S n S -+=≥，即()()()211111111111nn n a q a q a q q q q-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1q =，与1q ≠矛盾，综上，{}n S 不是等比数列. 故选：BCD. 【点睛】考查等比数列的辨析，基础题. 35．BC 【分析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项．【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0，故a 2＞0，a 3＞0．根据根与系数的关系，可知a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根．解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4．故必有公比q ＞0， ∴a 12a q=＞0． ∵等比数列{a n }是递增数列，∴q ＞1． ∴a 2＝4，a 3＝8满足题意． ∴q ＝2，a 12a q==2．故选项A 不正确． a n ＝a 1•q n ﹣1＝2n ． ∵S n ()21212n -==-2n +1﹣2．∴S n +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．∴数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确． S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确． ∵lga n ＝lg 2n ＝n ．∴数列{lga n }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确．故选：BC 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.。

高考数学等比数列习题

1 2n
-
2
n =1- n 2 ,Sn=2- n 2 ,所以数列{bn}的前n项和Sn=2- n 2 .
2n1
2n1
2n
2n
7.(2019课标Ⅱ理,19,12分)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+ 4,4bn+1=3bn-an-4. (1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列; (2)求{an}和{bn}的通项公式.
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3.(多选)(2022重庆西南大学附中开学考,11)“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后,既没有办法稳定下来,也没有办法转变为新的形态, 而只能不断地在内部变得更加复杂的现象.热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线.连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案,具体作法是在边长为1的正方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得 ∠BEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;依此进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD的边长为a1=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF,… …),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH 的面积为S1,第2个直角三角形EQM的面积为S2,……),则( )
13.(2020新高考Ⅰ,Ⅱ,18,12分)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4= 20,a3=8. (1)求{an}的通项公式; (2)(新高考Ⅰ)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100. (新高考Ⅱ)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1.

等比数列专题(有答案)百度文库

A．6B．7C．8D．9
15．已知等比数列的通项公式为，则该数列的公比是（）
A． B．9C． D．3
16．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（）
A．4B．－4C．±4D．不确定
17．正项等比数列的公比是，且，则其前3项的和（）
A．14B．13C．12D．11
18．数列满足，则该数列从第5项到第15项的和为（）
A．2016B．1528C．1504D．992
19．等比数列中各项均为正数，是其前项和，且满足，，则＝（）
A． B． C． D．
20．设数列的前n项和为，且，则（）
A． B． C．3D．7
二、多选题
21．已知数列的前项和为，，数列的前项和为，，则下列选项正确的是（）
根据等比中项性质可得，直接求解即可.
【详解】
由等比中项性质可得：
，
所以，
故选：B
4．D
【分析】
首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.
【详解】
在等比数列中，设公比，
当时，有，，成等差数列，
所以，即，解得，
A． B． C． D．
13．已知等比数列中，，，则（）
A． B． C． D．
14．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为（）
【详解】
解：因为正项等比数列满足，由于，所以 .

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习41 等比数列

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题41 等比数列考点知识1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列有关的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a 与b的等比中项，此时，G2＝ab.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝a1q n－1.(2)等比数列通项公式的推广：a n＝a m q n－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝a1(1－q n)1－q＝a1－a n q1－q.3．等比数列性质(1)若m＋n＝p＋q，则a m a n＝a p a q，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则a m a n＝a 2w ，其中m ，n ，w ∈N *.(2)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{a n ·b n }，{pa n ·qb n }和⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫pa n qb n 也是等比数列(b ，p ，q ≠0)．(4)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .(n 为偶数且q ＝－1除外) (5)若⎩⎨⎧a 1>0，q >1或⎩⎨⎧a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增．若⎩⎨⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎨⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减．常用结论1．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0. 2．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)． 3．数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n ，…成等比数列．(2)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q ，或S 偶S 奇－a n＝q . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×) (2)当公比q >1时，等比数列{a n }为递增数列．(×) (3)等比数列中所有偶数项的符号相同．(√)(4)数列{a n}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(×)教材改编题1．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．2．设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6等于()A．31B．32C．63D．64答案C解析根据题意知，等比数列{a n}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________________．答案1,3,9或9,3,1解析设这三个数为aq，a，aq，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a q ＋aq ＝13，a ·a q ·aq ＝27，解得⎩⎨⎧a ＝3，q ＝13或⎩⎨⎧a ＝3，q ＝3，∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2－a 5＝42，则a 6等于()A ．14B ．12C ．6D ．3 答案D解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1. 由题意可得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝168，a 2－a 5＝42，即⎩⎨⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝168，a 1q (1－q 3)＝42，解得⎩⎨⎧a 1＝96，q ＝12，所以a 6＝a 1q 5＝3，故选D.方法二设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1.由题意可得⎩⎨⎧S 3＝168，a 2－a 5＝42，即⎩⎨⎧a 1(1－q 3)1－q ＝168，a 1q (1－q 3)＝42，解得⎩⎨⎧a 1＝96，q ＝12，所以a6＝a1q5＝3，故选D.(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的2倍．设第二个音的频率为f1，第八个音的频率为f2.则f2f1等于()A.2B.82C.122D．4122答案A解析设第一个音的频率为a，相邻两个音之间的频率之比为q，那么a n＝aq n－1，根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a13＝2a＝aq12，即q＝112 2，所以f2f1＝a8a2＝q6＝ 2.思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．跟踪训练1(1)设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于() A．2B．3C．4D．5答案A解析∵S2＝3，S4＝15，∴q≠1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 2)1－q ＝3，①a 1(1－q 4)1－q ＝15，②②①得q 2＝4，又q >0，∴q ＝2. (2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M ，插入11个数后这13个数之和为N ，则依此规则，下列说法错误的是()A ．插入的第8个数为34B ．插入的第5个数是插入的第1个数的32倍 C ．M >3 D ．N <7 答案D解析设该等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝1，a 13＝2，故q 12＝a 13a 1＝2.插入的第8个数为a 9＝a 1q 8＝34，故A 正确；插入的第5个数为a 6＝a 1q 5，插入的第1个数为a 2＝a 1q ，所以a 6a 2＝a 1q 5a 1q＝q 4＝32，故B 正确；M ＝a 2(1－q 11)1－q ＝122(1－12211)1－122＝－1－112112-，要证M >3，即证－1－112112->3，即证112121->4，即证54>1122，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫5412>2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫5412>⎝ ⎛⎭⎪⎫326>2成立，故C 正确； N ＝M ＋3.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6512>(1.4)6>(1.9)3>2，所以65>1122，所以112121->5，所以－1－112112->4，即M >4，所以N ＝M ＋3>7，故D 错误．题型二等比数列的判定与证明例2已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n }是等比数列；②数列{S n ＋a 1}是等比数列；③a 2＝2a 1. 注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解选①②作为条件证明③：设S n ＋a 1＝Aq n －1(A ≠0)，则S n ＝Aq n －1－a 1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝A －a 1，所以A ＝2a 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝Aq n －2(q －1)，因为{a n }是等比数列，所以A (q －1)q ＝A2，解得q ＝2，所以a 2＝2a 1. 选①③作为条件证明②：因为a 2＝2a 1，{a n }是等比数列，所以公比q ＝2，所以S n ＝a 1(1－2n )1－2＝a 1(2n －1)，即S n ＋a 1＝a 12n ，因为S n ＋1＋a 1S n ＋a 1＝2，所以{S n ＋a 1}是等比数列．选②③作为条件证明①：设S n ＋a 1＝Aq n －1(A ≠0)，则S n ＝Aq n －1－a 1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝A －a 1，所以A ＝2a 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝Aq n －2(q －1)，因为a 2＝2a 1，所以A (q －1)＝A ，解得q ＝2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝Aq n －2(q －1)＝A ·2n －2＝a 1·2n －1，又因为a n ＋1a n＝2(n ≥2)，且a 2＝2a 1，所以{a n }为等比数列．思维升华等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2在数列{a n }中，a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，且a 1＝2，a 2＝5. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明因为a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝a n ＋2＋1a n ＋1＋1. 因为a 1＝2，a 2＝5，所以a 1＋1＝3，a 2＋1＝6，所以a 2＋1a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)解由(1)知，a n ＋1＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－1，所以S n ＝3(1－2n )1－2－n ＝3·2n －n －3.题型三等比数列的性质例3(1)(2023·黄山模拟)在等比数列{a n }中，a 1，a 13是方程x 2－13x ＋9＝0的两根，则a 2a 12a 7的值为()A.13B ．3C ．±13D ．±3答案B解析∵a 1，a 13是方程x 2－13x ＋9＝0的两根，∴a 1＋a 13＝13，a 1·a 13＝9， ∴a 1>0，a 13>0，a 1·a 13＝a 2·a 12＝a 27＝9，又数列{a n }为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a 7＝3，∴a 2a 12a 7＝93＝3. (2)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n 且S 8－2S 4＝6，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为______．答案24解析由题意可得S 8－2S 4＝6，可得S 8－S 4＝S 4＋6，由等比数列的性质可得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，则S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2，综上可得a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝(S 4＋6)2S 4＝S 4＋36S 4＋12≥24，当且仅当S 4＝6时等号成立．综上可得，a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为24.思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3(1)(2023·六安模拟)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝16，a 3＋a 4＝24，则a 7＋a 8等于()A ．40B ．36C ．54D ．81 答案C解析在等比数列{a n }中，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列， ∵a 1＋a 2＝16，a 3＋a 4＝24，∴a 7＋a 8＝(a 3＋a 4)·⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋a 4a 1＋a 22＝24×⎝ ⎛⎭⎪⎫24162＝54. (2)等比数列{a n }共有奇数个项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于() A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C解析∵a n ＝192，∴q ＝S 偶S 奇－a n ＝－126255－192＝－12663＝－2，又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝S 奇＋S 偶，即a 1－192×(－2)1－(－2)＝255＋(－126)，解得a 1＝3.(3)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为()A ．2B ．4C ．8D ．16 答案A解析∵a 1a 2…a 8＝16， ∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＋1a 5＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5) ＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2023·岳阳模拟)已知等比数列{a n }满足a 5－a 3＝8，a 6－a 4＝24，则a 3等于() A ．1B ．－1C ．3D ．－3 答案A解析设a n ＝a 1q n －1，∵a 5－a 3＝8，a 6－a 4＝24， ∴⎩⎨⎧a 1q 4－a 1q 2＝8，a 1q 5－a 1q 3＝24，解得⎩⎨⎧a 1＝19，q ＝3，∴a 3＝a 1q 2＝19×32＝1.2．数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于() A ．2B ．3C ．4D ．5 答案C解析令m ＝1，则由a m ＋n ＝a m a n ，得a n ＋1＝a 1a n ，即a n ＋1a n＝a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n ，所以a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝2k (a 1＋a 2＋…＋a 10)＝2k ×2×(1－210)1－2＝2k ＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k ＝4.3．若等比数列{a n }中的a 5，a 2019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023等于() A.20243B ．1011C.20232D ．1012 答案C解析由题意得a 5a 2019＝3，根据等比数列性质知，a 1a 2023＝a 2a 2022＝…＝a 1011a 1013＝a 1012a 1012＝3，于是a 1012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023 ＝log 3(a 1a 2a 3…a 2023) ＝log 3110112(33)⋅＝20232. 4．(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{a n }，则log 2(a 3·a 5)的值为() A ．16B ．12C ．10D ．8 答案B解析由题意，得{a n }是以2为公比的等比数列， ∴S 7＝a 1(1－27)1－2＝1016,127a 1＝1016，解得a 1＝8，∴log 2(a 3·a 5)＝log 2(8×22×8×24)＝12.5．(多选)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且{S n }是等差数列，则下列结论正确的是() A ．{a n ＋S n }是等差数列 B ．{a n ·S n }是等比数列 C ．{a 2n }是等差数列D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是等比数列答案ACD解析由{S n }是等差数列，可得2(a 1＋a 2)＝a 1＋a 1＋a 2＋a 3，∴a 2＝a 3， ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 2＝a 2q ，可得q ＝1.∴a n ＝a 1>0， ∴a n ＋S n ＝(n ＋1)a 1，∴数列{a n ＋S n }是等差数列，因此A 正确；a 2n ＝a 21，∴{a 2n }是常数列，为等差数列，因此C 正确；S nn ＝a 1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是等比数列，因此D 正确； a n S n ＝na 21，∴{a n ·S n }不是等比数列，因此B 不正确．6．已知数列{a n }是等比数列，若a 2＝1，a 5＝18，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的最小值为()A.83B ．1C ．2D ．3 答案C解析由已知得数列{a n }的公比满足q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，∴a 1＝2，a 3＝12，故数列{a n a n ＋1}是首项为2，公比为a 2a 3a 1a 2＝14的等比数列，∴a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫14n1－14＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫14n∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，83，故选C.7．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，且a n>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，则公比q＝________，S5＋a5＝________.答案3202解析由题意得2a1＝2，∴a1＝1.由a1＋a1q＋2a1q2＝22，得q＝3或q＝－72，∵a n>0，∴q＝－72不符合题意，故q＝3，∴S5＋a5＝1×(1－35)1－3＋1×34＝202.8．已知数列{a n}为等比数列，若数列{3n－a n}也是等比数列，则数列{a n}的通项公式可以为__________.(写出一个即可)答案a n＝3n－1(答案不唯一)解析设等比数列{a n}的公比为q，令b n＝3n－a n，则b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－a1q2，∵{b n}是等比数列，∴b22＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，可化为q2－6q＋9＝0，解得q＝3，取a1＝1，则a n＝3n－1.(注：a1的值可取任意非零实数)．9．等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为{a n}的前n项和，若S m＝63，求m.解(1)设数列{a n}的公比为q，由题设得a n＝q n－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故a n＝(－2)n－1或a n＝2n－1(n∈N*)．(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.10．S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0. (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列．因为S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝3.故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋12是等比数列．11．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是() A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0 答案AD解析对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确． 12．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝8，a 4＝－1，则数列{S n }() A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项答案A解析根据题意，等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝－1，则q 3＝a 4a 1＝－18，则q ＝－12，则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 32＝163⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，若n 为奇数，则S n ＝163⎝⎛⎭⎪⎫1＋12n ，此时有S 1>S 3>…>S n >163；若n 为偶数，则S n ＝163⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，此时有S 2<S 4<…<S n <163，故S 1最大，S 2最小．13．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________. 答案－9解析{b n }有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中，b n ＝a n ＋1，则a n ＝b n －1，{a n }有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中．又{a n }是等比数列，等比数列中有负数项则q <0，且负数项为相隔两项，等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18，－24,36，－54,81，相邻两项相除－2418＝－43，36－24＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，很明显，－24,36，－54,81是{a n }中连续的四项， q ＝－32或q ＝－23(|q |>1，∴此种情况应舍)，∴q ＝－32，∴6q ＝－9.14．记S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝1－a n ，记T n ＝a 1a 3＋a 3a 5＋…＋a 2n －1a 2n ＋1，则a n ＝________，T n ＝________. 答案12n 115⎝⎛⎭⎪⎫1－116n解析由题意得a 1＝1－a 1，故a 1＝12.当n ≥2时，由⎩⎨⎧S n ＝1－a n ，S n －1＝1－a n －1，得a n ＝－a n ＋a n －1，则a n a n －1＝12，故数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .由等比数列的性质可得a 1a 3＝a 22，a 3a 5＝a 24，…，a 2n －1a 2n ＋1＝a 22n ，所以数列{a 2n －1a 2n ＋1}是以a 22＝116为首项，116为公比的等比数列，则T n ＝a 22＋a 24＋…＋a 22n ＝116⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116n 1－116＝115⎝⎛⎭⎪⎫1－116n.15．将正整数按照如图所示方式排列：试问2024是表中第________行的第________个数．答案111001解析由题意得第n 行有2n －1个数，前10行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝1－2101－2＝1 023(个)数，前11行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝1－2111－2＝2047(个)数，故2024在表中第11行，又表中第11行有210＝1024(个)数，故2024是表中第11行的第1001个数．16．(2023·泰安模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0,4S 1＋S 2＝S 3. (1)求数列{a n }的公比q ； (2)对于∀n ∈N *，不等式a n －a 1S n ＋n 2＋172≥6n ＋t 恒成立，求实数t 的最大值．解(1)由4S 1＋S 2＝S 3，得4a 1＋a 1＋a 2＝a 1＋a 2＋a 3，整理得4a 1＝a 3，所以4a 1＝a 1q 2.因为a 1≠0，所以q 2＝4，由题意得q >0，所以q ＝2. (2)由(1)得S n ＝a 1(1－2n )1－2＝a 1(2n －1)，a n ＝a 1·2n －1，所以a n －a 1S n ＝2n －1－12n －1.所以不等式a n －a 1S n ＋n 2＋172≥6n ＋t 恒成立，等价于2n －1－12n －1＋n 2＋172≥6n ＋t 恒成立，所以t ≤2n －1－12n －1＋n 2－6n ＋172.令f (n )＝2n －1－12n －1＋n 2－6n ＋172＝(n －3)2－12n ＋1－2.当n ＝1时，f (1)＝4－122－2＝72；当n ＝2时，f (2)＝1－123－2＝56；当n ≥3时，f (n )单调递增，所以f (n )≥f (3)＝－114. 所以t ≤－114，故实数t 的最大值为－114.。

高中数学《等差等比数列综合问题》专题复习

第51讲等差等比数列综合问题一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：2、等差数列与等比数列的互化：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++-==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++-==为常数所以{}log c n a 成等差数列二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（） A. 1 B. 1-或2 C. 2 D. 1-思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =-，经检验均符合条件答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d =-，所以135d a =-，则211305a d a =-<，且()2141646025a dS d a d =+=-<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q --，所以有：()816282q q ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，即22252520q q q q +=⇒-+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。

高考数学一轮复习《等比数列》综合练习题(含答案)

高考数学一轮复习《等比数列》综合练习题（含答案）一、单项选择题1．在等比数列{}n a 中，13524610,18a a a a a a -==，则{}n a 的公比q 为（）A ．2-B ．12-C ．12D ．22．等比数列{an }中，若a 5＝9，则log 3a 4+log 3a 6＝（） A ．2B ．3C ．4D ．93．数列{}n a 满足()*331log 1log N n n a a n ++=∈，且1359a a a ++=，则()13579log a a a ++=（）A ．4B ．14C ．2-D ．12-4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足，24a =，3424a a +=，则12233445910a a a a a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=（）A ．188(21)5+B ．188(21)5-C ．208(21)5+D ．208(21)5-5．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若76103a b π=，则210311sin 1b b a a +=-（） AB． C ．12D ．12-6．已知数列满足212323n a a a na n ++++=，设n n b na =，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2022项和为（） A ．40424043B ．20214043C ．40444045D ．202240457．在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（） A ．6小时末B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末8．已知数列{}n a 满足()22N n n n a a n *++=∈，则{}n a 的前20项和20S =（）A ．20215-B ．20225-C ．21215-D ．21225-9．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（） A ．1423b b b b +≤+ B ．4132b b b b ≤-- C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤10．已知等比数列{}n a 各项均为正数，且满足：101a <<，1718171812a a a a +<+<，记12n n T a a a =，则使得1n T >的最小正数n 为（）A ．36B ．35C ．34D ．3311．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（） A ．545B ．547C ．549D ．55112．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 满足12a =，26a =，2156n n n a a a +++=，若[]51log n n b a +=，为数列11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则[]2024S =（） A ．999B ．749C ．499D ．249二、填空题13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3614,126S S ==，则1a =___．14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若74a =，则678a a a ++的最小值为______．15．已知数列{}n a 的首项为－1，12,nn n a a +=-则数列{}n a 的前10项之和等于________.16．已知数列{}n a 满足：11a =，()*112+1n nn N a a +=∈若()1111n n b n a λ+⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为______.三、解答题17．在等比数列{}n a 中，已知320a =，6160a =，（1）求5a ；（2）求8S .18．设{}n a 是等差数列，2d =，且312,,4a a a +成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值.19．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且关于x 的不等式21120a x qx -->的解集为()(),26,-∞-⋃+∞.（1）求n a ；（2）设4log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．已知数列{}n a 是等差数列，首项12a =，且3a 是2a 与41a +的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .21．已知数列{}n a 的首项113a =，且满足1341n n n a a a +=+. (1)证明：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.(2)若12311112022na a a a ++++<，求正整数n 的最大值.22．已知正项等比数列{}n a 满足21372,32a a a ==，数列{}n b 的前n 项和2n S n n =-.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数求数列{}nc 的前2n 项和2n T .23．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足___________.给出下列三个条件： ①48a =，()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥；②()1n n S pa p =-∈R ；③()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R .请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题： (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()22121log n nb n a =+⋅，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1132n T ≤<参考答案1．D2．C3．C4．A5．A6．D7．A8．D9．D10．B11．C12．A 13．2 14．1215．31 16．4λ<17．（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则3638aq a ==，所以2q，所以25320480a a q ==⨯=；（2）由（1）可得3125a a q ==，所以818(1)5(1256)127511a q S q -⨯-===--. 18．（1）因为132+4a a a ，，成等比数列，所以2312(+4)a a a =，即1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-，所以82(1)210n a n n =-+-=-（2）由（1）知210n a n =-，所以2282109819()224n n S n n n n -+-=⨯=-=--；因为N n +∈所以当4n =或者5n =时，n S 取到最小值20-19．（1）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且关于x 的不等式21120a x qx -->的解集为()(),26,-∞-⋃+∞.则-2和6为21120a x qx --=的两根，所以()126qa -+=，()11226a -⨯=-，解得11a =，4q =.所以1114n n n a a q --==.（2）由（1）得14log 41n n n n b a a n -=+=+-，所以()1144121n n T n -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-，()141412n n n --=+-， 24132n n n--=+. 20．()23241a a a =+,()()()2111231a d a d a d +=+++, ()()()222233d d d +=++,()()()241312d d d +=++,()()144360d d d ++--=, ()()120d d +-=,∴1d =-，此时3220a d =+=, 舍,2d =,∴2n a n =; （2）()()411122111n b n n n n n n ===-⋅+++,11111122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．（1）易知{}n a 各项均为正，对1341n n n a a a +=+两边同时取倒数得1111433n n a a +=⋅+，即1111223n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为1121a -=，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列.（2）由（1）知11111233n n n a --⎛⎫-==⎪⎝⎭，即11123n n a -=+，所以()12311311113122112313n n n f n n n a a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++++=+=+- ⎪⎝⎭-，显然()f n 单调递增，因为()10101011313110102021.52022,(1011)2023.520222323f f =-<=-⋅>，所以n 的最大值为1010.22．解：（1）由题意，设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，则2237532a a a ==，故532a =.∴ 4451162a q a ===.解得2q .∴ 数列{}n a 的通项公式为1*222,n n n a n N -=⨯=∈ .当1n =时，110b S ==，当2n ≥时，()()()2211122n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦. ∴ 数列{}n b 的通项公式为*22,n b n n N =-∈（2）由（1）知，,2,,22,n n n n a n n c b n n n ⎧⎧==⎨⎨-⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数.∴21234212n n n T c c c c c c -=++++++()132********n n -=++++++-()()132********n n -=+++++++-⎡⎤⎣⎦=2122222[2(42)]122n n n --⋅⋅+--212122233n n +=⋅+- 23．（1）若选①，因为()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥，所以()2112n n n a a a n -+=≥，所以数列{}n a 是等比数列设数列{}n a 的公比为q ，0q >由33418a a q q ===得2q所以12n n a -=若选②，因为()1n n S pa p =-∈R ，当1n =时，1111S pa a =-=，所以2p =，即21n n S a =- 当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，所以()122n n a a n -=≥所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n a -=若选③，因为()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R ，当1n =时，11222a k =⋅=，所以1k =，即()12323412n n a a a n a n +++⋅⋅⋅++=⋅当2n ≥时，()1123123412n n a a a na n --+++⋅⋅⋅+=-⋅，所以()()()11122n n n a n n -+=+⋅≥，即()122n n a n -=≥，当1n =时，上式也成立，所以12n n a -=（2）由（1）得()()()221111121log 212122121n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+⋅+⋅--+⎝⎭所以()111111111233521212221n T n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪-++⎝⎭ ∵*N n ∈，∴()10221n >+，∴()11122212nT n =-<+ 易证*n ∈N 时，()112221n T n =-+是增函数，∴()113n T T ≥=.故1132n T ≤<。

学年高三(上)数学专题复习：等比数列及其前N项和

2019学年高三（上）数学专题复习：等比数列及其前N 项和题型一等比数列基本量的运算1、在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为2、已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝3、在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2，若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N ＋)，则m ＝4、在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝5、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．6、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝7、设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝8、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为9、设{a n }是公比为正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为10、已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝11、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝12、已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝13、在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于________．14、在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．15、已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于 16、等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________．17、若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·5n ＋1，则实数m ＝________．18、已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.19、已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3a 7＝16，则该数列的公比为20、已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于21、已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2等于 22、数列{a n }中，已知对任意n ∈N ＋，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n等于23、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 018，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 019＝________.24、已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1＝12，且a 2a 8＝2a 5＋3，则a 9＝________. 25、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝________.26、等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .题型二等比数列的性质类型一等比数列项的性质1、已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，。

等比数列的性质及应用(复习课)

等比数列的性质及应用（复习课）【学习目标】1、完善与形成等比数列的性质与应用的知识结构系统；2、会用等比数列的性质解决一些问题；3、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。

【学习重点】灵活运用等比数列的性质分析问题和解决问题。

【学习过程】一、学习准备前面我们复习了等差数列，请回顾等差数列的性质：（建议：教师可先列出，让学生填空，目的是使性质条理化，为等比数列性质的列出做好铺垫）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）二、知识方法梳理1、知识梳理请大家写出等比数列的性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）提示：1. 可类比等差数列的性质写出等比数列的性质，例如，对应等差数列的性质：2a 1n +=a n +a 2n +，等比数列有性质：212n n n a a a ++=（其中0n a ≠，且n N *∈）。

2. 分析书上的例习题，从中挖掘。

2、在等比数列性质推导的过程中，我们用到了哪些数学思想方法？三、典型例析例1：在等比数列｛a n ｝中，已知1321=++a a a ，2654-=++a a a ，求15S 。

变式练习：1.等比数列的前n 项和为54，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为。

2.公比为2的等比数列中中，若k 2S =510，k 3S =8190，求k S 及k 的值。

【30，4】例2. 等比数列｛a n ｝中，66n 1=+a a ，12812=⋅-a a n ，前n 项和为126n =S ，求n 和公比q.（一个例太少，补充一个，请补充做些变式练习）四、反思小结五、达标检查。

高三一轮复习等比数列课件

分段等比数列求和
对于一些分段等比数列，需要分段进行求和，并注意分段点处的连续性。
04 等比数列在实际生活中的应用
等比数列在金融中的应用
复利计算
等比数列可以用于计算复利，帮助投资者了解投资收益的增长情
况。
保险计算
保险公司在计算保险费用和赔付时，常常使用等比数列来计算未
来价值和赔偿金额。
股票分析
电路分析
在电路分析中，电压、电流和电阻的变化规律可以用等比数列来表示，帮助工程师理解和设计电路。
等比数列在计算机科学中的应用
数据压缩
在数据压缩算法中，等比数列常常被用于表示数据中的重复模式，从而实现数据的有效压缩。
加密算法
一些加密算法中，等比数列被用于生成密钥或者加密和解密数据，保障信息安全。
比较大小
通过等比数列求和公式，可以比较两个等比数列的大小关系，从而解决一些比较大小的问题。
特殊等比数列的求和公式
等差等比混合数列求和
对于一些特殊的等差等比混合数列，如斐波那契数列，需要采用特殊的方法进行求和。
特殊公比的等比数列求和
当等比数列的公比为特殊值时，如公比为1或-1，需要采用特殊的方法进行求和。
等比数列的表示
通常用英文字母q表示等比数列的公比，用a_1表示第一项，用n表示项数。
等比数列的性质
等比数列的通项公式
a_n=a_1*q^(n-1)，其中a_1是第一项，q是公比，n是项数。
等比数列的求和公式
当q≠1时，等比数列的前n项和 S_n=(a_1*(1-q^n))/(1-q)；当q=1时，S_n=na_1。
股票价格的增长和下跌往往呈现出等比数列的特征，投资者可以通过等比数列分析股票的走势和

高考数学复习知识点讲解与练习31 等比数列及其前n项和

高考数学复习知识点讲解与练习高考数学复习知识点讲解与练习专题3131 等比数列及其前n 项和项和[基础强化]一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，若S 6＝9S 3，S 5＝62，则a 1＝( ) A． 2 B．2 C． 5 D．3 【解析】D设等差数列{a n }的公差为d .∵S 5＝2S 4，a 2＋a 4＝8， ∴5a 1＋5×42d ＝2 4a 1＋4×32d ，a 1＋d ＋a 1＋3d ＝8，整理得 3a 1＋2d ＝0，a 1＋2d ＝4，解得 a 1＝－2，d ＝3.∴a 5＝a 1＋4d ＝－2＋12＝10.故选D.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝18，4a 2a 4＝4a 3－1，则a 2＝( )A．±14 B．14 C．±116 D．116【解析】A设等差数列{a n }的首项为a 1，则由等差数列{a n }的前n 项和为S n 及S 10＝15，得10（a 1＋a 10）2＝15，所以a 1＋a 10＝3.由等差数列的性质，得a 1＋a 10＝a 4＋a 7，所以a 4＋a 7＝3.又因为a 4＝52，所以a 7＝12.故选A.3．等比数列{a n }中，若a n >0，a 2a 4＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7，则公比q ＝( ) A．14 B．12 C．2 D．4 【解析】B设等差数列{a n }的公差为d ，则33a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，得d ＝－32a 1，又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝－10.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( )A．7 B．8 C．15 D．16 【解析】C∵S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，∴a 1＋a 6＝16，又a 4＋a 5＝24，∴(a 4＋a 5)－(a 1＋a 6)＝8， ∴3d －d ＝8，d ＝4.5．设{a n }是公比为q ＞1的等比数列，若a 2 010和a 2 011是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 012＋a 2 013＝( )A．18 B．10 C．25 D．9 【解析】B设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＋a 7＝22，所以2a 5＝22，即a 5＝11. 又因为S 11＝（a 1＋a 11）×112＝2a 6×112＝143，解得11a 6＝143，即a 6＝13.所以公差d ＝a 6－a 5＝2，所以a n ＝a 5＋(n －5)d ＝11＋(n －5)×2＝2n ＋1，所以S n ＝（a 1＋a n ）n2＝(n ＋2)n . 令(n ＋2)n >195，则n 2＋2n －195>0，解得n >13或n <－15(舍).故选B.6．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若a 1＝－24，a 4＝－89，则当T n 取得最大值时，n的值为( )A．2 B．3 C．4 D．6【解析】D∵{an}为等差数列，∴S5＝5a3＝－15，∴a3＝－3，∴d＝a3－a2＝－3－1＝－4.7．[2024·全国乙卷(理)，8]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )A．14 B．12 C．6 D. 3【解析】B∵Sn＝an2＋bn，∴{a n}为等差数列，∴S7＝（a1＋a7）×72＝（a2＋a6）×72＝（3＋11）×72＝49.8．[2023·新课标Ⅱ卷]记Sn为等比数列{a n}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )A．120 B．85 C．－85 D．－120【解析】C由题意可设每层有n个环，则三层共有3n个环，∴每一环扇面形石板的块数构成以a1＝9为首项、9为公差的等差数列{a n}，且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S1，中层总数为S2，下层总数为S3，∴S3－S2＝[9(2n＋1)·n＋n（n－1）2×9]－[9(n＋1)·n＋n（n－1）2×9]＝9n2＝729，解得n＝9(负值舍去).则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9＋27×262×9＝27×9＋27×13×9＝27×14×9＝3 402(块).故选C.9．(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为S n，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是( )A．{a n }为单调递增数列 B．S 6S 3＝9C．S 3，S 6，S 9成等比数列 D．S n ＝2a n －a 1 【解析】A方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，∵ S 4＝0，a 5＝5，∴ 4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.方法二：设等差数列{a n }的公差为d ，∵ S 4＝0，a 5＝5，∴ 4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得a 1＝－3，d ＝2.选项A，a 1＝2×1－5＝－3；选项B，a 1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S 1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.二、填空题10．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________．【解析】4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4.11．[2023·全国乙卷(理)]已知{}a n 为等比数列，a 2a 4a 5＝a 3a 6，a 9a 10＝－8，则a 7＝________.【解析】2解析：由等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋n （n －1）2d 得S n n ＝a 1＋n －12d ＝a 1＋(n －1)d 2，所以{S n n }仍是等差数列，其公差是原等差数列公差的一半，所以S 2 0242 024－S 2 0232 023的值为2.12．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________．【解析】2解析：方法一设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为2S 3＝3S 2＋6，所以2(a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d )＝3(a 1＋a 1＋d )＋6，所以6a 1＋6d ＝6a 1＋3d ＋6，解得d ＝2.方法二设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由2S 3＝3S 2＋6，可得2×3a 2＝3(a 1＋a 2)＋6.整理，得a 2－a 1＝2，所以d ＝2.[能力提升]13．[2023·全国甲卷(理)]设等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 5＝5S 3－4，则S 4＝( )A．158 B．658C．15 D．40 【解析】1.5解析：设此等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，由题意得，S 12＝84，a 1＋a 5＋a 9＝16.5，即 12a 1＋12×112d ＝84，3a 5＝3（a 1＋4d ）＝16.5，解得 a 1＝1.5，d ＝1，所以夏至的日影子长为1.5尺．14．设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为S n，则( )A．Sn＝2a n－1 B．S n＝3a n－2C．Sn＝4－3a n D．S n＝3－2a n【解析】AC对于A，易知3d＝a5－a2＝12－18＝－6，即d＝－2，选项A正确；对于B，a1＝a2－d＝18－(－2)＝20，所以选项B错误；对于C，a3＋a4＝a2＋a5＝18＋12＝30，所以选项C正确；对于D，因为an＝a1＋(n－1)d＝20＋(n－1)(－2)＝－2n＋22，a10＝2＞0，a11＝0，a12＝－2＜0，所以当n＝10或n＝11时，S n最大，所以选项D错误．故选AC.15．记Sn为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝13，a24＝a6，则S5＝________．【解析】B方法一由题意得an＝a1＋2π3(n－1)，cos an＋3＝cos [a1＋2π3(n＋2)]＝cos(a1＋2π3n＋4π3)＝cos (a1＋2π3n＋2π－2π3)＝cos (a1＋2π3n－2π3)＝cos an，所以数列{cos an}是以3为周期的周期数列，又cos a2＝cos (a1＋2π3)＝－12cosa1－32sin a1，cos a3＝cos (a1＋4π3)＝－12cos a1＋32sin a1，因为集合S中只有两个元素，所以有三种情况：cos a1＝cos a2≠cos a3，cos a1＝cos a3≠cos a2，cos a2＝cos a3≠cos a1.下面逐一讨论：①当cos a1＝cos a2≠cos a3时，有cos a1＝－12cos a1－32sin a1，得tana1＝－3，所以ab＝cos a1(－12cos a1＋32sin a1)＝－12cos2a1＋32sin a1cos a1＝－12cos2a1＋32sin a1cos a1sin2a1＋cos2a1＝－12＋32tan a1tan2a1＋1＝－12－323＋1＝－12.②当cos a 1＝cos a 3≠cos a 2时，有cos a 1＝－12cos a 1＋32sin a 1，得tan a 1＝3，所以ab ＝cos a 1(－12cos a 1－32sin a 1)＝－12cos 2a 1－32sin a 1cos a 1＝－12cos 2a 1－32sin a 1cos a 1sin 2a 1＋cos 2a 1＝－12－32tan a 1tan 2a 1＋1＝－12－323＋1＝－12.③当cos a 2＝cos a 3≠cos a 1时，有－12cos a 1－32sin a 1＝－12cos a 1＋32sina 1，得sin a 1＝0，所以ab ＝cos a 1(－12cos a 1－32sin a 1)＝－12cos 2a 1＝－12(1－sin 2a 1)＝－12.综上，ab ＝－12，故选B.方法二取a 1＝－π3，则cos a 1＝12，cos a 2＝cos (a 1＋2π3)＝12，cos a 3＝cos (a 1＋4π3)＝－1，所以S ＝12，－1，ab ＝－12，故选B.16．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．【解析】－1，－78解析：方法一由于S n ＝7n ＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋7－d 2n ，设f (x )＝d 2x 2＋ 7－d 2x ，则其图象的对称轴为直线x ＝12－7d .当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，故7.5＜12－7d ＜8.5，解得－1＜d ＜－78.方法二由题意，得a 8＞0，a 9＜0，所以7＋7d ＞0，且7＋8d ＜0，即－1＜d ＜－78.。